TEORICA 3TEORICA 3

Distribución de Probabilidad Discreta

Distribución de Probabilidad Continua

Confiabilidad

Distribución de Probabilidad Mixta

Simulación

Variable Multidimensional

AutorDr. Hernán Rey

Ultima actualización: Agosto 2010

Sea A un cierto conjunto incluido en los reales, luego:

FUNCION INDICADORA

Para simplificar la notación, usaremos:

1 si

0 si

A

x Ax

x A1

AA x1 1Ejemplos:Ejemplos:

1g x x 1 3g x x 1

2 2, 1g x y x y 1 , 0.25 0.5g x y y 1

, 0.25 0.5 0.25 0.5

0.25 0.5 0.25 0.5

g x y x y

x y

1

1 1

, 1g x y x 1

VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria es una función X(w) : WR que mapea el espacio

muestral en la recta real, y que para cada valor real x satisface que:

La notación que usaremos es mayúsculas para identificar las

Esto es muy provechoso ya que permite unificar el marco de trabajo ypuede asociarse el resultado de cualquier experimento a un número real.Así, se elimina la asociación a la descripción física del experimento ypermite un mayor nivel de abstracción.

: X xw wW

La notación que usaremos es mayúsculas para identificar las

variables aleatorias (X, Y, Z) y minúsculas para los valores

particulares que puedan tomar (x, y, z).

A la derecha del igual, aparecen probabilidades de eventos definidos enel espacio muestral, mientras que a la izquierda se trata de eventosgenerados por la VA sobre la recta real.

:P X x P X xw w W Dicho mapeo generaequivalencia de eventos, alos cuales se les asigna lamisma probabilidad.

EJEMPLOExperimento: “Resultado del tiro de una moneda”

W

w = cara

w = ceca

R

1

0

X

Al efectuar el experimento,decir “el resultado fue cara”

es equivalente a decir “X=1”.

Si la moneda tiene probabilidad

de cara igual a p, entonces

P(X=1) = p.

Una VA está caracterizada por su distribución de probabilidad, esto es,Una VA está caracterizada por su distribución de probabilidad, esto es,por cómo se distribuye la probabilidad a lo largo de la recta real.

En el ejemplo de la moneda, dicha distribución recibe el nombre deBernoulli.

Se dice que X e Y son idénticamente distribuidas siP(XA)=P(YA), AR. ESTO NO IMPLICA QUE LAS VAs

SEAN IGUALES. Si X es la VA Bernoulli (con p=1/2) del

ejemplo anterior e Y=1-X, vemos que tienen igual distrib. peroes imposible que sean iguales (cuando una es 1 la otra es 0).

Esta función debe cumplir las siguientes propiedades:

:XF u

Una VA queda completamente descripta por medio de su función de distribución de probabilidad

FUNCION DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

3) Debe ser creciente lim 1Xx

F x

1)

lim 0F x 4) Debe ser continua por derecha lim 0Xx

F x

2)

Para toda función que satisfaga estas condiciones, existe una VA que la tiene como función de distribución.

XF u P X u Su relación con la probabilidad está dada por la siguiente definición:

Por lo tanto, la función de distribución de probabilidad FX(x) acumula

probabilidad conforme crece el valor de x.

Otras propiedades son:

Se conoce como VAs discretas a aquellas asociadas a un espaciomuestral con una cantidad finita o infinita numerable (o sea, mapeable alos enteros) de eventos elementales. Es decir, entre dos valorescualesquiera de la recta real, existen otros valores que no cuentan conuna preimagen en el espacio muestral. Las VAs continuas asumen unacantidad no numerable de valores, pudiendo tomar cualquier valor de unintervalo (o unión de intervalos) de la recta real.

=1 XP X k F k

= , ,X XP a X b F b F a a b a b

Esto se relaciona con el hecho de que la probabilidad de un valor puntualen un espacio infinito no numerable es nula. La razón de esto es que lafunción de distribución es continua en un intervalo donde la VA es continua.

Luego, si a pertenece al intervalo continuo, P(X = a) = F(a) - F(a-) = 0.

0, 0

= lim X XP X k P X k P X k F k F k

Luego, si en x=k hay una masa puntual de probabilidad positiva, la función

de distribución debe ser discontinua en x=k.

= , ,X XP a X b F b F a a b a b

X XF k F k

1

EJEMPLOS

Se define como soporte de una VA al conjunto

de puntos de la recta real donde F es discontinuao donde su derivada es positiva.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.25

0.5

0.75

FX(x

)

x

1 1

0 12 2

0 0

1/ 2 0 1

1 1

XF x x x

x

x

x

1 1

0.75

1

(x)

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

0

0.25

0.5

0.75

1F

X(x

)

x

1 1 2 1 2

0 1

1 1 2

1 2

XF x x x x

x

x x

x

1 1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.25

0.5

FX(x

)

x

0 0

2 0 1 2

2 1 2 1 2 1

1 1

1 1 10 1 1 1

2 2 2 2 2

X

x

x xF x

x x

x

x xx x x

1 1 1

FUNCION DE PROBABILIDADPodemos decir que la VA X es discreta si existe un conjunto C, finito o infinito numerable, tal que P(XC)=1.

Recordando la definición de partición de un espacio muestral, la VAdiscreta queda totalmente descripta si se asigna probabilidad a cada unode los eventos elementales de la partición. La función de probabilidadqueda entonces definida como:

para cada / :Xp k k C X kw w W sea evento elemental

Xp x P X k x k 1

Xk A

P A p k

Cualquier evento A (en la recta) se genera uniendo eventos elementales, dando:

Por el axioma 2, debe satisfacer:

1Xk

P p k

W y por lo tanto, a todo evento de la recta que no tenga preimagen en W se le asocia probabilidad nula.

Xk

p x P X k x k 1

Xk

F x P X k x k

1

La función de distribución se obtiene luego acumulando probabilidades:

Como la función de distribución asociada acumula probabilidad, las VAs discretas presentan una distribución escalonada:

X Xk X x

F x P X x p k

Las funciones FX(x) y pX(x) de una VA Bernoulli asociada al tiro de una moneda legal son:

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.25

0.5

0.75

1

FX(x

)

x

1 ( 1)Xp P X

moneda legal son:

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.25

0.5

pX(x

)

x

Como ya se mencionó, dentro de las VAs discretas se incluyen las que tienen un espacio muestral infinito numerable. Un ejemplo sería la denominada distribución Poisson de parámetro (positivo), cuya función de probabilidad es:

= 0,1, ,!

k

X

ep k k

x

EJERCICIO

Se tiene una urna con N bolillas. R de ellas son blancas. Se extraen nSe tiene una urna con N bolillas. R de ellas son blancas. Se extraen nbolillas (n≤R). Se desea la función de probabilidad de X = cantidad de bolillas blancas extraídas.

La resolución de este problema requiere la especificación de cómo son extraídas las bolillas.

Mostrar que si se extrae con reposición, la función de probabilidad será:

n rr

X

n R N Rp r

r N N

0,1, ,r n

A esta distribución se la conoce como binomial. Cuenta el número de

“éxitos” al efectuar n experimentos independientes cuyos resultados

pueden ser “éxito” o “fracaso”, donde la probabilidad de éxito es p y semantiene constante a lo largo de los experimentos. En este caso, la VA

es binomial de parámetros n y p=R/N.

Mostrar que si se extrae sin reposición, la función de probabilidad será:

A esta distribución

R N R

r n r

se la conoce como hipergeométrica. X

r n rp r

N

n

0,1, ,r n

Hemos visto que cada punto de un conjunto infinito no numerable debetener asociada una probabilidad nula. Por ello, las VAs continuas nopueden tener asociadas funciones de probabilidad. Resta preguntarse sipueden ser descriptas por algo más que la función de distribución.

x

X XF x f u du X

X

dF xf x

dx

Una variable X continua tiene asociada una función de distribución

FX absolutamente continua. Pero también puede ser descripta poruna función fX : R[0,), llamada densidad de probabilidad (o

simplemente densidad), que satisface:

FUNCION DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD

X

A

P X A f x dx A m

En particular, si A=(-,x], xR,

(en realidad, AB,

que es la -álgebra de Borel)

X XF x f u du

Xf xdx

La amplitud de la densidad en un punto no está directamenteasociada con una probabilidad (de hecho puede valer más que 1).

En Física, la masas se modelan primero enforma puntual. Luego, puede considerarse unamasa distribuida en un continuo, y se asocia

una densidad para describirla

Al integrar la densidad en un intervalo de la recta real podremosentonces obtener la probabilidad de que la VA tome un valor dentro

del intervalo. Cuando fX sea continua (que no es siempre el caso enuna VA continua), puede decirse que:

2

2 2XP x X x f x

fX(x) aproxima al cociente entre

la probabilidad de que Xpertenezca a un “intervalito” delongitud centrado en x, y

Como la VA continua no admite acumulación de probabilidad, se da que P(X<a)=P(Xa), a. En base a los axiomas, la densidad debe cumplir:

Toda función fX : R[0,) que integra a 1 es densidad de alguna VA continua.

0Xf x 1Xf x dx

Si fuera negativa, al integrarlaen un entorno daría unaprobabilidad negativa.

Un ejemplo es la uniforme (a,b). Su densidad es constante en el intervalo

real (a,b) (o [a,b]) y nula fuera de él. Esta VA describe los fenómenos de azar

donde los eventos son equiprobables. Un evento definido en (a,b) que tenga

longitud m, tendrá asociado una probabilidad m/(b-a) sin importar en qué

parte del intervalo (a,b) se encuentre.

2 0 0.5Xf x x 1 2 0 0.5 0.5XF x x x x 1 1

En particular, puede elegirse a=0 y b=0.5. En este caso la densidad toma elvalor 2 para todo número real entre 0 y 0.5. Esto no crea contradicciones. Ladensidad puede ser mayor a 1 ya que no representa una probabilidad (sí su

integral). Las gráficas de una U(0,0.5) son:

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

0.25

0.5

0.75

1

x

FX(x

)

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0

0.5

1

1.5

2

x

f X(x

)

X X

Otros ejemplos

1

32

0 13

Xf x x x

1

NO ACOTADA

2

3 0 1 1XF x x x x 1 1

0.8

0.9

1

6

7

A efectos prácticos, la indicadora muestra una región y no la derivo para ir de distribución a densidad

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

FX(x

)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0

1

2

3

4

5

x

f X(x

)

Otros ejemplos

21

21

2

x

Xf x es

NORMAL O GAUSSIANA(de parámetros =0 y =1)

FX(x) no tiene expresión analítica

0.9

1

0.35

0.4

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

FX(x

)

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

f X(x

)

FIABILIDAD

La fiabilidad es la capacidad de un dispositivo o sistema de funcionarcorrectamente (en condiciones “normales”) durante un cierto período de

tiempo (o distancia). Para poder estudiarla, se define T como la VA querepresenta el tiempo de funcionamiento hasta la falla. Luego, se defineformalmente a la función de fiabilidad como:

, 0R t P T t t Si bien la distribución de T tiene toda la información para analizar lafiabilidad, se suele describir a un sistema o dispositivo por su función defiabilidad, se suele describir a un sistema o dispositivo por su función deintensidad de fallas, (t) (o a veces sólo por el tiempo medio entre fallas),que expresa la tasa media de fallas en cada instante. Formalmente,

0 0lim limdt dt

T t dtP P t T t dtT ttdt dt P T t

0

1lim

1 1T T T T

dtT T

F t dt F t dF t f t

dt R tdt F t F t

22 0xXf x e x 1

EXPONENCIAL

21 0xXF x e x 1

12

log 11

1

TT

T

d F tdF tt

dt dtF t

1t

u du

TF t e

EJEMPLOS

tu du

Tf t t e

0 0x x 1 Si = 2,

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

FX(x

)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

x

f X(x

)

1

0

kk x

X

k xf x e xd

d d

1

WEIBULL

/1 0k

x

XF x e xd 1

1

0 0, 0

kk x

x x k dd d

1

0.6

0.7

0.8

0.9

1

X(x

)

1.5

2

X(x

)

d=1,k=1

d=1,k=0.5

d=1,k=1.5

d=1,k=3

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

FX

d=1,k=1

d=1,k=0.5

d=1,k=1.5

d=1,k=3

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.5

1

x

f X

Con k=1, la intensidad de fallas es constante (exponencial). Con k<1, laintensidad cae en el tiempo (se rompen muchos defectuosos pronto y los que

quedan andan mejor). Con k>1, la intensidad crece en el tiempo (hay cierto“envejecimiento” y las fallas son más probables con el paso del tiempo).

Un tercer tipo de VA es la mixta, que presenta características tanto dediscreta como de continua. Su espacio muestral es mapeado por ej. a todoslos puntos de un intervalo de la recta y además uno o más puntos aislados,que concentran probabilidad positiva. Su función de distribución tendráentonces tramos absolutamente continuos y saltos puntuales. Para serprecisos, estas VAs no admiten función de probabilidad ni de densidad.

Sea D el conjunto formado por todos lospuntos aislados donde la distribuciónacumula probabilidad puntual (es decir,donde la función de distribución

presenta saltos). Sea p el resultado de0.7

0.8

0.9

1

presenta saltos). Sea p el resultado desumar todas esas probabilidadespuntuales. La parte absolutamente

continua de F puede derivarse y dar

lugar a una función gX(x). Esta no seráuna densidad dado que al integrarla en

la recta real debe dar por resultado 1– p(para satisfacer el axioma 2)

( )XAA D

P X A g x dx P X x

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

FX(x

)

SIMULACIONSe tiene una función . creciente. Sea X una VA U(0,1). Qué . debería

usarse para que Y=. (X) tenga una cierta función de distribución FY(y)?

1

1 1

0

( ) 1

y

YF y P Y y P X y dx y

.

. .

1( )YF x x.

Como F es creciente, aunque quizás no biyectiva, se define la inversa

generalizada de F (también llamada función cuantil) como:

l1( ) inf 0,1

Si se tienen n números aleatorios provenientes

de una distribución U(0,1), y se les aplica la

función Y=FY-1(X), se obtienen n valores de una

VA distribuida según FY(y). Así, podemos generar

números aleatorios de cualquier VA (sin importar si es continua, discreta o mixta) a partir de

una rutina que genere números al azar U(0,1).

l1( ) inf 0,1x

F u F x u u

EJEMPLO

Simular 4 valores de la VA X, cuya FX(x) está dada por:

0.1U

0.2U

0.4369X

1X 0.6

0.7

0.8

0.9

1

X(x

)

0.9U

0.5U 3X

5X

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

FX

VARIABLE ALEATORIA MULTIDIMENSIONAL

Se lanza un dardo sobre un objetivo circular de radio unitario. Se observa el lugar donde cae.

El espacio muestral natural de este problema son todos los puntosdentro del objetivo. Si ubicamos un sistema cartesiano en 2 con origen

en el centro del objetivo, podemos mapear cada punto del objetivo a unpunto en 2. Esto se logra a través de una VA bidimensional (X,Y), de

modo que (X(w),Y(w))R2.

La VA bidimensional está formada por dos VAs unidimensionales X(posición del dardo en el eje de abscisas) e Y (posición del dardo en el(posición del dardo en el eje de abscisas) e Y (posición del dardo en eleje de las ordenadas), cuyas distribuciones denominaremos marginales.

Consideremos la función de distribución conjunta

, ( , )X YF x y P X x Y y

Vemos que,lim ( , ) ( )X Y X

uF x u F x

,lim ( , ) ( )X Y Y

uF u y F y

La función de distribución conjunta tiene toda la

información necesaria para describir la variable (X,Y).

La distribución de X,Y es discreta si existe un conjunto CR2 finito o

infinito numerable, tal que P((X,Y)C)=1. En ese caso se puede

caracterizar la distribución a través de la función de probabilidadconjunta pXY(x,y)=P(X=xY=y). Para cualquier evento A R2 se cumple

,,

, ,X Yx y A C

P X Y A p x y

EJEMPLO

Se arrojan un dado y una moneda legales en forma simultánea. Sea E1={0,1} Se arrojan un dado y una moneda legales en forma simultánea. Sea E1={0,1}

el espacio muestral del tiro de la moneda y E2={1,2,3,4,5,6} el espacio muestral del tiro del dado. Entonces, el espacio muestral conjunto es:

donde x denota el producto cartesiano.1 2E E E

El evento (X=0,Y=1) ocurre cuando la moneda sale cruz y el dado as. Si son

independientes, la probabilidad conjunta es el producto de las P de cada uno.

,

1 1 1( 0, 1) ( 0) ( 1)

2 6 12X Y X Yp x y p x p y

Para hallar las distribuciones marginales se debe sumar la conjunta para todos los posibles valores de la otra variable (probabilidad total)

1

,0

( ) ( , )Y X Yx

p y p x y

Y=1 Y=2 Y=3 Y=4 Y=5 Y=6

X=0 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

X=1 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12

6

,1

( ) ( , )X X Yy

p x p x y

La distribución de X,Y es continua si existe la densidad conjunta fXY(x,y):R2[0,), que satisface para todo evento A

,, ,X Y

A

P X Y A f x y dxdy

Las propiedades de las densidades en una variable se extienden:

, , 0X Yf x y , ( , ) 1X Yf x y dydx

Luego, la función de distribución conjunta puede expresarse como: , ,( , ) ( , )

y x

X Y X YF x y f u v dudv

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

,( ) ( , )Y X Yf y f x y dx

,,lim ( , )lim ( , )( )

( )

s x

X YX Y ssXX

d f u y dudyd F x sdF xf x

dx dx dx

A partir de la función de distribución conjunta podemos obtener la densidad como: 2

, ( , )( , ) X YF x y

f x y

,( ) ( , )X X Yf x f x y dy

Análogamente

Derivando la expresión de la función de distribución conjunta respecto de xe y surgen las densidades marginales:

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

x

Aquí pueden definirse eventos, como por ej., caer en la mitad de arriba,

, : 0A x y y

,

( , )

( ) ,X Y

x y A

P A f x y dxdy

2 2, : 1S x y x y

En el ejemplo del blanco, la VA (continua)tendrá el soporte (puntos de densidad no nula):

podemos obtener la densidad como:,

,

( , )( , ) X Y

X Y

F x yf x y

x y

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Si se trata de un lanzador inexperto, es razonable asumir que el dardo seubicará uniformemente en el objetivo.

Si el lanzador tuviera experiencia en la materia, la uniforme no describiríacorrectamente el lanzamiento.

-0.5

0

0.5

1

1.5

f XY(x

,y)

Así como en el caso de una variable,la integral de la densidad en unintervalo representa la probabilidadde que la VA tome un valor dentro dedicho intervalo, en una VAbidimensional, el volumen bajo la

superficie f (x,y) en un cierto área

EJEMPLOSe tiene una densidad conjunta:

, ( , ) 8 0 1 0X Yf x y xy x y x 1 1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

xy

superficie fX,Y(x,y) en un cierto áreadel plano representa la probabilidad

de que la VA asuma un valor (x,y)que pertenezca al área en cuestión.

Hallar las densidades marginales de X e Y. Calcule la probabilidad del

evento A: “Y es menor o igual a 1-X”.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

A

3, 0

( ) ( , ) 8 4 0 1x

X X Yf x f x y dy xydy x x

1

1

2,( ) ( , ) 8 4 1 0 1Y X Y y

f y f x y dx xydx y y y

1

Finalmente, para hallar P(A),1/ 2 1

,( , ) 0

1( ) ( , ) 86

y

X Yx y A yP A f x y dxdy xydxdy

x x

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

yRetomando el ejemplo del tiro del dardo, hallar la marginal de X.

Para cualquier valor de x que se encuentre entre -1 y 1, la

variable Y siempre varia entre las dos semicircunferencias.

2

2

1

,

1

( ) ( , )x

X X Y

x

f x f x y dy

21 x

21 x

-1 -0.5 0 0.5 1-1

x

EJEMPLO

Se tiene una densidad conjunta:

,

2( , ) 0 1 2 2 0 1 0 2

2 3X Y

y xyf x y x x y x y x 1 1 1 1

Hallar las densidades marginales de X e Y. Calcule la probabilidad de A:

“El valor (x,y) observado está dentro del círculo unitario con centro (0,0)”

0 0.5 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y

2

y

2

3

xy

2 2

0 2

32

2( )

3 2

41 0 1

3

x

X

x

xy yf x dy dy

xx x

1

/ 21

/ 2 0

2 3

2( )

3 2

0 2

y

Y

y

xy yf y dx dx

y y yy

1 0

0.5

1

1.5

2

2.5

y

2

y

2

3

xy

2

5y

10 0.5 1

x 0 23 4 12

y y yy

1

2 2, : 1A x y x y

2 21 21 1

5 5

0 2 02

2( )

2 3

x y

yx

y xyP A dydx dxdy

-0.5 0 0.5 1 1.5-0.5

0

x

1

5x

EJEMPLO

1 1P X Y X Y

El recinto sobre el que se condiciona es:

1 1 1P X Y X X Y 1

0.9

1

Se eligen dos números X e Y al azar en el cuadrado unitario. Si se sabe que la suma de los mismos no supera 1, hallar la probabilidad de los siguientes

eventos: a) |X-Y|<1, b) X>Y, c) XY<1/2, d) max(X,Y)<1/2, e) X2+Y2<1/4.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x

y

1P X Y X Y 1 1

24 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

1/ 2 1P X Y X Y 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

max , 1/ 2 1P X Y X Y 1 1

24 2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y 2 2 1/ 4 1P X Y X Y

216 8

s s

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

BONUS TRACKSBONUS TRACKS

Se tienen dos sobres, cada uno conteniendo una cantidad dedinero X e Y (enteros positivos diferentes). Se elige un sobre alazar, se lo abre y contiene X. Puede determinarse conprobabilidad mayor a ½ si X es la menor de las dos cantidades?

La respuesta es SI, aun cuando no sepamos la densidad conjunta de X e Y !!!

Tome una moneda legal y arrójela hasta que salga cara. Sea Z elnúmero de tiros necesarios + ½. SiSi Z>X,Z>X, decimosdecimos queque XX eses lala

EJEMPLO

menormenor dede laslas dosdos cantidadescantidades yy sisi nono eses lala mayormayor..

En primer lugar, vemos que los posibles valores de Z van de 3/2 ainfinito con pasos de 1. Si X<Z<Y, entonces estamos seguros deque X es la menor. Como X e Y son diferentes, P(X<Z<Y) = p > 0.Si esto no se cumple, Z es mayor que X e Y o menor a ambos. Encualquier caso, X será la menor con probabilidad ½ (ya que elsobre se elige al azar). Luego, la probabilidad de acertar es:

1 1 1 1 1 11 12 2 2 2 2 2

p p p p p

Sea una VA bidimensional (X,Y) definida dentro del círculo unitario. Su densidad conjunta debe ser tal que para todo evento A se satisfaga:

• P(A) es por lo menos 1/3 si A contiene al (0,0).• P(A) es proporcional al área de A si A no contiene al (0,0)

Hallar la densidad conjunta y las distribuciones marginales.

2 1

( , )f x y x y

2 2 1x y

EJEMPLO (usando delta de Dirac en VA mixta)

, ( , )3 3

X Yf x y x y s

2

2

1

1

2

2 1( )

3 3

4 1 11 1

3 3

x

X

x

f x x y dy

xx x

s

s

1

EJERCICIOEn la década del 60, la probabilidad fue una herramienta fundamental en unfamoso juicio. Un bolso había sido arrebatado a una anciana en un suburbio deLos Angeles. Una pareja fue vista escapando de la escena del crimen. Fuerondescriptos por testigos como un hombre negro con barba y bigote y una mujerrubia con peinado tipo “cola de caballo”. También se agrega que fueron vistoshuyendo en un coche amarillo. Malcolm y Janet Collins fueron arrestados.Ambos cumplían con la descripción física y manejaban un Lincoln amarillo.La fiscalía citó como testigo a un matemático quien facilitó las siguientes probabilidades.

P(hombre con bigote) = 1/4 P(mujer con peinado tipo “cola de caballo”) = 1/10

La fiscalía argumentó que la probabilidad de que se cumplan todas estascondiciones por parte de una pareja tomada al azar es el producto de lasmismas y vale 1/12000000. Al ser tan chica, adujo que era prueba más allá deuna duda razonable de que los sospechosos eran culpables. El jurado fallóculpable de robo en segundo grado.De haber sido el abogado defensor, qué debería haberse argumentado?

P(hombre con bigote) = 1/4

P(hombre negro con barba) = 1/10 P(mujer rubia) = 1/3

P(mujer con peinado tipo “cola de caballo”) = 1/10

P(haya una pareja inter-racial en un auto) = 1/10000 P(auto amarillo) = 1/10

En primer lugar, podríamos poner en duda la veracidad de esas probabilidades.Tengamos en cuenta que deben ser calculadas para la ciudad de Los Angeles yno en cualquier otro lado.

Si las P son correctas, el otro punto es que la fiscalía asume que se trata deeventos independientes (para poder multiplicarlas y hallar la P de la condiciónplanteada por los testigos). Este argumento sí podría prosperar ya que eslógico que exista una dependencia entre por ej., la posesión de barba y bigotepor parte de un hombre.

Aun si estos argumentos no prosperasen, podemos decir que esa no es laprobabilidad que debería importarle al jurado. Lo que debería importar es:

La fiscalía sólo ha calculado P(cumple la descripción). Necesitamos información extra para poder calcular la condicional.

probabilidad que debería importarle al jurado. Lo que debería importar es:

P(inocente | cumple la descripción)

Si nada de esto funciona, podemos aun criticar la idea de duda razonableplanteada por la fiscalía. Para ello, sea n el número de parejas que existen enla ciudad de Los Angeles. Sea p=1/12000000 la probabilidad de que una parejacualquiera de Los Angeles cumpla con la descripción de los sospechosos. SeaR la VA que cuenta la cantidad de parejas que hay en Los Angeles que cumplencon la descripción. Luego, R sigue una distribución binomial (n,p).

Podemos hallar entonces P(R=1). Sin embargo, dado que sabemos que almenos hay una pareja en Los Angeles que cumple la descripción (la que hasido arrestada), podemos buscar la probabilidad de que haya otras (2 ó más).Es decir:

0.7

0.8

0.9

1

P(r=1|n)P(r>=2|n,r>=1)

Si este valor es grande, deja la duda de que otra pareja haya cometido el crimen !!!

2 1P R R

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 107

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

n: cantidad de habitantes en la ciudad

crimen !!!

Con n = 2,500,000, puede haber otras parejas con probabilidad cercana a 0.1, que es más que suficiente para generar una duda razonable.