04_03_CircuitosMagnéticos

7/25/2019 04_03_CircuitosMagnticos

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez

SISTEMAS ELECTROMECNICOS

CAPTULO 3

CIRCUITOS MAGNTICOS

2015

Luciano Chiang S, Ph.D.

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3 Circuitos MagnticosEl diseo y anlisis de dispositivos electromecnicos se facilita cuando stos se modelan idealizandola magnetizacin de materiales como si constituyeran parte de un circuito magntico. Entonces se

pueden aplicar los principios electromagnticos que conocemos de una manera sistemtica y simple.Aunque existen mtodos numricos ms precisos para estimar la distribucin de campos magnticosen una configuracin, tales como el Mtodo de Elementos Finitos, la modelacin por circuitosmagnticos proporciona una forma ms rpida y de aceptable precisin.

3.1 Leyes Fundamentales

Para efectos prcticos nos basaremos principalmente en las siguientes leyes fundamentales.

3.1.1 Ley Circui tal de Ampere

La ley circuital de Ampere establece que en un circuito magntico es vlida la siguiente expresin:

= (1)Donde [ /] Esto quiere decir que una corriente elctrica genera un campo magntico con una distribucin que sepuede analizar con la ecuacin(1).Cuando se integra el producto escalar entre el vector y el arcorecorrido sobre la trayectoria cerrada arbitraria C, se obtiene la magnitud de la corriente queencerrada por la curva C.

3.1.2 Ley de Gauss

En la naturaleza que conocemos no existen los polos magnticos individuales de modo que noexisten fuentes ni sumideros aislados de campo magntico. Esto matemticamente puede expresarsea travs de la Ley de Gauss.

= 0 (2) [] Esto quiere decir que el flujo neto a travs de una superficie cerrada S es cero.(2) tambin se puedeescribir como:

3


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= 0En trminos del flujo magntico [Weber] podemos escribir tambien:

= = 0 [] 3.1.3 Ley de Induccin de Faraday

Consideremos la bobina de 1 vuelta mostrada en la figura,

B(t)

Figura 1

Si el flujo magntico que atraviesa el rea encerrada por la espira es variable en el tiempo,entonces la Ley de Induccin de Faraday establece que se genera una fuerza electromotriz inducidaentre los extremos, cuyo valor en general est dado por:

= (3)Escrito de otra manera,

4


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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez =

=

[

]

=

= [/] = [] 3.1.4 Relacin entre Ley de Faraday y de Lorentz en una Bobina

A modo de ejemplo comprobaremos la relacin que hay entre la Ley de Lorentz y la Ley de Faradaypara una bobina. Consideremos la situacin de la figura siguiente, donde un imn de desplaza por elinterior de una bobina de dimetro nominal . Asumimos un campo magntico divergentegenerado por el imn y donde

es la zona significativa del manto de la bobina atravesado por este

campo. La componente radial saliendo por la zona limitada por

entonces es

, y afecta

instantneamente a espiras.

NS

x

v BD

Br

Aplicamos Ley de Faraday al volumen de control limitado por lneas intermitentes. El flujo queatraviesa el manto cilndrico de largo x es

=

De acuerdo a la Ley de Faraday tenemos = Por lo tanto

= = =5


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Por otra parte si aplicamos Ley de Lorentz a un elemento del alambre del conductor de la bobinatenemos

= = Luego el campo elctrico en sentido longitudinal que experimenta dicho elemento es:

= =Dado que 12 = 21 Se obtiene 12 = 21 = 21 2

12 =Se demuestra entonces que se llega al mismo resultado usando la Ley de Faraday o La Ley deLorentz.

3.2 Fundamentos de Anlisis de Circui tos Magnticos

3.2.1 Flujo Magntico ()

En un circuito magntico se establece en forma idealizada un flujo magntico [],que es proporcional a la fuerza magnetomotriz aplicada e inversamente proporcional a la reluctancia

del circuito magntico, es decir = (4)La ecuacin anterior se deduce empleando la Ley de Ampere y la Ley de Gauss en el anlisis

de un circuito magntico. Por ejemplo obtengamos la ecuacin(4) anterior aplicando ambas leyesmencionadas al circuito de la figura siguiente,

6


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C

Tenemos para la trayectoria promedio dada por la curva C de longitud

,

= Consideramos que el ncleo es homogneo y de area constante, de modo que =

Alternativamente podemos escribir en virtud de(6) que

=

o tambin en virtud de(5)

= Por lo tanto, = = 3.2.2 Densidad de Campo Magntico ( )La fuerza que experimenta una carga elctrico y por ende un conductor elctrico depende dela densidad de campo magntico presente (ver ley de Lorentz). Luego para determinar las fuerzasque experimentan los conductores interactuando con un campo magntico para producirmovimiento, debemos conocer la distribucin de . Por definicin,

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= En caso de que sea constante en una regin del espacio tenemos

= [] (5)3.2.3 Intensidad de Campo Magntico ( )

La ley circuital de Ampere est definida en funcin de la intensidad de campo magntico [/]. Para estimar las magnitudes de las fuerzas que se producen en una mquina elctrica esnecesario conocer el valor de densidad de campo magntico , y as aplicar la Ley de Lorentz.Entonces para aplicar la ecuacin(1) al anlisis de circuitos magnticos y poder obtener el valor de

, es necesario conocer la relacin entre la intensidad de campo magntico

y la densidad de

campo magntico

. Esta relacin queda definida a travs de la permeabilidad magntica del

medio, es decir

= (6)La relacin anterior indica que al aplicar un campo magntico de intensidad en un punto delespacio se desarrolla una densidad de campo magntico en el mismo punto cuya magnituddepende de la permeabilidad magntica del medio.

3.2.4 Permeabil idad Magntica ()

Los materiales ferromagnticos tales como el acero presentan un comportamientoelectromagntico favorable para convertir energa elctrica en energa mecnica y viceversa.

Esencialmente existe una relacin entre la fuerza magnetomotriz aplicada (fmm) y el flujomagntico que se desarrolla en un circuito magntico.

La fuerza magnetomotriz aplicada a un circuito magntico genera una intensidad de campomagntico en cada punto del circuito. El material del circuito responde orientndosemagnticamente alcanzndose un valor de densidad de campo magntico en cada punto. Ambaspropiedades fsicas estn relacionadas por la siguiente ecuacin:

=

La permeabilidad magntica del aire es aproximadamente igual a la permeabilidad magnticadel vaco con un valor de = 4 107. Por otra parte, la permeabilidad magntica del fierrousado en mquinas electromecnicas es varios miles de veces mayor que el del aire, sin embargo noes lineal, ya que presenta un efecto de saturacin, como se muestra en la Figura 2.

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B [T]

H [Av/m]

(fierro)

(aire)

Figura 2. Permeabilidad Magntica

Adems de la saturacin, los materiales ferromagnticos muestran un efecto de histresis quese manifiesta en que el comportamiento es distinto al aumentar la fuerza magnetomotriz que aldisminuirla.

En laFigura 3 se aprecia el efecto de no linealidad y de histresis de un material con altogrado de histresis.

3.2.5 Densidad de Energa Magntica

La energa magntica por unidad de volumen uest dada por: = 0 Es decir es el rea bajo la curva mostrada en laFigura 2.Luego = 0 Si se mantiene constante (zona no saturada) la integral anterior queda que la energa magnticaalmacenada por unidad de volumen es: =0

=

1

2

2

3.2.6 Reluctancia ()Esta es anloga a la resistencia en circuitos elctricos. Por lo tanto es la resistencia que ofrece unmedio a establecer un flujo magntico dado una fuerza magneto-motriz aplicada. El flujo magnticoque se desarrolla en un circuito est dado por:

= 9


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3.2.7 Imanes Permanentes

Los imanes permanentes existen en forma natural, pero tambin se pueden fabricar. Los materialesms comunes utilizados para imanes permanentes son:

Neodymium Fierro Boro (NdFeB) Samarium Cobalt (SmCo)

Ceramic

Alnico

Las propiedades que se obtienen son las siguientes:

Material GradoBresidual[Gauss]

Hcoercitivo Hcintrinseco BHmaxTmaxOperacin

( C)

NdFeB 39H 12,800 12,300 21,000 40 150

SmCo 26 10,500 9,200 10,000 26 300

NdFeB B10N 6,800 5,780 10,300 10 150

Alnico 5 12,500 640 640 5.5 540

Cermico 8 3,900 3,200 3,250 3.5 300

Flexible 1 1,600 1,370 1,380 0.6 100

Las unidades en la tabla anterior son las siguientes:

= = = = 106 Una forma de obtener imanes permanentes de alta capacidad es calentar el material por sobre latemperatura de Curie correspondiente, y luego enfriar bajo un fuerte campo magntico, y al mismotiempo golpear el imn. Se utilizan tcnicas de pulvimetalurgia para fabricar los imanes, es decir separte por los compuestos en polvo, donde uno de los componentes acta como aglomerante.

Es conveniente que los materiales que se utilizan para imanes permanentes posean una alta

histresis para que sean capaces de retener un campo magntico remanente fuerte (B residual), queen definitiva produce el efecto magntico deseado. Por otra parte, considerando que la energaperdida en un ciclo de magnetizacin es el rea encerrada por la curva de magnetizacincorrespondiente como se muestra en la Figura 3, se desea que el material usado en ncleos debobina, motores, generadores, etc., sea de baja histresis de modo que la prdida de energa duranteun ciclo sea lo ms pequea posible.

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H

B

Br

Hc

Hm

Bm

Lnea Carga

Zona Trabajo

Imn

Figura 3. Curva de histresis de un imn permanente

En laFigura 3 se muestra la curva de magnetizacin de un imn permanente tpico. Estos imanes sefabrican para operar en la porcin del ciclo encerrada en rojo, caracterizada por un

(B residual) y

un

(H coercitivo).

El imn aislado mantiene internamente una densidad de campo magntico remanente . Estecampo magntico se puede revertir con una fuerza magnetomotriz opuesta caracterizada por unaintensidad de campo magntico . El campo magntico generado por el imn puede ser inclusoanulado, y el valor requerido para ello es (Intensidad Coercitiva). Cuando el imn es acoplado aun circuito magntico se establece un flujo magntico de equilibrio dado por el punto (,) .El efecto del circuito magntico sobre el imn se representa por la lnea segmentada de la Figura 3,que representa la lnea de carga del circuito magntico, es decir la reluctancia que se opone al flujomagntico.

La expresin matemtica aproximada por una lnea recta para representar el rango de trabajo del

imn permanente, y as obtener el flujo magntico de equilibrio se puede escribir como:

= + (7)Por otra parte, la densidad de energa transferida al circuito est dada por

= 12 (8)

11


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Por lo tanto la mxima densidad de energa que permite transferir es

= 12

2

2

=1

8

3.2.7.1Clasificacin de Imanes Permanentes

Los fabricantes y proveedores entregan el valor del producto 4 para representar la potenciadel imn. As por ejemplo un imn de NdFeB grado N35 posee tpicamente un = 12.000 yun = 12.000 . La clasificacin N35 indica un valor garantizado = 35 6 [ ].Para una curva de magnetizacin como la mostrada en laFigura 3 se deduce que,

= 2

2

Por lo tanto

= 12.0002 12.0002 = 144 1064 = 36 106[ ]Recordemos que:

1 = 1041 = 79,577

3.2.7.2Analoga de la Fmm de un imn con una batera elctricaPor analoga con circuitos elctricos, un imn funciona como una batera de corriente continua conflujo limitado por una resistencia interna, ya que

= + Si multiplicamos la expresin anterior por el largo del imn podemos escribir

=

+

Pero =Luego

= 12


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Es decir = = Hacemos

=

(

)

=()

Luego, = 3.3 Analoga entre Circui tos Magnticos y Elctricos

Es posible establecer una analoga entre circuitos elctricos de corriente continua y circuitosmagnticos, tal como se muestra en el cuadro siguiente:

fuerza electromotriz [] [ ] = fuerza magnetomotrizIntensidad Campo Elctrico intensidad campo magnticoCorriente Elctrica [] [] flujo magntico

Resistencia Elctrica [] Reluctanciadensidad corriente elctrica 2 [] densidad campo magntico

3.4 Anlisis de Circui tos Magnticos de Flujo Continuo

Consideremos la bobina de la figura siguiente con N espiras, largo l, y seccin cuadrada A:

13


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Figura 4

Al circular una corriente por las espiras se establece un campo magntico mucho ms significativoen el interior de la bobina (ncleo) que en el exterior.

B

Al interior del ncleo el campo magntico es relativamente uniforme y denso, mientras que alexterior el campo magntico es disperso y poco denso. Si aplicamos la ley circuital de Ampere alrecorrido a-b-c-d tenemos:

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Ba b

cd

=Integrando por partes

+ + + =pero

= 0

= 0 0 = 0

Por lo tanto obtenemos

=Como es uniforme entonces

=Luego

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez = Considerando que =, y que es constante en magnitud al interior de la bobina, y tambin que

=

, entonces

= =

Ahora podemos considerar que se establece una fuerza magneto motriz dada por =

Por lo tanto

= Donde la reluctancia en este caso resulta ser: =

La Ley Circuital de Ampere es anloga a la Ley de Voltajes de Kirchoff. En este caso, la suma deneta entre fuerzas y cadas de fuerzas magnetomotrices a lo largo de un circuito magntico cerradodebe ser cero.

Ejemplo 1Considere la siguiente construccin. Consiste en una bobina de N vueltas planchas laminadas queconforman una seccin cuadrada de rea A. Determine el flujo magntico que se establece en estedispositivo.

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SolucinEl campo magntico que se establece tiene la siguiente forma

N l

i

l

B

Aplicando la ley circuital de Ampere al recorrido medio de una lnea de flujo tenemos entonces

=Luego dado que es uniforme podemos escribir4 =

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez =

4 =

4

= 4 La reluctancia del circuito es

= 4Ejemplo 2Para el dispositivo de la figura obtenga el flujo magntico que se establece. Este dispositivo tiene la

caracterstica de que el ncleo est cercenado por un corte de espesor e.

Solucin:El campo magntico que se establece tiene la siguiente forma:

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N l

i

l

B

e

C

Podemos aplicar la Ley Circuital de Ampere para la curva C. Por lo tanto tenemos:

= + =

+

=

Se puede transformar en la siguiente relacin

+ =Pero por la Ley de Gauss y por la distribucin de campo magntico que se establece tenemos

= =Por lo tanto,

= +Deducimos que la reluctancia equivalente est dada por

= + Si el ncleo es ferromagntico

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez Por lo tanto se puede aproximar a

Esto quiere decir que la holgura de aire es la que tiene mayor incidencia en la magnitud del flujomagntico que se establece.

Ejemplo 3Determine el flujo que se establece en el circuito magntico de la figura asumiendo que lacontribucin a la reluctancia se debe mayoritariamente a los espacios entrehierros.

1 2

e1 e2A1A2

C1

C2

i

Solucin

Tenemos entonces los siguientes valores de reluctancia en cada rama

111

22

2

Podemos aplicar la Ley Circuital de Ampere a los circuitos 1y 2. Obtenemos entonces1 = 1 = 11

20


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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez 2 = 2 = 22 Pero =1 + 2Luego

= 11 + 12O bien

= 111 +122

Ejemplo 4Determine el flujo magntico que se establece en el circuito de la figura asumiendo que el campomagntico es generado por un imn permanente y que este campo magntico se concentra en elhierro. El dispositivo tiene una seccin uniforme de rea A.

N

S

b

a

lm

C

Solucin

Aplicamos la ley circuital de Ampere al circuito C. Obtenemos + (2 + 2 ) = 0Pero debido al magnetismo remanente en el imn permanente tenemos

= + Luego

21


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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez =Haciendo = 2 + 2 , y remplazando en la ecuacin circuital tenemos

+ =Alternativamente en trminos del flujo magntico tenemos

+ =Pero por la Ley de Gauss tenemos = =Por lo tanto obtenemos el resultado buscado

= +Ejemplo 5Determine el flujo que se establece en el circuito de la figura considerando una seccin de rea A,un imn permanente con y conocidos, y un ncleo de material ferromagntico suave

e

S

Nb

a

C

SolucinAplicamos la ley de Ampere al circuito C. Por lo tanto obtenemos:

+ + = 0Remplazando en trminos de densidad de campo magntico podemos escribir:

22


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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez + + =Re-arreglando ahora en trminos de flujo magntico tenemos:

+ + =Pero por la ley de Gauss tenemos

= = =Por lo tanto

=

+

+

3.5 Anlisis de Circuitos Magnticos de Flujo Variable en el tiempo

Aqu adems de la ley circuital de Ampere y de la ley de Gauss, se aplica la ley de induccin deFaraday en el caso de circuitos magnticos con flujo variable en el tiempo. Ello pues la energamagntica variable en el tiempo genera un efecto elctrico conocido como inductancia.

3.5.1 Autoinduccin

La ley de Faraday explica el efecto que se produce en una bobina cuando la corriente que circula atravs del conductor enrollado vara. Tomemos por ejemplo la bobina de la figura siguiente:

C

l

A

N vueltas

i

Figura 5

23


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25/47

Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez = 1,71 8 500 0,1 (1,024 3)2

4

= 1,038 Estimamos ahora la inductancia

= 2 =500

2 0,061.000,0 4 7 0,022 = 2,094 La impedancia resultante es entonces

= + = 1,038 +200 2,094 = 418,889,86La corriente que circula entonces por la bobina est dada por

=

=480

418,8

89,86

= 0,115

89,86

Ejemplo 7Calcule la inductancia en la configuracin mostrada en la figura.

N l

i

l

B

e

C

Consideremos los siguientes valores:

N 500l 0,1e 0,002 1.000rea Ncleo 4e-4

Solucin

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez = 2 = 24 +

=

5002

4

0,1

1.000 4 107 4 104 +0,002

4 107 4 104= 52,36

Sin la presencia de la holgura de aire tendramos la siguiente inductancia

= 5002 4 0,11.000 4 107 4 104 = 314,2

3.5.2 Efecto TransformadorUn efecto electromagntico de aplicacin prctica muy importante es el efecto transformador. Esteefecto consiste en que si dos bobinas estn acopladas por un mismo flujo magntico se inducenfuerzas electromotrices (voltaje) mutuamente entre ellas. Es decir las dos bobinas quedan tambinacopladas elctricamente, aunque no haya conexin fsica directa entre ellas. Para entender esteefecto, tomemos a modo de ejemplo la configuracin siguiente. Consta de dos bobinas acopladaspor un mismo circuito magntico.

Figura 6

Podemos representar la configuracin de transformador de la siguiente manera, donde se aprecia queambas bobinas quedan acopladas por el mismo flujo magntico:

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N1

l

i1

l

B

N2

i2

21

C

La reluctancia del circuito magntico es = 4Aplicando la ley circuital de Ampere a la trayectoria C y el principio de superposicin tenemos quecada bobina genera los siguientes flujos magnticos:

1=

11

2 = 22 Entonces el flujo total en el circuito es la suma de las contribuciones de ambas bobinas:

=1 + 2Ahora por ley de Faraday se tiene que en la primera bobina se induce un voltaje dado por:

1=

1 =

1 (

1+

2)

=

1 11+

221 =121 +122 Para la segunda bobina por otra parte se induce el siguiente voltaje,

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez 2 =2 =2 (1+2) =2 11 + 222 =121 +222 De las ecuaciones anteriores se deduce que para un transformador ideal la relacin de voltajes en losterminales queda determinada por la siguiente expresin.

12 = 12 (11)Es decir el voltaje inducido en ambas bobinas est definido por la razn entre el nmero de vueltasde cada bobina.

Ahora si conectamos una fuente de voltaje alterno al primario (bobina 1) y una carga resistiva alsecundario (bobina 2) como se muestra en la figura siguiente se obtienen las siguientes ecuaciones

para los circuitos resultantes:

cos = 121 + 122 0 =

211 + 222 + 2(12)

El sistema de ecuaciones anterior se resuelve asumiendo una solucin de la forma

1 =1 + 1 (13)Donde la corriente 1 que circula por el circuito elctrico de la bobina 1 se descompone en unacorriente de magnetizacin 1 y una corriente de carga 1. De este modo podemos forzar lasiguiente igualdad: cos = 121 Por lo tanto como consecuencia

11 +22 = 0Lo que implica que se da la siguiente relacin de corrientes1 =21 2 (14)

y que la corriente de respuesta por efecto de induccin o magnetizacin es

28


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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez 1 = 11 sinNtese que la corriente 1es la corriente que circula en la bobina 1 cuando el circuito secundario(bobina 2) est con sus terminales abiertos.

Tambin resulta que

121 + 2 = 0luego 21 cos + 2 = 0Se obtiene que

2 =21 cos =211

cosEs decir podemos pensar que en el secundario (bobina 2) se produce un voltaje secundario dado por

2 =21 El sistema de ecuaciones(12) se puede escribir tambin como:

cos

=

11 1+

12 2

0 =21 1 + 22 2 + 2(15)

Es decir 11 = 1212 = 1221

=

2122 = 22

En que

11 = 1 []12 =2 1 []21 =1 2 []22 = 2 [] 29


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Cabe notar que

12 =2111

12=

1

22212 = 21

3.5.2.1Diagrama Fasorial en un Transformador IdealPara visualizar y entender mejor el comportamiento en un transformador ideal, podemos representarla relacin de fase entre las variables en un diagrama fasorial como se muestra a continuacin.

12

i2

i1L

i1m

i1

Ejemplo 8

Un transformador ideal recibe 220 V de entrada a 50 Hz, y debe entregar por el secundario 12 V. a)Si el primario tiene 500 vueltas, cuntas vueltas debe tener el secundario? b) Si el secundario debeentregar 100 W de potencia a una resistencia, Cul es la corriente de carga que circula por elprimario y secundario? Desprecie por ahora las resistencias hmicas propias de las bobinas.

Solucina) 2 = 21 1 = 12220 500 = 27,27

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b) 2 = 2 = 10012 = 8,33Por lo tanto

1 = 12220

8,33 = 0,4545Ejemplo 9Un transformador de cerradura elctrica debe transformar desde 220 Vrms a 12 Vrms. La carga dela cerradura se estima en un cable de 10 m de largo de 1mm2 de seccin y una bobina de 1 mH. Lafrecuencia de alimentacin es 50 Hz, y la resistividad del cobre a 20C es 1,68 8 []. Estimelas dimensiones necesarias considerando que en un transformador se admite 5A por mm2 deseccin.

Solucin

Tenemos que

= = 1,68 8 [] 201 62 = 0,3362 = 120,3362 + (50 2 1 3)2 = 120,4643,08 = 26,0843,08

1 =12

220 2 =12

220 26,0843,08 = 1,42343,0812 = 22012 = 18,3Por recomendacin prctica un conductor no debe sobrepasar 7 [/2], es decir un mximo de 7ampere por mm2 de seccin. Por lo tanto, el rea de la seccin de alambre en el secundario debeser:

2=

26,08[

]

7 [/2]= 3,72

2

Para evitar saturacin

1Es decir que 11 1

31


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Seleccionamos alambre AWG 38, cuya rea estandarizada es1 = 7,85 32. Luego1 7[/2] 7,85 3 = 5,5 2Por lo tanto,

1 =0,1

4 7 5000 5,5 2 = 288 2 = 28818,3

= 16 3.6 Ejemplos Resueltos

Ejemplo 10Obtenga la magnitud del flujo que se establece en el dispositivo de la figura. Considere al ncleoferromagntico de seccin cuadrada, y que las caractersticas del imn (

,

,

)son conocidas.

N

S

e

b l

2l

1 2

C1

C2

SolucinAplicamos ley de Ampere a los circuitos C1 y C2. Obtenemos para C1

+ + ( ) + 1 3 = 0Podemos escribir en funcin de B (densidad de flujo magntico)

+ + ( ) + 1 3 =Ahora en funcin del flujo magntico podemos escribir

2 + 2 + ( )2 + 1 32 =pero podemos considerar tambin que,

32


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= =Luego,

2 + 2 +(

)

2 + 13

2 = (16)Por otra parte para C2 tenemos

+ + ( ) +2 3 = 0Anlogamente obtenemos

2 + 2 +(

)

2 + 23

2 = (17)Aplicando la ley de Gauss

=1 + 2Pero restando ecuaciones(16)-(17) se llega a que

1=

2

1 = 2 De este modo podemos despejar y obtener

= 2 +2 + ( )2 + 322

Ejemplo 11Determine la inductancia en el toroide con ncleo de ferrita de la figura

33


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Rt

Rn

N

vueltas

ii

SolucinAplicamos la ley circuital de Ampere a la circunferencia de radio . Por tanto obtenemos 2 = = 2

=

2

2

Deducimos por inspeccin que la reluctancia es

= 22Dado que la inductancia L est dada por

=2

Entonces

= 222Ejemplo 12Cunto es el flujo magntico que se establece en el ncleo de la bobina con dos enrollamientosindependientes concntricos?

34


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i1

i2

l

D

N1N2

i2 i1

C

SolucinAplicamos ley circuital de Ampere a la trayectoria cerrada C. Obtenemos

=11 + 22Dado que el flujo se concentra en el ncleo podemos escribir entonces

= 11 + 22

2

4

Ejemplo 13Obtenga el flujo magntico que se establece en la configuracin de la figura siguiente:

35


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N l

i

l

B

e

C

NS

lm

bo

Solucin

Aplicamos la ley circuital de Ampere a la trayectoria cerrada C, y podemos escribir:

+ (4 ) + =Tenemos para el imn permanente la siguiente relacin

=Luego

+ (4 ) + = +En trminos del flujo magntico podemos escribir

2 + (4 )2 + 2 = +Pero de acuerdo a la ley de Gauss se tiene

= = =Por lo tanto

36


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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez = + 2 + (4 )2 +2Ejemplo 14Determine el flujo que se establece en el dispositivo de la figura siguiente

NS

l

e

lm

C

bo

l

SolucinAplicamos la ley circuital de Ampere a la trayectoria cerrada C y escribimos lo siguiente:

+(4 2) + 2 = 0Tenemos para el imn permanente la siguiente relacin

=Luego

+ (4 2) + 2 =En trminos del flujo magntico podemos escribir

2 + (4 2)2 + 22 =Pero de acuerdo a la ley de Gauss se tiene

= = =Por lo tanto

37


38/47

Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez = 2 + (4 2)2 + 22Ejemplo 15Para el imn mostrado en la figura determine

a) Estime la densidad de campo magntico en la holgura de aireb)

Estime la energa almacenada en el espacio de aire

N

lm

S

ea

ef

bo

C

Solucin

a) Aplicamos la ley circuital de Ampere a la trayectoria C, y podemos escribir

+

+

= 0

Tenemos para el imn permanente la siguiente relacin

=Luego

38


39/47

Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez + + =En trminos del flujo magntico podemos escribir

2 + 2 + 2 =Pero de acuerdo a la ley de Gauss se tiene

= = =Por lo tanto =

2 +2 +

2

Volviendo atrs entonces

= + +b) La energa almacenada en el espacio de aire est dada por

= 122 = 1

2

2

= 12 ()22Ejemplo 16

Determine las corrientes que circulan en el primario y secundario en circuito de la figura asumiendolas bobinas con resistencia despreciable.

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N1 l

i1

B

N2

i2

2

1

C

V

R2

L

l

a

v 311 cos (300 t)N1 1000N2 50R2 5L 0,01a 0,01l 0,1 1000o

SolucinTenemos por circuito magntico la reluctancia

= 4Luego obtenemos la inductancia de la bobina del primario

11 = 2 = 224 = 1.000 4 107 0,012 1.00024 0,1 = 0,314La corriente de magnetizacin en el primario es

1 = 11 = 311300 0,314 = 3,30190En el secundario tenemos por efecto transformador

2 = 21 1 = 501000 311 = 15,5540


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2 = 22 + = 15,555 +300 0,01 = 2,66730,96En el primario se induce por lo tanto la siguiente corriente

1 = 21 2 = 501000 2,66730,96 = 0,13330,96La corriente total que circula por el primario es

1 =1 + 1 = 3,30190 + 0,13330,96Ejemplo 17Obtenga las corrientes que circulan por el primario y secundario del transformador considerando lasresistencias internas de las bobinas, tal como se muestra en el modelo de la figura:

N1

l

i1

B

N2

i2

2

1

C

V

R1 R2

R

L

l

SolucinAplicamos Ley de Kirchoff de Voltaje y tenemos

cos =11 + 10 =2 + 2(2 + ) + 2

De acuerdo a lo establecido para el flujo magntico en el circuito podemos escribir

41


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cos =11 + 11 1 + 12 2 0 =21 1 + 22 2 + 2(2 + ) + 2 Aplicando directamente fasores podemos escribir

= (1 +11)1 +1220 =211 + 2(2 + ) +(22 + )

Por lo tanto

1 = 1202 + +(22 + )1 +11 1212 2 + +(22 + )

2 = 1 +1112 01 +11 12

12

2 +

+

(

22 +

)

Nota:

1 =1 + 1Por lo tanto

1 = 21 2

1=

1 1

Ejemplo 18Determine la magnitud del flujo que se establece en el circuito magntico de la figura.

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NS

l

bo

b/2

l

lm

i

N

C

ex

Solucin

Aplicamos la ley circuital de Ampere para la trayectoria C. Asumimos una distribucin de flujo deacuerdo a las lneas punteadas. Por lo tanto tenemos

+4 2 2 + 2 +2

2=

Pero =Remplazando y escribiendo en trminos de la densidad de campo magntico tenemos

+ 14 2 2 + 2 + 22 =Escribiendo en trminos del flujo magntico tenemos

+ 11 4 2 2+ 2 + 22 2 = +Pero =1 =2y = 2 2 = ( )

2 + 4 2 22 + 2 2 +

1

2( ) = + 43


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Por lo tanto = +

2

+4 2 2

2+

2 2

+1

2

(

)

Ejemplo 19Se desea obtener una densidad de campo magntico en un electroimn de 1.2 Tesla (equivalente aun imn permanente de NdFeB clase N35) a una distancia de 0,2 mm alejado del ncleo. La bobinadel electroimn posee un largo de 1 cm. y un dimetro interior de 1cm. Se har circular por ella unacorriente de 1 ampere. El ncleo es de acero ferromagntico con = 1000, y se satura a 1.2Tesla. Determine el nmero de vueltas necesarias.

SolucinLa ecuacin que gobierna el flujo en una bobina es

= = + 0 = = Por lo tanto podemos escribir: + 0 =Despejando N obtenemos

= + 0Luego remplazando por valores numricos tenemos = 1,21 0.01

1000 4 107 + 4 107 = 795.774,7(105 + ) De acuerdo a la expresin anterior, para tener 1,2 Tesla a 0,2 mm del electroimn se necesitan

= 191 Luego, para esta bobina podemos obtener el campo magntico a otras distancias.

= + 0 =0 +

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Sistemas ElectromecnicosLuciano Chiang Snchez = 4 107 191 1

0,011000

+ = 2,4 104

105 +

Por otra parte, en el caso de un imn permanente tenemos = 0Se obtiene aplicando ley circuital de Ampere y ley de Gauss:

= + +Luego

= + + Tenemos que para un imn N35: = 12000 = 955.200,0 = 12000 = 1,2 Por lo tanto = 955.200,0 0,01

955.200,0

0,01

1,2

+

4 107 = 9.552,07.960,0 + 795.775,7 Podemos generar el siguiente grfico comparativo, donde se aprecia que el decaimiento del campomagntico en el caso del electroimn es extremadamente abrupto, mientras que en el imnpermanente el decaimiento es mucho ms suave. Por lo tanto el imn permanente tiene mayorefecto a la misma distancia, lo cual se constata en la prctica.

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Ejemplo 20Encuentre expresiones para determinar la magnitud de los flujos magnticos que se establecen en elsiguiente circuito magntico. Asuma que la reluctancia est dominada por las holguras de aire y lapropia del imn.

b

b/2

b/2

b NS

i

b

b

l_m, Hc, Br

_

_1

_2

N

Aplicando ley de Ampere al circuito que a la holgura 1 tenemos

+ 1 =Aplicando la ley de Ampere al circuito que incluye al brazo 2 tenemos

+ 2 2

+ 2 2

=

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006

B[

Tesla]

Distancia [m]

Comparacin Campos Magnticos Imn vs Bobina

B electroiman B iman permanente

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Para el imn tenemos

=Adems considerando que = Entonces podemos escribir

+ 11 = + + 22 = +

Ya que

1 =2 = =De las ecuaciones anteriores llegamos a que 1 =2Por otro lado por Ley de Gauss tenemos que =1 + 2Remplazando en las ecuaciones circuitales de flujo obtenemos

=2(

+

)

2 +1 =2 = ( + )2 +

Date post:	27-Feb-2018
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04_03_CircuitosMagnéticos

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