Rivera Figueroa, Antonio. Clculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas histricas. Mxico: Larousse - Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 27 April 2015.Copyright 2014. Larousse - Grupo Editorial Patria. All rights reserved.
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Rivera Figueroa, Antonio. Clculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas histricas. Mxico: Larousse - Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 27 April 2015.Copyright 2014. Larousse - Grupo Editorial Patria. All rights reserved.
Rivera Figueroa, Antonio. Clculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas histricas. Mxico: Larousse - Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 27 April 2015.Copyright 2014. Larousse - Grupo Editorial Patria. All rights reserved.
As que en cada libre, partiendo desde el reposo, la velocidad instantnea en el instante to es v(to)=9.8 to
Guerrero Torres, Gustavo. Clculo Diferencial: Serie Universitaria Patria. Mxico: Larousse - Grupo Editorial Patria, 2014. ProQuest ebrary. Web. 22 April 2015.Copyright 2014. Larousse - Grupo Editorial Patria. All rights reserved.
Entonces , de aqu surge el concepto de recta tangente, el cual est ntimamente relacionado con el concepto de derivada. De esta forma, la derivada de una funcin nos proporciona la pendiente de la recta tangente en un punto especfico. El lmite
0
( ) ( )limh
f x h f xh
+ representa la derivada mediante los cuatro pasos, los cuales son: 1. Se evala la funcin en el punto ( )f x h+ . 2. Al resultado obtenido se resta la funcin original, es decir hacemos: ( ) ( )f x h f x+ . 3. Nuevamente, el ltimo resultado se divide entre h: ( ) ( )f x h f x
h+ . 4. Se aplica el lmite cuando 0h PROBLEMA RESUELTO Calcular la derivada por los cuatro pasos de la funcin ( ) 8 3f x x= 1. Se sustituye ( )x h+ en cada una de las x de la funcin a derivar:
( ) 8( ) 3 8 8 3f x h x h x h+ = + = + 2. Se resta la funcin original y se suman los trminos semejantes: ( ) ( ) 8 8 3 (8 3)8 8 3 8 3)8
f x h f x x h xx h xh
+ = + = + +=
3. Se divide entre h y se realiza la simplificacin:
8 8hh
= 4. Se aplica el lmite: 0 0
( ) ( )lim lim(8) 8h h
f x h f xh
+ = =
Por lo tanto, la derivada aplicando la definicin (mtodo de los cuatro pasos) de ( ) 8 3f x x= es 8. Para el siguiente problema, se incrementa el grado de la funcin lineal a funcin cuadrtica; no obstante, el proceso para solucionarlo sigue siendo el mismo. PROBLEMA RESUELTO Previo: 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + + Calcular la derivada por los cuatro pasos de la funcin 2( ) 3 6 4f x x x= + 1. Se sustituye ( )x h+ en cada una de las x de la funcin a derivar: 2( ) 3( ) 6( ) 4f x h x h x h+ = + + +
Desarrollando el binomio al cuadrado 2
2 2
2 2
3( ) 6( ) 4
3( 2 ) 6( ) 4
3 6 3 6 6 4
x h x hx xh h x h
x xh h x h
= + + +
= + + + +
= + + +
No existen trminos semejantes, por tanto continuamos con el siguiente paso. 2. Se resta la funcin original y se suman los trminos semejantes:
2 2 2
2 2 2
2
( ) ( ) 3 6 3 6 6 4 3 6 4
3 6 3 6 6 4 3 6 4
6 3 6
f x h f x x xh h x h x x
x xh h x h x xxh h h
+ == + + + + = + + + +
= +
Obteniendo el factor comn:
26 3 6 (6 3 6)xh h h h x h+ = + 3. Se divide entre h y se realiza la simplificacin: (6 3 6) 6 3 6h x h x h
h+
= + 4. Se aplica el lmite: 0 0
( ) ( )lim lim(6 3 6) 6 6h h
f x h f x x h xh
+ = + =
Por lo tanto, la derivada aplicando el mtodo de los cuatro pasos (la definicin de derivada) de 2( ) 3 6 4f x x x= + es 6 6x . PROBLEMA RESUELTO Previo: 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + + Calcular la derivada, aplicando la definicin, de la funcin 3 2( ) 7 5 2 3f x x x x= + 1. Sustituyendo ( )x h+ para cada x de la funcin a derivar:
3 2( ) 7( ) 5( ) 2( ) 3f x h x h x h x h+ = + + + + 3 2 2 3 2 27( 3 3 ) 5( 2 ) 2 2 3x x h xh h x xh h x h= + + + + + + +
3 2 2 3 2 27 21 21 7 5 10 5 2 2 3x x h xh h x xh h x h= + + + + + 2. Se resta la funcin original y se suman los trminos semejantes: 3 2 2 3 2 2
3 2
( ) 7 21 21 7 5 10 5 2 2 3
( ) 7 5 2 3
f x h x x h xh h x xh h x hf x x x x+ = + + + + +
= + + 2 2 3 221 21 7 10 5 2x h xh h xh h h= + + + Extrayendo factor comn:
2 2( ) ( ) (21 21 7 10 5 2)f x h f x h x xh h x h+ = + + +
3. Se divide entre h y se realiza la simplificacin: 2 2
2 2
( ) ( ) (21 21 7 10 5 2)
21 21 7 10 5 2
f x h f x h x xh h x hh h
x xh h x h
+ + + +=
= + + +
4. Se aplica el lmite:
2 2
0 0
2
( ) ( )lim lim(21 21 7 10 5 2)
21 10 2h h
f x h f x x xh h x hh
x x
+ = + + +
= +
Por lo tanto, la derivada aplicando la definicin (mtodo de los cuatro pasos) de la funcin
3 2( ) 7 5 2 3f x x x x= + es 221 10 2x x + . Al analizar los resultados de los tres problemas anteriores se obtiene la siguiente tabla: f(t)
0
( ) ( )limh
f x h f xh
+ 1 08 3 8 3x x x = 8 1 1 0 18(1) 3(0) 8x =
2 2 1 03 6 4 3 6 4x x x x x + = + 6 6x 2 1 1 1 0 13(2) 6(1) 4(0)6 6
x x xx
+=
3 2
3 2 1 0
7 5 2 3
7 5 2 3
x x xx x x x +
= + 221 10 2x x + 2 2 1 1 1 0 127(3) 5(2) 2(1) 3(0)21 10 2x x x xx x + = + A partir de los tres ejemplos Cul es la regla para obtener las derivadas? .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Una manera ms simple de escribir el limite 0
( ) ( )limh
f x h f xh
+ es con la simbologa ( )d f xdx
que se lee: derivada de f(x) con respecto a x. 0
( ) ( )( ) limh
d f x h f xf xdx h
+ =
De los lmites desarrollados en trminos de un monomio, tenemos: 1n nd mx mnx
dx=
![Documento de Ayuda para GeoGebra - Torre Almirantematematicas.torrealmirante.net/PROGRAMAS... · Derivada[f] Derivada[f, 2] 2.8 Integrales En relación con integrales, GeoGebra ofrece](https://static.documents.pub/doc/80x56/5e89e05748f3f401015401d0/documento-de-ayuda-para-geogebra-torre-derivadaf-derivadaf-2-28-integrales.jpg)
