（付録）「フレネル・フラウンホーファー回折 」
1. 近軸近似2. フレネル回折3. フラウンホーファー回折4. 絵解き解説：回折5. 比較：回折条件6. レンズ付きフレネル回折
暫定版修正・加筆の可能性あり
付録（９０１～９０４）のアプローチ：回折（diffraction）までの道標
1. 球面波（spherical wave）のみ対象：スカラー表示2. 虚数単位「ｉ」を使用する。3. お詫び：自己流かつ説明が飛躍する場面があります。
• キルヒホッフの回折公式：Kirchhoff's diffraction formula• 近軸近似：paraxial approximation • フレネル回折： Fresnel diffraction• フラウンホーファー回折：Fraunhofer diffraction
９０３－1
９０３－2
参照：902
補足：教科書でお馴染みの表現へ（１）
書き換え：キルヒホッフの回折公式
一例：正符号採用、関数Ψ修正
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
1 1
1 2
1 1
1 1 01 1
01 2
1 2
1 21 2
14
' cos cos ,4
'cos , cos
i ks t i ks t
ik s si t
z z z zslit
e es ss s
ik e edS dS dxdys s
s s
ν ν
ν
ψ ψ ψπ
ψψ δ δπ
δ δ
− −
+−
= =
= → =
= − =
−= =
∫r
n r rn r
注意：実在する点光源（原点）の大きさ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
1 1
11
22
1 2
11
'2
2
' cos cos , ' ,
14
1, '4
z z z zslit
i ks ts
ikss
ik dS G dS dxdy
ess
eG G ss
ν
ψ δ δ ψ
ψ ψπ
π
= =
± −=
±= −
= − =
→ =
→ =
∫r
r r
r r r r
r
r r
近軸近似（１）
角度に関する近軸近似： paraxial approximation
( )1 1 1 1, ,x y z=r
( )2 2 2 2 1, ,x y z z= >r
( )0,0,0
( )0,0, 1= −n
2 1−r r1s
2s
点光源
観測点
V空
1 2
1 2
1 1 1 1
2 2 1 12 2 1 2 1
, 0
cos cos 2
,,
s z x ys z z z x x y y
δ π δ
δ δ− −
− ≡ − −
1r
2δ
1δ
近軸近似： paraxial approximation光軸の近くを通る光線（近軸光線）を扱う。
キルヒホッフの回折公式（近軸近似）
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )1 12 1 2 1 1 2
1 1 1 2 1 1 1
cos cos , ,
2 , ,
r r r r
r r r
z z z zslit
slit
ik dS G dS dxdy
ik dS G dS dx dy
ψ δ δ ψ
ψ
= = = − =
− =
∫∫
1z z=
スリット
９０３－3
12z
変更：ベクトル表記
2z z=2 2 2sin tanδ δ δ
９０３－4
( )1 1 1 1, ,x y z=r
( )2 2 2 2 1, ,x y z z= >r
( )0,0,0
( )0,0, 1= −n
2 1−r r1s
2s
点光源
観測点
V空1r
2δ
1δ
スリット
12z
変更：ベクトル表記
近軸近似（２）
キルヒホッフの回折公式：近軸近似
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1
2 ,
, ,slit
ik dx dy G
z z x y z
ψ ψ
ψ ψ
−
= → =
∫r r r r
r
点光源（原点）：発散球面波が開口面上で示す波動関数発散球面波：正符号採用
スリット位置
( )( )
( )1 1
1
2 2 21 1 1 1 1 1 2
1 1
1 1,4 4
i ks t iks
z ze es x y z x y
s s
ν
ψ ψπ π
−
== = = + + → =r r
時間項省略
1 2cos cos 2δ δ− −
1z z= 2z z=
９０３－5
近軸近似（３）
( )1 1 1 1, ,x y z=r
( )2 2 2 2 1, ,x y z z= >r
2 1−r r
2s
観測点
V空
スリット
12z
変更：ベクトル表記スリット入射側：平面波（無限遠方の点光源による波）
( )0,0,01s
1r
原点
注意：必ずしも原点に点光源を置く必要はない。原点位置を自由に設定できる。
キルヒホッフの回折公式：近軸近似
( ) ( ) ( )
1 1 1 1
2 12 2 1 2 1
1 2
2 1 1 1 1 2
,,
cos cos 2
2 ,slit
s z x ys z x x y y
ik dx dy G
δ δ
ψ ψ
− −− −
− ∫r r r r
平面波（ｚ軸）
正方向（ｚ軸）に進む平面波が開口面上で示す波動関数
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1 1
1, ,
0{i kz t ikzu e u e u u x yνψ ψ−= → → = =r r
単純な円開口
１
０
スリット位置微調整時間項省略
1z z= 2z z=
2δ
1δ
( )0,0, 1= −n
近軸近似（４）
キルヒホッフの回折公式（近軸近似）：平面波入射の場合
( ) ( ) ( )
( )1 2
2 1 1 1 1 2
1 21 2
2 ,
1,4
slit
ik
ik dx dy G
eG
ψ ψ
π
−
= −
=−
∫r r
r r r r
r rr r
開口面上の波動関数：入力側波動関数瞳関数（ pupil’s function ）の導入別名：開口関数（ aperture function ）
( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 1 1
1,
0{i kz tu e u x yνψ ψ−= → = =r r
複雑なスリット形状でも対応可（複素数も可：説明省略）
複雑なスリット形状時間項省略＆スリット位置調整
何が言いたいのかな：入力側波動関数（瞳関数）• 瞳関数は開口面上での振幅分布（強度・位相）を示し、複素振幅扱いが一般的である。波動関数分布• 複雑なスリット形状、例えば、場所により異なる透過率（強度）、異なる屈折率（位相）を持つスリットも表現可能である。
９０３－6
開口面上の波動関数観測者位置波動関数
観測点開口面：スリット設置
( )1ψ r
( )2ψ r
2 1−r r
波動関数分布
以後、観測点ではなく観測面で扱う
12z1z z= 2z z=
グリーン関数：観測者（面）と開口面の橋渡し
入力側波動関数
出力側波動関数
近軸近似（５）
入力側波動関数分布（瞳関数）：開口面
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1, , ,x y z u x yψ ψ→ =r ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22 1 2
1 2 22
2 2 22 2 1 2 1 12
2 2 1 2 1 12
1,4
, ,
ikss eG G s
s
s x x y y z
G s G x x y y z
π= −→ =
= − + − +
= − −
r rr r
( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 22 ,slit
ik dx dy Gψ ψ= − ∫r r r r
グリーン関数：正符号採用
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 2
, 2 ,
, , , ,all
all
u x y ik dx dy u x y G s
dx dy u x y G x x y y z u G x y
= −
→ − − ≡ ∗
∫∫
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2, , ,x y z u x yψ ψ→ =r
出力側波動関数分布：観測面
重要：キルヒホッフの回折公式（近軸近似）• 出力側波動関数分布は入力側波動関数分布とグリーン関数の畳み込み積分にほかならない• 積分領域は見かけ上、全領域「all」に拡張されるが、結局、開口領域に制限される。• 位置変数ｚは積分対象外
形式的な表現畳み込み積分：convolution
2 1u u G= ∗
９０３－7
下付添字：開口面
下付添字：観測面
添字「all」：全領域
キルヒホッフの回折公式但し、近軸近似添字「slit」：開口領域
注意：定数項を無視
重要：キルヒホッフの回折公式（近軸近似）は観測面での波動関数（出力側波動関数分布）を与える。
入力側波動関数分布とグリーン関数の畳み込み積分 近軸近似
グリーン関数：正確に言うと、開口面内と観測面内の点と点との橋渡し畳み込み積分：正確に言うと、開口面と観測面の面と面との橋渡し（以後、両者を区別しません）
近軸近似（６）
お詫び：空間分布を色に例えたが、実際に色（波長）は変化しない。
12z
ｚ軸
畳み込み積分
観測面開口面
2z z=1z z=
1 2u G u∗ =
( ) ( )( )2 2 2 1 2 2 1 1 1 12 2 1 2 1, , , , ,u x y u G x y z x y z x x y y= ∗ ← − −
９０３－8
( )1 1 1,u x y
( )2 2 2,u x y
入力側 出力側( )0,0,0原点：任意位置
スリット スクリーン
グリーン関数：橋渡し
( ) ( )1 2 2,G G s=r r
2 1 2s = −r r1r
2r
９０３－9
まとめ：小休止
キルヒホッフの積分定理： Kirchhoff's integral theorem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 22 1 2 1
,,
GdS G
n nψ
ψ ψ ∂ ∂
= − ∂ ∂ ∫
r r rr r r r
1 S∈r2 V∈r
波動関数の大きさのみで近似したキルヒホッフの積分定理
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1cos cos ,ik dS Gψ δ δ ψ = − ∫r r r r
キルヒホッフの回折公式（近軸近似） ：Kirchhoff‘s diffraction formula →∞R
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
12 1 2 1 1 2
1 1 1 2
cos cos ,
2 ,
z z
slit
ik dS G
ik dS G
ψ δ δ ψ
ψ
= = −
−
∫∫
r r r r
r r r
1z zdS =∫
2 1−r r
畳み込み積分（定数項省略）：開口面と観測面の面と面との橋渡し
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )2 2 2 1 1 1 1 1 2
1 1 1 1 1 2 1 2 1 12 1 2 2
, 2 ,
, , , ,all
all
u x y ik dx dy u x y G s
dx dy u x y G x x y y z u G x y
= −
→ − − ≡ ∗
∫∫
開口面 観測面
( )2 2 2,u x y
( )1 1 1,u x y
フレネル回折（１）
グリーン関数の簡略化
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2 1 2 2 1 2 1 12 12
2
2 22 1 2 1
2 12 212
22 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1
12 2 212 12
1 ,4
1
1 112 8
ikseG s s x x y y z zs
x x y yks kz
z
x x y y x x y ykz
z z
π= = − = − + − +
− + −= +
− + − − + −= + − +
r r
フレネル近似：第三項以降を無視
９０３－10
フレネル回折条件
( ) ( ) ( ) ( )22 2 22 2
2 1 2 12 1 2 1 312122
12
28 8
x x y yx x y ykz zz
πλ
− + − − + − →
近軸近似
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 212 2 1 2 1
12
12
2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2
222 2 2 1 1 1 1 1
12
2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 1 2 112
, 2 , ,
, ,
, , , ,
all
ikikz x x y yzk
all
ikz
all
u x y ik dx dy u x y G s u G x y
eu x y dx dy u x y ei z
eu x y dx dy u x y h x x y yi z
π λ
λ
Λ Λλ
− + − =
= − ∝ ∗
→ =
= − − ≡
∫
∫
∫
９０３－11
フレネル回折（２）
グリーン関数の近似式
( )( ) ( )2 2
2 2 12 2 1 2 11222
22 12 12
12 24 2
ikiks iks ikz x x y yzke k e eikG s ik e
s i z i zπ λ
π π λ
− + − =− − →
フレネル回折（Fresnel diffraction）：教科書でお馴染みの表現（青枠）
( ) ( )( ) ( )( )2 2
1222 2 2 1 12 2 2 12 12, * , , , , 1
ik x yzu x y u h x y h x y e hΛ
+
= = =
近軸近似キルヒホッフの回折公式参照：903-９
フレネル近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式入力側波動関数分布とフレネル核の畳み込み積分 フレネル核：Fresnel kernel 注意：絶対値は１
注意：下付添字
グリーン関数：開口面（入力側波動関数分布）と観測面（出力側波動関数分布）の橋渡し
９０３－12
フレネル回折（３）
フレネル近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式（単にフレネル回折と呼ぶ。）内容：出力側波動関数分布は入力側波動関数分布とフレネル核の畳み込み積分に相当
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )2 2
2 1 2 112 12
2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 1 2 1
212 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1 12
, , ,
, , , , ,
allik ikx x y y x yz z
all
u x y dx dy u x y h x x y y
h x y dx dy u x y h x y e h x y e
Λ
Λ− + +
= − −
= =
∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2 1 2 122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1
2 12 1 12
, , , , i x y
allu h dx dy u x y h x y e
u h F u h
π ξ ζξ ζ Λ ξ ζ
= Λ
− + =
⇔
∫
重要：フレネル回折は入力側波動関数分布とフレネル核の積に対するフーリエ積分を含む。
2 2 12 2 2 122 , ,k x z y zπ λ ξ λ ζ λ= = =xi：クサイ、クシー
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 22 2 2 2
12
2 22 22 12 2 12 2 212
12
12
212 2 2
212 2 2
,
,
ik ix y x yz
ik z z zi
z
z
h x y e e
e e h
λ
λ
π
ξ λ ζ λ π ξ ζ ξ ζ
+ +
+ +
= =
= = =
フレネル核：変数変換
注意：変数変換
赤字部分が分母から分子へ移動
12 121 z zλ λ→
略記：フーリエ積分
注意：変数変換
zeta：ゼータ
９０３－13
フラウンホーファー回折（１）
グリーン関数の近似式：フレネル回折条件を満足しつつ更に以下の条件を加味
( ) ( )( )
( ) ( )
2 21 1
12
2 222 21 1
12 1 1 12 1 1212 12
2 21 1
12
22 22 1 2 1 3
12
2 0 , 12 2
22
8
ik x yzx y kkz x y h x y e
z zx yk z
x x y yz
π
πλ λ
λ
++→ + → =
+= →
− + −
( ) ( ) ( )22 2
2 1 2 12 2 12 2
2 12
2 2 2 22 2 2 1 2 1 1 1
12 2 2 212 12 12
1 11 ...4 2
12 2
iks x x y yeG s ks kzs z
x y x x y y x ykzz z z
π
− + −= → + +
+ + ++ − +
2 22 2 2 1 2 1
12 2 212 12
12
x y x x y yk zz z
+ ++ −
下線部：フラウンホーファー近似
参考：フレネル回折条件
重要：フレネル核を１で近似可
1 1 2 2, ,x y x y
９０３－14
フラウンホーファー回折（２）
フラウンホーファー回折（Fraunhofer diffraction）：入力側波動関数分布のフーリエ積分を含む。フレネル近似を満足しつつ、更にフラウンホーファー近似も満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式
( ) ( ) ( )( )2 1 2 1
122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1, , ,
ik x x y yz
allu x y h x y dx dy u x y eΛ
− +
= ∫
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 212
2 1 2 1
1212212 2 2 12 2 2
22 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 2 12 1
, ,
, , ,
ik ix y x y iz
i
z
a
z
x y
ll
h x y e e e h
u h dx dy u x y e u h F u
ππ ξ ζ
ζ
λ
ξ
λ
π
ξ ζ
ξ ζ Λ ξ ζ Λ
+ + +
− +
= = = =
= ⇔ =∫重要：フラウンホーファー回折は入力側波動関数分布のフーリエ積分を含む。
注意：変数変換
略記：フーリエ積分
フレネル回折（参照903-12）：入力側波動関数分布とフレネル核の積に対するフーリエ積分を含む。フレネル近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式
( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1
122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1, , , ,
ik x x y yz
allu x y h x y dx dy u x y h x y eΛ
− +
= ∫
( )12 1 1, 1h x y
2 2 12 2 2 122 , ,k x z y zπ λ ξ λ ζ λ= = =xi：クサイ、クシー zeta：ゼータ
９０３－15
フラウンホーファー回折条件：フレネル回折条件を満足しつつ更に以下の条件を加味
開口領域
• 教科書でお馴染みの条件（赤枠）：スリット面の開口円直径に対して観測面が非常に遠くにあればよい。• 別解釈（青枠）：回折光拡がりが顕著となり開口円に対してビームサイズが非常に大きくなる。
絵解き解説：回折（１）
フラウンホーファー回折条件：Fraunhofer diffraction簡単のため：円開口による光波の回折を考える。
12z
( )1 1 1,u x y
フーリエ積分
入力側
観測面円開口：直径
2z z=1z z=
出力側
( )2 2 2,u x y
スリット スクリーン
ｚ軸
D
( ) ( )2 2 21 1
2 2 22 max1 1
12 1 1 2 212
1 & , ,2
D x yx y Dz x y x yzλ λ
++→
[ ]12 1 2h F u uΛ =
９０３－16
• フラウンホーファー回折は観測面での波動関数（出力側波動関数）が入力側波動関数のフーリエ積分を含む。• 観測面での波動関数（絶対値）は入力側波動関数のフーリエ積分（絶対値）に対応する。
絵解き解説：回折（２）
12z
( )1 1 1,u x y
フーリエ積分
入力側
観測面開口面
2z z=1z z=
出力側
[ ]12 1 2h F u uΛ =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1
12 2 2 2 1 2 1
22 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1
, 1 22 2 2 1 1 1 1 1
, , ,
, ,
i x y
all
h i x y
all
u h dx dy u x y e
u dx dy u x y e
π ξ ζ
ξ ζ π ξ ζ
ξ ζ Λ ξ ζ
ξ ζ Λ
− +
= − +
=
→ =
∫∫
( )2 2 2,u x y
スリット スクリーン
ｚ軸
2 2 12 2 2 12,x z y zξ λ ζ λ= =フラウンホーファー回折条件：Fraunhofer diffraction簡単のため：円開口による光波の回折を考える。
９０３－17
一例：フレネル回折条件は満足されるが、フラウンホーファー回折条件が満足されない場合
フラウンホーファー回折条件 フレネル回折条件 回折光拡がりが顕著とならず開口径とビーム径（観測面）が同程度とみなせる比較的、観測面が至近距離にある場合
絵解き解説：回折（３）
フレネル回折条件：Fresnel diffractionスリット面の開口円直径に対して必ずしも観測面が非常に遠くにあるとは言えない状況
12z
( )1 1 1,u x y
瞳関数
観測面円開口：直径
2z z=1z z=
波動関数
( )2 2 2,u x y
スリット
ｚ軸 D
1 2
1 2
x xy y
( ) ( )22 2
2 1 2 1 1 2312
1 2
1,
18
x x y y x xz
y yλ
− + − ⇔
スクリーン
９０３－18
比較：フラウンホーファー回折条件とフレネル回折条件
• フレネル回折条件（青枠）を少し緩くすると（ｋの大きさについては特に定めないが、あまり大きくない値）
• フラウンホーファー回折条件（赤枠）
やや
• フレネル回折は近場、フラウンホーファー回折は遠方で適用すべし！• 遠方でフレネル回折を使用しても構わないが、計算が面倒になるかも！
絵解き解説：回折（４）
2
12 12
1 1D D Dz zλ λ
→
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 2 21 1
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1
22 2 22 2 22 1 2 1 1 13
12
2 32 2 2 2 42 max1 1 3 2
12 312 12
, ,
8 8
1 18
D x y
x x y y x x kx y y kx
x x y y k x yz
k x y k D D Dz kz z
λ λ
λ λ λ+
→ − −
− + − + →
+ → →
三乗：フレネル回折
一乗：フラウンホーファー回折
遠方
近傍
フレネル回折
フラウンホーファー回折
近軸近似キルヒホッフの回折公式
９０３－19
絵解き解説：回折（５）
再掲：フレネル回折条件は満足されるが、フラウンホーファー回折条件が満足されない状況
ガウスビーム（Gaussian beam）詳細説明省略：参考文献末田正「光エレクトロニクス」p.80、昭晃堂
• スポットサイズ（spot size ）
最小スポットサイズ
• フレネル回折条件（別表記）：回折光拡がり小さい領域をレーリー長（Rayleigh length or Rayleigh range）で与える。
フレネル（近場） フラウンホーファー（遠方）
0
2 2 2 220 0
1212 12
1 1w DR
w w D Dz zz z
π πλ λ λ λ
= → ≤ → ≥
Rz
02w 02 2w( )
2
0 1R
zw z wz
= +
ｚ軸
0z =
1 2
1 2
x xy y
( ) ( )22 2
2 1 2 1 1 2312
1 2
1,
18
x x y y x xz
y yλ
− + − ⇔
９０３－20
比較：回折条件（１）
フレネル回折（Fresnel diffraction）• フレネル近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式• 入力側波動関数分布とフレネル核の畳み込み積分• 入力側波動関数分布とフレネル核の積に対するフーリエ積分を含む
( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 1 1 1 12 2 1 2 1, , ,all
u x y dx dy u x y h x x y yΛ= − −∫
フラウンホーファー回折（Fraunhofer diffraction）• フレネル・フラウンホーファー近似を満足する近軸近似キルヒホッフの回折公式• 入力側波動関数分布のフーリエ積分を含む• 絶対値で考えるなら入力側波動関数分布のフーリエ積分
[ ] [ ]2 12 1 2 1 12, 1u h F u u F u hΛ Λ= → = =
12212 121, ikzD z e i zλ Λ λ≥ ≡
( )212 12 1 11, , 1D z h x yλ
( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1
122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1, , , ,
ik x x y yz
allu x y h x y dx dy u x y h x y eΛ
− +
= ∫
略記：フーリエ積分
( ) ( ) ( )( )2 1 2 1
122 2 2 12 2 2 1 1 1 1 1, , ,
ik x x y yz
allu x y h x y dx dy u x y eΛ
− +
= ∫
略記：フーリエ積分
略記：畳み込み積分 ( )( )
[ ]
2 2
1222 1 12 12
2 12 1 12
* ,ik x yzu u h h x y e
u h F u h
Λ
Λ
+
= =
=
９０３－21
比較：回折条件（２）
円開口による光波の回折
フラウンホーファー近似：フーリエ積分
入力側
円開口：直径
1z z=
回折拡がり
スリット
ｚ軸
フレネル領域：畳み込み積分及びフーリエ積分表記も可
2z z=
2z z=
( )1 1 1,u x y
[ ]1 12
12 1 12
*u hh F u h
Λ
Λ
212 1D zλ ≥
( )2 2 2,u x y
12z
212 1D zλ
[ ]12 1 12 1h F u hΛ
12z
( )1 1 1,u x y ( )2 2 2,u x y
お詫び：大雑把なイメージ直近：近似不可
D
フレネル近似
大雑把なイメージ：凸レンズを介した回折光は拡がらず集光、焦点面通過後、拡がります。
波動関数分布 レンズ入射直前 レンズ通過直後 焦点面（観測面）
スクリーンは凸レンズの焦点面に設置： フレネル回折条件：
９０３－22
レンズ付きフレネル回折（１）
状況：円開口に凸レンズを設置して観測面（焦点面）で集光
12z
焦点面観測面円開口：直径
2z z=1z z=
波動関数
( )2 2 2,u x y
スリット
ｚ軸 D
スクリーン
( )1 1 1,u x y
( ) ( ) ( )0 1 1 1 1 1 2 2 2, , , , ,u x y u x y u x y
12z f= 212 1D zλ ≥
注意：理想的な凸レンズ• 無収差、無損失、薄いが無限に大きい• 凸レンズの円開口部以外は不要なので消去している。
( )0 1 1,u x y
入射
光：
平行
ビー
ム
９０３－23
レンズ付きフレネル回折（２）
前頁と異なる角度で描写
円開口：直径
回折拡がりスリット
ｚ軸
入射光：平行ビーム
D 注意：理想的な凸レンズ• 無収差、無損失、薄いが
無限に大きい• 凸レンズの円開口部以外
は不要なので前頁では消去している。
12z f=
波動関数
• レンズ入射直前（瞳関数）
• レンズ通過直後（次頁）
( ) ( )1 1 1 0 1 1 10, lim , ,u x y u x y z
εε
→= +
1z z= 2z z=
( )2 2 2,u x y←
( )1 1 1,u x y←( )0 1 1,u x y →
( ) ( )0 1 1 0 1 1 10, lim , ,u x y u x y z
εε
→= −
注意：スリットの役割
瞳関数 に開口情報を反映させることで見かけ上、
スリットを消去できる。
( )0 1 1,u x y
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1
2 1 12 12 1 12
212 2 2 1 1 1 1 1 12 1 1
*12 2 2 1 1 0 1 1 12 1 1 12 1 1
*
, , ,
, , , ,
i x y
all
all
u u h h F u h
h x y dx dy u x y h x y e
h dx dy u x y h x y h x y
π ξ ζ
Λ Λ
Λ
Λ ξ ζ
− +
= = ⇔
=
=
∫∫ ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
2 1 2 1
2 1 2 1
2
212 2 2 1 1 0 1 1
12 0
, ,
i x y
i x y
all
e
h dx dy u x y e
h F u
π ξ ζ
π ξ ζΛ ξ ζ
Λ
− +
− +
=
= ⇔
∫
９０３－24
レンズ付きフレネル回折（３）
次頁参照 ( ) ( )( )
( ) ( )2 21 1
12 *21 1 1 0 1 1 0 1 1 12 1 1, , , ,
ik x yf zfu x y u x y e u x y h x y
− +== →
理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい
是非、暗記しましょう• レンズ通過直後の波動関数u1に対するフレネル回折とレンズ入
射直前の波動関数u0に対するフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価
• レンズ付きフレネル回折とレンズ無しフラウンホーファー回折は焦点面で数式表現上、一致、等価（別表現）
レンズ付きフレネル回折：入力側（レンズ通過直後）ｕ1
フラウンホーファー回折：入力側（レンズ入射直前）ｕ0
凸レンズの役割：フレネル核の複素共役
フレネル核参照903-11
光学的フーリエ変換：同一焦点のレンズを利用すればフレネル核も相殺可実は一枚でよい：光学的フーリエ積分（904）
12z f=
0u [ ]0F uΛ
[ ] [ ]*2 12 0 12 2 0u h F u h u F uΛ Λ= → =
*12h
レンズ：フレネル核相殺用
1u 2u
( )( )2 2
12212 ,
ik x yzh x y e
+
=
９０３－25
参照：901-26
レンズ（２）：波動光学的な取扱い
( )
( )
i kr t
i kz t
ez fr
z f e
ν
ν
−+
−+
≤ → ∝
> → ∝
レンズ入射側 レンズ出射側 下線部：レンズ効果
ｆ：焦点距離
凸レンズ：レンズ通過で位相シフト（添え字：「ｌ」）
z f=
z f<
0z =
z f>
球面発散波
平面進行波
ｚ軸
理想的な凸レンズ：無収差、無損失、薄いが無限に大きい
球面波：位相のみ 平面波：位相のみ
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
2 2
2 2 2
11 12 2
x y x y x yik f ik f ikf fikr ikz ikff
x y x y x yz f r x y f f f ff f f
e e e e e e + + ++ + − + +
+ + +
+ + += → = + + = + + = +
→ → × → =
凸レンズの機能：波動光学的に考えるなら球面波（点光源）を平面波に変換
( ) ( ) ( )2 21 1
2 22 2 2, ,
2 2l l
ik x yi i f
lx y ke x y k x y e e
f fθ θθ
− ++= − = − + → =
注意：正符号（青色）採用近軸近似：Paraxial approximation
