1フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換

２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

2フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換

２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

3

ベクトルの直交性

[ ] [ ]

[ ]

と書ける．

　　

の内積はとは転置を意味する．

とする．ここで

まず，２次元の場合．

22112

121

2121

),(

)(

,

bababb

aa

bbaa

t

t

tt

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

⋅

==

baba

ba

ba

( )と同値である．

が直交であるとは，と

0, 2211 =+== babatbaba

ba

[ ] [ ]

と同値である．

　　

が直交であるとは，に対して

　　

して，３次元の場合も同様に

0),(

,

332211

321321

=++==

==

bababa

bbbaaa

t

tt

bababa

ba

のことである．

　　

が直交とはル一般に，ｎ次元ベクト

0),(1

=== ∑=

n

iii

t bababa

ba,

a

b

○

4

関数の直交性

と書ける．

　　　　

直交なら

は積分となり，していけば上式の総和

無限に細かく　サンプリング間隔を

である．

しているなら，２つのベクトルが直交

に表す．ベクトルで以下のよう

グして，十分細かくサンプリン

を，といま，連続関数

∫ =

=

=

=

0)()(

0

)(

)(

)()(

21

21

dxxgxf

ggg

fff

xgxf

t

tn

tn

gf

g

f

L

Lx

)(xf

x

)(xg

対応する値どうしを掛けて足す

○

5

正規直交基底

大きさが１で， 互いに直交するベクトルの集合を正規直交基底とよぶ．正規性(nomality) 直交性(orthogonality)

( )⎩⎨⎧

≠=

===jiji

ijjtiji

L

L

0 1

, δuuuu

1x

2x

1e

2e1u2u

1x

2x1u

2u

任意に回転した直交ベクトルはすべて正規直交基底．

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

212

12

111 , u

uuu

uu

２つの基底ベクトルを

としたとき，

タ．はクロネッカーのデルijδ

○

6

正規直交基底

1x

2x

1u2u

f．和で表すことができるに沿ったベクトルとのに沿ったベクトルとはル右図のとおり，ベクト

開の正規直交基底での展

2

1

:

uuf

f

2211 uuf αα +=

11uα1α

2α 22uα

との内積をとると，実際，上式の両辺と

の内積で与えられる．と

，を表すスカラーでありベクトルの長さと方向

に射影したときのをはここで，

1

1

11

uuf

ufα

の正規直交性より）uuuuu

uuuufuf

Q(

)(),(

1

122111

1221111

ααα

αα

=

+=

+==tt

tt

立つ．空間に拡張しても成り以上のことは，ｎ次元

である．となる．同様に 22 ),( α=uf

○

7

フーリエ級数

周期的な波形は，複数の周波数の正弦波と余弦波の組み合わせで表現することができる．この表現をフーリエ級数展開といい，次式で表される．

この展開における各係数（フーリエ係数と呼ばれる）はどのように決まるだろうか．これを調べる前に，まず三角関数の直交性を調べてみる．

L

L

+++

+++=

xbxb

xaxaaxf

ωω

ωω

2sinsin

2coscos21)(

21

210

x

)(xfX

x

x

x

＋

＋

＋．．．

2/0a

1a

2a

Xπω 2=

ただし

○

8

三角関数の直交性

)5( 0sincos ,integer arbitrary for

)4( 0sinsin for

)3( 2

sinsin for

)2( 0coscos for

)1( 2

coscos for

0

0

0

0

0

L

L

L

L

L

∫∫

∫

∫

∫

=⋅

=⋅≠

=⋅=

=⋅≠

=⋅=

X

X

X

X

X

xdxmxnnm

xdxmxnnm

Xxdxmxnnm

xdxmxnnm

Xxdxmxnnm

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

○

9

フーリエ係数

LL ++++++= xbxbxaxaaxf ωωωω 2sinsin2coscos21)( 21210

この展開における各係数はどのように決まるだろうか．

n

X

n

XX

XXX

aX

xdxnxna

xdxnxbxdxnxb

xdxnxaxdxnaxdxnxf

2

coscos

cos2sincossin

coscoscos21cos)(

0

0 20 1

0 10 00

=

⋅=

+⋅+⋅+

+⋅+⋅=

∫∫∫

∫∫∫

ωω

ωωωω

ωωωω

L

L

たって積分してみる．をかけて，１周期にわ試みに，両辺に xnωcos

∫=X

n xdxnxfXa

0cos)(2 ω

これより，

を得る．余弦波の項についても同様に計算して以下を得る．

∫=X

n xdxnxfXb

0sin)(2 ω

この項のみ残る

○

10

ベクトルの展開とフーリエ級数展開の類推

L

L

+⋅+⋅+

+⋅+⋅+

⋅=

xbxb

xaxa

axf

ωω

ωω

2sinsin

2coscos

121)(

2

1

2

1

0x

x

x

1

1

1

332211 uuuf ⋅+⋅+⋅= ααα 1u

2u

3u

f

11uα

22uα

33uα

展開係数は，対応する基底ベクトル（基底関数）と信号ｆとの内積を計算することで得られる．

．．

．

○

11フーリエ級数・フーリエ変換

L

L

+⋅+⋅+

+⋅+⋅+

⋅=

xbxb

xaxa

axf

ωω

ωω

2sinsin

2coscos

121)(

2

1

2

1

0x

x

x

1

1

1

1u

2u

3u

．．

．

フーリエ級数のおさらい

L

L

+++

+++=

xbxb

xaxaaxf

ωω

ωω

2sinsin

2coscos21)(

21

210

x

)(xfX

Xπω 2=

ただし

○

12

フーリエ級数の複素数表示

∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

==n

nn

n Xnxjcnxjcxf )/2exp()exp()( πω

*00 2

,2

,2 n

nnn

nnn c

jbacjbacac =+=−== −

三角関数を用いたフーリエ級数展開を，複素数の指数関数を使って表すこともできる．

LL ++++++= xbxbxaxaaxf ωωωω 2sinsin 2coscos21)( 21210

をオイラーの式を使って以下のように書き直す．

LL

LL

+−

+−

+++

+=

+−

+−

+++

++

+=

−

−−−−

xjxjxj

xjxjxjxjxjxjxjxj

ejbaejbaaejbajeeb

jeebeeaeeaaxf

ωωω

ωωωωωωωω

222110

11

22

21

22

210

2221

2

22

2221)(

あらためて

とおけば，以下のように指数関数による展開の形で表すことができる．

○

13

複素フーリエ級数の基底関数

∞−−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ,...,1,0,1,..., ,2sin2cos2exp n

Xnxj

Xnx

Xnxj πππ

x

x

1

1

x

x

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Xxj

Xx 02sin02cos ππ j+

x1

x1

j+

j+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Xxj

Xx 12sin12cos ππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Xxj

Xx 22sin22cos ππ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Xxj

Xx 12sin12cos ππ x

1x

1j+

・・・

・・・

△

14

複素フーリエ級数展開と係数

m

n

X

Xn

X

Xn

n

X

X

c

dxXmxjXnxjX

c

dxXmxjXnxjcX

dxXmxjxfX

=

−=

−=−

∑ ∫

∫ ∑∫∞

−∞=−

−

∞

−∞=−

2/

2/

2/

2/

2/

2/

)/2exp()/2exp(1

)/2exp()/2exp(1)/2exp()(1

ππ

πππ

∞−−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ,...,1,0,1,..., ,2exp n

Xnxj π

の正規直交性を利用した．

∑∞

−∞=

=n

n Xnxjcxf )/2exp()( π

dxXnxjxfX

cX

Xn)/2exp()(1

2/

2/π∫− −=

級数展開：

展開係数：

展開係数の導出：

△

15

周期関数から非周期関数への拡張

)1( )/2exp()( L∑∞

−∞=

=n

n Xnxjcxf π

)2()/2exp()(12/

2/LdxXnxjxf

Xc

X

Xnπ∫− −=

級数展開：

展開係数：

周期関数の非周期関数への拡張

x2/X− 2/X

非周期関数を，無限に大きな周期をもつ周期関数と解釈する．

∞→X

これまで扱ってきた周期関数

x2/X− 2/X

∞→X

X

△

16

フーリエ級数からフーリエ変換へ（１）

)2()/2exp()(12/

2/LdxXnxjxf

Xc

X

Xnπ∫− −=

より，を定義すると，式

における係数として波数関数である．いま，周

における周波数に関する関数であり，は

(1))( nn

n

nn

cXuFu

uunc

⋅=

フーリエ展開係数に関する修正：

=

)4()2exp()(

)/2exp()()(2/

2/

2/

2/

Ldxxujxf

dxXxnjxfuF

n

X

X

X

Xn

⋅−=

⋅⋅−=

∫∫−

−

π

π

)3(LXnunun =Δ⋅=

x2/X− 2/X

X

u1u 2u nu

Xu 1=Δ

nc1c

2c．クトルのパワーをもつ整数倍の周波数にスペ

の波数の周期関数は，基本周周期

する．と書き，周波数と定義の逆数をいま，

XuXux

/1=Δ

と書ける．

△

17

フーリエ級数からフーリエ変換へ（２）

)2()/2exp()(12/

2/LdxXnxjxf

Xc

X

Xnπ∫− −=

フーリエ展開係数に関する修正：

u1u

2unu

Xu 1=Δ

nc1c

2c

x2/X− 2/X

∞→X

と修正される．

は，

リエ係数の式もつことになり，フー

でも値を数このとき，どんな周波

)5()2exp()()(

)4()2exp()()(2/

2/

L

L

dxxujxfuF

dxxujxfuF

u

n

X

Xn

⋅⋅−=

⋅−=

∫

∫∞

∞−

−

π

π

)0(

)(

→Δ

∞→

u

XX

なっていく．りなく小さくスペクトルの間隔は限

いくとを限りなく大きくして周期

Xを広げていけばスペクトルの間隔は密になっていく．

離散的

連続的

△

18

フーリエ級数からフーリエ変換へ（３）

フーリエ級数展開に関する修正：

unu

Xu 1=Δ

正される．右のように積分形に修

数展開は，このとき，フーリエ級　すなわち，

にもっていく．ここで，周期を無限大

0→Δ∞→ uX

)1()/2exp()( L∑∞

−∞=

=n

n Xnxjcxf π

)6()2exp()(

)2exp()(1

)/2exp()(

L∑

∑

∑

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

⋅⋅Δ=

⋅=

⋅=

nnn

nnn

nn

xujuFu

xujuFT

Xnxjcxf

π

π

π

)7( )2exp()(

)2exp()(lim)(0

L∫

∑∞

∞−

∞

−∞=→Δ

⋅=

⋅⋅Δ=

duuxjuF

xujuFuxfn

nnu

π

π

フーリエ級数展開に式を以下のように書き直す．

)2exp()( xujuF nn π

注意：縦軸の値は複素数なので本来はこのような表示は不適当．

↑フーリエ変換の式

△

19Fourier変換の整理と意味合い

∫∞

∞−−=ℑ= dxuxjxfxfuF )2exp()()}({)( π

[ ]

∫∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−

=

−=

dxuxxfj

xduxxf

dxuxjuxxfuF

)2sin()(

)2cos()(

)2sin()2cos()()(

π

π

ππ

)(xf

周波数uの余弦波

周波数uの正弦波

)(uF

x

x

x

フーリエ変換（フーリエ積分）フーリエ変換（フーリエ積分）

u

)(u

原信号

F

u0

フーリエ変換の意味合い（模式図）：

フーリエ逆変換フーリエ逆変換

∫∞

∞−

− =ℑ= duuxjuFuFxf )2exp()()}({)( 1 π

：フーリエ変換の演算を意味する記号とする

}{⋅ℑ

◎

20フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換

２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

21

デルタ関数

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

→ 2

2

0 2exp

21lim)(

σσπδ

σ

xx

全積分は１で，原点で無限大の大きさをもつ関数．ディラックのデルタ関数（Dirac delta function）

例１）ガウス関数の極限

例２）矩形関数(rect関数）の極限

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

→ axrect

ax

a

1lim)(0

δ

xσ xσ x

xa x x

a/1

a

a/1

デルタ関数は超関数と呼ばれ，厳密な意味での関数ではない．しかし，システムのインパルスを表すのに便利であり，頻繁に用いられる．

○

22

デルタ関数（つづき）

∫∞

∞−= )0()()( fdxxxf δ

x

x0

0

)0(f

)(xδ

する効果がある．

ンプリング）での関数値を抽出（サ

はを掛けて積分することデルタ関数

0)(

=xxδ

∫∞

∞−=− )()()( afdxaxxf δ

x

x0

0

)( axf −

)( ax −δ

a

× ×

原点からaだけずれた点でサンプリングする場合の表現

デルタ関数の性質

応用

○

23

代表的なフーリエ変換対

)}()({21)2cos(

)exp()exp(

)sin()(sinc)(rect

1)(

000

22

uuuuxu

uxu

uux

x

++−⇔

−⇔−

=⇔

⇔

δδπ

ππππ

δ

∑∞

−∞=

−=

⇔

n

ndxdx

dudx

)()/(comb

)(comb)/(comb

δただし

○

24

代表的なフーリエ変換対I

1)()()( =⇔= uFxxf δ

x u

)()( xxf δ=1)( =uF

1)02exp(

)2exp()()}({

=−=

−=ℑ ∫∞

∞−

uj

dxuxjxx

π

πδδ

x u

)()( axxf −= δ )2exp()2exp()()(

aujdxuxjaxuF

ππδ

−=−−= ∫

∞

∞−

auuF π2)(arg −=

a

○

25

代表的なフーリエ変換対II

x u

)exp()( 2xxf π−= )exp()( 2uuf π−=

ガウス関数のフーリエ変換はやはりガウス関数

uuuuFxxf

ππ )sin()(sinc)()(rect)( ==⇔=

x u

)(rect)( xxf = uuuF

ππ )sin()(sinc(u) ==

○

26

代表的なフーリエ変換対III

x

)2cos()( 0 xuxf

u

π=

)}()({21)()2cos()( 000 uuuuuFxuxf ++−=⇔= δδπ

)}()({21)()2sin()( 000 uuuuuFxuxf +−−=⇔= δδπ

0u0u− 0

x u

)2sin()( 0 xuxf π=

0u0u− 0

○

27

代表的なフーリエ変換対IV

)(comb)()/(comb)( duuFdxxf =⇔=

∑∞

−∞=

−=n

ndxdx )()/(comb where δ

x

∑∞

−∞=

−==n

ndxdxxf )()/(comb)( δ

u

∑∞

−∞=

−==n

dnuduuF )/()(comb)( δ

d d/1

…… … …

∑∞

−∞=

−=

+−+−+++

n

ndx

dxdxxdx

)(

)2()()()(

δ

δδδδ LL

○

28フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換

２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

29

フーリエ変換の諸性質

線形性(linearity theorem)線形性＝重ね合わせの理が成り立つこと．

)}({)}({ )}()({

2211

2211

xfaxfaxfaxfa

ℑ+ℑ=+ℑ

)()2exp()}({ uFaujaxf π−=−ℑ

相似則(similarity theorem)

)()}/({ auFaaxf =ℑ

対称性

．はエルミート性をもつ

が実関数なら，関数

)()(

uFxf

)(*)( uFuF =−

微分のフーリエ変換

)()2()( uFujxfdxdF nn

n

π=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

コンボリューション定理

)(*)(

)()()(

xfxh

dfxhxg

=

−= ∫∞

∞−

τττ

)()()( uHuFuG =

実空間でのコンボリューション

フーリエ空間での積シフト則(shifting theorem)

)()2()( uFujxfdxdF π=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

)(4)()2()( 22222

uFuuFujxfdxdF ππ −==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

|)(||)(| uFuF =−

○

30

相似則

相似則(similarity theorem)：

)()}/({ auFaaxf =ℑ

x

)(xf

u

)(uF

0

x

)/( axf

u

)(auaF

0

ℑ

ℑ

ゆったりした変化）

拡大

()1( >a

）（低周波成分への集中

縮小

倍a

0x

0ax

倍a/1

倍a

△

31

相似則の具体例

x u

)2cos()( 0xuxf π= )}()({21)( 00 uuuuuF ++−= δδ

0u0u− 0

x u

)/(rect)( axxf =

auauF

ππ )sin((u) =

x u

)22cos()( 0xuxf π= )}2()2({21)( 00 uuuuuF ++−= δδ

02u0u− 002u− 0u

x

)2/(rec

u

t)( axxf =

auauF

ππ )2sin((u) =

a

a2

ℑ

ℑ

ℑ

ℑ

余弦波余弦波

矩形波矩形波 a/1

a2/1

△

32

シフト則

波形の平行移動：

)()2exp()}({ uFaujaxf π−=−ℑ

)()2exp(

))(2exp()()2exp(

))(2exp()(

)2exp()()}({

uFuaj

dxaxujaxfuaj

dxaaxujaxf

dxuxjaxfaxfF

π

ππ

π

π

−=

−−−−=

+−−−=

−−=−

∫∫

∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−証明：

x

)(xf

x

)( axf −

a

ℑ

ℑ

u

|)(| uF

0

u

|)(| uF

0u

)()2exp( uFauj π−

0

同一！

u

)(uF

同一でない

絶対値

絶対値

フーリエ変換

)()()2exp()()2exp( uFuFaujuFauj =−=− ππ

線形位相

△

33

線形時不変システムで見るコンボリューション

Linear,time-invariantsystem

In Out

ディラックのデルタ関数：インパルス関数

デルタ関数入力に対する応答：インパルス応答

t

f t( )

入力信号

t

出力信号

g t( )

τ t t

t

δ ( )t

0 t

h t( )

0

出力信号は入力信号とインパルス応答とのコンボリューションで表される．

)(*)(

)()()(

tfth

dfthtg

=

−= ∫ τττ

○

34

コンボリューションの幾何学的な説明

τττ dfxhxfxhxg )()()(*)()( ∫∞

∞−

−=≡

τ)(τf

τ

)(τh

τ

)( τ−h

を反転①　 )(τh

τ)( τ−xh

)(xgx0

)( τ−hだけシフト②　x

④　積分する

x

τ)()( ττ fxh −

x

の積と③　 )()( ττ −xhf

連続系での定義

○

35

コンボリューション定理

コンボリューション定理：

)(*)(

)()()(

xfxh

dfxhxg

=

−= ∫∞

∞−

τττ

)()()( uHuFuG =

フーリエ空間では，それぞれのフーリエ変換の積であらわされる．

証明：

∫ ∫

∫∞

∞−

∞

∞−実空間で，コンボリューションの関係にあるとき，すなわち，

∞

∞−

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−=

dxuxjdfxh

dxuxjxguG

)2exp()()(

)2exp()()(

πτττ

π

'xx =−τ とおけば

)()(

)2exp()(')'2exp()'(

)2exp()(')'2exp()'(

))'(2exp()()'()(

uFuH

dujfdxuxjxh

dujfdxuxjxh

dxxujdfxhuG

=

−×−=

−−=

+−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∫∫∫ ∫

∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ττπτπ

ττπτπ

τπττ

'dxdx →

)()()()( uFuHxfxhℑ

⇔∗ )(*)()()( uFuHxfxhℑ

⇔

コンボリューション⇔積 積⇔コンボリューション

ここで

積分範囲は－∞から∞で変わらず．

重要なまとめ

○

36

サンプリング定理を理解する１

)(comb du

u

d/1

… …

x0

)(xf

x0

)/(comb)()( dxxfxf s ⋅=

オリジナルの連続関数

標本化の操作

離散関数

)(comb)()( duuFuFs ∗=

u

× ＊

u… …

x

d

…

)/(comb dx

…

)(uF

△

37

サンプリング定理を理解する２

＊×

x0

)/(comb)()( dxxfxf s ⋅=離散関数

)(comb)()( duuFuFs ∗=

u… …

)(rect duu

d/1

フィルタをかける

x

d

)/(sinc dx

x0

)(xf

オリジナルの連続関数を復元

u

△

38エリアジング

x u

)2/(1 d d/1

Nyquist freq.

)(uF

0

)(xf

u0

)/(comb)()( dxxfxfs ⋅=

x

x

)2/(comb dx

d

d2

掛け算

u

)2(comb)()( duuFuFs ∗=

0

)2(comb du

u

)2(rect)()( duuFuF sf =

0

元の連続信号

切り出し不可！

フーリエ変換対

サンプリングの関数

離散信号

エリアジングの発生

△

39フーリエ変換

講義内容

１次元フーリエ変換ベクトル・関数の直交性フーリエ級数１次元フーリエ変換代表的なフーリエ変換対フーリエ変換の諸性質コンボリューション（たたみこみ積分）サンプリング定理１次元離散フーリエ変換

２次元フーリエ変換空間周波数の概念２次元フーリエ変換代表的な２次元フーリエ変換対２次元離散フーリエ変換

△

40離散フーリエ変換の概念

x u

)2/(1 d d/1

)(uF

0

)(xf

u0

)/(comb)()( dxxfxfs ⋅=

x

x

)/(comb dx

d

d

掛け算

u

)(comb)()( duuFuFs ∗=

0

)(comb du

元の連続信号 フーリエ変換対

サンプリングの関数

離散信号

D D1

周期Dの正弦波（余弦波）の成分

Ｄの範囲に対して，基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは，暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる．

∑−

=

−=1

0

)/2exp()(1)(N

x

NuxjxfN

uF π

△

フーリエ変換フーリエ変換ベクトルの直交性関数の直交性正規直交基底正規直交基底フーリエ級数三角関数の直交性フーリエ係数ベクトルの展開とフーリエ級数展開の類推フーリエ級数・フーリエ変換フーリエ級数の複素数表示複素フーリエ級数の基底関数複素フーリエ級数展開と係数周期関数から非周期関数への拡張フーリエ級数からフーリエ変換へ（１）フーリエ級数からフーリエ変換へ（２）フーリエ級数からフーリエ変換へ（３）Fourier変換の整理と意味合いフーリエ変換デルタ関数デルタ関数（つづき）代表的なフーリエ変換対代表的なフーリエ変換対I代表的なフーリエ変換対II代表的なフーリエ変換対III代表的なフーリエ変換対IVフーリエ変換フーリエ変換の諸性質相似則相似則の具体例シフト則線形時不変システムで見るコンボリューションコンボリューションの幾何学的な説明コンボリューション定理サンプリング定理を理解する１サンプリング定理を理解する２エリアジングフーリエ変換離散フーリエ変換の概念