1 Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ...

1

Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ 2 - Equations de propagation du champ

électromagnétique dans le videélectromagnétique dans le vide 1 – Equation de propagation de B1 – Equation de propagation de B 2 – Equation de propagation de E

3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

Propagation des OEM dans le videChapitre 1

Bloc 2

2

2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le

vide

1 équation pour E 1 équation pour B chaque équation relie les dérivées

partielles par rapport aux coordonnées spatiales (x,y,z) aux dérivées partielles par rapport au temps (t)

3

BB)Bdiv(grad)Brot(rot

tB

Erot

tE

Brot oo

1 - Equation de propagation de B

2 – Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide

Méthode pour établir l’équation de propagation :Méthode pour établir l’équation de propagation :

1° - Exprimer les équations de Maxwell sur les rotationnels

2° - Exprimer rot(rot) à partir des propriétés des opérateurs

3° - Exprimer rot(rot) à partir des équations de MaxwellPourquoi ?

4

équation de propagation du champ B

tB

Erot

tE

Brot oo

1 - Equation de propagation de B

²tB²

)Erot(t

)tE

(rot)Brot(rot oooooo

²tB²

B oo

Pourquoi ?

3° - Exprimer rot(rot) à partir des équations de Maxwell

5

EE)Ediv(grad)Erot(rot

équation de propagation du champ

tB

Erot

tE

Brot oo

2 - Equation de propagation de E

²tE²

)Brot(t

)tB

(rot)Erot(rot oo

²tE²

E oo

Même méthode

6

1 équation vectorielle 3 équations scalaires

²tE²

E oo

²tE²

²zE²

²yE²

²xE²

²t

E²

²z

E²

²y

E²

²x

E²

²tE²

²zE²

²yE²

²xE²

zoo

zzz

yoo

yyy

xoo

xxx

En coordonnées cartésiennes :

7

Même équation de propagation dans le vide

E et B se propagent de la même façon

On parle de champ électromagnétiqueélectromagnétique

Types d ’OEM vérifiant cette équation : sphériques, planes,…

²tB²

B oo

²tE²

E oo

2 – Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide

Etude des OEM planesplanesDans ce cours :

8

Rappeler l’expression du champ magnétique associé au champ E dont l’expression en coordonnées cartésiennes est :

0

0

)y2

tcos(.E

E

o

Etablir l’équation de propagation et l’exprimer en fonction de et .

Exercice 1

A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

9

Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ

électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide3 - Onde plane dans le vide

1 - Définition d’une onde plane1 - Définition d’une onde plane 2 - Onde plane progressive

4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

Propagation des OEM dans le videCh. 1

10

3- Onde plane dans le vide

Soit une onde caractérisée par le champ électromagnétique , se propageant dans la direction (0,z)

L’onde est plane si, à un instant donné t, en tous les points appartenant à un même plan P perpendiculaire à la direction de propagation, le champ électromagnétique a la même valeur

)B;E(

1 - Définition d’une onde plane

Le plan est appelé « plan d’onde »

0 z

ex

eyez

plan d’onde à l’instant t

plan d’onde 2 à l’instant t

Onde se propageant selon 0x

11

Conséquences :

E est le même en tout point du plan d’onde à un instant donné

0 zze

ex

ey

Plan d’équation z = cste

E ne dépend ni de x ni de yB ne dépend ni de x ni de y

0yE

xE xx

Idem pour Ey, Ez, Bx, By et Bz


B est le même en tout point du plan d’onde à un instant donné

12

0zE

y

E

xE

Ediv zyx

0y

E

xE yx

(dans le vide !)

0zEz

(onde plane se propageant selon z)

Idem avec B 0zBz

• E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation (0z) : transversestransverses

• E et B sont dans le plan d’onde, ne dépendent ni de x ni de y

Ondes T.E.M. • Dans le vide, les OP sont

Transverses ElectroMagnétiques


Ez = cste = 0

Bz = cste = 0

Ez ne dépend ni de x, ni de y, ni de z

Bz ne dépend ni de x, ni de y, ni de z

²tB²

B zooz

Animation

13


électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide3 - Onde plane dans le vide

1 - Définition d’une onde plane 2 - Onde plane progressive2 - Onde plane progressive

4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide


14

Cherchons une OP qui vérifie l’équation de propagation des champs ?

0²tE²

²zE²

²yE²

²xE²

²t

E²

²z

E²

²y

E²

²x

E²

²tE²

²zE²

²yE²

²xE²

zoo

zzz

yoo

yyy

xoo

xxx

2 - Onde plane progressive

²tB²

B oo

²tE²

E oo

Résolution de l’équation pour 2 composantes Ex et Ey (Ez = 0)

²tE²

²zE²

²yE²

²xE² x

ooxxx

²t

E²

²z

E²

²y

E²

²x

E² yoo

yyy

Mêmes équation pour Bx et By.

15

²tE²

²zE²

²yE²

²xE² x

ooxxx

²tE²

²c1

²tE²

²zE² xx

oox

2 - Onde plane progressive

OP se propageant selon (0,z) E ne dépend ni de x ni de y

Cherchons une solution générale de la forme :

(z,t) = f(z-ct)+g(z+ct)

Ou (z,t) = f(t-z/c)+g(t+z/c)

Même équation pour Ey, Bx et By.

16

2 - Onde plane progressive : rappels

Solution générale de la forme : (z,t) = f(z-ct)+g(z+ct) ou (z,t) = f(t-z/c)+g(t+z/c)

f(z-ct)f(z-ct) est une onde progressive dans le sens des z z croissantscroissants

zz1 z2

À l’instant t1 le signal est en z1 ; arrive en z2 à l’instant t2 tel que f(z1-ct1)=f(z2-ct2)

z1-ct1= z2-ct2

c(t2-t1) = z2-z1 t1-z1/c= t2-z2/c

(t1-t2) =(z1-z2 )/c

De la même façon :

z2-z1 est la distance parcourue par l’onde pendant l’intervalle de temps

(t2-t1)

La célérité est : cttzz

12

12

1212 ttzz

17

2 - Onde plane progressive : rappels

g(z+ct)g(z+ct) est une onde progressive dans le sens des z décroissants

zz1 z2

À l’instant t1 : en z1 et en z2 à l’instant t2 tel que g(z1+ct1)=g(z2+ct2)

z1+ct1= z2+ct2

z1-z2 = c(t2-t1)

t1 > t2 z2 > z1

onde stationnaire

onde progressive ; onde progressive bis

Onde progressive ou

pas

18


électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique4 - Onde plane progressive monochromatique

1 – Définition1 – Définition 2 – Vitesse de phase

5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide


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4 - Onde Plane Progressive Monochromatique

C’est une OPP de dépendance temporelle sinusoïdale Analyse de Fourier tout signal périodique peut être

décomposé en une somme de composantes sinusoïdales de fréquence multiples (harmoniques de rang n)

Linéarité des opérateurs, donc des équations de Maxwell détermination de la structure de toute OPP à partir de ses composantes sinusoïdales

1 - Définition d’une OPPM

)tncos(CA)t(f n1n

no

Série de Fourier ?

20

Soit une OPP se propageant dans le vide dans le sens des z

Transverse Ez = Bz = 0


Ex,Ey, Bx, By de la forme : Eo.f(z-ct) ou Eo.f(t-z/c)

OPPMM Ex = Emx.cos(t-z/c) - x)

Ey, Bx, By de la même forme Ey = Emy.cos((t-z/c) - y)

Bx = Bmx.cos((t-z/c) - x)By = Bmy.cos((t-z/c) - y)

Pourquoi n’y a –t-il pas de terme en (t+z/c) ?

21

EEx x = E= Emxmx.cos(.cos(t-z/c) - t-z/c) - xx))

1 - Définition d’une OPPM : rappels

Amplitude (V/m)

pulsation (rad/s)

f2Célérité de l’OPPM dans le vide (m/s)

Phase de Ex à t = 0 et en z = 0 (rad)

Phase de Ex à l’instant t et en z

(rad)

= c.T = c/f

Longueur d’onde dans le vide (m)

22


Longueur d’onde dans le vide (m)

= c.T = c/f

On définit le vecteur d’ondeOn définit le vecteur d’onde dans le vide : ko

(rad/m)o

o

2k

ccT2

ko

zo ec

k

Orienté dans la direction et le sens de la propagation Orienté dans la direction et le sens de la propagation ( e( ez z ))

23


Ex = Emx.cos((t-z/c) - x)

oo

2k

ccT2

ko

zo ec

k

Ex = Emx.cos(t - koz - x)

Ey = Emy.cos(t - koz - y)

Amplitude du champ E : ²E²EE mymxo

Idem avec B

24


électromagnétique dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique4 - Onde plane progressive monochromatique

1 – Définition 2 – Vitesse de phase2 – Vitesse de phase

5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide


25

EEx x = E= Emxmx.cos(.cos(t-kt-kooz - z - xx))

2 - Vitesse de phase

(t, z) : Phase en z à l’instant t

Position des plans équiphases à l’instant « t » ?

2 plans équiphases ont la même phase à un instant donné, quelque soit cet instant : (t, z) = Constante à t donné

(z) = Cste z = Cste plans d’onde

Distance entre 2 plans équiphases à l’instant « t » : (t, z1) = (t, z2)

t-koz1 = t-koz2 +2n ko(zz = 2n (z2 - z1) = 2nko

z2 - z1 = no

oo

2k

26

EEx x = E= Emxmx.cos(.cos(t-kt-kooz - z - xx))

2 - Vitesse de phase

(t, z) : Phase en z à l’instant t

Vitesse de déplacement des plans équiphases : (t1, z1) = (t2, z2)

(z) = Cste d = 0 dt-kodz = 0

ckdt

dz

o

Vitesse de phase (m/s)

27

Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans

le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM5 - Notation complexe des OEM

1 –Notation complexe des champs1 –Notation complexe des champs 2 – Notation complexe des opérateurs 3 – Notation complexe des équations de Maxwell

6 - Energie associée à une OPPM dans le vide


28

Soit une OPPM se propageant dans le vide selon la direction de ko et caractérisée par le champ électromagnétique (E, B)

5 - Notation complexe des OPPM1 - Notation complexe des champs

E

M(x,y,z)ko

Quel repère choisiriez-vous pour l’étude ?

29

Soit une OPPM se propageant dans le vide

1 - Notation complexe des champs

E M =¿∣Emx cos ωt−k o . z

∣E mycos ωt−k o . z− ϕ y ∣0

E

M(x,y,z)ko

x

y

z0

Un repère orthonormé direct situé sur les directions de E et ko

Composantes de E dans ce repère ?

Pourquoi Ez = 0 ?

30

Soit une OPPM se propageant dans le vide


0

)z.ktcos(E

)z.ktcos(E

)M(E yomy

omx

E

M(x,y,z)ko

x

y

z0

Un repère orthonormé direct situé sur les directions de E et ko

Composantes de E dans ce repère ?

Pourquoi Ey 0 ?

31

z.ky.kx.kM0.k ozoyoxo

)r.ktcos(E)M0.ktcos(E



)M(E

zomzzomz

yomyyomy

omxomx

E

M(x,y,z)

kox

yz

0

Composantes du champ E au point M dans un repère quelconque (0x, 0y, 0z) :


32

À E(M) on associe un champ E(M) complexe tel que : ))M(E(e)M(E

E M =¿∣Emx .e

− jωt .ejk o . r

∣Emy .e− jωt .e

j k o . rϕ y

∣E mz.e− jωt .e

j ko. rϕ z

)r.k(jmxmx

)r.k(jmymy

)r.k(jmxmx

zo

yo

o

e.EE

e.EE

e.EE

Partie réelle




)M(E

zomzzomz

yomyyomy

omxomx

On définit l’amplitude complexel’amplitude complexe telle que :

ATTENTION AU

SIGNE !!!


33

Soit le champ magnétique ci-dessous : donner son expression en notation complexe, ainsi que son amplitude complexe.

Quelle est sa direction de propagation ? Son sens ?

0

)4

xktcos(.B

0

B oo

Exercice 2

34



1 –Notation complexe des champs 2 – Notation complexe des opérateurs2 – Notation complexe des opérateurs 3 – Notation complexe des équations de Maxwell



35

2 - Notation complexe des opérateurs

5 - Notation complexe des OPPM

Dérivée par rapport au temps

E M =¿∣Emx . e− jωt .e

j k ox .xk oy . yk oz . zϕ x

∣E my . e− jωt .e

j kox

. xkoy

. y koz

. zϕy

∣Emz . e− jωt . e

j k ox . xk oy . yk oz . zϕ z

t

EjEt

De façon générale

36


xo

xoz

xoy

xox

xx E.kj

E.jk

E.jk

E.jk

E.

z

y

x

Egrad

Gradient

xox E.kjEgrad

De la même façon :zoz E.kjEgrad yoy E.kjEgrad et

)z.ky.kx.k(jtjmz

)z.ky.kx.k(jtjmy

)z.ky.kx.k(jtjmx

zozoyox

yozoyox

xozoyox

e.e.E

e.e.E

e.e.E

)M(E

De façon générale

37


Rotationnel

EgradErot

xoyyox

zoxxoz

yozzoy

xy

zx

yz

z

y

x

E.jkE.jk

E.jkE.jk

E.jkE.jk

Ey

Ex

Ex

Ez

Ez

Ey

E

E

E

z

y

x

Erot

EkjErot o

)z.ky.kx.k(jtjmz

)z.ky.kx.k(jtjmy

)z.ky.kx.k(jtjmx

zozoyox

yozoyox

xozoyox

e.e.E

e.e.E

e.e.E

)M(E

38

Laplacien vectoriel

E².kE)².kj(E².gradE oo


)z.ky.kx.k(jtjmz

)z.ky.kx.k(jtjmy

)z.ky.kx.k(jtjmx

zozoyox

yozoyox

xozoyox

e.e.E

e.e.E

e.e.E

)M(E

39



1 –Notation complexe des champs 2 – Notation complexe des opérateurs 3 – Notation complexe des équations de Maxwell3 – Notation complexe des équations de Maxwell



40

3 - Notation complexe des équations de Maxwell dans le vide


)Ej(BkjtE

Brot ooooo

)Bj(EkjtB

Erot o

0B.kj0Bdiv o

0E.kj0Ediv o

Ek

B o

oo

o BkE

41

3 - Notation complexe des équations de Maxwell dans le vide


)Ej(BkjtE

Brot ooooo

)Bj(EkjtB

Erot o

0B.kj0Bdiv o

0E.kj0Ediv o

Conséquences :

o

o

kB

kE

Onde TEM

Ek

B o

oo

o BkE

)B,E,k( oForme un trièdre

direct

42

3 - Notation complexe des équations de Maxwell


Ek

B o BetE

Ek

B o

)B,E,k( oForme un trièdre

direct

z

ko

E

B

ko et sont réels en phase

Bo = koEo/= Eo/c

43

Exercice 11 : Etablir l’équation de propagation du champ électromagnétique en notation complexe

Animation ?...

Elle correspond à un cas particulier (polarisation rectiligne que nous étudierons plus tard) ;

1.Quelle propriété particulière des champs met-elle en évidence ? (non observée dans le cas général)

2.Les champs vibrent –ils en phase ou en quadrature de phase ?

Visualiser l’animation suivante

Aide ? Exprimer le champ et les équations de Maxwell en notation complexe.

Utiliser la même méthode pour établir l’équation de propagation que celle utilisée en notation réelle.

Exercice 3

44

Rappeler l’expression complexe utilisée pour le champ B, ainsi que l’expression des équations de Maxwell en notation complexe.

Etablir l’équation de propagation du champ B en notation complexe, à partir des expressions ci-dessus.

Aide ?

Exercice 4

Utiliser la même méthode qu’en notation réelle .

45

A l’aide des équations de Maxwell sous forme complexe, donner l’expression complexe, puis l’expression réelle du champ électrique associé au champ magnétique B.

0

)4

xktcos(.B

0

B oo

Exercice 5

Vérification : indiquer la direction et le sens de propagation de B, puis sur un schéma, les vecteurs B, E et ko, et vérifier le trièdre direct.

46

Fin du bloc 2….

Quizz 2Quizz 2

Début du bloc 3….

Quizz…

Date post:	03-Apr-2015
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