سيستم هاي كنترل خطي:مراجع
1. Modern control engineering, Ogata2. Modern control systems, Dorf3. Automatic control system, Kuo
سيستم هاي كنترل خطي، دكتر خاكي صديق. 4:ارزيابي
%40-30: ميان ترم -%55-45: پايان ترم -%15: تكاليف و كوييز -
1
:پيش فرضآشنايي كامل به تبديل الپالس -آشنايي به حوزه فركانس -آشنايي با مدارهاي الكتريكي -آشنايي با جبر ماتريس ها -
http://ee.yazd.ac.ir/dosthosseini
2
:فهرست)آشنايي با سيستم هاي كنترل(مقدمه -نمايش سيستم هاي كنترل خطي -تحليل سيستم هاي كنترل در حوزه زمان -هورويتز -تحليل پايداري به روش روث -رسم مكان هندسي ريشه ها -تحليل سيستم در حوزه فركانس -طراحي جبران ساز پيش فاز در حوزه زمان و فركانس -طراحي جبران ساز پس فاز در حوزه زمان و فركانس -پس فاز در حوزه زمان و فركانس -طراحي جبران ساز پيش فاز -تحليل سيستم هاي كنترل در فضاي حالت -
3
4
:سيستم گاورنر جيمز وات
5
1950تا قبل از : (Classic Control)كنترل كالسيك -بر اساس تابع تبديل -
طراحي و تحليل در حوزه زمان -طراحي و تحليل در حوزه فركانس -
1980تا 1950: (Modern Control)كنترل مدرن -بر اساس مدل فضاي حالت -
به بعد 1980: (Post Modern Control)كنترل فوق مدرن -)سيستم هاي نامعين(كنترل مقاوم -
به بعد 1970: (Intelligent Control)كنترل هوشمند -كنترل چند متغيره -كنترل ديجيتال -كنترل تطبيقي -. . .كنترل فازي -
:انواع روش هاي كنترلي
6
:انواع سيستم كنترل(Open Loop Control)كنترل حلقه باز -1
:مزاياآسان نگهداري و تر ساده ساخت -1ستهب حلقه سيستم به نسبت بودن ارزان -2پايداري مشكل نداشتن -3 گيري اندازه كه زماني براي مناسب -4
توجيه كه است سخت بقدري خروجي.ندارد اقتصادي
:معايب يونكاليبراس تغيير و اغتشاش -1
.كند مي ايجاد خطا مطلوب كيفيت به دستيابي براي -2 ونكاليبراسي سيستم، خروجي در
.است الزم مجدد
7
(Feedback/Closed Loop Control)پس خور/حلقه بسته/كنترل فيدبك -2
8
:چند تعريفه مجموعه اي از چند عنصر كه عمل مشخصي را انجام مي دهند، به نحوي ك: سيستم
.انجام آن بدون حضور هر يك از عناصر انجام نخواهد گرفترا دستگاه يا فرآيند G(s)سيستم تحت كنترل : (Plant/Process)فرآيند /دستگاه
.نامندكرد سيستم زماني عمل. نشان دهنده پاسخ مطلوب سيستم است: R(s)ورودي مرجع
.مناسب دارد كه خروجي سيستم برابر با ورودي مرجع باشدترل بدست خروجي سيستم سيگنالي است كه از سيگنال تحت كن: C(s)خروجي سيستم
.مي آيد كه مايل به اندازه گيري و كنترل آن هستيمي آن سيگنال خطا تفاوت بين ورودي مرجع سيستم و خروجي واقع : E(s)خطاي سيستم
.مي باشدهت اعمال عنصري است كه براي تعيين سيگنال كنترلي مناسب ج :CG (s)كنترل كننده
.به سيستم بكار گرفته مي شود
9
گر ا. عنصري است كه در مسير خروجي به مقايسه كننده قرار دارد:H(s)عنصر فيدبكH(s)=1 مي نامندحلقه بسته با فيدبك واحد باشد، سيستم را.
ستم كنترل عمل كنترلي يا سيگنال كنترلي مي باشد كه خروجي سي: U(s)ورودي كنترل .و ورودي اعمال شده به سيستم تحت كنترل مي باشد
مي CG(s)و G(s)مسير از سيگنال خطا تا خروجي سيستم كه شامل : مسير پيشرو.باشد
عبور مي H(s)مسيري از خروجي است كه با ورودي مقايسه مي شود و از : مسير فيدبك.كند
يك سيگنال ورودي : D(s) (Disturbance signal) نويز/ سيگنال اغتشاشي بر به سيستم است كه در هر نقطه اي بجز ورودي مرجع مي تواند وارد شود و اثر نامعين
.عملكرد طبيعي سيستم بگذارد
10
R(s)
E(s)
G(s)
U(s)
C(s)
H(s)GC(s)
D(s)
رومسير پيش
كمسير فيدب
11
:انواع سيستم خطي، سيستم :(Nonlinear) خطي غير سيستم و (Linear) خطي سيستم.باشد صادق آن در همگني خاصيت و آثار جمع اصل كه است سيستمي
مختلف هاي ورودي از ناشي y(t) خطي سيستم يك خروجي :آثار جمع اصل هر ازاي به ها پاسخ مجموع با برابر كنند، عمل همزمان كه
.است تنهايي به ورودي :همگني اصل
.نباشد صادق آن در آثار جمع اصل كه گويند خطي غير را سيستمي.هستند خطي غير ها سيستم عمل در معموال - مدل از و كرد خطي معين كار نقطه يك حول را خطي غير هاي سيستم توان مي -
.نمود استفاده سيستم طراحي و تحليل در شده خطي
)(),(),...,( 12 txtxtxn
Time)و تغيير ناپذير با زمان (Time varying)با زمان تغيير پذير سيستم invariant): مشخصه سيستم تغيير ناپذير با زمان سيستمي است كه در آن پارامترها و
.هاي سيستم با زمان تغيير نكنند.كنند مي رتغيي زمان با سيستم هاي مشخصه و پارامترها زمان، با پذير تغيير سيستم در
)()( txty
12
و سيستم زمان گسسته (Continuous-time)پيوسته –سيستم زمان (Discrete-time) :ابعي پيوسته، سيستمي است كه در آن سيگنال ها، ت-سيستم زمان
. پيوسته از زمان هستند.در سيستم زمان گسسته، سيگنال ها به صورت گسسته مي باشند
سيستم هايي مكانيكي كه در آنها خطاي حالت: (Servo mechanism)سرومكانيزم يستم، در اين سيستم ها، خروجي س. ماندگار براي يك سيگنال ثابت ورودي، صفر است
.ورودي سيستم را دنبال مي كندال سيستمي است كه در آن خروجي حالت ماندگار براي سيگن: (Regulator)رگوالتور
م از ورودي در رگوالتورها حالت دنبال روندگي خروجي سيست. ورودي ثابت، مقدار ثابت باشد.آن وجود ندارد
: (Static system)و سيستم استاتيكي (Dynamic system)سيستم ديناميكيگذشته سيستم ديناميكي، سيستمي است كه خروجي سيستم به ورودي در زمان حال و
.بستگي دارد.خروجي سيستم در سيستم استاتيكي تنها به ورودي در زمان حال بستگي دارد
13
الس ورودي آن به نسبت تبديل الپالس خروجي يك سيستم به تبديل الپ: تابع تبديل.ازاي شرايط اوليه صفر
.در مسايل كنترل، اولين قدم مدلسازي سيستم است -.داشتن يك مدل دقيق رياضي از سيستم الزامي است -ناظر با استفاده از مدل رياضي سيستم، به ازاي ورودي هاي مختلف، خروجي هاي مت -
.با سيستم واقعي بدست مي آيد:استخراج مدل
.خروجي-استفاده از روش هاي شناسايي سيستم از اطالعات ورودي -.تركيب اطالعات اجزاء تشكيل دهنده سيستم -
?inout
VV
12
:تمتوصيف سيس)External Descriptionتوصيف خارجي (خروجي -توصيف ورودي -)Internal Descriptionتوصيف داخلي ( توصيف فضاي حالت -
14
:خواص تابع تبديل.هر سيستم فقط يك تابع تبديل دارد -).تم هاي هم ارزسيس(چند سيستم مي توانند توابع تبديل يكساني داشته باشند -.تابع تبديل مستقل از ورودي و خروجي است -.خروجي است –تابع تبديل ارتباط دهنده ورودي -.تابع تبديل تحت شرايط اوليه صفر بدست مي آيد -.تابع تبديل براي سيستم هاي خطي نامتغير با زمان تعريف مي شود -
:روش هاي بدست آوردن تابع تبديل.با استفاده از خود سيستم -.با استفاده از شماتيك و يا بالك دياگرام سيستم -.با استفاده از معادله ديفرانسيل سيستم -
15
y(t)و خروجي سيستمu(t)در سيستم هاي ديناميكي رابطه بين ورودي سيستم.را مي توان به صورت يك معادله دفرانسيل به صورت زير نوشت
)()( 01
11 tyaDaDaD n
nn
)()( 011
1 tubDbDbDb mm
mm
),...()(),()( 222 tytyDtytDy
dtd
dtd
011 ,,..., aaan01,,..., bbbm طتوس كه هستند حقيقي مقادير و ضرايب -.شوند مي تعيين سيستم هاي مشخصه
معين ضرايب و اپارامتره اوليه شرايط و سيستم بر حاكم ديفرانسيل معادله داشتن با -.آيد مي بدست ديفرانسيل معادله حل با سيستم، پاسخ سيستم،
كار سيلديفران معادله حل باال، هاي مرتبه با هاي سيستم ازاي به و كلي حالت در -.نيست اي ساده
.باشد مي الپالس تبديل از استفاده ساده حل راه يك -
16
)()( 01
11 sYasasas n
nn
)()( 011
1 sUbsbsbsb mm
mm
)()()( sUsGsY 01
11
011
1)(asasas
bsbsbsbsG nn
n
mm
mm
n: سيستم مرتبه:مراحل بدست آوردن تابع تبديل
.نوشتن معادالت اجزاء سيستم -1.نوشتن معادالت ارتباط دهنده اجزاء سيستم -2.الپالس گيري از معادالت فوق در شرايط اوليه صفر -3.محاسبه نبست تبديل الپالس ورودي به خروجي -4
)()(1
12 sVsV iRCsLCso
17
0)( 0 ti
0)( 0 tvo?
io
VV
)()()(0
1)( tRidiLtvt
Cdttdi
i
t
Co ditv0
1 )()( )()( 1 sIsV Cso
RLCمدار:1مثال
)()()( 12 tiRDLDtDv Ci
)()1()( 2 sIRCsLCssCsVi )()(12 sVsI iRCsLCs
Cs
)()( 1 titDv Co
)(1
1)()(
2 sGRCsLCssV
sVi
o
18
:كيقوانين حاكم در سيستم مكاني dtvvkxxkf )()( 2121
f
2x1x
k:فنر -1
:(Damper)ميرا كن -2)()( 2121 vvbxx
dtdbf
b
f
2x1x
mf
dtvdm
dtxdm
dtdvm
dtxdmf )0()0(
2
2
2
2
2x1x
:جرم -3
dtvvi L )( 211
2v1v
i
)(121 vv
Ri 2v
1v
i
)0( 1 vdtdCi1v
i
19
)(?:مثال)( sF
sV
m
)(tx
)(tf
dtdvmkxbvtf )(
b
معادل سيستم الكتريكي
k
dtdxv
)()()()( sFsVsksbVsmsV
)()()()( sbVsmsVsVsF sk
kbsmss
sFsV
2)(
)(
)()(2
sVs
bsmsksF
kbsmss
sFsV
2)(
)(
t
vdtvx0
)0(0
20
m1
1x
)(tf
m٢
2x
1k2k
3k
2b1b
3b
معادالت حاكم بر سيستم؟: مثال
)()()( 12222
2
31222232 dtdx
dtdx
dtdx
dtxd bxxkbxktfm
)()()( 12232322122
22
2tfxxkbxkbm dt
dxdt
dxdt
dxdt
xd
0)()( 21231111211
21
2 xxkbxkbm dt
dxdtdx
dtdx
dtxd&
مدار الكتريكي معادل
21
:دياگرام بلوكي)(sY )(sY
)(sY
)(sV )()( sYsV
)(sYنقطه شروعنقطه جمع:قواعد جبر دياگرام بلوكي
A
B C
BA CBA A
BC
CA BCA 1
A
B
CCBA A
B C
BA CBA 2
22
G1 G2
A 1AG 21GAGG2 G1
A 2AG 21GAG3
G1 G2
A 1AG 21GAGG1G2
A 21GAG4
G1A 1AG
G22AG
21 AGAG G1+G2
A 21 AGAG 5
GA AG BAG
GA BAG
B G1 B
6
GA BGAG
B
BAG
A BAG
BG
AG
BG
BGAG 7
23
GA AG
AG
AG
AGG
A
G
8
A
AGAG
G1
AG
AG
AAG
9
G1A 1AG
G22AG
21 AGAG G1
A 1AG 21 AGAG
1
2G
G
11
A
BBA
BA
B
ABA
BA
10
B
24
G1A
G2
BG1
A BG22
1G
12
G1A
G2
B B)1( 21
1GG
G
A13
:مراحل ساده سازي دياگرام بلوكي.4تركيب بالك هاي سري با استفاده از قانون -1.5تركيب بالك هاي موازي با استفاده از قانون -2.13حذف حلقه فيدبك با استفاده از قانون -3.7و 6 انتقال نقاط جمع به چپ و نقاط خروج به سمت راست با استفاده از قوانين -4
25
G1
)(sR
G3
G2 G5
G6
G4
)(sY
:مثال
G1
)(sR
G3
G2G5
G6
G2G4
)(sY
26
)(sR )(sY
)1( 31
1GG
G
)(sR )(sY
)1(1
)1(
31
241
31
1
GGGGG
GGG
)(sR )(sY
24131
6521
1)(GGGGG
GGGG
652 GGG
652 GGG
42GG
27
:رسم دياگرام بلوكي سيستم هاي فيزيكي.نوشتن معادالت توصيف كننده رفتار هر عنصر -1.فرتبديل الپالس معادالت بدست آمده از مرحله يك با فرض شرايط اوليه ص -2.رسم هر يك از معادالت الپالس در يك بالك مجزا -3.متركيب بالك هاي حاصل در مرحله قبل و تهيه بلك دياگرام كل سيست -4
:مثال)(sEi
R1
)(sEo
)(sI
idte C1
0
Reei oi
RsEsEsI oi )()()(
CssIsE )()(0
)(sEo)(sICs
1)(sEi
R1
)(sI)(sEo
Cs1
28
k b)(txo
M:مثال
)(txi
FxMD o 2 )()(2 sFsXMs o
)()( ioio xxkDxDxbF
))()()(())()(())()(()( sXsXkbssXsXkssXssXbsF ioioio
)(sXikbs
)(sXo
)(sF)(sXo)(sF2
1Ms &
)(sXi)(sXo
kbs 21
Ms
29
:(Signal flow graph)نمودار گذر سيگنال.ساختار نمودار گذر سيگنال مشابه دياگرام بلوكي مي باشد -.نشان دهنده يك متغير يا سيگنال از سيستم است (Node)گره هر -.دو گره را با يك بهره مشخص متصل مي كند (Branch) شاخههر -.هر شاخه تنها در يك جهت حركت مي كند -ه ، گره ايست كه تنها شاخه هايي به آن متصل است ك(Source)گره ورودي يا منبع -
.اين گره متناظر با يك متغير مستقل است. از آن خارج مي شوده ، گره ايست كه تنها شاخه هايي به آن متصل است ك(Sink)گره خروجي يا سينك -
. اين گره متناظر با يك متغير وابسته است. به آن وارد مي شود، گره ايست كه شاخه هايي دارد كه به آن وارد مي شوند (Mixed node)گره مخلوط -
.و هم از آن خارج مي شوند
30
.د، يك پيمايش از شاخه هاي متصل در جهت پيكان هاي شاخه مي باش(Path)مسير -.نامندمسير باز اگر مسير از هيچ گره اي بيش از يك بار عبور نكند، -مرتبه هرگاه مسير در گره اي كه آغاز شده، خاتمه يابد و از هيچ گره اي ديگر بيش از يك -
.نامند (Loop)حلقه يامسير بسته عبور نكند، يك .نامند (Loop gain)بهره حلقهحاصلضرب بهره شاخه هاي يك حلقه را -Nontouching)حلقه هاي مجزا - loop) ته ، حلقه هايي را نامند كه گره مشتركي نداش
.باشند، مسيري است كه از يك گره ورودي آغاز و در يك (Forward path)مسير پيشرو -
.گره خروجي پايان يابد و از هيچ گره اي بيش از يك مرتبه عبور نكند، حاصلضرب بهره تمام شاخه هاي مسير (Forward path gain)بهره مسير پيشرو -
. پيشرو مي باشد
31
2x
21a
1x
23a
32a
42a
33a
43a4x
3x
:مثال
حلقه -4مسير پيشرو -3گره خروجي -2گره ورودي -1بهره حلقه -4
:ويژگي نمودار گذر سيگنال ار مجموع و كند مي جمع هم با را ورودي هاي شاخه كليه هاي سيگنال گره، يك -.دهد مي انتقال شوند، مي خارج آن از كه هايي شاخه كليه به سيستم ادالتمع نوشتن با و نيست فرد به منحصر سيستم يك سيگنال گذر نمودار - ستمسي يك از متفاوتي سيگنال گذر نمودارهاي توان مي مختلف، هاي صورت به
.داشت
32
:قوانين ساده سازي نمودار گذر سيگنالix:قاعده جمع -1
n
jjiji xax
1
1x
2x
nx
1ia
2ia
ina1x
kx2x:قاعده انتقال -2
nx
nixax kiki ,...,1 , ka1
ka2
nka
:قاعده ضرب -32x1x )1( nna
nx1nx
21a
nx1x 1na)1(32211 nnn aaaa
:قاعده شاخه هاي موازي -42x1x 1a
2x1xnaaa 21
2ana :قاعده حذف گره مخلوط -5
3x1x
2x
1a
2a4x
1x
2x
31aa4x3a
32aa
33
1x:قاعده حذف حلقه -6 2x1a3x2a
3a
223 xax
33112 xaxax 3321213 xaaxaax
132
213 1
xaa
aax
:مثال12
11
1 Rv
Rvi
23132 iRiRv
23
22
2 Rv
Rvi
243 iRv
21
R
1v 11
R
3R1i 4R
11
R
21
R
3R
3v
2i2v
1v
11
R1i
11
R2v
3v2i
21
R2v
21
R 2v
3R1i
3R2i 3v2i
4R& & &
13v
34
:(Mason)محاسبه بهره نمودار گذر سيگنال با استفاده از روش ميسنk
kkPP 1 kP :پيشرو مسير امين بهره
نمودار دترمينان: 1 )دندارن مشترك گره هم با كه اي حلقه دو هر هاي بهره حاصلضرب مجموع( - )تكي هاي حلقه كليه هاي بهره مجموع( +
)دندارن مشترك گره هم با كه اي حلقه سه هر هاي بهره حاصلضرب مجموع( +
k
k : كوفاكتور (Cofactor): املش پيشرو، مسير امين كه زماني سيستم دترمينان .گردند حذف نمودار آن هاي گره و ها شاخه تمام
k
:مثال1v 1
1R
3R1i 4R2
1R
11
R
21
R
3R
2i2v1
3v ?1
3 VVG
,1
31 R
RL ,2
32 R
RL ,2
43 R
RL
:دو حلقه غير مشترك:سه حلقه غير مشترك
13, LL
0
214332413121
2143
24
23
13
31321 1)(1 RRRRRRRRRRRR
RRRR
RR
RR
RR
LLLLL
,21
431 RR
RRP ,11
4332413121
4311
1
3
RRRRRRRRRRRRP
VV
35
:مثال)(sR
1G 2G 3G 4G 5G )(sC
6G7G
1H2H
?)()(
sRsCP
,543211 GGGGGP
,54612 GGGGP ,7213 GGGP
,141 HGL ,2722 HGGL ,25463 HGGGL ,254324 HGGGGL
:سه حلقه غير مشترك12:دو حلقه غير مشترك , LL
0,)(1 214321 LLLLLL ,11 ,12 ,1 13 L
2721425432254627214
14721546154321332211
1)1(
)()(
HGGHGHGGGGHGGGHGGHGHGGGGGGGGGGGGGPPP
sRsCP
:توصيف فضاي حالت سيستم هاي كنترله اطالع از حالت يك سيستم ديناميكي، كوچكترين مجموعه از متغيرها مي باشد ك: حالت
اين متغيرها در زمان همراه با اطالع از ورودي در ، رفتار سيستم را براي هر .زمان به طور كامل توصيف كند
0tt 0tt
0tt
يناميكي را متغيرهاي حالت يك سيستم ديناميكي، حالت سيستم د: متغيرهاي حالت. تعيين مي كنند
36
د، اين متغير حالت براي توصيف كامل رفتار يك سيستم الزم باش nاگر : بردار حالت.متغيرها را مي توان به صورت يك بردار در نظر گرفت كه بردار حالت مي نامند
ت بعدي كه محورهاي مختصات آن برابر با تعداد متغيرهاي حال nفضاي : فضاي حالتك هر حالت در فضاي حالت به صورت ي. در نظر گرفته مي شود را فضاي حالت نامند
.نقطه نمايش داده مي شود
:بدست آوردن معادالت حالت از تابع تبديل)()()()()( 001
22
3 tubtyatDyatyDatyD )()(1 tytx
)()()( 12 tDytDxtx
)()()( 223 tyDtDxtx
)(00
)()()(
100010
)()()(
03
2
1
2103
2
1
tubtx
txtx
aaatxtxtx
)()()(
001)(
3
2
1
txtxtx
ty
)()( 21 txtx
)()( 32 txtx
)()()()()()( 01021323 tubtxatxatxatytx
)(tx A B )(ty C D)(tu )(tu)(tx )(tx
)( 0 tu
گي داردمعادالت حالت يك سيستم يكتا نيست و به متغيرهاي حالت بست.
37
)()()( ttt BuAxx
)()()( ttt DuCxy
A
B
C
D
(State matrix)ماتريس ضريب بردار حالت يا ماتريس حالت :
(Input matrix)ماتريس ورودي :
(Output matrix)ماتريس خروجي : (Direct transmission matrix)ماتريس انتقال مستقيم :
)()()()()()()( 012
2012
23 tubtDubtuDbtyatDyatyDatyD
)()()()( 012
2012
23 tubDbDbtyaDaDaD
)()()( 012
23 tzaDaDaDtu )()()( 01
22 tzbDbDbty :تعريف
),( )(1 tztx ),( )(2 tDztx ),( )( 23 tzDtx
)(100
)(100010
)(
210
tutaaa
t
xx
)()()(
)(
3
2
1
txtxtx
tx )()( 210 tbbbty x
012
23
012
2
)()(
asasasbsbsb
sUsY
38
)()()()( 011
1011
1 tubDbDbDtyaDaDaD mm
mnn
n
1 nm :در حالت كلي
)()()()( 21 txtxtxtTnx
011
1
012
21
1
)()(
asasasbsbsbsbs
sUsY
nn
n
mm
mm
m
B
A
D
C
)(
10
00
)()(
)()(
1000
01000010
)()(
)()(
1
2
1
1210
1
2
1
tu
txtx
txtx
aaaatxtx
txtx
n
n
nn
n
)()(
)()(
1)(
1
2
1
110
txtx
txtx
bbbty
n
n
m
39
1253
)()(
23
2
sss
sssUsY :مثال
)(100
)()()(
121100010
)()()(
3
2
1
3
2
1
tutxtxtx
txtxtx
)()()(
135)(
3
2
1
txtxtx
ty
utkybDyymD )(2
uxxx mmb
mk 1
212 21 xx
1xy
)(0
)(10
)(1
tuttmm
bmk
xx
)(01)( tty x
)()(1 tytx
)()(2 tytx
21 xx
uybkyx mm11
2 )(
m1
mb
mk
u 2x 2x yx 1
:مثال
k
b
)(tu
m)(ty
40
:انتخاب متغير حالت.اولين قدم در توصيف فضاي حالت، انتخاب متغير حالت است -)يات بازيكناننتيجه مسابقه و روح: مثال. (متغيرهاي حالت براي يك سيستم منحصر به فرد نيستند -.ر حالت مي باشدبه عنوان متغيذخيره كننده انرژي در سيستم هاي فيزيكي، انتخاب متغيرهاي فيزيكي -.فته باشد، مدلي است كه در آن از حداقل تعداد متغير حالت جهت توصيف آن بكار رمينيمالمدل حالت -
يمتغير فيزيك انرژي عنصرvولتاژ Cخازنiجريان Lسلف
vسرعت انتقالي Mجرمسرعت چرخشي ممان
Jاينرسيجابجايي kفنر
22Cv
22Li
22Mv
22J
22kx
x
.نمي آيد ، متغيري است كه بر حسب ساير متغيرهاي حالت سيستم بدستناوابستهمتغير حالت -
41
خروجي سيستم ولتاژ خازن :مثال)()( )(1 tvLte cdt
tdi
)()(0 2 tvtRi c
)(11 tix
)(2 tvx c
)()( 12
11 tetxx LL
dttititv Cc )()()( 211
)()()()( 11
121
1)( tvtititi cRCCdttdvc
)()()( 21
11
2 txtxtx RCC
)(0
)(0
)(1
11
1tett L
RCC
L
xx
)(10)( tty x
خروجي جابجايي جرم: مثال
k
b
)(tf
)(tx
m )()( )()(2tfbtkxm dt
tdxdt
txd )(1 txx
)(2 txx
)(0
)(10
)(1
tfttmm
bmk
xx
)(01)( tty x
)()( tvty c
42
1vخروجي سيستم :مثال
dttdiLtv )(
111)(
)()( 1)(
222 tvLtv dt
tdi
dttdiLtv )(
333)(
)()( 1)(
121 tiCti dt
tdv
)()()( 2)(
232 tiCtiti dt
tdv
ktiLtiLtiL )()()( 112233)()()( 112233 tDiLtDiLtDiL
هجريان هاي وابست.چهار متغير حالت غير وابسته وجود دارد
)(11 tvx
)(22 tvx
)(13 tix
)(24 tix
)(
00
0
)()()()(
00000
0000
)()()()(
2
22
1
23
32
23
1
11
1
4
3
2
1
11
1
11
4
3
2
1
tu
txtxtxtx
txtxtxtx
C
LL
L
CLLL
CLL
CC
)()()()(
0001)(
4
3
2
1
txtxtxtx
ty
43
يستمارتباط بين تابع تبديل و معادالت فضاي حالت س)()()( ttt BuAxx
)()()( ttt DuCxy
L )()()( ssss BUAXX
)()()( ssXs DUCY
)()()( ssss BUAXX
)()()( sss BUXAI
)()()( 1 sss BUAIX )(])([)( 1 sss UDBAICY DBAIC 1)()( ssG
k
b
)(tu
m
)(ty
:مثال)(
0)(
00)( 1 tutt
mmb
mk
xx
)(01)( tty x
DBAIC 1)()( ssG
0010
00
01 1
1
mm
bmks
s
mmb
mk ss
1
1 0101
ss
ss
mk
mb
ssmb
mk
mk
mb
112
11
&
kbsmsmm
kmb
ss ss
sGmk
mb
22
11
101
01)(
ukybDyymD 2)()()( 2 sUsYkbsms
LkbsmssU
sYsG
21
)()()(
44
:خطي كردن سيستم هاي غير خطي)(xfy ),(هدف، خطي كردن سيستم در نقطه كار 00 yx
20!2
100 )()()()(
02
2
0xxxxxfxfy
xxdxfd
xxdxdf
0)( 00 xxKyy
2202202101
2101!2
1
2021012010
)())((2)(
)()(),(
2021012
2
2
20210121
2
2021012
1
2
2021012
2021011
xxxxxxxx
xxxxxxfy
xxxxx
f
xxxxxx
f
xxxxx
f
xxxxx
f
xxxxx
f
0
),( 21 xxfy :خطي كردن سيستم هاي غير خطي دو متغيره
)()( 202210110 xxKxxKyy
cos(xy(خطي كردن در : مثال 2x0)cos( 20 y
)(0 22
xyxdx
df )())(sin( 222 xxy xy
102rv
eir )ln(10 2ri
rv
)(0نقطه كار tv 200 rv 78.140 ri
)78.14( ri
78.142
210
278.14
2 )ln(10)ln(10
rr
r
ii
i
20
dtdi
rritv )78.14()( 78.14
10ti
rritv
78.1410)(
L)()()( 78.14
10 sVsIs r
78.1410)()(
ssVsIr
78.1410)(
)(
s
ssVsVL
?:مثال)()(
sVsVL
45
)ln(1020)( 2rr i
dtditv
L
f
fRiK
TD
e
BDJDf
am
1
)(12
L
f
fRiK
TD
e
BJDD f
am
1
)(1
B
J
T
LTJDBDT 2
46
:DCمدلسازي موتورهاي يكيتبديل يك سيگنال الكتريكي به يك سيگنال مكان -
(Field control)كنترل ميدان -
(Armature control)كنترل آرميچر -
.جريان آرميچر ثابت، ورودي يك ولتاژ قابل تنظيم مي باشد: كنترل ميدان -
fi
2K
1
)()( 1 tiKtT a
)(2 tiK f
famfa iiKiiKKT 21
fffff eiRDiL )1(
DR
ei
ff
ff f
ff R
L
47
Df
RiK
fam
1
fELT
BJD 1
0LT:محاسبه معادالت فضاي حالت با فرض -fffff DiLiRe
BDiiKJD fam 2famfa iiKiiKKT 21
LTJDBDT 2
fix 2
1x
y
)(0
)(0
)( 1 tuttff
f
am
LLRJ
iKJB
xx
)(01)( tty x
fetu )(
48
.سرعت توسط تنظيم ولتاژ اعمال شده به آرميچر تنظيم مي باشد: كنترل آرميچر -3Kec
fcfc iKiKKe 32
, fam iiKT LTJDBDT )( 2
aaaaaaaca iDRDiLiRee )1(
aa
RL
a
)1(
1DR aa
aELT
BJD 1
fmiK
fciK
49
0LT:محاسبه معادالت فضاي حالت با فرض -
DiKDiLiRe fcaaaaa
2JDBDiiK fam
aix 1
2x
y
)(0
)()(1
tutt a
fm
a
fc
a
aL
JB
JiK
LiK
LR
xx
)(10)( tty x
a
a
a
a
a
fc
Letx
LRtx
LiK
tx
)()()( 121
)()()( 212 txJBtx
JiK
tx fm
aetu )(
لتحليل پاسخ گذرا و ماندگار سيستم هاي كنتراراعمال سيگنال هاي استاندارد به سيستم و تحليل پاسخ خروجي سيستم در حالت گذرا و ماندگ: هدف
(Transient response)ا پاسخ حالت گذر -مپاسخ سيست
(Steady-state response)پاسخ حالت ماندگار -
.ريب زدتقمرتبه دو در عمل بسياري از سيستم هاي صنعتي را مي توان با يك سيستم
تابع پله -2
0 0
0 1)(
tt
tuL
ssU 1)(
ورودي هاي استاندارد
1)(
0 0
)( 0
0-
dtt
t
t
L
1)( s تابع ضربه -1
)()()( tctctc sstr
تابع شيب -3
0 0
0 )(
ttt
trL
21)(s
sR
)سهموي(تابع شتاب -4
0 00
)(2
21
ttt
taL
31)(s
sR 50
تابع چند جمله اي -5
0 0
0 )( !
3!3
2221
143
t
tttttRRtp
pp
RRR p
تابع سينوسي -6
0 00t cos
)(ttR
ts
پاسخ حالت ماندگار )(lim)( tctc
tss
پاسخ حالت ماندگار سيستم مرتبه اول -الف
0)(
asksG
)()()( sRsGsC ورودي پله واحد -1
00
001)(asssas
ksC ak
ak
)exp()( 000
tatc ak
ak
0)(lim)(
aktctc
tss
)(lim)(lim0
tcssCts
0000
1lim)(lim)(ak
sasksssCtc
ssss
ورودي شيب واحد -2
20
1)(sas
ksC
)exp()( 020
200
tattcak
ak
ak
2
000
1lim)(lim)(sas
ksssCtcssss
51
0
1a
ورودي سهمي -3
3000
1lim)(lim)(sas
ksssCtcssss
:مثابت زماني سيست.، پاسخ سريعتر به مقدار نهايي خود مي رسدسيستم كوچكتر باشدهرچه ثابت زماني -
پاسخ حالت ماندگار سيستم مرتبه دوم -ب
012)(
asasksG
001
200
1lim)(lim)(ak
sasasksssCtc
ssss
نوسيپاسخ ماندگار سيستم خطي به ورودي سي
.سي خواهد بودبا فرض پايداري سيستم خطي، پاسخ ماندگار آن به ورودي سينوسي، يك تابع سينو -Im
ReR
Imحوزه فازور
ReR
C
)cos()( tRtr )cos()( tCtcss
52
هپاسخ حالت گذراي سيستم مرتبه يك به ورودي پل
(Overdamped)پاسخ ميراي شديد -1
(Critically damped)پاسخ ميراي بحراني -2
(Underdamped)پاسخ ميراي ضعيف -3
پاسخ حالت گذراي سيستم مرتبه دوم به ورودي پله
0
1a
)(tc
t
0)(
asksG
)exp()( 000tatc a
kak
10 a
20 a
30 a 2k:فرض
53
(Overdamped)پاسخ ميراي شديد -1
))(()(
012
ss
kasas
ksG
sssk
sssksC 1111
))(()(
)exp()exp(11)( ttktc
ktctc
sss
)(lim)(
54
)(tc
t
21
10k
55
(Critically damped)پاسخ ميراي بحراني -2
2)()(
sksG
222 )(
111)(
)(
sssk
ssksC
)exp()1(1)( 2 ttktc
2)(lim)(ktctc
sss
)(tc
t
1,2 10k 1:
2:2 20k
21
ميراي شديد
ميراي بحراني
56
(Underdamped)پاسخ ميراي ضعيف -322)())((
)(
s
kjsjs
ksG
22222222 )()(11
)()(
sss
sk
ssksC
ttttktc
sin)exp(cos)exp(1)( 22
22)(lim)(
ktctcsss
)(tc
t
57
ssp(Maximum overshoot)حداكثر فراجهش - cc max 100% max
ss
ssp c
cc.رددافزايش حداكثر فراجهش باعث كاهش پايداري سيستم مي گ -
زمان رسيدن پاسخ به نصف مقدار ماندگار: (Delay time)زمان تاخير - dt
مقدار نهايي% 90تا 10و يا از % 95تا % 5، يا از %100تا 0زمان رسيدن پاسخ از : (Rise time)زمان صعود - rt
مقدار نهايي% 5يا % 2زمان رسيدن پاسخ : (Settling time)زمان نشست - st
زمان رسيدن پاسخ به اولين مقدار ماكزيمم: (Peak time)زمان پيك - pt)(tc
t
p
dt
rt st
22
2
2)(
nn
n
sssG
n
22 n
ينسبت ميراي -
فركانس طبيعي ميرا نشده -
pt
58
فاوت حالت هاي مختلف پاسخ سيستم به ازاي مقادير مت -پاسخ نوساني: -1پاسخ ميرايي ضعيف: -2پاسخ ميرايي بحراني: -3پاسخ ميرايي شديد: -4
0
10
1
1
:پاسخ سيستم به ورودي پله واحد -)2(
)( 22
2
nn
n
ssssC
12
2cos)1(sin
11)(
tetc n
tn
تمرين
21 nd دهفركانس طبيعي ميرا ش -
cosIm
Re
n
n
21 nd
59
0
10 1
1
01
1
60
حدمحاسبه ويژگي هاي پاسخ سيستم مرتبه دو به ورودي پله واp
dt
rt
st
0)(
pttdttdc 0)1(sin
12
2
pn
tn te pn
0)1(sin 2 pn t
,3,2,,0)1( 2 pn t 21
npt
)exp()cossin()exp(1)( 222 11
11
1
pp tc
12
2cos)1(sin
111)(
rn
t
r tetcrn
21
nrt
)1به 0براي رسيدن پاسخ سيستم از (
.دحل دقيق آن تقريبا دشوار است و معموال از روش هاي تقريبي محاسبه مي شو:به صورت تقريبي برابر است با
nst
4
nst
3 %:2معيار %:5معيار &
61
)(sR )(sCk )(sG
)(sE
يت تابع تبديل از ولتاژ ميدان به موقع:مثال:با كنترل ميدان DCمحور موتور
)125.0(5.0)(
ss
sG
kssk
sRsC
242
)()(
2
ssR 1)(
)24(2)( 2 ksssksC
tt eetc 414.3586.0 207.0207.11)(
tt etetc 2221)(
)4641.3cos(1547.11)( 652 tetc t
1k
2k
8k
Df
RiK
fam
1
fE
BJD 1
s1
1f:فرض
)1)(1(1
)(1)(
)(2
sss
KsBsJssE
s
fLf
RiK
f
fam
BJ
L f
ff R
L
)1()()(
ssK
sEs
Lf &
62
8kمحاسبه ويژگي هاي پاسخ سيستم به ازاي
)164(16)( 2
sss
sC
4n5.046.3d60
91.0pt
%3.16% p
6054.0rt
2st
5.1st %:5معيار
%:2معيار &
)(tc
t
1k2k
8k
63
اثرات اضافه كردن قطب و صفر به توابع تبديل
.قطب هايي كه بيشترين تاثير را در پاسخ سيستم دارند: توابع تبديلقطب هاي غالب -
.بسياري از سيستم ها را در عمل مي توان با تعيين دو قطب غالب آن به سيستم درجه دو تقريب زد -
.قرار دارند و به محور موهومي نزديك تر باشند، پاسخ گذراي كندي دارند sقطب هايي كه در صفحه -
.دارند قطب هايي كه نسبت به قطب هاي غالب در فاصله دورتري از محور موهومي قرار دارند، پاسخ گذراي سريع تري -
.برابر قطب غالب و يا قطب هاي مزدوج غالب باشد، قطب كم اثر است 10تا 5در عمل، اگر اندازه قسمت حقيقي قطبي -
22
21
2)()(
nn
n
sssRsC
))(2()()(
322 psss
ksRsC
nn
3
2 pk n&
tpn
t eAteAtc n 32
21 ))1sin((21)(
03 p&
.همواره منفي است - 2A.با حركت قطب به سمت محور موهومي اندازه افزايش يافته و حداكثر فراجهش كاهش مي يابد - 2A
64
65
22
21
2)()(
nn
n
sssRsC
22
12
2)(
)()(
nn
n
sszs
sRsC
01 z&
66
نوع سيستمsR)(.ي شوددر بررسي نوع سيستم فيدبك واحد در نظر گرفته م - )(sC
)(sG)(sE
)()()(
011
1
011
1
asasassbsbsbsksG n
nnq
mm
m
q .معرف نوع سيستم مي باشد -
sR)(:مثال )(sC)(sE)2(
32 ss
sسيستم نوع دو و از مرتبه سه
)()(
3343
)()(1)(
)()(
23 sDsN
ssss
sHsGsG
sRsC
)()(
)(1)(
)()(
sDsN
sGsG
sRsC
eq
eq
)24(
3)()(
)()( 2
sss
ssNsD
sNsGeq
سيستم نوع يك و از مرتبه سه
)(sR )(sC)(sE)1(
1ss
33s
)(sB
)1(1)(
ss
sG3
3)(
s
sH&
:مثال
67
)(sR )(sC)(sE
)(sB
)(sG
)(sH
]1)()[(1)()(
sHsGsGsGeq
در حالت كلي
)با فرض پايداري سيستم(سيستم هاي كنترل (Steady-state error)خطاي حالت ماندگار .از اهداف مهم كنترل سيستم، دنبال كردن ورودي مرجع توسط خروجي سيستم مي باشد -
)(sR )(sC)(sG
)(sE
)(1)()(sG
sRsE
)(lim)(lim
0ssEtee
stss
sstr etete )()(
به ورودي پلهخطاي حالت ماندگار -1
)(1lim
)(11lim
00 sGR
sR
sGse
ssss
)(lim
0sGK
ss
&s
ss KRe
1
cteKs:سيستم نوع صفر -
sK0sse:سيستم نوع يك و باالتر -s
ss KRe
1
68
:مثال3
5)(
s
sG375.01
1
35
sse
35)(lim
0
sGK
ss
rK0sse:سيستم نوع دو و باالتر -
به ورودي شيبخطاي حالت ماندگار -2
)(lim
)(11lim
020 ssGsR
sR
sGse
ssss
)(lim
0ssGK
sr
&r
ss KRe
0rKsse:سيستم نوع صفر -
به ورودي سهمويخطاي حالت ماندگار -3
)(lim
)(11lim 22030 sGss
RsR
sGse
ssss
)(lim 2
0sGsK
sa
&a
ss KRe
cteKa:سيستم نوع دو -
aK0sse:سيستم نوع سه و باالتر -
0aKsse:سيستم نوع صفر و يك -
ass K
Re
cteKr:سيستم نوع يك - r
ss KRe
69
ورودي سهموي ورودي شيب ورودي پله نوع سيستم0
1
2
3
aKR
rKR
sKR1
0
0
0
0
0
0
طاي حالت براي سيستم هايي كه فيدبك واحد ندارند بايستي از روش مستقيم خ.ماندگار را بدست آورد
70
تاثير فيدبك بر عملكرد سيستم هاي كنترل)(sR )(sC
sk1
hs
ksTsRsC
c
c
hs
ks
k
1)(
)()(
11
1 hkkkc
1
hkc
1
.فيدبك بهره سيستم و ثابت زماني را كم مي كند -.كاهش ثابت زماني باعث افزايش سرعت سيستم مي شود -
)(sR )(sCs
k1
bs
كاهش ثابت زماني به ازاي ثابت ماندن بهره سيستم
sksT
csbk
k
1)( 1)( bkc
سيستم هاي كنترل (External disturbances)تاثير فيدبك بر اغتشاشات خارجي .اغتشاشات خارجي، ورودي هاي غير قابل پيش بيني هستند كه تاثير منفي بر عملكرد سيستم دارند -
يك ثابت غير صفر ثابت (Offset)يا افست (Load disturbances)اغتشاشات بار -الف(Random noise)سيگنال نويز تصادفي -ب
71
)(sR )(sCo
)(sN
)(2 sG)(1 sG)()()( 21 sCsCsC ooo
)(sR )(sCc)(2 sG)(1 sG
)(sH
)(sN
)()()( 21 sCsCsC ccc
)()()()( 211 sRsGsGsC o
)()()( 22 sNsGsC o
.و را به ترتيب با صفر قرار دادن و بدست مي آوريم cC1cC2)(sN)(sR
)()()()(1
)()()(21
211 sR
sHsGsGsGsGsC c
)()()()(1
)()(21
22 sN
sHsGsGsGsC c
&
:با مقايسه روابط و داريم
)()()(11
)()(
212
2
sHsGsGsCsC
o
c
cC2oC2
1)()(
2
2 sCsC
o
c
72
تاثير فيدبك بر حساسيت سيستم هاي كنترل.در طراحي معموال مدل كاملي از سيستم عملي را در نظر مي گيريم -.خطاهاي مدلسازي و اندازه گيري در طراحي ناديده گرفته مي شوند -.در سيستم مي شود (Uncertainty)تغييرات محيط، فرسودگي و عدم دسترسي به برخي پارامترهاي مدل باعث بروز نامعيني -
اي عبارت است از بررسي عملكرد سيستم كه تا چه اندازه اي به برخي تغييرات و خطاه (Sensitivity)بررسي حساسيت . موجود در پارامترها حساس مي باشد
)()()( sRsGsC .در سيستم حلقه باز خروجي مستقيما به تغييرات مدل سيستم بستگي دارد -
)()()(1
)()( sRsHsG
sGsC
:در سيستم حلقه بسته مي توان را به نحوي انتخاب نمود كه -
1)()( sHsG
)(sH
)()(
1)( sRsH
sC
وساني انتخاب به نحوي كه برقرار گردد هميشه عملي نيست و در برخي موارد باعث ايجاد پاسخ ن -.و يا ناپايداري سيستم مي گردد
)(sH1)()( sHsG
)(sG )()()(.فرض كنيد تاثير تغييرات پارامترهاي مدل باشد - sRsGsC ازدر سيستم حلقه بستهدر سيستم حلقه ب
)()()]()([1
)()()()( sRsHsGsG
sGsGsCsC
)()()(1)()]()([1
)()( sRsHsGsHsGsG
sGsC
73
)(
)()(1)()( 2 sR
sHsGsGsC
)()()()( sHsGsHsG :معموال مي توان فرض نمود -
1)()(1 2 sHsG تم حلقه در اكثر موارد مي باشد و در نتيجه تاثير تغييرات مدل بر پاسخ خروجي در سيس -.بسته كمتر از سيستم حلقه باز است
:حساسيت سيستم به تابع تبديل حلقه باز)(/)()(/)(
sGsGsTsTST
G
به ازايتغييرات كوچك
)(/)()(/)(
sGsGsTsTST
G
)()()(
sRsCsT
&GHGHG
GGHT
GGTST
G
1
1]1/[]1[
12
2)(
)(
)()(11
)()(
)( sHsGsGsT
sGsR
sC
:حساسيت سيستم به تابع فيدبك
GHGH
GHGH
GHG
TH
HTST
H
1]1/[1
2
:حساسيت پاسخ سيستم حلقه بسته به تابع تبديل حلقه باز
GHRGH
GHR
CG
GCSC
G
1
11]1[ 2
74
)(sR )(sCs
k1
h
مثالkhs
ksT
1
)(
))exp(1()( 11 ttc kh
khk
hksshks
hkss
Tk
kTST
k
11)1(
)1(1
2
hkskh
khhks
hksk
Th
hTST
h
1
)1()1( 2
2
hkss
khks
hksks
TTST
1)1(
)1( 2
75
تحليل پايداري سيستم هاي كنترل
م نيز دامنه است اگر ورودي يا اغتشاشات با دامنه محدود به سيستم اعمال گردد، پاسخ سيست پايدارسيستمي -.محدود داشته باشد
011
1
011
1
)()()(
asasasabsbsbsb
sRsCsT n
nn
n
mm
mm
ا گذشت اگر قطبهاي تابع تبديل در سمت چپ محور موهومي قرار گيرند، پاسخ گذراي سيستم ميرا مي شود و ب -.است پايدارزمان به صفر ميل كرده و سيستم
خ اگر يك يا چند زوج قطب غير تكراري در محور موهومي قرار داشته باشند و ساير قطبها در سمت چپ، پاس -.خواهد بودنوساني ميرا نشده سيستم به صورت
معادله مشخصه
سيستم حتي اگر يك قطب در سمت راست محور موهومي قرار داشته باشد، دامنه پاسخ سيستم افزايش يافته و -.است ناپايدار
.محاسبه ريشه هاي معادله مشخصه سيستم به ازاي درجات باال به سادگي امكان پذير نيست -
:ي باشندبراي اينكه تمام ريشه هاي يك چند جمله اي داراي قسمت حقيقي منف) ولي كافي نيست(الزم شرط -.باشندهم عالمت و غيرصفرتمامي ضرايب چند جمله اي
76
روش هاي بررسي پايداري سيستم هاي كنترل(Routh)روش روث -1
(Hurwitz)روش هرويتز -2
(Root-Locus)روش مكان ريشه -3
(Frequency response)روش پاسخ فركانسي -4
(Routh)روش روث
1
1
321
4321
7531
642
0
1
3
2
1
kg
cccbbbb
aaaaaaaa
ss
ssss
nnnn
nnnn
n
n
n
n
ضرايب معادله مشخصه
1
3211
n
nnnn
aaaaab
1
5412
n
nnnn
aaaaab
1
7613
n
nnnn
aaaaab
1
12311 b
ababc nn
1
13512 b
ababc nn
1
14713 b
ababc nn
تون اولدر ستغيير عالمتها معادله مشخصه برابر است با تعداد قطبهاي سمت راست تعداد
77
:مثال
0156116 234 ssss
153
151066
15111
0
1
2
3
4
sssss
.مودضرب و يا تقسيم ن مثبتاعداد سطرهاي مختلف جدول را مي توان در يك عدد
k :0133بررسي پايداري سيستم به ازاي تغييرات : مثال 23 ksss
k
k
ssss
k
1
1331
38
0
1
2
3
08 k
01 k81 k
78
:حالت هاي خاص
:يك از اعداد ستون اول صفر شود و ساير اعداد آن سطر همگي صفر نشوند -الف.، از استفاده كرده و جدول را براي معادله جديد كامل مي كنيم در معادله اصلي بجاي -1.معادله اصلي را در فاكتور معلوم ضرب كرده و جدول را بدست مي آوريم -2.ي كنيمبجاي صفر يك مقدار خيلي كوچك فرض كرده و جدول را كامل كرده و تعداد تغيير عالمت را بررسي م -3
x1
)1( s
0633:مثال 234 ssssxs 1
01336 234 ssss
069642 2345 sssss
1s
??
6031
631
0
1
2
3
4
sssss
12
1113
136
0
1
2
3
4
sssss
662941
0
1
2
3
4
5
ssssss
3361
331941
0
1
2
3
4
5
ssssss
17
1161
331941
0
1
2
3
4
5
ssssss
6
631
631
63
0
1
2
3
4
sssss
0
s
79
:تمامي اعداد يك سطر صفر شوند -ب:زماني رخ مي دهد كه در معادله مشخصه
يك جفت ريشه روي محور موهومي باشند، -1 .يك جفت ريشه حقيقي با عالمتهاي متضاد باشند -2
با . بدست مي آوريم (Auxiliary equation)با استفاده از ضرايب سطر قبل يك معادله كمكي :روش حل.جايگزين نمودن ضرايب مشتق معادله كمكي بجاي ضرايب صفر، جدول را كامل مي كنيم
.ريشه هاي معادله كمكي ريشه هاي مورد نظر نيز هستند -0402030152:مثال 2345 sssss
004030220151
0
1
2
3
4
5
ssssss
0201540302 2424 ssss
0152304 33 ssssdsd
2033.20
205.7152
2015120151
0
1
2
3
4
5
ssssss
jsjs
ss
029.4029.4
11.111.1
4
3
2
1
25 s
80
(Hurwitz)روش هرويتز .باشد معادله را به نحوي در نظر مي گيريم كه اولين ضريب آن مثبت -
0
2
31
2
31
0000
00
0000
a
aaaa
aaaa
nn
nn
nn
nn
n
11 na
2
312
nn
nn
aaaa
31
42
531
3
0
nn
nnn
nnn
aaaaaaaa
nii:اگر و تنها اگرتمام ريشه هاي معادله مشخصه در سمت چپ محور موهومي قرار دارند، - ,,2,1 ,0
:مثال41 16
71124
2 12400710124
3 01274 23 sss
& &
012:مثال kkss
k1 )1(11
02
kk
kk
0k01k
1k&
81
(Root-Locus)روش مكان ريشه
.ستم بستگي داردمشخصه اصلي رفتار حالت گذراي يك سيستم حلقه بسته به موقعيت قطبهاي حلقه بسته سي -.غيير مي كنداگر سيستم يك بهره قابل تنظيم داشته باشد، موقعيت قطبهاي حلقه بسته با تغيير بهره ت -
همچنين . ايست به ازاي سيستم هاي مرتبه سه و باالتر، محاسبه قطبهاي حلقه بسته از معادله مشخصه كار پيچيده -.با تغيير بهره بايستي تمامي محاسبات را دوباره انجام داد
ياز به جبرانساز در بسياري از موارد نمي توان با تغيير بهره به مشخصه مطلوب در سيستم حلقه بسته برسيم و ن -.داريم
از بهره سيستم نمودار مكان ريشه، نموداري از ريشه هاي معادله مشخصه يك سيستم حلقه بسته مي باشد كه تابعي -.حلقه باز است
)(sR )(sC)(sE
)(sB
)(sG
)(sH
1)()(0:معادله مشخصه sHsG
حلقه باز قطبهاي سيستم حلقه بسته به قطبها و صفرهاي تابع -.و بهره سيستم حلقه باز بستگي دارد )()( sHsG
82
رسم ريشه هاي معادله مشخصه:مثال
)(sR )(sC)2( ss
k 01)()(1 )2(2
)2(2
sskss
ssksHsG
022 kssks 112,1
12,1 s
0k01 s22 s
1k10 kدريشه ها حقيقي و روي بخش منفي قرار دارن.
1k111 22,1 kjs nn
ش با افزايش بخش موهومي ريشه ها افزاي.يافته و بخش حقيقي آنها ثابتند
0k0k 1k
2k
2k
k
k
83
خواص اساسي مكان ريشه
1)()(0:شرط اندازه -1 sHsG1)()( sHsG11)()( sHsG
n
jj
m
ii
nm
ps
zs
pspspszszszs kksHsG
1
12121
)(
)(
)())(()())(()()(
1)()(
1
1
)(
)(
n
jj
m
ii
ps
zs
ksHsG
)()(1:شرط زاويه -2 sHsGkpspsps
zszszsn
m 1)())(()())((
2121
0 ,20 ,)12(
)()(11 ki
kipszs
n
jj
m
ii
:مثال)8)(1(
)5()(
ssssksG
1
Im
Re58
1s
1p2p3p1z
1pl2pl3pl 1zl
1sرددجزء مكان ريشه هاي معادله مشخصه است اگر شرط زاويه برقرار گ..ريشه معادله مشخصه سيستم خواهد بود ،kبا تنظيم ضريب 1s
i
ipppz 2
)21(3211
1
3211
1115
81z
pppl
llls
sssk
.وار استمحاسبه تمامي ريشه هاي ممكن معادله مشخصه با اين روش بسيار دش
, 1)( sH
84
قواعد ترسيم مكان ريشه به ازاي
:مكان ريشه (Branch)تعداد شاخه هاي -1 تعداد شاخه برابر است با. بين و را يك شاخه نامند kمكان يك ريشه از معادله مشخصه به ازاي تغييرات
.درجه معادله مشخصه و يا تعداد قطبهاي حلقه باز سيستم
0k
:مكان ريشه بر محور حقيقي -2متآن بخش از محور حقيقي جزء مكان ريشه است كه در س
.راست آن تعداد فردي صفر و قطب وجود داشته باشد
Im
Re1s
4p
3p
1p2p5p6p7p2z 1z
3p
4p
0276512 zpppzp
36043 pp 180
1p&
33600180
:نقاط شروع و پاياني مكان ريشه -3مي شوند، به سمت صفر، ريشه هاي معادله مشخصه برابر با قطبهاي تابع حلقه باز kبا كاهش
kn.ندو با افزايش آن به سمت بينهايت ريشه ها برابر با صفرهاي تابع حلقه باز مي شو
jj
m
ii
ps
zs1
1
1
)(
)(
85
:مجانبهاي مكان ريشه به ازاي -4 s
1lim)()(lim )())(()())((
2121
mnpspspszszszs
ss skksHsG
nm
ks mn ks mn
180)21( isk mn 180)21()( ismn mn
is
180)21(
mni
180)21(خطوط مجانب:ناحيه تالقي مجانبهابا محور حقيقي -5
mn
zp ji
0
)84)(1()( 2
ssssksG, 1)( sH )1)(84(0:مثال 2 kssss
1
Im
Re2
jppp
221
0
4,3
2
1
j2
3,2,1,0 ,04180)21(
ii
315,225,135,45
25.145
4022221
0
jj
0
86
Im:نقطه شكستگي بر روي مكان ريشه -6
Re1p2p5p2z3z4z 1z
3p
4p
(Break-away points)نقاط در شكست -
(Break-in points)نقاط بر شكست -
.اشدمكان ريشه ممكن است بيش از يك نقطه شكست داشته ب -.دممكن است نقطه شكست روي محور حقيقي قرار نداشته ياش -
ازي كه نقاط شكست برابرند با ريشه هاي مشتق معادله حلقه ب.ريشه خود معادله مشخصه نيز باشد
)2)(1()(
sssksG, 1)( sH 0:مثال
)2()1(263
)2)(1( 222
2
sss
sssss
kdsd
1
Im
Re2
4226.05773.1
2
1
ss
87
:زاويه خروج از قطب هاي مختلط و زاويه ورود به صفر هاي مختلط -7
1
Im
Re58
4p
1p2p3p1z
5p 90
1s4p
از شرط زاويه بايستي در نقاط ورود به صفر و يا خروج.قطب در همسايگي آن نيز برقرار باشد
180543211 pppppz
)22)(1()54()( 2
2
sss
ssksG, 1)( sH :مثالjp
p
1
1
3,2
1, 22,1 jz
1
Im
Re2
1p
2p1z j
j2z 3p
:محاسبه زاويه ورود به صفر - 1z180,2p90
2z 13590)1(tan, 1
1
p
57.11690)(tan 211
3
p 57.161180]90)57.116135180[(1
z
:محاسبه زاويه خروج از قطب - 1p180)]4545()9090[(1801
p
43.63)]43.630()9090[(1802
p
90,31 pp 0,
1z
43.63)(tan 121
2
z
:محاسبه زاويه خروج از قطب - 2p
88
:محل تالقي مكان ريشه با محور موهومي -8.با استفاده از روش روث يا هرويتز محل تالقي را مي توان بدست آورد -
086)( 23 kssss :مثال
648
0
1
2
3
681
k
k
ssss
48k0486 2 sjs 82,1
:در يك نقطه از مكان ريشه kمحاسبه مقدار -9.را در هر نقطه از مكان ريشه محاسبه نمود kبا استفاده از شرط اندازه و با روش تحليلي يا ترسيمي مي توان مقدار -
k
د نظرحلقه باز به نقطه مور قطبهايحاصلضرب طول بردارهاي رسم شده از نظر حلقه باز به نقطه مورد صفرهايحاصلضرب طول بردارهاي رسم شده از
315,225,135,4525.1
45
4022221
0
jj
:مثال)84)(1(
)( 2
ssssksG, 1)( sH
jppp
221
0
4,3
2
1
3,2,1,0 ,
04180)21(
ii
: محاسبه زاويه خروج از قطب - jp 223
57.16118057.341 180)12(9057.116135
180)12(4213
k
ipppp
89
1
Im
Re2
j2
0
0)84)(1(
)824154()84)(1( 2 2
23
2
ssss
sssssss
kdsd
jss
3432.16549.14402.0
3,2
1
k
k
k
sssss
k
410
5204
10
0
1
2
3
4
85121
0424
10 s04
10520 k 4k
265.12,1 js
:محل تالقي با محور موهومي
90
قواعد ترسيم مكان ريشه به ازاي
:مكان ريشه (Branch)تعداد شاخه هاي -1
0k
:مكان ريشه بر محور حقيقي -2.اشدصفر و قطب وجود داشته ب زوجيآن بخش از محور حقيقي جزء مكان ريشه است كه در سمت راست آن تعداد
:نقاط شروع و پاياني مكان ريشه -3
:مجانبهاي مكان ريشه به ازاي -4 smn
i
1802
:ناحيه تالقي مجانبهابا محور حقيقي -5
:نقطه شكستگي بر روي مكان ريشه -6
ipszs:زاويه خروج از صفرهاي مختلط و زاويه ورود به قطب هاي مختلط -7n
jj
m
ii 2)()(
11
:محل تالقي مكان ريشه با محور موهومي -8.با استفاده از روش روث يا هرويتز محل تالقي را مي توان بدست آورد -
:در يك نقطه از مكان ريشه kمحاسبه مقدار -9.را در هر نقطه از مكان ريشه محاسبه نمود kبا استفاده از شرط اندازه و با روش تحليلي يا ترسيمي مي توان مقدار -
