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Sum & Differences Sum & Differences of anglesof angles

Stage 6 - Year 11Stage 6 - Year 11

Mathematic Extension 1(Preliminary)

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We find the sum or difference of anglesto make the hard questions easier.

End ofSlide

-1

1

1-1x

yx-y

(cos x, sin x) B

A (cos y, sin y)

x - y

11

4

AB2 = (cos x – cos y)2 + (sin x – sin y)2

End ofSlide

cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin yProof part 1 - distance formula

d2 = (x2–x1)2 + (y2–y1)2

+ (cos2y + sin2y)- 2cos x cos y- 2sin x sin y

= 2- 2(cos x cos y + sin x sin y)

1

Xo-yo

= cos2x – 2 cos x cos y + cos2y

+ sin2x – 2 sin x sin y + sin2y

= (cos2x + sin2x)

5

End ofSlide

cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin yProof part 2 – cosine rule

a2 = b2 + c2 – 2bc cos AAB2 = 12 + 12 – 2(1)(1) cos(x - y)

AB2 = 2 – 2 cos(x - y)2

Xo-yo

6

End ofSlide

cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin yProof part 3 – from 1 and 2

2 – 2 cos(x-y) =2

2 - 2(cos x cos y + sin x sin y)1

x x

xo-yo

–2 cos(x-y) =2

-2(cos x cos y + sin x sin y)1

x xcos(x-y) =cos x cos y + sin x sin y

8

End ofSlide

-1

1

1-1x yx+y

(cos x, sin x) B A (cos y, sin y)

1 1

xo + yo

9

End ofSlide

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y

Replace y with -y

cos(x–y) = cos x cos y + sin x sin y

cos(x–(-y)) = cos x cos(-y) + sin x sin(-y)

cos(x+y) = cos x cos y + sin x (-sin y)

cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y

xo+yo

10

End ofSlide

-1

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

Replace x with 90o-x

cos(x–y) = cos x cos y + sin x sin y

cos((90o-x)– y) = cos(90o-x) cos y + sin(90o-x) sin y

cos(90o-(x+y)) = sin x cos y + cos x sin y

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

xo+yo

11

End ofSlide

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y

Replace y with -ysin (x+y) = sin x cos y + cos x

sin ysin (x+(-y)) = sin x cos (-y) + cos x sin

(-y)sin (x-y) = sin x cos y + cos x (-sin y)

sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y

xo-yo

12

End ofSlide

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

Replace x with 90o-x

cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y

cos((90o-x) – y) = cos (90o-x) cos y + sin (90o-x) sin y

cos(90o- (x+y)) = sin x cos y + cos x sin y

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y

xo+yo

13

=

sin x cos y + cos x sin ycos x cos y

End ofSlide

tan x + tan y1 – tan x tan y

tan (x+y) =

xo+yo

tan(x+y) =sin(x+y)cos(x+y) cos x cos y - sin x sin y=sin x cos y + cos x sin y

cos x cos y + sin x sin ycos x cos y

=sin x cos ycos x cos y

+cos x sin ycos x cos y

cos x cos ycos x cos y

-sin x sin ycos x cos y

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx xxxxxxxx xxxx

+ tan y= tan x1- tan x

1

tan y

tan(x+y) =

14

=

sin x cos y - cos x sin ycos x cos y

End ofSlide

tan x - tan y1 – tan x tan y

tan (x-y) =

xo-yo

tan(x-y) = sin(x-y)cos(x-y) cos x cos y + sin x sin y=sin x cos y - cos x sin y

cos x cos y + sin x sin ycos x cos y

=sin x cos ycos x cos y

-cos x sin ycos x cos y

cos x cos ycos x cos y

+sin x sin ycos x cos y

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxx xxxxxxxx xxxx

- tan y= tan x1+ tan x

1

tan y

tan(x-y) =

15

End ofSlide

cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin ycos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin ytan x + tan y1 – tan x tan y

tan (x+y) =

tan x - tan y1 – tan x tan y

tan (x-y) =