II. Les signaux sinusoïdaux 1

Signaux et Analyse de Fourier

F.BisterChamps sur Marne

UE2 - Culture Technologique et Développement Multimédia M21 - Culture Scientifique et Traitement de l’Information

Matière: Représentation de l’information

I.Définitions 2

Variable temps :t

s

1. Information ?

1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1

T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 …horloge

Information binaire

I. Définitions 3

Signal sonoreSignal électrique

Signal électrique

Signal physique électromagnétique de transmission

Antenne

Commentateur radio

Micro Câbles

Transmission analogique

AntenneCâbles

Haut-parleur Auditeur

2. Transmission

I. Définitions 4

Modem

tension

temps

tension

Signal de transmission - Analogique

- Sinusoïdal par morceaux

Signal de transmission - Analogique

- Constant par morceaux, dit bande de base

00110110010100110100111Information Numérique

Information Numérique

2. TransmissionTransmission Numérique

I. Définitions 5

4. Signal Périodique

Signal carré

Signal sinusoïdal

t

s

T

T

s

t

I. Définitions 6

1. Cosinus

Ts

ts = cos(2Ft)0

1

-1

Ts

ts =A.cos(2Ft)0

A

-A

II. Les signaux sinusoïdaux 7

Ts

ts =A.cos(2Ft)+B0

A+B

-A+B

B

B

0

s T

t

notes

19

17

15

12

9

7

5

moyenne+3

-3moyenne

1. Cosinus

II. Les signaux sinusoïdaux 8

Ts

t

s=A.cos(2Ft+)+B

(A>0; B>0)

0

A+B

-A+B

B

B = moyenneF = fréquence en Hertz (Hz)t = variable temps en seconde (s)A = Amplitude (par rapport à la moyenne)2Ft+ = phase = phase initiale en radian (rad)

Acos()A

1. Cosinus

II. Les signaux sinusoïdaux 9

2. Sinus

Ts

ts = sin(2Ft)0

1

-1

Ts

ts =A.sin(2Ft)0

A

-A

II. Les signaux sinusoïdaux 10

Ts

ts=A.sin(2Ft+)+B

(A>0; B>0)

0

A+B

-A+B

B

B = moyenneF = fréquence en Hertz (Hz)t = variable temps en seconde (s)A = Amplitude (par rapport à la moyenne)2Ft = phase = phase initiale en radian (rad)

Asin()A

2. Sinus

III. Analyse de Fourier 11

1. Représentation temporelle

Pression acoustique

temps

III. Analyse de Fourier 12

Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de «décomposition en série de Fourier» ou «d ’analyse spectrale» ou «d’analyse de Fourier». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein.

En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août 1799. De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble.

2. Théorème de Fourier

III. Analyse de Fourier 13

2. Théorème de Fourier

g(t) est périodique de fréquence F

g(t) = a0 +a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ …

a cosb sin Indice n nF pas de b0

III. Analyse de Fourier 14

g(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …

4. Fabriquer g(t)

Signaux connusPour « fabriquer »g(t) avec un logiciel

III. Analyse de Fourier 15

g(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+…

+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …

5. Calculer les coefficients

Signal périodique connupar l’intermédiaire de sa représentation temporelle

donc de son écriture mathématique

Permet de calculer les coefficientsde Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier.Avec un ordinateur.

III. Analyse de Fourier 16

5. Calculer les coefficients

Comment fait l’ordinateur?

Ta

T

00

dt g(t)

T

dttnFtg

bT

dttnFtg

a

T

n

T

n

00

)...2sin().(.2

et

)...2cos().(.2

g(t)

t

T

III. Analyse de Fourier 17

g(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ …

+ b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ …

a0 = a0 .1 = a0 cos(0) = a0 cos(20t).

a0

a1a2

a4

0 F 2.F 3.F 4.F 5.F ...

a3

f

an

b1b2

b4

0 F 2.F 3.F 4.F 5.F ...

b3

f

bn

a5

Spectre an(f) Spectre bn(f)

F

6. Spectre

III. Analyse de Fourier 18

7. Exemple important

Spectre an(f)

a0 a1 a2 a4

0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F

a3

fa5

an

g(t) = ( 2 / ).sin(2Ft) + ( 2 /(3 ) ).sin(23Ft) + ( 2/(5 ) ).sin(25Ft) + ( 2/(7) ).sin(27Ft) …

an=0 quelque soit n bn= 2 / (n) quelque soit n impair

bn=0 quelque soit n pair non nul

0,5

-0,5

g(t)

t

T=1/F

Représentation temporelle

b1

b2 b4

0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F

b3

f

b5

Spectre bn(f)

bn

2/

2/32/5

III. Analyse de Fourier 19

8. Exemple: note de piano

t

Pression acoustique

t

III. Analyse de Fourier 20

9. Spectre d’un Signal non Périodique

g(t) périodique

t

T=1/F

h(t) non périodique

t

T=1/F

T augmente F diminue

III. Analyse de Fourier 21

9. Spectre d’un Signal non Périodique

Spectre

f

F

T augmente

F diminue

b1

b2 b4

0 F 2.F 3.F 4.F 5.F 6F 7F

b3

f

b5

bn

2/

2/32/5

III. Analyse de Fourier 22

9. Spectre d’un Signal non Périodique

Spectre

f

F diminue

III. Analyse de Fourier 23

9. Spectre d’un Signal non Périodique

Spectre

f

III. Analyse de Fourier 24

9. Spectre d’un Signal non Périodique

Spectre

f

- Spectre continu

- Somme continue de signaux sinusoïdaux

III. Analyse de Fourier 25

9. Spectre d’un Signal non Périodique

Spectre

f

- Spectre continu

- Somme continue de signaux sinusoïdaux

II. Les signaux sinusoïdaux 26

10. Bilan

Cn(f)

0 F 2F 3F 4F 0 fmaxf

F (f)

f

Signal non périodiqueSignal périodique

F F0

0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence[0;fmax]

Spectre discret Spectre continu

Coefficients Cn(f) Transformée de Fourier F (f)= fonction mathématique continue

Somme discrète de signaux sinusoïdaux

Somme continue de signaux sinusoïdaux

Bande de fréquences principale Bande de fréquences principale

BFP BFP

f1 f2