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GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERA
Ing. ROBERTO BRUNO - [email protected]
Consu ltor INTERCADE
Junio 2008
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Covarianza y variograma cruzados.
Modelos de correlacin multivariada.
El Co-krigeaje. El Co-Krigeaje.
Las componentes espaciales y el krigeaje de componentes.
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
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PORQUE UNA GEOESTADISTICA MULTIVARIABLE?
Evidencia las relaciones.
Mejora las estimaciones.
Garantiza la coherencia.
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
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Ejemplos de problemas multivariable
Espesor = Z2
Z1
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
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Correlaciones
Pone en evidencia las relaciones.
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
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Ejemplos de correlaciones
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
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Las Regresiones
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
Retta di regressione v2/v1 Curva di regressione v2/v1
(con n. di punti per classe)
8
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El coeficiente de correlacin
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
1121
12
= C
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El coeficiente de correlacin
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
11
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Las regresiones lineales
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
1212
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El anlisis multivariable.
Covarianza y variograma cruzados.
Modelos de correlacin multivariada.
El CoKrigeaje.
CoKrigeajes especificos.
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
12
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Un espacio con mas de una FA
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Anlisis MultivariableEl Anlisis Multivariable
SSZ
i
(x0
)
Zj(x0+h)
( )[ ] ( )( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( )hxChxmhxZxmxZE
hxmhxZE
xmxZE
ijjjii
jj
ii
,00000
00
00
=++
+=+
=
14
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GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
Si todas las FA son FASt
La covarianza cruzada.
Si i=j
( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( ) SxpjihChxmhxZxmxZE
piSxmxZE
ijjjii
ii
==++
==
;,1,
,1;
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( )hChxmhxZxmxZEhCiZiiiiii
=++=
15
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Las Propiedads De La Covarianza Cruzada
No es Par
No es simtrica i , j
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Covarianza y Variograma CruzadosEl Covarianza y Variograma Cruzados
Covarianza incrociata
0
0,5
1
1,5
-12 -8 -4 0 4 8 12
passo h
Cij(h
)
r
( ) ( )( ) ( )hChC
hChC
jiij
ijij
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17
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Variograma y covarianza cruzados
GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El Covarianza y Variograma CruzadosEl Covarianza y Variograma Cruzados
( ) ( ) ( ) ( )( )hChCCh ijijijij += 210
1818
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GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
El anlisis multivariable.
Covarianza y variograma cruzados.
Modelos de correlacin multivariada.
El CoKrigeaje.
CoKrigeajes especificos.
1919
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Modelos de correlacin multivariada
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Modelos de correlacin multivariada
El modelo de correlacin intrnseca
Todos los variogramas dependen de maneraproporcional de un mismo variograma.
Test: ( )( ) ( )
constbb
b
hh
h
jjii
ij
jjii
ij ==
2020
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Modelos de correlacin multivariada
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Modelos de correlacin multivariadaLos modelos de correlacin
Lineal:
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2222
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Modelos de correlacin multivariada
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Modelos de correlacin multivariada
Los modelos de correlacin
Lineal: descomposicin en factores.
di variogramma:
2323
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El anlisis multivariable.
Covarianza y variograma cruzados.
Modelos de correlacin multivariada.
El CoKrigeaje.
CoKrigeajes especificos.
2424
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Estimacin de una variable a travs las otras
Un estimador lineal por dos variables.
0
2
2
1
10*1 +)(xZ+)(xZ=)(xZ
SS
2525
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Co-krigeaje
La imparcialidad.
[ ] ( ) 01 02
2
1
110
2
2
1
1
010
2
2
1
1010
*
1
=mm=m+m+m=E
)(xZ+)(xZ+)(xZ=)(xZ)(xZ=
SSSS
SS
++
001 021
=
SS
==
2626
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Co-krigeaje
El sistema de CoKrigeaje Ordinario (CK).
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
=
=++
=++
0
1
2
1
21
21
20122
'
'2'12
101112
'
'1'
S
S
SS
SS
Shhh
Shhh
101201
2
21
++= SS
CK )(h)(h
2727
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Co-krigeaje en sintesis
( )
( )
0
1012
011
21
2
h
h
CK = ( )
( )
( )
0
0
2
1
210
xZ
xZ
xZCK =
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0
1
0010
0001
1001
012
011
2
1
2221
1211
hh
hhhh
=
2828
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Cundo es necesrio el CK
Si una variable es ms numerosa que la otra.
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Cundo es necesrio el CK
Si hay vnculos fsicos.
%100
%100%100
==
i
KO
i
i
CK
i
i
i
(x)Z
(x)Z(x)Z
( ) ( )
)(xZ)(xZ
)(xZ)(xZxZxZ
KOKO
CKCK
0201
020121
>>
30
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Si las variables son independientes?
Si Z1es independiente de Z2,
entonces 12(h)=0EL CKcoincide con el KO.
101
22
21
0 ++== SS
KOCK )(h
( )( )
( )
0
1
0
0010
0001
100
010 01
2
1
2
1
h
h
h
=( ) ( )
101
1 01
1
1
hh=
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G O S S CGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Ejemplo de variable soma:
El KO no garantiza la coherencia al revs del CK
Por el KO :
Por el CK :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =====
xExExCwxCxTxT KOKO
n
KOKO
n
KOKO
0
,1
0
,1
0
( ) ( ) ( )000 xCxTxE KOKOKO
( ) ( ) ( )000 xCxTxE CKCKCK =
( ) ( ) ( ) .....,1,1
0 ==
+=nn
CK xCxTxT
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GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
Ejemplo de variables soma: Ejercicio
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El Co-Krigeaje
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El Co-Krigeaje
El CK en caso de correlacin intrnseca.
El sistema se convierte en krigeaje.
Por cualquier variable los pesos del vector solucin sonlos mismos.
Solo varia el parmetro de Lagrange
( ) ( )( ) ( )
( )( )
0
1
0010
0001
10
01
012
011
2
1
2212
1211
ha
ha
haha
haha
=
( ) ( )101
1 0111
1
111
haha=
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GEOESTADISTICA MULTIVARIADAGEOESTADISTICA MULTIVARIADA
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificos
El CK co-localizado
Es un sistema de CK simple, simplificado cuando se conoce
la variable auxiliaria en todos lo puntos a estimarx0 El estimador utiliza solo la informacion auxiliaria localizada
en el punto a estimarZ2(x0)
( )120201
10
*
1 mm)(xZ)(xZ=)(xZS
++
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificosCoKrigeaje co-localizado
La imparcialidad.
( ) ( )( ) ( )
[ ] ( ) ( ) 011
11122
1
1
011202
1
1010
*
1
=m=mmmm+m=E
xZm+mxZ+xZ=)(xZ)(xZ=
SS
S
++
1
1
=+
S
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificosCoKrigeaje co-localizado
El sistema.
( ) ( ) ( )
( )
=+
=++
=++
1
00
1
1
1
1012
10111012
'
'11'
S
S
S
h
Shhh
101
2 01
++=S
CK )(h
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificos
Las componentes espaciales
Cuando el variograma de una FASt Z(x)tiene estructurasanidadas:
se puede utilizar el modelo a componentes espaciales:
Cada Yjes una FASt [0,1], independiente de las demas FASt, ydetermina una estrutura espacial.
( ) ( ) ( ) mxYcmxYcxYc=xZj jj
+=+++ ...)( 2211
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( )hxYhxYExYxYExYE jjjjjj =+== 2'2
10'0
( )[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )==+= j jj hchxZhxZEmxZE 22
2
1
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( ) ( ) 000*0 == xYxYE jj
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificos
El Krigeaje de las componentes
Solo se conoce el variograma de las componentes
pero se pueden estimar con los datos a disposicin.
La condicion de imparcialidad es:
( ) ( ) xZ=xYj 0*
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificosEl sistema de Krigeaje de las componentes
Es como un sistema de KO donde, en lugar de losvariogramas del vector de trminos conocidos, estan losde la componente a estimar.
( ) ( )
=
=+
0
0
hh j
=
)(hKOC 0j
2 1
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CoKrigeajes especificos
GEOESTADISTICA MULTIVARIADACoKrigeajes especificos
La filtracin de las componentes
Normalmente una variable regionalizada es la suma dediferentes factores y puede ser util evidenciar uno de susfactores.
El efecto pepita muchas veces es un rumor blanco que sepuede filtrar utilizando, en el vector de terminosconocidos, la funcin variograma total menos lacomponente que se quiere filtrar.
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Ejemplo de la decomposicin del estao
Variograma anidado: pepita (0) + esferico pequea escala
(1) + esferico grande escala (2).
0)
1) 2)
0+1+2)
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificos
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GEOESTADISTICA MULTIVARIADA
CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificos
Ejemplos de filtracin por Krigeaje de componentes
Normalmente una variable regionalizada es la suma.
Sin filtracin KO Con filtracin de un error por linea
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CoKrigeajes especificos
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CoKrigeajes especificos
El Krigeaje con Deriva Externa
Es un modelo mixto, entre Geoestadstica Multivariada y NoEstacionaria.
La variable regionalizada auxiliaria, z2(x), se considera comouna informacin deterministica.
EL modelo vendr desarrollado en la seccin deGeoestadstica no-estacionaria.
( ) ( ) ( )xYxzba=xZ 121 ++