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FSICA I D E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

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Instituto Profesional Dr. Virginio Gmez Departamento de Ciencias Bsicas

INDICE

Capitulo I: .................................................................................................................

- Sistemas de Medicin - Anlisis Dimensional - Operatoria Vectorial

Capitulo II: Movimientos Unidimensionales y Bidimesionales............................

Capitulo III: Leyes del Movimiento.....................................................................

Capitulo IV: Conservacin de la Energa y del Momentum Lineal.....................

Capitulo V: Equilibrio de los Cuerpos Rigidos....................................................

Capitulo VI: Dinmica de los Cuerpos Rgidos....................................................

Capitulo VII: Mecnica de Fluidos.........................................................................

Capitulo VIII: Movimiento Oscilatorio..................................................................

Capitulo IX: Termodinmica.................................................................................

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Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

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CAPITULO I

SISTEMAS DE MEDICION

ANLISIS DIMENSIONAL

OPERATORIA VECTORIAL

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El material fundamental que constituye la fsica lo forman las cantidades fsicas, en funcin de las cuales se expresan las leyes de esta ciencia. La longitud, fuerza, tiempo, velocidad, potencia, son ejemplos de cantidades fsicas.

Una cantidad fsica queda definida cuando se estipulan los procedimientos para medir esa cantidad. Esta manera de definir las cantidades fsicas se llama punto de vista operacional, debido a que la definicin de una cantidad fsica es una serie de operaciones de laboratorio que conducen a un nmero con una unidad de medida.

Dicho nmero con su unidad de medida recibe el nombre de MAGNITUD de la cantidad fsica en cuestin.

Para definir operacionalmente una cantidad fsica fundamental primero se escoge un patrn y luego se establecen mtodos para obtener mltiplos o submltiplos de este. Es decir para obtener unidades de la cantidad fundamental considerada. Un patrn ideal tiene dos caractersticas principales: es accesible y es invariable.

Antes de que el Sistema Mtrico Decimal fuese instituido, las unidades de medida se definan muy arbitrariamente y variaban de un pas a otro. Por ejemplo, las unidades de longitud, casi siempre se derivaban de las dimensiones de ciertas partes del cuerpo del monarca de un pas; por ejemplo, la yarda, el pie, la pulgada, etc. An en la actualidad, en los pases de habla inglesa se usan todava unidades como estas, pero se definen modernamente con base en patrones menos arbitrarios.

a) b) c)

Existen por lo tanto diversos Sistemas de Unidades, entre estos estn el Sistema de Unidades Ingls, el sistema de unidades C.G.S., etc. En el desarrollo de este curso ocuparemos como sistema de unidades, el llamado Sistema Internacional de Unidades (S).

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Este Sistema de Unidades (SI), considera como cantidades fsicas fundamentales para el estudio de la Mecnica; la Longitud ( L); la masa ( M); El tiempo ( T), asocindoles las unidades de medida; Metro ( m); Kilogramo ( kg. ); Segundo (s ) respectivamente.

CANTIDAD FISICA UNIDAD DE MEDIDA SMBOLO LONGITUD Metro m MASA Kilogramo kg TIEMPO Segundo s

A continuacin se mencionan las definiciones actualizadas de las cantidades fsicas fundamentales para el estudio de la mecnica, esto es, el tiempo, la longitud y la masa.

EL PATRON DE TIEMPO

Cualquier fenmeno que se repita a s mismo puede utilizarse como una medicin del tiempo. Por ejemplo, podemos usar un pndulo que oscila, un sistema masa resorte, o un cristal de cuarzo. De los muchos fenmenos repetitivos en la naturaleza , la rotacin de la Tierra sobre su eje, que determina la longitud del da, fue usada durante siglos como un patrn de tiempo. Un segundo ( solar medio ) se define como 1 / 86400 de un da ( solar medio).

Para cumplir la necesidad de un patrn de tiempo mejor se han desarrollado relojes atmicos en varios pases.

El segundo actual, basado en el reloj de cesio fue adoptado como un patrn internacional por la trece-ava Conferencia General de Pesas y Medidas de 1967:

Un segundo es el tiempo ocupado por 9.192.631.770 vibraciones de la radiacin ( de una longitud de onda especfica) emitida por un tomo de cesio.

EL PATRON DE MASA

El patrn SI de masa es un cilindro de platino e iridio que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas al cul se le ha asignado por acuerdo internacional una masa de 1 kg. Se envan patrones secundarios a laboratorios de estandarizacin en otros pases y las masas de otros cuerpos pueden hallarse por la tcnica de una balanza de brazos iguales.

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EL PATRON DE LONGITUD

El primer patrn internacional de longitud fue una barra de aleacin de platino e iridio que se llam el metro patrn, el cul fue guardado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas cerca de Pars. La distancia entre dos lneas finas grabadas cerca de los extremos de la barra, cuando esta se mantena a una temperatura de 0 o C y soportada mecnicamente de una manera prescrita, fue definida como el metro.

A causa de que el metro patrn no es muy accesible, se hicieron copias maestras precisas de l y enviadas a los laboratorios de estandarizacin alrededor del mundo. Estos patrones secundarios fueron usados para calibrar otros patrones, an mas accesibles. Entonces, hasta hace poco, cada varilla o dispositivo de medicin deriv su autoridad del metro patrn a travs de una complicada cadena de comparaciones usando microscopios y mquinas divisoras.

Albert Michelson compar en 1893 la longitud del metro patrn con la longitud de onda de la luz roja emitida por los tomos de cadmio y encontr que el metro patrn era igual a 1.553.163,5 de aquellas longitudes de onda. Lmparas de cadmio idnticas podan ser obtenidas fcilmente en cualquier laboratorio y as Michelson encontr una manera de tener un patrn de longitud preciso en todo el mundo, para fines cientficos sin atenerse a la barra del metro patrn.

A pesar de este avance tecnolgico, esta barra permaneci como patrn oficial hasta 1960, cuando la Conferencia General de Pesas y Medidas adopt un patrn atmico para el metro.

El metro es la distancia recorrida por la luz en el vaco durante un intervalo de tiempo de1 / 299,792,458 de segundo.

ANLISIS DIMENSIONAL

Asociada con cada cantidad fsica medida o calculada hay una dimensin. Por ejemplo, tanto la absorcin del sonido en un recinto cerrado como la probabilidad de que ocurran reacciones nucleares tienen las dimensiones de un rea. Las unidades de medida en las que se expresan las cantidades fsicas no afectan las dimensiones de las cantidades: un rea sigue siendo un rea, ste expresada en m2 o en pies2 o en acres o en sabinos (unidad de absorcin acstica), o en barns (reacciones nucleares).

De igual modo que definimos a nuestros patrones de medicin como cantidades fundamentales, podemos elegir un juego de dimensiones fundamentales basadas en patrones de medicin independientes. En cantidades mecnicas, masa, longitud y tiempo son elementales e independientes, as que pueden servir como dimensiones fundamentales. Estn representadas respectivamente por M, L , T.

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Las cantidades fsicas fundamentales se pueden combinar mediante operaciones de multiplicacin o divisin dando lugar as a las cantidades fsicas derivadas. Por ejemplo, si multiplicamos longitud x longitud, obtenemos ( longitud)2 , que define la cantidad fsica Superficie , al multiplicar longitud x longitud x longitud obtenemos ( longitud)3 , definiendo la cantidad fsica Volumen , etc.

La cantidad fsica rapidez ( v ) se puede definir operacionalmente (aqu en forma slo aproximada) como el cuociente entre una longitud y un tiempo. Por lo tanto la ecuacin dimensional de la rapidez, resulta:

> v @ = L / T = L x T -1 , luego su unidad de medida en SI es : ( v ) o m / s = m x s-1

La cantidad fsica "aceleracin" ( a ) se puede definir operacionalmente (aqu en forma slo aproximada) como el cuociente entre una rapidez y un tiempo. Por lo tanto la ecuacin dimensional de la aceleracin, resulta:

> a @ = v / t = ( L / T ) / T = L / T2 = L x T -2 , su unidad de medida en SI es: ( a ) o m / s2 = m x s-2

La densidad de una sustancia ( U ) se define como el cuociente entre la masa de una sustancia y su volumen, de este modo, su ecuacin dimensional es :

> U @ = M / V = M / ( L )3 = L-3 x M , siendo su unidad de medida en el SI es: > U @ o m-3 x kg = kg / m3

Toda ecuacin fsica debe ser dimensionalmente compatible, esto es, las dimensiones en ambos lados deben ser las mismas.

Suponga la ecuacin fsica P = Q + x , donde x es rapidez , entonces P y Qdeben ser tambin rapidez.

Por ejemplo, sea la ecuacin x = A + B x t + C x t2 , en que x es una longitud y t es tiempo . Obtenga la ecuacin dimensional de A , B , C.

De acuerdo a lo planteado anteriormente cada trmino de la ecuacin debe representar una longitud, por lo tanto :

A = ( L ) o A = ( L ) Bt = ( L ) o B x ( T ) = ( L ) o B = ( L ) / ( T ) = L x T -1

Ct2 = ( L ) o C x ( T 2 ) = ( L ) o C = ( L ) / ( T2 ) = L x T -2

Entonces, las ecuaciones dimensionales de A , B , C , son : A = > L @ ; B = > L x T -1 @ ; C = > L x T -2 @ ,

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En fsica existen las constantes numricas y las constantes fsicas. Las primeras no tienen ecuacin dimensional, en cambio las segundas si poseen ecuaciones dimensinales.

Considere que, la formula para calcular la energa de movimiento ( K ) de un objeto est definida por :

K = m x v2 / 2 , en que m es la masa del objeto y v la rapidez.Obtenga la ecuacin dimensional de K.

La constante numrica 2 , no tiene ecuacin dimensional. por lo tanto no participa en el desarrollo de la ecuacin dimensional para K :

K = ( M ) x ( L / T )2 = M x ( L2 / T2 ) = L2 x M x T -2 , siendo su unidad de medida en el sistema SI :

Ko m2 x kg x s-2 o bien K o m2 x kg s2

Haciendo uso de este procedimiento ( anlisis dimensional ) , podemos verificar si una formula fsica est correcta o bien construir una ecuacin fsica.

Por ejemplo, verifiquemos si la ecuacin fsica : s = v x t + a x t2 , es dimensionalmente homognea. 2

Considere que s corresponde a una longitud, v es una rapidez , a representa unaaceleracin, t es tiempo

Cada trmino de la ecuacin debe dar como resultado una longitud ( L ) , entonces :

( v x t ) = ( ( L / T ) x T ) = ( L ) ; la fraccin 1/2 es un coeficiente numrico, es decir no es constante fsica, luego no tiene ecuacin dimensional

( a x t2 ) = ( ( L / T2 ) x T2 ) = ( L )

Luego, todos los trminos dan como resultado longitud ( L ) y la ecuacin es dimensionalmente homognea. Es importante tener presente que una ecuacin fsica puede ser dimensionalmente correcta, pero fsicamente incorrecta, esto es porque las cantidades numricas no tienen ecuacin dimensional.

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Ejercicio desarrollado

Tres constantes fundamentales de la fsica son: la velocidad de la luz c , la constante de gravitacin de newton G y la constante de Planck h ( la constante fundamental de la mecnica cuntica). Sus valores aproximados son :

c = 300.000 km/s = 3 x 108 m/s G = 6,67 x 10 -11 m3 / kg s2

h = 6,63 x 10 -34 kg m2 / s

Combinando adecuadamente estas tres constantes es posible encontrar una unidad de tiempo TP y una unidad de longitud LP , denominadas tiempo y radio de Planck respectivamente, Cul es su valor numrico?

Solucin para el tiempo Planck ( TP ) : T = ( c ) x x ( G ) y x ( h ) z

Ocupando las ecuaciones dimensinales de cada constante, se tiene :

L o M o T 1 = ( L / T ) x x ( L 3 / M T 2 ) y x ( M L 2 / T ) z

L o M o T 1 = ( L x / T x ) x( L 3y / M y T 2y ) x ( M z L 2z / T z )

L o M o T 1 = L x + 3y + 2z x M z - y x T - x - 2y - z ,

Resolviendo el sistema se tiene : x = - 5 / 2 ; y = 1 / 2 ; z = 1 / 2

Volviendo a la ecuacin inicial, se tiene : T P = ( c ) - 5/2 x ( G ) 1/2 x ( h ) 1/2

Ordenando la expresin , se tiene : T P = ( G ) 1/2 x ( h ) 1/2 / ( c ) 5/2

La expresin para el tiempo Planck es, entonces : TP = ( G x h / c5 ) 1/2Al reemplazar los valores se obtiene : TP = 1,35 x 10 - 43 seg

Encuentre usted, la expresin para la longitud ( radio Planck ) : L P

Para que se cumpla la igualdad, se igualan los exponentes correspondientes:

L o = L x + 3y + 2z 0 = x + 3y + 2z M o = M z - y 0 = z - yT 1 = T - x - 2y - 2 1 = - x - 2y - z

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Para una serie de propsitos, las unidades bsicas del S y las derivadas del S resultan ser muy grandes o muy pequeas (por ejemplo sera inconveniente utilizar metro cbico para expresar el volumen de sangre contenido en el cuerpo humano).

Para allanar este tipo de dificultades, el SI incorpor una serie de prefijos por medio de los cules es posible formar mltiplos y submltiplos decimales de las unidades SI. Es decir :

El cuadro siguiente muestra Prefijos y sus smbolos

Factor Prefijo Smbolo Factor Prefijo Smbolo 1018 Exa E 10-1 Deci c 1015 Peta P 10-2 Centi c 1012 Tera T 10-3 Mili m 109 Giga G 10-6 Micro P 106 Mega M 10-9 Nano n 103 Kilo K 10-12 Pico p 102 Hecto H 10-15 Femto f 10 Deca Da 10-18 Atto a

Por ejemplo: a) 5.000.000 m = 5 x 106 m = 5 Mm ; b) 80 x 10-3 V = 80 mV c) 0,000007 F = 7 x 10-6 F = 7 P F ; d) 0,07 K = 7 x 10-2 K = 7 cK e) 3 x 1018 J = 3 EJ

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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Convierta 25,0 dm a : a) cm b) m c) mm

34,0 dam a : a) m b) cm c) km

3,4 x 106 m a : a) km b) cm

2.- Exprese : a) Un rea de 2 km2 en m2 b)Un volumen de 5 cm3 en m3

c)Un volumen de 4 litros en mm3 d)Una masa de 8 gr en kg

e) Un volumen de 4,2 x 10-10 m3 a cm3

3.- Una pequea piscina tiene 20 pies de largo, 10 pies de ancho y 5 pies de profundidad. Su volumen es el producto de estas longitudes, es decir : (20 pie) x ( 10 pie) x ( 5 pie) = 1000 pie3 . Cul es el volumen en metros cbicos ( m3 ) sabiendo que 1 pie = 0,3048 m

4.-Suponiendo que la Tierra es una esfera de radio 6,4 x 103 km. a)Determine la longitud de su circunferencia en km. (La longitud de su circunferencia es 2 x S x r ) b)Determine el rea de su superficie en km2 . ( La superficie de una esfera es 4 x S x r2 ) c)Determine el volumen en m3 (El volumen de una esfera es V = 4 x S x r3 / 3 )

5.-En los pases de habla inglesa, la superficie de un terreno se mide en acres ( 1 acre = 43560 pies 2 ).En los dems pases se mide en hectreas ( 1 hectrea = 10000 m 2 ). Cul es la superficie de un terreno de 100 acres en hectreas?

6.-Sabiendo que 1 pulgada ( in ) es igual a 2,54 cm y que 1 pie ( ft ) es igual a 30,48 cm , exprese su altura en pie y en pulgadas.

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7.-Un ao luz es una medida de longitud (no una medida de tiempo) igual a la distancia que la luz recorre en un ao viajando 3 x 105 km en un segundo. a) Exprese 1 ao luz en metros. b) Determine la distancia a la estrella Centauro que se encuentra a 4,0 x 1016 m en ao- luz.

8.-Un auto nuevo esta equipado con un tablero de instrumentos de tiempo real que incluye el consumo de combustible. Un interruptor permite al conductor cambiar a voluntad entre unidades britnicas y unidades SI. Sin embargo, la representacin britnica muestra millas / galn ( mi / gal) mientras que la versin SI lo hace a la inversa, Litros / kilmetro ( L / km) . Qu lectura SI corresponde a 30,0 mi / gal? Considere que 1 milla = 1,609 km y 1 galn = 231 in3

9.-Una sala tiene las dimensiones 21 ft x 13 ft x 12 ft. Cul es la masa de aire que contiene? Considere que existen 1,21 kg de aire en 1 m3 .

10.-Una persona sometida a dieta pierde 2,3 kg (correspondiente a unas 5 libras) por semana. Exprese la taza de prdida de masa en miligramo por segundo ( mg / s ).

11.-Suponga que nos toma 12 h drenar un recipiente con 5700 m3 de agua. Cul es la tasa de flujo de masa ( en kg / s ) de agua del recipiente? Considere que hay 1000 kg de agua en 1 m3 .

12.-Una pirmide tiene una altura de 481 pies y su base cubre un rea de 13,0 acres. Si el volumen de una pirmide est dado por la expresin V = ( B x h ) / 3 , donde B es el rea de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta pirmide en metros cbicos ( m3 ). La pirmide contiene dos millones de bloques de piedra con un peso aproximado de 2,5 toneladas cada uno. Encuentre el peso en libras ( lb ) de esta pirmide. La libra es una unidad de medida en la cul los inglese miden el peso de un objeto y 1 lb aproximadamente es el peso de un objeto de 0,5 kg.

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CAMBIO DE ESCALA

Usted ya tiene idea de lo que son las figuras semejantes como es el caso de los tringulos semejantes. En la figura se muestran dos tringulos, tales que los lados del mayor se obtuvieron al multiplicar cada lado menor por un mismo nmero ( y se mantuvo invariable el valor de cada ngulo interior ).Es justamente ese hecho lo que hace semejantes a dichos tringulos.

De esta manera cuando las dimensiones lineales de un objeto ( por ejemplo, la longitud, el ancho, y la altura de una caja ) son alteradas en la misma proporcin, obtenemos un objeto semejante al original. Por otra parte, las propiedades de este nuevo objeto, seran iguales a las del original ? La experiencia nos ensea que cuando una estructura cualquiera (el cuerpo de un animal, la armazn de un edificio, un modelo de avin, etc) es ampliada o reducida, visualmente es igual que la original, pero sus propiedades pueden sufrir enormes modificaciones.

RESISTENCIA DE UNA COLUMNA

Llamemos resistencia ( R ) de una columna al peso mximo que puede soportar sin caerse. Podemos comprobar fcilmente que esta resistencia R es proporcional al rea de la seccin transversal de la columna, es decir, cunto ms gruesa sea, tanto mayor ser su resistencia.

Pero el rea de la columna es proporcional al cuadrado de sus dimensiones lineales ( L ). As pues,

R proporcional A y como A proporcional ( L ) 2 , entonces

R proporcional a ( L ) 2

Por ejemplo, en la figura, la columna ms gruesa, del mismo material que la ms delgada, y cuya seccin transversal tiene unas dimensiones lineales dos veces mayores, tendr una resistencia cuatro veces ms grande.

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VARIACION DEL PESO DE UN OBJETO CON SUS DIMENSIONES

Por otra parte, el peso ( P ) de un cuerpo es proporcional a su Volumen ( V ). Pero el volumen del mismo es proporcional al cubo de sus dimensiones lineales ( L ). As pues,

P proporcional V y como V proporcional ( L) 3 entonces

P proporcional ( L ) 3

La botella que tiene dimensiones lineales dos veces mayores, tendr un peso 8 veces mayor que la del lado. Lo mismo ocurre con cualquier otro objeto, como una estatua y su miniatura, hechas con el mismo material.

Imaginemos a una persona de tamao normal. Su peso es soportado por su esqueleto, y sus huesos tienen una resistencia tal que permiten soportar el propio peso con relativa facilidad. En realidad una persona normal tiene facilidad de locomocin, una agilidad determinada y la capacidad de resistir cargas adicionales.

Suponga que aumentsemos dos veces las dimensiones lineales de dicha persona, transformndola en un gigante. Su peso se vuelve 8 veces mayor, mientras que la resistencia de sus huesos slo aumentara 4 veces, porque la seccin de cada hueso se multiplic por 4, esto es :

Persona normal : dimensin ( L) resistencia ( R ) Peso ( P )

Gigante : dimensiones 2 L resistencia ( 4 R ) Peso ( 8 P )

El peso aument en una proporcin mayor que la resistencia. El hombre "aumentado" tendra por ello una mayor dificultad de locomocin y una agilidad menor, porque sus huesos estn soportando una compresin mayor que la del hombre normal. Para que nuestro gigante, conserve la agilidad del individuo normal, la resistencia de sus huesos habra tenido que multiplicarse por 8 acompaando esto al aumento de peso.

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Por otra parte, si reducimos las dimensiones lineales de la persona y la transformamos en un enano semejante a ella, es fcil observar que ese enano tendra mayor agilidad y facilidad de locomocin que el hombre normal. De hecho al reducir las dimensiones de la persona, el peso tendra una reduccin mayor que la resistencia de sus huesos.

Es fcil concluir que si el aumento fuese mayor, por ejemplo, si todas las dimensiones lineales se multiplicaran por 10 , la desproporcin entre el aumento de peso y el de la resistencia sera mucho mayor.

Gigante : dimensiones ( 10 L ) resistencia ( 100 R ) Peso ( 1000 P )

Seguramente, este gigante no se podra sostener de pie, pues su esqueleto se desmoronara por la accin de su propio peso. Para que l conservara la misma agilidad del hombre normal, la resistencia de los huesos debera haberse multiplicado por 1000, de modo que fuera proporcional al aumento de peso.

Todas estas consideraciones se aplican a cualquier estructura. La maqueta de un edificio o un auto a escala se pueden hacer con materiales pocos resistentes, como el plstico, yeso, papel, etc. Por otra parte, el edificio o el auto verdadero no se podran construir con estos materiales, pues se derrumbaran debido a la desproporcin entre el aumento de peso y el de la resistencia, originada por el incremento de sus dimensiones.


13.-Una cuerda es capaz de sostener, suspendida en su extremo una carga de al mximo 200 kilos. Cul es el peso mximo que otra cuerda, hecha con el mismo material, con dimetro 3 veces mayor, podr sostener?

14.-Imagine que todas las dimensiones lineales de un hombre normal se aumentarn 5 veces. Para que el gigante, resultado de esa amplificacin, tuviera la misma agilidad del hombre normal: a)Cuntas veces debera aumentar la resistencia de los huesos del hombre normal? b)Cuntas veces debera aumentarse la resistencia de los huesos del gigante?

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15.-El escritor Jonathan Swift, en su libro "Los viajes de Gulliver", presenta seres gigantescos semejantes al ser humano y de comportamiento idntico, con una agilidad similar y cuyas dimensiones eran doce veces mayores que las del individuo normal. En el libro citado, el autor imagina al personaje Gulliver en una visita a un pas, el reino de Lilliput, cuyos habitantes eran semejantes a una persona normal, aunque con dimensiones casi 10 veces menores. Considerando al liliputiense, as imaginado:

a)Cuntas veces es menor su peso que el de una persona normal? b)Cuntas veces la resistencia de sus huesos es menor que la de una persona normal? c)Su agilidad y facilidad de locomocin sern mayores, menores o iguales a las de una persona normal? Suponga que una persona normal que pesa 70 kilos , fuera capaz de cargar sobre su espalda, al mximo, otra persona igual a ella. Tome en cuenta este dato y considerando un liliputiense, semejante a esa persona, conteste: d)Cul es la resistencia de los huesos de la persona? e)Cul sera el peso del liliputiense? f)Cul sera la resistencia de los huesos del liliputiense? g)Cuntos seres iguales a l, al mximo, podra el liliputiense cargar en su espalda?

16.-Considere una persona que mide 1,80 m y pesa 80 kilos, capaz de transportar en su espalda, una carga adicional de 120 kilos . Suponga que e ampliaran todas las dimensiones lineales de ese hombre transformndolo en un gigante de 3,6 m de altura: a)Cul sera el peso de ese gigante? b)Cul es la resistencia del esqueleto del hombre normal? Cul la del gigante? c)Cul sera el peso adicional mximo que el gigante lograra cargar?

17.-Una columna, cuya rea de seccin recta vale ( 10 x 10 ) cm2 , puede soportar, al mximo, una caja cbica de agua de 2,0 m de arista. Para que la columna pudiera soportar una caja de agua de 4,0 m de arista, cul ser el mnimo rea de su seccin recta ?

OBSERVACIN: Estamos empleando el trmino kilo para designar la unidad comnmente empleada cuando se mide el peso de un cuerpo. En el captulo 3, veremos que esa unidad corresponde al kilogramo-fuerza ( kgf), empleada tcnicamente en el campo de la ciencia y la tecnologa.

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OPERATORIA VECTORIAL

Cantidades fsicas escalares: quedan definidas completamente cuando se proporciona su magnitud ( el valor numrico y la unidad de medida usada en la medicin).

Por ejemplo: el volumen de un tanque de agua es de 1000 litros. el rea del terreno de una casa es 300 m2. la temperatura de una persona con fiebre es 39 oC

Sabemos que las cantidades escalares se suman conforme a las reglas del lgebra. Por ejemplo: Si un tanque contiene 2 m3 de agua, al aumentarle 5 m3 quedar con un total de : 2 m3 + 5 m3 = 7 m3 de agua.

Cantidades fsicas vectoriales: quedan totalmente definidas slo cuando se conoce su magnitud, su direccin y su sentido.

Por ejemplo:

a)Si una persona se encuentra situada en la interseccinde las calles V. Lamas con Prat ( A ) y desea trasladarsehasta Cochrane con Salas ( B ) puede hacerlo pordistintos caminos. En la figura se muestra un trayecto.

La persona realiza un cambio de posicin ( sali desde A y se dirigi a B ). Este cambio de posicin est definido por el segmento AB y se llama desplazamiento.

El desplazamiento de un objeto es la flecha vector que une su posicin inicial con la posicin final.

No debe confundirse la magnitud del desplazamiento con la magnitud de la trayectoria seguida por el objeto. Esto ocurre slo en el caso de moverse en lnea recta.

Otra persona puede seguir una trayectoria diferente ( piense Ud. en otra cualquiera) , pero a pesar de ello su desplazamiento sera el mismo (es decir el segmento que une A con B).

Suponga que se desea informar a alguien del desplazamiento efectuado por la persona; si solo se indicara que se desplaz por ejemplo 650 m (slo se da a conocer la magnitud del desplazamiento) tal persona no podra hacerse una idea del cambio de posicin, pues este pudo haberse hecho en cualquier direccin la cul no se especific.

Para una mejor comprensin hay que informar que el citado desplazamiento se produjo en la direccin de la recta que une A con B y en el sentido de A a B.

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Las cantidades fsicas vectoriales se pueden representar a travs de flechas llamadas vectores. Estas flechas se pueden trabajar a escala (geomtricamente) o matemticamente.

a) Por ejemplo, suponga que en el diagrama que se muestra en la figura cada centmetro representa 100 m en el terreno, entonces podemos decir que entre los dos puntos A y Bse produce un desplazamiento cuya magnitud es ( mida con su regla la distancia AB y exprese la magnituddel desplazamiento entre A y B :

d = .................

La direccin de este desplazamiento est a lo largo de la recta AB y su sentido es hacia donde apunta el extremo del vector desplazamiento.

Es importante mencionar que la escritura de la cantidad fsica con flecha arribarepresenta ntegramente al vector en magnitud, direccin y sentido. En cambio si no se coloca la flecha se hace slo mencin a la magnitud.

SUMA DE CANTIDADES FISICAS VECTORIALES

a) Regla del Paralelogramo

Este procedimiento se usa principalmente para hallar la resultante de dos vectores. Dichos vectores se trazan de modo que sus orgenes coincidan ( por ejemplo a y b pueden representar dos fuerzas aplicadas en el punto O ).

o o oSi trazamos un paralelogramo que tenga a y b como lados, la resultante c estar dada por la diagonal de ese paralelogramo que parte del origen comn de los dos vectores.

Debe tenerse presente que est es una suma geomtrica, no algebraica.

o o o c = a + b

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b)Resultante de varios vectores

Suponga que se tienen los vectores desplazamientos o o o o d1 , d2 , d3 , d4 . Elegida una escala apropiada,trazamos los vectores de modo que la extremidad del primero coincida con el origen del siguiente.

Obviamente el desplazamiento resultante, es decir aquel capaz de sustituir, los desplazamientos sucesivos combinados ser el vector D , que une el origen delprimer vector con la extremidad del ultimo:

o o o o oD = d1 + d2 + d3 + d4


1.-Una persona camina desde un punto ( origen ) 90 m hacia el sur , en seguida gira y camina 30 m hacia el este , finalmente gira al norte y camina 50 m. a)Haga un diagrama a escala de la situacin ( 1 cm : 10 m ) y luego trace el vector que indica el desplazamiento de la persona con respecto al punto de partida. b)Cunto es la longitud del desplazamiento? c)Cul sera la direccin en que se produce este desplazamiento ? Sugerencia, mida el ngulo desde la direccin este al vector desplazamiento o bien desde la direccin sur al vector desplazamiento.

a) El diagrama queda similar al que se muestra en la figura.

b)Manteniendo la escala , la medida de la longitud del desplazamiento resulta :

D = 5 cm , en el terreno resulta D = 50 m

Se puede comprobar este valor obtenido aplicando "Teorema de Pitgoras" pues se forma un tringulo rectngulo como muestra ( b ):

c)El desplazamiento se produce en una direccin de( mida con transportador ) 53 oal sur del este.

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COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Considere el vector V que se muestra en la figura. Tracemos a partir del origen O del vector, los ejes perpendiculares a OX y OY.

Desde la extremidad de V, se traza una perpendicular (normal) a OX. Es decir se proyecta el vector V sobre el eje OX,y obtenemos as un vector Vx que se muestra en la figura. Este vector Vx se llama componente del vector V en ladireccin X.

Por tanto , la componente de un vector en una cierta direccin es la proyeccin (ortogonal o perpendicular ) del vector sobre la recta que define aquella direccin.

De la misma manera podemos obtener la componente de V segn el eje OY , proyectndolo sobre este eje. Esta componente Vy tambin se muestra en la figura. De esta forma Vx y Vy se llaman componentes rectangulares del vector V.

Observe que V es la resultante de Vx y Vy (recuerde la regla del paralelogramo) y por tanto el vector V se podr sustituir por sus componentes rectangulares.

As , entonces : Cuando determinamos las componentes rectangulares de un vector V, se obtienen dos vectores , Vx y Vy que en conjunto pueden sustituir al vector V.

o o o V = Vx + Vy

Para evaluar matemticamente estas componentes se ocupan las razones trigonomtricas seno y coseno de un ngulo. Estas razones se establecen slo en un tringulo rectngulo, de la siguiente manera

Seno de un ngulo = Cateto opuesto al ngulo / hipotenusa

Coseno de un ngulo = Cateto adyacente al ngulo / hipotenusa

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Estas relaciones permiten calcular las magnitudes de las componentes Vx y Vy cuando conocemos la magnitud del vector V y un ngulo que forma con el eje OX o bien con el eje OY.

Por otra parte, si se conocen los valores de las componentes Vx y Vy , la magnitud del vector V se podr obtener por el teorema de Pitgoras. En realidad, en el triangulo OAB se tiene :

V 2 = Vx2 + Vy2

Es importante mencionar que, para calcular la direccin del vector resultante es comn hacer uso de la relacin tangente o de cualquiera de las otras relaciones.


Imaginemos un objeto que experimenta un desplazamiento D de 100 km , segn un ngulo de 30o en la direccin al norte del este como muestra la figura.

Considerando el eje OX dirigido hacia el este, y el eje OY dirigido hacia el norte, alo o o

proyectar el vector D sobre los ejes coordenados se obtienen las componentes Dx y Dyde tal desplazamiento.

Las magnitudes de estas componentes se obtendrn por :

Dx = D x cos T = 100 x cos 30o = 87 km ;

Dy = D x sen T = 100 x sen 30o = 50 km

Observe que cuando el cuerpo sufre el desplazamiento considerado se aleja de O, desplazndose un tanto hacia el este y un tanto hacia el norte.

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VECTORES UNITARIOS

Para especificar la direccin de un vector ya sea en el plano o en el espacio se hace uso de los llamados vectores unitarios.

Estos vectores tienen de magnitud la unidad, es decir 1 , y se asocia al eje X , el vector i , al eje Y el vector j y al eje Z el vector k.

Es importante mencionar que si el signo de una componente es negativa, entonces se debe dibujar en la recta negativa del eje asociado.

Entonces , para expresar un vector en forma unitaria , se determinan sus componentes rectangulares y luego se les asocia el vector unitario correspondiente. No debe olvidar que si una componente queda dibujada a la izquierda del origen en el eje X ser negativa. Lo mismo si queda dibujada verticalmente hacia abajo.

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Por ejemplo , suponga que todos los vectores que se indican a continuacin tienen como magnitud 10 unid. Escribamos cada uno de ellos en forma vectorial unitaria.

AX = 10 x cos 50o = 6,42 unid.

A Y = 10 x sen 50o = 7,66 unid.

oA = 6,42 unid. i + 7,66 unid. j

BY = 10 unid. x sen 30 o = 5 unid.

BX = 10 unid. x cos 30o = 8,66 unid.

oB = - 8,66 unid. i + 5 unid. j

CY = 10 unid. x cos 60o = 5 unid.

CX = 10 unid.x sen 60o = 8,66 unid.

oC = - 8,66 unid. i - 5 unid. J

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Ejercicios desarrollados

1.-Se ejerce una accin F = 80 kgf sobre un tornillo A como se indica en la figura. a)Determine la magnitud de las componentes de F b)Escriba F en forma vectorial unitaria

a)Dibujamos las componentes rectangulares de F y luego determinamos su magnitud:

Fx = cos 35 x 80 kgf = 65,5 kgf

Fy = sen 35 o x 80 kgf = 45,9 kgf

b)Para escribir la accin F en forma vectorial unitaria incorporamos a las magnitudes antes obtenidas, el vector unitario correspondiente y el signo de la componentes: o o Fx = - 65,5 kgf i , Fy = 45,9 kgf j

o o o oF = Fx + Fy F = - 65,5 kgf i + 45,9 kgf j

2.-Una persona empuja una podadora de csped con una accin F = 40 kgf, que forma un ngulo de 50 o . Escriba la fuerza F en forma vectorial unitaria.

La magnitud de Fx = F cos 50 o

= 40 kgf x 0,64 = 25,6 kgf

La magnitud de Fy = F sen 50 o

= 40 kgf x 0,76 = 30,6 kgf

En forma vectorial la accin F se expresa por :oF = 25,6 kgf i - 30,6 kgf j

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VECTORES EN EL ESPACIO

Por ejemplo , supongamos que se conoce un vector cuya forma es :

A = A x i + A y j + A z k , esta informacin nos indica que se trata de un vector en el espacio, pues tiene las componentes i, j, k.

Las magnitudes de las componentes del vector A estn dadas por Ax , Ay , Az .

Para dibujar este vector en el espacio, se cuentan las unidades de Ax en el eje X, las unidades deAy en el eje Y, las unidades de Az en el eje Z.

Luego se debe completar un paraleleppedo rectangular y el vector A esta dirigido desdeel origen al vrtice diagonalmente opuesto.

La magnitud del vector A est dado por : A = ( Ax )2 + ( Ay )2 + ( Az )2

El ngulo que forma el vector A con los ejes coordenados positivos se determina a travs de los llamados cosenos directores:

ngulo con el eje x : cos D = Ax / A

ngulo con el eje y : cos E = Ay / A

ngulo con el eje z : cos J = Az / A

EJERCICIOS PARA LA CLASE

Dibuje en el espacio los siguientes vectores ( cada uno en un dibujo): oB = - 8 u i + 4 u j - 6 u k oC = - 8 u i - 4 u j - 6 u k

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Considere el vector A = -4 u i - 3 u j - 2 u k , en que "u" indica unidades.

a)Dibuje el vector en el espacio b)Determine la magnitud c)Obtenga el ngulo que forma con los ejes coordenados.

Solucin

a)Se trazan los ejes de coordenadas x, y, z como muestra la figura.

Contamos 4 u a la izquierda del origen (eje x negativo ), de igual forma 3 unidades en el eje y negativo y finalmente 2 u en el eje z negativo.

Se proyectan las componentes del vector de modo que se forme un paraleleppedo.

El vector A , une entonces el origen con el vrtice diagonalmente opuesto del paraleleppedo.

b) La magnitud del vector A est dada por : A = ( Ax )2 + ( Ay )2 + ( Az )2

A = ( -4 )2 + ( -3 )2 + (-2 )2 = 5,38 u

c)El ngulo que forma el vector A con los ejes coordenados positivos est determinado por los llamados cosenos directores:

Con el eje x : cos D = Ax / A = - 4 / 5,38 = - 0,74 D = 138 o

Con el eje y : cos E = Ay / A = -3 / 5,38 = - 0,55 E = 123 o

Con el eje z : cos J = Az / A = - 2 / 5,38 = - 0,37 J = 112 o

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RESULTANTE DE VECTORES ANALITICAMENTE

El hecho de calcular las componentes rectangulares y luego su escritura en forma unitaria permite obtener la resultante de vectores en forma analtica.

Para sumar vectores analticamente, se suman las componentes correspondientes entre s , obtenindose ( 6 x ) , ( 6 y ) , ( 6 z ) , estas son las componentes del vector resultante.

Luego mediante el teorema de Pitgoras , y alguna relacin trigonomtrica adecuada, se determina la magnitud y la direccin del vector resultante.


1.-Una persona realiza 3 desplazamientos sucesivos, expresndose estos en forma unitaria: d1 = - 4 m i + 5 m j ; d2 = 3 m i + 1 m j ; d3 = 5 m i - 3 m j . Determinar la magnitud y direccin del vector resultante de estos desplazamientos.

Solucino o o o

El vector resultante D = d1 + d2 + d3

a)Ejecutamos la suma de las componentes tanto en el eje X como en el eje Y , puesto que estos desplazamientos se realizaron en el plano XY.

6 x = - 4 m + 3 m + 5 m = 4 m

6 y = 5 m + 1 m - 3 m = 3 m

Estos valores obtenidos corresponden a las componentes rectangulares del vector resultante. Una vez que tenemos estos valores procedemos a graficarlas en el plano XY :

D2 = ( 6x )2 + ( 6y )2

D = 42 + 32

D = 5 m

tg T = 3 m / 4 m = 0,75 o T = 37o

oEntonces el desplazamiento es D = 5 m , 37o con el eje positivo de las X en sentido antihorario.

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2.-Una persona pasea siguiendo el trayecto que muestra la figura. El recorrido total se compone de 4 tramos rectos. Primero camina 100 m al este, luego camina 200 m al sur, en seguida camina 150 m en una direccin de 30 o al sur del oeste, finalmente camina 200 m en una direccin de 60 o medidos al norte del oeste. a)Escriba cada desplazamiento en forma vectorial unitaria b)Obtenga la suma vectorial de ellos ( desplazamiento resultante).c)Cul es la magnitud y direccin del desplazamiento resultante?

oSolucin : a) d1 = 100 m i

od2 = - 300 m j

od3 = - cos 30 o x 150 m i - sen 30 o x 150 m j od3 = - 126 m i - 75 m j

o d4 = - cos 60 o x 200 m i + sen 60 o x 200 m j

o d4 = - 100 m i + 172 m j

o o o o ob) D = d1 + d2 + d3 + d4 = - 126 m i - 203 m j

c) Magnitud ( D ) = ( 126 ) 2 + ( 203 )2 = 238,9 m

Direccin : tg T = 203 / 126 = 1,61 T = 58 o

La persona se encuentra entonces a 238,9 m con respecto al punto de partida, en una direccin de 58 o medidos hacia el sur del oeste.Tambin podemos expresar el desplazamiento como 238,9 m con respecto al punto de partida, en una direccin de 32 o al oeste del sur ( c ) . O bien, la persona se encuentra a 238,9 m del punto de partida en una direccin de 238 ocon respecto al eje x positivo medido en sentido antihorario ( d ) .

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PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL DE DOS VECTORES o o

El producto vectorial de dos vectores ( por ejemplo A y B ) se escribe como o oA x B y se lee A cruz B .

o o oEl producto vectorial de dos vectores A y B se define como un tercer vector C, tal que o o oC= A x B , tal que su magnitud est determinada por la expresin :

o o o C = A x B = A x B x sen T

A : es la magnitud de A B : es la magnitud de B T : es el ngulo que forman A y B

Su direccin es la de un vector perpendicular al plano que forman A y B y su sentido est determinada por la regla de la mano derecha.

Esto es , se coloca el canto de la mano derecha sobre el primer vector del producto (es decir A ). Luego se gira la mano desde el primer vector del producto vectorial hacia el segundo vector (es decir se gira la mano de A a B ) de tal manera que la palma de la mano vaya hacia el segundo vector describiendo el menor ngulo que ellos forman. El dedo pulgar indica la direccin de A x B.

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Por ejemplo, sean los vectores en el plano xy tal que, A= 10 unid. ; B = 10 unid., Obtengamos:

o oa)El producto A x B (magnitud, direccin, sentido)

o ob)El producto B x A (magnitud, direccin, sentido)

En este caso la direccin del producto de los vectores A y B en cualquier orden es perpendicular al plano que los contiene.Por lo tanto su sentido puede ser entrando al plano o bien saliendo del plano.

o oAl calcular: A x B = A x B x sen T , se tiene

Magnitud : 10 x 10 x sen 95o = 99,6 unid. Direccin : perpendicular al plano que los contiene Sentido : entrando al plano

o oAl calcular: B x A = B x A x sen D

Magnitud : 10 x 10 x sen 95 o = 99,6 unid. Direccin : perpendicular al plano que los contiene Sentido : saliendo del plano

o o o oPor lo tanto , podemos concluir que A x B z B x A , es decir poseen igual magnitud , igual direccin , pero distinto sentido.

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Tambin el producto cruz de dos vectores se puede ejecutar, escribiendo estos en forma unitaria y luego ejecutar el producto trmino a trmino. Se debe tener presente que:

i x I = j x j = k x k = 0

i x j = k ; j x k = i ; k x i = j

j x i= -k ; i x k = -j ; k x j = - i

( + ) i x j x k x i x j ( - )

Considere el ejercicio dado al inicio de la pgina , exprese cada vector en forma unitaria y luego ejecute los productos A x B y B x A.

oA = - 10 x cos 60 i + 10 sen 60 joA = - 5 unid. i + 8,66 unid. j

oB = 10 x cos 25 i + 10 x sen 25 joB = 9,06 unid. i + 4,22 unid. j

o oAl desarrollar A x B usando los vectores en forma unitaria, debemos ejecutar el producto trmino a trmino. En este caso debemos imaginar que el eje z , es perpendicular al plano , de modo que su orientacin positiva es saliendo del plano y su orientacin negativa es entrando al plano. o oA x B = ( -5 unid. i + 8,66 unid. j ) x ( 9,06 unid. i + 4,22 unid. j ) = - 45,3 i x i - 21,2 i x j + 78,7 j x i + 36,5 j x j

Por lo anterior, tenemos que i x i = j x j = 0 ; i x j = + k ; j x i = - k o o

Entonces A x B = - 99,9 k (esto quiere decir perpendicular al plano y entrando a l). o o

Ejecute Ud. B x A y deber obtener + 99,9 k

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o o o18.- Si p = 3 i - 2 j + k , q = 2 i - 4 j - 3 k , r = - i + 2 j + 2 k ,

o o o odetermine la magnitud , direccin y sentido de A = p + q + r .

19.-El rumbo que debe tomar el piloto de un avin para llegar a su destino depende de las velocidades del viento y del avin. Si el avin tiene que volar hacia el Este , y si el viento sopla hacia el Sur , entonces , en que direccin debe estar orientado el avin ? a) Entre el Norte y el Este b)Entre el Norte y el Oeste c)Entre el Sur y el Este d)Entre el Sur y el Oeste e)Siempre hacia el Este

o o20.-Si p = 3 i - 2 j + k , q = 2 i - 4 j - 3 k ,

o o oa)Determine C = p x q

ob)Determine la magnitud de C y el ngulo con los ejes coordenados positivos

oc)Dibuje el vector C

21.-Un auto viaja 50 km hacia el este, en seguida 30 km hacia el norte y finalmente 25 km en una direccin de 30 o al norte del este. Determine el desplazamiento resultante del auto con respecto al punto de partida.

22.-Un bote a motor se dirige hacia el norte a 15 millas / hora en un lugar donde la corriente es de 5 millas / hora en una direccin de 70 o al sur del este. Encuentre la velocidad resultante del bote.

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23.-Dos vectores a y b tienen magnitudes igual a 12,7 unidades. Estn orientados como muestra la figura y su vector resultante (suma) es r. Determine: a)Las componentes x e y de r b)La magnitud de r c)El ngulo que forma r con el eje x

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CAPITULO II

ESTUDIO DE MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALES Y

BIDIMENSIONALES.

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Para facilitar el estudio de la fsica, sta se ha dividido en varios captulos, siendo el primero de ellos la Mecnica, porque contiene principios fundamentales sobre los que se apoyan todas las materias de las otras ramas de la fsica, como Optica, Electricidad, Magnetismo, etc. La Mecnica bsicamente comprende el estudio de los cuerpos materiales. El movimiento de los cuerpos, las causas de este movimiento, la energa de ellos, su momentum, entre otros son temas que aborda la mecnica.

Empezaremos dando una descripcin muy bsica acerca de los conceptos utilizados en la Cinemtica, que es una parte de la mecnica que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo provocan.

Hay movimiento en todo nuestro alrededor. Lo vemos en las actividades cotidianas de las personas, en los autos que pasan por la carretera, en los rboles que se mecen al viento y con algo de paciencia, en las estrellas por la noche. A escala microscpica hay movimientos que no podemos percibir directamente: los tomos en movimiento producen aumento en la temperatura de un objeto e incluso sonido; los electrones que fluyen dan lugar a la corriente elctrica y los electrones que vibran generan radiaciones electromagnticas.

El concepto de movimiento es relativo. Un libro que est en reposo respecto a una mesa, est en movimiento respecto al sol, pues la tierra y todos sus componentes se trasladan alrededor del sol.

Un cuerpo se encuentra en movimiento si al transcurrir el tiempo, su posicin cambia respecto a otro cuerpo considerado arbitrariamente como fijo (sistema de referencia).

Por tanto, las expresiones reposo y movimiento pueden resultar ambiguas si no se especifica el sistema de referencia. As, un cuerpo puede estar en reposo con respecto a un sistema de referencia S , pero puede estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia S.

De ordinario el sistema de referencia se representa por un sistema de ejes coordenados unidos al cuerpo que sirve de referencia.

Un nio sentado en un auto en movimiento se puede encontrar en reposo respecto a ste, pero en movimiento respecto a la superficie terrestre. Al contrario un rbol y una casa est en reposo respecto a la Tierra, pero enmovimiento respecto al auto.

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Ejercicio para la clase

1.-Suponga que un compaero no muy hbil en Fsica, al ver a sus compaeros ya sentados en sus lugares, haya comenzado a recordar sus conceptos de movimiento. De las afirmaciones siguientes, formuladas precipitadamente en la mente de su compaero, la nica correcta es : a)Estoy en reposo en relacin con mis compaeros, pero todos nosotros estamos en movimiento con relacin a la Tierra. b)Como no hay reposo absoluto, ninguno de nosotros est en reposo, en relacin con ningn punto de referencia. c)Tambin para el inspector, que no deja de andar, sera posible encontrar un punto de referencia en relacin con el cul l estuviera en reposo. d)La trayectoria descrita por este mosquito , que no deja de molestarme, tiene una forma complicada, cualquiera que sea el punto de referencia desde el cul se observe. e)La velocidad de todos los estudiantes que yo observo ahora, sentados en sus respectivos lugares es nula para cualquier observador humano.

RAPIDEZ DE MOVIMIENTO

Cuando se observa el crecimiento de una planta decimos que en un cierto tiempo esa planta ha variado su tamao o altura. Esta planta pudo haber crecido poco o mucho en ese tiempo y hablamos entonces de la rapidez de su crecimiento.

Dos recipientes iguales con distintos lquidos a 100 o C se dejan enfriar. Al cabo de un cierto tiempo, se observa que la temperatura de cada lquido es diferente. Decimos que ambos lquidos tienen diferente rapidez de enfriamiento.

En general cuando un fenmeno vara al transcurrir el tiempo podemos hablar de su rapidez de variacin.

Si un auto recorre una distancia de 560 km en 8,0 horas, usted y muchas personas diran: el auto desarrolla en promedio 70 km/h . Este resultado que se obtuvo de dividir la distancia total recorrida (560 km) entre el tiempo de viaje ( 8,0 h ) es lo que se conoce como rapidez media (vm ).

vm = distancia total recorrida / tiempo transcurrido o vm = d / t

Se puede usar cualquier combinacin de unidades de distancia y tiempo para expresar una rapidez, por ejemplo: millas / h , km / h , cm / da , m / s .

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Un auto recorre la calle ABC que muestra la figura de la siguiente manera : tramo AB = rapidez media de 60 km/h durante 2 h ; tramo BC = rapidez media de 90 km/h durante 1 h. Cul es la rapidez media durante todo el trayecto?

Para resolver este problema, debemos conocer la distancia total en el tramo ABC y dividirlo con el tiempo total, que en este caso es 3 h.

La distancia AB, se obtiene multiplicando la rapidez en ese trayecto por el tiempo empleado:

dAB = 60 km/h x 2 h = 120 km

La distancia BC , se obtiene multiplicando la rapidez en ese trayecto por el tiempo empleado:

dBC = 90 km/ h x 1 h = 90 km

Por lo tanto la distancia ABC (distancia total ) es dABC = 120 km + 90 km = 210 km

La rapidez media para todo el trayecto es : vm = 210 km / 3 h = 70 km / h


Una persona conduce un automvil durante 10 km viajando siempre a razn 90 km/h y luego otros 10 km viajando ahora a 70 km/h. Cul es la rapidez media durante el trayecto de los 20 km?

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Desde el punto de vista fsico, la velocidad es una rapidez en una direccin y sentido determinado. Cuando viaja a 60 km/h, estamos indicando su rapidez. Pero si decimos que este auto viaja a 60 km/h hacia el norte, estamos especificando su velocidad. Por ejemplo el instrumento en un auto que viaja al norte marca en un instante 60 km/h. El auto pasa frente a otro que viaja hacia el sur a 60 km/h. En este caso ellos tienen la misma rapidez( 60 km/h), pero distinta velocidad ya que se mueven en sentidos opuestos.

Si la rapidez o la direccin ( o ambas) cambian, la velocidad cambia. Por ejemplo, al dejar caer verticalmente un cuerpo, su direccin no cambia ( pero aumenta la rapidez, entonces cambia su velocidad). Si un cuerpo se mueve con rapidez constante a lo largo de una trayectoria curva, su velocidad no es constante porque su direccin est cambiando en cada instante. Un auto tiene tres mandos para cambiar la velocidad. El primero es el acelerador (aumenta la rapidez), el segundo es el freno (disminuye la rapidez), el tercero es el volante, que sirve para cambiar la direccin.

As, la velocidad de un objeto puede expresarse ocupando los vectores unitarios i , j , k . Para ello debe asignarse una direccin como positiva.

Suponga que un vehculo se mueve con una rapidez de 20 km/h en un tramo recto, de modo que el sentido hacia la derecha se considera positivo.

oSi se mueve a la derecha, su velocidad es: v = + 20 ( km/h ) i

oSi se mueve hacia la izquierda, su velocidad es : v = - 20 ( km/h) i

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Una pelota se lanza con una rapidez de 20 m/s en una direccin que forma 60 o con la horizontal. Cul es su velocidad?

Vx = cos 60 x 20 m/s oVx = 10 m/s i

Vy = sen 60 x 20 m/s oVx = 16 m/s j

oLa velocidad de la pelota es entonces: V = 10 m/s i + 16 m/s j

ACELERACIN

Considere un auto que se desplaza en lnea recta y su "velocmetro" indica en cierto instante un valor de 30 km/h. Si 1 seg despus, la indicacin del "velocmetro" cambia a 35 km/h , podemos decir que su rapidez vari 5 km/h en 1 seg. En otras palabras, el auto recibi una aceleracin. El concepto de aceleracin siempre se relaciona con un cambio en la velocidad.

La aceleracin media ( am ) , matemticamente se define como un cambio o variacin en la velocidad dividida por el intervalo de tiempo transcurrido:

Si un objeto que se mueve en un trayecto recto,lleva en un instante ti una rapidez vi , y un instante posterior tf logra una rapidez vf , el valor de laaceleracin ser :

a)Si la rapidez estuviera aumentando uniformemente con el tiempo, es decir vf > vi , la aceleracin es positiva y el movimiento se llama acelerado.

b)Si la rapidez disminuye uniformemente a travs del tiempo, de modo que vf < vi , la aceleracin es negativa y el movimiento se llama retardado.

c)Si la rapidez se mantiene constante en magnitud y en direccin , es decir vf = vi , la aceleracin es cero y el movimiento se llama rectilneo uniforme (velocidad constante).

am = variacin de rapidez = vF - vI = 'v intervalo de tiempo tF - tI 't

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Suponga que un auto movindose en un trayecto recto lleva en un instante una rapidez de36 km/h y luego de 10 seg su rapidez resulta ser 72 km/h. Calcular la aceleracin? Suponemos que al ser la aceleracin constante, en lugar de hablar de aceleracin media simplemente hablamos de aceleracin.

Para calcular la aceleracin, debemos expresar la rapidez siempre en m/s , para transformar de km/h a m/s , basta dividir por el factor 3,6 ;

por lo tanto vi = 36 km/h o 10 m/s 'v = 20 m/s - 10 m/s = 10 m/s

vf = 72 km/h o 20 m/s

Considere que el intervalo de tiempo en el cul se produce esta variacin es 't = 10 seg

a = 'v / 't = 10 m/s / 10 seg = 1 m/s2

Esto significa que la rapidez del auto aumenta 1 m/s en cada segundo.

Qu significa una aceleracin de 3 m/s2 ?

Si la rapidez disminuye en el tiempo, por ejemplo si vi = 36 m/s y despus de 5,0 seg cambia a vf = 6 m/s , la aceleracin del movimiento ser :

a = (6 m/s - 36 m/s) / 5 seg = - 6 m/s2

esto significa que la rapidez disminuy 6 m/s en cada segundo.

Qu significa una aceleracin de - 4 m/s2 ?

El trmino aceleracin se aplica tanto a cambios de rapidez como a cambios de direccin. Si recorres una curva con una rapidez constante de 50 km/h sentirs los efectos de la aceleracin como una tendencia a inclinarte hacia el exterior de la curva. Puedes recorrer la curva con rapidez constante, pero tu velocidad no ser constante porque tu direccin est cambiando en cada instante. Tu estado de movimiento est cambiando, es decir ests acelerando.

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MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIN

Consideremos el movimiento de partculas cuya trayectoria es una lnea recta (movimiento en una dimensin).

En este tipo de movimiento, slo existen dos sentidos posibles, que distinguiremos a uno como positivo y al otro como negativo. Del sistema de referencia X, Y, Z escogeremos el eje X y sobre ste un punto O como origen:

Entonces, al considerar el eje X para este movimiento, la posicin de un objeto est dada por la coordenada que tiene en ese instante. En realidad la posicin es una cantidad fsica vectorial que posee magnitud, direccin y sentido.

Por ejemplo si un objeto se encuentra en la posicin x = + 4 m significa que su direccin es horizontal, su sentido a la derecha del origen y su magnitud 4 m, es decir est a 4m a la derecha del origen (figura).

oEntonces, su posicin en forma vectorial es: x = + 4 m i

En cambio si la partcula se encuentra en la coordenada x = - 5 m, su direccin es horizontal, su sentido a la izquierda del origen y su magnitud 5 m, es decir se encuentra a 5 m a la izquierda del origen.

oAhora, su posicin en forma vectorial es: x = - 4 m i

El cambio de posicin de la partcula ( xf - xi ) se llama desplazamiento. Se acostumbra, presentar con la letra griega delta ( ' ) la variacin de una cantidad fsica. De modo que 'x = xf - xi representa el desplazamiento o cambio de posicin entre los instantes ti y tf . La unidad de medida SI del desplazamiento es el metro ( m ).

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Por ejemplo, una partcula se mueve a lo largo de una recta horizontal ( eje X) graduado en metros, encontrndose en un instante en la posicin x i = + 2 m y un instante posterior se encuentra en la posicin xf = - 4 m . Cul fue su desplazamiento?

El desplazamiento est dado por: 'x = xf - xi = - 4 m i - ( + 2 m i ) = - 6 m i , el signo negativo indica que el desplazamiento fue realizado hacia la izquierda.

Si la partcula sale de la posicin + 2 m , llega a la posicin - 4 m y luego regresa a la posicin + 2 m , su desplazamiento total es cero. En cambio, la distancia recorrida por l es 12 m.


1.-La tabla de datos muestra las posiciones que ocupa un objeto que se mueve a lo largo del eje x, a medida que transcurre el tiempo.

-3 -2 -1 O +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 x

x ( m) + 2 + 4 + 6 + 7 + 9 +9 + 8 + 6 + 3 + 1 - 1 - 3 t (seg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a)Escriba la posicin que ocupa el objeto en t = 7 s y en t = 11 s .

b)Calcule el desplazamiento entre: i) t = 3 seg y t = 9 seg ii) t = 4 seg y t = 11 seg iii) t = 0 seg y t = 3 seg

c) Construya el grfico posicin - tiempo ( x v/s t ) y el grfico de la distancia recorrida (d ) en funcin del tiempo ( t ).

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VELOCIDAD MEDIA E INSTANTNEA o

La velocidad media vm de la partcula da cuenta de la rapidez de cambio de la posicinrespecto al tiempo y operacionalmente se define como el cuociente entre el desplazamiento 'x y el tiempo empleado en realizarlo , su unidad de medida en el SI esm / s: o o o ovm = 'x / 't = ( xf - xi ) / ( tf - ti )

El desplazamiento y la velocidad media pueden ser positivos o negativos, dependiendo de los signos y valores de xf y xi . Un valor positivo de vm indica que el cuerpo se mueve a la derecha y un valor negativo que se mueve a la izquierda.

Supongamos que un objeto est en una posicin xi en un instante ti y en xf en un instanteposterior tf . Si determinamos las posiciones en otros instantes de su movimiento podemos construir un grfico posicin (x) versus tiempo (t).

En el grfico x / t , la pendiente de la recta queune dos puntos corresponde a la magnitud de la velocidad media del objeto en ese intervalo, es decir corresponde a la rapidez media en eseintervalo.

Si el intervalo de tiempo se considera cada vez ms pequeo, la inclinacin de las rectas aumenta, pero nunca llega a superar a la de la lnea tangente a lacurva en ese instante.Se define como velocidad instantnea, al lmite del cuociente 'x / 't cuando 't tiende a cero:

o o o v( t ) = lm 'x = d ( x ) (derivada de la posicin

'to 0 't dt respecto a t ).

Grficamente dicha velocidad est dada por la pendiente de la recta tangente a la curva en el instante considerado.

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Por ejemplo, el grfico muestra la posicin en funcin del tiempo para el movimiento de un objeto en un tramo recto.

Al trazar rectas tangentes a la curva en los puntos A , B , C ,encontramos que la inclinacin de la recta tangente va disminuyendo y es positiva (es decir el ngulo que forma la recta con la horizontal es entre 0o y 90o ).Por lo tanto podemos decir que la velocidad del objeto va disminuyendo y es positiva. En el punto C la velocidad es cero La recta tangente trazada en ese punto es paralela al eje horizontal ( t ) , es decir elcuerpo en ese instante est en reposo:

vA > vB : vC = 0

Considere un auto que viaja en un tramo recto. La tabla siguiente proporciona la posicin que ocupa el auto cada 5 segundos. Con ella podemos construir su grfica posicin ( x ) versus tiempo ( t ).

Si la lnea del grfico x / t es una recta, entonces su pendiente es constante y la magnitud de la velocidad media (rapidez media) en cualquier intervalo de tiempo es la misma. En estos casos se habla solamente de rapidez constante y el movimiento se llama uniforme:

rapidez constante movimiento uniformePara el auto su movimiento es uniforme, es decir con rapidez constante siendosu valor + 20 m/s .

x ( m ) t ( seg) 100 0 200 5 300 10 400 15 500 20 600 25 700 30

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ECUACIN PARA EL MOVIMIENTO UNIFORME

La ecuacin que define la posicin (x) para un movimiento uniforme en funcin del tiempo (t) , es :

x = xo + v x t ,

con xo la posicin inicial (que puede ser positiva o negativa dependiendo si el objeto inicialmente se encuentra a la derecha o a la izquierda del origen ) y v la rapidez , que tambin puede ser positiva ( si se mueve a la derecha ) o negativa ( si se mueve a la izquierda).


Por ejemplo, suponga que un auto se mueve a travs de un camino recto. Inicialmente se encuentra en la posicin x o = - 10 m y empieza a moverse con rapidez constante de36 km/h ( 10 m/s ) , hacia la derecha.

a)Cul es la ecuacin que permite conocer la posicin en cualquier instante? Reemplazando los valores en la ecuacin anterior, se tiene: x = - 10 m + 10 m/s x t

b)Qu posicin ocupa a los 5 seg de viaje? Se tiene x = - 10 m + 10 m/s x t = - 10 m + 10 m/s x 5 s = 40 m

c)Cual sera la respuesta a las preguntas anteriores si el vehculo parte desde la misma posicin pero se mueve hacia la izquierda?

Si el vehculo se mueve hacia la izquierda, la ecuacin de la posicin es: x = - 10 m 10 m/s x t

La posicin que ocupa a los 5 seg de viaje es: x = - 10 m 10 m/s x 5 s x = - 60 m

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1.-Dos autos A y B van por una misma carretera. En la figura de este problema se indica en funcin del tiempo la posicin de cada uno en relacin con el comienzo de la carretera. Analice las afirmaciones siguientes, relacionadas con el movimiento de estos autos y seale las que son correctas. a)En el instante t = 0 , A se halla en el kilmetro cero y B en el kilmetro 60. b)Ambos autos se desplazan con movimiento uniforme, es decir rapidez constante.c)De t = 0 a t = 2,0 h , A recorri 120 km y B 60 km. d)La rapidez de A es 60 km/h y la de B es 30 km/h e)A alcanza a B en el instante t = 2,0 h al pasar por la sealdel kilmetro 120.

2.-La tabla proporciona en varios instantes, la posicin x de una bicicleta respecto al kilmetro cero de la carretera por donde va.

X (m ) 200 180 160 140 120 100 t (seg) 0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

a)Construya el grfico x v/s t y escriba la ecuacin que proporciona la posicin x de la bicicleta en funcin del tiempo t b)Determine la rapidez de la bicicleta c)Suponga que el origen del conteo de la posicin se cambiara para la posicin inicial de la bicicleta y que el sentido en que avanza se considere positivo. Escriba para ese caso, la ecuacin que indica la posicin x en funcin de t

3.-Dos ciclistas A y B se encuentran en un mismo punto de una carretera horizontal. El ciclista A inicia su movimiento con rapidez constante de 36 km/h y el ciclista B con una rapidez constante de 40 km/h. A que distancia se encuentra A con respecto a B luego de 30 min si : a)Parten en el mismo sentido b)Parten en sentido contrario

4.-Dos ciudades A y B se encuentran en una carretera recta separadas 90 km. Desde A hacia B parte un camin con rapidez constante de 50 km/h y desde B hacia A parte otro camin con rapidez constante de 40 km/h. Considere en la figura, sentido positivo a la derecha:a)Escriba la ecuacin de la posicin del camin que sale de A y del camin que sale de B b)Luego de cunto tiempo se cruzan. c)Qu distancia logr recorrer cada uno?

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Si conocemos la velocidad de un objeto en distintos instantes podemos construir su grfico velocidad - tiempo.

Consideremos un objeto que en un instante t i lleva unavelocidad vi , y en un instante posterior tf su velocidad es vf .

Si trazamos la recta que une estos dos puntos y calculamos su pendiente, se obtiene la aceleracin media para ese intervalo:

am = 'v / 't

Al hacer ms pequeo el intervalo de tiempo considerado, llega un momento en que la pendiente de la recta se confunde con la recta tangente a la curva en ese instante.

Entonces, se define la aceleracin instantnea como :

a (t) = lm 'v = d ( v ) (derivada de la velocidad respecto al tiempo). 'to0 't dt

Si la velocidad aumenta uniformemente, esto es, el grfico velocidad - tiempo es una lnea recta, entonces la aceleracin media es igual a la aceleracin instantnea y slo hablaremos de aceleracin.

ECUACIONES PARA UN MOVIMIENTO CON ACELERACIN CONSTANTE

A partir de consideraciones grficas y matemticas se pueden demostrar las siguientes ecuaciones cinemtica.

a)Para un objeto que se mueve con aceleracin constante ( a ) , la posicin ( x ) que ocupa en cualquier instante ( t ) est dada por la expresin :

x = xo + vo x t + a x t2 donde xo es la posicin inicial ( es decir en t = 0 ).2 vo es la rapidez inicial ( en t = 0 )

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b) Al formar la diferencia entre la posicin final ( x ) y la inicial ( xo ) , obtenemos el desplazamiento 'x = x - xo .

'x = vo x t + a x t2 2

c)La velocidad ( v ) en funcin del tiempo ( t ) para un objeto que se mueve con aceleracin constante est dada por:

v = vo + a x t

d)La siguiente ecuacin relaciona la velocidad en funcin del desplazamiento:

( vf )2 = ( vo )2 + 2 x a x 'x

e) Calculo de la magnitud del desplazamiento

El " rea" bajo la curva en el grfico velocidad - tiempo proporciona la magnitud deldesplazamiento experimentado por un objeto en cualquier clase de movimiento.

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1.-El siguiente grfico v v/s t representa la rapidez ( v ) en funcin del tiempo (t) de una partcula animada de movimiento rectilneo en la direccin OX.

a)Cul es la magnitud de la aceleracin a los 1 seg?

En este caso se pregunta por la aceleracin instantnea(instante t =1 seg ). Al observar el grfico, vemos que est representado por una lnea recta. Es decir, la aceleracin encualquier instante del primer tramo es igual a la aceleracin media en cualquier intervalo de dicho tramo y es igual a la pendiente de dicha recta:

a = 20 m/s - 10 m/s = 5 m/s2 2 seg - 0 seg

Entonces la aceleracin a los 1 seg , es la misma para cualquier instante del primer tramo y su valor es 5 m/s2 . Esto significa que en el primer tramo la rapidez aument a razn de 5 m/s en cada segundo.

b)Cul es la magnitud de la aceleracin a los 3 seg?

En este caso se pregunta por la aceleracin instantnea a los 3 seg. Al observar el grfico, vemos que esta porcin del grfico tambin es una lnea recta, por lo tanto la aceleracin instantnea es igual que la aceleracin media para el trayecto y es igual a la pendiente de dicha recta. Es decir:

a = 0 m/s - 20 m/s = - 20 m/s = - 10 m/s2 4 seg - 2 seg 2 seg

Esto significa que en este tramo en cada segundo la rapidez disminuye a razn de 10 m/s.

c) Calcule el desplazamiento experimentado por el objeto entre t = 0 y t = 2 s. Al marcar el rea entre 0 y 2 s obtenemos una figura que se puede separar en un tringulo y en un rectngulo :

'x = 10 x 2 + 10 x 2 = 30 m 2Calcule el desplazamiento experimentado entre2 seg y 4 seg .

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2.-En el instante considerado como origen para medir el tiempo ( t = 0 ) , la posicin de un auto que se mueve a la derecha en un trayecto recto es xo = - 14 m , siendo su rapidez vo = 5 m/s. Acelera uniformemente a razn de a = 2 m/s2 .

a)Escriba la ecuacin de la posicin para cualquier instante de tiempo

La ecuacin de la posicin para un movimiento con aceleracin constante es :

x = xo + vo x t + a x t2 o x = - 14 m + 5 (m/s ) x t + 2 (m/s2 ) x t2 2 2 x = - 14 m + 5 (m/s) x t + 1 (m/s2 ) x t2

Por ejemplo, que posicin ocupa el objeto a los 2 seg ?

Reemplazando los valores, se tiene : x = - 14 m + 5 (m/s) x 2 s + 1 (m/s2 ) x (2 s )2

x = 0 m , es decir el objeto a los 2 s pasa por el origen.

b)Calcule usted la posicin a los 5 seg.

c)Escriba la ecuacin de la velocidad para cualquier instante de tiempo

La ecuacin de la velocidad para cualquier instante de tiempo es :

v = vo + a x t o v = 5 m/s + 2 (m/s2 ) x t

Por ejemplo, cul es la velocidad a los 2 seg ? , es decir cuando pasa por el origen:

v = 5 m/s + 2 (m/s2 ) x 2 s o v = 9 m/s

d)Calcule usted la velocidad a los 5 seg.

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3.-Un auto viaja en un camino recto y lleva una velocidad de 10 m/s en el momento en que el conductor pisa el acelerador. Esto ejercer sobre el auto una aceleracin constante que aumenta su velocidad a 20 m/s en 5,0 seg. Considere t = 0 ,el instante en que el conductor pisa el acelerador.

a)Cul es la aceleracin del auto?

En el instante t = 0 tenemos vo = 10 m/s y en el instante t = 5 ,0 seg se tiene que vf = 20 m/s. Por lo tanto la aceleracin del auto es :

a = ( vf - vi ) = 20 m/s - 10 m/s = 2 m/s2 ( tf - ti ) 5,0 seg - 0 seg

Esto significa que en cada segundo su rapidez aumenta 2 m/s.

b)Suponiendo que el auto mantuviera esta aceleracin hasta el instante t = 10 seg , cul es su velocidad en este instante?

Usaremos la ecuacin v = vo + a x t , es decir v = 10 m/s + 2,0 m/s2 x 10 s v = 30 m/s

c)Cul es el desplazamiento experimentado por el auto desde el inicio de la aceleracin hasta el instante t = 10 s ?

El desplazamiento lo podemos calcular mediante la expresin:

'x = vo x t + a x t2 o 'x = 10 m/s x 10 s + 2 m/s2 x (10 s )2 2 2

'x = 200 m

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4.-Un auto viaja a una rapidez constante de 30 m/s en un trayecto recto , pasa de largo a un agente de trnsito que est escondido detrs de un cartel. Un segundo despus de que el veloz auto pasa el cartel, el agente empieza la persecucin desde el reposo del auto con una aceleracin constante de a = 3 m/s2 .

a)Escriba la ecuacin de la posicin del auto y del agente en relacin al origen.

El auto viaja con rapidez constante, por lo tanto la aceleracin es cero. Ahora bien, como viaja a 30 m/s , esto significa que 1 seg despus de cruzar el cartel se encuentra a 30 m del origen (cartel) . Por lo tanto cuando se empieza a estudiar el movimiento ( t = 0 ) :

xAUTO = xo + vo x t + a x t2 o x AUTO = 30 m + 30 (m/s ) x t 2

xAGENTE = xo + vo x t + a x t2 o xAGENTE = 0 m + 0 (m/s) x t + 3 (m/s2 ) x t2 2 2

b)En que instante de tiempo el agente alcanza al auto?

Cuando el agente alcanza al auto ambos tienen la misma posicin, por lo tanto xAUTO = xAGENTE

es decir : 30 + 30 x t = 3 x t2 , ordenando resulta : 1,5 t2 - 30t - 30 = 0 2

Resolviendo la ecuacin, encontramos que para t = 21 s , el agente alcanza al auto.

c)Que velocidad lleva el auto cuando es alcanzado , y cul es la velocidad del agente .

Para responder estas preguntas debemos escribir la ecuacin de la velocidad en cualquier tiempo tanto para el auto como para el agente. v = vo + a x t ; Para el auto, se tiene: vAUTO = 30 m/s + 0 m/s2 x t Entonces a los 21 seg : vAUTO = 30 m/s Para el agente se tiene : vAGENTE = 0 m/s + 3 m/s2 x t Entonces a los 21 seg : vAGENTE = 63 m/s

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5.-El diagrama muestra la rapidez de una partcula en funcin del tiempo. Calcule:a)La aceleracin a los 8 s y a los 16 s b)El mximo desplazamiento con relacin a la posicin inicial en el intervalo de 0 a 20 s. c)La distancia recorrida de t = 0 hasta t = 20 s

6.-a) El tiempo de reaccin de un motorista es aproximadamente 0,7 s (intervalo de tiempo entre la percepcin de la seal para detenerse y la aplicacin de los frenos. Si los frenos de un auto pueden garantizar un retardamiento de 5 m/s2 , calcule la distancia recorrida por l suponiendo que su velocidad es de 72 km/h. b)Haga el grfico de la rapidez en funcin del tiempo desde el instante en que el motorista percibe la seal para detenerse y el instante en que se detiene. c)Calcule la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo a travs del grfico v v/s t

7.- Un auto al frenar , adquiere un movimiento uniformemente retardado cuya aceleracin tiene magnitud igual a 4,0 m/s2 . El conductor que iba a 72 km/h , se da cuenta de un obstculo frente a l. Aplica el freno y logra detenerse en un tramo de 60 m contados a partir del momento en que vio el obstculo. Cul fue el tiempo de reaccin del conductor?

8.--Dos partculas A y B se desplazan a lo largo de una misma trayectoria. Las ecuaciones de la posicin con respecto al mismo origen son : xA = 4t2 - 3 ; xB = 5t2 - 4t , con x medido en metros y t en segundos. Determine : a)En que instante(s) se cruzan (es decir tienen la misma posicin) y cul es esta? b)Qu velocidad lleva cada uno en el momento en que se cruzan?

9.-Un conductor pasa frente a un motociclista de trnsito quien decide seguirlo porque el lmite de velocidad es 60 km/h y el auto iba a 72 km/h. El inspector partiendo del reposo, inicia la persecucin 10 s despus de que pas el auto , a una aceleracin constante. Se sabe que el motociclista alcanza al conductor a 3,0 km de donde parti. Determine la velocidad del motociclista en ese momento.

10.-Un peatn est corriendo a 6,0 m/s, que es la mxima rapidez que logra desarrollar, a fin de alcanzar un autobs que est detenido. Cuando se encuentra una distancia d del autobs, ste inicia la marcha con una aceleracin constante de 1,0 m/s2 .a)Escriba la ecuacin de la posicin del peatn y del autobs. b)Si d = 25 m lograr alcanzarlo c)Calcule la menor distancia al autobs que el logra alcanzar.

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CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS

Entre los diversos movimientos que ocurren en la naturaleza siempre ha habido inters en el estudio del movimiento de cada de los cuerpos prximos a la superficie de la Tierra. Cuando dejamos caer un objeto, por ejemplo una piedra, comprobamos que al caer su velocidad aumenta, es decir su movimiento es acelerado. Si lanzamos el objeto hacia arriba, su velocidad disminuye gradualmente hasta anularse en el punto ms alto, es decir el movimiento de subida es retardado.

Aristteles, crea que al dejar caer cuerpos ligeros y pesados desde una misma altura, sus tiempos de cada seran diferentes; los cuerpos pesador llegaran al suelo antes que los ligeros. La creencia de esta afirmacin perdur casi durante dos milenios sin que nadie procurase comprobar su veracidad con mediciones cuidadosas.

Galileo Galilei, realiz un estudio ms minucioso de este movimiento, pues el estableca que cualquier afirmacin relacionada con algn fenmeno deba estar fundamentada en experimentos y en observaciones cuidadosas. Al estudiar la cada de los cuerpos lleg a la conclusin que:

Si se dejan caer simultneamente desde una misma altura un cuerpo ligero y otro pesado ambos caern con la misma aceleracin llegando al suelo en el mismo instante

Cuando se deja caer una piedra y una pluma al mismo tiempo, la piedra cae ms de prisa, como afirmaba Aristteles. Pero es posible demostrar que tal cosa sucede porque el aire produce un efecto retardante en la cada de cualquier objeto, y que dicho efecto ejerce una mayor influencia sobre el movimiento de la pluma que sobre el de la piedra.

En realidad si dejamos caer la piedra y la pluma dentro de un tubo en el cul se extrajo el aire (se hizo el vaco) comprobaremos que ambos objetos caen en forma simultanea como afirmaba Galileo. Por tanto, la afirmacin de Galileo slo es vlida para los cuerpos que caen en el vaco.

El movimiento de cada de los cuerpos en el vaco o bien, cuando no se considera la resistencia del aire se llama cada libre.

Con sus experimentos, Galileo logr comprobar que el movimiento es uniformementeacelerado, es decir durante la cada el cuerpo cae con una aceleracin constante.Tal aceleracin, que recibe el nombre de aceleracin de la gravedad, suele representarse por g y su valor es el mismo para todos los cuerpos en cada libre, siempre que no se encuentren muy lejos de la superficie terrestre.

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La magnitud de la aceleracin cuando un cuerpo cae libremente es g = 9,8 m/s2 , su direccin es vertical y su sentido hacia el

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