MTHS 1080 Test 1-Version A Fall 2013

Student’s Printed Name: _____________________SOLUTIONS_________________ Instructor: _________________________________ Section # :_________ You  are  not  permitted  to  use  a  calculator  on  any  portion  of  this  test.  You  are  not  allowed  to  use  any  textbook,  notes,  cell  phone,  laptop,  PDA,  or  any  technology  on  either  portion  of  this  test.  All  devices  must  be  turned  off  while  you  are  in  the  testing  room.    During  this  test,  any  communication  with  any  person  (other  than  the  instructor  or  his  designated  proctor)  in  any  form,  including  written,  signed,  verbal,  or  digital,  is  understood  to  be  a  violation  of  academic  integrity.  No  part  of  this  test  may  be  removed  from  the  examination  room.    Read  each  question  very  carefully.  In  order  to  receive  full  credit  for  the  free  response  portion  of  the  test,  you  must:  

1. Show  legible  and  logical  (relevant)  justification  which  supports  your  final  answer.  2. Use  complete  and  correct  mathematical  notation.  3. Include  proper  units,  if  necessary.  4. Give  exact  numerical  values  whenever  possible.  5. Follow  the  directions  given  for  the  problem.  

You  have  90  minutes  to  complete  the  entire  test.    

On  my  honor,  I  have  neither  given  nor  received  inappropriate  or  unauthorized  information  at  any  time  before  or  during  this  test.  Student’s  Signature:  ________________________________________________  

Do  not  write  below  this  line.    

 Free  Response  

Problem   Possible  Points   Points  Earned  

1   6    

2   8    

3   9    

4   6    

5   17    

6   11      

7.  (Scantron)   1    Total  Free  Response   58    Multiple  Choice   42    

Test  Total   100    

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1

Multiple  Choice:  There  are  14  multiple  choice  questions.  They  all  have  the  same  point  value.  Each  question  has  one  correct  answer.    The  multiple  choice  problems  will  count  42%  of  the  total  grade.  Use  a  number  2  pencil  and  bubble  in  the  letter  of  your  response  on  the  scantron  sheet  for  problems  1  –  14.  For  your  own  record,  also  circle  your  choice  on  your  test  since  the  scantron  will  not  be  returned  to  you.  Only  the  responses  recorded  on  your  scantron  sheet  will  be  graded.  You  are  NOT  permitted  to  use  a  calculator  on  any  portion  of  this  test.      

1.   Which  one  of  the  following  is  equivalent  to   log2 10( )?  (3  pts.)  

     

 a)   ln5 + ln2    

b)   ***1+ ln5ln2

 

    c)   ln5  

  d)   ln10 − ln2  

   

2.  Simplify   tan cos−1 x⎡⎣ ⎤⎦ .  (3  pts.)  

       

a)   x2 −1x

  b)   1− x2    

   

c)   *** 1− x2

x  

 

d)   x1− x2

 

     

3.  We  can  approximate  the  length  of  a  curve  with  the  sum  of  the  lengths  of  line  

segments,  expressed  as L ≈ Δx( )2 + Δyk( )2k=1

n

∑ .  What  theorem  helps  us  rewrite  

this  sum  as  a  Riemann  sum,   L ≈ 1+ ′f xk( )2k=1

n

∑ Δx ?    

(3  pts.)  

        a)   ***Mean  Value  Theorem   b)  Fundamental  Theorem  of  Calculus    

     

c)   L’Hopital’s  Rule    

d)  Intermediate  Value  Theorem  

   

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2

 4.  

Evaluate  the  following  integral:    

g3(x)g 4(x)−1∫ ′g (x)dx .  

(3  pts.)  

         

 a)   ln g(x) − g

4 (x)4

+C   b)  ***  

ln g 4(x)−14

+C  

   

 c)   g

2 (x)2

− g4 (x)4

+C  

 

d)   ln g4 (x)−1 +C  

     

5.  Given  that  

tan x + y( ) = tan x + tan y

1− tan x tan y,  evaluate  

tan−1 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ tan−1 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.  (3  pts.)  

   

a)  

π2  

 

b)  

π3  

 

 

c)   ***

π4  

   

d)  

π6  

     

6.  The  length  of  a  curve  is  given  by   1+ 4

1− 4x2dx

a

b

∫ .  Which  of  the  following  could  be  

the  equation  of  the  curve?  

(3  pts.)  

     

a)   f (x) = 4

1− 4x2   b)  

f (x) = 32x

1− 4x2( )2  

   c)   f (x) = 2arctan(2x)    

 d)  *** f (x) = arcsin(2x)    

 

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3

 7.  

The  region  bounded  by   y = cos x  and  the  x-­‐  and  y-­‐axes   0 ≤ x ≤ π / 2( )  is  revolved  around  the  x-­‐axis.  Using  the  shell  method,  the  volume  of  the  solid  is  given  by  which  integral?  

(3  pts.)  

       

a)   2π xcos xdx0

π2

∫   b)   π cos−1 y( )2 dy0

1

∫  

 c)*** 2π ycos−1 ydy

0

1

∫  

 

d)   cos2 xdx0

π2

∫  

         

8.  Evaluate   ′f 0( )  given   f x( ) = cos 2x( )

x2 + 6x +1.  

 

(3  pts.)  

  a)   ***−3   b)   0      

c)   1      

d)   3  

     

9.  Find  the  derivative  of   ywith  respect  to   x  for  the  function     y = x

cos x .  (3  pts.)    

a)   y = xcos x −sin xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟  

 

b)*** y = xcos x cos xx

− sin x ln x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟  

   

  c)   y = cos xx

− sin x ln x  

 

d)   y = cos x( )xcos x−1    

   

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4

 10.  

Evaluate   4 x44x

dx∫ .  (3  pts.)  

       

a)   44 x+1

ln 4 4x +1( ) +C  

 

b)   44x

ln 4( )2 +C    

 c)*** 44

x

ln 4( )2+C

`   d)   4

4x

ln 4+C  

     

11.   Which  integral  gives  the  area  of  the  region  in  the  first  quadrant  bounded  by  the  axes, y = ex ,   x = ey , and the line x = 4 ?    

                                                                 

(3  pts.)  

       

a)   ex dx0

e

∫ + ln xdxe

4

∫  

 

b)   ey − ln y( )dy0

ln4

∫    

 c)   ex − ln x( )dx

0

4

∫ `   d)*** ex dx

0

1

∫ + ex − ln x( )dx1

4

∫  

       

12.   Which  of  the  following  integrals  gives  the  volume  of  the  solid  whose  base  is  the  triangle  in  the  xy-­‐plane  with  vertices  (0,0),  (2,0),  and  (0,2)  and  whose  cross  sections  perpendicular  to  the  base  and  parallel  to  the  y-­‐axis  are  semicircles?    

                                                                                                                                       

(3  pts.)  

 a)   π 2 − y( )2 dy

0

2

∫   b)  *** π82 − x( )2 dx

0

2

∫  

 c)   π

42 − x( )2 dx

0

2

∫  

 d)   2π x 2 − x( )dx

0

2

∫  

 

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5

 13.  

Which  integral  represents  the  arclength  of  the  curve   y = log10 x  on  the  interval   1≤ x ≤ 5?  

(3  pts.)  

       

a)  ***   1+ 1x ln10( )2

dx1

5

∫   b)   1− log10 xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

dx1

5

∫  

 c)   1+ ln x2

ln10( )2dx

1

5

∫  

 

d)   1+ log10 xx

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

dx1

5

∫  

         

14.   Consider  the  region R shown  below.  Which  of  the  following  is  NOT  always  true?  

                                                                                       

(3  pts.)  

       

a)

f x( )− c⎡⎣ ⎤⎦a

b

∫ dx = b− g y( )⎡⎣ ⎤⎦c

d

∫ dy    

 b)  

π f x( )⎡⎣ ⎤⎦

2− c2( )

a

b

∫ dx = 2π y b− g y( )⎡⎣ ⎤⎦c

d

∫ dy  

 c)  

π b2 − g y( )⎡⎣ ⎤⎦

2( )dy =c

d

∫ 2π x f x( )− c⎡⎣ ⎤⎦a

b

∫ dx  

 d)  ***  

π f x( )⎡⎣ ⎤⎦

2− c2( )dx

a

b

∫ = π b2 − g y( )⎡⎣ ⎤⎦2( )dy

c

d

∫    

 

     

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6

Free  Response:  The  Free  Response  questions  will  count  57%  of  the  total  grade  (plus  1  point  for  correctly  filling  out  the  scantron).  Read  each  question  carefully.  In  order  to  receive  full  credit  you  must  show  legible  and  logical  (relevant)  justification  which  supports  your  final  answer.  All  limits  of  integration  should  be  expressed  as  exact  values  not  as  decimal  approximations  (ie.  π  and   not   3.14).   Solutions   should   be   simplified   using   exact   values   (i.e.  π )   and   radicals   (if  necessary,   i.e. 2 )   and  by   applying   properties   in   this   unit.   If   a   u-­‐substitution   is   required   for  integration,  clearly  identify  u  and  du.  (This  does  not  apply  to  problems  for  which  only  setting  up  an   integral   is   required.)  You  are  NOT  permitted   to  use  a   calculator  on  any  portion  of   this  test.  Evaluate  the  following  integrals.    

1.  (6  pts) 1− 1− cos x( )2⎡⎣ ⎤⎦∫ sin xdx  

                 

Let u = 1− cos x. Then du = sin xdx.

1− 1− cos x( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥sin x dx∫ = 1− u2⎡⎣ ⎤⎦∫ du = u − u3

3+C

⇒ 1− 1− cos x( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥sin x dx∫ = 1− cos x( )− 1− cos x( )3

3+C

   OR                      

Let u = cos x. Then du = −sin xdx.

1− 1− cos x( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥sin x dx∫ = − 1− 1− u( )2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥∫ du = − 1− 1− 2u + u2( )⎡

⎣⎤⎦∫ du = −2u + u2( )∫ du = −u2 + u3

3+C

⇒ 1− 1− cos x( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥sin x dx∫ = −cos2 x + cos3 x

3+C

 

2.  (8  pts) dx4x2 − 8x + 5∫  

First  you  need  to  complete  the  square.  

4x2 −8x +5= 4 x2 − 2x( ) +5= 4 x2 − 2x +1( )− 4+5= 4 x −1( )2

+1      Then  

dx4x2 − 8x + 5∫ = dx

4 x −1( )2 +1∫ .  

Let u = 2 x −1( ). Then du = 2dx and du2

= dx

dx

4 x −1( )2+1

∫ .= 12

duu2 +1∫ = 1

2tan−1 u +C = 1

2tan−1 2x − 2( ) +C

⇒ dx4x2 −8x +5∫ = 1

2tan−1 2x − 2( ) +C

 

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7

3.  (9  pts)   e2x

1− e4 xdx

− ln22

− ln24

∫

                       

Let u = e2x . Then du = 2e2xdx and du2

= e2xdx. If x = − ln22

, then u = e2 − ln2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = e− ln2 = eln2−1

= 12

.

If x = − ln24

, then u = e− ln2

2 = eln2−1/2

= 12

.

e2x

1− e4xdx

− ln22

− ln24

∫ = 12

du

1− u212

12

∫

= 12

sin−1 u12

12

= 12

sin−1 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− sin−1 1

2⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 12

π4− π

6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= π

24

⇒ e2x

1− e4xdx

− ln22

− ln24

∫ = π24

 

 

4.  (6  pts) x2 + x( ) x +1∫ dx    

                                                                   

Let u = x +1. Then du = dx and x = u −1.

x2 + x( ) x +1dx∫ = u −1( )2+ u −1( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥∫ udu

= u2 − u( )u1/2 du∫

= u5/2 − u3/2( )du∫

= 27

u7/2 − 25

u5/2 +C

⇒ x2 + x( ) x +1dx∫ = 27

x +1( )7/2− 2

5x +1( )5/2

+C

 

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8

5.  Let R be  the  region  in  the  first  quadrant  bounded  by  the  graphs   y = ln x ,    

       x = 1, and y = 1  shown  below.      

                                                                                                                                   a.  (4  pts)  Set  up,  but  do  not  evaluate  or  simplify,  the  integral  that  gives  the  volume  of  the              solid  obtained  by  rotating  the  region R around  the  x-­‐axis  using  the  disk/washer              method.    

                                          V = π 12 − ln x( )2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1

e

∫ dx  

   b.  (4  pts)  Set  up,  but  do  not  evaluate  or  simplify,  the  integral  that  gives  the  volume  of  the              solid  obtained  by  rotating  the  region R around  the  y-­‐axis  using  the  shell  method.    

                                        V = 2πx 1− ln x( )

1

e

∫ dx  

   c.  (4.5  pts)  Set  up,  but  do  not  evaluate  or  simplify,  the  integral  that  gives  the  volume  of  the            solid  obtained  by  rotating  the  region R around  the  line   y = 1 .  State  the  name  of  the            method  you  use.      Method:_____________________________________    

                                     Shell:       V = 2π 1− y( ) ey −1( )

0

1

∫ dy  

                                   Disk/Washer:         V = π 1− ln x( )2

1

e

∫ dx  

 d.  (4.5    pts)  Set  up,  but  do  not  evaluate  or  simplify,  the  integral  that  gives  the  volume  of  the            solid  obtained  by  rotating  the  region R around  the  line   x = 1 .  State  the  name  of  the            method  you  use.    Method:_____________________________________    

                                     Shell:       V = 2π x −1( ) 1− ln x( )

1

e

∫ dx  

                                   Disk/Washer:         V = π ey −1( )2

0

1

∫ dy  

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9

6.  Let R be  the  region  below  the  graph  of y =1

x2/3 1+ x1/3( )  in  the  first  quadrant  bounded    by x = 1 and x = 8  as  shown  below.                                                                                                                              

                                                                                                                 a.  (3  pts)  Set  up,  but  do  not  evaluate  an  integral(s)  that  represents  the  area  of  the  region R .      

                A = dx

x2/3 1+ x1/3( )1

8

∫  

   b.  (8  pts)  Evaluate  the  integral  you  found  in  part  a.  giving  your  answer  as  an  exact  value  and  simplified.  To  receive  full  credit  for  part  b.,  you  must  have  a  correct  integral  in  part  a.    

A = dxx2/3 1+ x1/3( )1

8

∫

Let u = 1+ x1/3. Then du = 13

x−2/3dx and 3du = dxx2/3 . If x = 1, then u = 2. If x = 8, then u = 3.

dxx2/3 1+ x1/3( )1

8

∫ = 3 duu2

3

∫ = 3ln2

3

u 3ln 32

A = 3ln 32

square units