11 TRANSFORMADORES

7/31/2019 11 TRANSFORMADORES

http://slidepdf.com/reader/full/11-transformadores 1/32

TRANSFORMADORESTRANSFORMADORES



El transformador Ideal

Es una aproximación de un transformadorfuertemente acoplado.

Las reactancias inductivas del primario ydel secundario son muy grandescomparadas con las impedancias de la

terminación.



El transformador linealEl transformador lineal

I1 VL

+

_

M

I2 Vs

R 1

+ _ Vs

= I1Z11 – I2s

M

0 = –I1sM + I2Z22 = 0

donde

Z11 = R 1 + sL 1

Z22 = R 2 + sL 2 + ZL

22

22

11

1

1

Z

sZ

VZ M

I ent −==

ZL L 1 L 2

R 2

En un transformador lineal el coeficiente de acoplamiento es de algunas

décimas.

Transformador lineal con una fuente en el primario y carga en el secundario

22

22

Z

s M −Impedancia reflejada:

2

22

2

22

22

22

2

22

2

22

22

22

11 X R

X M j

X R

R M ent

+

ω−+

+

ω+= ZZ

La reactancia reflejada tiene el signocontrario al de reactancia X 22



EjemploEjemplo

Los valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R 1=3

, R 2 =6, L1 = 2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si ω= 5,000 rad/s, determine Zent paraZL igual a a) 10, b) j 20, c) 10 + j 20, d) - j 20.

a)

Similarmente :

b) 3.4862+ j4.3274

c)4.2413+j4.5694

d)d) 5.5641-j2.8205

Z11 = R1 + s L1 = 3 + j(5000)(0.002) = 3 + j10

Z22 = R2 + s L2 + Z L = 6 + j(5000)(0.010) + 10 = 16 + j50

=−==22

22

11

1

2Z

s

Z

V

Z

M

I ent

= 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 +j2.7431



RelaciRelacióón de vueltasn de vueltas

2

2

1

2

2

1

2 a N

N

L

L==

Se cumple la siguiente relación:

V2

+

_

I1

k = 1

I2 V1

+

_ ZL L 1 L 2

1: a

a = razón del número devueltas del secundario alprimario = N2 / N1

V1 = jw L1I1 – jw M I2

0 = – jw M I1 + (Z L + w L2) I2

Despejando V1:

2

21

2

1

2

22

1

1

1

2

22

1111

L j

L L L j

L j

M L j

L j

M L j

L

ent

L

ent

L

ω

ω ω

ω

ω ω

ω

ω ω

++=

++==

++=

ZZ

ZI

VZ

ZIIV



Relación de vueltas

Si dejamos queL

1 tienda a infinito

Dado que L2 = a2 L1

2

11

2

1

1

2

2

1

222

1

22

1

1

2

2122

1

/ a L j La j

L j

La j

La La L j

La j La L j

L

L

L

Lent

L

Lent

L

ent

+ω=

ω+

ω=

ω+

ω+ω−ω=

ω+ω+ω=

Z

Z

Z

ZZ

Z

ZZ

ZZ

2a L

ent

ZZ =



Acoplamiento de impedancias

Suponga un amplificador con 4000 de impedancia de

salida y una bocina con 8

de impedancia.

4.22

4.22

1

500

1

4000

8

84000

2

1

22

=

===

===

N

N

a

aa L

ent

ZZ



Relación de corrientes

a L

L

L j

M j

L j

M j

L

1

2

1

221

2 ==ω

ω=ω+

ω=ZI

I

Si suponemos que L 2 se hace muy grande.

N 1I1 = N 2I2Entonces

Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50mA en el primario, en ele secundario habrá una corriente de(22.4)(50mA) = 1.12 A.

La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W.

La potencia suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W



Relación de tensiones

1

2

1

2

1

22

2

1

2

1

2

1

2

/

N

N a

aa L

L

ent

L

==

===

V

V

I

I

ZI

ZI

ZI

ZI

V

V

La relación para tensiones es

Si a > 1, en transformador es elevador

Si a < 1, en transformador es reductor

Se cumple



Ejemplo

I1 I2 V1

_

10 k Ω

1:

10+

V2

+

_

+ _

100 Ω

50 V rms

Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10k Ω,

La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2

La impedancia que “se ve” en la entrada es ZL /a 2 = 100 W

I1 = 50/(100 + 100) = 250 mA rms

I2 = (1/ a ) I1 = 25 mA rms, la potencia es P = 6.25 W.



Relaciones de tensión en el tiempo

i 1

L 1 L 2

+

_ v 2v 1

+

_

i 2M Ecuaciones de malla para el transformador ideal

dt

di L

dt

di M v

dt

di M

dt

di Lv

22

12

2111

+=

+=

Despejando la derivada de i 2 en lasegunda ec. y sustituyendo en la

primera y ya que: M 2 = L1 L2

22

2

12

2

1

1

2

2

22

1

11

1v

av

L

Lv

L

M v

dt

di

L

M

v L

M

dt

di

Lv

===

−+=

Dividiendo la primera ec. entre L1 y

suponiéndola muy grande

Aaii

dt

dia

dt

didt

di

L

M

dt

di

L

v

+−=

−=

+=

21

21

2

1

1

1

1



i1 i2

N1e1

+

_ N2e2

+

_

∫=

=

dt e N

1dt

d N e

1

1

11

φ

φ

dt

d N e

φ 22 =

Primario Secundario

TRANSFORMADOR IDEAL



( )( ) 2

1

2

1

2

1

N N

dt

d N

dt

d N

t et e ==

φ

φ

2

1

2

1

N

N

E

E =ρ

2

2

1

1

N

E

N

E =

Análisis Básico:Tensión

i1 i2

N1e1 + _ N2 e2+ _

Volts/vueltas es constanteVolts/vueltas es constante Magnitudes varMagnitudes varí í an con la relacian con la relacióón de nn de núúmero de vueltas.mero de vueltas.



Analisis Basico : Potencia y corriente

21 S S =

*

22

*

11 I E I E =

1

2

1

2

*

2

*1

N

N

E

E

I

I ==

1

2

2

1

N

N

I

I = 2211 I N I N =

i1 i2

N1

e1 + _ N2 e2+ _

RelaciRelacióón de corrientes es opuesto a lan de corrientes es opuesto a la

relacirelacióón de tensin de tensióónn



Análisis Básico : impedancia reflejada

I1 I2

E1 E2

+

-

+

-

Z2 N

1 N

2

I1

E1

+

-

Z1

111

222

E I Z

E I Z

=

=

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

===

N

N

N

N

N

N

I

I

E

E

Z

Z

2

1

2

1

2

=

N

N

Z

Z



TRANSFORMADORES IDEALESTRANSFORMADORES IDEALES

AplicaciAplicacióón de los transformadores:n de los transformadores:

Acoplamiento de impedancias: Acoplamiento de impedancias:

Los transformadores son especialmenteLos transformadores son especialmente úútiles cuando se trata detiles cuando se trata de

garantizar que una carga reciba mgarantizar que una carga reciba mááxima potencia desde una fuente.xima potencia desde una fuente.

Se transfiere mSe transfiere mááxima potencia a una carga cuando su impedanciaxima potencia a una carga cuando su impedancia

estestáá acoplada con la resistencia interna de la fuente.acoplada con la resistencia interna de la fuente.

Desgraciadamente la mayorDesgraciadamente la mayoríía de las cargas no se acoplan con laa de las cargas no se acoplan con la

resistencia interna de la fuente.resistencia interna de la fuente.

Esto se arregla con la inclusiEsto se arregla con la inclusióón de un transformador :n de un transformador :



TRANSFORMADORES IDEALESTRANSFORMADORES IDEALES

Otra importante aplicaciOtra importante aplicacióón es el acoplamiento de la ln es el acoplamiento de la líínea denea de

transmisitransmisióón de 300n de 300 desde una antena de televisidesde una antena de televisióón hastan hasta

la impedancia de entrada de un televisor (que puede ser dela impedancia de entrada de un televisor (que puede ser de

7575 , por ej.), asegurando una se, por ej.), asegurando una seññal mal máás intensa hacia els intensa hacia elreceptor de TV.receptor de TV.



Transformador IdealTransformador Ideal



Transformador IdealTransformador Ideal



¿¿PorquPorquéé necesitamos transformadores?necesitamos transformadores?

Permite transmitir potencia a menorPermite transmitir potencia a menor

corrientecorriente Reduce costo de transmisiReduce costo de transmisióónn

Adjusta la tensiAdjusta la tensióón a niveles usablesn a niveles usables Crea aislaciCrea aislacióón eln elééctrica (galvctrica (galváánica)nica)

Adapta impedanciaAdapta impedancia



Componentes bComponentes báásicossicos

Núcleo de hierro Conductor de cobreaislado





Transformador RealTransformador Real

Arrollamiento:Arrollamiento: ResistenciaResistencia

InductanciaInductancia

de disperside dispersióónn

NNúúcleo:cleo:

Corriente de FoucaultCorriente de Foucault HisteresisHisteresis

i1 i2

N1e1+-

N2 e2+ _



Flujo de dispersiónFlujo de dispersiFlujo de dispersióónn

U2(t)U

2

(t)U1(t)U

1(t)

I2(t)=0I2(t)=0

φ (t)φ (t)

I0(t)I0(t)

Flujo de dispersión: secierra por el aire

Flujo de dispersión: se

cierra por el aire Representación simplificadadel flujo de dispersión

(primario)

RepresentaciRepresentacióón simplificadan simplificadadel flujo de dispersidel flujo de dispersióónn

(primario)(primario)

En vacío no circulacorriente por el

secundario y, portanto, no produceflujo de dispersión

En vacEn vací í o no circulao no circulacorriente por elcorriente por el

secundario y, porsecundario y, portanto, no producetanto, no produceflujo de dispersiflujo de dispersióónn

En serie con elprimario se

colocará unabobina que

será la quegenere el flujode dispersión

En serie con elEn serie con elprimario seprimario se

colocarcolocaráá unaunabobina quebobina que

serseráá la quela quegenere el flujogenere el flujode disperside dispersióónn

U2(t)U2(t)U1(t)U1(t)

I2(t)=0I2(t)=0

φ (t)φ (t)

I0(t)I0(t)R 1R 1 Xd1

Xd1

Flujo dedispersiónFlujo deFlujo de

dispersidispersióónnResistencia

internaResistenciaResistencia

internainterna

e1(t)e1(t)

101d011 eIjXIRU −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 101d011 eIjXIRU −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====



Diagrama fasorial del

transformador en vacío

Diagrama fasorial delDiagrama fasorial del

transformador en vactransformador en vací í oo

Los caídas de tensión en R 1 y Xd1 son prácticamentedespreciables (del orden del 0,2 al 6% de U1)

Los caídas de tensión en R 1 y Xd1 son prácticamentedespreciables (del orden del 0,2 al 6% de U1)

U1≅e1UU11≅≅ee11

φφφφ

U1

e1

I0 ϕϕϕϕ0

-e1

R1I0

Xd1I0

φφφφ

U1

e1

I0 ϕϕϕϕ0

-e1

R1I0

Xd1I0

Las pérdidas por efecto Joule en R 1 sontambién muy bajas

Las pérdidas por efecto Joule en R 1

sontambién muy bajas

U1*I0*Cosϕ0 ≅ Pérdidas FeU1*I0*Cosϕ0 ≅ Pérdidas Fe

101d011 eIjXIRU −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 101d011 eIjXIRU −−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====



El transformador en cargaEl transformador en cargaEl transformador en carga

U1(t)U1(t)

φ (t)φ (t)

I1(t)I1(t) R 1R 1 Xd1Xd1

Flujo dedispersión

Flujo dedispersión

Resistenciainterna

ResistenciaResistenciainternainterna

e1(t)e1(t) U2(t)U2(t)

R 2R 2

Resistenciainterna

ResistenciaResistenciainternainterna

Xd2Xd2

Flujo dedispersión

Flujo dedispersión

I2(t)I2(t)e2(t)e2(t)

Se ha invertido el sentido deI2(t) para que en el diagrama

fasorial I1(t) e I2(t) NO APAREZCAN SUPERPUESTAS

Se ha invertido el sentido deSe ha invertido el sentido deII22(t) para que en el diagrama(t) para que en el diagrama

fasorial Ifasorial I11(t) e I(t) e I22(t)(t) NONO APAREZCAN SUPERPUESTAS APAREZCAN SUPERPUESTAS

El secundario del transformador presentarEl secundario del transformador presentaráá unauna

resistencia interna y una reactancia deresistencia interna y una reactancia de

dispersidispersióón como el primarion como el primario

Las caLas caí í das de tensidas de tensióónn EN CARGAEN CARGA en las resistencias y reactancias paren las resistencias y reactancias paráásitassitasson muy pequeson muy pequeññas: del 0,2 al 6% de Uas: del 0,2 al 6% de U11



+I2’(t)+I2’(t)

El transformador en cargaEl transformador en cargaEl transformador en carga

Al cerrarse el secundario circulará por él unacorriente I2(t) que creará una nueva fuerza

magnetomotriz N2*I2(t)

Al cerrarse el secundario circular Al cerrarse el secundario circularáá porpor éél unal unacorriente Icorriente I22(t) que crear(t) que crearáá una nueva fuerzauna nueva fuerza

magnetomotriz Nmagnetomotriz N22*I*I22(t)(t)

La nueva fmm NO podrá alterar elflujo, ya que si así fuera se modi-ficaría E1 que está fijada por U1

La nueva fmmLa nueva fmm NO podrNO podráá alterar elalterar elflujo, ya que si asflujo, ya que si así í fuera se modifuera se modi--ficarficarí í a Ea E11 que estque estáá fijada por Ufijada por U11

Esto sólo es posible si en el primarioaparece una corriente I2’(t) que

verifique:

Esto sEsto sóólo es posible si en el primariolo es posible si en el primarioaparece una corrienteaparece una corriente II22’ ’ (t)(t) queque

verifique:verifique:

2221 IN'IN ⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅ 2221 IN'IN ⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅01222101 ININ'ININ ⋅=⋅+⋅+⋅ 01222101 ININ'ININ ⋅=⋅+⋅+⋅

tr

II

N

N'I 2

2

1

22 −=⋅−=

tr

II

N

N'I 2

2

1

22

−=⋅−=

Flujo y fmm son iguales que

en vacío (los fija U1(t))

Flujo y fmm son iguales queFlujo y fmm son iguales que

en vacen vací í o (los fija Uo (los fija U11(t))(t))

'III 201 += 'III 201 +=

Nueva corriente

primario

Nueva corrienteNueva corriente

primarioprimario


φ (t)φ (t)

R 1R 1 Xd1Xd1


dispersidispersióónnResistenciainternaResistenciaResistenciainternainterna

e1(t)e1(t)

R 2R 2

ResistenciainternaResistenciaResistencia

internainterna

Xd2Xd2


dispersidispersióónn

I2(t)I2(t)e2(t)e2(t)

Las caídas de tensión en R 1 y Xd1 sonmuy pequeñas, por tanto, U1 ≅ E1

Las caLas caí í das de tensidas de tensióón en R n en R 11 y Xy Xd1d1 sonsonmuy pequemuy pequeññas,as, por tanto, Upor tanto, U11 ≅≅ EE11

I0(t)II00(t)(t)



e2ee22

e1ee11

ϕϕϕ

Diagrama fasorial del

transformador en carga

Diagrama fasorial delDiagrama fasorial del

transformador en cargatransformador en carga

[[[[ ]]]]11111 d jX R IeU ++++⋅⋅⋅⋅++++−−−−==== [[[[ ]]]]11111 d jX R IeU ++++⋅⋅⋅⋅++++−−−−====

tr

I

I'III2

0201 −−−−====++++====tr

I

I'III2

0201 −−−−====++++====

[[[[ ]]]] 011111 ====++++++++⋅⋅⋅⋅−−−− e jX R IU d[[[[ ]]]] 011111 ====++++++++⋅⋅⋅⋅−−−− e jX R IU d

[[[[ ]]]] 22222 U jX R Ie d ++++++++⋅⋅⋅⋅==== [[[[ ]]]] 22222 U jX R Ie d ++++++++⋅⋅⋅⋅====

22 IZU c ⋅⋅⋅⋅==== 22 IZU c ⋅⋅⋅⋅====

I2I2

ϕϕ

I2

’I2’

I0I0

I1I1

-e1--ee11

R1*I1R1*I1

jXd1*

I1

jXd1*I1

ϕ1ϕ1

U1U1

ϕ2ϕ2

U2U2

Suponiendo carga inductiva: Zc=Zc

ϕ2 → I2 estará retrasada respecto

de e2 un ángulo ϕ:

Suponiendo carga inductiva: Zc=ZcSuponiendo carga inductiva: Zc=Zc

ϕϕ22 →→ II22 estarestaráá retrasada respectoretrasada respecto

de ede e22 unun áángulongulo ϕϕ::

ϕϕϕϕ⋅⋅⋅⋅++++

++++ϕϕϕϕ⋅⋅⋅⋅====ϕϕϕϕ

22

22

CosZR

X SenZatg

c

dc

ϕϕϕϕ⋅⋅⋅⋅++++

++++ϕϕϕϕ⋅⋅⋅⋅====ϕϕϕϕ

22

22

CosZR

X SenZatg

c

dc

U2 estará

adelantada

un ángulo ϕ2

respecto a I2

UU22 estarestaráá

adelantadaadelantada

unun áángulongulo ϕϕ22

respecto a Irespecto a I22

Las caídas de

tensión en R 1 y

Xd1 están

aumentadas. En

la práctica son

casi

despreciables

Las caLas caí í das dedas de

tensitensióón en R n en R 11 yy

XXd1d1 estestáánn

aumentadas. Enaumentadas. En

la prla prááctica sonctica son

casicasi

despreciablesdespreciables

Las caídas de

tensión en R 2 y

Xd2 también son

casi nulas

Las caLas caí í das dedas de

tensitensióón en R n en R 22 yy

XXd2d2 tambitambiéén sonn son

casi nulascasi nulas



Reducción del secundario alprimario

ReducciReduccióón del secundario aln del secundario al

primarioprimario

222 IUS ⋅= 222 IUS ⋅= 'S'I'Ur'Ir

'US t

t2222

22 =⋅=⋅⋅= 'S'I'Ur'I

r

'US t

t2222

22 =⋅=⋅⋅=

Si la relaciSi la relacióón de transformacin de transformacióón es elevada existe unan es elevada existe unadiferencia importante entre las magnitudes primariasdiferencia importante entre las magnitudes primarias

y secundarias. La representaciy secundarias. La representacióón vectorial sen vectorial secomplicacomplica

El problema se resuelEl problema se resuel--veve

mediante la reducmediante la reduc--cicióónndel secundario al primariodel secundario al primario

Magnitudes reducidas

al primario

Magnitudes reducidasMagnitudes reducidas

al primarioal primario

Impedancia cualquiera

en el secundario

Impedancia cualquieraImpedancia cualquiera

en el secundarioen el secundario

Se mantiene la potencia aparente, la potencia activa ySe mantiene la potencia aparente, la potencia activa y

reactiva, losreactiva, los áángulos, las pngulos, las péérdidas y el rendimientordidas y el rendimiento

2222

2

2

2

2

22

11

ttt

t

r'Z

r'I

'U

r'I

r

'U

I

UZ ⋅=⋅=

⋅==

2222

2

2

2

2

22

11

ttt

t

r'Z

r'I

'U

r'I

r

'U

I

UZ ⋅=⋅=

⋅==

2

22 trZ'Z ⋅⋅⋅⋅====2

22 trZ'Z ⋅⋅⋅⋅====

tre'e ⋅= 22 tre'e ⋅= 22

trU'U ⋅= 22 trU'U ⋅= 22

tR R rU'U ⋅=22 tR R rU'U ⋅=22

t X X rU'U ⋅=22 t X X rU'U ⋅=22

tr

I'I 2

2 =

tr

I'I 2

2=



Circuito equivalenteCircuito equivalenteCircuito equivalente

I0 ϕϕϕϕ0

Iµµµµ

Ife

I0 ϕϕϕϕ0

Iµµµµ

Ife

Componentemagnetizante

ComponenteComponentemagnetizantemagnetizante

Componente depérdidas

Componente deComponente deppéérdidasrdidas

XµXµ

IµIµ

R feR fe

IfeIfe

I0I0

El nEl núúcleo tiene pcleo tiene péérdidasrdidasque se reflejan en laque se reflejan en laapariciaparicióón de las dosn de las doscomponentes de lacomponentes de lacorriente de vaccorriente de vací í oo

Este efecto puede emularseEste efecto puede emularsemediante una resistencia y unamediante una resistencia y una

reactancia en paraleloreactancia en paralelo

rtrt


φ (t)φ (t)

R 1R 1 Xd1Xd1

e1(t)e1(t)

R 2R 2Xd2Xd2

I2(t)I2(t)

e2(t)e2(t)

I1(t)I1(t)




Núcleo sin pérdidas:

transformador ideal

NNúúcleo sin pcleo sin péérdidas:rdidas:

transformador idealtransformador ideal

U2(t)U

2(t)

U1(t)U

1(t)

φ (t)φ (t)

R 1R 1 Xd1Xd1

e1(t)e

1(t)

R 2R 2Xd2Xd2

I2(t)I2(t)e

2(t)e

2

(t)

I1(t)I1(t)

R feR fe Xµ

Xµ

rtrt

Reducción del secundarioal primario

ReducciReduccióón del secundarion del secundarioal primarioal primarioEl transformador obtenidoEl transformador obtenido

despudespuéés de reducir als de reducir alprimario es de:primario es de:

rrtt=1: e=1: e22’ ’ =e=e22*r*rtt=e=e11

U2’(t)U2’(t)U1(t)U1(t)

φ (t)φ (t)R 1R 1 Xd1

Xd1

e1(t)e1(t)

R 2’ R 2’ Xd2’ Xd2’

I2’(t)I2’(t)e2’(t)e2’(t)

I1(t)I1(t)

R feR fe XµXµ

11tre'e ⋅= 22 tre'e ⋅= 22 trU'U ⋅= 22 trU'U ⋅= 22

tr

I

'I

2

2 =tr

I'I 2

2=

2

22 tddr X ' X ⋅⋅⋅⋅====2

22 tdd

r X ' X ⋅⋅⋅⋅====2

22 trR 'R ⋅⋅⋅⋅====

2

22 trR 'R ⋅⋅⋅⋅====




Como el transformador deComo el transformador de 33 es dees de

relacirelacióón unidad y no tiene pn unidad y no tiene péérdidas serdidas sepuede eliminar, conectando el resto depuede eliminar, conectando el resto de

los elementos del circuitolos elementos del circuito

Xd1Xd1

U2’(t)U2’(t)U1(t)U1(t)

R 1R 1 R 2’ R 2’ Xd2’ Xd2’

I2’(t)I2’(t)

I1(t)I1(t)

XµXµ

IµIµ

R feR fe

IfeIfe

I0I0

Circuito equivalente de untransformador realCircuito equivalente de unCircuito equivalente de untransformador realtransformador realEl circuito equivalente permiteEl circuito equivalente permite

calcular todas las variablescalcular todas las variablesincluidas pincluidas péérdidas yrdidas y

rendimientorendimiento

Los elementos delLos elementos delcircuito equivalente secircuito equivalente se

obtienenobtienen mediantemediante

ensayos normalizadosensayos normalizados

Una vez resuelto el circuitoUna vez resuelto el circuitoequivalente los valores reales seequivalente los valores reales se

calculan deshaciendo lacalculan deshaciendo la

reduccireduccióón al primarion al primario

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11 TRANSFORMADORES

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