UNIVERSITAT DE BARCELONA

CONJUNTOS DE NIVEL Y PROLONGACION DE FUNCIONES MONOTONAS

by

Juan Augé

AMS Subject Classification: 06A10, 26A48, 04A05

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Mathematics Preprint Series No. 72

October 1989

CONJUNTOS DE NIVEL Y PROLONGACION

DE FUNCIONES MONOTONAS

by

Juan Augé•

ABSTRACT

The fundamental concepts of the theory of level sets of real functions defined on an arbitrary set, with no topology, but only with a partial order structure, are exposed. Then we consider monotonic functions defined on subsets of the given set, and their possible extensions to larger sets which preserve monotonicity and have the optima! property that the oscillation of the function remains unchanged.

AMS Subject Classification: 06A10, 26A48, 04A05.

• Departamento de Matemática Aplicada y Análisis, Universidad de Barcelona, Gran Vía Corts 585, 08007 Barcelona, SPAIN.

Expresamos nuestro agradecimiento al Prof. J .E. Martínez-Legaz del citado Departamento, por la ayuda que nos presta constantemente.

CONJUNTOS DE NIVEL Y PROLONGACION DE

FUNCIONES MONOTONAS

l. Conjuntos de nivel de una función real.

Dado un conjunto cualquiera X, consideramos el conjunto ¡¡x de las apli­

caciones X ---+ R a valores en el cuerpo real completado con ±oo, R = R U

{-oo, +oo} . Son de gran uso los conceptos:

Definición l.

a) Conjunto de nivel A de la función f sobre el conjunto X es

S>.(f,X) = {x E X lf(x) ~ A} (1)

b) Conjunto estricto de nivel A

o

S>. (f,X) = {x E Xlf(x) < A} (2)

c) Conjunto superior de nivel A

S>.(J,X) = {x E X lf(x) ~A}. (3)

o

También se escriben simplemente S>.(J), S>. (f), s>.(f) .

El conjunto de conjuntos de nivel {S>.(f, X)} nos da una aplicación R---+ P(X) (subconjuntos de X), y otras análogas para los estrictos y los superiores, que tienen las

propiedades consignadas en las dos Proposiciones siguientes:

Proposición l.

a) Siempre es S+=U, X) =X. o

b) La aplicación A ---+ S>. (también la A ---+S>.) es monótona respecto la or-

denación por inclusión de 'P(X), es decir A ~ A' implica S>.(J, X) C S>.1 (J, X),

( monotonía no decreciente).

2

Demostración. a), b ), son consecuencia directa de la

primer lugar vale la inclusión C, y además si x <i S,x,

con J(x)>v>A, x<tS11 , luego x<iílµ>>..Sµ,

Definición 1. Para ver c), en

o sea f(x) >A, siempre 3v

c.q.d.

Proposición 2.

Análogamente para conjuntos de nivel superiores:

a) s-00 (J, X) = X

b) La aplicación ,\ --+ s>.. es monótona no creciente, es decir ,\ ::; ,\' • s>.. :) s>..'

c) S>..(f, X)= ílµ<>.. Sµ(f, X).

Demostración análoga a la anterior.

Ejemplo 1. Sea e E R fijo, y consideramos la función constante J( x) = e. Los

conjuntos de nivel son: S,x = 0, si A < e, S,x = X si A ~ e. Los casos

e = ±oo son casos límites que excluiremos. Este ejemplo elemental muestra que puede

ser S,x1 = S,x 2 aunque A1 < ,\2 , es decir, la aplicación A --+ S,x no es inyectiva,

ni tampoco es exhaustiva (o suprayectiva). Hacemos además la

Hipótesis: 3x E X con J(x) < +oo, y también 3y E X con f(y) > -oo.

Proposición 3.

a) Si / es finita en todo X, S-oo = 0, s+oo = 0 U.xe• S>. = U>.eR s>- = X, y recíprocamente.

b) Si f está acotada, A1 ::; f(x) ::; A2, para Vx E X, entonces, S.x 0 para ,\ < ,\1 , S,x2 =X, s>- = 0 para ,\ > A2, y finalmente s>-1 =X.

c) Si sólo se sabe A1 < f(x) (resp. f(x)<A2), entonces S>. = 0, s>- =X,

para ,\ ::; ,\1 (resp. S>.. =X, s>.. = 0, para A> -X2), y recíprocamente.

Demostraciones directas de la Defin. 1.

Proposición 4. o

Para los conjuntos de nivel estrictos S >.. se verifica

o

S>. (f) = X\S->.(-f). (4)

3

Demostración. S-A(-J) = {x E X 1 - f(x) :S -,q = {x E XI f(x) 2: >.}, y este último o

es el complementario de S A (J), c.q.d.

Escolio l.

o

Esta Proposición define cierta dualidad entre los conjuntos S A , S A , mediante los

cambios ,\ ---t -,\ , J ---t - f , y paso al complementario. De aquí que de las proposi-º ciones anteriores puedan deducirse otras para los conjuntos de nivel estrictos S A • Con-

º viene admitir, para completar la simetría, que S-oo= 0. También pueden introducirse

los conjuntos de nivel superiores estrictos

s:(J,X) = {x E XIJ(x) > ,\}'

y se verifican las relaciones de complementariedad

o

SA = X\S;' SA= X\SA.

2. Sistemas monótonos de conjuntos.

Definición 2.

Dado un conjunto {TAhefl de subconjuntos de X asociados a un parámetro

real ,\, es decir imagen de una aplicación R ---t P(X), diremos que es un sistema

monótono de conjuntos, si verifica las propiedades:

a) T+oo =X.

b) Monotonía, es decir ,\ :S ..\' implica TA C TA, .

Entonces, definimos la función asociada al sistema monótono, mediante

f(x) = inf {µ E Rlx E Tµ}, VxEX. (5)

Casos extremos de estas definiciones son los: 1, Tµ = 0 para Vµ E R, entonces

x (/. Tµ, Vµ E R luego f(x) = +oo, Vx E X;

2. Tµ = X para Vµ E R, que implica x ETµ, para Vx E X, Vµ E R, luego

f(x) = -oo. Estos dos casos no se consideran en lo sucesivo.

4

Proposición 5.

Sea { Tµ} µElii un sistema monótono sobre X , f ( x) la función asociada ( 5 ); en-

tonces:

a) xETµ para Vµ>,\, siysolosi f(x)~,\.

b) x E T _= implica J( x) = -oo y recíprocamente.

c) Si Tµ=X paraµ>,\, es J(x)~,\ para VxEX (Jacotadasupe­

riormente).

d) TA e ílµ>A Tµ, pero no puede asegurarse el

Demostración.

a) x ETµ

b) X ETµ

c) Vx E X,

para µ > ,\ ~ inf {µlx ETµ} ~ ,\.

para Vµ E IR por la monotonía.

x ETµ para µ > ,\, luego inf{µlx ETµ} ~ ,\.

d) La inclusión es consecuencia de la monotonía y el ejemplo que sigue a continuación,

demuestra que puede no valer el

Ejemplo 2. Sean, X = R,

TA = { ~o, +oo] [O, +oo]

para ,\<O para ,\=O para ,\>O.

En este caso, ílA>O TA = [O, oo] =/ To = (O, oo].

Análogamente se pueden construir sistemas inversos:

Definición 3.

Dado un conjunto {TA hea de subconjuntos de X, asociados a un parámetro

,\ E R , diremos que es un sistema monótono inverso, si cumple:

a) T-= =X.

b) Monotonía inversa ,\ ~ ,\' implica TA ::> TA' .

Entonces definimos la función asociada al sistema monótono inverso, tomando

g(x) = sup{,\lx E TA}, Vx EX. (5')

Casos extremos son: l. TA = 0 para V,\ E R , entonces g( x) = -oo para

Vx E X; 2. TA= X, para VA, Vx E TA, g(x) = +oo, para Vx E X. Ex­

cluiremos estos casos en lo sucesivo.

5

Proposición 5'.

Sea { T>.} >.Eii un sistema monótono inverso sobre X , g( x) la función asociada

(5'); entonces

a) xETµ paraµ<..\ siysolosi g(x)2'.:..\.

b) x E T+00 implica g( x) = +oo y recíprocamente.

c) Si Tµ = X para µ < ..\, es g(x) 2'.: .,\ para Vx E X. (g acotada infe­

riormente).

d) Siempre T>. e ílµ<>. Tµ .

Demostración. Parecida a la proposición anterior no la detallamos. Observación parecida

al ejemplo 2.

Proposición 6.

Dada una función f : X --+ R, sus conjuntos de nivel S>., .,\ E R, satisfacen

a las condiciones de la Definición 2, y podemos definir la función asociada

f*(x) = inf{..\lx ES,>.}

Entonces se verifica f*(x) = f(x) para Vx E X. Enunciado análogo para conjuntos

de nivel superiores s>-(¡, X).

Demostración. Para cualquier subconjunto A de los reales R , A C R , se verifica,

si a E A, a = inf {..\l..\ E A, .,\ 2'.: a}; tomando ahora como conjunto A el campo

de valores de la f dada, f(X) = A, a= f(x) E A, obtenemos para Vx E X

J(x) = inf {..\IJ(x) ~ ..\} = inf {..\lx E S,x} = f*(x).

Análogamente se demostraría para conjuntos de nivel superiores con la definición (5') de

función asociada. c.q.d.

Proposición 7.

Dado un sistema monótono (T,xhEi de conjuntos de X con la función asociada

( 5), se verifica:

T>. e S>.(f,X) = n Tµ (6) µ>.\

6

por tanto T>.. = S>.. si y solo si (comparar con Proposición 1, c)) T>.. = ílµ>>.. Tµ.

Demostración. Por ser S>..(J) = {x E XI inf [µlx E Tµ] ~ >.} o sea que x E S>..(J)

significa inf[µlx E Tµ] ~ >., es decir, para Vµ > >., x E Tµ, luego x E

nµ>).. Tµ' S>.. e nµ>A Tµ; pero también vale la inclusión contraria, porque si X E Tµ

para Vµ > >., forzosamente inf [µlx E Tµ] ~ >., luego f(x) ~ >., o sea x E S>...

Por otra parte el signo de inclusión de (6) es consecuencia de la monotonía del sistema

T>.., y el ejemplo 2 comprueba que no se puede sustituir por el c.q.d.

Para sistemas monótonos inversos, vale análogamente:

Proposición 7'.

En el sistema monótono inverso (TA), con la función asociada (5'), se verifica,

T>.. e S>..(g) = n Tµ (7') µ<>.

por tanto T>.. = s>..(g) si y solo si T>.. = ílµ<>.. Tµ .

Demostración. S>..(g) = (x E Xlsup{µlx E Tµ} ~ >.), con lo que x E s>..(g),

significa sup{µlx E Tµ} ~ .A, es decir para Vµ < ..\ es x E Tµ, luego x E

ílµ<.X Tµ , de donde S>..(g) e ílµ<>.. Tµ , pero también vale la inclusión inversa, porque

s1 x E T/J para µ < ..\, entonces sup{µlx E TtJ} ~ ..\, g(x) ~ ..\, o sea

x E S>..(g), y vale la igualdad de (7'). La inclusión de (7') es consecuencia de la mono­

tonía.

Dada una familia monótona (T>..).xe11 de subconjuntos de X , siempre se le puede

asociar, siguiendo a Crouzeix [4], otra familia (1\hell, definida por

'Í'>.. = n Tµ, V..\ E R. µ>.X

Se demuestra que la familia ('Í'>..) verifica la propiedad c) de la Proposición 1, y

según la Proposición 7 es la familia de conjuntos de nivel de la función f asociada al

sistema (T>..), o sea 'Í'>.. = S>..(f), V..\ E R. En definitiva obtenemos la

Proposición 8.

Dado un sistema monótono (T>..h E R, la función asociada f, tiene como con­

juntos de nivel S>..(f) = ílµ>>.. Tµ ::> T>... El sistema monótono S>..(f), es pues el de

los mayores subconjuntos que forman sistema monótono con la función asociada f.

7

Ejemplo 2. En el mismo ejemplo ya considerado, es

[O, +oo) para ,\~O, J(x) = -oo para x <O,

Correlativamente se puede dar la

Proposición 8'.

t>- = 0 J(x) = O

para

para

,\ < o, X~ Ü.

Dado un sistema (T>..hElii monótono inverso, la función asociada (5') g(x) tiene

como conjuntos de nivel s>-(g) = nµ<>.. TIL ::) TA. El sistema s>-(g) es el de los

mayores subconjuntos que dan como función asociada la g( x) .

Demostración. Se considera el sistema t>- = nµ<>.. TIL ; se demuestra que esta familia

verifica las hipótesis de la Proposición 2, luego también según la Proposición 6' es la familia

de conjuntos de nivel de g(x). c.q.d.

Para los conjuntos de nivel estrictos vale (ver [7, IV]):

Proposición 9.

Con las hipótesis de la Proposición 8, se verifica

para V). E R.

o

Demostración. Si x ES>.. (f), también f(x) < )., inf{µjx E Tµ} < )., lo que

implica :3µ < ). con X E Tµ ' luego X E uµ<>.. Tµ . También el razonamiento vale

a la inversa. c.q.d.

Escolio 2.

En los sistemas monótonos (T>..hEli, hemos considerado hasta ahora que el campo

de valores de ). era toda la ~eta real cerrada R . Pero puede ser que para ciertos valores

de ). sea T>.. = 0. Entonces puede reducirse el conjunto total X, sustituyéndolo por

LJ T>.. donde la unión se extiende a todos los ). con T>.. =f. 0 . Como se ve en el ejemplo 2,

puede ser LJ T>,. =/- X , con lo que hay reducción efectiva de X . Pero por la monotonía del

sistema, el campo de valores de ). será una semirrecta abierta o cerrada. Recíprocamente, si

consideramos sistemas monótonos del tipo (T>..hE(>..o,+oo), siempre se podrá completar

a otro (T>..hElii, tomando p. ej. T>.. = 0 para ). < Ao (puede que haya también

otros sistemas que lo extiendan).

8

De una manera análoga, si es T>,. 0 = X , según la monotorúa será T>,. = X para

,\ > ,\0 , y se podría considerar el sistema reducido (T>.)>.:5>.0

• Pero en todos los casos,

puede pasarse siempre, por monotonía, al sistema (T>.) >.ei . Cosas parecidas pueden

decirse de los conjuntos de nivel de una función, cuyo campo de aplicación podrá exten­

derse, utilizando, si es necesario, los valores f ( x) = ±oo . También pueden decirse cosas

análogas de los sistemas inversos y sus funciones asociadas.

3. Funciones Monótonas.

Supongamos ahora que el conjunto total X está dotado de una ordenación ( también

se llama un orden parcial) que verifica los axiomas:

01. Reflexividad: x -< x para Vx E X.

02. Antisimetría: x -< y , y -< x , implica x = y .

03. Transitividad: x -< y , y -< z implica x -< z .

Definición 4.

Una función f : X --+ R se dice que es monótona no decreciente (resp.

no creciente) si y solo si x -< y implica f(x) S f(y) (resp. f(x) ~ f(y)). Si

además x -< y con x -/- y implica f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)), la mono­

tonía se dice que es estricta, y que la fes creciente (resp. decreciente).

Proposición 10.

f es no decreciente sobre X, si y solo si verifica que x -< y E S>..(f) implica x E

S>.(f). Análogamente fes no creciente si y solo si x >-- y E S>..(f) implica x E S>..(f).

Demostración. Si x -< y implica f( x) S f(y), entonces x -< y, f (y) S ,\ im­

plica f(x) S ,\, o sea x E S>..(f). Recíprocamente, si x-< y ES>.. implica x ES>..,

entonces f(y) S ,\ implica f(x) S ,\, y tomando ,\ = f(y) resulta f(x) < f(y).

En cambio, s1 y-< x implica f(x) S f(y), entonces y E S>..(J), equivalente a

f(y) S ,\, implica f(x) S ,\, x E S>.., y al revés si x >-- y E S>..(f) implica

x E S>.(f), entonces f(y) S ,\, implica f(x) S ,\, luego f(x) S f(y). c.q.d.

Si en lugar de los conjuntos inferiores S>,. se utilizan los superiores s>.., se puede

demostrar la proposición:

9

Proposición 10'.

f es no decreciente ( resp. no creciente) sobre X , si y solo si y >- x E 5>.. implica

y E 5>.. (resp. x -< y E 5>.. implica x Es>..).

Demostración. Limitándonos al caso no decreciente, que x -< y dé f(x) :::; J(y),

obliga a f(x) ~ ,\ implica f(y) ~ ,\, o sea x E 5>.. implica y E S>..;

recíprocamente, si y >- x E 5>.. implica y E 5>.., tomando f ( x) = ,\ será J(y) ~

,\ = f(x), es decir, la monotonía. c.q.d.

Para conjuntos de nivel estrictos puede verse

Proposición 11.

Sean x -< y , x =/- y , dos elementos de X ,

a) s1 f : X --+ R es estrictamente creciente en x, entonces y E S>..(f) implica o

x ES>.. (f). No puede afirmarse el recíproco, pero o o

b) s1 y E S>..(f), y (/.S>.. (f), (o sea f(y) = -\), implica x ES>.. (f), entonces

f es estrictamente creciente.

Demostración. En las hipótesis de a), f(y) :::;_ ,\ implica f(x) < f(y):::; ,\ es decir o

x ES>.. (f); si se cumplen las hipótesis de b) f(y) = ,\, f(x) < ,\, luego f(x) < f(y).

c.q.d.

Consideramos ahora un sistema monótono (T>..heii de subconjuntos de X, y la

función asociada antes definida

f(x) =inf{.Xlx ET>..}: X-+ R (5)

Proposición 12.

f será monótona no decreciente ( resp. no creciente), si y solo si se cumple la

condición : x -< y E Tµ implica x E Tµ (resp. x >- y E Tµ implica x E Tµ)-

Demostración. Consideremos los conjuntos de nivel de f, que según la Proposición 8

serán S>..(f) = ílµ>>.. Tµ, y según Proposición 10, f será no decreciente si y solo si

se verifica que x -< y E S>., implica x E S>.,, es decir, en el caso presente, x -< y E

ílµ>>.. Tµ, o la condición equivalente y E Tµ \/µ > ,\ implica x E Tµ \/µ > ..\, y

10

al verificarse para V,\

creciente).

se cumple la Proposición (Demostración análoga para el caso no

c.q.d.

Utilizando sistemas monótonos inversos (TA) AEi , con la función asociada

g(x) = sup {,\ 1 x E TA} (5')

puede demostrarse una proposición correlativa:

Proposición 12'.

La función g(x) será monótona no decreciente (resp. no creciente) si y solo si, las

condiciones y >- x E TA implican la y E TA (resp. x -< y E TA implica x E T>..).

Demostración. Si hay monotonía, x-< y obliga g(x) ~ g(y), o g(x) ~ ..X implica

g(y) ~ ,\' X E SA(g) = nµ<A Tµ implica y E nµ<>.. Tµ o bien X E Tµ obliga a

y E Tµ ; recíprocamente, si se verifica lo último,

g( x) = sup {µ 1 x E Tµ} ~ sup {µ 1 y E Tµ} = g(y)

y se verifica la monotonía no decreciente. ( análogamente se demuestra para la monotonía

no creciente).

4. Método generalizado de Chabrillac-Crouzeix, para la prolongación de una

función monótona.

Sea ahora M un subconjunto propio del conjunto total X, en el que está

definida una relación de orden parcial, y ahora consideramos la función f : M -+ R , definida solamente en el subconjunto M , y monótona no decreciente ( sería parecido

para no creciente) respecto la ordenación inducida en M por la dada en X . Se trata

de prolongar la función f , a otra J definida en todo X , J : X -+ R , monótona

no decreciente en todo X, y que sea una extensión de la f, es decir, f(x) = J(x)

para Vx E M.

Vamos a exponer en primer lugar una generalización a un conjunto culaquiera X,

del método de Chabrillac-Crouzeix [3] de construcción de una extensión de la f dada

solo sobre M a una J definida en todo X (los autores citados consideran el caso

X= Rn).

11

Consideramos los subconjuntos T>. C X, definidos de la siguiente forma:

{ para ,\ < + oo, para ,\ = +oo,

x E T>. si y solo si :ly E S>.(f, A1) con x -< y.

x E T+ = Vx E X. (7)

Con esta definición, el sistema (T>.helii es un sistema monótono, como consecuencia de

la monotonía de S>.(f, 1'v1). Entonces, aplicando la definición 2, construyo la función

asociada

l(x) = inf {µ 1 x ETµ} , Vx E X (8)

entendiendo como es habitual, J(x) = + oo si x f/. Tµ, Vµ < + oo, f(x) = - oo s1

x E Tµ para Vµ E IR.

Entonces, según Proposición 7, los conjuntos de nivel verifican T>. C S>.(f, X) = ílµ>>. Tµ y también S>.(f, M) C S>.(f, X), porque f(x) ~ ,\, x E M, implican

X ET>,.' y en virtud de la monotonía X Enµ>>. Tµ, De aquí que para X E M, f(x) ~

,\ implica J ( x) ~ ,\, de donde f( x) ~ f ( x ), pero vale siempre el igual, porque

S>.(f, M) = T>. n M, luego para x E M

J ( x) = inf {µ 1 x E Tµ} = inf {µ 1 x E Tµ n M} =

= inf {,\ I x E S>.(f, M)} = f(x).

Además la función extendida J : X --+ R, es monótona no decreciente en X.

Basta para verlo, según Proposición 10, que las relaciones x -< y E S>.(f, X) impliquen

x E S>.(J, X). En efecto, y E S>.(J, X) implica y E Tµ, Vµ > ,\, y existirá Yµ E

Sµ(J, M) con y -< Yµ E Sµ(f, M) de donde x -< y -< Yµ E Sµ(J, M) obliga a

X Enµ>>. Sµ(J, X)= S>.(f, X). En definitiva, hemos demostrado:

Proposición 13.

La extensión generalizada J de Chabrillac-Crouzeix de la función dada f : M --+ R , está definida en todo X , y es allí monótona no decreciente.

5. Extensiones de un subconjunto determinadas por la ordenación

Sea ahora M subconjunto propio del total X , distinto del vacío, y con la orde­

nación inducida por la de X .

12

Definición 5.

Designaremos por ( AJ --<) , ( AJ >--) , los conjuntos, extensiones del lvf :

( Al --<) = { X E X 1 3y E A1, y --< X}

( A1 >--) = { X E X 1 3y E A1' y >-- X}

Propositión 14.

Las extensiones anteriores se pueden iterar y se verifica : (M --<) --< = (M --<) :) M,

(M >--) >--= (M >--) = M >--:) M.

Demostración. Es consecuencia inmediata de la reflexividad y transitividad de la relación

de orden.

Ejemplo 9. Consideremos el caso en que X sea de la forma X = AUB, donde A, B,

son conjuntos disjuntos A n B = 0, y solo en el conjunto A tengo dada una orde­

nación parcial --<. Esta ordenación la puedo considerar definida en todo X, s1 pienso

no comparables los elementos de B , ni entre sí, ni con los de A. Si tengo definida

una función monótona f : A -t R , y la extiendo a X por el método indicado en el

§ 4, resulta, para Vx E B, x f/. T>.. para V>.. E R, y la extensión J toma el valor

+ oo en todo B . En cierto sentido puede considerarse que es una extensión trivial, si

bien merece destacarse la generalidad del método. Más aún, se pueden considerar A , B ,

cada uno con su propia ordenación, pero que los elementos de A no sean comparables

con los de B. Si el subconjunto M, es una de las partes, p. ej. M = A, toda

función monótona f : A -t R , se extiende a B con J ( x) = + oo , por el método

del § 4, pero poco nos interesa esta extensión.

Para evitar estos casos patológicos, vamos a considerar solo conjuntos X que su

ordenación satisfaga a la usual:

Definición 6.

Diremos que X con la ordenación --< (resp. inferiormente) si y solo si, para Vx, y

x--< z, y--< z (resp. z--< x,z--< y).

Propositión 15.

es un conjunto dirigido superiormente

de X , 3 un elemento z , que verifica

Si X es sistema dirigido superiormente (resp. inferiormente) entonces:

(A1 --<) >--= X (resp. (A1 >--) --<= X).

13

Demostración. Sea Vx E X. Elijo y E AJ

riormente ( resp. inferiormente) 3 z E X con

de donde z E (M -<), x E (Af -<) >--, (resp.

Escolio 3.

arbitrario. Por ser X dirigido supre­

x-< z, y-< z, (resp. z-< x, z-< y),

z E AJ>--, , x E (Af >--) -<), c.q.d.

Puede claree un recíproco de la Proposición anterior: Sea X conjunto ordenado

parcialmente tal que para VM subconjunto del mismo, vale (M -<) >--= X (respect.

(M >--) -<= X, entonces X es dirigido superiormente (resp. inferiormente).

Demostración. Sean x, y, cualesquiera en X. Tomemos el subconjunto M = { x }.

Entonces !vf -< es el conjunto de elementos mayores que x, y por otra parte y E

X = ( M -<) >-- ( o bien ( M -<) >-- si es dirigido inferiormente ), es decir 3z E M -< (o bien E M >--), con y-< z, x-< z (o al revés en el caso inferior) c.q.d.

Convendrá considerar los subconjuntos:

Definición 7.

M* = ( M -<) U ( l\,f >--) es el conjunto de elementos de X que son comparables con

alguno de M; AJ = ( M -<) n ( M >--) es el de los elementos que tienen en M uno

posterior y otro anterior a él. Se verifica:

Proposición 16.

a) Se verifican las inclusiones Me M -<, Me M >--, Me Me M* e X, que

pueden ser o no ser estrictas.

b) Si x, y, son elementos de M, y que sean comparables, p. eJ. x -< y, en­

tonces todo z comprendido entre ambos x -< z -< y , pertenece también a M.

c) Si X es dirigido ( superior o inferiormente) entonces cualquier elemento es compa­

rable con alguno de M*.

d) (M)* = M* (M >--) n (M >--) = M.

Demostración. a) es consecuencia de las Definiciones 6, 7. En la situación de b ),

3 u, v E M con u -< x, y -< v, con lo que u -< z -< v , z E M. Para ver c) basta

aplicar la Proposición 15. Finalmente d) es consecuencia de las definiciones. c.q.d.

14

6. Extensión de funciones monótonas no decrecientes.

Sea A1 subconjunto no vacio del conjunto total X, y sea dada una función f : M -----+ R , monótona no decreciente.

Definición 8.

Para todo x en X , que sea comparable con al menos uno de M , es decir

x E M* , definimos los conjuntos:

Mx = {u E MI u-< x}, Mx = {u E MI x-< u}

que no podrán ser a la vez los dos el vacío, por haber supuesto x E M* , o sea comparable

con alguno de M.

Se trata ahora de obtener una extensión de la función f dada, a todo el conjunto M*,

y que conserve la monotonía no decreciente en toda su extensión, además de satisfacer,

si es posible, a alguna condición de optimalidad, que después precisaremos. Haremos la

prolongación o extensión en dos pasos: primero extenderemos la f al conjunto M = M -< nM >- , y después al conjunto M*. Fuera de este último los elementos no son

comparables con los de M, y la monotonía no impone ninguna condición.

Consideremos pues x E M, con lo que existirán u E Mx, v E Mx, y para

que el valor en x de la función extendida J* conserve la monotonía deberá verificarse

J(u)~J*(x)<J(v) para VuEMx, VvEMx, por tanto

sup {f(u) 1 u E Mx} ~ f*(x) ~ inf {/(v) 1 v E Mx} (9)

Definición 9.

Definimos las dos funciones, que aplican M -----+ R ,

[(x) = sup {/( u) 1 u -< x}, f(x) = inf {f( v) 1 v >- x}

que verificarán:

Proposición 17.

Las funciones f, J, son extensiones de la f definida en M al conjunto Af,

es decir

15

a) Para x E A1, es [(x) = f(x) = ](x).

b) Para x E A1\Af, es [(x) ~ l(x).

c)Si x,y estánen A1, x-<y, implica [(x)~[(y), ](x)~](y).

d) Para toda f* que sea extensión monótona de M a M de la f dada, vale [(x) ~

f*(x) ~ J(x).

Demostración. a) Si x E M, en (9) el supremo y el ínfimo se alcanzan para u = x, v = x, en virtud de la monotonía supuesta para f, luego vale el = en las dos

desigualdades. b) es consecuencia directa de (9). c) si x -< y, entonces, u -< x

implica u-<y, osea Mx::)My, sup{f(u)juEMx}~sup{f(u)luEMy}, y

análogamente, x -< y -< v obliga a v E AfY implica v E Mx, luego AfY C Mx,

inf {f( v) 1 v E AfY} ~ inf {f( v) 1 v E Mx} de donde el enunciado. d) es consecuencia de

la (9). c.q.d.

Escolio 4.

La condición d) de la proposición anterior no asegura de ninguna manera la mono­

tonía de f* , que habra que comprobar independientemente. Pueden multiplicarse los

ejemplos, de los que damos uno a continuación.

Ejemplo 4. extremos;

Sea, X = [0,1] intervalo unidad cerrado, M = {O, l} conjunto de los dos

f(O) =O, /(1) = 1, la función dada sobre M. Entonces

{ O en [O, 1) _ { O en x = O

f(x) = f(x) = - 1 en x = 1, 1 en (O, l]

y puede considerarse f*(x) = { Í _ 1 en [O,½) en [½, l] que cumple f_ < f* ~ J 2 2

pero no es monótona.

Las extensiones f_, f, J* , hasta ahora construídas, tienen además una propiedad

optima! que está expresada por la siguiente

Proposición 18.

La oscilación o variación total de las funciones extendidas f_, f, J* , so­

bre M , coincide con la oscilación de la f dada sobre el conjunto M . Con­

cretamente se verifica

sup {[(y)- [(x) 1 x,y E AJ, x-< y}=

= sup{f(v)-f(u) ju, v E M ,u-< v}

16

y relaciones iguales sustituyendo L por f, o por f * monótona L < f* < f ex­

tensión de f.

Demostración. Es trivial la desigualdad 2:: por ser A1 C M. Además, para V x, y E

M con x -< y p. ej., existirán u, v E A1 con u -< x , y -< v, luego por la mono­

tonía ya demostrada f(u) ~ [_(x), [_(y)~ f(v), restando [_(y)-[_(x) ~ f(v)-f(u),

lo que obliga al igual al tomar supremos. Lo mismo puede razonarse para f. Finalmente,

si consideramos J* monótona, que sea extensión de f , la oscilación de f * en M no

puede disminuir respecto la de f en AJ, porque f*( x) = f ( x) para x E M C M, y

tampoco puede aumentar, porque siempre hay u, v en M con u -< x -< v, f( u) ~

J*(x) ~ f(v), inf {f(u) 1 u E M} ~ J*(x) ~ sup {f(v) 1 v E M}, y entonces la oscilación

de J* no podrá sobrepasar la de f en M. c.q.d.

Pasemos ahora a considerar, extensiones monótonas de una función f* conocida ya

sobre M, a conjuntos más extensos, que se concretarán en los definidos en el § 5, y que

responden a las notaciones M-<, M >-, M* = (M -<) U (M >-) (ver Prop. 16 d)), con

la propiedad

(M -<) n (M >-) = M. Se cumple también A!-<= M-<, M >-= M >-

En primer lugar consideremos

x E ( M -<) \ M ( resp. x E ( M >-) \ M) (10)

e introduciremos los conjuntos de Def. 8, Mx, Mx, berán ser Mx =f. 0, Mx = 0, Mx C M, (respect.

Definimos entonces:

que por la propiedad ( 10), de­

M x = 0, lvfX =f. 0, Mx e M).

Definición 10.

(J* -<) (f* >-), designarán las funciones

(f* -<)(x) = sup {J*( u) I u E Mx} M-< -. R

(f* >-)(x) = inf {J*(u) 1 u E 1\1x} : M >--. R.

Estas funciones nos interesan por las propiedades que poseen, que enunciamos ahora.

17

Proposición 19.

La función (f* --<) (resp. J* >-), es prolongación monótona no decreciente de la - -

función f* M -+ IR al dominio M --< (resp. M >-) es decir: a) para x E M

es (f* --<)(x) = f*(x) (respect. (f* >-)(x) = J*(x)). b) (f* --<) es monótona no

decreciente en M--< (resp. (f* >-) lo es en M >- ). c) la oscilación de (f* --<) en

M --< (respect. (f* >-) en M >- ) coincide con la oscilación de f* en M.

Demostración. a) Para x E M, el sup {J*(u) 1 u E Mx} y el inf {f*(u) 1 u E Mx}

se alcanzan en el punto x. b) Si x,y E M --<, x--< y (resp. x,y E M >-),3u--< x--<

y , u E M --< ( resp. x --< y --< v , v E M >-) entonces

(f* --<)(x) = sup {f*(u) 1 v E Mx}, (f* >-)(x) = inf {f*(v) I v E Mx}

y expresiones análogas en y, con Mx C My, Mx --< Mx, My --< MY, J\1Y C Mx, de

donde (f* --<)(x) ~ (f* --<)(y), o sea f*--< no decreciente, (J* >-)(x) ~ (f* >-)(y),

también J* >- no decreciente. c) En primer lugar, la oscilación solo puede aumentar,

por haber pasado a un dominio más extenso. Por otro lado, de las mismas definiciones se

deduce

inf {f*(u) 1 u E M} ~ (f* --<)(x) ~ sup {J*(u) 1 u E M}

luego la oscilación de (f* >-) tampoco puede superar la de J*. Lo mismo puede de­

cirse de (f* >- ). c.q.d.

Escolio 5.

Si partirnos de una f : M -+ R, definida en un subconjunto arbitrario M, habrá

en general, una indeterminación al extender la f de M a M , como se deduce de la

Proposición 17. Los casos extremos son los que designabamos por f, J. Pero una

vez hemos elegido una extensión de f determinada ya en todo M , sea J* , entonces

ya quedan determinadas las extensiones a M >- y a M--< . Pero esto no significa que

estas extensiones sean únicas, sino que la f* --< es la extensión con valores inferiores de

la f* a M --< , y J* >- es la extensión con valores superiores de f * a M >- . Pero,

repetirnos, en dependencia de la J* elegida, que tiene corno extremos posibles, las que

hemos llamado antes [_, f, de las que por nueva prolongación se podría pasar a las

extensiones extremas f >- , f --< , en M >- , M --< , respectivamente.

Las proposiciones anteriores culminan en el

18

Teorema l.

Si X es un sistema dirigido, superior o inferiormente, M subconjunto propio no

vacio de X, con la ordenación inducida por la de X , f una función monótona dada

sobre M , f : M -+ IR , que sea o bien no decreciente, o bien no creciente; entonces, esta

función f admite una extensión monótona no decreciente o no creciente respectivamente a

todo el conjunto X, con el valor de la oscilación en todo X igual al valor de la oscilación

de f en M.

Demostración. Pensemos primero en el caso no decreciente. Sea X dirigido superior­

mente (resp. inferiormente); entonces aplicamos a f la Proposición 17 y obtenemos ex­

tensiones monótonas a todo el conjunto M; elegida una de ellas f* , podemos aplicarle

la Proposición 19, y construir su extensión optima! a M ~ (resp. a M >-), que hemos

desginado J* ~ (resp. f* >-). Después consideremos esta función monótona en M ~

(resp. en M >-) como definida en un subconjunto de X, y apliquemos de nuevo la

Proposición 19, y obtendremos una extensión (!* ~) >-, (resp. (J* >-) >-) monótona

optima! en (M ~) >- (resp. (M >-) ~), y en virtud de la Proposición 15 este conjunto

coincide con el total X.

El caso no creciente, es conceptualmente equivalente, porque en toda ordenación sobre

un conjunto X, se puede cambiar el orden por el simétrico. O también se llega a la

misma conclusión, considerando la función - f que será no decreciente. c.q.d.

Ejemplo 5. Nos limitamos a citar como fuente de ejemplos el espacio Rn, con

cualquiera de sus ordenaciones, y el teorema nos asegura la extensión a todo el espacio,

conservando la monotonía, de las funciones que sean monótonas en cualquier subconjunto

del espacio.

7. Los conjuntos de nivel en las prolongaciones.

Sea M un subconjunto no vacio del total X, y supongamos que sobre él está definida

una función f: M-+ R, que por el momento no suponemos con ningún tipo de mono­

tonía. Las funciones ( 9) definidas en el § anterior pueden considerarse en el caso general,

aunque f no sea monótona y definir como en la definición 9 las funciones L, f.

f(x)= sup {f(u)lu~x}, l(x)= inf {f(v)lv>-x} - uEM vEM

(11)

19

Entonces pueden enunciarse algunas propos1c10nes, menos vinculantes que las de

Proposición 17:

Proposición 1 7'.

Las funciones f_, J, son extensiones de la f ( no necesariamente monótona) al con-

junto M, es decir:

a) Para x E M, es f_(x) = J(x) = f(x).

b) Para x E M\M es f_(x) ~ l(x).

(No se puede afirmar nada sobre monotonía, porque ya no se supone para la J).

Demostración. La misma de Proposición 17.

Tomemos ahora como conjunto M el M-< (resp. M >-).

Proposición 20.

Sea x E M-< (resp. x E M >-). Entonces existe u E M (resp. v E M), tal

que para e> O arbitrario es lf_(x)- J(u)I < e (resp. lf(v)- f(x)I < e), supuesto

que f_(x) (resp. f(x)) seafinito. Si f_(x)=+oo (resp. f(x)=-oo), entonces

existe u E M (resp. v E M), con f(u) > K (resp. f(v) < -K) para VK > O

arbitrario.

Demostración. Es consecuencia directa de las definiciones de supremo o ínfimo.

Corolario.

El campo de valores en R de cada una de las funciones f_, J, es el mismo de la

función f añadiendo algunos supremos, ínfimos, respectivamente, luego está incluído en

la adherencia del conjunto de valores de f sobre M:

{f_(x) 1 x E M -<} U {f(x) 1 x E M -<} e {f(u) 1 u E M}.

Pasemos ahora a considerar los conjuntos de nivel de las funciones extendidas f_, J. Las consideraciones manifestadas en los apartados anteriores en el caso de monotonía, nos

permiten idear una manera de extender los conjuntos de nivel de la f, ya conocidos:

S>.(J,M)={xEMIJ(x)~-X}, s>-(f,M)= {xEMIJ(x)~-X}

20

Consideremos los conjuntos de nivel de [_,

S>.([_,M-<) = {x E Jv[-< l[_(x) ~ ,\} =

{ x E M -< 1 f (u) ~ ,\, para u E Af con u -< x}

y análogamente los de J, pero superiores,

s>-(J,M ~) = {x E M ~ ll(x) ~ ,\} =

= { x E M ~ 1 f( v) ~ ,\ para v E M con x -< v}

Como se ve, las últimas expresiones solo dependen de la función f , y podemos definir

a partir de ella los sistemas de conjuntos S>.(f_, M -<), s>-(J, M ~ ), sin mencionar las

f , J, en la forma

Proposición 21.

U>. = { x E M -< 1 f (u) ~ ,\ para u E M con u -< x}

V>. = { x E M ~ 1 f ( v) ~ ,\ para v E M con x -< v} (12)

El sistema de conjuntos {U>.hElíi , (resp. {V>.hElíi) es un sistema monótono de

conjuntos ( res p. monótono inverso), y la función asociada 9-.( x) = inf { ,\ 1 x E U>.} ( resp.

g( x) = sup { ,\ 1 x E V>.}) coincide con la función extendida anteriormente definida [_

(resp. f), es decir 9-.(x)=f_(x), VxEM-<, (resp. g(x)=l(x), VxEM~).

Demostración. Deriva de haber tomado como conjuntos U>. (resp. v>-), los que son

conjuntos de nivel de f (resp. /), y basta aplicar la Proposición 1 (resp. Proposición

2).

Corolario.

Se verifica la coincidencia de las dos definiciones:

[_(x) = sup{f(u)lu-< x,u E M} = inf{,\jx E U.x}

/(x)= inf{f(v)lv~x,vEM} = sup{,\jxEV_x}.

8. Extensiones monótonas definidas por sus conjuntos de nivel.

Supongamos ahora que la función dada /: M-+ R sea monótona no decreciente;

podemos construir entonces, las extensiones f_ : M -< -+ R , / : M ~ -+ R , a partir de

los sistemas monótonos de conjuntos U>., y>., en las expresiones (12), y se verifica:

21

Teoren1a 2.

Si f es monótona no decreciente sobre M, entonces también las extensiones f_, J, son monótonas no decrecientes sobre los dominios respectivos M --< , M >- , y la os­

cilación de cada una de ellas en sus dominios, coincide con la oscilación de f sobre lvf.

Demostración. En virtud del corolario de la Proposición 21, el teorema es un caso par­

ticular de la Proposición 19, cuando se elige como J* cada una de las f_, J. El caso en que f sea monótona no creciente se obtendría a través de ligeras modifi­

caciones que no detallamos, por no aportar novedad esencial.

Para acabar, diremos que según las últimas Proposiciones, en el Teorema 1 se pueden

construir las extensiones apoyándose en sistemas monótonos de conjuntos definidos direc­

tamente a partir de la función f dada.

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22

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