12 Enfoque determinista

8/20/2019 12 Enfoque determinista

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Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable

Enfoque Determinista 15

Enfoque determinista

En esta sección, comenzaremos recorriendo las especies participantes tanto en el biestable

simple como en el mejorado, y las relaciones que se producen entre ellas, con el objeto de

alcanzar un modelo de sistema en ecuaciones diferenciales ordinarias.

La estructura de este apartado continuará con el detalle de las posibles reacciones que se puedan

establecer en entre las especies, para más tarde, analizar las dinámicas de cada especie.

Seguiremos nombrado y aplicando las simplificaciones y consideraciones oportunas en búsqueda

de la expresión de un sistema matemático manejable.

Para finalizar, mostraremos el modelado final y realizaremos un estudio preliminar de las

constantes y parámetros que participan a fin de comprender el efecto sobre los resultados que se

puedan extraer de las simulaciones.

Durante este apartado, gran parte del desarrollo se ha seguido el planteamiento propuesto por

Timothy S. Gardner en el estudio: “Design and construction of synthetic gene regulatory

networks” [2] publicado por la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Boston en el año

2000.


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16 Enfoque Determinista


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1.

Especies y reacciones

El núcleo biestable

Identificamos esta unidad como el conjunto de especies y relaciones que en su

funcionamiento autónomo logra alcanzar los objetivos mínimos y necesarios para

mantener un comportamiento definido biestable. Por tanto, no incluimos las acciones

que nos permitan modificar dichos estados, ni siquiera, nos referimos a un sistema

robusto.

Aquí encontramos las expresiones de ambas proteínas represoras y las mutuas

represiones de sus expresiones. El conjunto de especies que intervienen en el sistema

propuesto son:

Promotores ARNm Represores

Además, estas especies reaccionan entre sí de la forma que muestra la siguiente imagen:


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Por otro lado, las reacciones son:

Transcripción LacI → + Traducción LacI

→ +

Represión LacI + → | Transcripción cI → + Traducción cI → + Represión cI + → |


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El biestable básico

(Plásmido BBa_177038) [3]

Para completar el esquema hasta llegar al del biestable simple, debemos añadir sobre el

núcleo anterior, las especies y dinámicas de las acciones que nos permitirán controlar el

estado activo, además de los indicadores.

INDICADORES

Es necesario el modelado de los indicadores ya que cuando analicemos los resultados

que se hagan en laboratorio, no obtendremos las evoluciones de las proteínas

represoras sino de los indicadores. Por lo tanto es necesario conocer su dinámica para

poder extrapolar los datos que extraigamos de los experimentos hacia un conocimiento

interno del sistema. Analizamos este hecho de forma detenida.

Cuando el transcriptor, se encuentra con un promotor, comienza a leer la cadena y

cuando termina de leer su código es cuando comienza a crear la cadena de ARN

transcrito.

De la transcripción obtendremos una ARNm, una para la proteína represora y otra para

el indicador. Las cadenas negras de la imagen, reflejan la presencia de terminadores.

Estos entes tienen una significación y un objetivo claro para la traducción. La polimerasa

detendrá su copia al encontrarse con un doble terminador, como la imagen patenta.

Una vez el mensajero se ha creado completamente, una ribosoma tomará este mensaje

y creará la proteína análoga. Los terminadores indican al ribosoma el fin de una proteína

y el comienzo de otra.

Por lo tanto, la síntesis de los indicadores se puede igualar a la dinámica de creación deproteínas represoras.

ACCIONES

Las acciones son el aumento de temperatura y la adición de un inductor.

• Aumento de Temperatura: concretamente a 42ºC temperatura a la que la

proteína cI termosensible precipita su degradación.

• Adición de Inductor: mientras que la desaparición acelerada de proteína

represora no afecta al funcionamiento mismo del núcleo biestable, la inducción

Prm LacI RFP

Plac cI GFP


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sí que lo hará, ya que modulará la transcripción frente a la represión del agente

adversario.

Transcripción LacI → + Traducción LacI → + + Represión LacI + → | Transcripción cI → + Traducción cI → + + Represión cI + → | Inducción 1 | + → | + Inducción 2

+

→ |

Temperatura →


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El biestable modificado

(Plásmido BBa_K510019) [4]

(Plásmido BBa_K510036) [5]

De nuevo este sistema se basa en el anterior. Por tanto todo lo explicado hasta el

momento se mantendrá, al menos las especies y su aportación. Las nuevas reacciones

son la proteólisis y la inhibición por ARNas, llevando asociadas proteasas y ARN

antisentido respectivamente.

PROTEÓLISIS

Tras el promotor Plac se encuentra el código de la proteína represora pero antes de

llegar al indicador está insertada la cadena de la proteasa (encargada de digerir lasproteínas). Observar que tanto la proteasa (Sspb) como el indicador (RFP) llevan un

prefijo (Ompn). Éstas serán las cadenas de ARN sobre las que se pegará la ARN

antisentido, obligándolas a quedar inservibles hasta su degradación. El represor del fago

lambda no se consume.

ARN ANTISENTIDO

En esta rama del plásmido tenemos la misma estructura que en el biestable simple. Tras

el promotor Prm se encuentra el código de la proteína represora y el indicador. También

podemos ver como en este caso se han añadido un sufijo (Das4) a las proteínas. Este

código quedará transcrito en una especia de cola unida a las proteínas originales. Esto

implica que las proteasas serán sensibles a digerir esta cola, digiriendo tras ella el resto

de la proteína

La creación de las ARN antisentido, se crea con el mismo promotor Prm, sin embargo

este módulo no lo comparte con el resto de la cadena, sino que tiene una copia propia.

Esto significa que su transcripción no se sitúa en el mismo instante que la del resto (LacI

y GFP).

Plac cI(ts) Ompn::Sspb Ompn::RFP

Prm LacI::Das4 GFP::Das4

Prm ARNas

http://partsregistry.org/Part:BBa_K510036http://partsregistry.org/Part:BBa_K510036


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Incluimos una tabla que recoge todas las especies intervinientes de este sistema:

Promotores ARNm Represores Inhibidores

Y además, en la siguiente imagen se muestra cómo se interrelacionan las especies y a

través de qué mecanismos.

Ahora vemos una tabla resumen de todas las reacciones que se nombran en la imagen

anterior.

Transcripción LacI → + Traducción LacI → + + Represión LacI + → | Transcripción cI → + Traducción cI → + + Represión cI + → |


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Inhibición por ARNas + → Proteólisis 1 + → Proteólisis 2 + → Inducción 1 | + → | + Inducción 2 + → | Temperatura →


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2.

Dinámica de las reacciones

Transcripción

Desarrollamos un modelo de la unión de la ARN polimerasa al elemento promotor y la

transcripción completa de la molécula ARN mensajera tal que, siendo la reacción:

+ ⇌ → + +

Las ecuaciones de velocidad para cada elemento, son las siguientes:

̇ = · · + ( + ) · ̇ = · · + ( + ) · ̇ = · · ( + ) ·

̇ = · Este modelo de la transcripción es correcto para el caso en que la reacción se lleve a

cabo en un volumen reactivo homogéneo. Sin embargo, resulta engorroso trabajar con

tantas ecuaciones y parámetros, por ello ponemos atención en la reacción y en la

formulación planteada por Michaelis-Menten para reacciones catalizadas por enzimas.

Primero comparamos las reacciones que modela con la transcripción:

+ 1 ⇌ −1 2 → +

Podemos identificar enzima, sustrato y producto con nuestro modelo:

Sea: E = Promotor; S = ARNp; ES = Cc; P = ARNm La diferencia frente a este modelo, es que el sustrato se consume al convertirse en

producto. Sin embargo, en la transcripción, el ARN polimerasa queda libre al finalizar

este proceso, pudiendo participar de nuevo en otra transcripción.

Por tanto,

[ ] ̇ = []0 · [ ][ ] + =

( + ) La constante de Michaelis queda como una ponderación de las cinéticas intervinientes

en la cinética de la transcripción.


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[]0 se refiere a la concentración inicial de promotores, que dependerá delnúmero de copias de plásmidos que absorba cada bacteria. Concretamente, por cada

copia hay un promotor de cada represor.

Y el modelo completo del producto de la transcripción:

[ ] ̇ = · [ ][ ] +

Donde = []0 Los parámetros que aparecen en el factor de la ecuación diferencial que crea ,son constantes excepto [ARNp] que se refiere a una especie dentro de la bacteria e.

coli.

Traducción

Continuamos con un razonamiento parecido al de la transcripción. Veamos primero

como es la reacción de la traducción:

+ ⇌ → + +

Así, según Michaelis-Menten, obtenemos una expresión análoga a la de la transcripción,

[] ̇ = [ ] · [][] + ; = + es, también, una ponderación de las cinéticas que intervienen, y además, ocurre de nuevoque tanto como son especies de la bacteria y del sistema, respectivamente.

Represión

La reacción de la represión, no podemos modelarla con la formulación de Michaelis-

Menten, ya que su comportamiento cooperativo difiere del predicho por éste. Sin

embargo, como vimos, dentro de las cinéticas no Michaelianas, podemos usar laformulación planteada por Hill.

+ · ⇌ | Se observa como la expresión, realmente comprende varias etapas. Primero, el represor

debe formar un multímero de tamaño , · ⇌ Y tras ello, encontrarse con el promotor al que unirse,

+ ⇌ |


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Evitándose así su lectura.

Tras formarse el multímero, se une competitivamente con la ARN polimerasa a los

operadores del gen. La cooperatividad se patenta en la formación de multímeros.

| ̇ = [] + [] Transformando esta ecuación podemos ver el efecto de las constantes que aparecen en

el modelo.

| ̇ =[]

1 +[]

Se advierte más claramente la función de la constante Kiu. Hace una ponderación,significando que una parte de los represores que han formado el -mero, participaránde la represión. A este valor, se le conoce como la constante del equilibrio de la unión

efectiva del represor al promotor adverso.

Degradación

Las proteínas son sistemas vivientes que se sustituyen continuamente. Por tanto, todas

mueren tras un periodo activo variable (desde unos minutos hasta semanas). La muerte

o degradación en sus aminoácidos, es un proceso relativamente sencillo de modelar, yaque no nos interesa tanto el proceso de la degradación de la proteína sino cuán rápido

se produce para cada tipo. El tiempo característico de cada proteína se mida en base a

su vida media, de la cual se puede extraer la tasa de mortalidad δ (mortalidad/unidad de

tiempo). Cualquier compuesto (ARNp, ARNm, proteína, proteasa, ARNas,…) que

intervine en un sistema biológico tendrá una valor característico de vida media desde el

cual estimaremos el valor del parámetro. En este sentido, la ecuación diferencial que

modela esta desactivación es de primer orden (ley de acción de masa).

[í] ̇ = · [í] La cantidad de moléculas que desaparecen es proporcional a su población.Hay que mencionar que el valor de la tasa de mortalidad varía con la temperatura. En un

caso especial, el represor cI, con un aumento de 37ºC a 42ºC, precipita este valor casi a

la unidad.


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Proteólisis

Como vimos en el apartado de fundamentos biológicos, este mecanismo lo realiza una

proteasa, que se encarga de digerir las proteínas para las que esté diseñado. Veamos la

reacción que explica el proceso de la proteólisis:

+ í → La cinética que suponemos a este proceso será la acción de masa, una suposición

apoyada sobre el argumento expuesto en el proceso de degradación: no nos interesa la

dinámica propia de esta reacción sino saber cuántas proteínas se verán afectadas en el

tiempo en función de la población de proteasas. En este proceso se consume proteína,

mientras que la proteasa vuelve a quedar libremente funcional cuando se separa del

degradado.

[í] ̇ = ó · [] · [í] El proceso de degradación vuelve a ser más complejo de lo que muestra la ecuación

diferencial. La dinámica de este proceso es de segundo orden, y por tanto, la constante

cinética tiene unas características diferentes:

ó ∶ [ó]−1[]−1 Inhibición ARN antisentido

La inhibición del ARN mensajero gracias a un ARN antisentido análogo, se produce como

se indicó en los fundamentos biológicos. La cinética de esta reacción no es conocida, sin

embargo podemos suponerla como una reacción de primer orden (ley de acción de

masa), ya que su efecto en el sistema es el comienzo de la unión entre las cadenas.

+ → El bloqueo de la traducción del ARNm se produce desde el instante en que estas dos

hebras se aparean. Una vez que se ha formado este complejo, no queda más que

esperar su degradación enzimática, ya que no puede participar de otro proceso y en elestudio general se tomará como una degradación.

[ ] ̇ − = · [ ] · [ ] Al igual que en la proteólisis, la constante cinética tiene las mismas unidades al tratarse

de un proceso de dinámica de orden mayor:

∶ [ó]−1[]−1


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Ecuación de la población de en el creada por la transcripción del plásmido ydegradada por la acción vital.

Así que, suponemos el valor en régimen permanente del ARN mensajero:

[ ] ̇ = 0 ,[ ] = � · [ ]

[ ] + · 1 + []

Traducción

La cinética de es:

[í] ̇ = · [] · [ ][] + Sustituimos el valor de régimen permanente conocido del [ ] [í] ̇ = · []

[] + · � · [ ]

[ ] + 1 + []

Además de la degradación de la proteína

[í] ̇ = · · [] · ([] + )

1 + [ ] · 1 + []

· []

Unidades de los parámetros:

= [ó] · []−1 = = = [ó] = = []−1 Parámetros

[í] ̇ = · · [] · ([] + )

1 + [ ] · 1 + []

· []

Sobre esta ecuación, hacemos un estudio de los parámetros que aparecen tratando de

reducir la expresión final

•

Numerador del primer término: El único valor variable de esta expresión es[Ribosoma]. Atendemos al número total de ribosomas presentes en una bacteria


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Escherichia Coli en condiciones normales, el cual se sitúa entre 6800/72000 [7].

El número de ribosomas libres a lo largo de la evolución de nuestro sistema, no

logrará variar tanto en población como para que este factor sufra una

modificación apreciable.

· · [] · ([] + ) ≅ ∶ ([ó][]−1) • Factor de ponderación de la represión: Podemos hacer una suposición parecida a

la anterior con la concentración de ya que la población media en unabacteria Escherichia Coli se sitúa entre 1500/11400 [7]. Por tanto, el valor deKm

[ARNp] potenciará o disminuirá el efecto que pueda provocar el término de larepresión al que acompaña.

[ ] ≅ ∶ • Término de la represión: la simplificación de este proceso en la ecuación,

significa que no podamos observar claramente cómo funciona la represión. Sin

embargo, podemos mencionar las implicaciones de la constante . Su valorsupone, de nuevo, una ponderación de los represores libres hacia una

proporción población que participará directamente de la represión.

[]

= [

]

∶

Modelo del biestable simple

El modelo del Núcleo Biestable queda como el siguiente sistema de ecuaciones

diferenciales una vez que identificamos los términos reales y reagrupamos todo lo dicho

anteriormente, expresamos de manera simple las reacciones que se producen por cada

lado.

[

]

̇=

1 + 1 + []

· [

]

[] ̇ = 1 + 1 + []

· []

Por terminar de simplificar el modelo agrupamos constantes

= 1 +


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Y obtenemos finalmente el modelo más simplificado:

[] ̇ = 1 + · [] · []

[] ̇ = 1 + · [] · [] Con el último cambio de constantes, no varían las unidades de tales parámetros, aunque

si una modulación.

= í ∶ [ó][]−1 = ó ó ∶ [] = í ó ∶

=

ó

∶ [

]−1

[] = ó ∶ [ó]


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4.

Biestable modificado. Consideraciones de modelado

Para establecer las ecuaciones diferenciales de cada especie, debemos definir cada

proceso que ocurre en el sistema e identificar con más detalle la rama del biestable queestamos estudiando. A pesar de que los sistemas tengan el mismo núcleo biestable, la

adición de nuevos inhibidores, afectarán a las cinéticas ya descritas.

Comenzamos definiendo los procesos y las cinéticas.

TRANSCRIPCIÓN + REPRESIÓN

[ ] ̇ = · [ ][ ] + · 1 + []

= 1 + · []

TRADUCCIÓN

[í] ̇ = · [] · [ ][] + = · [ ]

INHIBICIÓN POR ARNAS

[ ] ̇ = [ ] ̇ = · [ ] · [ ]

PROTEÓLISIS

[

í]

̇ = ·[

í]

· []

DEGRADACIÓN

[] ̇ = · []


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Tabla resumen de las cinéticas y las especies intervinientes

ID PROCESO SE CREA SE CONSUME

1

1 + · []

-

2

1 + · [] -

3

1 + · [] -4 · [ ] -5 · [ ] | -6 · [ ] - | 7 · - 8 · [ ] - 9 · [ ] -

10 · [ ] - 11 · [] - 12

· [

] -

13 · -


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Agrupación de ecuaciones

Para alcanzar un sistema de ecuaciones diferenciales referenciadas únicamente a las

especies represoras seguimos los siguientes pasos:

[ ] ̇ = 1 + · []

· [ ] [] ̇ = · [ ] · · [] Por otro lado, la rama de cI:

[ ] ̇ = 1 + · [] ·

[ ] + · [ ]

Y por último, la proteína represora:

[] ̇ = · [ ] · [] Nos queda definir las poblaciones de ARNas y de la proteasa Psspb.

[ ] ̇ = 1 + · [] · [

] + · [ ]

̇ = · [ ] · Modelo del biestable modificado

Simplificamos las ecuaciones agrupando valores en torno a expresiones más simples.

Para ello agrupamos parámetros de forma parecida a como lo hacíamos con el modelo

del biestable simple:

[ ] ̇ = 1 + · []

· [ ] [

]

̇=

· [

]

·

+

· [

]

[ ] ̇ = 1 + · []

· [ ] + · [ ]

[] ̇ = · [ ] · [] ̇ = · [ ] · [ ] ̇ =

1 +

· [

]

· [ ] + · [ ]


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5.

Modelado del Sistema Biestable Simple en cinéticas

simples

Consideraciones sobre el modelo en EDOs

Comencemos recordando las ecuaciones diferenciales planteadas:

1 =1

1 + 1 · 2 · 1

2

=

21 +

2 ·

1 · 2

1 = 1 · 1 · 1 2 = 2 · 2 · 2 Sin considerar como se ha llegado a esta solución, desmenucemos el sistema reactivo.

Lo que se nos muestra es la presencia de 4 entes cuyas ecuaciones de estado tienen dos

términos, uno de síntesis (o creación) y otro de degradación (o destrucción). Cada

término incluye una serie de parámetros que gobernarán la evolución temporal de estas

variables.

Por tanto,

Variables de estado:

= {1,2, 1, 2} Parámetros generales:

•

= Síntesis máxima de los ARNm

• = Ponderación de la acción inhibidora de las proteínas represoras• = Síntesis máxima de las proteínas represoras• = Tasa de degradación de las ARNm• = Tasa de degradación de las proteínas represoras• , = Cooperatividad de la represión del promotor adverso

Antes de continuar con el modelo por ecuaciones estocásticas, profundizaremos un

poco más en las capacidades de representación de las ecuaciones anteriores. Como se

explicó en secciones anteriores, al experimentar con la bacteria real, la forma que

tenemos para hacer las mediciones de las poblaciones de las proteínas que se expresan


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5 1 → 5( ) = · 1 6 1 → 6( ) = · 2 7 1 → 7( ) = · 1 8 2 → 8( ) = · 2 9 → 9( ) = ·

10 → 10( ) = · Para comprender con más detalle cómo se comporta el sistema, debemos atender a los

procesos o reacciones elementales que tienen lugar entre las moléculas. Por ejemplo,uno de los casos más llamativos es el siguiente, que nos servirá para comprender como

la expresión matemática puede ocultar la complejidad que encierra.

Mientras que en el modelo anterior se representaba la síntesis del ARN mensajero con

una ecuación cinética como la siguiente,

1 =

1 + ·

Explicando la reacción → 1, el conjunto de reacciones elementales es muchomayor. Recordemos que en esta simplificación están reunidas: la represión cooperativade la proteína represora contraria, que a su vez engloba la posible dimerización del

represor y su adhesión sobre el promotor, influyendo así a la transcripción del ARN

mensajero. Además no se está teniendo en cuenta el resto de especies que intervienen,

el promotor, la proteína represora y sus multímeros, ni la ARN polimerasa que se

encarga de la labor transcriptora.

Se muestra así la simplicidad del modelo anterior, ya sea en su versión determinista

como estocástica. Trataremos pues de incluir en el análisis a continuación, tantasvariables como sean posibles en busca de representar más fielmente la interacción

conjunta.

En lo que sigue, se expondrá el nuevo modelo, incluyendo un nivel de detalle mayor, y

abandonaremos finalmente este modelo de cinéticas complejas para trabajar en

adelante con uno de cinéticas de primer orden.


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Tipo de Agente Rama 1 Rama 2

Promotor ARN mensajero Proteína represora Multímero represor (dímero) 2 2 Promotor/Represor 2 2

En los apartados anteriores se han dado las nociones suficientes para la comprensión de

la función de cada agente dentro del sistema. Veamos el conjunto reactivo:

Nombre Reacción Propensidad

Transcripción LacI

→ +

1 =

·

Traducción LacI → + + 2 = · Dimerización LacI + → 2 3 = · 2 Des-dimerización LacI 2 → + 4 = · 2 Represión LacI 2 + → 2 5 = · 2 · Des-represión LacI 2 → 2 + 6 = · 2 Transcripción cI → + 7 = · Traducción cI → + + 8 = · Dimerización cI + → 2 9 = · 2 Des-dimerización cI 2 → + 10 = · 2 Represión cI 2 + → 2 11 = · 2 · Des-represión cI 2 → 2 + 12 = · 2 Degradación → 13 = · Degradación

→ 14 = ·

Degradación → 15 = · Degradación → 16 = · Degradación 2 2 → 17 = · 2 Degradación 2 2 → 18 = · 2


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Y la matriz estequiométrica queda:

E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12R1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0R2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

R3 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0 0R4 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0 0R5 0 -1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0R6 0 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0R7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0R8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1R9 0 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 0

R10 0 0 0 0 0 2 0 -1 0 0 0 0R11 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0R12 1 0 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0

R13 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0R14 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0R15 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0R16 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0R17 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0R18 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0R19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0R20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

Antes de pasar al siguiente apartado, vamos a agrupar estos eventos de forma que

podamos extraer una expresión aproximada en ecuaciones diferenciales. Tras conocer

todos los eventos modelados y sus cinéticas, los agrupamos por variable de estado:

= · 2 · 2 · = · 2 · 2 · = · ·

= · · = · · = · · 2 = · · ( 1) + · 2 · 2 · 2 · · 2

2 = · · ( 1) + · 2 · 2 · 2 · · 2


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2 = · 2 · · 2 2 = · 2 · · 2 Este se puede considerar el modelo del biestable simple en ecuaciones diferenciales

ordinarias atendiendo a las reacciones elementales. Si aplicamos régimen permanente

en algunos de los procesos, podremos conseguir una expresión asimilable a la original

extraída en la sección del modelado determinista.

Antes de adentrarnos en un desarrollo matemático, vamos a simplificar las relaciones de

estas ecuaciones:

Para empezar, la población de los promotores está relacionada directamente con la de sí

mismo reprimido. Además esta relación es muy simple: = 2

La resolución es de esta relación no lleva a:

() (0) = 2(0) 2(); 2() = 0 () De esta forma, eliminamos 2 variables de estado, así como simplificamos las ecuaciones

diferenciales

= · 0 ( + · 2) · = · 0 ( + · 2) · = · · = · ·

= · · = · · 2 = · 2 · 2 · 2 2 = · 2 · 2 · 2


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Además, es demostrable según la biología que, dada la alta concentración de partícula

transcriptora, la concentración de promotor libre o reprimido, se alcanza

instantáneamente, y no afecta a la dinámica. Por lo tanto, supondremos régimen

permanente para las ecuaciones diferenciales de las poblaciones de promotor:

· 0 ( + · 2) · = 0; = · 0 + · 2

= · 0 + · 2 = ·

· 0 + · 2 ·

= · · 0 + · 2 · = · · = · · 2 = · 2 · 2 · 2

2 = · 2 · 2 · 2 Así, finalmente tenemos esta expresión:

= · · 0 + · 2 ·

= · · 0 + · 2 ·

Además, suponemos el régimen permanente en la variación de las poblaciones de losdímeros represores:

· 2 · 2 2 · 2 = 0; 2 = + 2 · 2

2 = + 2 · 2


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Por último, añadiendo estas expresiones, obtenemos la expresión del sistema equivalente:

= · 0

1 + · + · 2 ·

= · 0

1 + · + · 2

·

= · · = · ·

Ahora, procedemos a comparar los dos modelos y comprar los parámetros hasta encontrar sus

relaciones:

= · 0 = =

·

+

= Aunque acabamos de identificar todos los parámetros de uno y otro modelo, de forma que

podemos concluir que se tratan del mismo, aunque expresado de formas diferentes; tenemos

que notar que existe una pequeña diferencia entre ambos:

1 =1

1 + 1 · 2 1 · 1

= ·

01 + · + · 2 · Mientras que en el modelo basado en las cinéticas de Michaelis-Menten la represión se

hace a través de la proteína represora, considerando, además, la posibilidad de que

también se haga a través de los diferentes multímeros que ésta pueda formar. Por tanto,

aunque el modelo matemático sí lo contemple, realmente no tiene en cuenta las

variables asociadas a estas subespecies.

Por otro lado, en el modelo de cinéticas de primer orden desarrollado en este último

apartado del documento, se estudia de manera explícita la presencia y participación deldímero. Incluso, no se ha modelado la posibilidad de que la proteína represora pueda


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inhibir la transcripción del promotor adverso. Esta diferencia de consideraciones entre

uno y otro se patenta directamente ahora, cuando observamos que el parámetro aparece con un valor fijo y dado 2 en nuestro segundo modelo. Esto se podría considerar

como un error, sin embargo, explicamos la capacidad de esta suposición:

• + → 2 es la reacción que hemos modelado hasta el momento, teniendoasociado una cinética tal que: · 2. Luego, este dímero es el únicoconsiderado con inhibidor. Pero veamos la siguiente reacción:

• · → reacción que consideraría la creación del represor, β podrá valer 1, 2o incluso mayor, en base a un factor de probabilidad asociado.

Este modelo, y las suposiciones hechas para extraer las ecuaciones, se han basado en el

documento de Michail Stamatakis y Nikos V. Mantzaris [8], en el cual se indica:

“…A LacI dimer is sufficient for specific binding to the operator sequence... However, aLacI monomer is unable to bind lacO and exert any repressive effect (53). Thus, we

assume that the repressor dimer binds to the operator (denoted as species O) with a one-

to-one stoichiometry…”

Significando que la proteína represora no tendrá un efecto apreciable en las acciones de

inhibición de la transcripción del promotor adverso.


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6.

Modelado del sistema biestable modificado en

cinéticas simples

Consideraciones de modelado

Tipo de Agente Rama 1 Rama 2

Promotor (′) ARN mensajero Proteína represora Multímero represor (dímero)

2

2

Inhibidor Promotor/Represor 2 (2) 2

En los apartados anteriores se han dado las nociones suficientes para la comprensión de

la función de cada agente dentro del sistema. Veamos el conjunto reactivo:

Nombre Reacción Propensidad

Transcripción LacI → + 1 = · Traducción Laci → + 2 = · Dimerización LacI + → 2 3 = · 2 Des-dimerización LacI 2 → + 4 = · 2 Represión LacI 2 + → 2 5 = · 2 · Des-represión LacI 2 → 2 + 6 = · 2 Transcripción cI → + 7 = · Traducción cI

→ +

+

8 =

·

Dimerización cI + → 2 9 = · 2 Des-dimerización cI 2 → + 10 = · 2 Represión cI 2 + → 2 11 = · 2 · Des-represión cI 2 → 2 + 12 = · 2 Transcripción de ARNas → + 13 = · Represión de ARNas 2 + → 2 14 = · 2 · Des-represión de ARNas 2 → 2 + 15 = · 2


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Digestión LacI + → 16 = · · Digestión LacI2 + 2 → 17 = · · 2 Inhibición ARNas + → 18 = · · Degradación → 19 = · Degradación → 20 = · Degradación ARNas → 21 = · Degradación → 22 = · Degradación → 23 = · Degradación Proteasa → 24 = · Degradación

2

2 →

25=

·

2

Degradación 2 2 → 26 = · 2

Realizamos el mismo esfuerzo que hicimos con el modelo del biestable simple para la

identificación de parámetros. Comenzamos con detallar las relaciones de cada reacción

descrita con cada especie.

Volvemos a suponer la relación entre promotor y promotor reprimido que hicimos en el

modelo del biestable simple:

2() = 0 ();Por lo tanto, las ecuaciones mostradas a continuación contemplan este paso:

= · 0 + · 2

= · 0 + · 2

= · 0 + · 2 = · · = · · · ·

= · · · ·


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= · · · ·

= · ·

= · · 2 = · 2 · 2 · · 2 · 2 2 = · 2 · 2 · 2 Continuando con el desarrollo anterior, consideramos régimen permanente en los

dímeros en las proteínas represoras:

2 = + · 2

2 = + + · · 2 Incluyendo en la expresión de los promotores:

=

= 0

1 + · + · 2

= 01 +

· + + · · 2

Conocido esto, veamos el resto de ecuaciones:

(1) = · · (2)

= · · · ·

(3) = · · · ·

(4) = · · · ·


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(5) = · ·

(6)

=

·

·

Por tanto, el último paso en este desarrollo, arroja la siguiente expresión:

=

· 01 +

· + · 2 ·

= · 0

1 + · + + · · 2

( · + ) ·

=TRNL ·

01 + · + · 2 ( · ) · = · · · · = · · = · · Antes de pasar a relacionar los parámetros de un modelo y otro, debemos notar una

diferencia de forma entre las dinámicas del ARN mensajero de cI. Esta diferencia de

forma en la función es, comparándola con el modelo extraído al comienzo de este

documento:

[ ] ̇ = 1 + · []

· [ ] + · [ ]

= · 0

1 + · + + · · 2 (

·

+

) ·

Es sencillo encontrar la relación entre los parámetros de ambos modelos, sin embargo,

para el siguiente caso, tenemos que pararnos a observar:

= ·

+ + · No podemos considerar que la expresión de la derecha sea una constante, ya que

aparece la proteasa responsable de la digestión de la proteína represora LacI y de sus

multímeros.


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En este punto, nos preguntamos el porqué de esta diferencia de forma.

La estrategia de modelado seguida partía de los conocimientos de cinéticas propias de la

biología para más tarde enlazarlos con los resultados de un planteamiento alejado del

estudio biológico. El modelo en caja negra seguido en la segunda parte de los modelos,

demostró en el primer sistema ser análogo con los desarrollos cinéticos biológicos,

mientras que este segundo modelo, más complejo, parece no ser coherente.

Recordemos la obtención de la cinética de la transcripción reprimida:

A la reacción de transcripción se le asociaba una cinética de Michaelis-Menten, mientras

que la represión se modelaba a través de la ecuación de Hill, donde el factor de

cooperatividad de la represión quedaba modelado cómo una potencia de la población

de represor.

Las reacciones asociados a estos procesos biológicos, así como sus expresiones, no

tomaban en consideración la posible presencia de un multímero del represor de forma

explícita, a pesar de que la ecuación de Hill sí que contempla esta situación.

Es por este motivo por el cual, a través del modelo en reacciones elementales y cinéticas

de primer orden, donde sí se tiene en cuenta de forma explícita, aparece la supuesta

contradicción.

Por tanto, siendo rigurosos deberíamos tenerla en cuenta en nuestro modelo. Sin

embargo, comprendamos cómo se produce la proteólisis en este sistema, para tomaruna decisión acertada:

A La proteína represora LacI se le asoció una cadena identificadora para que la proteasa

la identificara como degradable. Así, se consigue que la digestión, tras la aparición de

esta proteasa, se produjera lo más rápidamente posible. De hecho, es muy poco

probable que la proteína sea capaz de formar dímeros en presencia de su digestora. Por

otro lado, esta proteasa, consume tanto la proteína represora como sus multímeros con

la misma rapidez. Estas conclusiones se basan en el documento de investigación

utilizado por este grupo para diseñar el biestable mejorado, Engineering Controllable

Protein Degradation [9].

Por este motivo, a la hora de hacer la correlación de ambos modelos, no vamos a tener

en cuenta esta diferencia de resultados.


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Por tanto, terminamos de realizar la identificación de parámetros cruzados:

= · 0

=

·

+

= = = Observando que la relación de los parámetros de la transcripción, traducción y represión

se obtienen de la misma forma.


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7.

Conclusión de los Modelos

Presentamos de forma esquemática los modelos que se han extraído:

Biestable simple.

=

1 + · · =

1 + · ·

= · ·

= · ·

Biestable modificado.

=

1 + · ·

= 1 + · (ℎ · + ) · =

1 + · (ℎ · ) ·

= · · · ·

= · ·

= · · A continuación, pasamos a estudiar la estabilidad de ambos sistemas y a comprobar la

robustez aportada por los parámetros, así como un estudio de

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12 Enfoque determinista

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