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Paweł Klimas

12. Equações de Maxwell

Paweł Klimas, Universidade Federal de Santa Catarina

Lei de Ampère-Maxwell Lei de Ampère é valida apenas para correntes estacionarias. Isto fica evidente tal

para sua forma diferencial como também para a forma integral.

~r⇥ ~B = µ0~JTomando divergente da Lei de Ampère

~r ·h~r⇥ ~B

i= µ0

~r · ~J

Forma diferencial

⌘ 0

para corrente estacionaria = 0

para corrente arbitraria 6= 0

Lei de Ampere não vale para correntes arbitrarias. Em particular, quando a corrente não for estacionaria esta equação leva a contradição.

~r⇥ ~H = ~JNo caso da Lei de Ampère para campo H: conclusões são as mesmas.


Forma integralI

C

~H · d~l = I =

Z

S

~J · d~a

SC

~J

Para uma corrente estacionaria a circulação de campo H é igual a intensidade de corrente. Superfície S é superfície arbitraria com borda sendo C.

No caso de uma corrente não-estacionaria a arbitrariedade da superfície S leva a uma contradição. Um sistema com caráter não-estacionário da corrente é um capacitor carregado.

Ao fornecer cargas para placas do capacitor a densidade local destas cargas varia com tempo. Pela equação de continuidade:

@⇢

@t= �~r · ~J

ou seja, a corrente não é estacionaria.


Integramos Lei de Ampère escolhendo superfícies S e S’ (conforme desenho) como domínios de integração

~r⇥ ~H = ~J

Z

S(~r⇥ ~H) · d~a =

Z

S

~J · d~aZ

S0(~r⇥ ~H) · d~a =

Z

S0

~J · d~a

teorema de Stokes teorema de Stokes

I

C

~H · d~lI

C

~H · d~lI 0Densidade de corrente é nula na superfície S’ (superfície S’ não tem pontos comuns com o fio nem a placa do capacitor onde densidade de corrente é localizada)

Longe de capacitor. Note que I não é uma constante e depende de região de interseção de S com o fio.

Conclusão: Lei de Ampère não pode ser uma lei universal.


Pergunta: Como generalizar a lei de Ampère?

Voltamos para forma diferencial da lei de Ampère

~r⇥ ~H = ~J ~r · [~r⇥ ~H] = ~r · ~J

identidade

Ideia: substituir este termo por uma expressão que contem divergente de densidade de corrente e anula-se para correntes genéricas.

~r · ~J +@⇢

@t

Lado direito da equação de continuidade (conservação de carga elétrica ).

Utilizando lei de Gauss: ~r · ~D = ⇢

~r · [~r⇥ ~H] = ~r ·h~J +

@ ~D

@t

i

Proposta:

~r⇥ ~H = ~J +@ ~D

@t

Lei de Ampère-Maxwell Esta é a generalização da lei de Ampère.


~r⇥ ~H = ~J +@ ~D

@t

Corrente de deslocamento:

Outra fonte de campo magnético

Permite que equações de eletromagnetismo respeitam conservação de carga elétrica

Corrente de deslocamento: Nome atribuído a este termo por Maxwell. Maxwell imaginava que este termo representa uma corrente que flui no espaço fisico (interpretava campos como descrição resultante de uma realidade mecânica).

~Jd ⌘ @ ~D

@t= "0

@ ~E

@t+

@ ~P

@t

Variação de polarização também é uma fonte de campo magnético.

Variação de campo elétrico é uma fonte de campo magnético.


Forma integral da lei de Ampère-Maxwell

Z

S(~r⇥ ~H) · d~a =

Z

S

~J · d~a +

Z

S

@ ~D

@t· d~a

teorema de Stokes

I

C

~H · d~l

I

d

dt

Z

S

~D · d~a

C e S não dependem de tempo

Fluxo de deslocamento elétrico

Circulação de campo H depende de intensidade de corrente “I” e taxa de variação de fluxo de deslocamento elétrico.

No espaço onde não existe meio material com propriedades dielétricas nem magnéticas

~D = "0 ~E ~H = 1µ0

~B

I

C

~B · d~l = "0µ0d

dt

Z

S

~E · d~a+ µ0

Z

S

~J · d~a


Exemplo

Capacitor plano

z = 0

a ⇢

aI(t)

Aproximações:

~E =�(t)

"0z =

q(t)

"0(⇡a2)z

Densidade superficial de carga uniforme

Campo elétrico dentro uniforme

Campo elétrico fora nulo

~E = ~0

Campo magnético no plano z = 0

Ansatz:

~B = B(t, ⇢) � Amperiana: circulo

d~l = � ⇢ d�


Aplicação da lei de Ampère-Maxwell

I

C

~B · d~l = "0µ0d

dt

Z

S

~E · d~a+ µ0

Z

S

~J · d~a0 nao há corrente

no plano z=0

2⇡⇢B(t, ⇢) q(t)

"0(⇡a2)⇡⇢2

q(t)

"0(⇡a2)⇡a2

⇢ a

⇢ > a~B(t, ⇢) =

µ0

2⇡

dq

dt

⇢

a2�

~B(t, ⇢) =µ0

2⇡

dq

dt

1

⇢�

⇢ a

⇢ > a

a

⇢

µ0

2⇡adqdt

B(t, ⇢)

dq

dt= I(t) = E

Re�t

RC

carregando um capacitor


Equações de Maxwell

Lei de Gauss

I

S

~D · d~a = qenc

I

S

~B · d~a = 0

Lei de Gauss para campo magnético

Lei de Ampère—Maxwell Lei de FaradayI

C

~H · d~l = d

dt

Z

S

~D · d~a+ Ienc

I

C

~E · d~l = � d

dt

Z

S

~B · d~a

PRIMEIRA PAR SEGUNDA PAR

~r · ~D = ⇢~r · ~B = 0

~r⇥ ~H =@ ~D

@t+ ~J

~r⇥ ~E = �@ ~B

@t

d~ad~a

d~a

d~lC

S

d~a

d~lC

S

SS


Equações de Maxwell descrevem fenômeno de indução eletromagnética.

Indução eletromagnética é um mecanismo em qual variação de um dos campos (elétrico ou magnético) gera outro campo.

@ ~D

@t@ ~B

@t

~H~E~B

@ ~E

@t

no meio material no espaço vazio

Varrição temporal do campo elétrico (ou campo de deslocamento) gera campo magnético com linhas fechadas.

Varrição temporal do campo magnético gera campo elétrico o com linhas fechadas.

~r⇥ ~H 6= 0 ~r⇥ ~E 6= 0


Indução eletromagnética permite que os sinais eletromagnéticos se propagam no espaço vazio. Este fenômeno torna redundante a ideia do éter luminífero.

I(t)

antenapropagação de impulso

eletromagnético

Dipolo oscilante

https://www.en.didaktik.physik.uni-muenchen.de/multimedia/dipolstrahlung/animated-gifs-aus-bildern/index.html

https://www.en.didaktik.physik.uni-muenchen.de/multimedia/dipolstrahlung/animated-gifs-aus-bildern/index.html


Conteúdo não obrigatório

Ondas eletromagnéticas

Equações de Maxwell possuem solução ondulatória.

Hipótese de Maxwell: luz é uma onda eletromagnética.

Solução ondulatória mais simples é onda plana.

Equações de Maxwell implicam equações de onda para campo elétrico e magnético

Equações de Maxwell no espaço vazio

~r · ~E = 0 ~r · ~B = 0

~r⇥ ~B � 1

c2@ ~E

@t= 0 ~r⇥ ~E +

@ ~B

@t= 0

(1)

(2)

(3)

(4)

~r⇥ (~r⇥ ~E) +@

@t~r⇥ ~B = 0~r⇥ (4)

~r(~r · ~E)�r2 ~E

0

1

c2@ ~E

@t

(1)

(2)

1

c2@2 ~E

@t2�r2 ~E = 0

equação de onda

"0µ0 ⌘ 1

c2



1

c2@2 ~B

@t2�r2 ~B = 0

0(3)

(4)equação de onda

~r⇥ (2) ~r⇥ (~r⇥ ~B)� 1

c2@

@t~r⇥ ~E = 0

~r(~r · ~B)�r2 ~B�@ ~B

@t

Outra equação

Campos elétrico e magnético satisfazem equações de onda.

Ansatz para uma solução ondulatória particular

~E(t,~r) = ~E0 sin(~k · ~r � !t)~B(t,~r) = ~B0 sin(~k · ~r � !t)

amplitude

amplitude(vetor constante)

vetor de onda frequência



Derivadas

@@xi sin(~k · ~r � !t) = ki cos(~k · ~r � !t)

@@t sin(

~k · ~r � !t) = �! cos(~k · ~r � !t) @2

@t2 sin(~k · ~r � !t) = �!2 sin(~k · ~r � !t)

@2

@(xi)2 sin(~k · ~r � !t) = �(ki)2 sin(~k · ~r � !t)

r2 sin(~k · ~r � !t) = �~k2 sin(~k · ~r � !t) Divergente

Rotacional

laplaciano

~r · ~E = (ei · ~E0)@

@xi sin(~k · ~r � !t)] =

~r⇥ ~E = (ei ⇥ ~E0)@

@xi sin(~k · ~r � !t)] = (kiei ⇥ ~E0) cos(~k · ~r � !t)] =

(kiei · ~E0) cos(~k · ~r � !t)] =

= (~k · ~E0) cos(~k · ~r � !t)

= (~k ⇥ ~E0) cos(~k · ~r � !t)

~r⇥ ~B = (~k ⇥ ~B0) cos(~k · ~r � !t)

~r · ~B = (~k · ~B0) cos(~k · ~r � !t)



Relação de dispersão

Substituindo na equação de onda

1

c2@2 ~E

@t2�r2 ~E = 0

1

c2@2 ~B

@t2�r2 ~B = 0

�!2

c2� ~k2

�~E = 0

�!2

c2� ~k2

�~B = 0

~k2 =!2

c2

Relação de dispersão

A relação de dispersão é uma condição algébrica que fixa vetor de onda em dependência de frequência dela. Aqui temos onda com uma frequência só (onda monocromática). Esta condição é necessária mas não necessariamente suficiente para que o campo elétrico e magnético dado pelo ansatz ser uma onda eletromagnética.

Condições para amplitude

Solução de equações de Maxwell deve satisfazer outras condições algébricas. Estas condições estabelecem relações entre vetor de onda e vetores de amplitude dos campos.



Lei de Gauss~r · ~E = 0

~r · ~B = 0

~k · ~E0 = 0

~k · ~B0 = 0

Lei de Ampere-Maxwell

~r⇥ ~B � 1

c2@ ~E

@t= 0

h~k ⇥ ~B0 +

!

c2~E0

icos(~k · ~r � !t) = 0

h~k ⇥ ~E0 � ! ~B0

icos(~k · ~r � !t) = 0

~r⇥ ~E +@ ~B

@t= 0

~k ⇥ ~E0 � c!

c~B0 = 0

~B0 =1

ck ⇥ ~E0

|~k|

Lei de Faraday

~k ⇥ ~B0 +1

c

!

c~E0 = 0

|~k|

~E0 = �ck ⇥ ~B0

Campos elétrico e magnéticosão perpendiculares a vetor

de onda: ondas eletromagnéticas são TRANSVERSAIS



~E0 = �ck ⇥ ~B0~B0 =

1

ck ⇥ ~E0Produto escalar de amplitudes

~E0 · ~B0 =h�ck ⇥ ~B0

i·1

ck ⇥ ~E0

�= �

hk ⇥ ~B0

i·hk ⇥ ~E0

i

1 0 0

= �(k · k) ( ~B0 · ~E0) + (k · ~E0) (k · ~B0) = � ~B0 · ~E0

~E0 · ~B0 = 0Campos elétrico e magnético

são mutualmente perpendiculares.

Intensidade das amplitudes

~B20 =

1

c2[k ⇥ ~E0] · [k ⇥ ~E0] =

1

c2k2 ~E2

0 � 1

c2(k · ~E0)

2

0

=1

c2~E20

| ~B0| =1

c| ~E0|



Campo eléctrico

Campo magnético

Campo eléctricoCampo magnético

Campo magnético

Campo eléctrico

http://mrtremblaycambridge.weebly.com/15-waves.html

Comprimento de onda

http://mrtremblaycambridge.weebly.com/15-waves.html

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