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［わかみず会（12.12.12）］ 第6 版

Maxwell の方程式： 相対論的変容

柳生 孝昭 0. 特殊相対性理論 0.0 前史 0.1 光速不変性とその帰結 0.2 Lorentz 変換の決定 0.3 Lorentz 変換の帰結： 相対論的運動学 0.4 Tensor 解析についての準備 0.5 相対論的力学 1. 相対論的電磁気学 1.0 Maxwell の方程式（再掲） 1.1 Maxwell の方程式の Tensor 方程式化（Lorentz 変換不変性） 1.2 Lorentz 変換不変性の帰結 ─ 諸物理量の変換 1.3 Lorentz 変換不変性の帰結 ─ 幾つかの特別な場合 2. 付記 2.0 Maxwell 理論の論理的構造、併せて物理学の分かり難さについて 2.1 2次元 Tensor と添字に対する操作の行列表現 3. 文献 [0] 太田浩一：「電磁気学」，Ⅰ，Ⅱ，丸善，2000． [1] 中野菫夫：「相対性理論」，岩波書店，1984． [2] 小玉英雄：「相対性理論」，培風館，1997． [3] 山内恭彦：「一般力学」，岩波書店，1953 [4] 安達忠次：「ベクトル解析」，培風館，1963． [5] M. Spivak / 斉藤正彦：「多変数解析学」，東京図書，1972． [6] L. Schwartz / 吉田耕作・渡辺二郎：「物理数学の方法」，岩波書店，1972． [7] 柳生孝昭：「Maxwell の方程式：古典電磁気学の第一原理」， 「わかみず会」資料，2008.11.23． [8] 柳生孝昭：「Maxwell の方程式：電磁場の力学と電磁波の理論」， 「わかみず会」資料，2010. 1.30．

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0. 特殊相対性理論 0.0 前史 [0] Maxwell の方程式と Galilei 変換の矛盾（[0] 11.11 節、[7] 5.2 節）： 慣性系 S (x , t ) に対して等速度V で動く点電荷q に固定した慣性系を S (x , t )、それぞれに 於ける電磁場をE 、B 、E 、B とすると、（両慣性系で不変な）Lorentz 力場は E + V ×B ＝E 従ってまた E － V ×B ＝E (0.0) これらが任意のV 、B について成り立つのであるから B ＝B (0.1) これは Biot‐Savart の法則に矛盾する。 即ち B (x, t )＝ m0qV ×(x －Vt ) /4p|x －Vt |3 ≠ 0 ＝B (0.2) 尚、精確には付記2.0節を参照。 Ether 説 ∧ Galilei 変換 → Fresnel 随伴係数（a ）＝1－ 1/n 2

相対性原理 « a ＝1 （n : 屈折率）

[1] Ether 理論の展開と破綻 Ether 説 ∧ ¬ Galilei 変換 ∧ 相対性原理 は無矛盾（物理的描像？） [1.0] Fresnel の随伴係数（a： 静止空間に対する速度 V の物質中の Ether の速度 ＝aV ）決定の実験（H. Fizeau (1851)、Hoek(1868)） [1.1] 地球の Ether に対する速度検出の（失敗に終わった）実験（A.A. Michelson (1881)、A.A.M.‐E.W. Morley (1887)、E.W.M‐D. Miller (1904)） [2] 運動体の収縮仮説（G. FitzGerald (1889)、H.A. Lorentz (1892)）と座標変換の 提案（H.A. Lorentz (1904)） 0.1 光速不変性とその帰結 寧ろ全ての？ [0] 慣性系： 慣性の（Newton の第 2）法則が成り立つような座標系； 一つの慣性系 に対して等速で動く系は、全て慣性系である。（相対性原理） [1] 光速不変性： 真空中の光の速さ（c）は、全ての慣性系に於いて等しい。 簡単の ために、慣性系S に対するS の速度V の向き、x 及びx の正方向が全て一致して いるとする（この条件を V∥x∥x と略記）。 またx 上の静止点をA 、B 、中点をL d ＝xB －xA d ＝xB －xA (0.3) とする。 ct [1.0] 同時性の相対化： L から発した光が両端に tA +tB 達する事象をPA 、PB 、その時刻をS で tA 、tB tB S で tA´、tB とすると tA (c (+|－)V )tA|B ＝d / 2 ctA ＝ ctB ＝d / 2 (0.4) 従って tA ≠tB 即ちS に於いて同時的である A L B x PA とPB は、S に於いては同時的でない。 tA|B ＝d / 2(c (+|－)V ) 図0. 同時性の相対化

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[1.1] 距離の収縮： 逆にS から見れば、L の光がx 上の 静止点 xL (－|+)ctA|B に達する事象は、それぞれS に於いて 時間 tA 、tB を要し、PA 、PB に他ならないので、両点間の 距離はd として観測される。 従ってS とS での長さの xL + ctB xL－ ctA 比は、空間の等方性と伸縮の線型性を仮定すれば xB xA

g ≡d /d ＝ c (tA +tB) /d ＝d / (1 － (V / c )2)d 図1. 距離の収縮

g ＝ (1 －b 2)－1/2 b ≡V / c (0.5)

[1.2] 時計の遅れ： 両端に鏡を置くと、反射した二筋の光はS は勿論、S に於いても 同時にL に戻る。 その時刻はS 、S でそれぞれ tA +tB 、tA +tB である。 従って この間の時計の進みの比は (tA +tB) / (tA +tB ) ＝ (d / c (1 －b 2)) / (d / c ) ＝g (0.6) 即ちS の観測者に取っては、S の時計は g の割合で遅れるように見える。

[1.3] 世界距離 Ds 2 の不変性： 光の軌跡 [(t , x ), (t + Dt , x + Dx )] については、慣性系 によらず、常に c ＝|Dx|/ Dt 一定なのであるから Ds 2 ≡ － c2Dt 2 + Dx 2 ＝ 0 (0.7) (t , x ) と (t , x ) の関係が一次変換であると仮定すれば、Ds 2 も (Dt , Dx ) の二次式と なり、 Ds 2 ＝ 0 ⇔ Ds 2 ＝ 0 より、Ds 2 : Ds 2 は定数である。 特に (Dt , Dx ) をS に固定した時計の時間の刻み (Dt , 0) とすると、(0.6) により Ds 2 ＝ － c2Dt 2 ＝ － c2Dt 2 /g 2 ＝ c2Dt 2(－1 + (V / c)2) ＝ － c2Dt 2 + Dx 2 ＝ Ds 2 (0.8) 従ってこの関係は、任意の [(t , x ), (t + Dt , x + Dx )] について成り立つ。

[1.4] 固有時の概念： 一つの慣性系 S から見て、運動する点に固定した時計の、軌跡 (t (s ), x (s )) の各位置で、加速が止み、等速運動に移ると仮定した時に刻む時間 t を、 その点の固有時と言う。 慣性系 S の時間は、その各静止点の固有時に他ならない。 逆に運動点の各位置は、固有時を時間とし、その点が静止している慣性系を定めるから 式 (0.8) により s ＝t として

dt ＝ ((dt /ds )2 － (dx /ds )2 / c2)1/2ds 特に dt ＝dt /g (0.9) [1.5] 双子の逆理： 双子の内の一人が高速の宇宙旅行から戻った時の、彼（女）の身に 着けていた時計による固有時間の経過 t を、近似的な慣性系である地球に止まって いたもう一人の経た歳月 t と比べるために、(0.9) を積分すると t ＝∫dt /g ＝∫(1 －b 2)1/2dt ＜t (0.10) 宇宙旅行を地球の宇宙船に対する運動と見れば、上とは逆に t ＜t 即ち双子の加齢は 逆転する。しかし宇宙船は慣性系とは言えないので、(0.9) の t と t を入れ替えた式は 成立せず、逆理的な状況も出現しない。

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0.2 Lorentz 変換の決定 慣性系 S (x 0 ＝ ct , (x 1, x 2, x 3) ＝ (x , y , z )) と、S に対して原点 (0, 0, 0, 0) を共有し、 等速度V で動いているS の関係を一次変換と仮定し、次の形とする： x ＝Lx L ≡ p tq x ＝r 1ct +A1 t(x , y , z ) y ＝r 2ct +A2 t(x , y , z ) z ＝••• (0.11) r A し、空間成分を等置

L を定めるために、先ずS の静止点（例えば原点）について両辺を t で微分すると 0 ＝ cr +AV 即ち r ＝ －Ab b ≡V / c (0.12) 次に (0.8) を書き下すと c2Dt 2 － Dx 2 ＝ (cpDt + tqDx ) 2 － (crDt +ADx ) 2 ＝

c2Dt 2 － Dx 2 ＝ c2(p 2 － tb tAAb )Dt 2 + 2c(p tq + tb tAA)Dt Dx + tDx (qq － tAA)Dx 従って ＝ 1 ＝ 0 ＝ －1

tAAb ＝ －pq tAA －qq ＝ (p 2 － tb tAAb )1 (0.13) 両式から tAAb を消去して 0 ＝pq +qqb + (p 2 +p tbq )b ＝ (p + tbq )(q +pb ) 一方 (0.11)、(0.12) から 0 ≠|L|＝ p + tqb tq ＝ (p + tqb )|A| 従って q ＝ －pb (0.14) r + Ab A

これと (0.13) の第一式を第二式に代入して tAA ＝p 2bb + (p 2 －p 2b 2)1 ＝p 2(1 －b 2)(1 + g 2bb ) ＝ (p /g )2(1 + (g 2 / (1 + g ))bb )2 (0.15) 1 + (2g 2(1 + g ) + g 4b 2) / (1 + g )2)bb 2g 2 / (1 + g ) + g 2(g 2 －1) / (1 + g )2 ＝g 2

即ち (g /p)A(1 + (g 2 / (1 + g ))bb )― 1) は直交行列であるから、直交変換を行ってこれを 1 とすると、e ≡p /g と置いて g

A ＝e (1 + (g 2 / (1 + g ))bb ) Ab ＝e (1 + (g 2 / (1 + g ))b 2)b ＝pb (0.16) 更にS 、V とS 、－V を入れ替えた変換 L(－V ) を (0.11) に作用させると 1 ＝L(－V )L(V ) ＝ e (－V )e (V ) g －g tb g g tb ＝e (－V )e (V ) －g b g b 1（L の推移性を先取り）

空間の等方性から、e はV の方向には依存しないと考えられる。 従って e (－V ) ＝e (V ) ＝e (V ) e (V )2 ＝ 1 特に L(0) ＝ 1 より e (0) ＝ 1 従って e ＝ 1 (0.17)

以上を纏めて L ＝ g －g b (0.18) －g b 1 + (g 2 / (1 + g ))bb

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特に条件 V∥x∥x （0.1[1] 項）の下では x 1

L ＝ g －g b (0.19) x 1 －g b g 1 q ＝ tan－ 1b 1 x 0

以降は、この場合を仮定する。 q

x 0 0.3 Lorentz 変換の帰結： 相対論的運動学 図2. Lorentz 変換 [0] 速度の変換則、光速の限界、光円錐、及び光行差 [0.0] 先ず (0.8) から、慣性系相互の速度が光速を越えないことに注意する： V ≦c 即ち 0≦1 －b ≦1 (0.20) [0.1] 同じく Ds 2 ＝ 0 を境界とする領域（光円錐内： Ds 2 ＜0、 外部： Ds 2 ＞0）は、 慣性系に依らない。 V を －V に、L をL －1 に代え [0.2] 次に (0.11) を時間で微分すると v ＝L －1 /g (1 +v 1 b / c)•v の第1成分を取り 非線型！

v ＝dx /dt ＝Ldx /dt •dt /dt ＝Lv / (dt /dt ) ＝L /g (1 －v 1b / c)•v ＝L´v (0.21) 特に c±v 1 ＝ c±(V + v 1 ) / (1 + v 1´b / c) ＝ (1 ±b )(c ±v 1 ) / (1 + v 1´b / c) であるから、 (0.20) と併せて |v 1|≦c ⇔ |v 1´|≦c 即ち、或る慣性系での速度が光速以下ならば、 如何なる慣性系での速度も、光速を越えることは無い。 [0.3] 光行差： v ＝v (cosq , sinq , 0)、v ＝v (cosq , sinq , 0) の場合 v (cos|sin)q ＝ (v cosq －V |v sinq /g ) / (1 －v cosqb / c) 特に v ＝v ＝ c ならば tanq ＝ sinq /g ( cosq －b ) cos － 1b (0.22) x 1

[1] 過去、未来、及び因果性： 現時点O を t ＝ 0 、 x 1 過去、未来を単純に t の負、正の領域とすれば、 P 図3のP はS では未来、S では過去に属する。 x 0 しかし、正に今生じたと観測される事象は、過去の 因果的 O 因果的 或る時点 t まで、観測者から光速以下の伝達速度で 過去 未来 x 0 遡行した時空点に於いて生じた筈であるから、 過去とはかかる時空領域、即ちO を頂点とする、 t ＜0 の光円錐内に他ならない。 逆に未来はO の 図3. 過去、未来、及び因果性 事象が光速以下で伝達し得る範囲、即ち t ＞0 の 光円錐内である。 これらはそれぞれO での観測に対して、物理的に作用または被作用 の可能性を持ち、その意味で因果的過去、未来と呼ばれる。 P は、因果的にはS 、S 共に、過去にも未来にも属さないのである。 光円錐内部を時間的、外部を空間的、面 上を光的領域とも言う。 時間的とは、原点（現時点）から到達可能の謂いである。

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[2] Minkowski 時空間・計量・不等式： Lorentz 変換によって対応する一群の xS

を同一視し、それらの全体を Minkowski 時空間と言う。 時空 vector の内積 Dx ≡x 1 －x 0 Dy ≡y 1 －y 0 (Dx , Dy ) ≡ －Dx 0 Dy 0 + SDx k Dy k ≡ tDx h Dy (0.23) によって、計量を与える。 （9頁0.5節[3]注意） h ＝(h mn )： 計量 tensor（h 00＝－1、h mj ＝h i n ＝d mn ） （Ds 2 の不変性から Lorentz 変換を導いたが、逆に Lorentz 変換による内積の不変性は、(0.19) から直ちに分かる。）

互いの世界距離が時間的（即ち互いに到達可能）であるような3点 xi（i ＝ 0 ～ 2） について、次の Minkowski の不等式が成り立つ： Dij ≡xj －xi として D010D120 ＞ 0 ならば |D02|≧|D01|+|D12| (0.24) |D02|2＝|D01 +D12|2＝(D010 +D120)2 － S(D01k +D12k )2＝|D01|2 +|D12|2 + 2(D010D120 － SD01k D12k ) （Schwartz） (|D01|+|D12|)2＝|D01|2 +|D12|2 + 2(((D010)2 － S(D01k )2)((D120)2 － S(D12k )2))1/ 2 ≧(S(D01k )2S(D12k )2)1/ 2 － SD01k D12k ≧0 f (l )≡((D010)2 － S(D01k )2)l 2 － 2(D010D120 － SD01k D12k )l + (D120)2 － S(D12k )2＝(D010l － D120)2 － S(D01kl － D12k )2 とすると f (±∞ ) ＞ 0 ≧f (D120 /D010) 従って f (l )＝0 は実根を持ち、従って (D010D120 － SD01k D12k )2 ≧((D010)2 － S(D01k )2)((D120)2 － S(D12k )2) (0.25)

[3] Doppler 効果 [3.0] 音波の（Galilei 変換に従う）場合： 音速をv 、振動数をn 0 、音源・観測者間の速度をV として [3.0.0] 音源が観測者に近づくならば、単位時間に発したn 0個 の波が距離v －V の間に詰まるので、観測者が見る振動数は 図4.0 音源の接近

n ＝n 0v / (v －V ) (0.26) [3.0.1] 逆に観測者が音源に近づくならば、単位時間の間に 距離v +V の間の波を受け取ることになるから n ＝n 0(v +V ) /v 進行方向（波数 vector） (0.27) [3.1] 光波 sin(wt －kx ) の（Lorentz 変換に従う）場合： 図4.1 観測者の接近 w ≡ 2pv k ≡ (w / c)n ≡ (k1, k2, k3) として、対応する 時空点 x と x ＝Lx に於いて位相が等しいとすると (w / c, －k )x ＝ (w / c, －k )x ＝ (w / c, －k )Lx 従って (w / c, －k ) ＝ (w / c, －k )L (0.28) 特に k ＝ (w / c)(cosq , sinq , 0) 且つ、光源がS に固定されている場合は w ＝w g (1 +b cosq ) n ＝n 0g (1 + b cosq ) n 0 ＝w / 2p (0.29) [3.1.0] q ＝ 0（光源の観測者への接近）： n ＝n 0 g (1 + b ) k (0.30) [3.1.1] q ＝ p（光源の観測者からの後退）： n ＝n 0 g (1 －b ) k (0.31) [3.1.2] q ＝ p / 2（光源の観測者との並進）： n ＝n 0 g S (0.32) （w / c (1, －(0. 1. 0)) → w / c(g , －(gb , 1, 0))）

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[4] 双子の逆理（再論）： 地球E に対して等速度V xE 0 （復路は －V ）で航行する宇宙船H を、近似的に e xH 0 慣性系と見なせば、H から見てE の時計は遅れるので、 E の世界線 s 逆理はやはり成り立つのではないか？ しかしH から e S の世界線 見た同時刻線es は、E に対して静止している恒星S で H の世界線 xH 1 折り返す瞬間に、se に代わり、H が観測する慣性系E の時刻は、e からe に不連続的に飛躍するのである。 xE 1

図5 双子の逆理

0.4 Tensor 解析についての準備 [0] n 次線型空間X 上の (p ,q) 型 tensor 空間 T pq ≡X Ä•••ÄX ÄX *Ä•••ÄX * p q •••Ä(ax +by )Ä••• ＝a (•••Äx Ä•••) + b (•••Äy Ä•••) (0.33) [1] 作用子としての tensor：t ＝x 1Ä•••Äxp Äx 1Ä•••Äx q : Tm +r n +s → T p ― m +sq －n +r mnt (y 1Ä•••Äy m Äz 1Ä•••Äz r Äy 1Ä•••Äyn Äz 1Ä•••Äz s) 添字の上げ下げの定式化 ＝x 1Ä•••Äxp ― m Ä(xp ― m +1y 1)•••(xp y m)z 1Ä•••Äz r Ä x 1Ä•••Äx q ― n Ä(x q ― n +1y 1)•••(x qyn )z 1Ä•••Äz s (0.34) [2] 線型変換 K : X → X L : X * → X * が導く変換 K pLq : T pq →T pq [3] 基底 {em : 0≦ m ≦n －1} と双対基底 {e m } に基づく変換の行列表現： t(em ) ＝ t(en )K （em ＝ Sn en Kn

m ） (e m ) ＝L(en ) （e m ＝ Sn L mn en ） (0.35) として (en )•(an )（＝t(em )K －1(an )） と (en )t(en )（＝tK －1(em )t(e ´m)tL－1） の変換 不変性を要求すると ＝ (a m ) ＝1 KL ＝1 (em ) ＝ tK(en ) ＝ tL－1(en )（≡ Sn Lm

nen 、Sr L mr Lnr ＝ d mn ） (a m ) ＝L(an )

em1 Ä•••Äe m p +q ＝ Sn1•••n p +q Lm1n1•••Lm p +qn p +q en1Ä•••Äen p +q

a n1•••n pn p +1•••n p +q ＝ Sm1•••m p +q Ln1m1•••Ln p +qm p +qa m1•••mpm p +1•••m p +q (0.36)

[4] 変換 K または L に従う vector を、それぞれ共変または反変と呼ぶ。 特に座標 (a m ) は反変、双対座標 (am ) は共変である。 [5] 特に基本（計量）tensor h（(0.23)）による添字の上げ下げ（共変・反変の転換）： (h mn ) ≡ － e 0Äe 0 + S e i Äe i (hmn ) ≡ － e 0 Äe 0 + S e i Ä e i (0.37) h mnVn ＝V m （(－ e 0 Äe 0 + S e i Äe i )SnVn en ＝ － V 0e 0 + S iVi e i ） hmnV n ＝Vm h mrTrn ＝T mn T msh sn ＝T mn hmrT rn ＝Tm

n Tmshsn ＝Tmn (0.38)

h mrhrn ＝h mn ＝ Sr er Äe r ＝1 （任意のT に対して h mnT ＝T ） (0.39)

hmr Lrs h sn ＝Lm

n (0.19)、(0.39) を併せて h －1Lh ＝ tL－1 Lh tL ＝h tLh －1L ＝h －1 (0.40)

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[6] 行列表現の不規則性についての注意 [6.0] (0.35) 両辺を転置し (em ) ＝ tK (en ) tK ＝ (Km

n ) と書きたくなるが、この記法は別の定義 (0.40) を与えられて おり、そこでは L の第1行及び1列の符号を逆転させるので、L － 1 となる（(0.36) に於いて先取りしているように）。 [6.1] L 従って K は対称であるから、(0.35) の転置は em ＝Kn

m en あるいは em ＝Kmn en と書いてもよい。 ここで

は Einstein の規約に従い前者を採ることにするが、問題は和を取る添字n が隣接していない点である。 しかしかかる 不規則性は、(0.36) 終式を導く際に用いる em ＝Ln

m en に於いても現れている。 実は Lnm は L の転置を表し、右辺

は従って enLnm と読むべきなのである。 実際 (0.35) から (en ) ＝ tK － 1 (em ) ＝ tL( em ) である。 一般に和を取る添字

が離れている時は、或る因子については転置と解釈し、それと積和を取る因子（と必要が有れば添字）の順を入れ替える ことで、不規則性を解消することができる。 尚、付記2.1節を参照。 a mem ＝a nen ＝a nL

mn em

a m ＝L mn a n

[7] (0.36) に於いて a ＝h mn とすると h ´mn ＝L mr Lns h r s 、 且つこの右辺は上の

注意により (Lh tL) mn 、 従って (0.40) と併せて、h は座標系に依らない： h ＝h (0.41) [8] 内積、固有時間、及び時間微分 積和による、残る添字の共反変性の保存（23頁） [8.0] (0.34) の特別な場合として、共反変 vector の内積 tVW ≡V mWm t((V ) )(W ) ＝ tV tLKW ＝ tVW (0.42) は scalar（変換不変量）である。

[8.1] 各 T pq は和、scalar 倍、及び座標変換に関して閉じている。 特に有向線分座標 Dx（(Dx m)）は反変、h Dy（( － Dy 0, Dy k)）は共変であるから、前項により内積 Dx •Dy ＝ － Dx 0Dy 0 + SDx k Dy k 特に Ds 2 ＝ － c2Dt 2 ＝ － c2Dt 2 + Dx 2（(0.8)） は scalar である。 Dx ＝Dy として Ds 2 ＝

[8.2] 固有時間による微分 d /dt は tensor 型を保つ（t は scalar）。 [9] 微分作用子、Dyadic、Levi-Civita Tensor e 、外積、□2 a mb ne im Äe n ＝ te im Ä(a m)(b n)e n [9.0] 微分作用子 (¶ /¶x m) の共変性： ¶ /¶x m ＝¶ /¶x n•¶x n /¶ x m ＝¶ /¶x n•Kn

m (0.43) [9.1] Dyadic a tb ＝ (a mb n ) の反変性： (0.36) の特別な場合（(a mn ) の反変性） [9.2] Levi-Civita Tensor emnrs ＝ sign(m ,n , r , s ; 0,1, 2, 3) の共反変性： Μ ＝ K |L

Μ mmΜ nnΜ rr Μ ss emnrs sign(m ,n , r , s ; m ,n , r , s) sign(m ,n , r , s ; 0,1, 2, 3) ＝Μ mmΜ nnΜ rr Μ ss sign(m ,n , r , s ; m ,n , r , s) emnrs ＝|Μ |emnrs (0.44) [9.3] 外積 a ×b ＝ (emnrs a rb s ) の共変性： [9.1]、[9.2]、(0.36) による。（共反変性の保存）

[9.4] □2 の Lorentz 変換不変性と Galilei 変換（G ）非不変性： (0.43) より － □ 2 ＝¶ /¶x •h ¶ /¶x ＝¶ /¶x •Kh tK ¶ /¶x ＝¶ /¶x •h ¶ /¶x ＝ － □2

G : (t , x ) ＝ (t , x －Vt )； ¶ /¶t ＝¶ /¶t －V •Ñ ¶ /¶x ＝¶ /¶x Ñ2 ＝Ñ 2 ¶ 2 /¶t 2 ＝¶ 2 /¶t 2 －V •Ñ´¶ /¶t － ¶ /¶t (V •Ñ ) +V •Ñ (V •Ñ ) ＝¶ 2 /¶t 2 － 2¶ /¶t (V •Ñ ) + (V •Ñ )2

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0.5 相対論的力学 [0] 運動方程式 [0.0] 静止質量m 0： 物体が静止している任意の慣性系に於いて同一。 [0.1] 運動方程式： 慣性系 S に於ける質点の時空位置を原点とし、その点での速度を そのまま保つ系 S は、その点での質点の（移動距離が 0 であるから）固有時を時間 とする慣性系である。 従ってS に於いて成り立つ運動方程式は m 0du /dt ＝f ：4元力 u ≡dx /dt ＝ (c, dtx j)dtt ＝vg ：4元速度 (0.45) となるが、dt が scalar であるから、これはS に於いても成り立つ筈である。 [0.2] 速度と力の成分の自由度： (0.8) より m 0du /dt ＝f ´（相対性原理！）

－ c2 ＝ － (u 0)2 + S(u j )2 t で微分して 0 ＝ －u 0dt u 0 + Su jdt u j ＝u •f /m 0 (0.46) [1] 運動量と Energy 静止系から運動系に移ることによって [1.0] 運動方程式 (0.45) 及び (0.46) を書き替えて u → v m 0 → m そこで

dp /dt ＝f p ≡m 0u ＝m 0g v ＝mv ：4元運動量 m ：運動質量 (0.47) d (cp 0) /dt ＝u 0dt /dt •f 0dt /dt ＝ Sdt x j•F j F ≡f /g ＝dp /dt ：Newton 力 (0.48)

(0.48) の右辺は単位時間に力の為す仕事、即ち運動 energy の増加を表す。 また静止 状態では cp 0 ＝ cm 0u 0 ＝m 0 c2 を考慮して

Ek ≡ cp 0 － m 0 c2：運動 energy m 0 c2：静止 energy

E ≡ cp 0 ＝m 0 c2g ：全 energy E 2 ＝ c2p 2 + m 02 c4（(0.46) 第1式） (0.49) [1.1] 光子の場合： (0.47)、(0.49) より、次の Einstein の関係式を得る。 p の空間成分 p s ＝m 0gdt x ＝ c－2Edt x c 従って p ＝ c－1E (0.50) 例えば質量欠損を伴う粒子の分裂に於ける運動量の保存則より 0 ＝D cp 0 ＝(Dm 0) c2 + DEk [2] 運動量と Energy の保存、核分裂、及び融合の Energy [2.0] 粒子の崩壊： 質量m の静止粒子の、質量m i 、速度v i 、運動量p i 、energy E i （i ＝1, 2）の娘粒子への分裂に伴う保存 Energy； m c2 ＝E 1 + E 2 ＞ m 1c2 + m 2 c2 従って m ＞ m 1 + m 2 (0.51) 運動量 ； 0 ＝p 1s + p 2s 従って p 1 ＝p 2 (0.52) (0.49) と併せて E 12 － m 12 c4 ＝E 22 － m 22 c4 (0.53) (0.51) と併せて E 1|2 ＝ (m 2 + m 1|22 － m 2|12)c2 / 2m (0.54)

p 1 ＝p 2 ＝ (E 12 － m 12 c4)1/2 / c ＝ ((m 2 + m 1|22 － m 2|12)2 － 4m 2m 12)1/2 c / 2m ＝ ((m + m 1 + m 2)(m + m 1 － m 2)(m － m 1 + m 2)( m － m 1 － m 2))1/2 c / 2m (0.55)

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[2.1] 質量欠損： 質量(∪a i) + 結合 Energy ＝ S 質量(a i) (0.56)

核分裂； 核子当たり平均質量欠損の大きな粒子への分裂による energy 放出 核融合； 核子当たり平均質量欠損の大きな粒子への融合による energy 放出 即ち、より安定した

[3] 注意： Lorentz 変換の結合率と4元 Vector の定義可能性 慣性系S に対して速度v でS が、S に対して速度v でS が動いている時、S のS に対する速度v は、(0.21) より次のように計算される：

c ＝L ( －v ) c ＝ 1 b c / (1 +v b / c) ＝ c v v b 1 v (v +v ) / (1 +v b / c) (0.57) 従って次の結合率が成り立つ： S のS に対する速度は－v L(v ) ＝L(v )L(v ) (0.58) (L(v )x )1 ＝ (x 1 － v t )/(1－ (v / c)2)1/2 ＝ (x 1 － (v +v )t / (1+vv / c2)) / (1－ ((v +v ) / (1+vv / c2)c)2)1/2 ＝ ((1+vv / c2)x 1 － (v +v )t ) / ((1+vv / c2))2 － ((v +v ) / c)2)1/2

(L(v )L(v )x )1 ＝ (x 1 － v t ) / (1－ (v / c)2)1/2 ＝ ((x 1 － vt ) － v (t － vx 1 / c2)) / ((1－ (v / c)2)(1－ (v / c)2))1/2

このことは、任意の慣性系に於いて任意の 4 元 vector を与え、他の慣性系に於いては Lorentz 変換またはその逆変換によって定義するならば、全ての慣性系を通して矛盾 の無い定義を与え得ることを示している。

[4] 粒子数束、運動量・Energy Vector、及び応力 Tensor： 慣性系S に対し同じ速度 で進む粒子群の、静止系に於ける密度を n 0 とすると、S から見た体積は進行方向に 1 /g 倍、密度は n ＝g n 0 となる。 この時、粒子数束N は反変vector を定める。 N ≡ n 0u / c ＝ t(n , nV / c) (0.59) また粒子の静止質量をm 0 として、2階反変対称応力 tensor T を定める。

T mn ≡ n 0m 0u mu n r ≡T 00 ＝n 0m 0(u 0)2 ＝nm 0 c2g ： Energy 密度 g j ≡T 0j / c ＝n 0m 0g u j ＝nm 0u j： 運動量密度 (0.60) 運動方程式 (0.45) の変形（T 0j とT jk の物理的意味を知るために）

m 0¶u m /¶x n•dx n /dt ＝m 0u n¶ n u m ＝f (0.61) を用いてT の4元発散 ¶ nT mn を計算すると n 0m 0u n¶ n u m + n 0m 0u m¶ n u n + m 0u mu n¶ n n 0 ＝n 0f m + p mG (0.62) f m 0 p m ¶ t n +v •Ñn ＝d t n ≡G（粒子生成率） 特に ¶ nT 0n ＝ (¶ t r + ¶ j c2g j ) / c ＝n 0f 0 + p 0G nvj•F j / c（(0.46)） (0.63)

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は、Ñ•c2g が、外力の作用や粒子の生成を別にすれば、energy 密度の増加率、従って c2g が粒子の運動による energy 流密度（Poynting Vector）であることを示す。 また 領域D 内の energy 及び運動量自体の増加率は、上式を空間積分して dE /dt ＝ c∫D ¶ 0T 00d 3x ＝ c∫(¶ nT 0n － ¶ jT 0j )d 3x ＝ ∫¶ D － cT 0jdSj +∫D (nvj•F j + cp 0G )d 3x (0.64) dP j /dt ＝∫D ¶ 0T 0jd 3x ＝∫D ¶ 0T j 0d 3x ＝∫(¶ nT jn － ¶ kT jk )d 3x ＝ ∫¶ D －T jkdSk +∫D (nF j + p jG )d 3x (0.65) これらから次のことが分かる（第2項は外力または粒子生成による）。 cT 0j：D の境界面から流入する energy 流密度 (0.66.0) T jk： D の境界面の外部が内部に働く応力 tensor (0.66.1) 1. 相対論的電磁気学 □2f ＝¶ 2tf / c2 + Ñ•(E ＋¶ t A ) 1.0 Maxwell の方程式（再掲） □2A ＝－ ¶ t E / c2 － ¶ t Ñf / c2 － Ñ2A 真空の誘電率： e0 真空の透磁率： m0 真空中の光速度： c m0J － Ñ×( Ñ×A ) 電荷密度： r ＝r (x , t ) 電流密度： J ＝J (x , t ) ÑÑ•A － Ñ2A 電場： E ＝E (x , t ) 磁場： B ＝B (x , t ) Ñ ＝ (¶ /¶x, ¶ /¶y, ¶ /¶z ) Ñ•E ＝r / e0 （Gauß） Ñ•B ＝ 0

Ñ×B － (1 / c2)¶E /¶t ＝ m0J （Ampère‐Maxwell） (1.0) Ñ×E ＋¶B /¶t ＝ 0 （Faraday） B ＝Ñ×A E ＝－ Ñf － ¶ t A

または (f , A ) を電磁 potential 、 □2 ≡¶ 2 / c2¶t 2 － Ñ2 として、上と同値な □2f ＝r / e0 +¶ t (¶ t f / c2 ＋Ñ•A ) □2A ＝ m0J －Ñ □2 f / c ＝ m0 cr － h ÑÑ f / c (1.1) A J A

1.1 Maxwell の方程式の Tensor 方程式化（Lorentz 変換不変性） [0] 電磁 Tensor F ： Newton 力 (0.48) が Lorentz 力によって与えられるとすれば、 4元力 f (0.45) の空間成分はその g 倍、従って (0.46) と併せて (f j ) ＝g q (E +v ×B ) （j ＝ 1 ～ 3） f 0 ＝ Su jf j / cg dx 0 /dt •dt /dt ＝dx 0 /dt ＝u 0 (1.2) これは、次のように書き替えられる。 ＝q Su jE j / c（u •(v ×B )＝0）

f ＝qFhu / c F ≡ 0 E x E y E z : 反対称 h ≡ － 1 (1.3) f m ＝qF mn (hu)n / c 0 cB z － cB y 1 0 cB x 1 0 1 f とu の反変性（従ってhu の共変性）から、F の反変性が帰結する。

11

[1] 電磁 Potential A m ＝ t( －f / c , A ) の共変性： 0.4[9.3] から Ñ×A m ＝e ÑA m ＝ 0 － ¶ y A z + ¶ z A y － ¶ z A x + ¶ x A z － ¶ x A y + ¶ y A x ＝ 0 － (¶ t A z + ¶ z f) / c (¶ t A y + ¶ y f) / c 0 － (¶ t A x + ¶ x f) / c 0 0 －B x －B y －B z ＝ehF th / 2c : 反変、従って A m : 共変 (1.4) 0 E z / c －E y / c 0 E x / c 0 [2] 電流密度 Vector J m ＝ t(cr , J ) の反変性： 粒子数束N の反変性 (0.59) と J m ＝ cqN (1.5) による。 これはまた、前項と (1.1)、及び 0.4[9.4] からも帰結する。 [3] Maxwell の方程式の Lorentz 変換不変性： Maxwell の方程式は、（E 、B の A による定義と併せて）共反性と整合する tensor 方程式 (1.1) と同値だから、Lorentz 変換によって保たれる。 そのことは、(1.3) からも直接確かめられる。 即ち ¶ n F mn ＝ t(Ñ•E , cÑ×B － ¶t E / c) ＝ t( r / e0 , cm0J ) ＝ cm0J m ¶ n e mnrsFrs ＝ 2¶ n F mn [E , cB / － cB , E ] ＝ 2 t(－ cÑ•B , Ñ×E + ¶t B ) ＝ 0 (1.6) Tensor 方程式（一つの基底に対する係数に関する、全ての項が同じ共反性を持つ方程式）は、係数が、Lm

n または Lmn

によって変換されること (0.36)、及び (Lmn ) と (Lm

n ) が互いに逆であることにより、Lorentz 変換によって保たれる。

[4] 4元 Green 関数： h を内積を与える計量 tensor とすると、Stokes の定理は ∫D Ñ•v ＝∫D －¶ 0v 0 +¶ jv j ＝∫¶ D －n 0v 0 +n jv j ＝∫¶ D n •v (1.7) と変形される。 また Green の定理は（v ＝j¶ mf または f¶ mj とし、□2≡－¶ m¶ m に注意して）

∫D j □2f － f □2j ＝∫¶ D n •(f¶ mj － j¶ mf ) (1.8) j 、¶ mj が無限遠で急速に0 に近付く時、Green 関数 G : □2G ＝ dx (x ) によって j ＝∫x ´G (x , x )□2j (1.9) G ＝ ±q(±(x 0 －x 0))(d(x 0 －x 0 ＋|x －x |) / 4p|x －x | （[8] (2.13)） (1.10)

[5] Lorenz Gauge での A : □2A ＝ m0J （[8] (0.11)）のJ による表現： 前項より A(x ) ＝ m0∫d(x 0 －x 0 －|x －x |)J (x ) / 4p|x －x | ) ＝ m0∫x J (x 0 －|x －x |, x ) / 4p|x －x | （Huygens の原理） (1.11)

12

1.2 Maxwell の方程式の Lorentz 変換不変性の帰結 ─ 諸物理量の変換 [0] 連続の方程式： (1.6) 第1式の4元的発散を取ると、F の反対称性によって cm0¶ mJ m ＝¶ m ¶ n F mn ＝ －¶ m ¶ n F nm ＝ －¶ n ¶ m F mn ＝ －¶ m ¶ n F mn ＝ 0 (1.12)

[1] 電磁場： F（(1.3)）の反変性により ¶ (cr ) /¶ (ct ) + Ñ•J

F ＝LF tL ＝ g －g b 0 E x E y E z g －g b －g b g 0 cB z － cB y －g b g 1 0 cB x 1 1 0 1 g bE x gE x g (E y －VB z) g (E z +VB y ) －gE x －g bE x cg (B z －VE y / c2) － cg (B y +VE z / c2) －E y － cB z 0 cB x －E z cB y － cB x 0 ＝ 0 E x g (E y －VB z) g (E z +VB y ) 0 cg (B z －VE y / c2) － cg (B y +VE z / c2) 0 cB x 0 (1.13) [2] 運動量・Energy Tensor ： 荷電粒子群の運動量・energy tensor (0.60) をTM

mn と 記すと、(0.59)、(0.62)、(1.3)、(1.5) 及び (1.6) より（粒子の生成は無いとして） ¶ nTM

mn ＝n 0f m ＝n 0qF mnun / c ＝F mnJn / c ＝ e0¶ l(F mnFn l + h mlFsn F sn / 4) (1.14) e0 F mn¶ l Fn

l ＝ e0(¶ l(F mnFnl) －Fn

l¶ lF mn) －Fn l(¶ lF mn +¶ nF lm) / 2 ＝Fn l¶ mF nl / 2

そこで電磁場運動量・Energy Tensor TEM 、及び全運動量・Energy TensorT を TEM

mn ≡ － e0(F mlFln + h mnFsl F sl / 4) T ≡TM +TEM (1.15)

と定めると、電磁場の energy・運動量密度、及び応力 tensor を得る： TEM00 ＝ (e0E 2 +B 2 / m0) / 2 TEM0j ＝ ce0(E ×B ) j TEMjk ＝ e0(－E j E k + djkE 2 / 2) + (－B j B k + djkB 2 / 2) / m0 (1.16) （[8]2 ～ 3頁、TEM ＝ － T に注意）。 また energy の保存則が成り立つ： ¶ nT mn ＝ 0 (1.17) (0.38)、(1.3) より Fsl F sl ＝ 2(－E 2 + c2B 2) F 0lFl 0 ＝－E 2 F 0lFl 1 ＝ c(E 3B 2 －E 2B 3) / 2 －(E ×B )1 等 F j lFl j ＝E j 2 － c2(B 2 －B j 2) F j lFl k ＝E jE k + c2B jB k 従って TEM00 ＝ e0(E 2 + (－E 2 + c2B 2) / 2) ＝ (e0E 2 +B 2 / m0) / 2 TEM0j ＝ ce0(E ×B ) j TEMj j ＝ e0(－E j 2 + c2(B 2 －B j 2) － (－E 2 + c2B 2) / 2) ＝ e0(－E j 2 + E 2 / 2 + c2(－B j 2 + B 2 / 2)) TEMjk ＝ e0(－E jE k － c2B jB k )

13

[3] Lorentz 力： (1.13) は ∥、⊥ をx 、(y , z ) 成分として、次のようにも書ける； E ＝E ∥ + g (E +V ×B ) B ＝B ∥ + g (B －V ×E / c2) (1.18) これと速度の変換則 (0.21) を併せて F ＝q (E + v ×B ) ((1－ v •V / c2)(E ∥ + g (E +V ×B )) + (v ∥－V +v /g )×(B ∥ + g (B －V ×E / c2))) / g (v ∥－V )×B +g (v ∥－V )•VE / c2 + v ×B ∥/g + v ×B － v •E V / c2

E ∥－ (v •VE ∥ + v •E V ) / c2 + g E (1－ v •V / c2 +(v ∥－V )•V / c2) ＝E ∥－ v •EV / c2 +g E (1－V 2 / c2) + (1－v •V / c2)g V ×B + g (v ∥－V )×B + v ×B ∥/g + v ×B ＝g (1－V 2 / c2)v ∥×B + v ×B ∥/g + v ×B ＝E ∥ + v ×B + g E (1－V 2 / c2) +g (1－V 2 / c2)v ∥×B + v ×B ∥/g － v •EV / c2

＝ (F ∥ + F /g － v •FV / c2) / (1－ v •V / c2) (1.19) [4] Joule 熱 h ≡J •E 及び Lorentz 力密度 k ≡rE +J ×B： (1.5)、(1.18) より

h ＝J ´•E ＝ (g (J ∥－Vr ) + J )•(E ∥ + g (E +V ×B )) ＝g (J ∥•E ∥ + J •E + J •(V ×B ) －Vr •E ∥) ＝g (J •E －V •(J ×B + rE )) ＝g (h －V •k ) (1.20) k ＝r E + J ´×B ＝g (r －V •J / c2)(E ∥ + g (E +V ×B )) + (g (J ∥－Vr ) +J )×(g (B －V ×E / c2) +B ∥)

g (rE ∥ + J ×B － (J ∥•E ∥ + J •E )V / c2) + g 2(rE －V •JE / c2 +rV ×B －V •J (V ×B ) / c2 + J ×B ∥ + J ∥×B －Vr×B +J •VE / c2 －rV 2E / c2) ＝rE + J ∥×B ＝g (k ∥ －hV / c2) + k (1.21)

従って (h / c, k ) は反変 vector となる。 [5] 電磁 Energy u ＝ (e0 E 2 ＋B 2 / m0) / 2 及び運動量密度 g ＝ e0E ×B： (1.18) より [5.0] u ＝ (e0E 2 ＋B 2 / m0) / 2 ＝ e0 / 2•(E ∥2 + g 2(E 2 + 2E •(V ×B ) + (V ×B )2)) V •(B ×E ) +V 2B

2 + (c2B ∥2 + g 2(c2B 2 － 2B •(V ×E ) + (V ×E )2/ c2))) V •(E ×B ) +V 2E

2/ c2) ＝g 2(e0 / 2•(E 2 + c2B 2) － 2V •(e0E ×B )) + e0 / 2•((1－g 2)E ∥2 +g 2b 2E

2) +1/ 2 m0•g 2b 2(－B ∥2 +B 2)

＝g 2(u －V •( g +S / c2)) －g 2b 2 / 2•(e0(E ∥2 －E 2) + (B ∥2 －B

2) / m0) (1.22) ＝ （[8] (0.13)） V •T•V / c2

[5.1] g ＝ e0E ×B (E ∥ + g (E +V ×B ))×(B ∥ +g (B －V ×E / c2)) ＝g (E ∥×B +E ×B ∥ + E •VE / c2 +B •VB ) +g 2(E ×B －E

2V / c2 －B 2V － (V ×B )•E V / c2))

(E ×B ) V •EE －V •E ∥E ∥ → V •(T +u ) －V •VV V •(T +u )•V /V 4 (E ×B )∥ － (2u / e0 －E ∥•E ∥)V / c2 +V • (E ×B )V / c2 － (u － T∥∥)• V / c2 +S ∥V 2/ c4

＝g (g + T∥ •V / c2) +g 2(g ∥+ (T∥∥•V －uV ) / c2) +V 2g ∥/ c2) (1.23) ≡VV T /V 2 － T∥∥ ≡VV •T•VV /V 4

[5.2] S ＝g (S + T∥ •V ) + g 2(S ∥ + T∥∥•V －uV +V 2S∥/ c2) (1.24)

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[5.3] T ＝ e0(E E + c2B B ) －u E ∥ + g (E +V ×B ) B ∥ +g (B －V ×E / c2) E ∥E ∥ ＝ (V •EV /V 2)(V •EV /V 2) ＝V •EE •VVV /V 4（+ c2B ∥B ∥）→ V •T•VVV /V 4（≡ T∥∥）+uVV /V 2 gE ∥(E －E ∥) ＝g (V •EVE /V 2 －V •EE •VVV /V 4) → g (VV T /V 2 +VVu /V 2 －V •T•VVV /V 4 －VVu /V 2) g (E －E ∥)E ∥ → g (TVV /V 2 －V •T•VVV /V 4)（≡ T^∥） （≡ T∥ ） g 2(E －E ∥)(E －E ∥) ＝g 2(EE －EEVV /V 2 －VVEE /V 2 +V •EE •VVV /V 4) → g 2(T +u － TVV /V 2 －uVV /V 2 －VV T /V 2 －VVu /V 2 +V •T•VVV /V 4 +uVV /V 2)（≡ T^ +u －VVu /V 2） gE ∥(V ×B ) +g (V ×B )E ∥+g 2(E (V ×B ) + (V ×B )E + (V ×B )(V ×B )) E (V ×B ) －E (V ×B ) (V ×B )A ＝B (V ×A ) +V (A ×B ) +V •(B ×A ) ＝ (V ×A )B + (A ×B )V + (A ×B )•V + [E / cB ] :＝ A(V ×B ) ＝V (A ×B ) +B (V ×A ) +V •(B ×A ) ＝ (V ×A )B + (A ×B )V + (A ×B )•V g (E ∥(V ×B ) －B ∥(V ×E )) ＝g (V •(B ×E ) －V (B ×E ) －V •(B ×E ) +V (B ×E )) → gV (E ×B ) → gVg g ((V ×B )E ∥ － (V ×E )B ∥)) → g S V / c2 g 2((V ×B )E － (V ×E )B ) → g 2(S ∥V － S ∥•V ) / c2 g 2(E (V ×B ) －B (V ×E )) ＝g 2(V •(B ×E ) －V (B ×E )) ＝g 2(V •( B ×E )∥ －V (B ×E )∥) → g 2(Vg ∥ －V •g ∥) g 2(V ×B )(V ×B ) ＝g 2(B (V ×(V ×B )) +V •(B ×(V ×B )) －V (B ×(V ×B ))) ＝ g 2(BB •VV －V 2BB +V 2B 2 － (V •B )2 －B 2VV +VV •BB ) TVV －uVV － TV 2 +uV 2 → －V •T•V → VV T / c2 ＝ T∥∥ +g (T^∥+ T∥ ) +g 2u + (1－g 2) /V 2（≡－g 2/ c2）•uVV +g 2(T^ + (TVV － TV 2 +VV T －V •T•V ) / c2) + g (Vg +S V / c2) +g 2(Vg ∥ －V •g ∥ + (S ∥V － S ∥•V ) / c2) － T^^b 2 + T∥∥b 2 ＝ T^ +g (T^∥+ T∥ +Vg +S V / c2) +g 2(T∥∥－uVV / c2 +Vg ∥+ S ∥V ) +g 2(u －V •g ∥－ (S ∥•V + V •T•V ) / c2)（≡u ）

＝ T^ +g (T^∥+ T∥ +Vg +S V / c2) +g 2(T∥∥ －uVV / c2 +Vg ∥+ S ∥V ) (1.25)

1.3 Lorentz 変換不変性の帰結 ─ 幾つかの特別な場合 [0] 棒磁石と導体輪の相対運動： a) 棒磁石による電場が生じ、導体輪に電流が流れる。 b) 電場は生じないが、導体輪に電流が流れる。 a) 棒磁石または導体輪に固定した系をS またはS 、 V b) それぞれでの棒磁石による場をE 、B 、E 、B 、 B J 誘導起電力を JE 、JE 、電流密度をJ 、J 、それらに よる磁場を JB 、JB とする。 図6. 棒磁石と導体輪の相対運動 先ず予備的な考察として： • 導体が中性であれば、a)、b) 共に、電荷の蓄積は無い。 • b) の場合、導体輪の中の正負電荷は運動方向に同じ動きをするから、合わせて、電流のその方向の成分は 0 。 • しかもこの動きは力学的作用によるもので、電場によるものではない。 従って運動方向の電場も 0 。 • しかしそれぞれの電荷に、磁場による Lorentz 力が輪の接線方向に働き、自由電子の移動、電流が生じる。 この時、 逆向きの電場も生じ、磁場、電流、電場は Ampère‐Maxwell の方程式を満たす。 以上から、以下が成り立つ：

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[0.0] E ＝ 0 J ＝ 0 JE ＝ 0 Ñ•JE ＝Ñ•(E + JE ) ＝r / e0 ＝ 0 0 JEy Ñ×B ＝¶ tE / c2 ＝ 0 ¶ tB ＝ － Ñ×E ＝ 0 Jy JEz (Ñ×JB )x ＝¶ t JEx / c2 + m0J x ＝ 0 Jz (1.26) [0.1] (1.18)、(1.26) 及びJ m の反変性（1.1[2]）より

E ＝ 0 JE ＝ 0 B ＝ B x JB ＝ JBx －gVB z g (JEy －V JB z) gB y g (JBy +V JE z / c2) gVB y g (JEz +V JB y ) gB z g (JBz －V JE y / c2)

J ＝L J ＝J (1.27)

[0.2] S に於ける Maxwell の方程式の成立（確認）： 先ず (0.43) より、微分演算の変換を書き下すと (¶ t , Ñ ) ＝ (g ¶ t + cg b ¶ x , g b / c•¶ t +g ¶ x , ¶ y , ¶ z ) (¶ t , ¶ x ) ＝g (¶ t +V¶ x , b / c•¶ t +¶ x ) これにより Ñ´•(E + JE ) ＝ (g b / c•¶ t +g ¶ x , ¶ y , ¶ z )g t(0, －VB z +JEy －V JB z ,VB y +JEz +V JB y ) ＝ g (Ñ•JE －V (Ñ×(B +JB ))x ) ＝ 0 Ñ´•(B + JB ) ＝g (b / c•¶ t + ¶ x )(Bx + JB x ) + g (¶ y (By + JB y ) + ¶ z (Bz + JB z ) + b / c•(Ñ×(E +JE ))x ) ＝g b / c•(¶ t (Bx + JB x ) + (Ñ×(E +JE ))x ) + g Ñ•(B + JB ) ＝ 0 ¶ t (B + JB ) ＝ g (－V (¶ y (By +JB y ) + ¶ z (Bz + JBz )) + ¶ t JB x ) － (Ñ×JE )x g 2(V ¶ x (By +JB y ) + ¶ t JB y + b 2¶ x JE z + b / c•¶ t JE z ) － (Ñ×JE )y －b 2(Ñ×JE )y ＝¶ x JE z +b 2¶ t JB y g 2(V ¶ x (Bz +JB z ) + ¶ t JB z －b 2¶ x JE y －b / c•¶ t JE y ) ¶ t (By +JB y ) ＝ g (－V (¶ y (By +JB y ) + ¶ z (Bz + JBz )) － (¶ y JE z － ¶ z JE y )) ＝ － Ñ´×(E + JE ) g 2(V ¶ x (By +JB y ) + b 2¶ t (By +JB y ) + ¶ x JE z + b / c•¶ t JE z ) g 2(V ¶ x (Bz +JB z ) + b 2¶ t (Bz +JB z ) － ¶ x JE y －b / c•¶ t JE y ) － ¶ x JE x Ñ´×(B + JB ) ＝ g (¶ y (Bz +JB z ) － ¶ z (By + JBy )) (Ñ×(B +JB ))x － g b / c•(¶ y JE y + ¶ z JE z ) ＝ ¶ z (Bx + JBx ) － g 2¶ x (Bz +JB z ) － g 2b / c•¶ t (Bz +JB z ) + g 2b / c•(b / c•¶ t JE y + ¶ x JE y ) g 2¶ x (By + JBy ) － ¶ y (Bx +JB x ) + g 2b / c•¶ t (By +JB y ) + g 2b / c•(b / c•¶ t JE z + ¶ x JE z ) 1+g 2b 2 (Ñ×(B +JB ))z + g 2b 2¶ x (By +JB y ) g 2 / c2•¶ t JE z + m0J z 0 ＝¶ t (E + JE ) / c2 + m0J g 2 / c2•((V ¶ x + ¶ t )(－V (Bz +JB z ) + JE z )) + m0J y g 2 / c2•((V ¶ x + ¶ t )(V (By +JB y ) + JE z )) + m0J z

[1] 平面電磁波： k を実共変 vector として、次の形の電磁 tensor を持つ電磁波 F mn ＝f mnexp(ik •x ) k 0 ＝w / c w : 角振動数 c : 速度 (1.28) F mn を Maxwell の方程式 (1.6) に代入すると ¶ n F mn ＝ iknF mn e mn rsFrs ＝ 2 sign(e mn rs)Frs であるから kn f mn ＝ 0 kmfnl +knflm +klfmn ＝ 0 k •k ＝－k 02 +k 2 ＝k m (kmfnl +knflm +klfmn ) /fnl ＝ 0 f mnfmn ＝f mn (kmfnl +knflm +klfmn ) /kl ＝ 0 ＝ 0 (1.29)

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一方、波の速度をV 、周期をT とすると、各時点に於いて波面は k jxj ＝一定 と表されるから V∥(kj ) k 0cT ＝ 2p ＝|k|VT 従って k 0 ＝ 2p / cT ＝w / c V ＝ ck 0 /|k|＝ c (1.30) 次に k •l ＝－1 なる任意のl について 0 ＝ (kmfnl +knflm +klfmn )l l 即ち fmn ＝kmfnl l l +knflm l l an k •a ＝ 0 逆に任意の k •a 0 ＝ 0 なる a 0 とl について fmn ＝kman －knam a ＝a 0 +lk は (1.29) を満たす。 従ってf には l の実虚部に応じる二つの自由度が有る。 特に a が実数： 直線偏光 Re(a ) Im(a )： 円偏光 また (1.29) がf の実虚部それぞれについて成り立つので、F の実部についても成り立つ： Re(F mn ) ＝ Re(f mn ) cos(k •x ) － Im(f mn ) sin(k •x ) Re(F mn )Re(Fmn ) ＝ 0 Re(F mn )Re(e mn rsFrs ) ＝ 0 (1.31) 2(c2B 2 －E 2) 4E •B

更に E ＝ cB ×k /k 0 E 2 ＝ c2B 2 k ＝k 0 を併せて k B k •E ＝kn F 0n ＝ 0 (－k 0E + cB ×k )j ＝kn Re(F jn ) ＝ 0 (1.32) 即ち、波の進行方向k に対してE 、B は互いに直交する。 運動量•Energy Tensor については (1.15)、(1.29) と (1.31) より

T mn ＝ e0Re(F ml)Re(F nl) ＝

e0(|Re(a)|2 cos2(k •x ) +|Im(a)|2 sin2(k •x ) － Re(a)•Im(a) sin(2k •x ))k mk n (1.33)

Re(F ml)Re(F nl) ＝ ((k m Re(a l ) －k l Re(a m )) cos(k •x ) － ((k m Im(a l ) －k l Im(a m )) sin(k •x ))× ((k n Re(a l ) －k l Re(a n )) cos(k •x ) － ((k n Im(a l ) －k l Im(a n )) sin(k •x )) ＝ (k mk n|Re(a )|2 + Re(a •k ) + k •k ) cos 2(k •x ) － (k mk n (Re(a )•Im(a ) + Re(a •k ) + Im(a •k ) + k •k ) sin(2k •x ) + (k mk n|Im(a )|2 + Im(a •k ) + k •k ) sin 2(k •x )

空間平均は T ～mn ＝ e0((|Re(a)|2 +|Im(a)|2) / 2)k mk n (1.34) これと T mn（＝n 0p mp n /m 0 、(0.60)）は、下の比例関係によって同一の構造を持つ： p m ＝xk m（x ＝h / 2） （[2] 122頁） (1.35) [2] 運動点電荷による電磁場： 経路x (t ) の電流密度 vector（1.1 [2]）

J ＝q d3(x －x (t ))(c, v (t )) d3(x －x (t ))u (t ) /g ∫d4(x －x (t ))u (t )dt (1.36) を (1.11) に代入して ＝∫d(t －t )□d t ＝∫d(t (t )－t (t ))□dt /dt •dt

A(x ) ＝ m0q∫d4(x 0 －x 0(t ) －|x －x |, x －x (t ))u (t ) / 4p|x －x |dtdx ∫d(x 0 －x 0(t ) －|x －x (t )|)u (t ) /|x －x (t )|dt ＝u (t *) /|x －x (t *)||u 0(t *) － (x －x (t *))•u (t *) /|x －x (t *)||

＝0 ＝ m0qu (t *) / 4p•u (t *)•(－Dx ) x －x (t *) ＝x 0 －x 0(t *) ＞0（(0.8)） (1.37) Dx •Dx をx m について微分し 0 ＝Dx •¶ m Dx ＝Dx •(dm _ －¶ mt *u (t *)) ＝ (－|+)(x 0|j －x 0|j(t *)) －Dx •u (t *)¶ mt * 即ち

¶ mt * ＝ (－|+)(x 0|j －x 0|j (t *)) /Dx •u (t *) (1.38) xm －xm(t *) ＝ (Dx )m

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上の二式と (1.4) より下の電磁 tensor F の表式を得る； Fmn ＝ c(¶ mAn －¶ n Am) ＝q / 4pe0•Ñ×(u(t *) /u(t *)•(－Dx )) a ≡¶u /¶t * として

¶ m n ＝ (an(t *)¶ mt *u(t *)•(－Dx )－un(t *)(a(t *)¶ mt *•(－Dx )+u(t *)•(u(t *)¶ mt * － (dm _ )))) / (u(t *)•Dx )2 ＝ (an(t *)(Dx )m u(t *)•(－Dx )+un(t *)(a(t *)(Dx )m•Dx － un(t *)u(t *)•(u(t *)(Dx )m － (dm _ )u(t *)•Dx ))) / (u(t *)•Dx )3

＝q / 4pe0•(((Dx )m((un(t *)a(t *) －an(t *)u(t *))•Dx + c2 un(t *))－un(t *)um(t *)u(t *)•Dx )) － [m /n ] / (u(t *)•Dx )3 (1.39) 注意0： (1.37) は Li énard / Wiechert Potential（[0] 432頁、[8] (2.32)）に等しい。 先ずt * を定める式 x 0 －x 0(t *) －|x －x (t *)|＝0 が、対応する c(t －t ) －|x － r (t )|＝0 に等しいことに注意して t *＝t 。 次に [8] (2.32) を変形して、(1.37) を得る； A(x , t ) ＝ m0qv / 4ps ＝ m0cq / 4p•v (t ) /(cR (t ) －R (t )•v (t )) v 0c(t －t )＝v 0(x 0 －x 0) v m(t ) / (－v m(t ))•R m(t ) ＝ m0cq / 4p•u(t ) /u(t )•(－Dx ) しかしこれは、(1.37) の計算が (2.31) 及び (2.32) の場合を4元化したものに過ぎないから、驚くには値しない。

(1.39) より電磁場や Poynting Vector を得る； E ＝q ((n － b )(1－ b 2)R )＋(n×((n － b )׶ t b ))R 2 / c) / 4pe0s 3 B ＝n ×E / c S ＝q 2|n×((n － b )׶ t b )|2n / (4p)2e0cR 2(1－ n •b )6 R (1－ n •b ) (1.40)

b → 1 の時、輻射は粒子の進行方向を中心に、角度 g －1 の範囲に集中する。 これは 相対論的な光行差（(0.22)）の現れに他ならない。 （g －2 ＝1－b 2 ～ 1－b ～ 1－ cosq ～ sin2q ） （[0] 433‐5頁、[2] 136‐8頁、[8] (2.33)、(2.34)） [3] 等速直線運動電荷による電磁場： 点電荷または自由電子静止系をS とする。 [3.0] 点電荷の（前項でa ＝ 0 とした特別な）場合； S に於ける電磁場 E ＝qR / 4pe0R 3 B ＝ 0 (1.41) を、(1.18) により観測系S に変換すると E ＝E ∥ + g E ＝vv •E /v 2 +g (E －vv •E /v 2) ＝q(g + (1－g )vv /v 2)•R / 4pe0R 3 －gvt +g R ∥+R ＝qg (R －vt ) / 4pe0R 3 (g + (1－g )vv /v 2)•g (－vt +R ∥) +g (R －R ∥) g (－vt +R ∥) (1.42) ＝q (R －vR / c) / 4pe0g 2s 3 （R 2 ＝g 2(b 2R 2 － 2bRR ∥+R ∥2) +R 2 －R ∥2 ＝g 2(R 2 － 2bRR ∥+b 2R ∥2)） s 2 B ＝g v ×E / c2 v ×E ＝q m0v ×R / 4pR 3 v ×(－gvt +g R ∥+R ) ＝v ×R ＝ m0qg v ×R / 4pR 3 ＝ m0qv ×R / 4pg 2s 3 (1.43) 注意 1： S に於いて存在しなかった磁場が、S に於いて、しかも電場の変換として 現れるのは、相対論的効果に他ならないこと、及び電場と磁場が独立な概念ではなく、 本質的には同根であることを示している。

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[3.1] 中性導体内の定常電流の場合； 電流方向をz 軸とする x 導体静止系S に於ける正・自由負電荷の密度を±l とする。 E

R －vR / c ＝ (x , 0, －z) s 2 ＝x 2 +z 2 － ((z － [z ])x /R )2 vR / c s

負電荷による電場は、(1.42) より z R E ＝ －l / 4pe0g 2∫(x , 0, －z ) / (z 2 + x 2 /g 2)3 / 2dz 従って [z ] Ex ＝ －l / 4pe0x [z / (z 2 + x 2 /g 2)1 / 2]－ ∞ ∞ ＝ －l / 2pe0x Ey ＝Ez ＝ 0 (1.44) 図7. 定常電流による場

Ex もまた正電荷による電場と相殺し、全電場は0 となる。 磁場は、上と同様に (1.43) より By ＝ － m0lv / 2px Bx ＝Bz ＝ 0 (1.45) 一方、系 S に於いて正負電荷密度は、それぞれ g 、g －1 倍となる（1.1[2]）から、 差し引き密度 (g －g －1)l ＝b 2g l の正電荷が存在することになる。 従って E ＝b 2g l (1, 0, 0) / 2pe0x B ＝ － m0g lv (0, 1, 0) / 2px （[7](1.3)、(2.11)） (1.46) また導体に対して静止している点電荷q に及ぼす Lorentz 力は F ＝q (0 + 0×B ) ＝ 0 F ＝q (E －v ×B ) ＝ 0 (1.47) 注意 2： S に於ける電荷密度の増減（その源は、導体方向の長さの伸縮に在る）を 無視すると、電磁場は S の場合と変わらず、電荷 q が速度 －v を得るので、0 なら ざる Lorentz 力が現れるという見掛けの逆説が生じる。 2. 付記 2.0 Maxwell 理論の論理的構造、併せて物理学の分かり難さについて： 特に Maxwell の 方程式の定式化の過程に見られる理論内部の、また Gallilei 変換との矛盾、数学的演繹と、物理学的洞察ないし特殊例 からの一般化の混淆を題材として記す。 2.0.0 諸法則の導出： 参照頁は文献 [0]、〈 〉内は資料 [7] を指す。 [0] 次節以降で検討する諸概念と法則を列挙して置く。 [0.0] 概念： 電荷 q 電荷密度 r 電流密度 J 電場 E 電位 f 磁場 B 磁束 F Lorentz 力場 L [0.1[ 物理定数： 真空の誘電率 e0 真空の透磁率 m0 真空中の光速度 c [0.2] 変数： 位置 x 時刻 t 観測系 K のK に対する速度 u [0.3] 法則： E (x )＝q0(x －x0) /4pe0|x －x0|3（Coulomb） Ñ•E ＝r / e0（Gauß） Ñ×E ＝0 B (x )＝m0q0u0J 0×(x －x0) /4p|x －x0|3 （Biot-Savart） Ñ•B ＝0 Ñ×B ＝m0J 0 x ＝x －ut（Galillei 変換） L ＝E + u ×B ＝E ＝L （Lorentz 力とその G-不変性） Ñ•J + ¶ t r ＝0（電荷保存、連続の方程式） Ñ×B － ¶ t E / c2 ＝m0J（Ampère-Maxwell） Ñ×E + ¶ t B ＝0（Faraday）

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[1] Coulomb の法則から Gauß の法則と Ñ×E ＝0 が（31、56‐7〈4 〉頁）、Biot-Savart の法則から Ñ•B ＝0 が（176〈10 〉頁）、また両者から Ampère-Maxwell の法則が（287〈18 〉頁）、純粋に数学的に演繹される。 [2] Lorentz 力の G-不変性を仮定し、静磁場（磁石）と等速運動する導体輪（資料 [7]、図 9）に適用すると、Ñ•B ＝0 と併せて Faraday の法則（の一つの特殊な場合）を得る。 文献 [0] の論法は次の通り（240‐1、271‐2〈18 〉頁）： [2.0] 磁場内の運動導体片に働く Lorentz 力は、自由電子を移動させ、輪が開いていて電流が無いならば、両端間の電位 差と均衡する。 即ち静止磁場系K に於いて － Ñf + u ×B ＝0 (2.0) しかし輪を閉じれば電流が生じ、上式左辺は相当する電場と見なせる。 また、その輪に沿う積分は、u 方向の成分が無 いので、電流に沿う積分、即ち起電力 ℇ を与える。 更に第一項の積分（∮dx •Ñf ＝∮df ）が0になるから ℇ ＝∮dx •(u ×B )＝∮(dx ×u )•B ＝∫側面B •ndS /dt ＝(∫側面B •ndS ) /dt ＝(∫S (t ) －∫S (t +dt ) ) /dt ＝－ d (∫S (t ) ) /dt ＝－∫S (t ) (dB •ndS ) /dt ＝－∫S (t ) ¶ t B dS （輪内を貫く磁束の変化率） (2.1) [2.1] Lorentz 力のG-不変性から磁場も不変である。 ∵）静止導体系K に於ける電磁場を E 、B として： E ＝L ＝L ＝E + u ×B 逆に E ＝E － u ×B 従って B ＝B (2.2) これらと計量（積分）の不変性を併せると、起電力と磁束変化率の不変性を得る。 [2.2] 然るに (2.1) より両者は、K に於いては等しく、従ってK に於いても等しい。 即ち ∫S (t ) (Ñ×E )dS ＝∮dx • E ＝－∫S (t ) ¶ t B dS 従って Ñ×E + ¶ t B ＝0 (2.3) [3] 批判： 上の論法は静磁場の等速運動という特殊な場合に限られ、また「見なし電場」[2.0] のような物理的洞察や、 起電力・磁束に訴える等の迂回を含む。 一般の変動磁場を扱い、且つ Lorentz 力の不変性のみに依拠する、より直截 な論証を試みる。 先ず任意の所与の変動磁場 B を、任意の所与の一時空点に於いて、¶ t B が同じ値を取るような、 等速静磁場で置き換え（同じB で表し）て置こう。 簡単のために z 軸をu 方向に取ると u ×B ＝t(－B y , B x , 0)u ¶ t (u ×B )＝Ñ(u ×B )•u ＝t(－¶ z B y , ¶ z B x , 0)u 2 (2.4) (B x , B y ) がz 軸を中心に円対象ならば、B z の如何に関わらず（即ちB が不均一であっても）各同心円上で u ×B は 一定、空間の等方性から f も一定である。 従って（K の静止点を考えて） ¶ t B ＝u •ÑB ＝ －Ñ×(u ×B ) u ×B ＝u ×B ＝L ＝L ＝E 従って各同心円 S について ∫S ¶ t B dS ＝∫S (－ Ñ×E )dS (2.5) 従ってまた、微小な同心扇形内の積分も同一であるから、(2.3) を得る。 [4] 注意3： 前項のB について、更に (B x , B y ) が z に依らなければ、電流は各同心円上で定常である。 逆にB z が 一定ならば、(B x , B y ) の如何に関わらず磁束の変化は無く、電流は流れない。 この時二つの場合が有り得る： [4.0] (u ×B )•dx ＝0 即ち (B x , B y )⊥(x , y )： 磁力線はz 軸の回りに同心円を描く。 [4.1] (u ×B )•dx ≠0： 導体輪上に u ×B と相殺する f が生じているだろう。 しかし K では前者は 0 であるから L ≠L ´。 この事実をどう理解すべきか？ 更に簡単に B y ＝B z ＝0 とし、y 軸上の導体棒を考える。 静止している 棒を、速度が u に達するまで加速する。 その時未だ棒内に自由電子の流れが有るならば、それによる抗力を打ち消し u を保つ力を、(2.0) の状態が実現し、電流が止まるまで加える。 この力の為す仕事は、運動 energy と Joule 熱を差し 引けば、f による energy として蓄えられている筈である。 この状態をK で観測すると、この energy が解放される まで過渡的な電流が流れ、それによって棒は逆方向に動き、始めの静止状態に戻る。 しかし当の状態は K で生じ得る のか？ K に於いては磁場は不変なのだから、終始、何も起きなかったとも考えられる。 仮に電子が動いたとしても、 それを抑えるように導体が動くだろう。 どちらが本当か？ どちらも本当でないのか？ （そもそもこの場合、K の K に対する運動は等速でないから、両者に於いて物理法則は同じではないのである。 一般相対論の世界？！）

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[5] K に於ける Faraday の法則 (2.3)、 Ñ•B ＝0、 B ＝B ´ を併せて、K に於ける Faraday の法則を得る。 即ち Faraday の法則はG-不変である。（290‐1〈19 〉頁） [6] 電荷の総量がG-不変とすれば、計量の不変性と併せて、電荷密度も然り。 また下記が成り立つ（298〈20 〉頁）： ¶ t r ＝¶ t r + u •Ñr J ＝ J － r u (2.6) [7] 前項から電荷保存の方程式がG-不変性が導かれる。（298〈20 〉頁） [8] しかし Lorentz 力と電荷の G-不変性を仮定する限り、Gauß の法則と Ampère-Maxwell の法則は、G-変換に よって保存されない。（299〈20 〉頁）

2.0.1推論図： 前節の論証を、論理・数学的な依存関係として纏める。

Gauß Coulomb Ñ×E ＝0 ∃f (E ＝ － Ñf ) Coulomb Ampère-Maxwell Biot-Savart Ñ•B ＝0 等速運動静磁場に 静磁場内を等速運動する点 於ける Faraday Faraday のG-不変性 G-不変性： Lorentz 力 に於いて u ×B ＝E B ＝B ¬ Gauß ¬Ampère-Maxwell Faraday 電荷 r ＝r ¶ t r ＝¶ t r + u •Ñr 電荷保存則のG-不変性 J ＝ J － r u 磁場の局所的時間変動 ～ 静磁場の等速運動

2.1 2次元 Tensor と添字に対する操作の行列表現 転置 t _： 2個の添字の、それぞれの縦位置を変えない交換 共反性の反転 h _（ _h ）； 第1（2）添字の 公理： T mn ≡T ≡ T 00 T 0k tT ≡T nm ＝ T 00 T j 0 hT ≡Tm

n ＝ －T 00 －T 0k Th ≡T mn ＝ －T 00 T 0k (2.7) T j 0 T jk T 0k T k j T j 0 T jk －T j 0 T jk 定理： t t _ ＝hh _ ＝ _hh ＝ 1 th _ ＝ (t _ )h t( _h ) ＝h (t _ ) h ( _ h ) ＝ (h _ )h 特に反対称的 tensor（例えばF ）については tF ＝ －F (2.8) 式 (0.40) は、上の規約に従っている。 また (0.36) の tK も、 F ＝(F mn ) hF ＝(Fm

n ) (Km

n ) と書いてよい。(0.36) 第1式や h －1Lh ＝ tL－1 という tF ＝(F nm ) (tF )h ＝(F nm )＝－Fh L 固有の性質は、この規約の適用と独立である。 Fh ＝(F mn ) hFh ＝(Fmn ) （(0.19) を用いている。） h tF ＝(Fn

m )＝－hF h (tF )h ＝(Fn m )＝－hFh

図8. 反対称的 Tensor F に対する操作

（2011.12.31）

21

報告要旨

19 世紀末、電磁気学は解決困難な問題に直面し、深刻な危機に陥っていた。 即ち

Maxwell の方程式と Galilei 変換、従って Newton 力学との矛盾、電磁現象が波動で

あり、その媒質（Ether）の遍在を措定するとして、それは何か、通常の物質の運動に

伴って動くのか否か、然りとすれば、相対性原理は否定される（光速は可変である）の

か、等々の疑問である。

本稿は先ず、この状況の展開と結末、特に Maxwell の理論の論理的構造と内在する

困難の分析、解決のための様々な試み、Ether 説の破綻と光速不変性の発見について

記す。 主部は、逐次加えられる数学的・物理学的仮定によって明確に区別される四つ

の段階を追って述べる：

第 1 は光速不変性と、それのみから導かれる驚くべき結果、同時性の相対化、運動

体の長さの収縮、時間の遅れ、双子の逆説等、

次に時空の（Lorentz）変換が、線型性と空間の等方性という単純・自然な条件から

一意的に定まること、及びそれに基づく相対論的運動学の確立、

第 3 は時空 4 元 vector としての力の満たすべき第一原理（運動の法則）の要請、

運動量と energy の統一、それらの保存則の応力 tensor による定式化等を骨子と

する Newton 力学の相対論化、

後は Lorentz 力の 4 元力化、電磁 tensor の導入、電磁 potential と電荷・電流 vector の共変性による Maxwell の方程式の再定式化、及び d'Alembert 操作子の 共変性を併せて確立される Lorentz 変換不変性、更に諸物理量の変換則と幾つかの

重要な帰結、である。

記述の完結性のために、計算は詳細（細字部分）に至るまで全て示したが、例会では

これらは省略し、概念の位階と相互の関係、理論の論理的構造、その成立過程に於ける

物理的洞察（飛躍）と演繹の別、等を焦点に置く。

（2012.12. 5）

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補足説明 電磁気学の法則

• 基礎概念 基礎概念 ::= 電気の基礎概念 | 磁気の基礎概念 | 電気・磁気の相互作用 電気の基礎概念 ::= 電荷 | 電流（運動電荷） | 電場 | 電位 | 電場が電荷に作用する力 磁気の基礎概念 ::= 磁気双極子 | 磁場 | 磁場が磁極に作用する力 相互作用 ::= 電流の生成する磁場 | 磁場が電流に作用する力 • 記号 真空の誘電率： e0 真空の透磁率： m0 真空中の光速度： c 電荷： q 電荷密度： r 電流密度： J 電場： E 磁場： B Lorentz 力密度： L（≡rE + J ×B ） Ñ ≡ ¶ /¶x Ñ•E (x ) ≡ ¶ /¶x • Ex ≡¶Ex /¶x +¶Ey /¶y +¶Ez /¶z ¶ /¶y ¶ /¶y Ey ¶ /¶z ¶ /¶z Ez Ñ×E (x ) ≡ ¶Ez /¶y －¶Ey /¶z 等 ¶Ex /¶z －¶Ez /¶x ¶Ey /¶x －¶Ex /¶y E • c ― 1 の精度で成立する近似法則 Coulomb： E (q0, x0, x ) ＝(q0 / 4pe0)(x －x0) /|x －x0|3 Graßmann / Biot‐Savart： q0 dB (J , x , x ) ＝ (m0 / 4p)J dS dx ×(x －x ) /|x －x |3 • J とr の定義から直ちに帰結する法則 電荷保存（連続）の方程式： Ñ•J (x , t ) + ¶r (x , t ) /¶t ＝0 JdSdx • 第一原理： Maxwell の方程式 J dS dx Ñ• E (x ) ＝r (x ) / e0 （Gauß） Ñ• B (x ) ＝0 Ñ×E (x ) + ¶B (x ) /dt ＝0 （Faraday） dB Ñ×B (x ) － (1 / c2)¶E (x ) /¶t ＝m0J (x ) （Ampère‐Maxwell）

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Tensor 解析についての準備 •（実R｜複素C ）係数n 次元線型空間 X 基底 { e 0 ,•••, e n _ 1 } 双対空間 X * : X → R｜C 双対基底 { e 0,•••, e n ― 1 } e nem ＝eme n ＝ dmn e 0 e 0 ••• e n _ 1 ＝1 • (p , q ) 型 tensor 空間 X Ä•••ÄX ÄX *Ä•••ÄX * p q e n ― 1 基底 { em1 Ä•••Äemp Ä e n 1Ä•••Äe nq } •••Ä(ax +by )Ä••• ＝a (•••Äx Ä•••) + b (•••Äy Ä•••) （直積との違い！） T ≡ T m1•••mpn 1•••nq ≡a m1•••mpn 1•••nq em1 Ä•••Äemp Ä e n 1Ä•••Äe nq ≡ (a m1•••mpn 1•••nq ) Einstein の規約： 一つの項の中に現れる同じ添字については、積和を取る。 • 線型写像 K : X → X 双対写像 K * : X * → X * K e 0 ＝ K e 0 e 0 ＝ K * e 0 K *( x *) ＝x * º K X → X K *( x *) x * e n _ 1 e n _ 1 e n ― 1 e n ― 1 R｜C e n ≡e n* を第3式に代入し、( em ) に（関数の意味で）適用すると [K *( e n )]( em ) ＝ [( e n ) º K ]( em ) これを行列の演算に書き直せば (K *sn ) e 0 e 0 ••• e n _ 1 t(Kr

m ) ― 1 ＝ e 0 e 0 ••• e n _ 1 従って 1 (K *nm ) ＝ t(K mn ) e n ― 1 e n ― 1

• Tensor としての係数 vector または行列の変換 •• a nen ＝a me m ＝a mK m nen 即ち t(a n ) ＝ t(a m )(K mn ) (a m ) ＝ t(K mn ) ― 1(a n ) (a m ) ＝ (L mn )(a n ) (K *nm ) ― 1 ＝ ≡ (L mn ) 共変または反変 vector、tensor：(K mn ) または (L mn ) に従って変換

•• a rs er Äe s ＝a mn e m Äe n (a rs ) ＝ t(Kmr )(a mn )(K *sn ) ― 1 (a mn ) ＝ t(Km

r ) ― 1(a rs )( K *sn ) t(er )(a rs ) Ä (e s ) ＝ t(e m )(a mn ) Ä (e n ) (L mr ) (Ln

s ) ― 1 ＝ t(Kns ) ≡ (K sn )

(a mn ) ＝ (L mr )(a rs )(K sn ) 同様に (a mn ) ＝ (L mr )(a rs )(L s

n ) (a mn ) ＝ (Kmr )(ars )(L s

n ) (a mn ) ＝ (Kmr )(ars )(K sn )

積和による、残る添字の共反変性の保存 T mrw r ＝L mnT n sL s

rKr lwl t(L rs ) ＝ (Krs ) ― 1 ＝L mnT n s dslwl ＝L mnT n sws

• 特に h ≡ (hmn ) ≡ － e 0 Äe 0 + S e i Äe i (h mn ) ≡ － e 0Äe 0 + S e i Äe i について •• h： (0.8) より txhx ＝ (－x 0, x 1, x 2, x 3) x 0 ＝ tx hx ＝ tx tL hLx h ＝ tLhL 対称、共変、 h ― 1 ＝h x 1 Lh ― 1 tL ＝h ― 1 従って h ＝Lh tL tL ― 1 ＝h ― 1Lh x 2 tL ― 1hL ― 1 ＝h また ＝Lh ― 1tL ≡ (h ― 1) ＝h 即ち反変 x 3

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•• 添字の上げ下げ： hmrT rs ≡Tms Tm

shsn ≡Tmn h rmTmn ≡T rn T rnh ns ＝T rs •• 正当性 ••• 共反変性との整合性： 例えば a rs（反変）に対して amn ≡hmr a rshsn は共変 ••• h 自身の定義との整合性： 例えば hmn ≡hmr h rshsn drn ＝hmn ••• L（または K ）の転置と逆の適正な添字： h ― 1Lh ＝ tL ― 1 は、行列の演算と しては (hmr )(L rs )(h sn ) ＝ (Lm

n )、 右辺の添字は、下記に照らして、適切である； (L mr )(L rn ) ― 1 ＝ (dmn ) だから、 (L rn ) ― 1 を ((L ― 1) rn ) と書くのは自然、また t(L mn ) を ((tL)nm ) と書くのも当然である。

運動点電荷による電磁場（Li énard / Wiechert Potential）

遅延効果： c(t －t (t *)) ＝x － x (t *) A (t , x ) 電流： J (x )＝q d3(x －x (t ))(c, v (t )) s ＝R －k ＝R － v •R / c 電磁 potential： A(x ) ＝ m0q u (t *) / 4pg s R ＝x － x (t *) ＝ －u (t *)•Dx / cg c ＝ ∞ であれば g ＝1 h (t *) ＝Rv /c k ＝h •R /R t ＝t (t *) s ＝R A(x ) ＝ m0q u (t ) / 4pg s v (t ) q, (t *, x (t *)) 即ち Coulomb ∧ Biot-Savart によるのと一致。 静磁場内の等速運動導体棒 B + B u ×B u Ñf Ñf ＝J /g J ×B －

磁場静止・導体運動系 導体静止・磁場運動系

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動機 CAD Data Model の考察から設計論、設計論から科学哲学へ •（物質的対象の論理・数学的把握に照らしての）自然科学と設計・製造の並行性、及び （方法論的反省としての）論理理実証主義的な科学哲学と形式主義的な設計論の並行性 自然科学 解釈 理想化された世界 ⊃｛ 理想化された観測事実 ｝ （数学的演繹を伴う）（もう一つの Model） （思考実験の結果） 理論 Abduction （法則の体系） 抽象化・概念化 解釈 実世界（Model）⊃｛ 観測事実（実験結果）｝ 設計・製造 解釈＝設計 設計解 ⊃｛ 個別・断片的構造・性質・挙動 ｝ （数学的演繹を伴う）（言語的実現） 要求仕様 Abduction 製造 抽象化・概念化 解釈 製品 ⊃｛ 個別・断片的構造・性質・挙動 ｝ （物理的実現） （Model） • 科学哲学への関心から科学そのものの学習へ 科学を哲学的に論ずるには、科学自体についての正確な知識・理解が不可欠。 • 更に科学史の学習へ ‘Abduction’の考察、科学的概念の生成・発展の理解のために。 • 何故電磁気学か？ •• 複雑で興味深い論理的構造、Galilei 変換、従って古典力学との矛盾 •• 矛盾の解消： 特殊相対性理論の契機 •• 相対性理論と量子論（科学哲学と科学史に於いて特権的な地位に在る）の学習の ために必須