Date post: | 02-Jun-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | jai-kumar-kaushil |
View: | 214 times |
Download: | 0 times |
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 1/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 2/338
Please
note
that
all
materials
on
this blog are
for
in
educational purposes only. If you like them and ca
,please
purchase
the
materials
in
order
to
supportworks.
These
Books
on
this
blog
are
only
the
previ
works
to
help
you
to
purchase
these
books.Note t
are
copyright
protected
materials
and
don’t
misus
not responsible for any judicial case if falls upon yo
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 3/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 4/338
1300 Math Formulas
fp_k VVQVNMTTQN
`çéóêáÖÜí « OMMQ ^KpîáêáåK ^ää oáÖÜíë oÉëÉêîÉÇK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 5/338
i
qÜáë é~ÖÉ áë áåíÉåíáçå~ääó äÉÑí Ää~åâK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 6/338
ii
Preface
qÜáë Ü~åÇÄççâ áë ~ ÅçãéäÉíÉ ÇÉëâíçé êÉÑÉêÉåÅÉ Ñçê ëíì-
ÇÉåíë ~åÇ ÉåÖáåÉÉêëK fí Ü~ë ÉîÉêóíÜáåÖ Ñêçã ÜáÖÜ ëÅÜççäã~íÜ íç ã~íÜ Ñçê ~Çî~åÅÉÇ ìåÇÉêÖê~Çì~íÉë áå ÉåÖáåÉÉêáåÖIÉÅçåçãáÅëI éÜóëáÅ~ä ëÅáÉåÅÉëI ~åÇ ã~íÜÉã~íáÅëK qÜÉ ÉÄççâÅçåí~áåë ÜìåÇêÉÇë çÑ Ñçêãìä~ëI í~ÄäÉëI ~åÇ ÑáÖìêÉë Ñêçã
kìãÄÉê pÉíëI ^äÖÉÄê~I dÉçãÉíêóI qêáÖçåçãÉíêóI j~íêáÅÉë~åÇ aÉíÉêãáå~åíëI sÉÅíçêëI ^å~äóíáÅ dÉçãÉíêóI `~äÅìäìëIaáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåëI pÉêáÉëI ~åÇ mêçÄ~Äáäáíó qÜÉçêóKqÜÉ ëíêìÅíìêÉÇ í~ÄäÉ çÑ ÅçåíÉåíëI äáåâëI ~åÇ ä~óçìí ã~âÉÑáåÇáåÖ íÜÉ êÉäÉî~åí áåÑçêã~íáçå èìáÅâ ~åÇ é~áåäÉëëI ëç áíÅ~å ÄÉ ìëÉÇ ~ë ~å ÉîÉêóÇ~ó çåäáåÉ êÉÑÉêÉåÅÉ ÖìáÇÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 7/338
iii
Contents
1 krj_bo pbqpNKN pÉí fÇÉåíáíáÉë 1 NKO pÉíë çÑ kìãÄÉêë 5 NKP _~ëáÅ fÇÉåíáíáÉë 7 NKQ `çãéäÉñ kìãÄÉêë 8
2 ^idb_o^OKN c~ÅíçêáåÖ cçêãìä~ë 12 OKO mêçÇìÅí cçêãìä~ë 13 OKP mçïÉêë 14 OKQ oççíë 15 OKR içÖ~êáíÜãë 16
OKS bèì~íáçåë 18 OKT fåÉèì~äáíáÉë 19 OKU `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~ë 22
3 dbljbqovPKN oáÖÜí qêá~åÖäÉ 24 PKO fëçëÅÉäÉë qêá~åÖäÉ 27 PKP bèìáä~íÉê~ä qêá~åÖäÉ 28
PKQ pÅ~äÉåÉ qêá~åÖäÉ 29 PKR pèì~êÉ 33 PKS oÉÅí~åÖäÉ 34 PKT m~ê~ääÉäçÖê~ã 35 PKU oÜçãÄìë 36 PKV qê~éÉòçáÇ 37 PKNM fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ 38
PKNN fëçëÅÉäÉë qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 40 PKNO qê~éÉòçáÇ ïáíÜ fåëÅêáÄÉÇ `áêÅäÉ 41
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 8/338
iv
PKNP háíÉ 42 PKNQ `óÅäáÅ nì~Çêáä~íÉê~ä 43 PKNR q~åÖÉåíá~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 45
PKNS dÉåÉê~ä nì~Çêáä~íÉê~ä 46 PKNT oÉÖìä~ê eÉñ~Öçå 47 PKNU oÉÖìä~ê mçäóÖçå 48 PKNV `áêÅäÉ 50 PKOM pÉÅíçê çÑ ~ `áêÅäÉ 53 PKON pÉÖãÉåí çÑ ~ `áêÅäÉ 54 PKOO `ìÄÉ 55 PKOP oÉÅí~åÖìä~ê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ 56
PKOQ mêáëã 57 PKOR oÉÖìä~ê qÉíê~ÜÉÇêçå 58 PKOS oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 59 PKOT cêìëíìã çÑ ~ oÉÖìä~ê móê~ãáÇ 61 PKOU oÉÅí~åÖìä~ê oáÖÜí tÉÇÖÉ 62 PKOV mä~íçåáÅ pçäáÇë 63 PKPM oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê 66
PKPN oáÖÜí `áêÅìä~ê `óäáåÇÉê ïáíÜ ~å lÄäáèìÉ mä~åÉ c~ÅÉ 68 PKPO oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 69 PKPP cêìëíìã çÑ ~ oáÖÜí `áêÅìä~ê `çåÉ 70 PKPQ péÜÉêÉ 72 PKPR péÜÉêáÅ~ä `~é 72 PKPS péÜÉêáÅ~ä pÉÅíçê 73 PKPT péÜÉêáÅ~ä pÉÖãÉåí 74 PKPU péÜÉêáÅ~ä tÉÇÖÉ 75
PKPV bääáéëçáÇ 76 PKQM `áêÅìä~ê qçêìë 78
4 qofdlkljbqovQKN o~Çá~å ~åÇ aÉÖêÉÉ jÉ~ëìêÉë çÑ ^åÖäÉë 80 QKO aÉÑáåáíáçåë ~åÇ dê~éÜë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 81 QKP páÖåë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 86 QKQ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë çÑ `çããçå ^åÖäÉë 87 QKR jçëí fãéçêí~åí cçêãìä~ë 88
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 9/338
v
QKS oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 89 QKT mÉêáçÇáÅáíó çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90 QKU oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 90
QKV ^ÇÇáíáçå ~åÇ pìÄíê~Åíáçå cçêãìä~ë 91 QKNM açìÄäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 92 QKNN jìäíáéäÉ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 93 QKNO e~äÑ ^åÖäÉ cçêãìä~ë 94 QKNP e~äÑ ^åÖäÉ q~åÖÉåí fÇÉåíáíáÉë 94 QKNQ qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç mêçÇìÅí 95 QKNR qê~åëÑçêãáåÖ çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ bñéêÉëëáçåë íç pìã 97 QKNS mçïÉêë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 98
QKNT dê~éÜë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 99 QKNU mêáåÅáé~ä s~äìÉë çÑ fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 102 QKNV oÉä~íáçåë ÄÉíïÉÉå fåîÉêëÉ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 103 QKOM qêáÖçåçãÉíêáÅ bèì~íáçåë 106 QKON oÉä~íáçåë íç eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 106
5 j^qof`bp ^ka abqbojfk^kqp
RKN aÉíÉêãáå~åíë 107 RKO mêçéÉêíáÉë çÑ aÉíÉêãáå~åíë 109 RKP j~íêáÅÉë 110 RKQ léÉê~íáçåë ïáíÜ j~íêáÅÉë 111 RKR póëíÉãë çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë 114
6 sb`qlopSKN sÉÅíçê `ççêÇáå~íÉë 118
SKO sÉÅíçê ^ÇÇáíáçå 120 SKP sÉÅíçê pìÄíê~Åíáçå 122 SKQ pÅ~äáåÖ sÉÅíçêë 122 SKR pÅ~ä~ê mêçÇìÅí 123 SKS sÉÅíçê mêçÇìÅí 125 SKT qêáéäÉ mêçÇìÅí 127
7 ^k^ivqf` dbljbqovTKN låÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 130
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 10/338
vi
TKO qïç -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 131 TKP píê~áÖÜí iáåÉ áå mä~åÉ 139 TKQ `áêÅäÉ 149
TKR bääáéëÉ 152 TKS eóéÉêÄçä~ 154 TKT m~ê~Äçä~ 158 TKU qÜêÉÉ -aáãÉåëáçå~ä `ççêÇáå~íÉ póëíÉã 161 TKV mä~åÉ 165 TKNM píê~áÖÜí iáåÉ áå pé~ÅÉ 175 TKNN nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë 180 TKNO péÜÉêÉ 189
8 afccbobkqf^i `^i`rirpUKN cìåÅíáçåë ~åÇ qÜÉáê dê~éÜë 191 UKO iáãáíë çÑ cìåÅíáçåë 208 UKP aÉÑáåáíáçå ~åÇ mêçéÉêíáÉë çÑ íÜÉ aÉêáî~íáîÉ 209 UKQ q~ÄäÉ çÑ aÉêáî~íáîÉë 211 UKR eáÖÜÉê lêÇÉê aÉêáî~íáîÉë 215
UKS ^ééäáÅ~íáçåë çÑ aÉêáî~íáîÉ 217 UKT aáÑÑÉêÉåíá~ä 221 UKU jìäíáî~êá~ÄäÉ cìåÅíáçåë 222 UKV aáÑÑÉêÉåíá~ä léÉê~íçêë 225
9 fkqbdo^i `^i`rirpVKN fåÇÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 227 VKO fåíÉÖê~äë çÑ o~íáçå~ä cìåÅíáçåë 228
VKP fåíÉÖê~äë çÑ fêê~íáçå~ä cìåÅíáçåë 231 VKQ fåíÉÖê~äë çÑ qêáÖçåçãÉíêáÅ cìåÅíáçåë 237 VKR fåíÉÖê~äë çÑ eóéÉêÄçäáÅ cìåÅíáçåë 241 VKS fåíÉÖê~äë çÑ bñéçåÉåíá~ä ~åÇ içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåë 242 VKT oÉÇìÅíáçå cçêãìä~ë 243 VKU aÉÑáåáíÉ fåíÉÖê~ä 247 VKV fãéêçéÉê fåíÉÖê~ä 253 VKNM açìÄäÉ fåíÉÖê~ä 257 VKNN qêáéäÉ fåíÉÖê~ä 269
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 11/338
vii
VKNO iáåÉ fåíÉÖê~ä 275 VKNP pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä 285
10 afccbobkqf^i bnr^qflkpNMKN cáêëí lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 295 NMKO pÉÅçåÇ lêÇÉê lêÇáå~êó aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 298 NMKP pçãÉ m~êíá~ä aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë 302
11 pbofbpNNKN ^êáíÜãÉíáÅ pÉêáÉë 304 NNKO dÉçãÉíêáÅ pÉêáÉë 305
NNKP pçãÉ cáåáíÉ pÉêáÉë 305 NNKQ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë 307 NNKR mêçéÉêíáÉë çÑ `çåîÉêÖÉåí pÉêáÉë 307 NNKS `çåîÉêÖÉåÅÉ qÉëíë 308 NNKT ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë 310 NNKU mçïÉê pÉêáÉë 311 NNKV aáÑÑÉêÉåíá~íáçå ~åÇ fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë 312
NNKNM q~óäçê ~åÇ j~Åä~ìêáå pÉêáÉë 313 NNKNN mçïÉê pÉêáÉë bñé~åëáçåë Ñçê pçãÉ cìåÅíáçåë 314 NNKNO _áåçãá~ä pÉêáÉë 316 NNKNP cçìêáÉê pÉêáÉë 316
12 mol_^_fifqvNOKN mÉêãìí~íáçåë ~åÇ `çãÄáå~íáçåë 318 NOKO mêçÄ~Äáäáíó cçêãìä~ë 319
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 12/338
viii
qÜáë é~ÖÉ áë áåíÉåíáçå~ääó äÉÑí Ää~åâK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 13/338
1
Chapter 1
Number Sets
1.1 Set Identities
pÉíëW ^I _I `råáîÉêë~ä ëÉíW f`çãéäÉãÉåí W ^′ mêçéÉê ëìÄëÉíW _^ ⊂ bãéíó ëÉíW ∅ råáçå çÑ ëÉíëW _^∪ fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW _^∩
aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW _y^
1. f^ ⊂
2. ^^ ⊂
3. _^ = áÑ _^ ⊂ ~åÇ ^_⊂ .
4. bãéíó pÉí^⊂∅
5. råáçå çÑ pÉíë{ }_ñ çê^ñ öñ _^` ∈∈=∪=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 14/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
2
Figure 1.
6. `çããìí~íáîáíó
^__^ ∪=∪
7. ^ëëçÅá~íáîáíó( ) ( ) `_^`_^ ∪∪=∪∪
8. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ pÉíë{ }_ñ ~åÇ^ñ öñ _^` ∈∈=∪=
Figure 2.
9. `çããìí~íáîáíó^__^ ∩=∩
10. ^ëëçÅá~íáîáíó
( ) ( ) `_^`_^ ∩∩=∩∩
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 15/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
3
11. aáëíêáÄìíáîáíó( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∪∩∪=∩∪ I
( ) ( ) ( )`^_^`_^ ∩∪∩=∪∩ K
12. fÇÉãéçíÉåÅó^^^ =∩ I^^^ =∪
13. açãáå~íáçå∅=∅∩^ I
ff^ =∪
14. fÇÉåíáíó^^ =∅∪ I
^f^ =∩
15. `çãéäÉãÉåí{ }^ñ öfñ ^ ∉∈=′
16. `çãéäÉãÉåí çÑ fåíÉêëÉÅíáçå ~åÇ råáçå
f^^ =′∪ I∅=′∩^^
17. aÉ jçêÖ~å∞ë i~ïë
( ) _^_^ ′∩′=′∪ I
( ) _^_^ ′∪′=′∩
18. aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ pÉíë
{ }^ñ ~åÇ_ñ öñ ^y_` ∉∈==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 16/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
4
Figure 3.
19. ( )_^y_^y_ ∩=
20. ^_^y_ ′∩=
21. ∅=^y^
22. ^_y^ = áÑ ∅=∩_^ .
Figure 4.
23. ( ) ( ) ( )`_y`^`_y^ ∩∩=∩
24. ^yf^ =′
25. `~êíÉëá~å mêçÇìÅí ( ){ }_ ó ~åÇ^ñ ö ó Iñ _^` ∈∈=×=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 17/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
5
1.2 Sets of Numbers
k~íìê~ä åìãÄÉêëW ktÜçäÉ åìãÄÉêëW Mk
fåíÉÖÉêëW w
mçëáíáîÉ áåíÉÖÉêëW +w
kÉÖ~íáîÉ áåíÉÖÉêëW −wo~íáçå~ä åìãÄÉêëW noÉ~ä åìãÄÉêëW o`çãéäÉñ åìãÄÉêëW `
26. k~íìê~ä kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ åìãÄÉêëW { }KIPIOINk = K
27. tÜçäÉ kìãÄÉêë
`çìåíáåÖ åìãÄÉêë ~åÇ òÉêçW { }KIPIOINIMk M = K
28. fåíÉÖÉêë tÜçäÉ åìãÄÉêë ~åÇ íÜÉáê çééçëáíÉë ~åÇ òÉêçW
{ }KIPIOINkw ==+ I
{ }NIOIPIw −−−=− K I
{ } { }KK IPIOINIMINIOIPIwMww −−−=∪∪= +− K
29. o~íáçå~ä kìãÄÉêë
oÉéÉ~íáåÖ çê íÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëW
≠∈∈== M Ä~åÇw Ä~åÇw~~åÇ
Ä
~ñ öñ n K
30. fêê~íáçå~ä kìãÄÉêë
kçåêÉéÉ~íáåÖ ~åÇ åçåíÉêãáå~íáåÖ ÇÉÅáã~äëK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 18/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 19/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
7
1.3 Basic Identities
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Å
34. ^ÇÇáíáîÉ fÇÉåíáíó~M~ =+
35. ^ÇÇáíáîÉ fåîÉêëÉ( ) M~~ =−+
36. `çããìí~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå~ Ä Ä~ +=+
37. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ ^ÇÇáíáçå( ) ( )Å Ä~Å Ä~ ++=++
38. aÉÑáåáíáçå çÑ pìÄíê~Åíáçå( ) Ä~ Ä~ −+=−
39. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fÇÉåíáíó~N~ =⋅
40. jìäíáéäáÅ~íáîÉ fåîÉêëÉ
N~
N
~ =⋅ I M~ ≠
41. jìäíáéäáÅ~íáçå qáãÉë M
MM~ =⋅
42. `çããìí~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå~ Ä Ä~ ⋅=⋅
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 20/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
8
43. ^ëëçÅá~íáîÉ çÑ jìäíáéäáÅ~íáçå( ) ( )Å Ä~Å Ä~ ⋅⋅=⋅⋅
44. aáëíêáÄìíáîÉ i~ï( ) ~Å~ÄÅ Ä~ +=+
45. aÉÑáåáíáçå çÑ aáîáëáçåN
~~
⋅=
1.4 Complex Numbers
k~íìê~ä åìãÄÉêW åfã~Öáå~êó ìåáíW á`çãéäÉñ åìãÄÉêW ò
oÉ~ä é~êíW ~I Åfã~Öáå~êó é~êíW ÄáI ÇájçÇìäìë çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW êI Nê I Oê
^êÖìãÉåí çÑ ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêW ϕ I Nϕ I Oϕ
áá N = áá R = áá NåQ =+
Ná
O
−= Ná
S
−= Ná
OåQ
−=
+
áá P −= áá T −= áá PåQ −=+
46.
Ná Q = Ná U = Ná åQ =
47. Äá~ò +=
48. `çãéäÉñ mä~åÉ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 21/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
9
Figure 6.
49. ( ) ( ) ( ) ( )áÇ ÄÅ~ÇáÅ Äá~ +++=+++
50. ( ) ( ) ( ) ( )áÇ ÄÅ~ÇáÅ Äá~ −+−=+−+
51. ( )( ) ( ) ( )á ÄÅ~Ç ÄÇ~ÅÇáÅ Äá~ ++−=++
52. áÇÅ
~Ç ÄÅ
ÇÅ
ÄÇ~Å
ÇáÅ
Äá~OOOO
⋅+−
+++
=++
53. `çåàìÖ~íÉ `çãéäÉñ kìãÄÉêë
Äá~ Äá~|||||||
−=+
54. ϕ= Åçëê~ I ϕ= ëáåê Ä
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 22/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
10
Figure 7.
55. mçä~ê mêÉëÉåí~íáçå çÑ `çãéäÉñ kìãÄÉêë( )ϕ+ϕ=+ ëáåáÅçëê Äá~
56. jçÇìäìë ~åÇ ^êÖìãÉåí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉêfÑ Äá~ + áë ~ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêI íÜÉå
OO Ä~ê += EãçÇìäìëFI
~
Ä~êÅí~å=ϕ E~êÖìãÉåíFK
57. mêçÇìÅí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( ) ( )OOONNNON ëáåáÅçëêëáåáÅçëêòò ϕ+ϕ⋅ϕ+ϕ=⋅
( ) ( )[ ]ONONON ëáåáÅçëêê ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=
58. `çåàìÖ~íÉ kìãÄÉêë áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=ϕ+ϕ ëáåáÅçëêëáåáÅçëê|||||||||||||||||||||
59. fåîÉêëÉ çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå
( ) ( ) ( )[ ]ϕ−+ϕ−=
ϕ+ϕ ëáåáÅçë
ê
N
ëáåáÅçëê
N
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 23/338
CHAPTER 1. NUMBER SETS
11
60. nìçíáÉåí áå mçä~ê oÉéêÉëÉåí~íáçå( )( )
( ) ( )[ ]ONON
O
N
OOO
NNN
O
N ëáåáÅçëê
ê
ëáåáÅçëê
ëáåáÅçëê
ò
òϕ−ϕ+ϕ−ϕ=
ϕ+ϕϕ+ϕ
=
61. mçïÉê çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
( )[ ] ( ) ( )[ ]ϕ+ϕ=ϕ+ϕ= åëáåáåÅçëêëáåáÅçëêò ååå
62. cçêãìä~ ±aÉ jçáîêÉ≤
( ) ( ) ( )ϕ+ϕ=ϕ+ϕ åëáåáåÅçëëáåáÅçë å
63. kíÜ oççí çÑ ~ `çãéäÉñ kìãÄÉê
( )
π+ϕ
+π+ϕ
=ϕ+ϕ=å
â Oëáåá
å
â OÅçëêëáåáÅçëêò ååå I
ïÜÉêÉNåIIOINIMâ −= K K
64. bìäÉê∞ë cçêãìä~
ñ ëáåáñ ÅçëÉ áñ +=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 24/338
12
Chapter 2
Algebra
2.1 Factoring Formulas
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI Åk~íìê~ä åìãÄÉêW å
65. ( )( ) Ä~ Ä~ Ä~ OO −+=−
66. ( )( )OOPP Ä~Ä~ Ä~ Ä~ ++−=−
67. ( )( )OOPP Ä~Ä~ Ä~ Ä~ +−+=+
68. ( )( ) ( )( )( )OOOOOOQQ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ ++−=+−=−
69. ( )( )QPOOPQRR Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ ++++−=−
70. ( )( )QPOOPQRR Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ +−+−+=+
71. fÑ å áë çÇÇI íÜÉå
( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ −−−−− +−−+−+=+ K K
72. fÑ å áë ÉîÉåI íÜÉå
( )( )
NåOåOPåOåNååå Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ −−−−− +++++−=− K I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 25/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
13
( )( )NåOåOPåOåNååå Ä~Ä Ä~ Ä~~ Ä~ Ä~ −−−−− −+−+−+=+ K K
2.2 Product Formulas
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅtÜçäÉ åìãÄÉêëW åI â
73. ( ) OOO Ä~ÄO~ Ä~ +−=−
74. ( ) OOO Ä~ÄO~ Ä~ ++=+
75. ( ) POOPP Ä~ÄP Ä~P~ Ä~ −+−=−
76. ( ) POOPP Ä~ÄP Ä~P~ Ä~ +++=+
77. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQ Ä~S Ä~Q~ Ä~ +−+−=−
78. ( ) QPOOPQQ Ä~ÄQ Ä~S Ä~Q~ Ä~ ++++=+
79. _áåçãá~ä cçêãìä~
( ) I Ä`~Ä` Ä~` Ä~`~` Ä~ åå
åNåNå
åOOåO
åNåN
ååM
åå +++++=+ −−
−−K
ïÜÉêÉ( )>â å>â
>å` â
å
−= ~êÉ íÜÉ Äáåçãá~ä ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK
80. ( ) ÄÅO~ÅO~ÄOÅ Ä~Å Ä~ OOOO +++++=++
81. ( ) ++++++=+++++ OOOOOO î ìÅ Ä~ î ìÅ Ä~ KK
( )ìî Äî Äì ÄÅ~î ~ì~Å~ÄO +++++++++++ KKK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 26/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
14
2.3 Powers
_~ëÉë EéçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëFW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ã
82. åãåã ~~~ +=
83. åã
å
ã
~~
~ −=
84. ( ) ããã Ä~~Ä =
85.ã
ãã
Ä
~
Ä
~=
86. ( ) ãååã
~~ =
87. N~ M = I M~ ≠
88. N~ N =
89.ã
ã
~
N~ =−
90. å ãå
ã
~~ =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 27/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
15
2.4 Roots
_~ëÉëW ~I ÄmçïÉêë Eê~íáçå~ä åìãÄÉêëFW åI ãM ÄI~ ≥ Ñçê ÉîÉå êççíë E â Oå = I kâ ∈ F
91. ååå Ä~~Ä =
92.
åã åããå
Ä~ Ä~ =
93.å
å
å
Ä
~
Ä
~= I M Ä ≠
94. åãå
ã
åã å
åã ã
ã
å
Ä
~
Ä
~
Ä
~== I M Ä ≠ K
95. ( ) å ãéé
å ã ~~ =
96. ( ) ~~ å
å =
97.åé ãéå ã ~~ =
98. å
ãå ã ~~ =
99. ãåã å ~~ =
100. ( ) å ããå ~~ =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 28/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
16
101.~
~
~
N å Nå
å
−
= I M~ ≠ K
102.O
Ä~~
O
Ä~~ Ä~
OO −−±
−+=±
103. Ä~
Ä~
Ä~
N
−=
±
m
2.5 Logarithms
mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ñI óI ~I ÅI âk~íìê~ä åìãÄÉêW å
104. aÉÑáåáíáçå çÑ içÖ~êáíÜã
ñ äçÖ ó ~= áÑ ~åÇ çåäó áÑ ó ~ñ = I M~ > I N~ ≠ K
105. MNäçÖ ~ =
106. N~äçÖ ~ =
107.
<∞+
>∞−=
N~áÑ
N~áÑ MäçÖ ~
108. ( ) ó äçÖ ñ äçÖ ñó äçÖ ~~~ +=
109. ó äçÖ ñ äçÖ ó
ñ äçÖ ~~~ −=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 29/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
17
110. ( ) ñ äçÖ åñ äçÖ ~å
~ =
111. ñ äçÖ å
N
ñ äçÖ ~
å
~ =
112. ÅäçÖ ñ äçÖ ~äçÖ
ñ äçÖ ñ äçÖ ~Å
Å
Å~ ⋅== I MÅ > I NÅ ≠ K
113.~äçÖ
NÅäçÖ
Å
~ =
114. ñ äçÖ ~~ñ =
115. içÖ~êáíÜã íç _~ëÉ NMñ äçÖ ñ äçÖ NM =
116. k~íìê~ä içÖ~êáíÜã
ñ äåñ äçÖ É = I
ïÜÉêÉ KTNUOUNUOUKOâ
NNäáãÉ
â
â =
+=
∞→
117. ñ äåQPQOVQKMñ äåNMäå
Nñ äçÖ ==
118. ñ äçÖ PMORURKOñ äçÖ ÉäçÖ
Nñ äå ==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 30/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
18
2.6 Equations
oÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI éI èI ìI îpçäìíáçåëW Nñ I Oñ I N ó I O ó I P ó
119. iáåÉ~ê bèì~íáçå áå låÉ s~êá~ÄäÉ
M Ä~ñ =+ I~
Äñ −= K
120. nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
MÅ Äñ ~ñ O =++ I~O
~ÅQ Ä Äñ
O
OIN
−±−= K
121. aáëÅêáãáå~åí
~ÅQ Äa O−=
122. sáÉíÉ∞ë cçêãìä~ë
fÑ Mèéñ ñ O =++ I íÜÉå
=
−=+
èñ ñ
éñ ñ
ON
ON K
123. M Äñ ~ñ O =+ I Mñ N = I
~
Äñ O −= K
124. MÅ~ñ O =+ I~
Åñ OIN −±= K
125. `ìÄáÅ bèì~íáçåK `~êÇ~åç∞ë cçêãìä~K
Mèéó ó P =++ I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 31/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
19
î ì ó N += I ( ) ( ) á î ìO
P î ì
O
N ó PIO +±+−= I
ïÜÉêÉ
P
OO
P
é
O
è
O
èì
+
+−= I P
OO
P
é
O
è
O
è î
+
−−= K
2.7 Inequalities
s~êá~ÄäÉëW ñI óI ò
oÉ~ä åìãÄÉêëW
åPON ~II~I~I~
ÇIÅI ÄI~
K I ãI å
aÉíÉêãáå~åíëW aI ñ a I ó a I òa
126. fåÉèì~äáíáÉëI fåíÉêî~ä kçí~íáçåë ~åÇ dê~éÜë
fåÉèì~äáíó fåíÉêî~ä kçí~íáçå dê~éÜ Äñ ~ ≤≤ [ ] ÄI~
Äñ ~ ≤< ( ] ÄI~
Äñ ~ <≤ [ ) ÄI~
Äñ ~ << ( ) ÄI~ Äñ ≤<∞− I
Äñ ≤ ( ] ÄI∞−
Äñ <<∞− I Äñ <
( ) ÄI∞−
∞<≤~ I~≥
[ )∞I~
∞<<~ I~> ( )∞I~
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 32/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
20
127. fÑ Ä~ > I íÜÉå ~ Ä < K
128. fÑ Ä~ > I íÜÉå M Ä~ >− çê M~ Ä <− K
129. fÑ Ä~ > I íÜÉå Å ÄÅ~ +>+ K
130. fÑ Ä~ > I íÜÉå Å ÄÅ~ −>− K
131. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå Ç ÄÅ~ +>+ K
132. fÑ Ä~ > ~åÇ ÇÅ > I íÜÉå Å ÄÇ~ −>− K
133. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉå ãÄã~ > K
134. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã > I íÜÉåã
Ä
ã
~> K
135. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã < I íÜÉå ãÄã~ < K
136. fÑ Ä~ > ~åÇ Mã < I íÜÉåã
Ä
ã
~< K
137. fÑ Ä~M << ~åÇ Må > I íÜÉå åå Ä~ < K
138. fÑ Ä~M << ~åÇ Må < I íÜÉå åå Ä~ > K
139. fÑ Ä~M << I íÜÉå åå Ä~ < K
140.O
Ä~~Ä
+≤ I
ïÜÉêÉ M~ > I M Ä > X ~å Éèì~äáíó áë î~äáÇ çåäó áÑ Ä~ = K
141. O~
N
~ ≥+ I ïÜÉêÉ M~ > X ~å Éèì~äáíó í~âÉë éä~ÅÉ çåäó ~í N~ = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 33/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
21
142.å
~~~~~~ åONå
åON
+++≤
KK I ïÜÉêÉ M~II~I~ åON >K K
143. fÑ M Ä~ñ >+ ~åÇ M~ > I íÜÉå~
Äñ −> K
144. fÑ M Ä~ñ >+ ~åÇ M~ < I íÜÉå~
Äñ −< K
145. MÅ Äñ ~ñ O >++
M~ > M~ <
Ma>
Nñ ñ < I Oñ ñ > ON ñ ñ ñ <<
Ma=
ñ ñ N < I Nñ ñ > ∅∈ñ
Ma<
∞<<∞− ∅∈ñ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 34/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
22
146. Ä~ Ä~ +≤+
147. fÑ ~ñ < I íÜÉå ~~ <<− I ïÜÉêÉ M~ > K
148. fÑ ~ñ > I íÜÉå ~−< ~åÇ ~> I ïÜÉêÉ M~ > K
149. fÑ ~ñ O < I íÜÉå ~ñ < I ïÜÉêÉ M~ > K
150. fÑ ~ñ O > I íÜÉå ~ñ > I ïÜÉêÉ M~ > K
151. fÑ( )( )
Mñ Ö
ñ Ñ > I íÜÉå
( ) ( )
( )
≠
>⋅
Mñ Ö
Mñ Ö ñ Ñ K
152.( )( )
Mñ Ö
ñ Ñ < I íÜÉå
( ) ( )
( )
≠
<⋅
Mñ Ö
Mñ Ö ñ Ñ K
2.8 Compound Interest Formulas
cìíìêÉ î~äìÉW ^fåáíá~ä ÇÉéçëáíW `^ååì~ä ê~íÉ çÑ áåíÉêÉëíW êkìãÄÉê çÑ óÉ~êë áåîÉëíÉÇW íkìãÄÉê çÑ íáãÉë ÅçãéçìåÇÉÇ éÉê óÉ~êW å
153. dÉåÉê~ä `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~åí
å
êN`^
+=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 35/338
CHAPTER 2. ALGEBRA
23
154. páãéäáÑáÉÇ `çãéçìåÇ fåíÉêÉëí cçêãìä~fÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ çåÅÉ éÉê óÉ~êI íÜÉå íÜÉ éêÉîáçìëÑçêãìä~ ëáãéäáÑáÉë íçW
( )í
êN`^ += K
155. `çåíáåìçìë `çãéçìåÇ fåíÉêÉëífÑ áåíÉêÉëí áë ÅçãéçìåÇÉÇ Åçåíáåì~ääó E ∞→å FI íÜÉå
êí`É^ = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 36/338
24
Chapter 3
Geometry
3.1 Right Triangle
iÉÖë çÑ ~ êáÖÜí íêá~åÖäÉW ~I ÄeóéçíÉåìëÉW Å^äíáíìÇÉW ÜjÉÇá~åëW ~ã I Äã I Åã
^åÖäÉëW α Iβ
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
^êÉ~W p
Figure 8.
156. °=β+α VM
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 37/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
25
157. β==α ÅçëÅ
~ëáå
158. β==α ëáåÅ
ÄÅçë
159. β==α Åçí~
í~å
160. β==α í~å
~
ÄÅçí
161. β==α ÉÅÅçëÅ
ëÉÅ
162. β==α ëÉÅ~
ÅÉÅÅçë
163. móíÜ~ÖçêÉ~å qÜÉçêÉãOOO Å Ä~ =+
164. ÑÅ~ O = I ÖÅ Ä O = I
ïÜÉêÉ Ñ ~åÇ Å ~êÉ éêçàÉÅíáçåë çÑ íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄI êÉëéÉÅ-íáîÉäóI çåíç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
Figure 9.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 38/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
26
165. ÑÖ Ü O = I
ïÜÉêÉ Ü áë íÜÉ ~äíáíìÇÉ Ñêçã íÜÉ êáÖÜí ~åÖäÉK
166.Q
~ ÄãOOO
~ −= IQ
Ä~ãOOO
Ä −= I
ïÜÉêÉ ~ã ~åÇ Äã ~êÉ íÜÉ ãÉÇá~åë íç íÜÉ äÉÖë ~ ~åÇ ÄK
Figure 10.
167.O
Åã Å = I
ïÜÉêÉ Åã áë íÜÉ ãÉÇá~å íç íÜÉ ÜóéçíÉåìëÉ ÅK
168. Åã
O
Åo ==
169.Å~
~Ä
O
Å Ä~ê
++=
−+=
170. ÅÜ~Ä =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 39/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
27
171.O
ÅÜ
O
~Äp ==
3.2 Isosceles Triangle
_~ëÉW ~iÉÖëW Ä_~ëÉ ~åÖäÉW β
sÉêíÉñ ~åÖäÉW α ^äíáíìÇÉ íç íÜÉ Ä~ëÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 11.
172.O
VM α−°=β
173.Q
~ ÄÜ
OOO −=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 40/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
28
174. ÄO~i +=
175. α== ëáåO
Ä
O
~Üp
O
3.3 Equilateral Triangle
páÇÉ çÑ ~ Éèìáä~íÉê~ä íêá~åÖäÉW ~
^äíáíìÇÉW Üo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 12.
176.O
P~Ü =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 41/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
29
177.P
P~Ü
P
Oo ==
178.O
o
S
P~Ü
P
Nê ===
179. ~Pi =
180.Q
P~
O
~Üp
O
==
3.4 Scalene Triangle
E^ íêá~åÖäÉ ïáíÜ åç íïç ëáÇÉë Éèì~äF
páÇÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW ~I ÄI Å
pÉãáéÉêáãÉíÉêWO
Å Ä~é
++=
^åÖäÉë çÑ ~ íêá~åÖäÉW γβα II
^äíáíìÇÉë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Å Ä~ ÜIÜIÜ
jÉÇá~åë íç íÜÉ ëáÇÉë ~I ÄI ÅW Å Ä~ ãIãIã
_áëÉÅíçêë çÑ íÜÉ ~åÖäÉë γβα II W Å Ä~ íIíIío~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 42/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
30
Figure 13.
181. °=γ+β+α NUM
182. Å Ä~ >+ I~Å Ä >+ I
ÄÅ~ >+ K
183. Å Ä~ <− I
~Å Ä <− I
ÄÅ~ <− K
184. jáÇäáåÉ
O
~è = I ~ööè K
Figure 14.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 43/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
31
185. i~ï çÑ `çëáåÉë
α−+= Åçë ÄÅOÅ Ä~ OOO I
β−+= Åçë~ÅOÅ~ Ä OOO I
γ−+= Åçë~ÄO Ä~Å OOO K
186. i~ï çÑ páåÉë
o Oëáå
Å
ëáå
Ä
ëáå
~=
γ=
β=
α I
ïÜÉêÉ o áë íÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉK
187.pQ
~ÄÅ
ÜO
~Ä
ÜO
~Å
ÜO
ÄÅ
ëáåO
Å
ëáåO
Ä
ëáåO
~o
Å Ä~
====γ
=β
=α
=
188.( )( )( )
é
Åé Äé~éê O −−−= I
Å Ä~ Ü
N
Ü
N
Ü
N
ê
N++= K
189.( )( )
ÄÅ
Åé Äé
Oëáå
−−=
αI
( ) ÄÅ
~éé
OÅçë
−=
αI
( )( )( )~éé
Åé Äé
Oí~å −−−
=α
K
190. ( )( )( )Åé Äé~éé~
OÜ ~ −−−= I
( )( )( )Åé Äé~ééO
Ü Ä −−−= I
( )( )( )Åé Äé~ééÅOÜ Å −−−= K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 44/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 45/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
33
195.O
ÅÜ
O
ÄÜ
O
~Üp Å Ä~ === I
O
ëáå ÄÅ
O
ëáå~Å
O
ëáå~Äp
α=
β=
γ= I
( )( )( )Åé Äé~éép −−−= EeÉêçå∞ë cçêãìä~FI
éêp = I
o Q
~ÄÅp = I
γβα= ëáåëáåëáåo Op O I
Oí~åOí~åOí~åép O γβα
= K
3.5 Square
páÇÉ çÑ ~ ëèì~êÉW ~
aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 16.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 46/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
34
196. O~Ç =
197. O
O~
O
Ç
o ==
198.O
~ê =
199. ~Qi =
200. O~p =
3.6 Rectangle
páÇÉë çÑ ~ êÉÅí~åÖäÉW ~I Ä
aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 17.
201. OO Ä~Ç +=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 47/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
35
202.O
Ço =
203. ( ) Ä~Oi +=
204. ~Äp =
3.7 Parallelogram
páÇÉë çÑ ~ é~ê~ääÉäçÖê~ãW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
^äíáíìÇÉW ÜmÉêáãÉíÉêW i
^êÉ~W p
Figure 18.
205. °=β+α NUM
206. ( )OOOO
ON Ä~OÇÇ +=+
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 48/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
36
207. β=α= ëáå Äëáå ÄÜ
208. ( ) Ä~Oi +=
209. α== ëáå~Ä~Üp I
ϕ= ëáåÇÇO
Np ON K
3.8 Rhombus
páÇÉ çÑ ~ êÜçãÄìëW ~aá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
`çåëÉÅìíáîÉ ~åÖäÉëW βαI
^äíáíìÇÉW eo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 19.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 49/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
37
210. °=β+α NUM
211. OOO
ON ~QÇÇ =+
212.~O
ÇÇëáå~Ü ON=α=
213.O
ëáå~
~Q
ÇÇ
O
Üê ON α
===
214. ~Qi =
215. α== ëáå~~Üp O I
ONÇÇO
Np = K
3.9 Trapezoid
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Ü^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 50/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
38
Figure 20.
216.O
Ä~è +=
217. èÜÜO
Ä~p =⋅
+=
3.10 Isosceles Trapezoid
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW o^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 51/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
39
Figure 21.
218.O
Ä~è +=
219. OÅ~ÄÇ +=
220. ( )OO ~ ÄQNÅÜ −−=
221.( )( ) Ä~ÅO Ä~ÅO
Å~ÄÅo
O
−++−
+=
222. èÜÜO Ä~p =⋅+=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 52/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
40
3.11 Isosceles Trapezoid withInscribed Circle
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I ÄiÉÖW ÅjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW oo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW ê
mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 22.
223. ÅO Ä~ =+
224. ÅO
Ä~è =
+=
225. OOO
ÅÜÇ +=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 53/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
41
226.O
~Ä
O
Üê ==
227.~
ÄS
Ä
~
U
Ä~ÅÜ
ÜO
Å
~Ä
ÅN
O
Å
êQ
ÅÇ
ÜO
ÅÇo OO
O
+++=+=+===
228. ( ) ÅQ Ä~Oi =+=
229.( )
O
iêÅÜèÜ
O
~Ä Ä~Ü
O
Ä~p ===
+=⋅
+=
3.12 Trapezoid with Inscribed Circle
_~ëÉë çÑ ~ íê~éÉòçáÇW ~I Ä
i~íÉê~ä ëáÇÉëW ÅI ÇjáÇäáåÉW è^äíáíìÇÉW Üaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 54/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
42
Figure 23.
230. ÇÅ Ä~ +=+
231.O
ÇÅ
O
Ä~è
+=
+=
232. ( ) ( )ÇÅO Ä~Oi +=+=
233. èÜÜO ÇÅÜO Ä~p =⋅+
=⋅+
= I
ϕ= ëáåÇÇO
Np ON K
3.13 Kite
páÇÉë çÑ ~ âáíÉW ~I Äaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
^åÖäÉëW γβα II
mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 55/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
43
Figure 24.
234. °=γ+β+α PSMO
235. ( ) Ä~Oi +=
236.O
ÇÇp ON=
3.14 Cyclic Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα III
o~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é
^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 56/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
44
Figure 25.
237. °=δ+β=γ+α NUM
238. míçäÉãó ∞ë qÜÉçêÉã
ONÇÇ ÄÇ~Å =+
239. ÇÅ Ä~i +++=
240.( )( )( )( )( )( )( )ÇéÅé Äé~é
ÅÇ~Ä ÄÅ~Ç ÄÇ~Å
Q
No
−−−−+++
= I
ïÜÉêÉO
ié = K
241. ϕ= ëáåÇÇONp ON I
( )( )( )( )ÇéÅé Äé~ép −−−−= I
ïÜÉêÉO
ié = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 57/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
45
3.15 Tangential Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êmÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
Figure 26.
242. Ç ÄÅ~ +=+
243. ( ) ( )Ç ÄOÅ~OÇÅ Ä~i +=+=+++=
244.( ) ( )
éO
é Ä~ Ä~ÇÇê
OOOO
ON −+−−
= I
ïÜÉêÉO
ié = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 58/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
46
245. ϕ== ëáåÇÇO
Néêp ON
3.16 General Quadrilateral
páÇÉë çÑ ~ èì~Çêáä~íÉê~äW ~I ÄI ÅI Çaá~Öçå~äëW ON ÇIÇ
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ Çá~Öçå~äëW ϕ
fåíÉêå~ä ~åÖäÉëW δγβα III
mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 27.
246. °=δ+γ+β+α PSM
247. ÇÅ Ä~i +++=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 59/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
47
248. ϕ= ëáåÇÇO
Np ON
3.17 Regular Hexagon
páÇÉW ~fåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
Figure 28.
249. °=α NOM
250.O
P~
ãê ==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 60/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
48
251. ~o =
252. ~Si =
253.O
PP~éêp
O
== I
ïÜÉêÉO
ié = K
3.18 Regular Polygon
páÇÉW ~kìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åfåíÉêå~ä ~åÖäÉW α pä~åí ÜÉáÖÜíW ã
o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW omÉêáãÉíÉêW ipÉãáéÉêáãÉíÉêW é^êÉ~W p
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 61/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
49
Figure 29.
254. °⋅−
=α NUMO
Oå
255. °⋅−
=α NUMO
Oå
256.
åëáåO
~o
π=
257.
Q
~o
åí~åO
~ãê
OO −=
π==
258. å~i =
259.å
Oëáå
O
åo p
O π= I
Q~o ééêp
O
O −== I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 62/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
50
ïÜÉêÉO
ié = K
3.19 Circle
o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW Ç`ÜçêÇW ~
pÉÅ~åí ëÉÖãÉåíëW ÉI Ñq~åÖÉåí ëÉÖãÉåíW Ö`Éåíê~ä ~åÖäÉW α fåëÅêáÄÉÇ ~åÖäÉW β
mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
260.O
ëáåo O~ α
=
Figure 30.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 63/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
51
261. ONON Ä Ä~~ =
Figure 31.
262. NN ÑÑ ÉÉ =
Figure 32.
263. NO ÑÑ Ö =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 64/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
52
Figure 33.
264.O
α=β
Figure 34.
265. Ço Oi π=π=
266.O
io
Q
Ço p
OO =π
=π=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 65/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
53
3.20 Sector of a Circle
o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α mÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 35.
267. oñ ë =
268. °
απ
= NUM
o
ë
269. o Oëi +=
270.°απ
===PSM
o
O
ñ o
O
oëp
OO
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 66/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
54
3.21 Segment of a Circle
o~Çáìë çÑ ~ ÅáêÅäÉW o^êÅ äÉåÖíÜW ë`ÜçêÇW ~`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ê~Çá~åëFW ñ`Éåíê~ä ~åÖäÉ Eáå ÇÉÖêÉÉëFW α eÉáÖÜí çÑ íÜÉ ëÉÖãÉåíW ÜmÉêáãÉíÉêW i^êÉ~W p
Figure 36.
271. OÜÜo OO~ −=
272. OO ~o QO
No Ü −−= I o Ü <
273. ~ëi +=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 67/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
55
274. ( )[ ] ( )ñ ëáåñ O
o ëáå
NUMO
o Üo ~ëo
O
Np
OO
−=
α−
°απ
=−−= I
Ü~P
O
p ≈ K
3.22 Cube
bÇÖÉW ~aá~Öçå~äW Ço~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉW êpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 37.
275. P~Ç =
276.
O
~ê =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 68/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
56
277.O
P~o =
278. O~Sp =
279. P~s =
3.23 Rectangular Parallelepiped
bÇÖÉëW ~I ÄI Åaá~Öçå~äW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 38.
280. OOO Å Ä~Ç ++=
281. ( ) ÄÅ~Å~ÄOp ++=
282. ~ÄÅs =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 69/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
57
3.24 Prism
i~íÉê~ä ÉÇÖÉW äeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ~êÉ~W ip
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 39.
283. _i pOpp += K
284. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~ oáÖÜí mêáëã( )ä~~~~p åPONi ++++= K
285. i~íÉê~ä ^êÉ~ çÑ ~å lÄäáèìÉ mêáëãéäp i = I
ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêáãÉíÉê çÑ íÜÉ Åêçëë ëÉÅíáçåK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 70/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
58
286. Üps _=
287. `~î~äáÉêáDë mêáåÅáéäÉ
dáîÉå íïç ëçäáÇë áåÅäìÇÉÇ ÄÉíïÉÉå é~ê~ääÉä éä~åÉëK fÑ ÉîÉêóéä~åÉ Åêçëë ëÉÅíáçå é~ê~ääÉä íç íÜÉ ÖáîÉå éä~åÉë Ü~ë íÜÉ ë~ãÉ~êÉ~ áå ÄçíÜ ëçäáÇëI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉë çÑ íÜÉ ëçäáÇë ~êÉ Éèì~äK
3.25 Regular Tetrahedron
qêá~åÖäÉ ëáÇÉ äÉåÖíÜW ~eÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 40.
288. ~P
OÜ =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 71/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
59
289.Q
~Pp
O
_ =
290. O~Pp =
291.OS
~Üp
P
Ns
P
_ == K
3.26 Regular Pyramid
páÇÉ çÑ Ä~ëÉW ~i~íÉê~ä ÉÇÖÉW ÄeÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ãkìãÄÉê çÑ ëáÇÉëW åpÉãáéÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW éo~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ëéÜÉêÉ çÑ Ä~ëÉW ê^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 72/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
60
Figure 41.
292.Q
~ Äã
OO −=
293.
åëáåO
~å
ëáå ÄQ
Ü
OOO
π
−π
=
294. éã~ ÄQå~Q
Nå~ã
O
Np OO
i =−==
295. éêp _ =
296. i_ ppp +=
297. éêÜP
NÜp
P
Ns _ ==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 73/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
61
3.27 Frustum of a Regular Pyramid
_~ëÉ ~åÇ íçé ëáÇÉ äÉåÖíÜëW
åPON
åPON
ÄII ÄI ÄI Ä~II~I~I~
KK
eÉáÖÜíW Üpä~åí ÜÉáÖÜíW ã^êÉ~ çÑ Ä~ëÉëW Np I Op
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip
mÉêáãÉíÉê çÑ Ä~ëÉëW Nm I Om
pÅ~äÉ Ñ~ÅíçêW âqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 42.
298. â ~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
~
Ä
å
å
P
P
O
O
N
N ====== K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 74/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
62
299. O
N
O â p
p=
300. ( )O
mmãp ONi
+=
301. ONi pppp ++=
302. ( )OONN ppppP
Üs ++=
303. [ ]ON
O
N â â NP
Üp
~
Ä
~
ÄN
P
Üps ++=
++=
3.28 Rectangular Right Wedge
páÇÉë çÑ Ä~ëÉW ~I Äqçé ÉÇÖÉW ÅeÉáÖÜíW Üi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 75/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
63
Figure 43.
304. ( ) ( )OOOOi Å~Ü Ä ÄÜQÅ~
O
Np −++++=
305. ~Äp _ =
306. i_ ppp +=
307. ( )Å~OS
ÄÜs +=
3.29 Platonic Solids
bÇÖÉW ~o~Çáìë çÑ áåëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW êo~Çáìë çÑ ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ ÅáêÅäÉW opìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 76/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
64
308. cáîÉ mä~íçåáÅ pçäáÇëqÜÉ éä~íçåáÅ ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ éçäóÜÉÇê~ ïáíÜ Éèìáî~äÉåíÑ~ÅÉë ÅçãéçëÉÇ çÑ ÅçåÖêìÉåí ÅçåîÉñ êÉÖìä~ê éçäóÖçåëK
pçäáÇ kìãÄÉêçÑ sÉêíáÅÉë
kìãÄÉêçÑ bÇÖÉë
kìãÄÉêçÑ c~ÅÉë
pÉÅíáçå
qÉíê~ÜÉÇêçå Q S Q PKOR`ìÄÉ U NO S PKOO
lÅí~ÜÉÇêçå S NO U PKOTfÅçë~ÜÉÇêçå NO PM OM PKOT
açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM PM NO PKOT
Octahedron
Figure 44.
309.S
S~ê =
310.O
O~o =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 77/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
65
311. P~Op O=
312. P
O~
s
P
=
Icosahedron
Figure 45.
313.)
NO
RPP~ê
+=
314. ( )RROQ
~o +=
315. P~Rp O=
316.)
NO
RP~Rs
P +=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 78/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 79/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
67
eÉáÖÜíW ei~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 47.
321. oeOp i π=
322. ( )
+π=+π=+=O
ÇeÇo eo OpOpp _i
323. eo eps O_ π==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 80/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
68
3.31 Right Circular Cylinder withan Oblique Plane Face
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oqÜÉ ÖêÉ~íÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW NÜ
qÜÉ ëÜçêíÉëí ÜÉáÖÜí çÑ ~ ëáÇÉW OÜ
i~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip
^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW _p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 48.
324. ( )ONi ÜÜo p +π=
325.
O
ONOO_
O
ÜÜo o o p
−+π+π=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 81/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
69
326.
−++++π=+=
O
ONOON_i
O
ÜÜo o ÜÜo ppp
327. ( )ON
O
ÜÜO
o s +
π=
3.32 Right Circular Cone
o~Çáìë çÑ Ä~ëÉW oaá~ãÉíÉê çÑ Ä~ëÉW ÇeÉáÖÜíW epä~åí ÜÉáÖÜíW ãi~íÉê~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ip
^êÉ~ çÑ Ä~ëÉW _p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
Figure 49.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 82/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 83/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
71
Figure 50.
333. ( )OO êo ãe −−=
334. â ê
o =
335.O
O
O
N
O
â ê
o
p
p
==
336. ( )êo ãp i +π=
337. ( )êo ãêo pppp OOiON +++π=++=
338. ( )OONN ppppP
Üs ++=
339. [ ]ON
O
N â â NP
Üp
ê
o
ê
o N
P
Üps ++=
++=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 84/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
72
3.34 Sphere
o~ÇáìëW oaá~ãÉíÉêW ÇpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
Figure 51.
340. Oo Qp π=
341. po P
NÇ
S
Neo
P
Qs PP =π=π=
3.35 Spherical Cap
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉW êeÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ éä~åÉ Ñ~ÅÉW _p
^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW `p
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 85/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
73
Figure 52.
342.ÜO
Üêo
OO +=
343. O_ êp π=
344. ( )OO` êÜp +π=
345. ( ) ( )OOO`_ êoÜOêOÜppp +π=+π=+=
346. ( ) ( )OOO ÜêPÜS
Üo PÜS
s +π
=−π
=
3.36 Spherical Sector
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä Å~éW êeÉáÖÜíW Üqçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W p
sçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 86/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
74
Figure 53.
347. ( )êÜOo p +π=
348. Üo P
Os Oπ=
kçíÉW qÜÉ ÖáîÉå Ñçêãìä~ë ~êÉ ÅçêêÉÅí ÄçíÜ Ñçê ±çéÉå≤
~åDZÅäçëÉÇ≤ ëéÜÉêáÅ~ä ëÉÅíçêK
3.37 Spherical Segment
o~Çáìë çÑ ëéÜÉêÉW oo~Çáìë çÑ Ä~ëÉëW Nê I Oê
eÉáÖÜíW Ü^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä ëìêÑ~ÅÉW pp
^êÉ~ çÑ éä~åÉ ÉåÇ Ñ~ÅÉëW Np I Op
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 87/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
75
Figure 54.
349. oÜOp p π=
350. ( )OO
ONONp êêoÜOpppp ++π=++=
351. ( )OOO
ON ÜêPêPÜ
SNs ++π=
3.38 Spherical Wedge
o~ÇáìëW oaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ÇÉÖêÉÉëW ñaáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ áå ê~Çá~åëW α ^êÉ~ çÑ ëéÜÉêáÅ~ä äìåÉW ip
qçí~ä ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 88/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
76
Figure 55.
352. ñ o OVM
o p O
O
i =απ
=
353. ñ o Oo VM
o o p OO
OO +π=απ
+π=
354. ñ o PO
OTMo s P
P
=απ=
3.39 Ellipsoid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI ÅsçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 89/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
77
Figure 56.
355. ~ÄÅP
Qs π=
Prolate Spheroid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ > FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
356.
+π=
É
É~êÅëáå~ Ä ÄOp I
ïÜÉêÉ~
Ä~É
OO −= K
357. ~ Ä
P
Qs Oπ=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 90/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
78
Oblate Spheroid
pÉãá-~ñÉëW ~I ÄI Ä E Ä~ < FpìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
358.
+π=~L ÄÉ
~
ÄÉ~êÅëáåÜ~
Ä ÄOp I
ïÜÉêÉ~ Ä
ÉOO −
= K
359. ~ ÄP
Qs Oπ=
3.40 Circular Torus
j~àçê ê~ÇáìëW ojáåçê ê~ÇáìëW ê
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 91/338
CHAPTER 3. GEOMETRY
79
Picture 57.
360. oêQp Oπ=
361. OO oêOs π=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 92/338
80
Chapter 4
Trigonometry
^åÖäÉëW α I β
oÉ~ä åìãÄÉêë EÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ éçáåíFW ñI ó
tÜçäÉ åìãÄÉêW â
4.1 Radian and Degree Measures of Angles
362. ?QRDNTRTNUM
ê~ÇN °≈π°
=
363. ê~ÇMNTQRPKMê~ÇNUM
N ≈π
=°
364. ê~ÇMMMOVNKMê~ÇSMNUM
DN ≈⋅π
=
365. ê~ÇMMMMMRKMê~ÇPSMMNUM
?N ≈⋅π=
366. ^åÖäÉEÇÉÖêÉÉëF
M PM QR SM VM NUM OTM PSM
^åÖäÉEê~Çá~åëF M
S
π
Q
π
P
π
O
π π
O
Pπ πO
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 93/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 94/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
82
371.ê
ëÉÅ =α
372. ó
êÅçëÉÅ =α
373. páåÉ cìåÅíáçåñ ëáå ó = I Nñ ëáåN ≤≤− K
Figure 59.
374. `çëáåÉ cìåÅíáçåÅçë ó = I NÅçëN ≤≤− K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 95/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
83
Figure 60.
375. q~åÖÉåí cìåÅíáçå
í~å ó = I ( )O
Nâ Oñ π+≠ I Kí~å ∞≤≤∞−
Figure 61.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 96/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
84
376. `çí~åÖÉåí cìåÅíáçåÅçí ó = I π≠ â ñ I ∞≤≤∞− Åçí K
Figure 62.
377. pÉÅ~åí cìåÅíáçå
ëÉÅ ó = I ( )O
Nâ Oñ π+≠ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 97/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
85
Figure 63.
378. `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåÉÅÅçë ó = I π≠ â ñ K
Figure 64.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 98/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
86
4.3. Signs of Trigonometric Functions
379.nì~Çê~åí
páåα
`çëα
q~åα
`çíα
pÉÅα
`çëÉÅα
f H H H H H Hff H H
fff H Hfs H H
380.
Figure 65.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 99/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
87
4.4 Trigonometric Functions of Common Angles
381.°α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí αëÉÅ αÅçëÉÅ
M M M N M ∞ N ∞
PMS
π
O
N
O
P
P
N P
P
O O
QRQ
π
O
O
O
O N N O O
SMP
π
O
P
O
N P
P
N O
P
O
VMO
π N M ∞ M ∞ N
NOMP
Oπ
O
P
O
N− P−
P
N− O−
P
O
NUM π M N− M ∞ N− ∞
OTMO
Pπ N− M ∞ M ∞ N−
PSM πO M N M ∞ N ∞
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 100/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
88
382.
°α ê~Çα αëáå αÅçë αí~å αÅçí
NR NO
π
Q
OS − Q
OS + PO− PO+
NUNM
π
Q
NR −
Q
RONM+R
ROR− ROR+
PSR
π
Q
RONM−Q
NR +
NR
RONM
+
−RONM
NR
−
+
RQNM
Pπ
Q
NR +
Q
RONM−RONM
NR
−
+NR
RONM
+
−
TOR
Oπ
Q
RONM+Q
NR − ROR+ R
ROR−
TRNO
Rπ Q
OS + Q
OS − PO+ PO−
4.5 Most Important Formulas
383. NÅçëëáå OO =α+α
384. Ní~åëÉÅ OO =α−α
385. NÅçíÅëÅ OO =α−α
386. αα
=α Åçë
ëáåí~å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 101/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
89
387.αα
=αëáå
ÅçëÅçí
388. NÅçíí~å =α⋅α
389.α
=αÅçë
NëÉÅ
390.α
=αëáå
NÅçëÉÅ
4.6 Reduction Formulas
391. β βëáå βÅçë βí~å βÅçí
α− α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí α−°VM α+ Åçë α+ ëáå α+ Åçí α+ í~å
α+°VM α+ Åçë α− ëáå α− Åçí α− í~å
α−°NUM α+ ëáå α− Åçë α− í~å α− Åçí
α+°NUM α− ëáå α− Åçë α+ í~å α+ Åçí
α−°OTM α− Åçë α− ëáå α+ Åçí α+ í~å
α+°OTM α− Åçë α+ ëáå α− Åçí α− í~å
α−°PSM α− ëáå α+ Åçë α− í~å α− Åçí
α+°PSM α+ ëáå α+ Åçë α+ í~å α+ Åçí
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 102/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
90
4.7 Periodicity of Trigonometric Functions
392. ( ) α=π±α ëáååOëáå I éÉêáçÇ πO çê °PSM K
393. ( ) α=π±α ÅçëåOÅçë I éÉêáçÇ πO çê °PSM K
394. ( ) α=π±α í~ååí~å I éÉêáçÇ π çê °NUM K
395. ( ) α=π±α ÅçíåÅçí I éÉêáçÇ π çê °NUM K
4.8 Relations between TrigonometricFunctions
396. ( ) NQOÅçëOOÅçëNO
NÅçëNëáå
OO
−
π
−α
=α−±=α−±=α
Oí~åN
Oí~åO
O α+
α
=
397. ( ) NOÅçëOOÅçëNO
NëáåNÅçë OO −
α=α+±=α−±=α
Oí~åN
Oí~åN
O
O
α+
α−
=
398. αα−
=α+α
=−α±=αα
=α Oëáå
OÅçëN
OÅçëN
OëáåNëÉÅÅçë
ëáåí~å
O
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 103/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
91
Oí~åN
Oí~åO
OÅçëN
OÅçëN
O α+
α
=α+α−
±=
399.α−α
=αα+
=−α±=αα
=αOÅçëN
Oëáå
Oëáå
OÅçëNNÅëÅ
ëáå
ÅçëÅçí O
O
í~åO
Oí~åN
OÅçëN
OÅçëNO
α
α−
=α−α+
±=
400.
Oí~åN
Oí~åN
í~åNÅçë
NëÉÅ
O
O
O
α−
α+
=α+±=α
=α
401.
Oí~åO
Oí~åNÅçíN
ëáå
NÅëÅ
O
O
α
α+=α+±=
α=α
4.9 Addition and Subtraction Formulas
402. ( ) αβ+βα=β+α ÅçëëáåÅçëëáåëáå
403. ( ) αβ−βα=−α ÅçëëáåÅçëëáå ó ëáå
404. ( ) βα−βα=β+α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë
405. ( ) βα+βα=β−α ëáåëáåÅçëÅçëÅçë
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 104/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
92
406. ( )βα−β+α
=β+αí~åí~åN
í~åí~åí~å
407. ( )βα+β−α=β−α
í~åí~åNí~åí~åí~å
408. ( )β+αβα−
=β+αí~åí~å
í~åí~åNÅçí
409. ( ) β−α
βα+
=β−α í~åí~å
í~åí~åN
Åçí
4.10 Double Angle Formulas
410. α⋅α=α ÅçëëáåOOëáå
411. NÅçëOëáåONëáåÅçëOÅçë OOOO −α=α−=α−α=α
412.α−α
=α−α
=αí~åÅçí
O
í~åN
í~åOOí~å
O
413.O
í~åÅçíÅçíO
NÅçíOÅçíO
α−α=α−α=α
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 105/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
93
4.11 Multiple Angle Formulas
414. α−α⋅α=α−α=α POP
ëáåëáåÅçëPëáåQëáåPPëáå
415. α⋅α−α⋅α=α ÅçëëáåUÅçëëáåQQëáå P
416. α+α−α=α RP ëáåNSëáåOMëáåRRëáå
417. α⋅α−α=α−α=α OPP ëáåÅçëPÅçëÅçëPÅçëQPÅçë
418. NÅçëUÅçëUQÅçë OQ +α−α=α
419. α+α−α=α ÅçëRÅçëOMÅçëNSRÅçë PR
420.α−α−α
=αO
P
í~åPN
í~åí~åPPí~å
421.α+α−α−α
=αQO
P
í~åí~åSN
í~åQí~åQQí~å
422.α+α−α+α−α
=αQO
PR
í~åRí~åNMN
í~åRí~åNMí~åRí~å
423.NÅçíP
ÅçíPÅçíPÅçí
O
P
−αα−α=α
424.α−αα+α−
=αP
QO
í~åQí~åQ
í~åí~åSNQÅçí
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 106/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
94
425.α+α−α
α+α−=α
í~åRí~åNMí~å
í~åRí~åNMNRÅçí
PR
QO
4.12 Half Angle Formulas
426.O
ÅçëN
Oëáå
α−±=
α
427.O
ÅçëN
OÅçë
α+±=
α
428. α−α=αα−
=α+α
=α+α−
±=α
ÅçíÅëÅëáå
ÅçëN
ÅçëN
ëáå
ÅçëN
ÅçëN
Oí~å
429. α+α=αα+
=α−α
=α−α+
±=α
ÅçíÅëÅëáå
ÅçëN
ÅçëN
ëáå
ÅçëN
ÅçëN
OÅçí
4.13 Half Angle Tangent Identities
430.
Oí~åN
Oí~åO
ëáåO α+
α
=α
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 107/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
95
431.
Oí~åN
Oí~åN
ÅçëO
O
α+
α−
=α
432.
Oí~åN
Oí~åO
í~åO α−
α
=α
433.
Oí~åO
Oí~åN
ÅçíO
αα−
=α
4.14 Transforming of TrigonometricExpressions to Product
434.O
ÅçëO
ëáåOëáåëáå β−αβ+α
=β+α
435.O
ëáåO
ÅçëOëáåëáå β−αβ+α
=β−α
436.O
ÅçëO
ÅçëOÅçëÅçë β−αβ+α
=β+α
437.O
ëáåO
ëáåOÅçëÅçë β−αβ+α
−=β−α
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 108/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
96
438.( )
β⋅αβ+α
=β+αÅçëÅçë
ëáåí~åí~å
439. ( )β⋅αβ−α=β−α
ÅçëÅçëëáåí~åí~å
440.( )
β⋅αα+β
=β+αëáåëáå
ëáåÅçíÅçí
441.
( )β⋅αα−β
=β−α ëáåëáå
ëáåÅçíÅçí
442.
α+π
=
α−π
=α+αQ
ëáåOQ
ÅçëOëáåÅçë
443.
α+π
=
α−π
=α−α
Q
ÅçëO
Q
ëáåOëáåÅçë
444.( )
β⋅αβ−α
=β+αëáåÅçë
ÅçëÅçíí~å
445.( )
β⋅αβ+α
−=β−αëáåÅçë
ÅçëÅçíí~å
446.O
ÅçëOÅçëN O α=α+
447.O
ëáåOÅçëN O α=α−
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 109/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
97
448.
α−π
=α+OQ
ÅçëOëáåN O
449.
α−π=α−
OQëáåOëáåN O
4.15 Transforming of TrigonometricExpressions to Sum
450.( ) ( )
O
ÅçëÅçëëáåëáå
β+α−β−α=β⋅α
451.( ) ( )
O
ÅçëÅçëÅçëÅçë
β+α+β−α=β⋅α
452.( ) ( )
O
ëáåëáåÅçëëáå
β+α+β−α=β⋅α
453.β+αβ+α
=β⋅αÅçíÅçí
í~åí~åí~åí~å
454.β+α β+α=β⋅α
í~åí~åÅçíÅçíÅçíÅçí
455.β+αβ+α
=β⋅αí~åÅçí
Åçíí~åÅçíí~å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 110/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
98
4.16 Powers of Trigonometric Functions
456.O
OÅçëNëáå O α−=α
457.Q
PëáåëáåPëáå P α−α
=α
458.
U
POÅçëQQÅçëëáå Q +α−α
=α
459.NS
RëáåPëáåRëáåNMëáå R α+α−α
=α
460.PO
SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMëáå S α−α+α−
=α
461.O
OÅçëNÅçë O α+=α
462.Q
PÅçëÅçëPÅçë P α+α
=α
463. U
POÅçëQQÅçë
Åçë
Q +α+α
=α
464.NS
RÅçëPëáåRÅçëNMÅçë R α+α+α
=α
465.PO
SÅçëQÅçëSOÅçëNRNMÅçë S α+α+α+
=α
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 111/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
99
4.17 Graphs of Inverse TrigonometricFunctions
466. fåîÉêëÉ páåÉ cìåÅíáçå
ñ ~êÅëáå ó = I NN ≤≤− IO
ñ ~êÅëáåO
π≤≤
π− K
Figure 66.
467. fåîÉêëÉ `çëáåÉ cìåÅíáçå
~êÅÅçë ó = I NN ≤≤− I π≤≤ ~êÅÅçëM K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 112/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
100
Figure 67.
468. fåîÉêëÉ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
~êÅí~å ó = I ∞≤≤∞− I Oñ ~êÅí~åO
π
<<
π
− K
Figure 68.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 113/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 114/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
102
471. fåîÉêëÉ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
( ] [ ) KO
IMMIO
ñ ÅëÅ~êÅIINNIñ Iñ ~êÅÅëÅ ó
π∪
π−∈∞∪−∞−∈=
Figure 71.
4.18 Principal Values of InverseTrigonometric Functions
472.M
O
N
O
O
O
PN
ñ ~êÅëáå °M °PM °QR °SM °VM~êÅÅçë °VM °SM °QR °PM °M
O
N−
O
O−
O
P− N−
ñ ~êÅëáå°−PM
°− QR °− SM
− VM
~êÅÅçë °NOM
°NPR °NRM
°NUM
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 115/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
103
473.M
P
PN P
P
P− N− P−
~êÅí~å °M °PM °QR °SM °−PM
°− QR
°− SM
Åçí~êÅ °VM °SM °QR °PM °NOM °NPR
°NRM
4.19 Relations between Inverse
Trigonometric Functions
474. ( ) ñ ~êÅëáåñ ~êÅëáå −=−
475. ñ ~êÅÅçëO
ñ ~êÅëáå −π
=
476. Oñ N~êÅÅçëñ ~êÅëáå −= I NM ≤≤ K
477. Oñ N~êÅÅçëñ ~êÅëáå −−= I MN ≤≤− K
478.Oñ N
ñ ~êÅí~åñ ~êÅëáå
−= I NO < K
479.ñ N
Åçí~êÅñ ~êÅëáåO−
= I NM ≤< K
480. π−−
= ñ N
Åçí~êÅñ ~êÅëáåO
I MN <≤− K
481. ( ) ñ ~êÅÅçëñ ~êÅÅçë −π=−
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 116/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
104
482. ñ ~êÅëáåO
ñ ~êÅÅçë −π
=
483. Oñ N~êÅëáåñ ~êÅÅçë −= I NM ≤≤ K
484. Oñ N~êÅëáåñ ~êÅÅçë −−π= I MN ≤≤− K
485.ñ N
~êÅí~åñ ~êÅÅçëO−
= I NM ≤< K
486.ñ N
~êÅí~åñ ~êÅÅçëO−
+π= I MN <≤− K
487.Oñ N
ñ Åçí~êÅñ ~êÅÅçë
−= I NN ≤≤− K
488. ( ) ñ ~êÅí~åñ ~êÅí~å −=−
489. ñ Åçí~êÅO
ñ ~êÅí~å −π
=
490.Oñ N
ñ ~êÅëáåñ ~êÅí~å
+=
491.Oñ N
N~êÅÅçëñ ~êÅí~å
+= I M≥ K
492.Oñ N
N~êÅÅçëñ ~êÅí~å
+−= I M≤ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 117/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
105
493.N
~êÅí~åO
ñ ~êÅí~å −π
= I M> K
494. N~êÅí~åO
ñ ~êÅí~å −π−= I M< K
495.N
Åçí~êÅñ ~êÅí~å = I M> K
496. π−= NÅçí~êÅñ ~êÅí~å I M< K
497. ( ) ñ Åçí~êÅñ Åçí~êÅ −π=−
498. ñ ~êÅí~åO
ñ Åçí~êÅ −π
=
499. Oñ NN~êÅëáåñ Åçí~êÅ+= I M> K
500.Oñ N
N~êÅëáåñ Åçí~êÅ
+−π= I M< K
501.Oñ N
ñ ~êÅÅçëñ Åçí~êÅ
+
=
502.N
~êÅí~åñ Åçí~êÅ = I M> K
503.N
~êÅí~åñ Åçí~êÅ +π= I M< K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 118/338
CHAPTER 4. TRIGONOMETRY
106
4.20 Trigonometric Equations
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
504. ~ñ ëáå = I ( ) å~~êÅëáåNñ å π+−=
505. ~Åçë = I åO~~êÅÅçë π+±=
506. ~í~å = I å~~êÅí~å π+=
507. ~Åçí = I å~Åçí~êÅ π+=
4.21 Relations to Hyperbolic Functions
fã~Öáå~êó ìåáíW á
508. ( ) ñ ëáåÜááñ ëáå =
509. ( ) ñ í~åÜááñ í~å =
510. ( ) ñ ÅçíÜááñ Åçí −=
511. ( ) ñ ëÉÅÜáñ ëÉÅ =
512. ( ) ñ ÅëÅÜááñ ÅëÅ −=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 119/338
107
Chapter 5
Matrices and Determinants
j~íêáÅÉëW ^I _I `bäÉãÉåíë çÑ ~ ã~íêáñW á~ I á Ä I áà~ I áà Ä I áàÅ
aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ^ÇÉíjáåçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áàj
`çÑ~Åíçê çÑ ~å ÉäÉãÉåí áà~ W áà`
qê~åëéçëÉ çÑ ~ ã~íêáñW q^ I ^ú
^Çàçáåí çÑ ~ ã~íêáñW ^~Çà
qê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW ^íê
fåîÉêëÉ çÑ ~ ã~íêáñW N^−
oÉ~ä åìãÄÉêW âoÉ~ä î~êá~ÄäÉëW áñ
k~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI å
5.1 Determinants
513. pÉÅçåÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
NOON
OO
NN Ä~ Ä~ Ä~
Ä~^ÇÉí −==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 120/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
108
514. qÜáêÇ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
−++== POONNPPNOPNOPPOONN
PPPOPN
OPOOON
NPNONN
~~~~~~~~~
~~~
~~~
~~~
^ÇÉí
PNOONPPPONNOPOOPNN ~~~~~~~~~ −−−
515. p~êêìë oìäÉ E^êêçï oìäÉF
Figure 72.
516. k-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åí
åååàOåNå
áåáàOáNá
åO àOOOON
åN àNNONN
~~~~
~~~~
~~~~
~~~~
^ÇÉí
KK
KKKKKK
KK
KKKKKK
KK
KK
=
517. jáåçêqÜÉ ãáåçê áàj ~ë ë çÅá~íÉ Ç ïá íÜ íÜ É É ä É ãÉ åí áà~ çÑ å-íÜ çêÇÉê
ã~íêáñ ^ áë íÜÉ ( )Nå− -íÜ çêÇÉê ÇÉíÉêãáå~åí ÇÉêáîÉÇ Ñêçã
íÜÉ ã~íêáñ ^ Äó ÇÉäÉíáçå çÑ áíë á-íÜ êçï ~åÇ à-íÜ ÅçäìãåK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 121/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
109
518. `çÑ~Åíçê
( ) áà
àá
áà jN` +−=
519. i~éä~ÅÉ bñé~åëáçå çÑ å-íÜ lêÇÉê aÉíÉêãáå~åíi~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ á-íÜ êçï
∑=
=å
N àáàáà`~^ÇÉí I åIIOINá K= K
i~éä~ÅÉ Éñé~åëáçå Äó ÉäÉãÉåíë çÑ íÜÉ à-íÜ Åçäìãå
∑=
=å
Nááàáà`~^ÇÉí I åIIOIN à K= K
5.2 Properties of Determinants
520. qÜÉ î~äìÉ çÑ ~ ÇÉíÉêãáå~åí êÉã~áåë ìåÅÜ~åÖÉÇ áÑ êçïë ~êÉ
ÅÜ~åÖÉÇ íç Åçäìãåë ~åÇ Åçäìãåë íç êçïëK
OO
NN
ON
ON
Ä~
Ä~
Ä Ä
~~=
521. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉ ëáÖå çÑíÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ÅÜ~åÖÉÇK
NN
OO
OO
NN
Ä~
Ä~
Ä~
Ä~−=
522. fÑ íïç êçïë Eçê íïç ÅçäìãåëF ~êÉ áÇÉåíáÅ~äI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉÇÉíÉêãáå~åí áë òÉêçK
M~~
~~
OO
NN =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 122/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
110
523. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ ãìäíáéäáÉÇ Äó~ Åçããçå Ñ~ÅíçêI íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åí áë ãìäíáéäáÉÇ Äó íÜ~íÑ~ÅíçêK
OO
NN
OO
NN
Ä~ Ä~â
Ä~âÄâ~ =
524. fÑ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çÑ ~åó êçï Eçê ÅçäìãåF ~êÉ áåÅêÉ~ëÉÇ EçêÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó Éèì~ä ãìäíáéäÉë çÑ íÜÉ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíëçÑ ~åó çíÜÉê êçï Eçê ÅçäìãåFI íÜÉ î~äìÉ çÑ íÜÉ ÇÉíÉêãáå~åíáë ìåÅÜ~åÖÉÇK
OO
NN
OOO
NNN
Ä~ Ä~
ÄâÄ~ ÄâÄ~ =++
5.3 Matrices
525. aÉÑáåáíáçå^å åã× ã~íêáñ ^ áë ~ êÉÅí~åÖìä~ê ~êê~ó çÑ ÉäÉãÉåíë Eåìã-
ÄÉêë çê ÑìåÅíáçåëF ïáíÜ ã êçïë ~åÇ å ÅçäìãåëK
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
~~~
~~~
~~~
~^
K
MMM
K
K
526. pèì~êÉ ã~íêáñ áë ~ ã~íêáñ çÑ çêÇÉê åå× K
527. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñ áà~ áë ëóããÉíêáÅ áÑ àááà ~~ = I áKÉK áí áë
ëóããÉíêáÅ ~Äçìí íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK
528. ^ ëèì~êÉ ã~íêáñáà
~ áë ëâÉï -ëóããÉíêáÅ áÑ àááà
~~ −= K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 123/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
111
529. aá~Öçå~ä ã~íêáñ áë ~ ëèì~êÉ ã~íêáñ ïáíÜ ~ää ÉäÉãÉåíë òÉêçÉñÅÉéí íÜçëÉ çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äK
530. råáí ã~íêáñ áë ~ Çá~Öçå~ä ã~íêáñ áå ïÜáÅÜ íÜÉ ÉäÉãÉåíë çåíÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~ä ~êÉ ~ää ìåáíóK qÜÉ ìåáí ã~íêáñ áëÇÉåçíÉÇ Äó fK
531. ^ åìää ã~íêáñ áë çåÉ ïÜçëÉ ÉäÉãÉåíë ~êÉ ~ää òÉêçK
5.4 Operations with Matrices
532. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ ~êÉ Éèì~ä áÑI ~åÇ çåäó áÑI íÜÉó ~êÉ ÄçíÜçÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× ~åÇ ÅçêêÉëéçåÇáåÖ ÉäÉãÉåíë ~êÉÉèì~äK
533. qïç ã~íêáÅÉë ^ ~åÇ _ Å~å ÄÉ ~ÇÇÉÇ Eçê ëìÄíê~ÅíÉÇF çÑI ~åÇçåäó áÑI íÜÉó Ü~îÉ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ åã× K fÑ
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
~~~
~~~
~~~
~^
K
MMM
K
K
I
[ ]
==
ãåOãNã
åOOOON
åNNONN
áà
Ä Ä Ä
Ä Ä Ä
Ä Ä Ä
Ä_
K
MMM
K
K
I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 124/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 125/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
113
íÜÉå
==
ãâ OãNã
â OOOON
â NNONN
ÅÅ Ä
ÅÅÅ
ÅÅÅ
`^_
K
MMM
K
K
I
ïÜÉêÉ
∑=λ
λλ=+++=å
N àáåàáå àOOá àNNááà Ä~ Ä~ Ä~ Ä~Å K
E ãIIOINá K= X â IIOIN à K= FK
qÜìë áÑ
[ ]
==
OPOOON
NPNONN
áà ~~~
~~~~^ I [ ]
==
P
O
N
á
Ä
Ä
Ä
Ä_ I
íÜÉå
=
⋅
=
POPOOONON
PNPONONNN
P
O
N
OPOOON
NPNONN
Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~ Ä~
Ä
Ä
Ä
~~~~~~^_ K
536. qê~åëéçëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ íÜÉ êçïë ~åÇ Åçäìãåë çÑ ~ ã~íêáñ ~êÉ áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI íÜÉåíÜÉ åÉï ã~íêáñ áë Å~ääÉÇ íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñK
fÑ ^ áë íÜÉ çêáÖáå~ä ã~íêáñI áíë íê~åëéçëÉ áë ÇÉåçíÉÇ q^ çêú̂ K
537. qÜÉ ã~íêáñ ^ áë çêíÜçÖçå~ä áÑ f^^ q = K
538. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
( ) qqq ^_^_ = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 126/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
114
539. ^Çàçáåí çÑ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë ~ÇàçáåíI ÇÉåçíÉÇ Äó ^~Çà I
áë íÜÉ íê~åëéçëÉ çÑ íÜÉ ã~íêáñ çÑ ÅçÑ~Åíçêë áà` çÑ ^W
[ ]qáà`^~Çà = K
540. qê~ÅÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI áíë íê~ÅÉI ÇÉåçíÉÇ Äó ^íê I áë
ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ íÜÉ ëìã çÑ íÜÉ íÉêãë çå íÜÉ äÉ~ÇáåÖ Çá~Öçå~äW
ååOONN ~~~^íê +++= K K
541. fåîÉêëÉ çÑ ~ j~íêáñfÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñ ïáíÜ ~ åçåëáåÖìä~ê ÇÉíÉêãáå~åí
^Ç Éí I í ÜÉå áí ë áåîÉêëÉ N^− áë ÖáîÉå Äó
^ÇÉí
^~Çà^ N=− K
542. fÑ íÜÉ ã~íêáñ éêçÇìÅí ^_ áë ÇÉÑáåÉÇI íÜÉå
( ) NNN ^_^_ −−− = K
543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ åå× ã~íêáñI íÜÉ ÉáÖÉåîÉÅíçêë u ë~íáëÑóíÜÉ Éèì~íáçå
u^u λ= I ïÜáäÉ íÜÉ ÉáÖÉåî~äìÉë λ ë~íáëÑó íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå
Mf^ =λ− K
5.5 Systems of Linear Equations
s~êá~ÄäÉëW ñI óI òI Nñ I KIñ O
oÉ~ä åìãÄÉêëW KI~I~I ÄI~I~I~ NONNNPON
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 127/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
115
aÉíÉêãáå~åíëW aI ñ a I ó a I òa
j~íêáÅÉëW ^I _I u
544.
=+
=+
OOO
NNN
Ç ó Äñ ~
Ç ó Äñ ~I
a
añ ñ = I
a
a ó
ó = E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI
ïÜÉêÉ
NOON
OO
NN
Ä~ Ä~ Ä~
Ä~
a −== I
NOON
OO
NN
ñ ÄÇ ÄÇ ÄÇ
ÄÇa −== I
NOON
OO
NN
ó Ç~Ç~Ç~
Ç~a −== K
545. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
a
añ ñ = I
a
a ó
ó = K
fÑ Ma= ~åÇ Ma ñ ≠ Eçê Ma ó ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë åç
ëçäìíáçåKfÑ Maaa ó ñ === I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó
ëçäìíáçåëK
546.
=++
=++
=++
PPPP
OOOO
NNNN
ÇòÅ ó Äñ ~
ÇòÅ ó Äñ ~
ÇòÅ ó Äñ ~
I
a
añ ñ = I
a
a ó
ó = Ia
aò ò= E`ê~ãÉê∞ë êìäÉFI
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 128/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
116
ïÜÉêÉ
PPP
OOO
NNN
Å Ä~
Å Ä~
Å Ä~
a= I
PPP
OOO
NNN
ñ
Å ÄÇ
Å ÄÇ
Å ÄÇ
a = I
PPP
OOO
NNN
ó
ÅÇ~
ÅÇ~
ÅÇ~
a = I
PPP
OOO
NNN
ò
Ç Ä~
Ç Ä~
Ç Ä~
a = K
547. fÑ Ma≠ I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë ~ ëáåÖäÉ ëçäìíáçåW
aañ ñ = I
aa ó
ó = Ia
aò ò= K
fÑ Ma= ~åÇ Ma ñ ≠ Eçê Ma ó ≠ çê Maò ≠ FI íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã
Ü~ë åç ëçäìíáçåKfÑ Maaaa ò ó ñ ==== I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó
ã~åó ëçäìíáçåëK
548. j~íêáñ cçêã çÑ ~ póëíÉã çÑ å iáåÉ~ê bèì~íáçåë áåå råâåçïåëqÜÉ ëÉí çÑ äáåÉ~ê Éèì~íáçåë
=+++
=+++
=+++
ååååOOåNNå
OååOOOONON
NååNONONNN
Äñ ~ñ ~ñ ~
Äñ ~ñ ~ñ ~
Äñ ~ñ ~ñ ~
K
KKKKKKKKKKKK
K
K
Å~å ÄÉ ïêáííÉå áå ã~íêáñ Ñçêã
=
⋅
å
O
N
å
O
N
ååOåNå
åOOOON
åNNONN
Ä
Ä
Ä
ñ
ñ
ñ
~~~
~~~
~~~
MM
K
MMM
K
K
I
áKÉK
_u^ =⋅ I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 129/338
CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMINANTS
117
ïÜÉêÉ
=
ååOåNå
åOOOON
åNNONN
~~~
~~~
~~~
^
K
MMM
K
K
I
=
å
O
N
ñ
ñ
ñ
u M I
=
å
O
N
Ä
Ä
Ä
_ M K
549. pçäìíáçå çÑ ~ pÉí çÑ iáåÉ~ê bèì~íáçåë åå×
_^u N⋅= − I
ïÜÉêÉ N^− áë íÜÉ áåîÉêëÉ çÑ ^K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 130/338
118
Chapter 6
Vectors
sÉÅíçêëW ìr
I î r
I ï r
I êr
I→
^ _ I £sÉÅíçê äÉåÖíÜW ì
rI î r
I £
råáí îÉÅíçêëW ár I àr I â r
kìää îÉÅíçêW Mr
`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê ì
rW NNN wIvIu
`ççêÇáå~íÉë çÑ îÉÅíçê î r
W OOO wIvIu
pÅ~ä~êëW λ Iµ
aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçë
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç îÉÅíçêëW θ
6.1 Vector Coordinates
550. råáí sÉÅíçêë
( )MIMINá =r
I
( )MINIM à =r I
( )NIMIMâ =r
I
Nâ àá === rrr
K
551. ( ) ( ) ( ) â òò à ó ó áñ ñ ^_ê MNMNMN
rrrr−+−+−==
→
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 131/338
CHAPTER 6. VECTORS
119
Figure 73.
552. ( ) ( ) ( )O
MN
O
MN
O
MN òò ó ó ñ ñ ^_ê −+−+−==→r
553. fÑ ê^_ r=
→
I íÜÉå ê_^ r−=
→
K
Figure 74.
554. α= Åçëêu r
I
β= Åçëêv r
I
γ= Åçëêw r K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 132/338
CHAPTER 6. VECTORS
120
Figure 75.
555. fÑ ( ) ( )NNNN wIvIuêwIvIuê rr = I íÜÉå
Nuu = I Nvv = I Nww = K
6.2 Vector Addition
556. î ì ï rrr
+=
Figure 76.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 133/338
CHAPTER 6. VECTORS
121
Figure 77.
557. åPON ìììì ï r
Krrrr
++++=
Figure 78.
558. `çããìí~íáîÉ i~ïì î î ì
rrrr+=+
559. ^ëëçÅá~íáîÉ i~ï( ) ( ) ï î ì ï î ì
rrrrrr++=++
560. ( )ONONON wwIvvIuu î ì +++=+ rr
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 134/338
CHAPTER 6. VECTORS
122
6.3 Vector Subtraction
561. î ì ï
rrr
−= áÑ ì ï î
rrr
=+ K
Figure 79.
Figure 80.
562. ( ) î ì î ì rrrr
−+=−
563. ( )MIMIMMìì ==− rrr
564. MM =r
565. ( )ONONON wwIvvIuu î ì −−−=− rr
I
6.4 Scaling Vectors
566. ì ï rr λ=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 135/338
CHAPTER 6. VECTORS
123
Figure 81.
567. ì ï rr⋅λ=
568.( )
wIvIuì λλλ=λr
569. λ=λ ìì rr
570. ( ) ììì rrrµ+λ=µ+λ
571. ( ) ( ) ( )ììì rrr
λµ=λµ=µλ
572. ( ) î ì î ì rrrr λ+λ=+λ
6.5 Scalar Product
573. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ì
r
~åÇ î
r
θ⋅⋅=⋅ Åçë î ì î ì rrrr I
ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå îÉÅíçêë ìr
~ å Ç î r
K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 136/338
CHAPTER 6. VECTORS
124
Figure 82.
574. pÅ~ä~ê mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêãfÑ ( )
NNN
wIvIuì =r
I ( )OOO
wIvIu î =r
I íÜÉå
ONONON wwvvuu î ì ++=⋅ rr K
575. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêëfÑ ( )NNN wIvIuì =
rI ( )OOO wIvIu î =r
I íÜÉå
O
O
O
O
O
O
O
N
O
N
O
N
ONONON
wvuwvu
wwvvuuÅçë
++++
++=θ K
576. `çããìí~íáîÉ mêçéÉêíóì î î ì
rrrr⋅=⋅
577. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) î ì î ì
rrrr⋅λµ=µ⋅λ
578. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó
( ) ï ì î ì ï î ì rrrrrrr ⋅+⋅=+⋅
579. M î ì =⋅rr
áÑ ìr
I î r
~êÉ çêíÜçÖçå~ä EO
π=θ FK
580. M î ì >⋅rr
áÑO
M π<θ< K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 137/338
CHAPTER 6. VECTORS
125
581. M î ì <⋅rr
áÑ π<θ<π
OK
582. î ì î ì rrrr
⋅≤⋅
583. î ì î ì rrrr⋅=⋅ áÑ ì
rI î r
~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK
584. fÑ ( )NNN wIvIuì =r
I íÜÉåO
N
O
N
O
N
OO wvuìììì ++===⋅ rrrr
K
585. Nâ â à àáá =⋅=⋅=⋅ rrrrrr
586. Máâ â à àá =⋅=⋅=⋅ rrrrrr
6.6 Vector Product
587. sÉÅíçê mêçÇìÅí çÑ sÉÅíçêë ìr
~åÇ î r
ï î ì
rrr=× I ïÜÉêÉ
• θ⋅⋅= ëáå î ì ï rrr
I ïÜÉêÉO
M π≤θ≤ X
• ì ï rr⊥ ~åÇ î ï
rr⊥ X
• sÉÅíçêë ìr
I î r
I ï r
Ñçêã ~ êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ ëÅêÉïK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 138/338
CHAPTER 6. VECTORS
126
Figure 83.
588.
OOO
NNN
wvu
wvu
â àá
î ì ï
rrr
rrr=×=
589.
−=×= OO
NN
OO
NN
OO
NN
vu
vu
Iwu
wu
Iwv
wv
î ì ï
rrr
590. θ⋅⋅=×= ëáå î ì î ìp rrrr
EcáÖKUPF
591. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç sÉÅíçêë EcáÖKUPF
î ì
î ìëáå rr
rr
⋅×
=θ
592. kçåÅçããìí~íáîÉ mêçéÉêíó( )ì î î ì
rrrr×−=×
593. ^ëëçÅá~íáîÉ mêçéÉêíó( ) ( ) î ì î ì
rrrr×λµ=µ×λ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 139/338
CHAPTER 6. VECTORS
127
594. aáëíêáÄìíáîÉ mêçéÉêíó( ) ï ì î ì ï î ì
rrrrrrr×+×=+×
595. M î ì
rrr
=× áÑ ìr
~åÇ î r
~êÉ é~ê~ääÉä E M=θ FK
596. Mâ â à àáárrrrrrr
=×=×=×
597. â àárrr
=× I áâ àrrr
=× I àáâ rrr
=×
6.7 Triple Product
598. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí[ ] ( ) ( ) ( ) î ì ï ì ï î ï î ì ï î ì
rrrrrrrrrrrr×⋅=×⋅=×⋅=
599. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] î ï ìì î ï ï ì î ì ï î î ì ï ï î ì rrrrrrrrrrrrrrrrrr
−=−=−===
600. ( ) [ ] ï î ìâ ï î ìâ rrrrrr=×⋅
601. pÅ~ä~ê qêáéäÉ mêçÇìÅí áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
( )
PPP
OOO
NNN
wvu
wvu
wvu
ï î ì =×⋅ rrr
I
ïÜÉêÉ( )NNN wIvIuì =
rI ( )OOO wIvIu î =r
I ( )PPP wIvIu ï =r
K
602. sçäìãÉ çÑ m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ( ) ï î ìs rrr×⋅=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 140/338
CHAPTER 6. VECTORS
128
Figure 84.
603. sçäìãÉ çÑ móê~ãáÇ
( ) ï î ìS
Ns
rrr×⋅=
Figure 85.
604. fÑ ( ) M ï î ì =×⋅ rrr
I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr
I î r
I ~åÇ ï r
~êÉ äáåÉ~êäó
ÇÉéÉåÇÉåí I ëç î ì ï rrrµ+λ= Ñçê ëçãÉ ëÅ~ä~êëλ ~åǵ K
605. fÑ ( ) M ï î ì ≠×⋅ rrr
I íÜÉå íÜÉ îÉÅíçêë ìr
I î r
I ~åÇ ï r
~êÉ äáåÉ~êäó
áåÇÉéÉåÇÉåíK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 141/338
CHAPTER 6. VECTORS
129
606. sÉÅíçê qêáéäÉ mêçÇìÅí( ) ( ) ( ) ï î ì î ï ì ï î ì
rrrrrrrrr⋅−⋅=××
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 142/338
130
Chapter 7
Analytic Geometry
7.1 One-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I M ó I N ó I O ó
oÉ~ä åìãÄÉêW λ aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç
607. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
ONNO ñ ñ ñ ñ ^_Ç −=−==
Figure 86.
608. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
λ+λ+=
Nñ ñ ñ ON
M I`_^`=λ I N−≠λ K
Figure 87.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 143/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
131
609. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
O
ñ ñ ñ ON
M
+= I N=λ K
7.2 Two-Dimensional Coordinate System
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW Mñ I Nñ I Oñ I M ó I N ó I O ó
mçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ϕIê
oÉ~ä åìãÄÉêW λ mçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅIaáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íïç éçáåíëW Ç^êÉ~W p
610. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
( ) ( )ONO
ONO ó ó ñ ñ ^_Ç −+−==
Figure 88.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 144/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
132
611. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
λ+λ+
=N
ñ ñ ñ ON
M Iλ+λ+
=N
ó ó ó ON
M I
`_^`=λ I N−≠λ K
Figure 89.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 145/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
133
Figure 90.
612. jáÇéçáåí çÑ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí
O
ñ ñ
ñ ON
M
+
= I O
ó ó
ó ON
M
+
= I N=λ K
613. `ÉåíêçáÇ EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ jÉÇá~åëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
P
ñ ñ ñ ñ PON
M
++= I
P
ó ó ó ó PON
M
++= I
ïÜÉêÉ ( )NN ó Iñ ^ I ( )OO ó Iñ _ I ~åÇ ( )PP ó Iñ ` ~êÉ îÉêíáÅÉë çÑ
íÜÉ íêá~åÖäÉ ^_` K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 146/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
134
Figure 91.
614. fåÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^åÖäÉ _áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
Å~
Åñ Äñ ~ñ ñ PON
M ++++
= IÅ~
Åó Äó ~ó ó PON
M ++++
= I
ïÜÉêÉ _`~ = I `^ Ä = I ^_Å = K
Figure 92.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 147/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
135
615. `áêÅìãÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ íÜÉ páÇÉ mÉêéÉåÇáÅìä~ê_áëÉÅíçêëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ
O
N ó ó ñ
N ó ó ñ
N ó ó ñ
ñ
PP
OO
NN
POP
OP
OOO
OO
NON
ON
M
++
+
= I
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ
O
N ó ñ ñ
N ó ñ ñ
N ó ñ ñ
ó
PP
OO
NN
OP
OPP
OO
OOO
ON
ONN
M
++
+
=
Figure 93.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 148/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
136
616. lêíÜçÅÉåíÉê EfåíÉêëÉÅíáçå çÑ ^äíáíìÇÉëF çÑ ~ qêá~åÖäÉ
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ ñ ó
N ó ñ ñ ó
N ó ñ ñ ó
ñ
PP
OO
NN
OPONP
OONPO
ONPON
M
+
+
+
= I
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ
Nñ ó ó ñ
Nñ ó ó ñ
Nñ ó ó ñ
ó
PP
OO
NN
PONOP
ONPOO
NPOON
M
+
+
+
=
Figure 94.
617. ^êÉ~ çÑ ~ qêá~åÖäÉ
( ) ( )NPNP
NONO
PP
OO
NN
ó ó ñ ñ
ó ó ñ ñ
O
N
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ
O
Np
−−
−−±=±=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 149/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
137
618. ^êÉ~ çÑ ~ nì~Çêáä~íÉê~ä
( ) ( )( ) ( )( )[ ++−++−±= POPOONON ó ó ñ ñ ó ó ñ ñ O
Np
( )( ) ( )( )NQNQQPQP ó ó ñ ñ ó ó ñ ñ +−++−+
Figure 95.
kçíÉW få Ñçêãìä~ë SNTI SNU ïÉ ÅÜççëÉ íÜÉ ëáÖå EHF çê E¥F ëçíÜ~í íç ÖÉí ~ éçëáíáîÉ ~åëïÉê Ñçê ~êÉ~K
619. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë( )NOON
OO
ON ÅçëêêOêê^_Ç ϕ−ϕ−+==
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 150/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
138
Figure 96.
620. `çåîÉêíáåÖ oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë íç mçä~ê `ççêÇáå~íÉëϕ= Åçëê I ϕ= ëáåê ó K
Figure 97.
621. `çåîÉêíáåÖ mçä~ê `ççêÇáå~íÉë íç oÉÅí~åÖìä~ê `ççêÇáå~íÉë
OO
ó ñ ê += I
ó
í~å =ϕ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 151/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
139
7.3 Straight Line in Plane
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW uI vI ñI Mñ I Nñ I M ó I N ó I N~ I O~ I £oÉ~ä åìãÄÉêëW âI ~I ÄI éI íI ^I _I `I N^ I O^ I £
^åÖäÉëW α I β
^åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íïç äáåÉëW ϕ
kçêã~ä îÉÅíçêW år
mçëáíáçå îÉÅíçêëW êr
I ~r
I Är
622. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉM`_ó ^ñ =++
623. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ píê~áÖÜí iáåÉqÜÉ îÉÅíçê ( )_I^å
r áë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ M`_ó ^ñ =++ K
Figure 98.
624. bñéäáÅáí bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí cçêãF
Äâñ ó += K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 152/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
140
qÜÉ Öê~ÇáÉåí çÑ íÜÉ äáåÉ áë α= í~åâ K
Figure 99.
625. dê~ÇáÉåí çÑ ~ iáåÉ
NO
NO
ñ ñ ó ó í~åâ
−−=α=
Figure 100.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 153/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
141
626. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ dáîÉå ~ mçáåí ~åÇ íÜÉ dê~ÇáÉåí( )MM ñ ñ â ó ó −+= I
ïÜÉêÉ â áë íÜÉ Öê~ÇáÉåíI ( )MM ó Iñ m áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK
Figure 101.
627. bèì~íáçå çÑ ~ iáåÉ qÜ~í m~ëëÉë qÜêçìÖÜ qïç mçáåíë
NO
N
NO
N
ñ ñ
ñ ñ
ó ó
ó ó
−−
=−−
çê
M
N ó ñ
N ó ñ
N ó ñ
OO
NN = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 154/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
142
Figure 102.
628. fåíÉêÅÉéí cçêã
N ó
~
ñ =+
Figure 103.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 155/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
143
629. kçêã~ä cçêãMéëáå ó Åçëñ =−β+β
Figure 104.
630. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã
v
ó ó
u
ñ ñ NN −=
−I
ïÜÉêÉ ( )vIu áë íÜÉ ÇáêÉÅíáçå çÑ íÜÉ äáåÉ ~åÇ ( )NNN ó Iñ m äáÉë
çå íÜÉ äáåÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 156/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
144
Figure 105.
631. sÉêíáÅ~ä iáåÉ~=
632. eçêáòçåí~ä iáåÉ Ä ó =
633. sÉÅíçê bèì~íáçå çÑ ~ píê~áÖÜí iáåÉ
Äí~êrrr
+= I ïÜÉêÉl áë íÜÉ çêáÖáå çÑ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉëIu áë ~åó î~êá~ÄäÉ éçáåí çå íÜÉ äáåÉI
~r áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~ âåçïå éçáåí ^ çå íÜÉ äáåÉ I
Är
áë ~ âåçïå îÉÅíçê çÑ ÇáêÉÅíáçåI é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉIí áë ~ é~ê~ãÉíÉêI
→
= luêr
áë íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê çÑ ~åó éçáåí u çå íÜÉ äáåÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 157/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
145
Figure 106.
634. píê~áÖÜí iáåÉ áå m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
+=
+=
OO
NN
íÄ~ ó
íÄ~ñ I
ïÜÉêÉ( ) ó Iñ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~åó ìåâåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI
( )ON ~I~ ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ âåçïå éçáåí çå íÜÉ äáåÉI
( )ON ÄI Ä ~êÉ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉë çÑ ~ îÉÅíçê é~ê~ääÉä íç íÜÉ äáåÉI
í áë ~ é~ê~ãÉíÉêK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 158/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
146
Figure 107.
635. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ iáåÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( ) ÄI~m íç íÜÉ äáåÉ
M`_ó ^ñ =++ áë
OO _^
`_Ä^~
Ç +
++
= K
Figure 108.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 159/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
147
636. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñ â ó += ~åÇ OO Äñ â ó += ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
ON â â = K
qïç äáåÉë M` ó _ñ ^ NNN =++ ~åÇ M` ó _ñ ^ OOO =++ ~êÉé~ê~ääÉä áÑ
O
N
O
N
_
_
^
^= K
Figure 109.
637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë NN Äñ â ó += ~åÇ OO Äñ â ó += ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
N
Oâ
Nâ −= çêI Éèìáî~äÉåíäóI Nâ â ON −= K
qïç äáåÉë M` ó _ñ ^ NNN =++ ~åÇ M` ó _ñ ^ OOO =++ ~êÉ
éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑM__^^ ONON =+ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 160/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
148
Figure 110.
638. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç iáåÉë
ON
NO
â â N
â â í~å
+−
=ϕ I
OO
OO
ON
ON
ONON
_^_^
__^^Åçë
+⋅+
+=ϕ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 161/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
149
Figure 111.
639. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉëfÑ íïç äáåÉë M` ó _ñ ^ NNN =++ ~åÇ M` ó _ñ ^ OOO =++ áåíÉê-
ëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå éçáåí Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë
NOON
NOONM
_^_^
_`_`ñ
−+−
= INOON
NOONM
_^_^
`^`^ ó
−+−
= K
7.4 Circle
o~ÇáìëW o`ÉåíÉê çÑ ÅáêÅäÉW ( ) ÄI~
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óIN
ñ IN
ó I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI í
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 162/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
150
640. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF
OOO o ó ñ =+
Figure 112.
641. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( ) ÄI~
( ) ( ) OOOo Ä ó ~ñ =−+−
Figure 113.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 163/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
151
642. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
M
N ó ñ ó ñ
N ó ñ ó ñ
N ó ñ ó ñ
N ó ñ ó ñ
PPOP
OP
OOOO
OO
NNON
ON
OO
=
+
+
+
+
Figure 114.
643. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
=
=
íëáåo ó
íÅçëo ñ I π≤≤ OíM K
644. dÉåÉê~ä cçêã
Mcbó añ ^ó ^ñ OO =++++ E^ åçåòÉêçI ^cQba OO >+ FK
qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( ) ÄI~ I ïÜÉêÉ
^O
a~ −= I
^O
b Ä −= K
qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ÅáêÅäÉ áë
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 164/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 165/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
153
646. ~Oêê ON =+ I
ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( ) ó Iñ m çå
íÜÉ ÉääáéëÉ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
Figure 116.
647. OOO Å Ä~ +=
648. bÅÅÉåíêáÅáíó
N~
ÅÉ <=
649. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë
Å~
É~ñ
O
±=±=
650. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
=
=
íëáå Ä ó
íÅçë~ñ I π≤≤ OíM K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 166/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
154
651. dÉåÉê~ä cçêã
Mcbó añ `ó _ñó ^ñ OO =+++++ I
ïÜÉêÉ M^`Q_O <− K
652. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë
Mcbó añ `ó ^ñ OO =++++ I
ïÜÉêÉ M^` > K
653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ ( )É~bQi = I
ïÜÉêÉ íÜÉ ÑìåÅíáçå b áë íÜÉ ÅçãéäÉíÉ ÉääáéíáÅ áåíÉÖê~ä çÑíÜÉ ëÉÅçåÇ âáåÇK
654. ^ééêçñáã~íÉ cçêãìä~ë çÑ íÜÉ `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ
( ) ~Ä Ä~RKNi −+π= I
( )OO Ä~Oi +π= K
655. ~Äp π=
7.6 Hyperbola
qê~åëîÉêëÉ ~ñáëW ~`çåàìÖ~íÉ ~ñáëW ÄcçÅáW ( )MIÅcN − I ( )MIÅcO
aáëí~åÅÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉ ÑçÅáW OÅbÅÅÉåíêáÅáíóW É^ëóãéíçíÉëW ëI íoÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI íI â
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 167/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
155
656. bèì~íáçå çÑ ~ eóéÉêÄçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
N ó
~
ñ O
O
O
O
=−
Figure 117.
657. ~Oêê ON =− I
ïÜÉêÉ Nê I Oê ~êÉ Çáëí~åÅÉë Ñêçã ~åó éçáåí ( ) ó Iñ m çå
íÜÉ ÜóéÉêÄçä~ íç íÜÉ íïç ÑçÅáK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 168/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
156
Figure 118.
658. bèì~íáçåë çÑ ^ëóãéíçíÉëñ
~
Ä ó ±=
659. OOO Ä~Å +=
660. bÅÅÉåíêáÅáíó
N~
ÅÉ >=
661. bèì~íáçåë çÑ aáêÉÅíêáÅÉë
Å
~
É
~ñ
O
±=±=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 169/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
157
662. m~ê~ãÉíêáÅ bèì~íáçåë çÑ íÜÉ oáÖÜí _ê~åÅÜ çÑ ~ eóéÉêÄçä~
=
=
íëáåÜ Ä ó
íÅçëÜ~ñ I π≤≤ OíM K
663. dÉåÉê~ä cçêã
Mcbó añ `ó _ñó ^ñ OO =+++++ I
ïÜÉêÉ M^`Q_O >− K
664. dÉåÉê~ä cçêã ïáíÜ ^ñÉë m~ê~ääÉä íç íÜÉ `ççêÇáå~íÉ ^ñÉë
Mcbó añ `ó ^ñ OO =++++ I
ïÜÉêÉ M^` < K
665. ^ëóãéíçíáÅ cçêã
Q
Éñó
O
= I
çê
â
ó = I ïÜÉêÉ Q
É
â
O
= Kfå íÜáë Å~ëÉ I íÜÉ ~ëóãéíçíÉë Ü~îÉ Éèì~íáçåë M= ~åÇ
M ó = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 170/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
158
Figure 119.
7.7 Parabola
cçÅ~ä é~ê~ãÉíÉêW écçÅìëW csÉêíÉñW ( )MM ó Iñ j
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI bI cI éI ~I ÄI Å
666. bèì~íáçå çÑ ~ m~ê~Äçä~ Epí~åÇ~êÇ cçêãF
éñ O ó O =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 171/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
159
Figure 120.
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
O
éñ −= I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
MIO
éc I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ
( )MIMj K
667. dÉåÉê~ä cçêã
Mcbó añ `ó _ñó ^ñ OO =+++++ I
ïÜÉêÉ M^`Q_O =− K
668. O~ñ ó = I
~O
Né = K
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 172/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
160
O
é ó −= I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
OéIMc I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ îÉêíÉñ( )MIMj K
Figure 121.
669. dÉåÉê~ä cçêãI ^ñáë m~ê~ääÉä íç íÜÉ ó -~ñáë
Mcbó añ ^ñ O
=+++ E^I b åçåòÉêçFIÅ Äñ ~ñ ó O ++= I
~O
Né = K
bèì~íáçå çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíêáñ
O
é ó ó M −= I
`ççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ ÑçÅìë
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 173/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 174/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
162
670. aáëí~åÅÉ _ÉíïÉÉå qïç mçáåíë
( ) ( ) ( )O
NO
O
NO
O
NO òò ó ó ñ ñ ^_Ç −+−+−==
Figure 123.
671. aáîáÇáåÖ ~ iáåÉ pÉÖãÉåí áå íÜÉ o~íáç λ
λ+
λ+=
N
ñ ñ ñ ON
M Iλ+λ+
=N
ó ó ó ON
M Iλ+λ+
=N
òòò ON
M I
ïÜÉêÉ
`_
^`=λ I N−≠λ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 175/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
163
Figure 124.
Figure 125.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 176/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 177/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
165
Figure 126.
7.9 Plane
mçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Mñ I M ó I Mò I Nñ I N ó I Nò I £
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I aI N^ I O^ I ~I ÄI ÅI N~ I O~ I λ I éI íI £
kçêã~ä îÉÅíçêëW år
I Når
I Oår
aáêÉÅíáçå ÅçëáåÉëW αÅçë I βÅçë I γÅçë
aáëí~åÅÉ Ñêçã éçáåí íç éä~åÉW Ç
675. dÉåÉê~ä bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó ^ñ =+++
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 178/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
166
676. kçêã~ä sÉÅíçê íç ~ mä~åÉqÜÉ îÉÅíçê ( )`I_I^å
r áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó ^ñ =+++ K
Figure 127.
677. m~êíáÅìä~ê `~ëÉë çÑ íÜÉ bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉMa`ò_ó ^ñ =+++
fÑ M^ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñ -~ñáëKfÑ M_ = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ó -~ñáëKfÑ M` = I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ò-~ñáëKfÑ Ma = I íÜÉ éä~åÉ äáÉë çå íÜÉ çêáÖáåK
fÑ M_^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñó -éä~åÉKfÑ M`_ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ óò-éä~åÉKfÑ M`^ == I íÜÉ éä~åÉ áë é~ê~ääÉä íç íÜÉ ñò-éä~åÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 179/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
167
678. mçáåí aáêÉÅíáçå cçêã( ) ( ) ( ) Mòò` ó ó _ñ ñ ^ MMM =−+−+− I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )MMM òI ó Iñ m äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI ~åÇ íÜÉ îÉÅ-
íçê ( )`I_I^ áë åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
Figure 128.
679. fåíÉêÅÉéí cçêã
N
Å
ò ó
~
ñ =++
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 180/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
168
Figure 129.
680. qÜêÉÉ mçáåí cçêã
M
òò ó ó ñ ñ
òò ó ó ñ ñ
òò ó ó ñ ñ
POPOPO
PNPNPN
PPP
=
−−−
−−−
−−−
I
çê
M
Nò ó ñ
Nò ó ñ Nò ó ñ
Nò ó ñ
PPP
OOO
NNN = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 181/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
169
Figure 130.
681. kçêã~ä cçêã MéÅçëòÅçë ó Åçëñ =−γ+β+α I
ïÜÉêÉ é áë íÜÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ çêáÖáå íçíÜÉ éä~åÉ I ~åÇ αÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë
çÑ ~åó äáåÉ åçêã~ä íç íÜÉ éä~åÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 182/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 183/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
171
Figure 132.
683. aáÜÉÇê~ä ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç mä~åÉëfÑ íÜÉ éä~åÉë ~êÉ ÖáîÉå ÄóMaò` ó _ñ ^ NNNN =+++ I
Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ I
íÜÉå íÜÉ ÇáÜÉÇê~ä ~åÖäÉ ÄÉíïÉÉå íÜÉã áë
OO
OO
OO
ON
ON
ON
ONONON
ON
ON
`_^`_^
``__^^
åå
ååÅçë
++⋅++
++=
⋅⋅
=ϕ rr
rr
K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 184/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
172
Figure 133.
684. m~ê~ääÉä mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò` ó _ñ ^ NNNN =+++ ~åÇ
Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
O
N
O
N
O
N
`
`
_
_
^
^== K
685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê mä~åÉëqïç éä~åÉë Maò` ó _ñ ^ NNNN =+++ ~åÇ
Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑ
M``__^^ ONONON =++ K
686. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNN òI ó Iñ m ~åÇ m~ê~ääÉä qç
íÜÉ sÉÅíçêë ( )NNN ÅI ÄI~ ~åÇ ( )OOO ÅI ÄI~ EcáÖKNPOF
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 185/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
173
M
Å Ä~
Å Ä~
òò ó ó ñ ñ
OOO
NNN
NNN
=
−−−
687. bèì~íáçå çÑ ~ mä~åÉ qÜêçìÖÜ ( )NNNN òI ó Iñ m ~åÇ ( )OOOO òI ó Iñ m I
~åÇ m~ê~ääÉä qç íÜÉ sÉÅíçê ( )ÅI ÄI~
M
Å Ä~
òò ó ó ñ ñ
òò ó ó ñ ñ
NONONO
NNN
=−−−
−−−
Figure 134.
688. aáëí~åÅÉ cêçã ~ mçáåí qç ~ mä~åÉqÜÉ Çáëí~åÅÉ Ñêçã íÜÉ éçáåí ( )NNNN òI ó Iñ m íç íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó ^ñ =+++ áë
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 186/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
174
OOO
NNN
`_^
a`ò_ó ^ñ Ç
++
+++= K
Figure 135.
689. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç mä~åÉëfÑ íïç éä~åÉë Maò` ó _ñ ^ NNNN =+++ ~åÇ
Maò` ó _ñ ^ OOOO =+++ áåíÉêëÉÅíI íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå ëíê~áÖÜí
äáåÉ áë ÖáîÉå Äó
+=
+=+=
Åíòò
Äí ó ó ~íñ ñ
N
N
N
I
çê
Å
òò ó ó
~
ñ ñ NNN −=
−=
−I
ïÜÉêÉ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 187/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 188/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
176
Figure 136.
691. qïç mçáåí cçêã
NO
N
NO
N
NO
N
òò
òò
ó ó
ó ó
ñ ñ
ñ ñ
−
−=
−
−=
−
−
Figure 137.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 189/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
177
692. m~ê~ãÉíêáÅ cçêã
γ+=
β+=
α+=
Åçëíòò
Åçëí ó ó
Åçëíñ ñ
N
N
N
I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçáåí ( )NNNN òI ó Iñ m äáÉë çå íÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉI
αÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå ÅçëáåÉë çÑ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå
îÉÅíçê çÑ íÜÉ äáåÉI íÜÉ é~ê~ãÉíÉê í áë ~åó êÉ~ä åìãÄÉêK
Figure 138.
693. ^åÖäÉ _ÉíïÉÉå qïç píê~áÖÜí iáåÉë
OO
OO
OO
ON
ON
ON
ONONON
ON
ON
Å Ä~Å Ä~
ÅÅ Ä Ä~~
ëë
ëëÅçë
++⋅++++=
⋅⋅=ϕ rrrr
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 190/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
178
Figure 139.
694. m~ê~ääÉä iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
ON ëööë
rr
Içê
O
N
O
N
O
N
Å
Å
Ä
Ä
~
~== K
695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉëqïç äáåÉë ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
Mëë ON =⋅
rr
Içê
MÅÅ Ä Ä~~ ONONON =++ K
696. fåíÉêëÉÅíáçå çÑ qïç iáåÉë
qïç äáåÉëN
N
N
N
N
N
Å
òò
Ä
ó ó
~
ñ ñ −=
−=
− ~åÇ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 191/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
179
O
O
O
O
O
O
Å
òò
Ä
ó ó
~
ñ ñ −=
−=
− áåíÉêëÉÅí áÑ
M
Å Ä~
Å Ä~
òò ó ó ñ ñ
OOO
NNN
NONONO
=
−−−
K
697. m~ê~ääÉä iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ
òò ó ó
~
ñ ñ NNN −=
−=
− ~åÇ íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó ^ñ =+++ ~êÉ é~ê~ääÉä áÑ
Mëå =⋅ rr Içê
M`Å_Ä^~ =++ K
Figure 140.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 192/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
180
698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê iáåÉ ~åÇ mä~åÉ
qÜÉ ëíê~áÖÜí äáåÉÅ
òò ó ó
~
ñ ñ NNN −=
−=
− ~åÇ íÜÉ éä~åÉ
Ma`ò_ó ^ñ =+++ ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê áÑëööå rr
I
çê
Å
`_
~
^== K
Figure 141.
7.11 Quadric Surfaces
mçáåí ÅççêÇáå~íÉë çÑ íÜÉ èì~ÇêáÅ ëìêÑ~ÅÉëW ñI óI ò
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I _I `I ~I ÄI ÅI PON â Iâ Iâ I £
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 193/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
181
699. dÉåÉê~ä nì~Çê~íáÅ bèì~íáçå
MaoòOnó Omñ Oeñó Odòñ OcóòO`ò_ó ^ñ OOO =+++++++++
700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå çÑ nì~ÇêáÅ pìêÑ~ÅÉë
`~ëÉ o~åâEÉF o~åâEbF ∆ â ëáÖåë qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ
N P Q M< p~ãÉ oÉ~ä bääáéëçáÇ
O P Q M> p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ
P P Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí
Q P Q M< aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë
R P P aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ
S P P p~ãÉ fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉT O Q M< p~ãÉ bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ
U O Q M> aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ
V O P p~ãÉ oÉ~ä bääáéíáÅ ̀ óäáåÇÉêNM O P p~ãÉ fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉêNN O P aáÑÑÉêÉåí eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉêNO O O aáÑÑÉêÉåí oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNP O O p~ãÉ fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉëNQ N P m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê
NR N O oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉëNS N O fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉëNT N N `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë
eÉêÉ
=
`cd
c_e
de^
É I
=
ao nmo `cd
nc_e
mne^
b I ( )bÇÉí=∆ I
PON â Iâ Iâ ~êÉ íÜÉ êççíë çÑ íÜÉ Éèì~íáçåI
M
ñ `cd
cñ _e
deñ ^
=
−
−
−
K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 194/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
182
701. oÉ~ä bääáéëçáÇ E`~ëÉ NF
NÅ
ò ó
~
ñ O
O
O
O
O
O
=++
Figure 142.
702. fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ E`~ëÉ OF
NÅ
ò ó
~
ñ O
O
O
O
O
O
−=++
703. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí E`~ëÉ PF
NÅ
ò ó
~
ñ O
O
O
O
O
O
=−+
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 195/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
183
Figure 143.
704. eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë E`~ëÉ QF
NÅ
ò ó
~
ñ O
O
O
O
O
O
−=−+
Figure 144.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 196/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
184
705. oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ RF
MÅ
ò ó
~
ñ O
O
O
O
O
O
=−+
Figure 145.
706. fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ E`~ëÉ SF
MÅ
ò ó
~
ñ O
O
O
O
O
O
=++
707. bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ TF
Mò ó ~ñ O
O
O
O
=−+
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 197/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
185
Figure 146.
708. eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ E`~ëÉ UF
Mò ó
~
ñ O
O
O
O
=−−
Figure 147.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 198/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
186
709. oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ VF
N ó
~
ñ O
O
O
O
=+
Figure 148.
710. fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NMF
N ó
~
ñ O
O
O
O
−=+
711. eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NNF
N ó
~
ñ O
O
O
O
=−
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 199/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
187
Figure 149.
712. oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NOF
M ó
~
ñ O
O
O
O
=−
713. fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë E`~ëÉ NPF
M ó
~
ñ O
O
O
O
=+
714. m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê E`~ëÉ NQF
M ó ~
ñ O
O
=−
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 200/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
188
Figure 150.
715. oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NRFN
~
ñ O
O
=
716. fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë E`~ëÉ NSF
N~
ñ O
O
−=
717. `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë E`~ëÉ NTF
Mñ O =
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 201/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
189
7.12 Sphere
o~Çáìë çÑ ~ ëéÜÉêÉW omçáåí ÅççêÇáå~íÉëW ñI óI òI Nñ I N ó I Nò I £
`ÉåíÉê çÑ ~ ëéÜÉêÉW ( )ÅI ÄI~
oÉ~ä åìãÄÉêëW ^I aI bI cI j
718. bèì~íáçå çÑ ~ péÜÉêÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í íÜÉ lêáÖáå Epí~åÇ~êÇcçêãF
OOOO o ò ó ñ =++
Figure 151.
719. bèì~íáçå çÑ ~ `áêÅäÉ `ÉåíÉêÉÇ ~í ^åó mçáåí ( )ÅI ÄI~
( ) ( ) ( ) OOOO o Åò Ä ó ~ñ =−+−+−
720. aá~ãÉíÉê cçêã
( )( ) ( )( ) ( )( ) Mòòòò ó ó ó ó ñ ñ ñ ñ ONONON =−−+−−+−− I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 202/338
CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY
190
ïÜÉêÉ( )NNNN òI ó Iñ m I ( )OOOO òI ó Iñ m ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK
721. cçìê mçáåí cçêã
M
Nò ó ñ ñ ó ñ
Nò ó ñ ñ ó ñ
Nò ó ñ ñ ó ñ
Nò ó ñ ñ ó ñ
Nò ó ñ ò ó ñ
QQQOQ
OQ
OQ
PPPOP
OP
OP
OOOOO
OO
OO
NNNON
ON
ON
OOO
=
++
++
++
++
++
722. dÉåÉê~ä cçêã
Mjcòbó añ ^ò^ó ^ñ OOO =++++++ E^ áë åçåòÉêçFK
qÜÉ ÅÉåíÉê çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ Ü~ë ÅççêÇáå~íÉë ( )ÅI ÄI~ I ïÜÉêÉ
^O
a~ −= I
^O
b Ä −= I
^O
cÅ −= K
qÜÉ ê~Çáìë çÑ íÜÉ ëéÜÉêÉ áë
^Oj^Qcbao OOOO −++= K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 203/338
191
Chapter 8
Differential Calculus
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI î^êÖìãÉåí EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉFW ñoÉ~ä åìãÄÉêëW ~I ÄI ÅI Çk~íìê~ä åìãÄÉêW å^åÖäÉW α
fåîÉêëÉ ÑìåÅíáçåW NÑ −
8.1 Functions and Their Graphs
723. bîÉå cìåÅíáçå( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ =−
724. lÇÇ cìåÅíáçå( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ −=−
725. mÉêáçÇáÅ cìåÅíáçå( ) ( )ñ Ñ åqñ Ñ =+
726. fåîÉêëÉ cìåÅíáçå
( )ñ Ñ ó = áë ~åó ÑìåÅíáçåI ( ) ó Ö ñ = çê ( )ñ Ñ ó N−= áë áíë áåîÉêëÉ
ÑìåÅíáçåK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 204/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 205/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
193
Figure 153.
729. nì~Çê~íáÅ cìåÅíáçåOñ ó = I o ∈ K
Figure 154.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 206/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
194
730. Å Äñ ~ñ ó O ++= I o ∈ K
Figure 155.
731. `ìÄáÅ cìåÅíáçåPñ ó = I o ∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 207/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
195
Figure 156.
732. ÇÅñ Äñ ~ñ ó OP +++= I o ∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 208/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
196
Figure 157.
733. mçïÉê cìåÅíáçååñ ó = I kå∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 209/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
197
Figure 158.
Figure 159.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 210/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
198
734. pèì~êÉ oççí cìåÅíáçå
ñ ó = I [ )∞∈ IMñ K
Figure 160.
735. bñéçåÉåíá~ä cìåÅíáçåëñ ~ ó = I M~ > I N~ ≠ Iñ É ó = áÑ É~ = I KSTNUOUNUOUQKOÉ =
Figure 161.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 211/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
199
736. içÖ~êáíÜãáÅ cìåÅíáçåëñ äçÖ ó ~= I ( )∞∈ IMñ I M~ > I N~ ≠ I
ñ äå ó = áÑ É~ = I M> K
Figure 162.
737. eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçå
ñ ëáåÜ ó = IO
ÉÉñ ëáåÜ
ñ ñ −−= I o ∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 212/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
200
Figure 163.
738. eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçå
ñ ÜÅçë ó = I OÉÉñ ÜÅçë
ñ ñ −
+= I o ∈ K
Figure 164.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 213/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
201
739. eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçå
ñ í~åÜ ó = Iñ ñ
ñ ñ
ÉÉ
ÉÉ
ñ ÅçëÜ
ñ ëáåÜñ í~åÜ ó
−
−
+−
=== I o ∈ K
Figure 165.
740. eóéÉêÄçäáÅ `çí~åÖÉåí cìåÅíáçå
ñ ÜÅçí ó = Iñ ñ
ñ ñ
ÉÉ
ÉÉ
ñ ëáåÜ
ñ ÅçëÜñ ÜÅçí ó
−
−
−+
=== I o ∈ I M≠ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 214/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
202
Figure 166.
741. eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçå
ñ ÜëÉÅ ó = Iñ ñ ÉÉ
O
ñ ÅçëÜ
Nñ ÜëÉÅ ó
−+=== I o ∈ K
Figure 167.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 215/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
203
742. eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçå
ñ ÅëÅÜ ó = Iñ ñ ÉÉ
O
ñ ëáåÜ
Nñ ÅëÅÜ ó
−−=== I o ∈ I M≠ K
Figure 168.
743. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ páåÉ cìåÅíáçåñ ~êÅëáåÜ ó = I o ∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 216/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
204
Figure 169.
744. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëáåÉ cìåÅíáçåñ ~êÅÅçëÜ ó = I [ )∞∈ INñ K
Figure 170.
745. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ q~åÖÉåí cìåÅíáçåñ ~êÅí~åÜ ó = I ( )NINñ −∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 217/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 218/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
206
Figure 172.
747. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ pÉÅ~åí cìåÅíáçåñ ~êÅëÉÅÜ ó = I ( ]NIMñ ∈ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 219/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
207
Figure 173.
748. fåîÉêëÉ eóéÉêÄçäáÅ `çëÉÅ~åí cìåÅíáçåñ ~êÅÅëÅÜ ó = I o ∈ I M≠ K
Figure 174.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 220/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 221/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
209
759. Nñ í~å
äáãN
Mñ =
−
→
760. ( ) Nñ NäåäáãMñ
=+→
761. Éñ
NNäáã
ñ
ñ =
+
∞→
762.â
ñ
ñ Éñ
â Näáã =
+∞→
763. N~äáã ñ
Mñ =
→
8.3 Definition and Properties of the Derivative
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíW â^åÖäÉW α
764. ( ) ( ) ( )
Çñ
Çó ó äáã
ñ Ñ ñ ñ Ñ äáãñ ó
Mñ Mñ =
∆∆
=∆
−∆+=′
→∆→∆
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 222/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
210
Figure 175.
765. α= í~å
Çñ
Çó
766.( )
Çñ
Çî
Çñ
Çì
Çñ
î ìÇ+=
+
767.( )
Çñ
Çî
Çñ
Çì
Çñ
î ìÇ−=
−
768.( )
Çñ
Çìâ
Çñ
âìÇ=
769. mêçÇìÅí oìäÉ( )
Çñ
Çî ì î
Çñ
Çì
Çñ
î ìÇ⋅+⋅=
⋅
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 223/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
211
770. nìçíáÉåí oìäÉ
O
î
Çñ
Çî ì î
Çñ
Çì
î
ì
Çñ
Ç ⋅−⋅
=
771. `Ü~áå oìäÉ( )( )ñ Ö Ñ ó = I ( )ñ Ö ì = I
Çñ
Çì
Çì
Çó
Çñ
Çó ⋅= K
772. aÉêáî~íáîÉ çÑ fåîÉêëÉ cìåÅíáçå
Çó
Çñ
N
Çñ
Çó = I
ïÜÉêÉ ( ) ó ñ áë íÜÉ áåîÉêëÉ ÑìåÅíáçå çÑ ( )ñ ó K
773. oÉÅáéêçÅ~ä oìäÉ
O ó Çñ Çó
ó
N
Çñ
Ç−=
774. içÖ~êáíÜãáÅ aáÑÑÉêÉåíá~íáçå( )ñ Ñ ó = I ( )ñ Ñ äå ó äå = I
( ) ( )[ ]ñ Ñ äå
Çñ
Çñ Ñ
Çñ
Çó ⋅= K
8.4 Table of Derivatives
fåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñoÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI Å
k~íìê~ä åìãÄÉêW å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 224/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
212
775. ( ) M`Çñ
Ç=
776. ( ) Nñ Çñ Ç =
777. ( ) ~ Ä~ñ Çñ
Ç=+
778. ( ) Ä~ñ Å Äñ ~ñ
Çñ
Ç O +=++
779. ( ) Nåå åñ ñ Çñ
Ç −=
780. ( ) Nå
å åñ
Çñ
Ç+
− −=
781.Oñ
N
ñ
N
Çñ
Ç−=
782. ( )ñ O
Nñ
Çñ
Ç=
783. ( ) å Nåå
ñ åNñ
Çñ Ç −=
784. ( ) N
ñ äåÇñ
Ç=
785. ( )~äå
Nñ äçÖ
Çñ
Ç~ = I M~ > I N~ ≠ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 225/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
213
786. ( ) ~äå~~Çñ
Ç ñ ñ = I M~ > I N~ ≠ K
787. ( ) ñ ñ ÉÉÇñ Ç =
788. ( ) ñ Åçëñ ëáåÇñ
Ç=
789. ( ) ñ ëáåñ Åçë
Çñ
Ç−=
790. ( ) ñ ëÉÅÅçë
Nñ í~å
Çñ
Ç O
O ==
791. ( ) ñ ÅëÅëáå
Nñ Åçí
Çñ
Ç O
O −=−=
792. ( ) ñ ëÉÅñ í~åñ ëÉÅÇñ
Ç⋅=
793. ( ) ñ ÅëÅñ Åçíñ ÅëÅÇñ
Ç⋅−=
794. ( ) Oñ N
Nñ ~êÅëáåÇñ
Ç
−=
795. ( )Oñ N
Nñ ~êÅÅçë
Çñ
Ç
−−=
796. ( )O
N
Nñ ~êÅí~å
Çñ
Ç
+
=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 226/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
214
797. ( )ON
Nñ Åçí~êÅ
Çñ
Ç
+−=
798. ( )Nñ ñ
Nñ ëÉÅ~êÅÇñ Ç
O −=
799. ( )Nñ ñ
Nñ ÅëÅ~êÅ
Çñ
ÇO −
−=
800. ( ) ñ ÅçëÜñ ëáåÜÇñ Ç =
801. ( ) ñ ëáåÜñ ÅçëÜÇñ
Ç=
802. ( ) ñ ëÉÅÜÅçëÜ
Nñ í~åÜ
Çñ
Ç O
O ==
803. ( ) ñ ÅëÅÜëáåÜ
Nñ ÅçíÜ
Çñ
Ç O
O −=−=
804. ( ) ñ í~åÜñ ëÉÅÜñ ëÉÅÜÇñ
Ç⋅−=
805. ( ) ñ ÅçíÜñ ÅëÅÜñ ÅëÅÜÇñ Ç ⋅−=
806. ( )Nñ
Nñ ~êÅëáåÜ
Çñ
ÇO +
=
807. ( ) Nñ
N
ñ ~êÅÅçëÜÇñ
ÇO −=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 227/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
215
808. ( )ON
Nñ ~êÅí~åÜ
Çñ
Ç
−= I Nñ < K
809. ( )N
Nñ ~êÅÅçíÜÇñ Ç
O −−= I Nñ > K
810. ( )Çñ
Çî ìäåì
Çñ
Çì îìì
Çñ
Ç î N î î ⋅+⋅= −
8.5 Higher Order Derivatives
cìåÅíáçåëW ÑI óI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñk~íìê~ä åìãÄÉêW å
811. pÉÅçåÇ ÇÉêáî~íáîÉ
( )O
O
Çñ
ó Ç
Çñ
Çó
Çñ
Ç
Çñ
Çó Ñ Ñ =
=′
=′′=′′
812. eáÖÜÉê-lêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉ
( ) ( ) ( )( ) ′=== −Nåå
å
åå Ñ ó
Çñ
ó ÇÑ
813. ( )( ) ( ) ( )ååå î ì î ì +=+
814. ( )( ) ( ) ( )ååå î ì î ì −=−
815. iÉáÄåáíò∞ë cçêãìä~ë
( ) î ì î ìO î ììî ′′+′′+′′=′′
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 228/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
216
( ) î ì î ìP î ìP î ììî ′′′+′′′+′′′+′′′=′′′
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )åOåNååå ìî î ìON
Nåå î åì î ììî ++′′
⋅−
+′+= −−K
816. ( )( )
( )åãåã ñ
>åã
>ãñ −
−=
817. ( )( )>åñ
åå =
818. ( )( ) ( ) ( )~äå
>NåNñ äçÖ å
Nå
å~ −−=
−
819. ( )( ) ( ) ( )å
Nåå >NåN
ñ äå −−
=−
820. ( )( )~äå~~ åñ åñ =
821. ( )( ) ñ åñ ÉÉ =
822. ( )( )~äå~ã~ åãñ ååãñ =
823. ( )( )
π+=
O
åñ ëáåñ ëáå
å
824. ( )( )
π
+=O
åñ Åçëñ Åçë
å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 229/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
217
8.6 Applications of Derivative
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ómçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅíW ësÉäçÅáíóW î^ÅÅÉäÉê~íáçåW ïfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñqáãÉW ík~íìê~ä åìãÄÉêW å
825. sÉäçÅáíó ~åÇ ^ÅÅÉäÉê~íáçå( )íÑ ë = áë íÜÉ éçëáíáçå çÑ ~å çÄàÉÅí êÉä~íáîÉ íç ~ ÑáñÉÇ
ÅççêÇáå~íÉ ëóëíÉã ~í ~ íáãÉ íI( )íÑ ë î ′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë îÉäçÅáíó çÑ íÜÉ çÄàÉÅíI
( )íÑ ë î ï ′′=′′=′= áë íÜÉ áåëí~åí~åÉçìë ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ
íÜÉ çÄàÉÅíK
826. q~åÖÉåí iáåÉ( )( )MMM ñ ñ ñ Ñ ó ó −′=−
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 230/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
218
Figure 176.
827. kçêã~ä iáåÉ
( )( )M
M
M ñ ñ ñ Ñ
N ó ó −
′−=− EcáÖ NTSF
828. fåÅêÉ~ëáåÖ ~åÇ aÉÅêÉ~ëáåÖ cìåÅíáçåëKfÑ ( ) Mñ Ñ M >′ I íÜÉå ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI Nñ ñ < I
ñ ñ O < FIfÑ ( ) Mñ Ñ M <′ I íÜÉå ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖ NTTI
ON ñ ñ ñ << FI
fÑ ( )Mñ Ñ ′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 231/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
219
Figure 177.
829. içÅ~ä ÉñíêÉã~^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í Nñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ
íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Nñ ëìÅÜ íÜ~í
( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ N ≥ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK
^ ÑìåÅíáçå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ
íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ áåíÉêî~ä Åçåí~áåáåÖ Oñ ëìÅÜ íÜ~í
( ) ( )ñ Ñ ñ Ñ O ≤ Ñçê ~ää ñ áå íÜÉ áåíÉêî~ä EcáÖKNTTFK
830. `êáíáÅ~ä mçáåíë
^ ÅêáíáÅ~ä éçáåí çå ÑEñF çÅÅìêë ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ÉáíÜÉê( )Mñ Ñ ′ áë òÉêç çê íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ÇçÉëå∞í ÉñáëíK
831. cáêëí aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä
( ]Nñ I~ ~åÇ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ
áåíÉêî~ä [ ) ÄIñ N I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í Nñ
EcáÖKNTTFK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 232/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
220
832. fÑ ÑEñF áë ÇÉÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ <′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ áåíÉêî~ä
( ]Oñ I~ ~åÇ ÑEñF áë áåÅêÉ~ëáåÖ E ( ) Mñ Ñ >′ F Ñçê ~ää ñ áå ëçãÉ
áåíÉêî~ä [ ) ÄIñ O I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í Oñ K
EcáÖKNTTFK
833. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê içÅ~ä bñíêÉã~KfÑ ( ) Mñ Ñ N =′ ~åÇ ( ) Mñ Ñ N <′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã
~í Nñ K
fÑ ( ) Mñ Ñ O =′ ~åÇ ( ) Mñ Ñ O >′′ I íÜÉå ÑEñF Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã
~í Oñ K EcáÖKNTTF
834. `çåÅ~îáíóKÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñ Ñ ′ áë
áåÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ EcáÖKNTTI ñ ñ P < FK
ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ áÑ ~åÇ çåäó áÑ ( )ñ Ñ ′ áë
ÇÉÅêÉ~ëáåÖ ~í Mñ K EcáÖKNTTI Pñ ñ < FK
835. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê `çåÅ~îáíóKfÑ ( ) Mñ Ñ M >′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ ìéï~êÇ ~í Mñ K
fÑ ( ) Mñ Ñ M <′′ I íÜÉå ÑEñF áë ÅçåÅ~îÉ Ççïåï~êÇ ~í Mñ K
fÑ ( )ñ Ñ ′′ ÇçÉë åçí Éñáëí çê áë òÉêçI íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
836. fåÑäÉÅíáçå mçáåíëfÑ ( )Pñ Ñ ′ Éñáëíë ~åÇ ( )ñ Ñ ′′ ÅÜ~åÖÉë ëáÖå ~í Pñ ñ = I íÜÉå
íÜÉ éçáåí ( )( )PP ñ Ñ Iñ áë ~å áåÑäÉÅíáçå éçáåí çÑ íÜÉ Öê~éÜ çÑ
( )ñ Ñ K fÑ ( )Pñ Ñ ′′ Éñáëíë ~í íÜÉ áåÑäÉÅíáçå éçáåíI íÜÉå ( ) Mñ Ñ P =′′
EcáÖKNTTFK
837. i∞eçéáí~ä∞ë oìäÉ
( )( )
( )( )ñ Ö
ñ Ñ äáã
ñ Ö
ñ Ñ äáã
Åñ Åñ ′′
=→→
áÑ ( ) ( )
∞==
→→
Mñ Ö äáãñ Ñ äáã
Åñ Åñ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 233/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
221
8.7 Differential
cìåÅíáçåëW ÑI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉW ñaÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñ ó ′ I ( )ñ Ñ ′
oÉ~ä Åçåëí~åíW `aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ÑìåÅíáçå ( )ñ Ñ ó = W Çó
aáÑÑÉêÉåíá~ä çÑ ñW Çñpã~ää ÅÜ~åÖÉ áå ñW ∆ pã~ää ÅÜ~åÖÉ áå óW ó ∆
838. Çñ ó Çó ′=
839. ( ) ( ) ( ) ñ ñ Ñ ñ Ñ ñ ñ Ñ ∆′+=∆+
Figure 178.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 234/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
222
840. pã~ää `Ü~åÖÉ áå ó( ) ( )ñ Ñ ñ ñ Ñ ó −∆+=∆
841. ( ) Çî Çì î ìÇ +=+
842. ( ) Çî Çì î ìÇ −=−
843. ( ) `Çì`ìÇ =
844. ( ) ìÇî îÇììî Ç +=
845.O î
ìÇî îÇì
î
ìÇ
−=
8.8 Multivariable Functions
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( ) ó Iñ ò I ( ) ó Iñ Ñ I ( ) ó Iñ Ö I ( ) ó Iñ Ü
^êÖìãÉåíëW ñI óI ípã~ää ÅÜ~åÖÉë áå ñI óI òI êÉëéÉÅíáîÉäóW ∆ I ó ∆ I ò∆ K
846. cáêëí lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ñ
ñ Ñ Ñ
=∂∂
E~äëç ñ òò
=∂∂
FI
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉ ïáíÜ êÉëéÉÅí íç ó
ó Ñ ó
Ñ =
∂∂
E~äëç ó ò ó
ò=
∂∂
FK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 235/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
223
847. pÉÅçåÇ lêÇÉê m~êíá~ä aÉêáî~íáîÉë
ññ O
O
Ñ ñ
Ñ
ñ
Ñ
ñ =
∂∂
=
∂∂
∂∂
I
óó O
O
Ñ ó
Ñ
ó
Ñ
ó =
∂∂=
∂∂
∂∂
I
ñó
O
Ñ ñ ó
Ñ
ñ
Ñ
ó =
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
I
óñ
O
Ñ ó ñ
Ñ
ó
Ñ
ñ =
∂∂∂
=
∂∂
∂∂
K
fÑ íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉë ~êÉ ÅçåíáåìçìëI íÜÉå
ó ñ
Ñ
ñ ó
Ñ OO
∂∂∂
=∂∂
∂K
848. `Ü~áå oìäÉëfÑ ( ) ( )( ) ó Iñ ÜÖ ó Iñ Ñ = EÖ áë ~ ÑìåÅíáçå çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉ ÜFI íÜÉå
( )( ) Ü ó Iñ ÜÖ Ñ ∂∂′=∂∂ I ( )( ) ó Ü ó Iñ ÜÖ ó Ñ ∂∂′=∂∂ K
fÑ ( ) ( ) ( )( )í ó Iíñ Ñ íÜ = I íÜÉå ( )Çí
Çó
ó
Ñ
Çí
Çñ
ñ
Ñ íÜ
∂∂
+∂∂
=′ K
fÑ ( ) ( )( ) î Iì ó I î Iìñ Ñ ò = I íÜÉå
ì ó
ó Ñ
ìñ
ñ Ñ
ìò
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂ I
î ó
ó Ñ
î ñ
ñ Ñ
î ò
∂∂
∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂ K
849. pã~ää `Ü~åÖÉë
ó ó
Ñ ñ
ñ
Ñ ò ∆
∂∂
+∆∂∂
≈∆
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 236/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
224
850. içÅ~ä j~ñáã~ ~åÇ jáåáã~( ) ó Iñ Ñ Ü~ë ~ äçÅ~ä ã~ñáãìã ~í ( )MM ó Iñ áÑ ( ) ( )MM ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ ≤
Ñçê ~ää ( ) ó Iñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM ó Iñ K
( ) ó Iñ Ñ Ü~ë ~ äçÅ~ä ãáåáãìã ~í ( )MM ó Iñ áÑ ( ) ( )MM ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ ≥
Ñçê ~ää ( ) ó Iñ ëìÑÑáÅáÉåíäó ÅäçëÉ íç ( )MM ó Iñ K
851. pí~íáçå~êó mçáåíë
M ó
Ñ
ñ
Ñ =
∂∂
=∂∂
K
içÅ~ä ã~ñáã~ ~åÇ äçÅ~ä ãáåáã~ çÅÅìê ~í ëí~íáçå~êó éçáåíëK
852. p~ÇÇäÉ mçáåí^ ëí~íáçå~êó éçáåí ïÜáÅÜ áë åÉáíÜÉê ~ äçÅ~ä ã~ñáãìãåçê ~ äçÅ~ä ãáåáãìã
853. pÉÅçåÇ aÉêáî~íáîÉ qÉëí Ñçê pí~íáçå~êó mçáåíë
iÉí ( )MM ó Iñ ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E M ó Ñ
ñ Ñ =∂∂=∂∂
FK
( ) ( )
( ) ( )MM óó MM óñ
MMñó MMññ
ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ
ó Iñ Ñ ó Iñ Ñ a = K
fÑ Ma > I ( ) M ó Iñ Ñ MMññ > I ( )MM ó Iñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ãáåáã~K
fÑ Ma > I ( ) M ó Iñ Ñ MMññ < I ( )MM ó Iñ áë ~ éçáåí çÑ äçÅ~ä ã~ñáã~K
fÑ Ma < I ( )MM ó Iñ áë ~ ë~ÇÇäÉ éçáåíK
fÑ Ma = I íÜÉ íÉëí Ñ~áäëK
854. q~åÖÉåí mä~åÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ í~åÖÉåí éä~åÉ íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( ) ó Iñ Ñ ò =
~í ( )MMM òI ó Iñ áë
( )( ) ( )( )MMM ó MMMñ M
ó ó ó Iñ Ñ ñ ñ ó Iñ Ñ òò −+−=− K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 237/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
225
855. kçêã~ä íç pìêÑ~ÅÉqÜÉ Éèì~íáçå çÑ íÜÉ åçêã~ä íç íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( ) ó Iñ Ñ ò = ~í
( )MMM òI ó Iñ áë
( ) ( ) Nòò
ó Iñ Ñ ó ó
ó Iñ Ñ ñ ñ M
MM ó
M
MMñ
M
−−=−=− K
8.9 Differential Operators
råáí îÉÅíçêë ~äçåÖ íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ ~ñÉëW ár
I àr
I â r
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåë EëÅ~ä~ê ÑáÉäÇëFW ( )òI ó Iñ Ñ I ( )åON ñ IIñ Iñ ì K
dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW ìÖê~Ç I ì∇
aáêÉÅíáçå~ä ÇÉêáî~íáîÉWä
Ñ
∂∂
sÉÅíçê ÑìåÅíáçå EîÉÅíçê ÑáÉäÇFW ( )o InImcr
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÇáî r I cr⋅∇
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW cÅìêär
I cr
×∇
i~éä~Åá~å çéÉê~íçêW O∇
856. dê~ÇáÉåí çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå
∂∂∂∂∂∂=∇=
òÑ I
ó Ñ I
ñ Ñ Ñ Ñ Öê~Ç I
∂∂
∂∂
∂∂
=∇=åON ñ
ìII
ñ
ìI
ñ
ìììÖê~Ç K K
857. aáêÉÅíáçå~ä aÉêáî~íáîÉ
γ∂∂
+β∂∂
+α∂∂
=∂∂
Åçëò
Ñ Åçë ó
Ñ Åçëñ
Ñ
ä
Ñ I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 238/338
CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS
226
ïÜÉêÉ íÜÉ ÇáêÉÅíáçå áë ÇÉÑáåÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê
( )γβα ÅçëIÅçëIÅçëär
I NÅçëÅçëÅçë OOO =γ+β+α K
858. aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ
ò
o
ó
n
ñ
mccÇáî
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇= rr
859. `ìêä çÑ ~ sÉÅíçê cáÉäÇ
o nmñ ñ ñ
â àá
ccÅìêä ∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=
rrr
rr
â ó
m
ñ
n à
ñ
o
ò
má
ò
n
ó
o rrr
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=
860. i~éä~Åá~å léÉê~íçê
O
O
O
O
O
OO
òÑ
ó Ñ
ñ Ñ Ñ
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
861. ( ) ( ) MccÅìêäÇáî ≡×∇⋅∇= rr
862. ( ) ( ) MÑ Ñ Öê~ÇÅìêä ≡∇×∇=
863. ( ) ( ) Ñ Ñ Ñ Öê~ÇÇáî O∇=∇⋅∇=
864. ( ) ( ) ( ) ccccÇáî Öê~ÇcÅìêäÅìêä OO rrrrr
∇−⋅∇∇=∇−=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 239/338
227
Chapter 9
Integral Calculus
cìåÅíáçåëW ÑI ÖI ìI îfåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëW ñI íI ξ
fåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫ Çñ ñ Ñ I ( )∫ Çñ ñ Ö I £aÉêáî~íáîÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )ñ ó ′ I ( )ñ Ñ ′ I ( )ñ c′ I £
oÉ~ä Åçåëí~åíëW `I ~I ÄI ÅI ÇI âk~íìê~ä åìãÄÉêëW ãI åI áI à
9.1 Indefinite Integral
865. ( ) ( ) `ñ cÇñ ñ Ñ +=∫ áÑ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ K
866. ( )( ) ( )ñ Ñ Çñ ñ Ñ =′∫
867. ( ) ( )
∫∫ = Çñ ñ Ñ â Çñ ñ âÑ
868. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ
869. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=− Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ
870. ( ) ( ) `~ñ c~
N
Çñ ~ñ Ñ +=∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 240/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
228
871. ( ) ( ) ` Ä~ñ c~
NÇñ Ä~ñ Ñ ++=+∫
872. ( ) ( ) ( ) `ñ Ñ ONÇñ ñ Ñ ñ Ñ O +=′∫
873.( )( )
( ) `ñ Ñ äåÇñ ñ Ñ
ñ Ñ +=
′∫
874. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçå
( ) ( )( ) ( )∫∫ ′= ÇííìíìÑ Çñ ñ Ñ áÑ ( )íìñ = K
875. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë
∫∫ −= îÇììî ìÇî I
ïÜÉêÉ ( )ñ ì I ( )ñ î ~êÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåëK
9.2 Integrals of Rational Functions
876. `~ñ ~Çñ +=∫
877. `O
ñ ñÇñ
O
+=∫
878. `P
ñ Çñ ñ
PO +=∫
879. `
Né
ñ Çñ ñ
Néé +
+
=+
∫ I Né −≠ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 241/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
229
880. ( ) ( )
( ) `
Nå~
Ä~ñ Çñ Ä~ñ
Nåå +
++
=++
∫ I Nå −≠ K
881. `ñ äåÇñ +=∫
882. ` Ä~ñ äå~
N
~ñ
Çñ ++=
+∫
883. `ÇÅñ äåÅ
~Ç ÄÅñ
Å
~Çñ
ÇÅñ
Ä~ñ
O ++
−+=
+
+
∫
884.( )( )
`~ñ
Äñ äå
Ä~
N
Äñ ~ñ
Çñ +
++
−=
++∫ I Ä~ ≠ K
885. ( ) ` Äñ ~äå~ Äñ ~N
ñ ~
ñÇñ O
++−+=+∫
886. ( ) ( ) ` Äñ ~äå~ Äñ ~~O Äñ ~O
N
Ä
N
Äñ ~
Çñ ñ OO
P
O
+
+++−+=
+∫
887.( )
`ñ
Äñ ~äå
~
N
Äñ ~ñ
Çñ +
+=
+∫
888.( )
`ñ
Äñ ~äå
~
Ä
~ñ
N
Äñ ~ñ
Çñ OO
+++−=+∫
889.( )
` Äñ ~
~ Äñ ~äå
Ä
N
Äñ ~
ñÇñ OO
+
+++=
+∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 242/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
230
890.( )
` Äñ ~
~ Äñ ~äå~O Äñ ~
Ä
N
Äñ ~
Çñ ñ O
PO
O
+
+−+−+=
+∫
891.( ) ( )
`ñ
Äñ ~äå
~
N
Äñ ~~
N
Äñ ~ñ
Çñ OO
++
++
=+∫
892. `Nñ
Nñ äå
O
N
Nñ
Çñ O
++−
=−∫
893. `ñ Nñ Näå
ON
ñ NÇñ O +−+=−∫
894. `ñ ~
ñ ~äå
~O
N
ñ ~
Çñ OO
+−+
=−∫
895. `~ñ
~ñ äå
~O
N
~ñ
Çñ
OO
++
−=
−∫
896. `ñ í~åN
Çñ N
O +=
+−∫
897. `~
ñ í~å
~
N
~
Çñ N
OO +=
+−∫
898. ( ) `~ñ äåO
N
~
ñÇñ OO
OO ++=
+∫
899. `~
Äñ ~êÅí~å
~Ä
N
Äñ ~
Çñ O
+
=
+∫ I M~Ä > K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 243/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
231
900. ` Ä
~ñ äå
ÄO
N
Äñ ~
ñÇñ O
O ++=
+∫
901.( )
` Äñ ~
ñ äå
~O
N
Äñ ~ñ
Çñ O
O
O +
+=
+∫
902. ` Äñ ~
Äñ ~äå
~ÄO
N
ñ Ä~
Çñ OOO
+−+
=−∫
903. `~ÅQ Ä Ä~ñ O~ÅQ Ä Ä~ñ Oäå
~ÅQ ÄN
Å Äñ ~ñ Çñ
O
O
OO +
−++−−+
−=
++∫ I
M~ÅQ ÄO >− K
904. ` Ä~ÅQ
Ä~ñ O~êÅí~å
Ä~ÅQ
O
Å Äñ ~ñ
Çñ OOO
+−
+
−=
++∫ I
M~ÅQ Ä
O
<− K
9.3 Integrals of Irrational Functions
905. ` Ä~ñ ~
O
Ä~ñ
Çñ ++=
+∫
906. ( ) ` Ä~ñ ~P
OÇñ Ä~ñ O
P++=+∫
907.( )
` Ä~ñ ~P
ÄO~ñ O
Ä~ñ
ñÇñ O
++−
=+∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 244/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 245/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
233
916. `~
Äñ ~~êÅí~å
~
O
Äñ ~ñ
Çñ +
−+
−=
+∫ I M~ < K
917. ( )( ) ( ) ` Ä~
Äñ ~êÅëáå Ä~ñ Äñ ~Çñ
ñ Ä
ñ ~+
+++++−=
+−∫
918. ( )( ) ( ) ` Ä~
ñ Ä~êÅëáå Ä~ñ Äñ ~Çñ
ñ Ä
ñ ~+
+−
+−−+−=−+
∫
919. `ñ ~êÅëáåñ NÇñ ñ Nñ N O ++−−=−+∫
920.( )( )
`~ Ä
~ñ ~êÅëáåO
~ Ä~ñ
Çñ +
−−
=−−∫
921. +−+−
=−+
∫ OO Åñ Äñ ~
ÅQ
ÄÅñ OÇñ Åñ Äñ ~
`~ÅQ Ä
ÄÅñ O~êÅëáå
ÅU
~ÅQ ÄOP
O
++
−−+
922. ( ) `Å Äñ ~ñ ~O Ä~ñ Oäå~
N
Å Äñ ~ñ
Çñ O
O+++++=
++∫ I
M~ > K
923. `~ÅQ Ä~Q
Ä~ñ O~êÅëáå
~
N
Å Äñ ~ñ
Çñ O
O+−
+−=
++∫ I M~ < K
924. `~ñ ñ äåO
~~ñ
O
ñ Çñ ~ñ OO
OOOOO +++++=+∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 246/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 247/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
235
935. `~
~êÅëáå~~ñ Çñ ~ñ OO
OO
++−=−
∫
936. `~ñ ñ äå~ñ
Çñ ~ñ OO
OO
O
OO
+−++−
−=−
∫
937. `~ñ ñ äå~ñ
Çñ OO
OO+−+=
−∫
938. `~ñ ~ñ
ñÇñ OOOO +−=−∫
939. `~ñ ñ äåO
~~ñ
O
ñ
~ñ
Çñ ñ OOO
OO
OO
O
+−++−=−
∫
940. `ñ
~~êÅëáå
~
N
~ñ ñ
Çñ
OO
+−=−∫
941.( )
`~ñ
~ñ
~
N
~ñ ~ñ
Çñ OO
++−
=−+
∫
942.
( )
`
~ñ
~ñ
~
N
~ñ ~ñ
Çñ OO
+
−
+−=
−−∫
943. `ñ ~
~ñ
~ñ ñ
Çñ O
OO
OOO+
−=
−∫
944.
( )
`~ñ ~
ñ
~ñ
Çñ OOOO
POO
+−
−=
−
∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 248/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
236
945. ( ) ( ) +−−−=−∫ OOOOOP
OO ~ñ ~Rñ OU
ñ Çñ ~ñ
`~ñ ñ äåU
~P OOQ
+−++
946. `~
ñ ~êÅëáå
O
~ñ ~
O
ñ Çñ ñ ~
OOOOO ++−=−∫
947. ( ) `ñ ~P
NÇñ ñ ~ñ O
POOOO +−−=−∫
948. ( ) `~
ñ ~êÅëáå
U
~ñ ~~ñ O
U
ñ Çñ ñ ~ñ
QOOOOOOO ++−−=−∫
949. `ñ ~~
ñ äå~ñ ~Çñ
ñ
ñ ~OO
OOOO
+−+
+−=−
∫
950. `~
ñ ~êÅëáå
ñ ~Çñ
ñ ~ OO
O
OO
+−−
−=−
∫
951. `ñ ~êÅëáåñ N
Çñ O
+=−
∫
952. `~ñ ëáå
ñ ~Çñ
OO+=
−∫
953. `ñ ~ñ ~
ñÇñ OO
OO+−−=
−∫
954. `~
ñ
~êÅëáåO
~
ñ ~O
ñ
ñ ~
Çñ ñ OOO
OO
O
++−−=−∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 249/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
237
955.( )
`ñ ~
ñ ~
O
N
ñ ~~ñ
Çñ OO
++−
−=−+
∫
956.( )
`ñ ~
ñ ~
O
N
ñ ~~ñ
Çñ OO
+−+
−=−−
∫
957.( ) ( )
` Äñ ~
~ Äñ ~êÅëáå
~ Ä
N
ñ ~ Äñ
Çñ O
OOOO+
++
−=
−+∫ I ~ Ä > K
958.( )
I` Äñ ~ñ ~ Ä~
Äñ äå
Ä~
N
ñ ~ Äñ
Çñ OOOOOOOOO
+++−−
+
−=
−+∫
~ Ä < K
959. `ñ ~
ñ ~
ñ ~ñ
Çñ O
OO
OOO+
−−=
−∫
960. ( ) ( ) `~
ñ ~êÅëáå
U
~Pñ ~ñ O~R
U
ñ Çñ ñ ~
QOOOOO
POO ++−−=−∫
961.( )
`ñ ~~
ñ
ñ ~
Çñ OOOO
POO
+−
=−
∫
9.4 Integrals of Trigonometric Functions
962. `ñ ÅçëñÇñ ëáå +−=∫
963. `ñ ëáåñÇñ Åçë +=∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 250/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
238
964. `ñ OëáåQ
N
O
ñ Çñ ñ ëáåO +−=∫
965. `ñ OëáåQN
Oñ Çñ ñ ÅçëO ++=∫
966. `ñ ÅçëQ
Pñ PÅçë
NO
N`ñ Åçëñ Åçë
P
NÇñ ñ ëáå PP +−=+−=∫
967. `ñ ëáå
Q
Pñ Pëáå
NO
N`ñ ëáå
P
Nñ ëáåÇñ ñ Åçë PP ++=+−=
∫
968. `O
ñ í~åäåÇñ ñ ÅëÅ
ñ ëáå
Çñ +== ∫∫
969. `QO
ñ í~åäåÇñ ñ ëÉÅ
ñ Åçë
Çñ +
π
+== ∫∫
970. `ñ ÅçíÇñ ñ ÅëÅëáå
Çñ O
O +−== ∫∫
971. `ñ í~åÇñ ñ ëÉÅÅçë
Çñ O
O +== ∫∫
972. `Oñ í~åäå
ON
ñ ëáåOñ ÅçëÇñ ñ ÅëÅ
ñ ëáåÇñ
O
P
P ++−== ∫∫
973. `QO
ñ í~åäå
O
N
ñ ÅçëO
ñ ëáåÇñ ñ ëÉÅ
ñ Åçë
Çñ O
P
P +
π
++== ∫∫
974. `ñ OÅçëQ
N
Çñ ñ Åçëñ ëáå +−=∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 251/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
239
975. `ñ ëáåP
NÇñ ñ Åçëñ ëáå PO +=∫
976. `ñ ÅçëPNÇñ ñ Åçëñ ëáå PO +−=∫
977. `ñ QëáåPO
N
U
ñ Çñ ñ Åçëñ ëáå OO +−=∫
978. `ñ ÅçëäåñÇñ í~å +−=∫
979. `ñ ëÉÅ`Åçë
NÇñ
Åçë
ñ ëáåO
+=+=∫
980. `ñ ëáåQO
ñ í~åäåÇñ
ñ Åçë
ñ ëáåO
+−
π
+=∫
981. `ñ ñ í~åÇñ ñ í~åO +−=∫
982. `ñ ëáåäåñÇñ Åçí +=∫
983. `ñ ÅëÅ`ëáå
NÇñ
ëáå
ñ ÅçëO
+−=+−=∫
984. `ñ ÅçëO
ñ í~åäåÇñ
ñ ëáå
ñ ÅçëO
++=∫
985. `ñ ñ ÅçíÇñ ñ ÅçíO +−−=∫
986. `ñ í~åäåëáåÅçë
Çñ
+=∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 252/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
240
987. `QO
ñ í~åäå
ñ ëáå
N
ñ Åçëñ ëáå
Çñ O
+
π
++−=∫
988. `O
ñ í~åäå
ñ Åçë
N
ñ Åçëñ ëáå
Çñ O
++=∫
989. `ñ Åçíñ í~åÅçëëáå
Çñ OO
+−=∫
990.
( )
( )
( )
( ) `åãO
ñ åãëáå
åãO
ñ åãëáå
Çñ åñ ëáåãñ ëáå +−
−
++
+
−=∫ IOO åã ≠ K
991.( )( )
( )( )
`åãO
ñ åãÅçë
åãO
ñ åãÅçëÇñ åñ Åçëãñ ëáå +
−−
−++
−=∫ I
OO åã ≠ K
992.( )( )
( )( )
`åãO
ñ åãëáå
åãO
ñ åãëáåÇñ åñ Åçëãñ Åçë +
−−
+++
=∫ I
OO åã ≠ K
993. `ñ ëÉÅñÇñ í~åñ ëÉÅ +=∫
994. `ñ ÅëÅñÇñ Åçíñ ÅëÅ +−=∫
995. `Nå
ñ ÅçëÇñ ñ Åçëñ ëáå
Nåå +
+−=
+
∫
996. `Nå
ñ ëáåÇñ ñ Åçëñ ëáå
Nåå +
+=
+
∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 253/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
241
997. `ñ Nñ ~êÅëáåñ Çñ ñ ~êÅëáå O +−+=∫
998. `ñ Nñ ~êÅÅçëñ Çñ ñ ~êÅÅçë O
+−−=∫
999. ( ) `Nñ äåO
Nñ ~êÅí~åñ Çñ ñ ~êÅí~å O ++−=∫
1000. ( ) `Nñ äåO
Nñ Åçí~êÅñ Çñ ñ Åçí~êÅ O +++=∫
9.5 Integrals of Hyperbolic Functions
1001. `ñ ÅçëÜñÇñ ëáåÜ +=∫
1002. `ñ ëáåÜñÇñ ÅçëÜ +=∫
1003. `ñ ÅçëÜäåÇñ ñ í~åÜ +=∫
1004. `ñ ëáåÜäåÇñ ñ ÅçíÜ +=∫
1005. `ñ í~åÜñÇñ ëÉÅÜO +=∫
1006. `ñ ÅçíÜñÇñ ÅëÅÜO +−=∫
1007. `ñ ëÉÅÜñÇñ í~åÜñ ëÉÅÜ +−=∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 254/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
242
1008. `ñ ÅëÅÜñÇñ ÅçíÜñ ÅëÅÜ +−=∫
9.6 Integrals of Exponential and LogarithmicFunctions
1009. `ÉÇñ É ñ ñ +=∫
1010. `~äå
~Çñ ~
ñ ñ +=∫
1011. `~
ÉÇñ É
~ñ ~ñ +=∫
1012. ( ) `N~ñ ~ÉÇñ ñÉ O
~ñ
~ñ +−=∫
1013. `ñ ñ äåñ Çñ ñ äå +−=∫
1014. `ñ äåäåäå
Çñ +=∫
1015.( )
`Nå
N
Nå
ñ äåñ Çñ ñ äåñ
O
Nåå +
+−
+= +∫
1016. `É~
Äñ Åçë Ä Äñ ëáå~Çñ Äñ ëáåÉ ~ñ
OO
~ñ ++−
=∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 255/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
243
1017. `É~
Äñ ëáå Ä Äñ Åçë~Çñ Äñ ÅçëÉ ~ñ
OO
~ñ +++
=∫
9.7 Reduction Formulas
1018. ∫∫ −−= Çñ Éñ ã
åÉñ
ã
NÇñ Éñ ãñ Nåãñ åãñ å
1019.( ) ∫∫ −− −
+−
−= Çñ ñ
É
Nå
ã
ñ Nå
ÉÇñ
ñ
ÉNå
ãñ
Nå
ãñ
å
ãñ
I Nå ≠ K
1020. ∫∫ −− −−= ñÇñ ëáåÜ
å
Nåñ ÅçëÜñ ëáåÜ
å
NñÇñ ëáåÜ OåNåå
1021. ( ) ∫∫ −− −−
−−−= ñ ëáåÜ
Çñ
Nå
Oå
ñ ëáåÜNå
ñ ÅçëÜ
ñ ëáåÜ
Çñ OåNåå I Nå ≠ K
1022. ∫∫ −− −+= ñÇñ ÅçëÜ
å
Nåñ ÅçëÜñ ÅçëÜñ ëáåÜ
å
NñÇñ ÅçëÜ OåNåå
1023.( ) ∫∫ −− −
−+
−−=
ñ ÅçëÜ
Çñ
Nå
Oå
ñ ÅçëÜNå
ñ ëáåÜ
ñ ÅçëÜ
Çñ OåNåå
I Nå ≠ K
1024.ãå
ñ ÅçëÜñ ëáåÜñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜ
NãNåãå
+=
−+
∫
∫ −
+−
+ ñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜãå
Nã Oãå
1025.ãå
ñ ÅçëÜñ ëáåÜñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜ
NãNå
ãå
+=
+−
∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 256/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
244
∫ −
+−
− ñÇñ ÅçëÜñ ëáåÜãå
Nå ãOå
1026. ∫∫ −− +−
−= ñÇñ í~åÜñ í~åÜNå
NñÇñ í~åÜ OåNåå I Nå ≠ K
1027. ∫∫ −− +−
−= ñÇñ ÅçíÜñ ÅçíÜNå
NñÇñ ÅçíÜ OåNåå I Nå ≠ K
1028.
∫∫
−−
−
−+
−= ñÇñ ëÉÅÜ
Nå
Oå
Nå
ñ í~åÜñ ëÉÅÜñÇñ ëÉÅÜ Oå
Oåå I Nå ≠ K
1029. ∫∫ −− −+−= ñÇñ ëáå
å
Nåñ Åçëñ ëáå
å
NñÇñ ëáå OåNåå
1030.( ) ∫∫ −− −
−+
−−=
ñ ëáå
Çñ
Nå
Oå
ñ ëáåNå
ñ Åçë
ñ ëáå
Çñ OåNåå
I Nå ≠ K
1031. ∫∫ −− −+= ñÇñ Åçë
å
Nåñ Åçëñ ëáå
å
NñÇñ Åçë OåNåå
1032.( ) ∫∫ −− −
−+
−=
ñ Åçë
Çñ
Nå
Oå
ñ ÅçëNå
ñ ëáå
ñ Åçë
Çñ OåNåå
I Nå ≠ K
1033.ãå
ñ Åçëñ ëáåñÇñ Åçëñ ëáåNãNå
ãå
+=
−+
∫
∫ −
+−
+ ñÇñ Åçëñ ëáåãå
Nã Oãå
1034.ãå
ñ Åçëñ ëáåñÇñ Åçëñ ëáå
NãNåãå
+−=
+−
∫
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 257/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
245
∫ −
+−
+ ñÇñ Åçëñ ëáåãå
Nå ãOå
1035. ∫∫ −− −−
= ñÇñ í~åñ í~åNå
NñÇñ í~å OåNåå I Nå ≠ K
1036. ∫∫ −− −−
−= ñÇñ Åçíñ ÅçíNå
NñÇñ Åçí OåNåå I Nå ≠ K
1037.
∫∫
−−
−
−+
−= ñÇñ ëÉÅ
Nå
Oå
Nå
ñ í~åñ ëÉÅñÇñ ëÉÅ Oå
Oåå I Nå ≠ K
1038. ∫∫ −−
−−
+−
−= ñÇñ ÅëÅNå
Oå
Nå
ñ Åçíñ ÅëÅñÇñ ÅëÅ Oå
Oåå I Nå ≠ K
1039. ∫∫ −+
+−
+= ñÇñ äåñ
Nå
ã
Nå
ñ äåñ ñÇñ äåñ Nãå
ãNåãå
1040.( ) ∫∫
−
− −+
−−= Çñ
ñ
ñ äå
Nå
ã
ñ Nå
ñ äåÇñ
ñ
ñ äåå
Nã
Nå
ã
å
ã
I Nå ≠ K
1041. ∫∫ −−= ñÇñ äååñ äåñ ñÇñ äå Nååå
1042. ∫∫ −
−= ñÇñ ÅçëÜñ åñ ÅçëÜñ ñÇñ ëáåÜñ
Nååå
1043. ∫∫ −−= ñÇñ ëáåÜñ åñ ëáåÜñ ñÇñ ÅçëÜñ Nååå
1044. ∫∫ −+−= ñÇñ Åçëñ åñ Åçëñ ñÇñ ëáåñ Nååå
1045. ∫∫ −
−= ñÇñ ëáåñ åñ ëáåñ ñÇñ Åçëñ
Nååå
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 258/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
246
1046. ∫∫−+
−+
=+
−+
− Çñ ñ N
ñ
Nå
Nñ ëáå
Nå
ñ ñÇñ ëáåñ
O
NåN
NåNå
1047. ∫∫−+
++
=+
−+
− Çñ ñ N
ñ
Nå
Nñ Åçë
Nå
ñ ñÇñ Åçëñ
O
NåN
NåNå
1048. ∫∫ ++−
+=
+−
+− Çñ
N
ñ
Nå
Nñ í~å
Nå
ñ ñÇñ í~åñ
O
NåN
NåNå
1049. ∫∫ +−=+ ~ñ Çñ
~ Ä
~ñ
~ñ Çñ ñ åå
å
1050.( ) ( )( )( ) NåOOåO Å Äñ ~ñ ~ÅQ ÄNå
Ä~ñ O
Å Äñ ~ñ
Çñ −
++−−
−−=
++∫
( )( )( ) ( )∫ −
++−−−
−NåOO
Å Äñ ~ñ
Çñ
~ÅQ ÄNå
~PåOOI Nå ≠ K
1051.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
I~ñ
Çñ
~NåO
PåO
~ñ ~NåO
ñ
~ñ
Çñ NåOOONåOOOåOO ∫∫ −−
+−−
++−
=+
Nå ≠ K
1052.
( ) ( ) ( )
NåOOOåOO
~ñ ~NåO
ñ
~ñ
Çñ −
−−
−=
−
∫
( ) ( )∫ −−−
−−
NåOOO~ñ
Çñ
~NåO
PåOI Nå ≠ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 259/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
247
9.8 Definite Integral
aÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ÑìåÅíáçåW ( )∫ Ä
~
Çñ ñ Ñ I ( )∫ Ä
~
Çñ ñ Ö I £
oáÉã~åå ëìãW ( )∑=
∆ξå
Nááá ñ Ñ
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ ∆
^åíáÇÉêáî~íáîÉëW ( )ñ c I ( )ñ d
iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI ÅI Ç
1053. ( ) ( )∑∫=→∆
∞→∆ξ=
å
Nááá
Mñ ã~ñ å
Ä
~
ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ
á
I
ïÜÉêÉ Nááá ñ ñ ñ −−=∆ I ááNá ñ ñ ≤ξ≤− K
Figure 179.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 260/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
248
1054. ~ ÄÇñ N Ä
~
−=∫
1055. ( ) ( )∫∫ = Ä
~
Ä
~
Çñ ñ Ñ â Çñ ñ âÑ
1056. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+ Ä
~
Ä
~
Ä
~
Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ
1057. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ −=− Ä
~
Ä
~
Ä
~
Çñ ñ Ö Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ö ñ Ñ
1058. ( ) MÇñ ñ Ñ ~
~
=∫
1059. ( ) ( )∫∫ −=
~
Ä
Ä
~
Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ
1060. ( ) ( ) ( )∫∫∫ += Ä
Å
Å
~
Ä
~
Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ Ñçê ÄÅ~ << K
1061. ( ) MÇñ ñ Ñ
Ä
~ ≥∫ áÑ ( ) Mñ Ñ ≥ çå [ ] ÄI~ K
1062. ( ) MÇñ ñ Ñ Ä
~
≤∫ áÑ ( ) Mñ Ñ ≤ çå [ ] ÄI~ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 261/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
249
1063. cìåÇ~ãÉåí~ä qÜÉçêÉã çÑ `~äÅìäìë
( ) ( ) ( ) ( )~c Äcñ cÇñ ñ Ñ Ä
~
Ä
~
−==∫ áÑ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ K
1064. jÉíÜçÇ çÑ pìÄëíáíìíáçåfÑ ( )íÖ ñ = I íÜÉå
( ) ( )( ) ( )∫∫ ′=Ç
Å
Ä
~
ÇííÖ íÖ Ñ Çñ ñ Ñ I
ïÜÉêÉ
( )~Ö Å
N−
= I ( ) ÄÖ Ç
N−
= K
1065. fåíÉÖê~íáçå Äó m~êíë
( ) ∫∫ −= Ä
~
Ä
~
Ä
~
îÇììî ìÇî
1066. qê~éÉòçáÇ~ä oìäÉ
( ) ( ) ( ) ( )
++−= ∑∫
−
=
Nå
NááåM
Ä
~
ñ Ñ Oñ Ñ ñ Ñ åO
~ ÄÇñ ñ Ñ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 262/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
250
Figure 180.
1067. páãéëçå∞ë oìäÉ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ++++−
=∫ PONM
Ä
~ñ Ñ Qñ Ñ Oñ Ñ Qñ Ñ åP
~ ÄÇñ ñ Ñ
( ) ( ) ( )]åNåQ ñ Ñ ñ Ñ Qñ Ñ O ++++ −K I
ïÜÉêÉ
áå
~ Ä~ñ á
−+= I åIIOINIMá K= K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 263/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
251
Figure 181.
1068. ^êÉ~ råÇÉê ~ `ìêîÉ
( ) ( ) ( )~c ÄcÇñ ñ Ñ p
Ä
~−== ∫ I
ïÜÉêÉ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 264/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
252
Figure 182.
1069. ^êÉ~ _ÉíïÉÉå qïç `ìêîÉë
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )~d~c Äd ÄcÇñ ñ Ö ñ Ñ p
Ä
~+−−=−= ∫ I
ïÜÉêÉ ( ) ( )ñ Ñ ñ c =′ I ( ) ( )ñ Ö ñ d =′ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 265/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
253
Figure 183.
9.9 Improper Integral
1070. qÜÉ ÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫ Ä
~
Çñ ñ Ñ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê áåíÉÖê~ä
áÑ~ çê Ä áë áåÑáåáíÉI
( )ñ Ñ Ü~ë çåÉ çê ãçêÉ éçáåíë çÑ ÇáëÅçåíáåìáíóáå íÜÉ áåíÉêî~ä [ ] ÄI~ K
1071. fÑ ( )ñ Ñ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå [ )∞I~ I íÜÉå
( ) ( )∫∫ ∞→
∞
=å
~å
~
Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 266/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
254
Figure 184.
1072. fÑ ( )ñ Ñ áë ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå çå ( ] ÄI∞− I íÜÉå
( ) ( )∫∫ ∞−→
∞−
= Ä
å
å
Ä
Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ K
Figure 185.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 267/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
255
kçíÉ W qÜÉ áãéêçéÉê áåíÉÖê~äë áå NMTNI NMTO ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ äáãáíë Éñáëí ~åÇ ~êÉ ÑáåáíÉX çíÜÉêïáëÉ íÜÉ áåíÉÖê~äë ~êÉÇáîÉêÖÉåíK
1073. ( ) ( ) ( )∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
+=Å
Å
Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ Çñ ñ Ñ
Figure 186.
fÑ Ñçê ëçãÉ êÉ~ä åìãÄÉê ÅI ÄçíÜ çÑ íÜÉ áåíÉÖê~äë áå íÜÉ êáÖÜí
ëáÇÉ ~êÉ ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞
∞−
Çñ ñ Ñ áë ~äëç
ÅçåîÉêÖÉåíX çíÜÉêïáëÉ áí áë ÇáîÉêÖÉåíK
1074. `çãé~êáëçå qÜÉçêÉãëiÉí ( )ñ Ñ ~åÇ ( )ñ Ö ÄÉ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçåë çå íÜÉ ÅäçëÉÇ
áåíÉêî~ä [ )∞I~ K pìééçëÉ íÜ~í ( ) ( )ñ Ñ ñ Ö M ≤≤ Ñçê ~ää ñ áå
[ )∞I~ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 268/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
256
• fÑ ( )∫∞
~
Çñ ñ Ñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞
~
Çñ ñ Ö áë ~äëç
ÅçåîÉêÖÉåíI
• fÑ ( )∫∞
~
Çñ ñ Ö áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå ( )∫∞
~
Çñ ñ Ñ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1075. ^ÄëçäìíÉ ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ
fÑ ( )∫∞
~
Çñ ñ Ñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå íÜÉ áåíÉÖê~ä ( )∫∞
~
Çñ ñ Ñ áë ~Äëç-
äìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK
1076. aáëÅçåíáåìçìë fåíÉÖê~åÇiÉí ( )ñ Ñ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë Åçåíáåìçìë çå íÜÉ áåíÉêî~ä
[ ) ÄI~ Äìí áë ÇáëÅçåíáåìçìë ~í Äñ = K qÜÉå
( ) ( )
∫∫
ε−
+→ε
= Ä
~M
Ä
~
Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ
Figure 187.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 269/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
257
1077. iÉí ( )ñ Ñ ÄÉ ~ Åçåíáåìçìë ÑìåÅíáçå Ñçê ~ää êÉ~ä åìãÄÉêë ñ áå
íÜÉ áåíÉêî~ä [ ] ÄI~ ÉñÅÉéí Ñçê ëçãÉ éçáåí Å áå ( ) ÄI~ K qÜÉå
( ) ( ) ( )∫∫∫ δ++→δ
ε−
+→ε +=
Ä
ÅM
Å
~M
Ä
~Çñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ äáãÇñ ñ Ñ K
Figure 188.
9.10 Double Integral
cìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( ) ó Iñ Ñ I ( ) î IìÑ I £
açìÄäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫o
ÇñÇó ó Iñ Ñ I ( )∫∫o
ÇñÇó ó Iñ Ö I £
oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑= =
∆∆ã
Ná
å
N à àá àá ó ñ î IìÑ
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ ∆ I à ó ∆
oÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW oI pmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 270/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
258
^êÉ~W ^pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W psçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
j~ëë çÑ ~ ä~ãáå~W ãaÉåëáíóW ( ) ó Iñ ρ
cáêëí ãçãÉåíëW ñ j I ó j
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñ f I ó f I Mf
`Ü~êÖÉ çÑ ~ éä~íÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( ) ó Iñ σ
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó
^îÉê~ÖÉ çÑ ~ ÑìåÅíáçåW µ
1078. aÉÑáåáíáçå çÑ açìÄäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅ ÄI~ × áë ÇÉÑáåÉÇ
íç ÄÉ
( )[ ] [ ]
( )∑∑∫∫= =→∆
→∆×
∆∆=ã
Ná
å
N à àá àá
M ó ã~ñ Mñ ã~ñ
ÇIÅ ÄI~
ó ñ î IìÑ äáãÇ^ ó Iñ Ñ
à
á
I
ïÜÉêÉ àá î Iì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ êÉÅí~åÖäÉ
( ) àN àáNá ó I ó ñ Iñ −− × I ~åÇ Nááá ñ ñ ñ −−=∆ I N à à à ó ó ó −−=∆ K
Figure 189.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 271/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
259
qÜÉ ÇçìÄäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ ÖÉåÉê~ä êÉÖáçå o áë
( ) ( )[ ] [ ]
∫∫∫∫×
=ÇIÅ ÄI~o
Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ I
ïÜÉêÉ êÉÅí~åÖäÉ [ ] [ ]ÇIÅ ÄI~ × Åçåí~áåë oI( ) ( ) ó Iñ Ñ ó Iñ Ö = áÑ ( ) ó Iñ Ñ áë áå o ~åÇ ( ) M ó Iñ Ö = çíÜÉêïáëÉK
Figure 190.
1079. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=+o o o
Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ö ó Iñ Ñ
1080. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ −=−o o o
Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ö ó Iñ Ñ
1081. ( ) ( )∫∫∫∫ =o o
Ç^ ó Iñ Ñ â Ç^ ó Iñ âÑ I
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK
1082. fÑ ( ) ( ) ó Iñ Ö ó Iñ Ñ ≤ çå oI íÜÉå ( ) ( )∫∫∫∫ ≤o o
Ç^ ó Iñ Ö Ç^ ó Iñ Ñ K
1083. fÑ ( ) M ó Iñ Ñ ≥ çå o ~åÇ o p ⊂ I íÜÉå
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 272/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
260
( ) ( )∫∫∫∫ ≤o p
Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ K
Figure 191.
1084. fÑ ( ) M ó Iñ Ñ ≥ çå o ~åÇ o ~åÇ p ~êÉ åçå-çîÉêä~ééáåÖ
êÉÖáçåëI íÜÉå ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫ +=∪ po po
Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ K
eÉêÉ po ∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë o ~åÇ pK
Figure 192.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 273/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
261
1085. fíÉê~íÉÇ fåíÉÖê~äë ~åÇ cìÄáåá∞ë qÜÉçêÉã
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ = Ä
~
ñ è
ñ éo
ÇóÇñ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ fI( ) ( ) ( ){ }ñ è ó ñ éI Äñ ~ö ó Iñ o ≤≤≤≤= K
Figure 193.
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ =Ç
Å
ó î
ó ìo
ÇñÇó ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ
Ñçê ~ êÉÖáçå çÑ íóéÉ ffI( ) ( ) ( ){ }Ç ó ÅI ó î ñ ó ìö ó Iñ o ≤≤≤≤= K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 274/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
262
Figure 194.
1086. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê oÉÅí~åÖìä~ê oÉÖáçåë
fÑ o áë íÜÉ êÉÅí~åÖìä~ê êÉÖáçå [ ] [ ]ÇIÅ ÄI~ × I íÜÉå
( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫∫
=
=
Ç
Å
Ä
~
Ä
~
Ç
Åo
Çó Çñ ó Iñ Ñ Çñ Çó ó Iñ Ñ ÇñÇó ó Iñ Ñ K
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( ) ó Iñ Ñ Å~å ÄÉ ïêáí-
íÉå ~ë ( ) ( ) ó Üñ Ö ïÉ Ü~îÉ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
== ∫∫∫∫∫∫
Ç
Å
Ä
~o o
Çó ó ÜÇñ ñ Ö ÇñÇó ó Üñ Ö ÇñÇó ó Iñ Ñ K
1087. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë( ) ( ) ( )[ ]
( )( )
ÇìÇî î Iì
ó Iñ î Iì ó I î Iìñ Ñ ÇñÇó ó Iñ Ñ
po ∂∂
= ∫∫∫∫ I
ïÜÉêÉ( )( )
M
î
ó
ì
ó î
ñ
ì
ñ
î Iì
ó Iñ ≠
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë-
Ñçêã~íáçåë ( ) ( ) î Iì ó Iñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ o ïÜáÅÜ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 275/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
263
Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( ) î Iìñ ñ = I ( ) î Iì ó ó = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåá-
íáçå çÑ oK
1088. mçä~ê `ççêÇáå~íÉëθ= Åçëêñ I θ= ëáåê ó K
Figure 195.
1089. açìÄäÉ fåíÉÖê~äë áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
qÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇó Ñçê mçä~ê `ççêÇáå~íÉë áë
( )( )
θ=θθ∂
∂= êÇêÇÇêÇ
Iê
ó Iñ ÇñÇó K
iÉí íÜÉ êÉÖáçå o áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW( ) ( )θ≤≤θ≤ ÜêÖ M I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O K
qÜÉå
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫β
α
θ
θ
θθθ=Ü
Ö o
êÇêÇëáåêIÅçëêÑ ÇñÇó ó Iñ Ñ K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 276/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
264
Figure 196.
fÑ íÜÉ êÉÖáçå o áë íÜÉ éçä~ê êÉÅí~åÖäÉ ÖáîÉå Äó Äê~M ≤≤≤ I β≤θ≤α I ïÜÉêÉ π≤α−β O I
íÜÉå
( ) ( )
∫ ∫∫∫
β
α
θθθ= Ä
~o
êÇêÇëáåêIÅçëêÑ ÇñÇó ó Iñ Ñ K
Figure 197.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 277/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
265
1090. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå
( )
( )
∫ ∫= Ä
~
ñ Ñ
ñ Ö
ÇóÇñ ^ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK
Figure 198.
( )
( )
∫ ∫=
Ç
Å
ó è
ó é
ÇñÇó ^ EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK
Figure 199.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 278/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
266
1091. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
( )∫∫=o
Ç^ ó Iñ Ñ s K
Figure 200.
fÑ o áë ~ íóéÉ f êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó ~= I Äñ = I ( )ñ Ü ó = I
( )ñ Ö ó = I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ == Ä
~
ñ Ö
ñ Üo
ÇóÇñ ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ s K
fÑ o áë ~ íóéÉ ff êÉÖáçå ÄçìåÇÉÇ Äó Å ó = I Ç ó = I ( ) ó èñ = I
( ) ó éñ = I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
∫ ∫∫∫ ==Ç
Å
ó è
ó éo
ÇñÇó ó Iñ Ñ Ç^ ó Iñ Ñ s K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 279/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
267
fÑ ( ) ( ) ó Iñ Ö ó Iñ Ñ ≥ çîÉê ~ êÉÖáçå oI íÜÉå íÜÉ îçäìãÉ çÑ
íÜÉ ëçäáÇ ÄÉíïÉÉå ( ) ó Iñ Ñ òN = ~åÇ ( ) ó Iñ Ö òO = çîÉê o áë
ÖáîÉå Äó
( ) ( )[ ]∫∫ −=o
Ç^ ó Iñ Ö ó Iñ Ñ s K
1092. ^êÉ~ ~åÇ sçäìãÉ áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉëfÑ p áë ~ êÉÖáçå áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ÄçìåÇÉÇ Äó α=θ I β=θ I
( )θ= Üê I ( )θ= Ö ê I
íÜÉå
( )
( )
∫ ∫∫∫β
α
θ
θ
θ==Ö
Üp
êÇêÇÇ^^ I
( )∫∫ θθ=p
êÇêÇIêÑ s K
Figure 201.
1093. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~
ÇñÇó ó
ò
ñ
òNp
o
OO
∫∫
∂∂
+
∂∂
+=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 280/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
268
1094. j~ëë çÑ ~ i~ãáå~
( )∫∫ρ=o
Ç^ ó Iñ ã I
ïÜÉêÉ íÜÉ ä~ãáå~ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí EñIóF áë ( ) ó Iñ ρ K
1095. jçãÉåíëqÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë áë ÖáîÉå Äó Ñçê-ãìä~
( )∫∫ ρ=o
ñ Ç^ ó Iñ ó j K
qÜÉ ãçãÉåí çÑ íÜÉ ä~ãáå~ ~Äçìí íÜÉ ó -~ñáë áë
( )∫∫ ρ=o
ó Ç^ ó Iñ ñ j K
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë áë
( )
∫∫ ρ=
o
Oñ Ç^ ó Iñ ó f K
qÜÉ ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ó -~ñáë áë
( )∫∫ ρ=o
O ó Ç^ ó Iñ ñ f K
qÜÉ éçä~ê ãçãÉåí çÑ áåÉêíá~ áë
( ) ( )∫∫ ρ+= o
OO
M Ç^ ó Iñ ó ñ f K
1096. `ÉåíÉê çÑ j~ëë
( )
( )
( )∫∫
∫∫∫∫ ρ
ρ
=ρ==
o
o
o
ó
Ç^ ó Iñ
Ç^ ó Iñ ñ
Ç^ ó Iñ ñ ã
N
ã
jñ I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 281/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
269
( )
( )
( )∫∫
∫∫∫∫ ρ
ρ
=ρ==
o
o
o
ñ
Ç^ ó Iñ
Ç^ ó Iñ ó
Ç^ ó Iñ ó ã
N
ã
j ó K
1097. `Ü~êÖÉ çÑ ~ mä~íÉ
( )∫∫σ=o
Ç^ ó Iñ n I
ïÜÉêÉ ÉäÉÅíêáÅ~ä ÅÜ~êÖÉ áë ÇáëíêáÄìíÉÇ çîÉê ~ êÉÖáçå o ~åÇ áíëÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíó ~í ~ éçáåí EñIóF áë ( ) ó Iñ σ K
1098. ^îÉê~ÖÉ çÑ ~ cìåÅíáçå
( )∫∫=µo
Ç^ ó Iñ Ñ p
NI
ïÜÉêÉ ∫∫=o
Ç^p K
9.11 Triple Integral
cìåÅíáçåë çÑ íÜêÉÉ î~êá~ÄäÉëW ( )òI ó Iñ Ñ I ( )òI ó Iñ Ö I £
qêáéäÉ áåíÉÖê~äëW ( )∫∫∫d
ÇsòI ó Iñ Ñ I ( )∫∫∫d
ÇsòI ó Iñ Ö I £
oáÉã~åå ëìãW ( )∑∑∑= = =
∆∆∆ã
Ná
å
N à
é
Nâ â àáâ àá ò ó ñ ï I î IìÑ
pã~ää ÅÜ~åÖÉëW áñ ∆ I à ó ∆ I â ò∆
iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåW ~I ÄI ÅI ÇI êI ëoÉÖáçåë çÑ áåíÉÖê~íáçåW dI qI p`óäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I òpéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ I ϕ
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 282/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
270
j~ëë çÑ ~ ëçäáÇW ãaÉåëáíóW ( )òI ó Iñ µ
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò
cáêëí ãçãÉåíëW ñó j I óòj I ñòj jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñó f I óòf I ñòf I ñ f I ó f I òf I Mf
1099. aÉÑáåáíáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äqÜÉ íêáéäÉ áåíÉÖê~ä çîÉê ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅ ÄI~ ××
áë ÇÉÑáåÉÇ íç ÄÉ
( )[ ] [ ] [ ]
( ) Iò ó ñ ï I î IìÑ äáãÇsòI ó Iñ Ñ ã
Ná
å
N à
é
Nâ â àáâ àá
Mòã~ñ M ó ã~ñ Mñ ã~ñ
ëIêÇIÅ ÄI~
â
à
á∑∑∑∫∫∫
= = =
→∆→∆→∆
××
∆∆∆=
ïÜÉêÉ â àá ï I î Iì áë ëçãÉ éçáåí áå íÜÉ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ
( ) ( )â Nâ àN àáNá òIò ó I ó ñ Iñ −−− ×× I ~åÇ Nááá ñ ñ ñ −−=∆ I
N à à à ó ó ó −−=∆ I Nâ â â òòò −−=∆ K
1100. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+ddd
ÇsòI ó Iñ Ö ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ö òI ó Iñ Ñ
1101. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −=−ddd
ÇsòI ó Iñ Ö ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ö òI ó Iñ Ñ
1102. ( ) ( )
∫∫∫∫∫∫ =
dd
ÇsòI ó Iñ Ñ â ÇsòI ó Iñ âÑ I
ïÜÉêÉ â áë ~ Åçåëí~åíK
1103. fÑ ( ) MòI ó Iñ Ñ ≥ ~åÇ d ~åÇ q ~êÉ åçåçîÉêä~ééáåÖ Ä~ëáÅ
êÉÖáçåëI íÜÉå
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=∪ qdqd
ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ñ ÇsòI ó Iñ Ñ K
eÉêÉ qd ∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ êÉÖáçåë d ~åÇ qK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 283/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
271
1104. bî~äì~íáçå çÑ qêáéäÉ fåíÉÖê~äë Äó oÉéÉ~íÉÇ fåíÉÖê~äëfÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òI ó Iñ ëìÅÜ íÜ~í
( ) ( ) ( ) ó Iñ ò ó Iñ Io ó Iñ ON χ≤≤χ∈ I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
ÇñÇó ÇòòI ó Iñ Ñ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ o
ó Iñ
ó Iñ d
O
N
∫∫ ∫∫∫∫
=χ
χ
I
ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó -éä~åÉK
fÑ íÜÉ ëçäáÇ d áë íÜÉ ëÉí çÑ éçáåíë ( )òI ó Iñ ëìÅÜ íÜ~í
( ) ( ) ( ) ( ) ó Iñ ò ó Iñ Iñ ó ñ I Äñ ~ ONON χ≤≤χϕ≤≤ϕ≤≤ I íÜÉå
( ) ( )( )
( )
( )
( )
Çñ Çó ÇòòI ó Iñ Ñ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ Ä
~
ñ
ñ
ó Iñ
ó Iñ d
O
N
O
N
∫ ∫ ∫∫∫∫
=
ϕ
ϕ
χ
χ
1105. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë çîÉê m~ê~ääÉäÉéáéÉÇfÑ d áë ~ é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ [ ] [ ] [ ]ëIêÇIÅ ÄI~ ×× I íÜÉå
( ) ( ) Çñ Çó ÇòòI ó Iñ Ñ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ Ä
~
Ç
Å
ë
êd
∫ ∫ ∫∫∫∫
= K
få íÜÉ ëéÉÅá~ä Å~ëÉ ïÜÉêÉ íÜÉ áåíÉÖê~åÇ ( )òI ó Iñ Ñ Å~å ÄÉ
ïêáííÉå ~ë ( ) ( ) ( )òâ ó Üñ Ö ïÉ Ü~îÉ
( ) ( ) ( ) ( )
= ∫∫∫∫∫∫
ë
ê
Ç
Å
Ä
~d
Çòòâ Çó ó ÜÇñ ñ Ö ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ K
1106. `Ü~åÖÉ çÑ s~êá~ÄäÉë
( ) =∫∫∫d
ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
IÇñÇóÇò ï I î Iì
òI ó Iñ ï I î IìòI ï I î Iì ó I ï I î Iìñ Ñ
p∫∫∫ ∂
∂=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 284/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
272
ïÜÉêÉ( )
( ) M
ï
ò
î
ò
ì
ò ï
ó
î
ó
ì
ó ï
ñ
î
ñ
ì
ñ
ï I î Iì
òI ó Iñ ≠
∂∂
∂∂
∂∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂∂∂
∂∂
=∂
∂ áë íÜÉ à~ÅçÄá~å çÑ
íÜÉ íê~åëÑçêã~íáçåë ( ) ( ) ï I î IìòI ó Iñ → I ~åÇ p áë íÜÉ éìää-
Ä~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ( ) ï I î Iìñ ñ = I
( ) ï I î Iì ó ó =
( ) ï I î Iìòò = áåíç íÜÉ ÇÉÑáåáíáçå çÑ dK
1107. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉë áë
( )( )
ÇòêÇêÇÇòÇêÇòIIê
òI ó Iñ ÇñÇóÇò θ=θ
θ∂∂
= K
iÉí íÜÉ ëçäáÇ d áë ÇÉíÉêãáåÉÇ ~ë ÑçääçïëW
( ) ( ) ( ) ó Iñ ò ó Iñ Io ó Iñ ON χ≤≤χ∈ I ïÜÉêÉ o áë éêçàÉÅíáçå çÑ d çåíç íÜÉ ñó -éä~åÉK qÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫∫∫ θθθ=pd
ÇòêÇêÇòIëáåêIÅçëêÑ ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ
( )( )
( )
( )
θ
θθ= ∫∫ ∫
θ
θθχ
θθχ
êÇêÇÇòòIëáåêIÅçëêÑ Iêo
ëáåêIÅçëê
ëáåêIÅçëê
O
N
K
eÉêÉ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ÅóäáåÇêáÅ~ä ÅççêÇáå~íÉëK
1108. qêáéäÉ fåíÉÖê~äë áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉëqÜÉ aáÑÑÉêÉåíá~ä ÇñÇóÇò Ñçê péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë áë
( )( )
ϕθθ=ϕθϕθ∂
∂= ÇÇêÇëáåêÇÇêÇ
IIê
òI ó Iñ ÇñÇóÇò O
( ) =∫∫∫d ÇñÇóÇòòI ó Iñ Ñ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 285/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
273
( )∫∫∫ ϕθθθϕθϕθ=p
O ÇÇêÇëáåêÅçëêIëáåëáåêIÅçëëáåêÑ I
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d áå ëéÜÉêáÅ~ä ÅççêÇá-
å~íÉëK qÜÉ ~åÖäÉ θ ê~åÖÉë Ñêçã M íç πO I íÜÉ ~åÖäÉ ϕ ê~åÖÉë Ñêçã M íç π K
Figure 202.
1109. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ
∫∫∫=d
ÇñÇóÇòs
1110. sçäìãÉ áå `óäáåÇêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
( )
ÇòêÇêÇsòIIêp
∫∫∫θ
θ=
1111. sçäìãÉ áå péÜÉêáÅ~ä `ççêÇáå~íÉë
( )
ϕθθ= ∫∫∫ϕθ
ÇÇêÇëáåêsIIêp
O
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 286/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
274
1112. j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
( )∫∫∫ µ=d
ÇsòI ó Iñ ã I
ïÜÉêÉ íÜÉ ëçäáÇ çÅÅìéáÉë ~ êÉÖáçå d ~åÇ áíë ÇÉåëáíó ~í~ éçáåí ( )òI ó Iñ áë ( )òI ó Iñ µ K
1113. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pçäáÇ
ã
jñ
óò= Iã
j ó ñò= I
ã
jò
ñó = I
ïÜÉêÉ
( )∫∫∫ µ=d
óò ÇsòI ó Iñ ñ j I
( )∫∫∫ µ=d
ñò ÇsòI ó Iñ ó j I
( )∫∫∫ µ=d
ñó ÇsòI ó Iñ òj
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë M= IM ó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóI ( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1114. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó -éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE M= FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E M ó = F
( )∫∫∫ µ=d
Oñó ÇsòI ó Iñ òf I
( )∫∫∫ µ=d
O óò ÇsòI ó Iñ ñ f I
( )∫∫∫ µ=d
Oñò ÇsòI ó Iñ ó f K
1115. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë
( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d
OOñòñó ñ ÇsòI ó Iñ ó òfff I
( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d
OO óòñó ó ÇsòI ó Iñ ñ òfff I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 287/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
275
( ) ( )∫∫∫ µ+=+=d
OO óòñòò ÇsòI ó Iñ ñ ó fff K
1116. mçä~ê jçãÉåí çÑ fåÉêíá~( ) ( )∫∫∫ µ++=++=
d
OOOñò óòñó M ÇsòI ó Iñ ò ó ñ ffff
9.12 Line Integral
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òI ó Iñ c I ( ) ó Iñ c I ( )ñ ÑpÅ~ä~ê éçíÉåíá~äW ( )òI ó Iñ ì
`ìêîÉëW ̀ I N` I O`
iáãáíë çÑ áåíÉÖê~íáçåëW ~I ÄI α I β
m~ê~ãÉíÉêëW íI ëmçä~ê ÅççêÇáå~íÉëW ê I θ
sÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )o InImcr
mçëáíáçå îÉÅíçêW ( )ëêr
råáí îÉÅíçêëW ár
I àr
I â r
I τr
^êÉ~ çÑ êÉÖáçåW piÉåÖíÜ çÑ ~ ÅìêîÉW ij~ëë çÑ ~ ïáêÉW ãaÉåëáíóW ( )òI ó Iñ ρ I ( ) ó Iñ ρ
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò
cáêëí ãçãÉåíëW ñó j I óòj I ñòj
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñ f I ó f I òf
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW stçêâW t
j~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇW _r
`ìêêÉåíW f
bäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉW ε j~ÖåÉíáÅ ÑäìñW ψ
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 288/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
276
1117. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ÅìêîÉ ` ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå ( )ëêê
rr= I
pëM ≤≤ I ~åÇ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå c áë ÇÉÑáåÉÇ çîÉê íÜÉ ÅìêîÉ `K
qÜÉå
( )( ) ( ) ∫∫∫ ==``
p
M
cÇëÇëòI ó Iñ cÇëëêc r
I
ïÜÉêÉ Çë áë íÜÉ ~êÅ äÉåÖíÜ ÇáÑÑÉêÉåíá~äK
1118. ∫∫∫ +=∪ ONON ````
ÇëcÇëcÇëc
Figure 203.
1119. fÑ íÜÉ ëãççíÜ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíêáòÉÇ Äó ( )íêê rr= I
β≤≤α í I íÜÉå
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∫∫β
α
′+′+′= Çííòí ó íñ íòIí ó Iíñ cÇëòI ó Iñ c OOO
`
K
1120. fÑ ` áë ~ ëãççíÜ ÅìêîÉ áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå
( )ñ Ñ ó = I Äñ ~ ≤≤ I íÜÉå
( ) ( )( ) ( )( )∫∫ ′+= Ä
~
O
`
Çñ ñ Ñ Nñ Ñ Iñ cÇë ó Iñ c K
1121. iáåÉ fåíÉÖê~ä çÑ pÅ~ä~ê cìåÅíáçå áå mçä~ê `ççêÇáå~íÉë
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 289/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 290/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
278
1123. mêçéÉêíáÉë çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë çÑ sÉÅíçê cáÉäÇë
( ) ( )∫∫ ⋅−=⋅− ``
êÇcêÇc rrrr
I
ïÜÉêÉ-` ÇÉåçíÉ íÜÉ ÅìêîÉ ïáíÜ íÜÉ çééçëáíÉ çêáÉåí~íáçåK
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅=⋅∪ ONON `````
êÇcêÇcêÇcêÇc rrrrrrrr
I
ïÜÉêÉ ` áë íÜÉ ìåáçå çÑ íÜÉ ÅìêîÉë N` ~åÇ O` K
1124. fÑ íÜÉ ÅìêîÉ ` áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó ( ) ( ) ( ) ( )íòIí ó Iíñ íê =r
I
β≤≤α í I íÜÉå=++∫̀ oÇònÇó mÇñ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∫β
α
++= ÇíÇí
ÇòíòIí ó Iíñ o
Çí
Çó íòIí ó Iíñ n
Çí
Çñ íòIí ó Iíñ m
1125. fÑ ` äáÉë áå íÜÉ ñó -éä~åÉ ~åÇ ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( )ñ Ñ ó = I
íÜÉå
( )( ) ( )( )∫∫
+=+
Ä
~`
Çñ Çñ
ÇÑ ñ Ñ Iñ nñ Ñ Iñ mnÇó mÇñ K
1126. dêÉÉå∞ë qÜÉçêÉã
∫∫∫ +=
∂
∂−
∂
∂
`o
nÇó mÇñ ÇñÇó
ó
m
ñ
nI
ïÜÉêÉ ( ) ( ) à ó Iñ ná ó Iñ mcrrr
+= áë ~ Åçåíáåìçìë îÉÅíçê ÑìåÅ-
íáçå ïáíÜ Åçåíáåìçìë Ñáêëí é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉë ó
m
∂∂
In
∂∂
áå ~
ëçãÉ Ççã~áå oI ïÜáÅÜ áë ÄçìåÇÉÇ Äó ~ ÅäçëÉÇI éáÉÅÉïáëÉëãççíÜ ÅìêîÉ `K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 291/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
279
1127. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå o _çìåÇÉÇ Äó íÜÉ `ìêîÉ `
∫∫∫ −==`o
óÇñ ñÇó O
NÇñÇó p
1128. m~íÜ fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ çÑ iáåÉ fåíÉÖê~äë
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå â o ànámcrrrr
++= áë
ë~áÇ íç ÄÉ é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåíI áÑ ~åÇ çåäó áÑ mI nI ~åÇ o ~êÉÅçåíáåìçìë áå ~ Ççã~áå aI ~åÇ áÑ íÜÉêÉ Éñáëíë ëçãÉ ëÅ~ä~êÑìåÅíáçå ( )òI ó Iñ ìì = E~ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~äF áå a ëìÅÜ íÜ~í
ìÖê~Çc =
r
I çê m
ì
=∂
∂
I n ó
ì
=∂
∂
I o ò
ì
=∂
∂
K
qÜÉå
( ) ( ) ( )^ì_ìoÇònÇó mÇñ êÇêc``
−=++=⋅ ∫∫ rrr
K
1129. qÉëí Ñçê ~ `çåëÉêî~íáîÉ cáÉäÇ
^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã ìÖê~Çc =r
áë Å~ääÉÇ ~ ÅçåëÉêî~íáîÉ
ÑáÉäÇK qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå â o ànámc rrrr ++=
áë é~íÜ áåÇÉéÉåÇÉåí áÑ ~åÇ çåäó áÑ
M
o nmò ó ñ
â àá
cÅìêär
rrr
r=
∂∂
∂∂
∂∂
= K
fÑ íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå áå ñó -éä~åÉ ëç íÜ~í
( ) ( )^ì_ìnÇó mÇñ `
−=+∫ I
íÜÉå íÜÉ íÉëí Ñçê ÇÉíÉêãáåáåÖ áÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ áë ÅçåëÉêî~íáîÉÅ~å ÄÉ ïêáííÉå áå íÜÉ Ñçêã
ñ
n
ó
m
∂∂
=∂∂
K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 292/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 293/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
281
( ) ( ) ( )( )∫β
α
+
+
ρ= Çí
Çí
Çò
Çí
Çó
Çí
Çñ íòIí ó Iíñ ã
OOO
K
fÑ ` áë ~ ÅìêîÉ áå ñó -éä~åÉI íÜÉå íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ ïáêÉ áë ÖáîÉå Äó
( )∫ρ=`
Çë ó Iñ ã I
çê
( ) ( )( )∫β
α
+
ρ= Çí
Çí
Çó
Çí
Çñ í ó Iíñ ã
OO
Eáå é~ê~ãÉíêáÅ ÑçêãFK
1133. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ táêÉ
ã
jñ
óò= Iã
j ó ñò= I
ã
jò
ñó = I
ïÜÉêÉ
( )∫ ρ=`
óò ÇëòI ó Iñ ñ j I
( )∫ ρ=`
ñò ÇëòI ó Iñ ó j I
( )∫ ρ=`
ñó ÇëòI ó Iñ òj K
1134. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~qÜÉ ãçãÉåíë çÑ áåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáë~êÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ Ñçêãìä~ë
( ) ( )∫ ρ+=`
OOñ ÇëòI ó Iñ ò ó f I
( ) ( )∫ ρ+=`
OO ó ÇëòI ó Iñ òñ f I
( ) ( )∫ ρ+=`
OOò ÇëòI ó Iñ ó ñ f K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 294/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
282
1135. ^êÉ~ çÑ ~ oÉÖáçå _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ
∫∫∫ −=−==```
óÇñ ñÇó O
N óÇñ ñÇó p K
Figure 205.
fÑ íÜÉ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉ ` áë ÖáîÉå áå é~ê~ãÉíêáÅ Ñçêã( ) ( ) ( )í ó Iíñ íê =r
I íÜÉå íÜÉ ~êÉ~ Å~å ÄÉ Å~äÅìä~íÉÇ Äó íÜÉ Ñçê-
ãìä~
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫β
α
β
α
β
α
−=−== ÇíÇí
Çñ í ó
Çí
Çó íñ
O
NÇí
Çí
Çñ í ó Çí
Çí
Çó íñ p K
1136. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ cçêãÉÇ Äó oçí~íáåÖ ~ `äçëÉÇ `ìêîÉ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáë
∫∫∫ +π
−=π−=π−=`
O
``
O Çñ ó ñóÇó OO
ñóÇó OÇñ ó s
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 295/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 296/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
284
fÑ íÜÉ çÄàÉÅí áë ãçîÉÇ ~äçåÖ ~ ÅìêîÉ ` áå íÜÉ ñó -éä~åÉI íÜÉå
∫∫ +=⋅=``
nÇó mÇñ êÇct rr
I
fÑ ~ é~íÜ ` áë ëéÉÅáÑáÉÇ Äó ~ é~ê~ãÉíÉê í Eí çÑíÉå ãÉ~åëíáãÉFI íÜÉ Ñçêãìä~ Ñçê Å~äÅìä~íáåÖ ïçêâ ÄÉÅçãÉë
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) IÇíÇí
ÇòíòIí ó Iíñ o
Çí
Çó íòIí ó Iíñ n
Çí
Çñ íòIí ó Iíñ mt ∫
β
α
++=
ïÜÉêÉ í ÖçÉë Ñêçã α íç β K
fÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ c
r
áë ÅçåëÉêî~íáîÉ ~åÇ ( )òI ó Iñ ì áë ~ ëÅ~ä~êéçíÉåíá~ä çÑ íÜÉ ÑáÉäÇI íÜÉå íÜÉ ïçêâ çå ~å çÄàÉÅí ãçîáåÖÑêçã ^ íç _ Å~å ÄÉ ÑçìåÇ Äó íÜÉ Ñçêãìä~
( ) ( )^ì_ìt −= K
1138. ^ãéÉêÉ∞ë i~ï
fêÇ_ M
`
µ=⋅∫ rr
K
qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ã~ÖåÉíáÅ ÑáÉäÇ _r
~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇ é~íÜ` áë Éèì~ä íç íÜÉ íçí~ä ÅìêêÉåí f ÑäçïáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ ~êÉ~
ÄçìåÇÉÇ Äó íÜÉ é~íÜK
Figure 208.
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 297/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
285
1139. c~ê~Ç~ó ∞ë i~ï
Çí
ÇêÇb
`
ψ−=⋅=ε ∫
rr
qÜÉ ÉäÉÅíêçãçíáîÉ ÑçêÅÉ EÉãÑF ε áåÇìÅÉÇ ~êçìåÇ ~ ÅäçëÉÇäççé ` áë Éèì~ä íç íÜÉ ê~íÉ çÑ íÜÉ ÅÜ~åÖÉ çÑ ã~ÖåÉíáÅ Ñäìñ ψ
é~ëëáåÖ íÜêçìÖÜ íÜÉ äççéK
Figure 209.
9.13 Surface Integral
pÅ~ä~ê ÑìåÅíáçåëW ( )òI ó Iñ Ñ I ( ) ó Iñ ò
mçëáíáçå îÉÅíçêëW ( ) î Iìêr
I ( )òI ó Iñ êr
råáí îÉÅíçêëW ár
I àr
I â r
pìêÑ~ÅÉW p
sÉÅíçê ÑáÉäÇW ( )o InImcr
aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÇáî rr
⋅∇=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 298/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
286
`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW ccÅìêärr
×∇=
sÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW pÇr
kçêã~ä íç ëìêÑ~ÅÉW å
r
pìêÑ~ÅÉ ~êÉ~W ^j~ëë çÑ ~ ëìêÑ~ÅÉW ãaÉåëáíóW ( )òI ó Iñ µ
`ççêÇáå~íÉë çÑ ÅÉåíÉê çÑ ã~ëëW I ó I ò
cáêëí ãçãÉåíëW ñó j I óòj I ñòj
jçãÉåíë çÑ áåÉêíá~W ñó f I óòf I ñòf I ñ f I ó f I òf
sçäìãÉ çÑ ~ ëçäáÇW s
cçêÅÉW cr dê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíW dcäìáÇ îÉäçÅáíóW ( )ê î
rr
cäìáÇ ÇÉåëáíóW ρ
mêÉëëìêÉW ( )êé r
j~ëë ÑäìñI ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñW Φ pìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉW n`Ü~êÖÉ ÇÉåëáíóW ( ) ó Iñ σ
j~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇW br
1140. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ ~ pÅ~ä~ê cìåÅíáçåiÉí ~ ëìêÑ~ÅÉ p ÄÉ ÖáîÉå Äó íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê
( ) ( ) ( ) ( )â î Iìò à î Iì ó á î Iìñ î Iìêrrrr
++= I
ïÜÉêÉ ( ) î Iì ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå ( ) î Iìa çÑ íÜÉ ìî -
éä~åÉKqÜÉ ëìêÑ~ÅÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑìåÅíáçå ( )òI ó Iñ Ñ çîÉê
íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÇÉÑáåÉÇ ~ë
( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫∫∫∫ ∂
∂×
∂∂
= î Iìap
ÇìÇî î
ê
ì
ê î IìòI î Iì ó I î Iìñ Ñ ÇpòI ó Iñ Ñ
rr
I
ïÜÉêÉ íÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëìê
∂∂
r
~åÇ î ê
∂∂
r
~êÉ ÖáîÉå Äó
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 299/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
287
( ) ( ) ( )â î Iìì
ò à î Iì
ì
ó á î Iì
ì
ñ
ì
ê rrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∂∂
I
( ) ( ) ( )â î Iì î
ò à î Iì
î
ó á î Iì
î
ñ
î
ê rrrr
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂
~åÇ î
ê
ì
ê
∂∂
×∂∂
rr
áë íÜÉ Åêçëë éêçÇìÅíK
1141. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( ) ó Iñ òò = ïÜÉêÉ
( ) ó Iñ ò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( ) ó Iñ a I
íÜÉå
( ) ( )( )( )∫∫∫∫
∂∂
+
∂∂
+= ó Iñ a
OO
p
ÇñÇó ó
ò
ñ
òN ó Iñ òI ó Iñ Ñ ÇpòI ó Iñ Ñ K
1142. pìêÑ~ÅÉ fåíÉÖê~ä çÑ íÜÉ sÉÅíçê cáÉäÇ cr
çîÉê íÜÉ pìêÑ~ÅÉ p• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ çìíï~êÇI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅
pp
ÇpåòI ó Iñ cpÇòI ó Iñ c rrrr
( ) ( ) ( )( )( )∫∫
∂∂
×∂∂
⋅= î Iìa
ÇìÇî î
ê
ì
ê î IìòI î Iì ó I î Iìñ c
rrr
K
• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ áåï~êÇI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòI ó Iñ cpÇòI ó Iñ c rrrr
( ) ( ) ( )( )( )∫∫
∂∂×
∂∂⋅=
î Iìa
ÇìÇî ìê
î ê î IìòI î Iì ó I î Iìñ c
rr
r K
ÇpåpÇ rr= áë Å~ääÉÇ íÜÉ îÉÅíçê ÉäÉãÉåí çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉK açí
ãÉ~åë íÜÉ ëÅ~ä~ê éêçÇìÅí çÑ íÜÉ ~ééêçéêá~íÉ îÉÅíçêëK
qÜÉ é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëì
ê
∂∂r
~åÇ î
ê
∂∂r
~êÉ ÖáîÉå Äó
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 300/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
288
( ) ( ) ( ) â î Iìì
ò à î Iì
ì
ó á î Iì
ì
ñ
ì
ê rrrr
⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
=∂∂
I
( ) ( ) ( ) â î Iì î
ò à î Iì
î
ó á î Iì
î
ñ
î
ê rrrr
⋅∂
∂+⋅
∂
∂+⋅
∂
∂=
∂
∂K
1143. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë ÖáîÉå Äó íÜÉ Éèì~íáçå ( ) ó Iñ òò = I ïÜÉêÉ
( ) ó Iñ ò áë ~ ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçå áå íÜÉ Ççã~áå ( ) ó Iñ a I
íÜÉå• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ ìéï~êÇI áKÉK íÜÉ â -íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉ
åçêã~ä îÉÅíçê áë éçëáíáîÉI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòI ó Iñ cpÇòI ó Iñ c rrrr
( )( )∫∫
+
∂∂
−∂∂
−⋅= ó Iñ a
ÇñÇó â à ó
òá
ñ
òòI ó Iñ c
rrrrI
• fÑ p áë çêáÉåíÉÇ Ççïåï~êÇI áKÉK íÜÉ â -íÜ ÅçãéçåÉåí çÑ íÜÉåçêã~ä îÉÅíçê áë åÉÖ~íáîÉI íÜÉå
( ) ( )∫∫∫∫ ⋅=⋅pp
ÇpåòI ó Iñ cpÇòI ó Iñ c rrrr
( )( )∫∫
−
∂∂
+∂∂
⋅= ó Iñ a
ÇñÇó â à ó
òá
ñ
òòI ó Iñ c
rrrrK
1144. ( ) ∫∫∫∫ ++=⋅pp
oÇñÇó nÇòÇñ mÇóÇòÇpåc rr
( )∫∫ γ+β+α=p
ÇpÅçëo ÅçënÅçëm I
ïÜÉêÉ ( )òI ó Iñ m I ( )òI ó Iñ n I ( )òI ó Iñ o ~êÉ íÜÉ ÅçãéçåÉåíë çÑ
íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇ cr
KαÅçë I βÅçë I γÅçë ~êÉ íÜÉ ~åÖäÉë ÄÉíïÉÉå íÜÉ çìíÉê ìåáí
åçêã~ä îÉÅíçê år
~åÇ íÜÉ ñ -~ñáëI ó -~ñáëI ~åÇ ò-~ñáëI êÉëéÉÅí-áîÉäóK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 301/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 302/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
290
ïÜÉêÉ
( ) ( ) ( ) ( )òI ó Iñ o IòI ó Iñ nIòI ó Iñ mòI ó Iñ c =r
áë ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇ ïÜçëÉ ÅçãéçåÉåíë mI nI ~åÇ o Ü~îÉ
Åçåíáåìçìë é~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëI
â ó
m
ñ
n à
ñ
o
ò
má
ò
n
ó
o
o nmñ ñ ñ
â àá
crrr
rrr
r
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
+
∂∂
−∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇
áë íÜÉ Åìêä çÑ cr
I ~äëç ÇÉåçíÉÇ cÅìêär
K
qÜÉ ëóãÄçä ∫ áåÇáÅ~íÉë íÜ~í íÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä áë í~âÉå çîÉê~ ÅäçëÉÇ ÅìêîÉK
1149. píçâÉ∞ë qÜÉçêÉã áå `ççêÇáå~íÉ cçêã
∫ ++`
oÇònÇó mÇñ
∫∫
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂=
p
ÇñÇó ó
m
ñ
nÇòÇñ
ñ
o
ò
mÇóÇò
ò
n
ó
o
1150. pìêÑ~ÅÉ ^êÉ~
∫∫=p
Çp^
1151. fÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p áë é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ Äó íÜÉ îÉÅíçê
( ) ( ) ( ) ( )â î Iìò à î Iì ó á î Iìñ î Iìêrrrr
++= IíÜÉå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ~êÉ~ áë
( )∫∫ ∂
∂×
∂∂
= î Iìa
ÇìÇî î
ê
ì
ê^
rr
I
ïÜÉêÉ ( ) î Iìa áë íÜÉ Ççã~áå ïÜÉêÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ( ) î Iìêr
áë
ÇÉÑáåÉÇK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 303/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
291
1152. fÑ p áë ÖáîÉå ÉñéäáÅáíäó Äó íÜÉ ÑìåÅíáçå ( ) ó Iñ ò I íÜÉå íÜÉ ëìê-
Ñ~ÅÉ ~êÉ~ áë
( )∫∫
∂∂
+
∂∂
+= ó Iñ a
OO
ÇñÇó ó
ò
ñ
òN^ I
ïÜÉêÉ ( ) ó Iñ a áë íÜÉ éêçàÉÅíáçå çÑ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p çåíç íÜÉ ñó -
éä~åÉK
1153. j~ëë çÑ ~ pìêÑ~ÅÉ
( )∫∫µ=
p
ÇpòI ó Iñ ã I
ïÜÉêÉ ( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ã~ëë éÉê ìåáí ~êÉ~ EÇÉåëáíó ÑìåÅ-
íáçåFK
1154. `ÉåíÉê çÑ j~ëë çÑ ~ pÜÉää
ã
jñ
óò= Iã
j ó ñò= I
ã
jò
ñó = I
ïÜÉêÉ
( )∫∫ µ=p
óò ÇpòI ó Iñ ñ j I
( )∫∫ µ=p
ñò ÇpòI ó Iñ ó j I
( )∫∫ µ=p
ñó ÇpòI ó Iñ òj
~êÉ íÜÉ Ñáêëí ãçãÉåíë ~Äçìí íÜÉ ÅççêÇáå~íÉ éä~åÉë M= I
M ó = I Mò = I êÉëéÉÅíáîÉäóK ( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1155. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñó -éä~åÉ Eçê Mò = FI óò-éä~åÉE M= FI ~åÇ ñò-éä~åÉ E M ó = F
( )∫∫ µ=p
Oñó ÇpòI ó Iñ òf I
( )∫∫ µ=p
O óò ÇpòI ó Iñ ñ f I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 304/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
292
( )∫∫ µ=p
Oñò ÇpòI ó Iñ ó f K
1156. jçãÉåíë çÑ fåÉêíá~ ~Äçìí íÜÉ ñ -~ñáëI ó
-~ñáëI ~åÇ ò
-~ñáë
( ) ( )∫∫ µ+=p
OOñ ÇpòI ó Iñ ò ó f I
( ) ( )∫∫ µ+=p
OO ó ÇpòI ó Iñ òñ f I
( ) ( )∫∫ µ+=p
OOò ÇpòI ó Iñ ó ñ f K
1157. sçäìãÉ çÑ ~ pçäáÇ _çìåÇÉÇ Äó ~ `äçëÉÇ pìêÑ~ÅÉ
∫∫ ++=p
òÇñÇó óÇñÇòñÇóÇòP
Ns
1158. dê~îáí~íáçå~ä cçêÅÉ
( )
∫∫µ=
p P
Çpê
êòI ó Iñ dãc
rr
I
ïÜÉêÉ ã áë ~ ã~ëë ~í ~ éçáåí MMM òI ó Iñ çìíëáÇÉ íÜÉ ëìêÑ~ÅÉI
MMM òòI ó ó Iñ ñ ê −−−=r
I
( )òI ó Iñ µ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåI
~åÇ d áë Öê~îáí~íáçå~ä Åçåëí~åíK
1159. mêÉëëìêÉ cçêÅÉ( )∫∫=p
pÇêécrrr
I
ïÜÉêÉ íÜÉ éêÉëëìêÉ ( )êé r
~Åíë çå íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ p ÖáîÉå Äó
íÜÉ éçëáíáçå îÉÅíçê êr
K
1160. cäìáÇ cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF
( )
∫∫ ⋅=Φ
p
pÇê î rrr
I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 305/338
CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS
293
ïÜÉêÉ ( )ê î rr
áë íÜÉ ÑäìáÇ îÉäçÅáíóK
1161. j~ëë cäìñ E~Åêçëë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ pF
( )∫∫ ⋅ρ=Φp
pÇê î rrr
I
ïÜÉêÉ î c rrρ= áë íÜÉ îÉÅíçê ÑáÉäÇI ρ áë íÜÉ ÑäìáÇ ÇÉåëáíóK
1162. pìêÑ~ÅÉ `Ü~êÖÉ
( )∫∫σ=p
Çp ó Iñ n I
ïÜÉêÉ ( ) ó Iñ σ áë íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ ÅÜ~êÖÉ ÇÉåëáíóK
1163. d~ìëë∞ i~ïqÜÉ ÉäÉÅíêáÅ Ñäìñ íÜêçìÖÜ ~åó ÅäçëÉÇ ëìêÑ~ÅÉ áë éêçéçêíáçå~äíç íÜÉ ÅÜ~êÖÉ n ÉåÅäçëÉÇ Äó íÜÉ ëìêÑ~ÅÉ
Mp
npÇb
ε=⋅=Φ ∫∫
rrI
ïÜÉêÉΦ áë íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑäìñI
br
áë íÜÉ ã~ÖåáíìÇÉ çÑ íÜÉ ÉäÉÅíêáÅ ÑáÉäÇ ëíêÉåÖíÜI
ã
cNMURIU NO
M−×=ε áë éÉêãáííáîáíó çÑ ÑêÉÉ ëé~ÅÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 306/338
294
Chapter 10
Differential Equations
cìåÅíáçåë çÑ çåÉ î~êá~ÄäÉW óI éI èI ìI ÖI ÜI dI eI êI ò^êÖìãÉåíë EáåÇÉéÉåÇÉåí î~êá~ÄäÉëFW ñI ócìåÅíáçåë çÑ íïç î~êá~ÄäÉëW ( ) ó Iñ Ñ I ( ) ó Iñ j I ( ) ó Iñ k
cáêëí çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉW ó ′ I ì′ I ó & IÇí
Çó I £
pÉÅçåÇ çêÇÉê ÇÉêáî~íáîÉëW ó ′′ I ó && IO
O
Çí
fÇI £
m~êíá~ä ÇÉêáî~íáîÉëWí
ì
∂∂
IO
Oì
∂∂
I £
k~íìê~ä åìãÄÉêW åm~êíáÅìä~ê ëçäìíáçåëW N ó I é ó
oÉ~ä åìãÄÉêëW âI íI `I N` I O` I éI èI α I β
oççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåëW Nλ I Oλ
qáãÉW íqÉãéÉê~íìêÉW qI pmçéìä~íáçå ÑìåÅíáçåW ( )ím
j~ëë çÑ ~å çÄàÉÅíW ãpíáÑÑåÉëë çÑ ~ ëéêáåÖW âaáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãW ó^ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW ^cêÉèìÉåÅóW ω a~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíW γ
mÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíW δ ^åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíW θ
mÉåÇìäìã äÉåÖíÜW i
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 307/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
295
^ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóW Ö`ìêêÉåíW foÉëáëí~åÅÉW o
fåÇìÅí~åÅÉW i`~é~Åáí~åÅÉW `
10.1 First Order Ordinary DifferentialEquations
1164. iáåÉ~ê bèì~íáçåë
( ) ( )ñ è ó ñ éÇñ
Çó =+ K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( ) ( )
( )ñ ì
`Çñ ñ èñ ì ó
+= ∫
I
ïÜÉêÉ
( ) ( )∫= Çñ ñ éÉñéñ ì K
1165. pÉé~ê~ÄäÉ bèì~íáçåë
( ) ( ) ( ) ó Üñ Ö ó Iñ Ñ Çñ
Çó ==
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå Äó
( ) ( ) `Çñ ñ Ö
ó Ü
Çó += ∫∫ I
çê( ) ( ) `ñ d ó e += K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 308/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
296
1166. eçãçÖÉåÉçìë bèì~íáçåë
qÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå ( ) ó Iñ Ñ Çñ
Çó = áë ÜçãçÖÉåÉçìëI áÑ
íÜÉ ÑìåÅíáçå ( ) ó Iñ Ñ áë ÜçãçÖÉåÉçìëI íÜ~í áë( ) ( ) ó Iñ Ñ íó Iíñ Ñ = K
qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå ó
ò = EíÜÉå òñ ó = F äÉ~Çë íç íÜÉ ëÉé~ê~ÄäÉ
Éèì~íáçå
( )òINÑ òÇñ
Çòñ =+ K
1167. _Éêåçìääá bèì~íáçå
( ) ( ) å ó ñ è ó ñ éÇñ
Çó =+ K
qÜÉ ëìÄëíáíìíáçå åN ó ò −= äÉ~Çë íç íÜÉ äáåÉ~ê Éèì~íáçå
( ) ( ) ( ) ( )ñ èåNòñ éåNÇñ Çò −=−+ K
1168. oáÅÅ~íá bèì~íáçå
( ) ( ) ( ) O ó ñ ê ó ñ èñ éÇñ
Çó ++=
fÑ ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå N ó áë âåçïåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäì-
íáçå Å~å ÄÉ çÄí~áåÉÇ ïáíÜ íÜÉ ÜÉäé çÑ ëìÄëíáíìíáçå
N ó ó
Nò
−= I ïÜáÅÜ äÉ~Çë íç íÜÉ Ñáêëí çêÇÉê äáåÉ~ê Éèì~íáçå
( ) ( )[ ] ( )ñ êòñ ê ó Oñ èÇñ
ÇòN −+−= K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 309/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
297
1169. bñ~Åí ~åÇ kçåÉñ~Åí bèì~íáçåëqÜÉ Éèì~íáçå
( ) ( ) MÇó ó Iñ kÇñ ó Iñ j =+
áë Å~ääÉÇ Éñ~Åí áÑ
ñ
k
ó
j
∂∂
=∂∂
I
~åÇ åçåÉñ~Åí çíÜÉêïáëÉK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( ) ( ) `Çó ó Iñ kÇñ ó Iñ j =+ ∫∫ K
1170. o~Çáç~ÅíáîÉ aÉÅ~ó
âó Çí
Çó −= I
ïÜÉêÉ ( )í ó áë íÜÉ ~ãçìåí çÑ ê~Çáç~ÅíáîÉ ÉäÉãÉåí ~í íáãÉ íI â
áë íÜÉ ê~íÉ çÑ ÇÉÅ~óK
qÜÉ ëçäìíáçå áë( ) âí
MÉ ó í ó −= I ïÜÉêÉ ( )M ó ó M = áë íÜÉ áåáíá~ä ~ãçìåíK
1171. kÉïíçå∞ë i~ï çÑ `ççäáåÖ
( )pqâ Çí
Çq−−= I
ïÜÉêÉ ( )íq áë íÜÉ íÉãéÉê~íìêÉ çÑ ~å çÄàÉÅí ~í íáãÉ íI p áë íÜÉ
íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ ëìêêçìåÇáåÖ ÉåîáêçåãÉåíI â áë ~ éçëá-íáîÉ Åçåëí~åíK
qÜÉ ëçäìíáçå áë
( ) ( ) âíM Épqpíq −−+= I
ïÜÉêÉ ( )MqqM = áë íÜÉ áåáíá~ä íÉãéÉê~íìêÉ çÑ íÜÉ çÄàÉÅí ~í
íáãÉ Mí = K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 310/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
298
1172. mçéìä~íáçå aóå~ãáÅë EiçÖáëíáÅ jçÇÉäF
−=
j
mNâm
Çí
ÇmI
ïÜÉêÉ ( )ím áë éçéìä~íáçå ~í íáãÉ íI â áë ~ éçëáíáîÉ Åçåëí~åíIj áë ~ äáãáíáåÖ ëáòÉ Ñçê íÜÉ éçéìä~íáçåK
qÜÉ ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçå áë
( )( ) âí
MM
M
Émjm
jmím
−−+= I ïÜÉêÉ ( )MmmM = áë íÜÉ áåáíá~ä éçéì-
ä~íáçå ~í íáãÉ Mí = K
10.2 Second Order Ordinary DifferentialEquations
1173. eçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí `çÉÑÑáÅáÉåíëMèó ó é ó =+′+′′ K
qÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçå áë
MèéO =+λ+λ K
fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÇáëíáåÅí êÉ~ä êççíë çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ
Éèì~íáçåI íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áëñ
O
ñ
N
ON
É`É` ó
λλ
+= I ïÜÉêÉN` ~åÇ O` ~êÉ áåíÉÖê~íáçå Åçåëí~åíëK
fÑO
éON −=λ=λ I íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( ) ñ
O
é
ON Éñ `` ó −
+= K
fÑ Nλ ~åÇ Oλ ~êÉ ÅçãéäÉñ åìãÄÉêëW
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 311/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
299
áN β+α=λ I áO β−α=λ I ïÜÉêÉ
O
é−=α I
O
éèQ O−=β I
íÜÉå íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë
( )ñ ëáå`ñ Åçë`É ó ONñ β+β= α K
1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë iáåÉ~ê bèì~íáçåë ïáíÜ `çåëí~åí`çÉÑÑáÅáÉåíë
( )ñ Ñ èó ó é ó =+′+′′ K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë ÖáîÉå ÄóÜé ó ó ó += I ïÜÉêÉ
é ó áë ~ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå çÑ íÜÉ áåÜçãçÖÉåÉçìë Éèì~íáçå
~åÇ Ü ó áë íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå çÑ íÜÉ ~ëëçÅá~íÉÇ ÜçãçÖÉåÉ-
çìë Éèì~íáçå EëÉÉ íÜÉ éêÉîáçìë íçéáÅ NNTPFK
fÑ íÜÉ êáÖÜí ëáÇÉ Ü~ë íÜÉ Ñçêã
( ) ( ) ( )( )ñ ëáåñ mñ Åçëñ mÉñ Ñ NNñ β+β= α I
íÜÉå íÜÉ é~êíáÅìä~ê ëçäìíáçå é ó áë ÖáîÉå Äó
( ) ( )( )ñ ëáåñ o ñ Åçëñ o Éñ ó ONñ â
é β+β= α I
ïÜÉêÉ íÜÉ éçäóåçãá~äë ( )ñ o N ~åÇ ( )ñ o O Ü~îÉ íç ÄÉ ÑçìåÇ
Äó ìëáåÖ íÜÉ ãÉíÜçÇ çÑ ìåÇÉíÉêãáåÉÇ ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK• fÑ áβ+α áë åçí ~ êççí çÑ íÜÉ ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ Éèì~íáçåI íÜÉå
íÜÉ éçïÉê Mâ = I• fÑ áβ+α áë ~ ëáãéäÉ êççíI íÜÉå Nâ = I
• fÑ áβ+α áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå Oâ = K
1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ó jáëëáåÖ( ) ó Iñ Ñ ó ′=′′ K
pÉí ó ì ′= K qÜÉå íÜÉ åÉï Éèì~íáçå ë~íáëÑáÉÇ Äó î áë
( )ìIñ Ñ ì =′ I ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 312/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
300
1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä bèì~íáçåë ïáíÜ ñ jáëëáåÖ( ) ó I ó Ñ ó ′=′′ K
pÉí ó ì ′= K páåÅÉ
Çó Çìì
Çñ Çó
Çó Çì
Çñ Çì ó ===′′ I
ïÉ Ü~îÉ
( )ìI ó Ñ Çó
Çìì = I
ïÜáÅÜ áë ~ Ñáêëí çêÇÉê ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~íáçåK
1177. cêÉÉ råÇ~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëqÜÉ ãçíáçå çÑ ~ j~ëë çå ~ péêáåÖ áë ÇÉëÅêáÄÉÇ Äó íÜÉ Éèì~-
íáçåMâó ó ã =+&& I
ïÜÉêÉã áë íÜÉ ã~ëë çÑ íÜÉ çÄàÉÅíIâ áë íÜÉ ëíáÑÑåÉëë çÑ íÜÉ ëéêáåÖI
ó áë Çáëéä~ÅÉãÉåí çÑ íÜÉ ã~ëë Ñêçã ÉèìáäáÄêáìãK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( )δ−ω= íÅçë^ ó M I
ïÜÉêÉ^ áë íÜÉ ~ãéäáíìÇÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíI
Mω áë íÜÉ ÑìåÇ~ãÉåí~ä ÑêÉèìÉåÅóI íÜÉ éÉêáçÇ áëM
Oq
ωπ
= I
δ áë éÜ~ëÉ ~åÖäÉ çÑ íÜÉ Çáëéä~ÅÉãÉåíKqÜáë áë ~å Éñ~ãéäÉ çÑ ëáãéäÉ Ü~êãçåáÅ ãçíáçåK
1178. cêÉÉ a~ãéÉÇ sáÄê~íáçåëMâó ó ó ã =+γ+ &&& I ïÜÉêÉ
γ áë íÜÉ Ç~ãéáåÖ ÅçÉÑÑáÅáÉåíK
qÜÉêÉ ~êÉ P Å~ëÉë Ñçê íÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçåW
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 313/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
301
`~ëÉ NK âãQO >γ EçîÉêÇ~ãéÉÇF
( ) íí ON _É^Éí ó λλ += I
ïÜÉêÉ
ãO
âãQO
N
−γ−γ−=λ I
ãO
âãQO
O
−γ+γ−=λ K
`~ëÉ OK âãQO =γ EÅêáíáÅ~ääó Ç~ãéÉÇF
( ) ( ) íÉ_í^í ó λ+= I
ïÜÉêÉ
ãOγ−=λ K
`~ëÉ PK âãQO <γ EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF
( ) ( )δ−ω=γ
−íÅçë^Éí ó
íãO I ïÜÉêÉ
OâãQ γ−=ω K
1179. páãéäÉ mÉåÇìäìã
Mi
Ö
Çí
ÇO
O
=θ+θ
I
ïÜÉêÉ θ áë íÜÉ ~åÖìä~ê Çáëéä~ÅÉãÉåíI i áë íÜÉ éÉåÇìäìãäÉåÖíÜI Ö áë íÜÉ ~ÅÅÉäÉê~íáçå çÑ Öê~îáíóK
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå Ñçê ëã~ää ~åÖäÉë θ áë( ) í
i
Ö ëáåí ã~ñ θ=θ I íÜÉ éÉêáçÇ áë
Ö
iOq π= K
1180. oi` `áêÅìáí
( ) ( )íÅçëbísf`
N
Çí
Çfo
Çí
fÇi MO
O
ωω=′=++ I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 314/338
CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS
302
ïÜÉêÉ f áë íÜÉ ÅìêêÉåí áå ~å oi` ÅáêÅìáí ïáíÜ ~å ~Å îçäí~ÖÉëçìêÅÉ ( ) ( )íëáåbís M ω= K
qÜÉ ÖÉåÉê~ä ëçäìíáçå áë( ) ( )ϕ−ω++= íëáå^É`É`íf íê
Oíê
NON I
ïÜÉêÉ
iO`
iQo o
ê
O
OIN
−±−= I
OOO
O
M
o `
Ni
b^
ω+
−ω
ω= I
ω−
ω=ϕ
o`
N
o
i~êÅí~å I
N` I O` ~êÉ Åçåëí~åíë ÇÉéÉåÇáåÖ çå áåáíá~ä ÅçåÇáíáçåëK
10.3. Some Partial Differential Equations
1181. qÜÉ i~éä~ÅÉ bèì~íáçå
M ó
ì
ñ
ìO
O
O
O
=∂∂
+∂∂
~ééäáÉë íç éçíÉåíá~ä ÉåÉêÖó ÑìåÅíáçå ( ) ó Iñ ì Ñçê ~ ÅçåëÉê-
î~íáîÉ ÑçêÅÉ ÑáÉäÇ áå íÜÉ ñó -éä~åÉK m~êíá~ä ÇáÑÑÉêÉåíá~ä Éèì~-
íáçåë çÑ íÜáë íóéÉ ~êÉ Å~ääÉÇ ÉääáéíáÅK
1182. qÜÉ eÉ~í bèì~íáçå
í
ì
ó
ì
ñ
ìO
O
O
O
∂∂
=∂∂
+∂∂
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 315/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 316/338
304
Chapter 11
Series
11.1 Arithmetic Series
fåáíá~ä íÉêãW N~
kíÜ íÉêãW å~
aáÑÑÉêÉåÅÉ ÄÉíïÉÉå ëìÅÅÉëëáîÉ íÉêãëW ÇkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åp
1184. ( )ÇNå~ÇO~Ç~~ NOåNåå −+==+=+= −− K
1185. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− +==+=+ K
1186.O
~~~ NáNá
á+− +
=
1187. ( ) åO
ÇNå~OåO
~~p NåNå ⋅−+=⋅+=
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 317/338
CHAPTER 11. SERIES
305
11.2 Geometric Series
fåáíá~ä íÉêãW N~ kíÜ íÉêãW å~
`çããçå ê~íáçW èkìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW åpìã çÑ íÜÉ Ñáêëí å íÉêãëW åp
pìã íç áåÑáåáíóW p
1188. NåNNåå è~è~~ −
− ==
1189. áNåáNåOåN ~~~~~~ −+− ⋅==⋅=⋅ K
1190. NáNáá ~~~ +− ⋅=
1191. ( )NèNè~
Nè~è~p
å
NNåå −−=−−=
1192.èN
~päáãp N
åå −
==∞→
cçê Nè < I íÜÉ ëìã p ÅçåîÉêÖÉë ~ë ∞→å K
11.3 Some Finite Series
kìãÄÉê çÑ íÉêãë áå íÜÉ ëÉêáÉëW å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 318/338
CHAPTER 11. SERIES
306
1193.( )
O
NåååPON
+=++++ K
1194. ( )NåååOSQO +=++++ K
1195. ( ) OåNåORPN =−++++ K
1196. ( ) ( ) ( ) ( )
O
Nåâ OåNåâ Oâ Nâ â
−+=−+++++++ K
1197. ( )( )S
NåONåååPON OOOO ++=++++ K
1198.( ) O
PPPP
O
NåååPON
+
=++++ K
1199. ( )
( )P
NåQå
NåORPN
OOOOO −
=−++++ K
1200. ( ) ( )NåOåNåORPN OOPPPP −=−++++ K
1201. OO
N
U
N
Q
N
O
NN
å =++++++ KK
1202.( )
NNåå
NQP
NPO
NON
N =++
++⋅
+⋅
+⋅
KK
1203.( )
É>Nå
N
>P
N
>O
N
>N
NN =+
−+++++ KK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 319/338
CHAPTER 11. SERIES
307
11.4 Infinite Series
pÉèìÉåÅÉW { }å~ cáêëí íÉêãW N~
kíÜ íÉêãW å~
1204. fåÑáåáíÉ pÉêáÉë
KK ++++=∑∞
=
åON
Nå
å ~~~~
1205. kíÜ m~êíá~ä pìã
åON
å
Nååå ~~~~p +++== ∑
=
K
1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ çÑ fåÑáåáíÉ pÉêáÉë
i~Nå
å =∑∞
=I áÑ ipäáã å
å =∞→
1207. kíÜ qÉêã qÉëí
• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå M~äáã å
å=
∞→K
• fÑ M~äáã åå
≠∞→
I íÜÉå íÜÉ ëÉêáÉë áë ÇáîÉêÖÉåíK
11.5 Properties of Convergent Series
`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW ^~Nå
å =∑∞
=
I _ ÄNå
å =∑∞
=
oÉ~ä åìãÄÉêW Å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 320/338
CHAPTER 11. SERIES
308
1208. ( ) _^ Ä~ Ä~Nå
åNå
åNå
åå +=+=+ ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
1209. Å^~ÅÅ~Nå
åNå
å == ∑∑ ∞
=
∞
=
K
11.6 Convergence Tests
1210. qÜÉ `çãé~êáëçå qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ~åÇ ∑
∞
=Nåå Ä ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í åå Ä~M ≤< Ñçê ~ää åK
• fÑ ∑∞
=Nåå Ä áë ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
•
fÑ ∑
∞
=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåí íÜÉå ∑
∞
=Nåå Ä áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1211. qÜÉ iáãáí `çãé~êáëçå qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ~åÇ ∑
∞
=Nåå Ä ÄÉ ëÉêáÉë ëìÅÜ íÜ~í å~ ~åÇ å Ä ~êÉ éçëá-
íáîÉ Ñçê ~ää åK
• fÑ ∞<< ∞→å
å
å Ä
~
äáãM íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ ~åÇ ∑
∞
=Nåå Ä ~êÉ ÉáíÜÉê ÄçíÜ
ÅçåîÉêÖÉåí çê ÄçíÜ ÇáîÉêÖÉåíK
• fÑ M Ä
~äáã
å
å
å=
∞→ íÜÉå ∑
∞
=Nåå Ä ÅçåîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑
∞
=Nåå~ áë
~äëç ÅçåîÉêÖÉåíK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 321/338
CHAPTER 11. SERIES
309
• fÑ ∞=∞→
å
å
å Ä
~äáã íÜÉå ∑
∞
=Nåå Ä ÇáîÉêÖÉåí áãéäáÉë íÜ~í ∑
∞
=Nåå~ áë
~äëç ÇáîÉêÖÉåíK
1212. é-ëÉêáÉë
é-ëÉêáÉë ∑∞
=Nåéå
N ÅçåîÉêÖÉë Ñçê Né > ~åÇ ÇáîÉêÖÉë Ñçê
NéM ≤< K
1213. qÜÉ fåíÉÖê~ä qÉëí
iÉí ( )ñ Ñ ÄÉ ~ ÑìåÅíáçå ïÜáÅÜ áë ÅçåíáåìçìëI éçëáíáîÉI ~åÇÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää N≥ K qÜÉ ëÉêáÉë
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) KK +++++=∑∞
=
åÑ PÑ OÑ NÑ åÑ Nå
ÅçåîÉêÖÉë áÑ ( )∫∞
N
Çñ ñ Ñ ÅçåîÉêÖÉëI ~åÇ ÇáîÉêÖÉë áÑ
( ) ∞→∫å
N
Çñ ñ Ñ ~ë ∞→å K
1214. qÜÉ o~íáç qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
• fÑ N~
~äáã
å
Nå
å<+
∞→ íÜÉå
∑
∞
=Nå å~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK
• fÑ N~
~äáã
å
Nå
å>+
∞→ íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK
• fÑ N~
~äáã
å
Nå
å=+
∞→ íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉ ~åÇ
íÜÉ ê~íáç íÉëí áë áåÅçåÅäìëáîÉX ëçãÉ çíÜÉê íÉëíë ãìëí ÄÉ
ìëÉÇK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 322/338
CHAPTER 11. SERIES
310
1215. qÜÉ oççí qÉëí
iÉí ∑∞
=Nåå~ ÄÉ ~ ëÉêáÉë ïáíÜ éçëáíáîÉ íÉêãëK
• fÑ N~äáã åå
å<
∞→ íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK
• fÑ N~äáã åå
å>
∞→ íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ áë ÇáîÉêÖÉåíK
• fÑ N~äáã åå
å=
∞→ íÜÉå ∑
∞
=Nåå~ ã~ó ÅçåîÉêÖÉ çê ÇáîÉêÖÉI Äìí
åç ÅçåÅäìëáçå Å~å ÄÉ Çê~ïå Ñêçã íÜáë íÉëíK
11.7 Alternating Series
1216. qÜÉ ^äíÉêå~íáåÖ pÉêáÉë qÉëí EiÉáÄåáò∞ë qÜÉçêÉãF
iÉí { }å~ ÄÉ ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ éçëáíáîÉ åìãÄÉêë ëìÅÜ íÜ~í
åNå ~~ <+ Ñçê ~ää åK
M~äáã åå
=∞→
K
qÜÉå íÜÉ ~äíÉêå~íáåÖ ëÉêáÉë ( )∑∞
=
−Nå
å
å~N ~åÇ ( )∑
∞
=
−−Nå
å
Nå~N
ÄçíÜ ÅçåîÉêÖÉK
1217. ^ÄëçäìíÉ ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ
• ^ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë
∑∞
=Nåå~ áë ÅçåîÉêÖÉåíK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 323/338
CHAPTER 11. SERIES
311
• fÑ íÜÉ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåí íÜÉå áí áë Åçå-
îÉêÖÉåíK
1218. `çåÇáíáçå~ä ̀ çåîÉêÖÉåÅÉ
^ ëÉêáÉë ∑∞
=Nåå~ áë ÅçåÇáíáçå~ääó ÅçåîÉêÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë
ÅçåîÉêÖÉåí Äìí áë åçí ~ÄëçäìíÉäó ÅçåîÉêÖÉåíK
11.8 Power Series
oÉ~ä åìãÄÉêëW ñI Mñ
mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞
=Må
ååñ ~ I ( )∑
∞
=
−Må
å
Må ñ ñ ~
tÜçäÉ åìãÄÉêW åo~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o
1219. mçïÉê pÉêáÉë áå ñ
KK +++++=∑∞
=
åå
OONM
Må
åå ñ ~ñ ~ñ ~~ñ ~
1220. mçïÉê pÉêáÉë áå ( )M
ñ ñ −
( ) ( ) ( ) ( ) KK +−++−+−+=−∑∞
=
å
Må
O
MOMNMMå
å
Må ñ ñ ~ñ ñ ~ñ ñ ~~ñ ñ ~
1221. fåíÉêî~ä çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉ
qÜÉ ëÉí çÑ íÜçëÉ î~äìÉë çÑ ñ Ñçê ïÜáÅÜ íÜÉ ÑìåÅíáçå
( ) ( )∑∞
=
−=Må
å
Må ñ ñ ~ñ Ñ áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ
ÅçåîÉêÖÉåÅÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 324/338
CHAPTER 11. SERIES
312
1222. o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉfÑ íÜÉ áåíÉêî~ä çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉ áë ( )o ñ Io ñ MM +− Ñçê ëçãÉ
Mo ≥ I íÜÉ o áë Å~ääÉÇ íÜÉ ê~Çáìë çÑ ÅçåîÉêÖÉåÅÉK fí áë ÖáîÉå
~ë
åå
å ~
Näáão
∞→= çê
Nå
å
å ~
~äáão
+∞→
= K
11.9 Differentiation and Integration of PowerSeries
`çåíáåìçìë ÑìåÅíáçåW ( )ñ Ñ
mçïÉê ëÉêáÉëW ∑∞
=Må
ååñ ~
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
o~Çáìë çÑ `çåîÉêÖÉåÅÉW o
1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
iÉí ( ) K+++== ∑∞
=
OONM
Må
åå ñ ~ñ ~~ñ ~ñ Ñ Ñçê o ñ < K
qÜÉåI Ñçê o ñ < I ( )ñ Ñ áë ÅçåíáåìçìëI íÜÉ ÇÉêáî~íáîÉ ( )ñ Ñ ′
Éñáëíë ~åÇ
( ) K+++=′ OONM ñ ~
Çñ
Çñ ~
Çñ
Ç~
Çñ
Çñ Ñ
∑∞
=
−=+++=Nå
Nåå
OPON ñ å~ñ ~Pñ ~O~ K K
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 325/338
CHAPTER 11. SERIES
313
1224. fåíÉÖê~íáçå çÑ mçïÉê pÉêáÉë
iÉí ( ) K+++== ∑∞
=
OONM
Må
åå ñ ~ñ ~~ñ ~ñ Ñ Ñçê o ñ < K
qÜÉåI Ñçê o ñ < I íÜÉ áåÇÉÑáåáíÉ áåíÉÖê~ä ( )∫ Çñ ñ Ñ Éñáëíë ~åÇ
( ) K+++= ∫∫∫∫ Çñ ñ ~ñÇñ ~Çñ ~Çñ ñ Ñ OONM
`Nå
ñ ~
P
ñ ~
O
ñ ~ñ ~
Må
Nå
å
P
O
O
NM ++
=+++= ∑∞
=
+
K K
11.10 Taylor and Maclaurin Series
tÜçäÉ åìãÄÉêW åaáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñ Ñ
oÉã~áåÇÉê íÉêãW åo
1225. q~óäçê pÉêáÉë
( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
K+−′′
+−′+=−
= ∑∞
= >O
~ñ ~Ñ ~ñ ~Ñ ~Ñ
>å
~ñ ~Ñ ñ Ñ
O
Må
åå
( )( )( )
å
åå
o >å
~ñ ~Ñ +
−+ K
1226. qÜÉ oÉã~áåÇÉê ^ÑíÉê åHN qÉêãë áë ÖáîÉå Äó( )( )( )
( )>Nå
~ñ Ñ o
NåNå
å +−ξ
=++
I ñ ~ <ξ< K
1227. j~Åä~ìêáå pÉêáÉë
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 326/338
CHAPTER 11. SERIES
314
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
å
ååO
Må
åå o
>å
ñ MÑ
>O
ñ MÑ ñ MÑ MÑ
>å
ñ MÑ ñ Ñ +++
′′+′+== ∑
∞
=
K
11.11 Power Series Expansions for SomeFunctions
tÜçäÉ åìãÄÉêW åoÉ~ä åìãÄÉêW ñ
1228. KK ++++++=>å
ñ
>P
ñ
>O
ñ ñ NÉ
åPOñ
1229. ( ) ( ) ( ) KK ++++++= >å ~äåñ >P ~äåñ >O ~äåñ >N ~äåñ N~
åPO
ñ
1230. ( ) ( )
KK ±+
−++−+−=+
+
Nå
ñ N
Q
ñ
P
ñ
O
ñ ñ ñ Näå
NååQPO
I NN ≤<− K
1231.
++++=
−
+K
T
ñ
R
ñ
P
ñ ñ O
ñ N
ñ Näå
TRP
I Nñ < K
1232.
+−
+
+−
++−
= K
RP
Nñ
Nñ
R
N
Nñ
Nñ
P
N
Nñ
Nñ Oñ äå I M> K
1233.( )
( )
KK ±−
++−+−=
>åO
ñ N
>S
ñ
>Q
ñ
>O
ñ Nñ Åçë
åOåSQO
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 327/338
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 328/338
CHAPTER 11. SERIES
316
11.12 Binomial Series
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ãoÉ~ä åìãÄÉêW ñ
`çãÄáå~íáçåëW ãå `
1242. ( ) åãå
ãOO
åN
ååñ ñ `ñ `ñ `Nñ N ++++++=+ KK
1243. ( ) ( )[ ]>ã NãåNåå`ãå −−−= K
I Nñ < K
1244. K+−+−=+
PO ñ ñ ñ NN
NI Nñ < K
1245. K++++=−
PO ñ ñ ñ N
N
NI Nñ < K
1246. K+⋅⋅⋅
⋅⋅−
⋅⋅⋅
+⋅
−+=+USQO
ñ RPN
SQO
ñ PN
QO
ñ
O
ñ Nñ N
QPO
I Nñ ≤ K
1247. K+⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅
+⋅
⋅−+=+
NOVSP
ñ URON
VSP
ñ RON
SP
ñ ON
P
ñ Nñ N
QPOP I Nñ ≤ K
11.13 Fourier Series
fåíÉÖê~ÄäÉ ÑìåÅíáçåW ( )ñ Ñ
cçìêáÉê ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW M~ I å~ I å Ä
tÜçäÉ åìãÄÉêW å
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 329/338
CHAPTER 11. SERIES
317
1248. ( ) ( )∑∞
=
++=Nå
ååM åñ ëáå Äåñ Åçë~
O
~ñ Ñ
1249. ( )∫π
π−π= Çñ åñ Åçëñ Ñ
N~å
1250. ( )∫π
π−π= Çñ åñ ëáåñ Ñ
N Äå
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 330/338
318
Chapter 12
Probability
12.1 Permutations and Combinations
mÉêãìí~íáçåëWã
åm
`çãÄáå~íáçåëWã
å`
tÜçäÉ åìãÄÉêëW åI ã
1251. c~Åíçêá~ä
( )( )åNåOåPON>å −−⋅⋅= K
N>M =
1252. >åmå
å =
1253.( )>ãå
>åm
ã
å
−=
1254. _áåçãá~ä `çÉÑÑáÅáÉåí
( )>ãå>ã
>å
ã
å`
ã
å
−=
=
1255.ãå
å
ã
å`` −=
1256. Nã
Nå
Nã
å
ã
å
``` +
+
+ =+
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 331/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
319
1257. åå
åO
åN
åM
å O```` =++++ K
1258. m~ëÅ~ä∞ë qêá~åÖäÉ
oçï M Noçï N N Noçï O N O Noçï P N P P Noçï Q N Q S Q Noçï R N R NM NM R Noçï S N S NR OM NR S N
12.2 Probability Formulas
bîÉåíëW ^I _
mêçÄ~ÄáäáíóW mo~åÇçã î~êá~ÄäÉëW uI vI ws~äìÉë çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëW ñI óI òbñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ uW µ
^åó éçëáíáîÉ êÉ~ä åìãÄÉêW ε pí~åÇ~êÇ ÇÉîá~íáçåW σ
s~êá~åÅÉW Oσ aÉåëáíó ÑìåÅíáçåëW ( )ñ Ñ I ( )íÑ
1259. mêçÄ~Äáäáíó çÑ ~å bîÉåí
( )å
ã^m = I
ïÜÉêÉã áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëI
å áë íÜÉ íçí~ä åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 332/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
320
1260. o~åÖÉ çÑ mêçÄ~Äáäáíó s~äìÉë( ) N^mM ≤≤
1261. `Éêí~áå bîÉåí( ) N^m =
1262. fãéçëëáÄäÉ bîÉåí( ) M^m =
1263. `çãéäÉãÉåí
( ) ( )^mN^m −=
1264. fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( )^m_L^m = I
( ) ( )_m^L_m =
1265. ^ÇÇáíáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m +=∪
1266. jìäíáéäáÅ~íáçå oìäÉ Ñçê fåÇÉéÉåÇÉåí bîÉåíë( ) ( ) ( )_m^m_^m ⋅=∩
1267. dÉåÉê~ä ^ÇÇáíáçå oìäÉ( ) ( ) ( ) ( )_^m_m^m_^m ∩−+=∪ I
ïÜÉêÉ
_^ ∪ áë íÜÉ ìåáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _I_^ ∩ áë íÜÉ áåíÉêëÉÅíáçå çÑ ÉîÉåíë ^ ~åÇ _K
1268. `çåÇáíáçå~ä mêçÄ~Äáäáíó
( ) ( )
( )_m
_^m_L^m
∩=
1269. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )^L_m^m_L^m_m_^m ⋅=⋅=∩
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 333/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
321
1270. i~ï çÑ qçí~ä mêçÄ~Äáäáíó
( ) ( ) ( )∑=
=ã
Nááá _L^m_m^m I
ïÜÉêÉ á_ áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíëK
1271. _~óÉë∞ qÜÉçêÉã
( ) ( ) ( )
( )^m
_m_L^m^L_m
⋅=
1272. _~óÉë∞ cçêãìä~
( ) ( ) ( )( ) ( )∑
=
⋅⋅=
ã
Nâ áá
ááá
_L^m_m
_L^m_m^L_m I
ïÜÉêÉ
á_ áë ~ ëÉí çÑ ãìíì~ääó ÉñÅäìëáîÉ ÉîÉåíë EÜóéçíÜÉëÉëFI
^ áë íÜÉ Ñáå~ä ÉîÉåíI( )á_m ~êÉ íÜÉ éêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëI
( )^L_m á ~êÉ íÜÉ éçëíÉêáçê éêçÄ~ÄáäáíáÉëK
1273. i~ï çÑ i~êÖÉ kìãÄÉêë
Må
pm å →
ε≥µ− ~ë ∞→å I
Nå
pm å →
ε<µ− ~ë ∞→å I
ïÜÉêÉ
åp áë íÜÉ ëìã çÑ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉëI
å áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëëáÄäÉ çìíÅçãÉëK
1274. `ÜÉÄóëÜÉî fåÉèì~äáíó
( ) ( )O
usum
ε≤ε≥µ− I
ïÜÉêÉ ( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 334/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
322
1275. kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
( )( )
O
O
O
ñ
ÉO
Nñ σ
µ−−
πσ=ϕ I
ïÜÉêÉ ñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉK
1276. pí~åÇ~êÇ kçêã~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
( ) O
ò O
ÉO
Nò
−
π=ϕ
^îÉê~ÖÉ î~äìÉ M=µ I ÇÉîá~íáçå N=σ K
Figure 210.
1277. pí~åÇ~êÇ w s~äìÉ
σµ−
= u
w
1278. `ìãìä~íáîÉ kçêã~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( )( )
∫∞−
σ
µ−−
πσ
=ñ
O
í
ÇíÉ
O
Nñ c
O
O
I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 335/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
323
ïÜÉêÉñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉIí áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK
1279. ( )
σµ−β
−
σµ−α
=β<<α ccum I
ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåI
( )β<<α um áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK
1280. ( )
σε
=ε<µ− cOum I
ïÜÉêÉu áë åçêã~ääó ÇáëíêáÄìíÉÇ ê~åÇçã î~êá~ÄäÉIc áë Åìãìä~íáîÉ åçêã~ä ÇáëíêáÄìíáçå ÑìåÅíáçåK
1281. `ìãìä~íáîÉ aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( ) ( ) ( )∫∞−
=<=ñ
ÇííÑ ñ umñ c I
ïÜÉêÉ í áë ~ î~êá~ÄäÉ çÑ áåíÉÖê~íáçåK
1282. _Éêåçìääá qêá~äë mêçÅÉëë
åé=µ I åéèO =σ I
ïÜÉêÉå áë ~ ëÉèìÉåÅÉ çÑ ÉñéÉêáãÉåíëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëë çÑ É~ÅÜ ÉñéÉêáãÉåíëI
è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K
1283. _áåçãá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( ) â åâ èéâ
åèIéIå Ä −
= I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 336/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
324
åé=µ I åéèO =σ I
( ) ( )åñ éÉèñ Ñ += I
ïÜÉêÉå áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ íêá~äë çÑ ëÉäÉÅíáçåëIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ ëìÅÅÉëëIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K
1284. dÉçãÉíêáÅ aáëíêáÄìíáçå
( ) éè àqm N à−== I
é
N
=µ I O
O
é
è
=σ I
ïÜÉêÉq áë íÜÉ Ñáêëí ëìÅÅÉëëÑìä ÉîÉåí áë íÜÉ ëÉêáÉëI
à áë íÜÉ ÉîÉåí åìãÄÉêIé áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó íÜ~í ~åó çåÉ ÉîÉåí áë ëìÅÅÉëëÑìäIè áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI éNè −= K
1285. mçáëëçå aáëíêáÄìíáçå
( ) λ−λ≈= É
>â â um
â
I åé=λ I
λ=µ I λ=σO I
ïÜÉêÉλ áë íÜÉ ê~íÉ çÑ çÅÅìêêÉåÅÉIâ áë íÜÉ åìãÄÉê çÑ éçëáíáîÉ çìíÅçãÉëK
1286. aÉåëáíó cìåÅíáçå
( ) ( )∫=≤≤ Ä
~
Çñ ñ Ñ Äu~m
1287. `çåíáåìçìë råáÑçêã aÉåëáíó
~
NÑ
−= I
O
Ä~ +=µ I
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 337/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
325
ïÜÉêÉ Ñ áë íÜÉ ÇÉåëáíó ÑìåÅíáçåK
1288. bñéçåÉåíá~ä aÉåëáíó cìåÅíáçå
( ) í
ÉíÑ λ−
λ= I λ=µ IOO
λ=σ ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK
1289. bñéçåÉåíá~ä aáëíêáÄìíáçå cìåÅíáçå
( ) íÉNíc λ−−= I
ïÜÉêÉ í áë íáãÉI λ áë íÜÉ Ñ~áäìêÉ ê~íÉK
1290. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë( ) ∑
=
==µå
Náááéñ ub I
ïÜÉêÉ áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK
1291. bñéÉÅíÉÇ s~äìÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ( )
∫
∞
∞−
==µ Çñ ñ ñÑ ub
1292. mêçéÉêíáÉë çÑ bñéÉÅí~íáçåë( ) ( ) ( )vbubvub +=+ I
( ) ( ) ( )vbubvub −=− I
( ) ( )uÅbÅub = I
( ) ( ) ( )vbubuvb ⋅= I
ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK
1293. ( ) ( ) OO usub µ+= I
ïÜÉêÉ( )ub=µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉI
( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉK
8/10/2019 1300MathFormulas Iitjeebooksfree.blogspot.com
http://slidepdf.com/reader/full/1300mathformulas-iitjeebooksfreeblogspotcom 338/338
CHAPTER 12. PROBABILITY
326
1294. j~êâçî fåÉèì~äáíó
( ) ( )
â
ubâ um ≤> I
ïÜÉêÉ â áë ëçãÉ Åçåëí~åíK
1295. s~êá~åÅÉ çÑ aáëÅêÉíÉ o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ( )[ ] ( )∑=
µ−=µ−==σå
Náá
O
á
OO éñ ubus I
ïÜÉêÉ
áñ áë ~ é~êíáÅìä~ê çìíÅçãÉI
áé áë áíë éêçÄ~ÄáäáíóK
1296. s~êá~åÅÉ çÑ `çåíáåìçìë o~åÇçã s~êá~ÄäÉë
( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
µ−=µ−==σ Çñ ñ Ñ ñ ubus OOO
1297. mêçéÉêíáÉë çÑ s~êá~åÅÉ
( ) ( ) ( )vsusvus +=+ I( ) ( ) ( )vsusvus +=− I
( ) ( )usÅus =+ I
( ) ( )usÅÅus O= I
ïÜÉêÉ Å áë ~ Åçåëí~åíK
1298. pí~åÇ~êÇ aÉîá~íáçå
( ) ( ) ( )[ ]Oubusua µ−==
1299. `çî~êá~åÅÉ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( )vuuvbvvuubvIuÅçî µµ−=µ−µ−= I
ïÜÉêÉu áë ê~åÇçã î~êá~ÄäÉI
( )us áë íÜÉ î~êá~åÅÉ çÑ uI
µ áë íÜÉ ÉñéÉÅíÉÇ î~äìÉ çÑ u çê vK