XJ0400051

О. С. Космачев*

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

ДЛЯ КВАРТЕТА НЕЙТРИНО

Направлено в журнал «Письма в ЭЧАЯ»

ИССЛЕДОВАНИЙ

*E-mail: kos@thsunl.jinr.ru

Р2-2003-224

2003

1 Введение

Ранее на основе анализа уравнений Дирака и волнового уравнения,описывающего дублет массивных нейтрино [1] [2], было установленосуществование Р-,Т-неинвариантных (далее - сопряженных) непри-водимых представлений группы Лоренца.

Выяснилось, что группа 7-матриц Дирака (далее группа Диракаобозначается D1(II)) содержит 2 подгруппы 16-го порядка d~t и 67. Напервой из них реализуется неприводимое представление (НП) группыЛоренца [3], которое можно связывать с представлениями для стан-дартных или Р-,Т-инвариантных объектов. На второй подгруппе 67

реализуется Т-сопряжённое неприводимое представление, которое неможет быть получено из первого каноническим преобразованием.

Полагая элементы групп d7 и 67 образующими элементами ал-гебры, получаем различные коммутационные соотношения (КС) .

На основе d7:

[аиа2] = 2а3, [а2,а3] = 2ах, [аз,а2] = 2а 2,[ЪиЬ2] = - 2 а 3 ) \Ъ2,Ъ3} = -2аи [b3, h] = - 2 а 2 ,

= 0, [а2,62] = 0, [а3,63] = 0, ( ]

На основе 67:

[аг,^] = 2a3, [a2,a3] = 2аъ [a 3 ) ai] = 2a 2,[Ь'1)У2] = 2о3, [62,6'3] = 2 а ь [Ъ'3,Ъ'1] = 2 а 2 ,

&i] = 0, [ а 2 , Ь'2] - 0, [а3, Ъ'г] = 0,

Очевидно, что (1) переходит в (2) при замене

bk^b'k = ibk(k = 1,2,3). (3)

При этом происходит переход одной группы в другую d^ —» Ь1.Так как уравнение Дирака описывает дублет электрон- позитрон, то

второе неприводимое представление будем называть Т-сопряжепнымпо отношению к первому.

Аналогично было установлено, что группа 7-матриц уравнениядля дублета массивных нейтральных лептонов (далее обозначаетсяD-y(I)) содержит также две инвариантных подгруппы d7 и с7. Всетри подгруппы Й7,67,с7 иеизоморфны друг другу. Коммутационныесоотношения на основе с7 имеют вид [1]:

[аиа'2] = 2а'3, [а'2,а'3} - -2аи [а 3, a x ] = 2а'2,

[V{, Ъ'2'\ = 2а 3 , [Щ, Щ) = -2а,, [Щ, Ъ/(] = 2а 2 ,

Щ]'2,Ъ>{} = -2Щ,

Данный вид представления будем называть Р-сопряженным поотношению к d7, так как различие возникает уже в первой строкеКС (4), т.е. на уровне подгруппы трехмерных вращений. Переход отгруппы d7 к Су и соответствующим КС равносилен замене:

а\ —> o'j, , а2 —> ia2, аз —» ia\\ b\ —> b'[, b2 —> ib2, 63 —> ib'^.

(5)При анализе уравнений Dy(II) и D7(I) использовалась теорема о

трёх типах неприводимых матричных групп [4]. Численная харак-теристика трех возможных типов матричных групп была названаструктурным инвариантом (СИ) [1],[2]. Так структурный инвариантуравнения Дирака In[Z?7(//)] = — 1, а для дублета нейтриноIn[D7(/)] = 1. Главным предметом данной работы является уравне-ние, для которого In[Dy(111)} = 0.

Если по отношению к упомянутым подгруппам d 7 ,6 7 .c 7 восполь-зоваться этой же теоремой, то получим такие числа:

In[d7] = 0, In[fc7] = - 1 , In[c7] = 1. (6)

Именно эти три конструкции содержатся во вновь предлагаемом урав-нении.

2 Двойственность группы d7

Если преобразование перехода от (1) к (2) обозначить как (Т), томожно записать такие равенства

d7 = ( Т - 1 ) ^ , (7)

где (Т~1) соответствует преобразованиям Ь\ = ib\,b'2 = ib2,b'3 = ib3.Для перехода от (1) к (3) введём обозначение (Р), тогда

с7 = {P)d7, d7 = {P~l)cy. (8)

Здесь (Р" 1} соответствует преобразованиям: а'2 = га2,а'3 = га3,b'2 = ib2, b'z = г 6 3 .

Введём обзначение для совместного последовательного действиядвух указанных преобразований (Р)(Т) = (РТ) и (Т)(Р) = (ТР).Тогда очевидно, операция

= / 7 (9)

даёт новый тип коммутационных соотношений, связанных с /7:

[аиа2] = 2а'3, [а'2,а'3} = - 2 а ь [a'3,ai] = 2а2,[й'1)6'2] = -2а'з, [6'2,63] = 2 а ь [b'3, b[] = -2а'2)

l J

К , 3 ][a'3,b[) =

а'где а 2 = а2с, а'3 = а,\а2сТри предыдущих набора КС связаны с уже упомянутыми группа-

ми й 7,6 7,с 7. Иное положение в случае КС (10). Выяснилось, что d7

обладает двойственностью. Выражается это в том, что помимо под-группы Q2 в d7 содержится ещё одна подгруппа восьмого порядка дги её расширение тем же самым элементом с даёт погруппу d7 с инойциклической структурой [1],[5]:

d1 = Q2[al,a2][e + c} = q2{a1,a!2][e +с]. (11)

Если построить алгебру на d^ с таким изменённым набором гене-раторов, мы получим КС (10). С другой стороны, последовательное

применение операций (Т) и (Р) равносильно такому преобразованиюоператоров при переходе от КС (1) к КС (10):

о,2 = га'2, а з = ^ a 3 i &i = ~~b\, t>2 = —ib'2> b$ — —ib'3. ( 1 2 )

Легко проверить, что все 4 возможных преобразования (Т), (Р),(ТР) = {РТ) образуют замкнутую систему преобразований в про-странстве четырёх типов КС или в пространстве трёх групп с учётомдвойственности d1. Исходя из определений (7), (8), и результата (12)можно записать следующий ряд равенств:

= Л, (13)

• 6 7 = с 7 , (14)

(Т)с^ = /7, {Р" : )с 7 = d7, (ТР)с 7 = 67, (15)

( Т " 1 ) ^ = с7, ( Р " 1 ) ^ = b7, (p-*T~l)fo = rf7. (16)

3 Графическое отображение групповойструктуры уравнений

Имеется ещё один аспект структуры рассмотренных дублетных урав-нений. Каждому из них, учитывая свойство двойственности подгруп-пы dy, можно сопоставить свою собственную диаграмму. Так дляуравнения Дирака она представлена на рис.1. Аналогичная диаграм-ма для £>7(/) представлена на рис.2. Оба рисунка показывают, чтокаждое из уравнений содержит по две неизоморфных погруппы. Та-ковыми являются d^ и Ь7 в случае £>7(//), d^ и с7 в случае D^(I). Кро-ме того, становится наглядной своеобразная симметрия уравнений,т.е. инвариантность относитетельно вновь определённых преобразо-ваний. Так в случае уранения Дирака (Т)-сопряжены между собойподгруппы d-y и 67, а в случае нейтринного дублета таковыми явля-ются / 7 и с7. Это означает, что (Т)-операция переставляет местамиподгруппы в вершинах треугольников, которые она соединяет, остав-ляя неизменным тип уравнения. Сказанное справедливо для любойоперации и для каждой диаграммы.

С другой стороны, оба дублетных уравнения в некотором смыс-ле незамкнуты. Как видно из равенств (13)-(16), любая из операций,

действуя па подгруппу, расположенную в противоположной вершинетреугольника, разрушает исходное уравнение. Это можно интерпре-тировать как переход дублетного состояния в такое, которое уже неописывается данным уравнением. Например, аннигиляция е+е~ в фо-тоны. Формально-математические свойства двух дублетных ураненийвесьма схожи. Они дают основания считать, что дублет нейтрино так-же образует систему частица- античастица. При этом нет запретовна их аннигиляцию. Поэтому рассматриваемая пара нейтрино будетименоваться в последующем как апнигиляционные нейтрино.

Рассматриваемые лептонные уравнения описывают дублеты и име-ют в своей структуре необходимые элементы, ответственные за обекомпоненты. Однако в каждом случае в явном виде в уравнении со-держится только одна из них: Вторая присутствует, ио не явно, онаскрыта в определяющих соотношениях. В случае уравнения. Дирака[6] и стандартной записи определяющих соотношений для 7-матриц

[г('УμPμ) + т с ] Ф = О,

7 Л " + 7*7/* = 2<^, /л, г/= 1,2,3,4, (17)

мы имеем явную запись уравнения на основе подгруппы с?7. Это озна-чает, что первые три матрицы 7ь.72>7з являются генераторами, по-рождающими подгруппу d1. Чтобы записать уравнение, когда в яв-ном виде представлена подгруппа Ь~п необходимо в рамках этой жегруппы перейти к другому набору генераторов. Первые три из нихнаходятся из соотношений (3), после чего вычисляется 74 исходя изсоответствующей циклической структуры D^(II) [2]. В результате бу-дем иметь:

[ВД)+тс]Ф' = 0,7 ^ + 7 ^ = " 2 ^ , м, г/= 1,2,3,4, (18)

где коэффициенты типа ±г при p^ выбираются из требования редук-ции данного уравнения к уравнению Клейна - Гордона.

В равной степени всё сказанное относится и к уравнению дляDj(I) с тем отличием, что определяющие соотношения имеют дру-гой вид [1|:

ЪЪ + ЪЪ = ^ , 7s

2,4 = l (s, t= 1,2,3),0, ( s = 1,2,3), (19)

Равенство (11) и определяющие соотношения для трёх подгрупп<27,Ь7,с7 [lj делают очевидным ещё одно утверждение. Для выполне-ния лоренц-инвариантности любого типа достаточно трёх антиком-мутационных соотношений. Действительно, каждая из четырёх под-групп порождается тремя генераторами и является расширением ли-бо подгруппы Q2, либо подгруппы q2. В свою очередь, каждая из этихдвух подгрупп порождается двумя генераторами, которые антиком-мутируют. Последующее расширение до группы Лоренца в любом изчетырёх случаев можно осуществить с помощью элемента, относя-щегося к центру группы. Тогда произведение первых двух генера-торов и элемента центра тоже антикоммутирует с двумя первымигенераторами и может играть роль третьего генератора. Различиемежду группами, в частности, заключается в том, что порядок (ми-нимальная степень элемента, равная единице) генераторов #1,(?з,5зполучается при этом различным. Конкретно для каждого случая:

d-, ~ д\ = 9\ = /, 9г = 1\ &7 - 9\ = 92 = 5з = ^ С7 ~ Я\ = 7> я\ = 9з = 7 i/7 - д* = 1,̂ 1 = / ,^ | = I. Оставшийся четвёртый генератор совмест-но с тремя первыми определяет в итоге тип уравнения, состав группыв целом, т.е. количество максимальных инвариантных подгрупп и ихпринадлежность к различным НП группы Лоренца. Фактически этоозначает, что четвёртый генератор регулирует характер отношениймежду подсистемами, которые физически интерпретируются как ча-стицы и античастицы.

4 Квартетное уравнение

Вопрос о существовании и построении группы 7-матриц со структур-ным инвариантом In[D7(/7/)] = 0 был решен ранее [2]. Её цикличе-ская структура (сумма всех элементов, записанная в мультиплика-тивной форме) имеет вид

D^I II) = £>7[аь аз, сь 65] = Q2[aua2][e + а][е + b5]. (20)

Здесь Q2[a,i, a2] - подгруппа кватернионов с генераторами а\,а2. Оче-видно, что (20) представляет полупрямое произведение двух подгрупп16-го порядка

d 7 [a b a 2 ,ci] =Q2[aua2][e + Ci]} 67[aba2,65] = Q2[a

Все 4 генератора ai,a2,Ci,b5 имеют порядок 4.Если выполнить построение так, чтобы элемент С\ стал элементом

центра не только подгруппы а!7[аь а2, Ci], но и всей группы D7(//7),то с учетом определений Q2, dy и 67 получаем следующий набор соот-ношений между генераторами:

- a^1, ЪЪС\Ь$1 = с ь

= а ь cia2o[l = а2, с^с^1 = Ь5, (21)M I & E T 1 = α-i1, b5a2b^ - а2 \

Порядок группы D^III) равен 32. Данная группа, как и обе преды-дущие, устроена так, что квадраты любых элементов 4-го порядкасовпадают. Обозначим этот элемент (к):

2 2 2

5 ) 2 = (£), {к)2 = е ( 2 2 )

Существенно изменилась структура группы. Если в двух предыду-щих случаях центры групп состояли из двух элементов (е ~ 7, к- ~—/), то теперь центр содержит 8 элементов. Именно,

е, к, с ь cf1, a3b5, a3b^\ a3b5cu a3b5c^1. (23)

Число сопряженных классов становится равным 20, поэтому группаимеет 16 одномерных неприводимых представлений и 4 неэквивалент-ных двумерных. Это означает, что решения будут не биспиорные, носпинорные. Другое важное отличие от дублетных уравнений заклю-чается в том, что группа D7(III) содержит все три возможных под-группы d 7,6 7,c 7 . В силу построения (20) содержит подгруппы d7 и

VМожно заметить, что набор таких элементов

{е, а ь а2, a ,̂ а2с, а\с, aia2c, a,ia2c3}

образует подгруппу q2. Дальнейшее расширение с помощью элементаa^265 даёт подгруппу с7. Определяющие соотношения (21) позволя-ют перейти к выражениям в привычном виде, т.е. в виде соотноше-ний между 7-ма.трицами, которые также порождают неприводимыематричные представления. В полной аналогии с уравнением Диракаполучаем:

Islt + ЪЪ = 26st, 7 2 = 1 (s,t = 1,2,3).

7 . 7 4 - 7 4 7 » = 0, (а, = 1,2,3), (24)

74

2 = 1.

Очевидное и принципиальное отличие от условия Дирака (17) заклю-чается в том, что 74 коммутирует со всеми остальными генератора-ми. Прямой проверкой можно убедиться, что в группе не имеетсячетвёртого генератора, который аптикоммутирует с первыми тремя.Из условия редукции квартетного уравнения к уравнению Клейна -Гордона получаем, что масса частиц т — 0. Явная форма волново-го уравнения на основе (24) зависит, как уже отмечалось, от выбораподгруппы, связанной с тем или иным неприводимым представлени-ем. Если для явной записи выбрать л!7, то получаем

(ЪР*)Ф ~ Ъ&Ф/дг = 0, (s = 1, 2, 3). (25)

Здесь, следуя [7], принято h — с = 1. Подобно тому, как сделан пе-реход от уравнения (17) к (18), можно записать уравнение (25) дляявного представления с подгруппами 67 или с7.

Если построить диаграмму (рис.3) по аналогии с D7(I), D7(II), томожно говорить не о треугольнике, но о тетраэдре. Ясно, что в данномслучае мы имеем дело с четырьмя состояниями. В дублетных случаяхвопрос о том, что считать частицей и античастицей, представляетсяво многом условностью. Теперь необходимо сделать выбор того кри-терия, по которому мы выделяем пару частица-античастица. Физи-ческое требование, кажущееся простым и естественным, - противопо-ложность значений так называемых квантовых чисел - в данном слу-чае не работает. Поэтому можно исходить из аналогии с уравнениемДирака. Будем считать, что пара подгрупп, связанных между собой(Т)-преобразованиём, ответственна за дублет частица-античастица. Втаком случае (рис.3) имеется единственная возможность, когда однапара связана с подгруппами d7 и 67, а вторая с подгруппами d7 и с7.

Выбор античастиц на основе (Т)-преобразования делает почти оче-видным равенство масс частицы и античастицы и выявляет подобиеих трансформационных свойств, несмотря на их несовпадение. Исхо-дя из установленной ранее [1] физической интерпретации величин аг

и bk (i,k = 1,2,3) и методики вычисления на их основе весовых чи-сел неприводимых представлений группы Лоренца видно, что первоевесовое число (Л = 1/2) одинаково для подгруппы d7 и для Ь7. Крометого, собственные значения операторов Н+ = iav - а2, Я„ = iax + а2,Я 3 = ia3 не изменятся, как бы мы не переставляли ai,a 2 ,a 3 . Это свя-зано с тем, что все три оператора ai ,a 2 ,a 3 однотипны. Более опре-делённо, это означает, что двойка является минимальной степенью,

когда а\ = а\ = а\ = I. Всё сказанное верно также для операто-ров bi,b2,b3 с той разницей, что Ь\ — Ь\ = Ь\ = I. Отсюда следует,что спиновые свойства пары частиц, связанные с подгруппами dy,by,совпадают с таковыми для дублета е+е~.

Основные характеристики второй пары подгрупп d 7 ,c 7 отчастисовпадают со свойствами той же пары подгрупп в рамках группыD7(/) [1]. В частности, не меняются собственные значения операторов# + , # _ , #з и F + , F _ , F 3 . Это означает совпадение спиновых свойствсоответствующей пары частица-античастица. Таким образом, втораяпара частиц имеет спин, ориентированный по направлению или про-тив импульса так же, как это имеет место в случае Z)7(/).

В отличие от дублетных уравнений, как видно из рис.3, в дан-ном случае уравнение замкнуто относительно каждого из возможныхпреобразований (13)-(16). Если при этом учесть, что в рамках одногоуравнения мы имеем две пары частиц и античастиц, возникает прин-ципиальная возможность перехода от одной из них к другой. Такоеположение можно назвать необходимым условием для существованияосцилляции. Вопрос о достаточных условиях зависит от того, будетли найден механизм для перевода, одной аннигилирующей пары в дру-гую.

Безмассовое двухкомпонентное нейтрино не является новостью,поэтому возникает необходимость отметить различие предложенногоформализма и имеющихся. Так в работе [7] для получения безмассо-вых нейтрино взято уравнение Дирака, в котором положено m = 0.Из четырёх генераторов оставлено три (71,72,73)) a Ъ исключаетсяиз рассмотрения. В силу сказанного в разделе 3, это означает отказот второй составляющей решения - от античастицы. При этом группаперестаёт быть группой 32-го порядка и превращается в группу 16-гопорядка, неприводимые представления последней имеют размерностьдва, а матричная реализация НП содержит известные матрицы Па-ули. Но в таком случае имеется только 8, а не 16 одномерных НП,из которых составляются 16 компонент пяти величин: S,V,T,A,P .Затем авторы "растягивают"двухкомпонентную волновую функциюнейтрино до четерёхкомпонентной, полагая две дополнительные ком-поненты равными нулю. Делается всё это для того, чтобы удовлетво-рить требованию ^ьФи — ~Фи, где ф1/ - волновая функция, полученнаявот таким "хирургическим"путём, а 75 взята из уравнения Дирака.

Такая же искусственность и необоснованность характеризует бо-лее поздние модели описания нейтрино. Вызвано это тем обстоятель-ством, что уравнение Дирака, которым фактически ограничивают-ся все модели, не содержит полного, набора (Т) — , {Р} — , (ТР) - со-пряжённых неприводимых представлений группы Лоренца для фор-мулировки замкнутой модели, свободной от излишних произвольныхпредположений: Отличие предложенной расчётной схемы от прежнихносит концептуальный характер.

10

Рис. 1 Рис. 2

(ТР).

Рис. 3

и

Список литературы

[1] Космачёв О.С. Ковариантная формулировка волнового уравне-ния для дублета массивных нейтральных лептонов: ПрепринтОИЯИ, Р4-2003-127, Дубна 2003.

[2] Космачёв О. С. Об инвариантах уравнений типа Дирака: Пре-принт ОИЯИ, Р2-2002-217, Дубна 2002.

[3] Наймарк М.А. Линейные представления группы Лоренца.М: ФМ, 1958, с.88.

[4] Lomont J.S. Applications of finite groups. New York, London.Academic Press, 1959, p.51.

[5] Космачёв О.С. Об инфинитезимальном анализе на основе конеч-ных групп: Сообщения ОИЯИ, Р2-97-175, Дубна 1997.

[6] Dirac P. A.M. The quantum theory of the electron// Proc.Roy. Soc.A vol.117, 610-624 (1928).

[7] Lee Т.О., Yang C.N., Parity Nonconservation and a Two-Component Theory of the Neutrino// Phys. Rev. v.105,1671-1675 (1957).

Получено 10 ноября 2003 г.

Космачев О. С. Р2-2003-224Волновое уравнение для квартета нейтрино

На основе известных Р-, Г-инвариантных и найденных ранее Р-, Г-сопря-женных неприводимых представлений группы Лоренца получено волновоеуравнение, описывающее квартет нейтрино. Простым следствием квартетныхсостояний является качественное объяснение нейтринных осцилляции.

Работа выполнена в Лаборатории высоких энергий им. В. И. Векслераи А. М. Балдина ОИЯИ.

Препринт Объединенного института ядерных исследований. Дубна, 2003

Перевод автора

Kosmachev О. S. P2-2003-224Wave Equation for a Quartet of Neutrinos

A wave equation, which describes a neutrino quartet, is obtained on the basisof known P-, Г-invariant and previously found P-, Г-conjugate irreducible repre-sentations of Lorentz group. Qualitative explanation of neutrino oscillations isa simple corollary of quartet states.

The investigation has been performed at the Veksler-Baldin Laboratoryof High Energies, JINR.

Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 2003

Редактор М. И. Зарубина

Макет Н. А. Киселевой

Подписано в печать 26.12.2003.Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,94. Тираж 415 экз. Заказ № 54247.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6.

E-mail: publish@pds.jinr.ruwww.jinr.ru/publish/