เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 2 (ค31102)
ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2560
เรอง ความสมพนธ
ชอ-นามสกล ……………………………………………………………………………
ชน ม.4 หอง……………………….. เลขท …………………………..
โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
1
ความสมพนธ (Relation)
1. คอนดบ (Ordered pairs)
คอนดบหมายถง……………………………………………………………………………………………………………………………………
บทนยาม คอนดบ a , b เขยนแทนดวย………………………….
และจะเรยก a วา………………………………………………..…….. และจะเรยก b วา…………………………………..
1.1 การเทากนของคอนดบ
บทนยาม (a,b) = (c,d) กตอเมอ a c และ b d
(a,b) (c,d) กตอเมอ a c และ b d
ตวอยางท 1 จงหาคาตวแปรในแตละขอตอไปน
1. (4,a) (b, 2) 2. (5x, y 1) ( 30, 3)
1.2 ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product)
บทนยาม ผลคณคารทเซยนของ A และ B คอเซตของคอนดบ (a,b) ทงหมด
โดยท a เปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย a A
โดยท b เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย b B
ผลคณคารทเชยนของ A และ B เขยนแทนดวย A B อานวา “เอคณบ” หรอ “A cross B”
ดงนน A B = {(a,b) |a A และ b B}
ตวอยางท 2 ให A {2,3,4} และ B {a,b} จงหา
1. A B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. B A = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
3. B B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
2
ตวอยางท 3 ให A {3,5} และ B จงหา A B และ B A
วธท า A B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
B A = ………………………………………………………………………………………………………………………………….
การเขยนแทนผลคณคารทเชยน นอกจากจะเขยนแบบแจกแจงสมาชกแลวยงสามารถเขยนแทนไดดวย
แผนภาพของเซต ให ให A {2,3,4} และ B {a,b}
โดย A B เขยนแทนดวยแผนภาพ ดงน
A
B ดงนน A B = …………………………………………………………
…………………………………………………………………………………..
ขอสงเกต ถา A และ B มสมาชก a และ b ตว ตามล าดบ A B มสมาชกเทากบ ab ตว
ตวอยางท 4 จงหา A B เมอก าหนด A และ B ดงน
1. A { 3, 2, 1} และ B {1,2,3}
2. A และ B { 6, 4, 2}
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
3
1.3 ความสมพนธ (Relations)
ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบและเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนระหวางเซต 2 เซต
เชน
มากกวา
ก าหนดให A และ B มความสมพนธแบบ “มากกวา” จาก A ไป B
จะได x, y ทสมพนธกน โดยท x A และ y B และ x y
ซงแจกแจงเปนคอนดบไดดงนคอ A B = ……………………………………………………….…………………………..……………
น าคอนดบทไดมาเขยนในรปเซต จะเรยกเซตนวา เซตของความสมพนธแบบมากกวา จาก A ไป B เขยนแทนดวย r
ดงนน r = …………………………………………………………………………………………………………………………………………..
จะเหนวา A B มสมาชก………………ค และ r มสมาชก……………………………..ค
จะเหนวา ความสมพนธ r เปนสบเซตของ A B เทานน กลาวคอ r A B
ถา r A B เรยก r วา ……………………………………………………………………………….
ถา r A A เรยก r วา ……………………………………………………………………………….
ดงนน ความสมพนธ r กคอเซต สามารถเขยนได 3 แบบคอ แบบบรรยาย แบบแจกแจงสมาชก แบบบอกเงอนไข
ตวอยางท 5 ให A {2,3,4} และ B {1,5} ถา r คอความสมพนธ “นอยกวา” จาก A ไป B
จงเขยนความสมพนธ r
ตวอยางท 6 ให A {2,3,4} และ B {5,6,8,9} ถา r คอความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B จงเขยน
ความสมพนธ r
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
4
ตวอยางท 7 ให A {1,2,3} และ B {2,4,8} จงหาความสมพนธเมอก าหนดให
1r คอ ความสมพนธใน A แบบ “เทากบ” และ 2r คอ ความสมพนธจากB ไป A แบบ “เปนสองเทา”
ตวอยางท 8 จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก
ก าหนดให A { 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4} และ B {0,1,2,3,4,5}
1. 1r = 2{(x, y) A B | y x }
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. 2r = {(x, y) B A || x | | y | 4}
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. 3r = {(x, y) A A | x y 3}
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. 3r = {(x, y) B B | x y 3}
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
ตวอยางท 9 จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก
1. 1r = x{(x, y) I I | y }
2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. 2r = {(x, y) N I | x | y |}
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1. 3r = 2 2{(x, y) I I | x y 4}
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
หมายเหต 1. เซตทไมสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดหมด มกจะไมเขยนในรปแจกแจงสมาชก
2. ในกรณทเซต A และ B เปนเซตของจ านวนจรง อาจเขยนความสมพนธโดยละไวในฐานทเขาใจวา r
เปนจ านวนจรง คอ 2r {(x, y) | y x } หรอ r {(x,y) | y | x |}
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
5
2. โดเมนและเรนจ (Domain and Range)
บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B
โดเมนของ r คอ……………………………………………………………………………….เขยนแทนดวย…………………
เรนจของ r คอ……………………………………………………………………………….เขยนแทนดวย…………………
จะเหนวา rD A และ rR B และสามารถเขยน rD และ rR ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดคอ
rD = {x | (x, y) r} และ rR = {y | (x, y) r}
เชน 1r {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)}
จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….
2r {( 1,4),(0,5),(2,4),(a,b)} จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….
การหาโดเมนและเรนจ
1. ถา r เปนแบบแจกแจงสมาชกหรอสมารถแจกแจงสมาชกได ควรแจกแจงสมาชกกอน โดยจด y = เทอมของx
จะท าใหการแจกแจงคอนดบ (x, y) ไดงายขน แลวน าสมาชกตวหนาตอบเปนโดเมนและสมาชกตวหลงตอบเปนเรนจ
ตวอยางท 10 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน
1. ให A {1,2,3,4,5} และ 2r {(x, y)| y x ,x A}
จะไดวา r …………………………………………………………………………………….……
จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….
2. ให A { 2, 1,0,1,2} และ r {(x,y) A A| y x 1}
จะไดวา r …………………………………………………………………………………….……
จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….
3. ให r {(x,y) I I| y | x |}
จะไดวา r …………………………………………………………………………………….……
จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….
4. ให s {(x, y) I I | y x}
จะไดวา s …………………………………………………………………………………….……
จะได sD = ……………………………………………………….. และ sR = …………………………………………………………….
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
6
การหาโดเมนและเรนจ (ตอ)
2. ถา r เปนความสมพนธใน R ซงไมสามารถแจกแจงสมาชกได การหาโดเมนและเรนจท าได 2 วธ
การหาโดเมน (ดคา x ) ใหจด y อยในเทอมของ x กอน แลวพจารณาคาของ x ทท าให y เปนจรงตามเงอนไน
น าคา x เหลานนมาตอบเปนโดเมน
การหาเรนจ (ดคา y ) ใหจด x อยในเทอมของ y กอน แลวพจารณาคาของ y ทท าให x เปนจรงตามเงอนไน
น าคา y เหลานนมาตอบเปนเรนจ
การหาในรป สมการอยในรป r {(x, y) | x c} จะไดวา rD = {c} และ rR =
สมการอยในรป r {(x, y) | y c} จะไดวา rD = และ rR = {c}
ตวอยางท 11 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
1. 1r {(x, y) | x 3 0} 2. 3r {(x, y) | 3x 5 0}
การหาในรป สมการอยในรปสมการสองตวแปร
ถา y เปนสมาการพหนามทมก าลงเปนจ านวนบวก แลวสมการ y จะหาคาไดในทกๆคาของ x (x )
ถา x เปนจ านวนจรงใดใด (x ) จะหาคา y ไดเสมอ เชน
ถา y เปนจ านวนจรงใดใด (y ) จะหาคา x ไดเสมอ เชน
ตวอยางท 12 ให 1r {(x, y) | y 2x 5} จงหาโดเมนและเรนจของ r
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
7
การหาในรป ในรปเศษสวน สมการ Ay
B จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ B 0
เชน 4y
x 3
สมการนจะเปนจรงในทกคาของ x ยกเวน x = …………………….
5x
y 7
สมการนจะเปนจรงในทกคาของ y ยกเวน y = ……………………
ตวอยางท 13 ให 2x 1r (x, y) | y
5x 3
จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r
วธท า
การหาในรป ถา y | x a | แลวสมการจะหาคาไดเสมอ ในทกคาของจ านวนจรง x
ตวอยางท 14 ให r (x, y) | y x 2 3 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
8
การหาในรป ถา y a และ y จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ a 0
ตวอยางท 15 ให r (x, y) | y x 3 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
ตวอยางท 16 ให r (x, y) | y 2x 3 5 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
การหาในรป ถา 2y a และ y จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ 2a 0
ตวอยางท 17 ให 2r (x, y) | y x 4 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
ตวอยางท 18 ให 2 2r (x, y) | y x y 16 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
9
การหาโดเมนและเรนจโดยใชกราฟ
ขนตอนการหาโดเมนและเรนจโดยใชกราฟ
1. น าความสมพนธทก าหนดให มาเขยนกราฟ
2. - พจารณาคา x ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนโดเมน
- พจารณาคา y ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนเรนจ
ตวอยางท 19 จงหาโดเมนและเรนจโดยจากกราฟตอไปน
1. 2.
3. 4.
5. 6.
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
10
กราฟของความสมพนธ
บทนยาม ให เปนเซตของจ านวนจรง r เปนสบเซตของ
กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดบนระนาบโดยทแตละจดทนสมาชกของความสมพนธ r
1. กราฟทเปนจด เมอความสมพนธสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดแลวน าคอนดบไปเขยนกราฟ
ตวอยางท จงเขยนกราฟของ r {( 3, 5),( 1,3),(0,4),(1,3),(3, 5)}
2. กราฟเปนเสน
2.1 กราฟเสนตรง เมอความสมพนธม x หรอ y เปนก าลงหนง
ตวอยางท 20 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน
1. r {(x, y) R R | y 4} 2. r {(x, y) R R | x 2y 6}
3. r {(x, y) |1 x 4} 4. r {(x, y) R R | x y 4 และ y 2}
วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน
11
2.2 กราฟเสนโคง เมอความสมพนธม x หรอ y เปนก าลงสอง
ตวอยางท 21 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน
1. 2r {(x, y) R R | y x 3} 2. 2r {(x, y) R R | x (y 1) 2}
3. r {(x, y) | y x 5} 4. 2 2r {(x, y) | x 4 y }
3. กราฟคาสมบรณ
ตวอยางท 22 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน
1. r {(x, y) | y x } 2. r {(x, y) | y x }
3. r {(x, y) | y x 2 } 4. r {(x, y) | y x 2 3}