Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
1. Sebuah kotak kubus berdinding tipis yang memiliki massa ๐ dan panjang sisi 2๐ฟ
diletakkan di permukaan lantai datar. Di rusuk atas bagian kanan dan kiri silinder
dipasang poros bebas gesekan. Pada masing-masing poros terpasang tongkat homogen
bermassa ๐ dan panjang ๐ฟ. Mula-mula posisi kedua tongkat vertikal dan sistem tidak
bergerak. Kemudian kedua tongkat diberi sedikit sentuhan sehingga mulai berotasi,
tongkat kana berotasi searah jarum jam dan tongkat kiri berotasi berlawanan arah jarum
jam. Pada tempat dimana kotak ini berada terdapat percepatan gravitasi sebesar ๐ yang
arahnya ke bawah.
a. Hitung gaya normal di lantai sebagai fungsi sudut antara tongkat dengan garis vetikal!
b. Hitung kecepatan sudut tongkat ketika gaya normal di lantai bernilai minimum!
c. Hitung nilai minimum gaya normal di lantai!
d. Hitung nilai ๐/๐ agar kotak dapat terangkat!
Pembahasan :
Perhatikan gambar berikut!
๐ ๐ ๐ฟ
2๐ฟ ๐
๐
๐ ๐
๐
๐๐
๐น ๐น ๐
๐น
๐๐
๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
a. Tongkat akan cenderung menekan kotak dan sebaliknya, kotak akan cenderung
mendorong tongkat ke arah luar. Tinjau gerak sentripetal tongkat
๐๐cos ๐ โ ๐น =1
2๐๐2๐
๐น = ๐๐ cos๐ โ1
2๐๐2๐
Kecepatan sudut tongkat sebagai fungsi sudut ๐ bisa kita cari dengan hukum
kekekalan energi (dasar tongkat sebagai acuan)
1
2๐๐๐ =
1
2๐๐๐ cos๐ +
1
2(1
3๐๐ 2)๐2
๐2 =3๐
๐ (1 โ cos๐)
Sehingga gaya ๐น dapat kita tuliskan ulang sebagai
๐น = ๐๐ cos๐ โ1
2๐(
3๐
๐ (1 โ cos๐))๐
๐น = ๐๐ cos๐ โ3
2๐๐ +
3
2๐๐ cos๐
๐น =5
2๐๐ cos ๐ โ
3
2๐๐
Tinjau gaya-gaya pada kotak untuk arah vertikal
๐ โ๐๐ โ 2๐น cos ๐ = 0
๐ = ๐๐ + 2(5
2๐๐ cos๐ โ
3
2๐๐)cos ๐
๐ = ๐๐ + 5๐๐ cos2 ๐ โ 3๐๐ cos๐
b. Saat nilai ๐ minimum, akan berlaku ๐๐ ๐๐โ = 0
๐๐
๐๐=๐
๐๐(๐๐ + 5๐๐ cos2 ๐ โ 3๐๐ cos๐) = 0
โ10๐๐ sin ๐ cos ๐ + 3๐๐ sin ๐ = 0
cos๐ =3
10
Kecepatan sudut batang saat kondisi ini adalah
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐2 =3๐
๐ (1 โ
3
10) โน ๐ =
21๐
10๐
c. Gaya normal minimum ini adalah
๐min = ๐๐ + 5๐๐ (3
10)2
โ 3๐๐3
10
๐min = ๐๐ โ9
20๐๐
d. Saat kotak terangkat berarti nilai gaya normal minimum ๐min sama dengan nol,
sehingga
0 = ๐๐ โ9
10๐๐ โน
๐
๐=9
20
2. Sebuah batang bermassa ๐ dan panjang ๐ฟ di poros pada suatu titik O di permukaan atas
sebuah batang bermassa ๐. Batang ๐ pada mulanya berada dalam keadaan vertikal
sedangkan batang ๐ diletakkan di atas lantai licin. Diketahui bahwa poros di O licin dan
sistem awalnya diam. Kemudian batang ๐ diberi gangguan kecil sehingga sistem mulai
bergerak.
Saat batang ๐ membentuk sudut ๐ terhadap vertikal, tentukan :
a. Persamaan-persamaan yang menghubungkan kecepatan masing-masing batang!
Kecepatan sudut batang ๐ terhadap poros O!
b. Kecepatan batang ๐!
c. Kecepatan pusat massa batang ๐!
Pembahasan :
a. Perhatikan gambar di bawah.
๐
O
๐ฟ
๐ฆ
๐ฅ
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Dari hukum kekekalan energi akan kita peroleh (jadikan permukaan atas batang
sebagai acuan energi potensial sama dengan nol, dan misalkan ketebalan batang ๐
adalah ๐)
๐ธawal = ๐ธakhir
1
2๐๐๐ฟ โ
1
2๐๐๐ =
1
2๐๐๐ฟ cos๐ โ
1
2๐๐๐ +
1
2๐๐ฃm
2 +1
2๐๐ฃM
2 +1
2(1
12๐๐ฟ2)๐2
๐๐๐ฟ(1 โ cos๐) = ๐๐ฃm2 +๐๐ฃM
2 +1
12๐๐ฟ2๐2โฆ(1)
Misalkan kecepatan relatif pusat massa batang ๐ terhadap batang ๐ adalah ๐ฃrel,
maka
๐ฃrel =1
2๐๐ฟ
๐ฃrel
๐
๐
๐
๐
๐ฃrel sin ๐
๐ฃrel cos ๐
๐ฟ/2
๐ฃM
๐ฃrel
๐
๐
๐
๐ฃM
๐ฃmx
๐ฃmy
๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Relatif terhadap lantai akan kita peroleh bahwa
๐ฃmx = ๐ฃrel cos๐ โ ๐ฃM โน ๐ฃmx =1
2๐๐ฟ cos ๐ โ ๐ฃM
Alasan kenapa proyeksi kecepatan relatif arah sumbu ๐ฅ perlu dikurang dengan ๐ฃM adalah
karena batang bergerak kiri, sehingga jika menurut pengamat yang ada di lantai, batang ๐
akan mendapat tambahan kecepatan sebesar kecepatan batang ๐ pada arah yang sama
(ingat konsep gerak relatif). Kita peroleh pula
๐ฃmy = ๐ฃrel sin ๐ โน ๐ฃmy =1
2๐๐ฟ sin ๐
Maka kecepatan pusat massa batang ๐ relatif terhadap lantai adalah
๐ฃm2 = ๐ฃmx
2 + ๐ฃ๐๐ฆ2
๐ฃm2 = (
1
2๐๐ฟ cos๐ โ ๐ฃM)
2
+ (1
2๐๐ฟ sin ๐)
2
๐ฃm2 =
1
4๐2๐ฟ2(sin2 ๐ + cos2 ๐) + ๐ฃM
2 โ ๐ฃM๐๐ฟ cos๐
๐ฃm2 =
1
4๐2๐ฟ2 + ๐ฃM
2 โ ๐ฃM๐๐ฟ cos ๐ โฆ (2)
Karerna lantai licin, pada sistem dua batang ini, tidak ada gaya eksternal pada arah
sumbu ๐ฅ sehingga momentum linearnya pada arah sumbu ๐ฅ akan konstan yaitu sama
dengan nol (karena pada awalnya sistem ini diam). Momentum untuk benda yang
bukan benda titik (seperti soal ini yang berupa batang) adalah sama dengan
momentum titik pusat massa benda masing-masing. Dari sini akan kita peroleh (ingat
kita hanya mengambil yang komponen sumbu ๐ฅ, perhatikan tandanya, positif ke
kanan dan negatif ke kiri)
๐๐ฃmx โ๐๐ฃM = 0
1
2๐๐๐ฟ cos ๐ โ ๐๐ฃM โ๐๐ฃM = 0
1
2๐๐๐ฟ cos ๐ = (๐ +๐)๐ฃMโน ๐ฃM =
๐๐๐ฟ cos ๐
2(๐ +๐)โฆ (3)
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
b. Subtitusi persamaan (2) ke (1)
๐๐๐ฟ(1 โ cos๐) =1
4๐๐2๐ฟ2 +๐๐ฃM
2 โ๐๐ฃM๐๐ฟ cos ๐ +๐๐ฃM2 +
1
12๐๐2๐ฟ2
๐๐๐ฟ(1 โ cos๐) = (๐ + ๐)๐ฃM2 โ๐๐ฃM๐๐ฟ cos๐ +
1
3๐๐2๐ฟ2
Subtitusi persamaan (3)
๐๐๐ฟ(1 โ cos ๐) = (๐ +๐) (๐๐๐ฟ cos๐
2(๐ +๐))2
โ๐(๐๐๐ฟ cos๐
2(๐ + ๐))๐๐ฟ cos ๐ +
1
3๐๐2๐ฟ2
๐๐๐ฟ(1 โ cos๐) =๐2๐2๐ฟ2 cos2 ๐
4(๐ +๐)โ๐2๐2๐ฟ2 cos2 ๐
2(๐ + ๐)+1
3๐๐2๐ฟ2
๐๐ฟ(1 โ cos๐) =1
3๐2๐ฟ2 โ
๐๐2๐ฟ2 cos2 ๐
4(๐ +๐)
๐๐ฟ(1 โ cos๐) = (1
3โ๐ cos2 ๐
4(๐ + ๐))๐2๐ฟ2
๐๐ฟ(1 โ cos ๐) = (4(๐ + ๐) โ 3๐ cos2 ๐
12(๐ + ๐))๐2๐ฟ2
๐๐ฟ(1 โ cos๐) = (4๐ +๐(1 + 3 sin2 ๐)
12(๐ + ๐))๐2๐ฟ2
๐ = โ12(๐ +๐)๐(1 โ cos ๐)
4๐๐ฟ +๐๐ฟ(1 + 3 sin2 ๐)
c. Subtitusi persamaan ๐ ke persamaan (3)
๐ฃM =๐๐ฟ cos๐
2(๐ +๐)โ12(๐ + ๐)๐(1 โ cos๐)
4๐๐ฟ +๐๐ฟ(1 + 3 sin2 ๐)
๐ฃM =๐cos๐
๐ +๐โ3(๐ +๐)๐๐ฟ(1 โ cos ๐)
4๐ + ๐(1 + 3 sin2 ๐)
d. Subtitusi persamaan (3) ke (2)
๐ฃm2 =
1
4๐2๐ฟ2 + (
๐๐๐ฟ cos๐
2(๐ +๐))2
โ๐๐๐ฟ cos๐
2(๐ +๐)๐๐ฟ cos๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐ฃm2 =
1
4๐2๐ฟ2 +
๐2๐2๐ฟ2 cos2 ๐
4(๐ + ๐)2โ๐๐2๐ฟ2 cos2 ๐
2(๐ +๐)
๐ฃm2 = (1 +
๐2 cos2 ๐
(๐ + ๐)2โ2๐ cos2 ๐
(๐ + ๐))1
4๐2๐ฟ2
๐ฃm2 = (1 โ
(2๐ +๐)๐ cos2 ๐
(๐ + ๐)2)1
4๐2๐ฟ2
๐ฃm2 = (
(๐ +๐)2 โ (2๐ +๐)๐cos2 ๐
(๐ +๐)2)1
4๐2๐ฟ2
๐ฃm2 = (
๐2 +๐2 + 2๐๐โ 2๐๐cos2 ๐ โ๐2 cos2 ๐
(๐ +๐)2)1
4๐2๐ฟ2
๐ฃm2 = (
๐2 + 2๐๐(1 โ cos2 ๐) + ๐2(1 โ cos2 ๐)
(๐ +๐)2)1
4๐2๐ฟ2
๐ฃm2 = (
๐2 + (2๐ +๐)๐sin2 ๐
(๐ +๐)2)1
4๐2๐ฟ2
Subtitusi ๐
๐ฃm2 = (
๐2 + (2๐ +๐)๐ sin2 ๐
(๐ + ๐)2)1
4(12(๐+ ๐)๐(1 โ cos๐)
4๐ + ๐(1 + 3 sin2 ๐)) ๐ฟ2
๐ฃm = โ(๐2 + (2๐ +๐)๐sin2 ๐
(๐ +๐))
3๐๐ฟ(1 โ cos๐)
4๐ +๐(1 + 3 sin2 ๐)
3. Sebuah silinder pejal bermassa ๐ dan berjari-jari ๐ dihubungkan dengan ๐ + 1 pegas
seperti pada gambar. Semua konstanta pegas sebesar ๐. Pegas paling bawah
dihubungkan dengan pusat massa silinder. Jarak antar pegas adalah konstan ๐ฟ. Gaya
gesek antara silinder dan lantai sangat besar sehingga silinder tidak mengalami slip. Jika
silinder disimpangkan dengan simpangan yang kecil, tentukan periode osilasi silinder.
Pada keadaan awal silinder dalam kondisi relaks.
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Pembahasan :
Perhatikan gambar di bawah ini!
Misalkan silinder di simpangkan sejauh ๐ฅ ke kanan dan berotasi sebesar ๐, maka silinder
akan dipercepat ke kiri karena setiap pegas di sisi kiri memberikan gaya tarik ke kiri dan
setiap pegas di sisi kanan memberikan gaya tekan ke kiri. Selain itu silinder juga memiliki
percepatan sudut berlawanan arah jarum jam karena ada gaya gesek di bagian bawah
silinder yang berarah ke kanan sehingga menggasilkan torsi berlawanan arah jarum jam.
Simpangan ๐ฅ dan ๐ bernilai kecil. Gaya tekan dan regang oleh masing-masing pegas
adalah
๐น0 = ๐๐ฅ (pegas pusat)
๐ ๐
๐
๐
๐
๐ฟ
๐ฟ
๐ฟ
๐
โฆ.
pegas 1
pegas 2
pegas 3
dan seterusnya
pegas pusat
๐
๐
๐
๐
๐
๐ผ
๐
๐ ๐ฅ
๐
๐
โฆ.
pegas 1
pegas 2
pegas 3
pegas pusat
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐น1 = ๐๐ฅ + ๐๐ฟ sin ๐
๐น2 = ๐๐ฅ + 2๐๐ฟ sin ๐
๐น3 = ๐๐ฅ + 3๐๐ฟ sin ๐
โฆ
๐น๐ = ๐๐ฅ + ๐๐๐ฟ sin ๐
Hukum II Newton untuk gerak translasi
๐น0 + ๐น1 + ๐น2 + ๐น3 +โฏ+ ๐น๐โ ๐น๐ก๐๐ก
โ ๐ = ๐๐
๐น๐ก๐๐ก = ๐๐ฅ + ๐๐ฅ + ๐๐ฟ sin ๐ + ๐๐ฅ + 2๐๐ฟ sin ๐ + ๐๐ฅ + 3๐๐ฟ sin ๐ + โฏ+ ๐๐ฅ + ๐๐๐ฟ sin ๐
๐น๐ก๐๐ก = ๐๐ฅ(๐ + 1) + ๐๐ฟ sin ๐ (1 + 2 + 3 + โฏ+๐)
Suku 1 + 2 + 3 +โฏ+ ๐ adalah deret aritmetika yang jumlahnya adalah
1 + 2 + 3 + โฏ+๐ =1
2๐(๐ + 1)
Sehingga
๐น๐ก๐๐ก = ๐๐ฅ(๐ + 1) +1
2๐๐ฟ sin ๐ ๐(๐ + 1)
๐๐ฅ(๐ + 1) +1
2๐๐ฟ sin ๐ ๐(๐ + 1) โ ๐ = ๐๐
๐ = ๐๐ฅ(๐ + 1) +1
2๐๐ฟ sin ๐๐(๐ + 1) โ ๐๐โฆ (1)
Hukum II Newton untuk gerak rotasi
๐๐ + (๐น1๐ฟ cos ๐ + 2๐น2๐ฟ cos ๐ + 3๐น3๐ฟ cos๐ + โฏ+๐๐น๐๐ฟ cos๐)โ ๐๐ก๐๐ก
=1
2๐๐ 2๐ผโฆ (2)
Suku ๐๐ก๐๐ก adalah torsi yang diberikan oleh setiap pegas yang besarnya adalah
๐๐ก๐๐ก = ๐๐ฅ๐ฟ cos ๐ + 12๐๐ฟ2 sin ๐ cos ๐ + 22๐๐ฅ๐ฟ cos ๐ + 2๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ + 3๐๐ฅ๐ฟ cos๐
+ 32๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ +โฏ+๐๐๐ฅ๐ฟ cos๐ + ๐2๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐
๐๐ก๐๐ก = ๐๐ฅ๐ฟ cos ๐ (1 + 2 + 3 +โฏ+ ๐) + ๐๐ฟ2 sin ๐ cos ๐ (12 + 22 + 32 +โฏ+๐2)
Terdapat deret aritmetika dan deret kuadrat dimana nilainya dapat kita ubah menjadi
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
1 + 2 + 3 +โฏ+๐ =1
2๐(๐ + 1)
12 + 22 + 32 +โฏ+ ๐2 =1
6๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
Sehingga akan kita peroleh
๐๐ก๐๐ก =1
2 ๐๐ฅ๐ฟ cos ๐ ๐(๐ + 1) +
1
6๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ ๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
Subtitusi kembali hasil ini ke persamaan (2)
๐๐ +1
2 ๐๐ฅ๐ฟ cos๐ ๐(๐ + 1) +
1
6๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ ๐(๐ + 1)(2๐ + 1) =
1
2๐๐ 2๐ผโฆ (3)
Karena silinder tidak slip maka akan berlaku ๐ = ๐ ๐ผ
Subtitusi persamaan (1) ke (3)
๐๐ฅ๐ (๐ + 1) +1
2๐๐ฟ๐ sin ๐ ๐(๐ฟ + 1) โ ๐๐ 2๐ผ +
1
2 ๐๐ฅ๐ฟ cos๐ ๐(๐ + 1)
+1
6๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ ๐(๐ + 1)(2๐ + 1) =
1
2๐๐ 2๐ผ
๐๐ฅ๐ (๐ + 1) +1
2๐๐ฟ๐ sin ๐ ๐(๐ + 1) +
1
2 ๐๐ฅ๐ฟ cos ๐ ๐(๐ + 1)
+1
6๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ ๐(๐ + 1)(2๐ + 1) =
3
2๐๐ 2๐ผ
Karena silinder berotasi tanpa slip, perpindahan pusat massa silinder akan sama dengan
๐ ๐ atau ๐ฅ = ๐ ๐
๐๐ 2๐(๐ + 1) +1
2๐๐ฟ๐ sin ๐ ๐(๐ + 1) +
1
2 ๐๐ ๐ฟ๐ cos๐ ๐(๐ + 1)
+1
6๐๐ฟ2 sin ๐ cos๐ ๐(๐ + 1)(2๐ + 1) =
3
2๐๐ 2๐ผ
Karena simpangan kecil, maka kita bisa lakukan pendekatan
sin ๐ โ ๐ dan cos๐ โ 1
๐ 2๐(๐ + 1) +1
2๐๐ฟ๐ ๐๐(๐ + 1) +
1
2 ๐๐ ๐ฟ๐๐(๐ + 1) +
1
6๐๐ฟ2๐๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
=3
2๐๐ 2๐ผ
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Arah percepatan sudut silinder berlawanan dengan arah bertambahnya sudut ๐
sehingga ๐ผ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, maka persamaan di atas dapat kita ubah menjadi
๐๐ 2๐(๐ + 1) + ๐๐ฟ๐ ๐๐(๐ + 1) +1
6๐๐ฟ2๐๐(๐ + 1)(2๐ + 1) = โ
3
2๐๐ 2๏ฟฝฬ๏ฟฝ
3
2๐๐ 2๏ฟฝฬ๏ฟฝ + [๐๐ 2(๐ + 1) + ๐๐ฟ๐ ๐(๐ + 1) +
1
6๐๐ฟ2๐(๐ + 1)(2๐ + 1)]๐ = 0
๏ฟฝฬ๏ฟฝ +2
3
๐๐๐ 2(๐ + 1) + ๐๐ฟ๐ ๐(๐ + 1) +16๐๐ฟ
2๐(๐ + 1)(2๐ + 1)
๐๐ 2= 0
๏ฟฝฬ๏ฟฝ +๐[6(๐ + 1)๐ 2 + 6(๐2 +๐)๐ฟ๐ + (2๐3 + 3๐2 +๐)๐ฟ2]
9๐๐ 2๐ = 0
Persamaan di atas, analog dengan bentuk persamaan gerak harmonik sederhana yaitu
๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๐2๐ = 0, sehingga nilai ๐ atau kecepatan sudut osilasi sistem adalah
๐ = โ๐[6(๐ + 1)๐ 2 + 6(๐2 +๐)๐ฟ๐ + (2๐3 + 3๐2 +๐)๐ฟ2]
9๐๐ 2
Karena
๐ =2๐
๐โน ๐ =
2๐
๐
Maka periode osilasi sistem akan menjadi
๐ = 2๐โ9๐๐ 2
๐[6(๐ + 1)๐ 2 + 6(๐2 +๐)๐ฟ๐ + (2๐3 + 3๐2 +๐)๐ฟ2]
4. Sebuah bidang miring licin dengan sudut kemiringin ๐ di tempelkan di atas lantai
sehingga tidak dapat bergerak. Sebuah prisma bermassa ๐ di letakkan di atas bidang
miring dimana salah satunya sisinya tepat dalam kondisi vertikal. Pada sisi prisma yang
vertikal ini di letakkan sebuah bola berjari-jari ๐ . Gaya gesek antara bola dan prisma
sangat besar sehingga bola akan menggelinding tanpa slip terhadap prisma. Pada
awalnya, sistem diam dan permukaan bawah bola berada pada jarak ๐ป dari permukaan
bawah prisma yang vertikal. Berikut diagram sistem bola-prisma-bidang miring
tersebut.
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Sistem kemudian dilepaskan begitu saja sehingga mulai bergerak.
a. Tentukan persamaan gerak bola dan prisma!
b. Tentukan percepatan prisma ๐2! Nyatakan dalam ๐,๐,๐, dan ๐.
c. Tentukan percepatan sudut ๐ผ dan percepatan bola terhadap prisma ๐1! Nyatakan
dalam ๐,๐,๐, dan ๐.
d. Setelah sistem dilepas, kapan bola menyentuh bidang miring ๐ก dan berapa
kecepatannya saat akan menumbuk bidang miring! Asumsikan lintasan bidang
miring cukup panjang sehingga bola akan lebih dulu mencapai permukaan bidang
miring dibanding prisma sampai ke lantai. Kecepatan bola bisa anda nyatakan dalam
๐1, ๐2, ๐ก, ๐ป, dan ๐.
Pembahasan :
a. Untuk bola, agar lebih mudah kita gunakan kerangka acuan relatif prisma. Karena
prisma dipercepat, bola akan mendapat gaya fiktif yang arahnya berlawanan dengan
arah percepatan prisma dan besarnya sama dengan massa bola di kali percepatan
prisma. Untuk prisma, kita tinjau kerangka lantai. Berikut diagram gaya pada bola dan
prisma.
๐
๐
2๐
๐ป ๐
๐
๐2
๐1
๐2
๐๐
๐๐
๐1
๐๐2
๐1
๐ผ ๐
๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Hukum II Newton
Untuk Bola : Gerak translasi arah vertikal (kerangka acuan prisma), misalkan
percepatan bola relatif prisma pada arah ini adalah ๐1, maka
โ๐นv = ๐๐1
๐๐ โ๐๐2 sin ๐ โ ๐ = ๐๐1
๐๐ โ ๐ = ๐๐1 +๐๐2 sin ๐ โฆ (1)
Untuk Bola : Gerak translasi arah horizontal (kerangka acuan prisma), pada arah ini
bola tidak dipercepat
โ๐นh = 0
๐๐2 cos๐ โ ๐1 = 0
๐1 = ๐๐2 cos๐ โฆ (2)
Untuk Bola : Gerak rotasi terhadap pusat massa bola, misalkan percepatan sudut
bola adalah ๐ผ
โ๐ = ๐ผ๐ผ
Ingat bahwa momen inersia bola ๐ผ = (2/5)๐๐ 2 dan karena bola menggelinding
tanpa slip akan berlaku ๐1 = ๐ผ๐ , sehingga
๐๐ =2
5๐๐ 2
๐1๐ โน ๐ =
2
5๐๐1โฆ(3)
Untuk Prisma : Gerak translasi arah sejajar bidang miring, misalkan percepatan
prisma adalah ๐2, maka
โ๐นโฅ = ๐๐2
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐๐sin ๐ + ๐ sin ๐ โ ๐1 cos ๐ = ๐๐2โฆ(4)
b. Subtitusi persamaan (3) ke (1)
๐๐ โ2
5๐๐1 = ๐๐1 +๐๐2 sin ๐
๐๐ โ๐๐2 sin ๐ =7
5๐๐1
๐ โ ๐2 sin ๐ =7
5๐1 โน ๐1 =
5
7๐ โ
5
7๐2 sin ๐ โฆ (5)
Subtitusi persmaan (5) ke (3)
๐ =2
5๐ (
5
7๐ โ
5
7๐2 sin ๐) โน ๐ =
2
7๐๐ โ
2
7๐๐2 sin ๐ โฆ (6)
Subtitusi persamaan (2) dan (6) ke (4)
๐๐sin ๐ + (2
7๐๐ โ
2
7๐๐2 sin ๐) sin ๐ โ (๐๐2 cos ๐) cos๐ = ๐๐2
7๐๐ sin ๐ + 2๐๐ sin ๐ โ 2๐๐2 sin2 ๐ โ 7๐๐2 cos
2 ๐ = 7๐๐2
7๐๐ sin ๐ + 2๐๐ sin ๐ = 7๐๐2 + 7๐๐2(sin2 ๐ + cos2 ๐) โ 5๐๐2 sin
2 ๐
(7๐ + 2๐)๐ sin ๐ = 7๐๐2 + 7๐๐2 โ 5๐๐2 sin2 ๐
(7๐ + 2๐)๐ sin ๐ = [7(๐ +๐) โ 5๐sin2 ๐]๐2
๐2 =(7๐ + 2๐)๐ sin ๐
7(๐ + ๐) โ 5๐ sin2 ๐
c. Subtitusi ๐2 ke persamaan (5)
๐1 =5
7(๐ โ ๐2 sin ๐)
๐1 =5
7(๐ โ
(7๐ + 2๐)๐ sin ๐
7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐sin ๐)
๐1 =5
7(7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐ โ (7๐ + 2๐) sin2 ๐
7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐)๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐1 =5
7(7๐(1 โ sin2 ๐) โ 7๐(1 โ sin2 ๐)
7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐)๐
๐1 =5(๐ โ๐)๐ cos2 ๐
7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐
Dari gerak menggelinding tanpa slip bola akan kita peroleh
๐ผ =๐1๐ โน ๐ผ =
5(๐ โ ๐)๐ cos2 ๐
[7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐]๐
d. Relatif terhadap prisma, saat bola mencapai bidang miring, dia telah turun secara
vertikal sejauh ๐ป. Dengan menggunakan persamaan gerak GLBB dipercepat akan
kita peroleh
๐ป =1
2๐1๐ก
2
๐ก = โ2๐ป
๐1โน ๐ก = โ
2๐ป[7(๐ +๐) โ 5๐ sin2 ๐]
5(๐ โ ๐)๐ cos2 ๐
Terhadap prisma, percepatan bola berarah vertikal ke bawah yang besarnya adalah
๐ฃv2 = 2๐1๐ป โน ๐ฃv = โ2๐1๐ป
Saat bola sampai di bidang miring, prisma memiliki kecepatan yang arahnya sejajar
bidang miring dengan besar
๐ฃโฅ = ๐2๐ก
Sehingga kecepatan bola saat akan menumbuk bidang miring adalah
๐ฃ = ๐ฃv + ๐ฃโฅ
Vektor ๐ฃv dan ๐ฃโฅ membentuk sudut ๐ = ๐/2 โ ๐ sehingga besar kecepatan bola ๐ฃ
adalah
๐ฃ = โ๐ฃv2 + ๐ฃโฅ2 + 2๐ฃโฅ๐ฃv cos๐
Ingat kesamaan trigonometri cos(๐/2 โ ๐) = sin ๐ sehingga
๐ฃ = โ2๐1๐ป + ๐2๐ก(๐2๐ก + 2โ2๐1๐ป sin ๐)
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
5. Sebuah bola bermassa ๐ dan berjari-jari ๐ di tahan pada tembok oleh sebuah tali. Tali di
ikatkan di tembok pada jarak ๐ป dari titik kontak bola dengan tembok. Tali ini membentuk
sudut ๐ terhadap tembok dan garis perpanjangan tali ini tidak melewati pusat bola.
Tembok dimana bola ditahan membentuk sudut ๐ terhadap tanah. Sistem ini ditunjukan
oleh gambar di bawah.
a. Tentukan besar gaya tegang pada tali yang menahan bola tersebut!
b. Berapa koefisien gesek minimum antara bola dan tembok agar bola dapat seimbang
secara statik?
Pembahasan :
a. Untuk menyelesaikan soal ini, kita gunakan syarat-syarat keseimbangan statik yaitu
resultan torsi dan gaya pada setiap arah bernilai nol. Perhatikan diagram berikut!
๐ ๐
๐ป
๐
๐
๐
๐ ๐
๐ป sin ๐ ๐ป
๐
๐
๐ฅ
๐ฆ ๐
๐
๐ ๐
๐๐
๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
Tinjau keseimbangan torsi pada bola terhadap titik kontak bola dengan tembok. Dari
sini akan kita peroleh
โ๐ = 0
๐๐ป sin ๐ โ ๐๐๐ sin๐ = 0โน ๐ =๐๐๐ sin ๐
๐ป sin ๐
Tinjau keseimbangan gaya pada bola. Pada sumbu ๐ฅ akan kita peroleh
๐ cos๐ + ๐ โ๐๐ sin๐ = 0
Subtitusi nilai ๐
๐๐๐ sin ๐
๐ป sin ๐cos ๐ + ๐ โ ๐๐ sin ๐ = 0
๐ = ๐๐ sin ๐ โ๐๐๐ sin๐ cos๐
๐ป sin ๐
๐ = ๐๐ sin ๐๐ป sin ๐ โ ๐ cos๐
๐ป sin ๐
Kemudian dari keseimbangan gaya untuk bola pada sumbu ๐ฆ akan kita peroleh pula
๐ โ ๐ sin ๐ โ ๐๐ cos๐ = 0
Subtitusi nilai ๐
๐ โ๐๐๐ sin๐
๐ป sin ๐sin ๐ โ ๐๐ cos๐ = 0
๐ =๐๐๐ sin ๐
๐ป+๐๐ cos๐ โน ๐ = ๐๐
๐ sin๐ + ๐ป cos๐
๐ป
Hubungan antara gaya normal ๐, gaya gesek ๐, dan koefisien gesek statik adalah
๐ โค ๐smin๐
๐s โฅ๐
๐
Subtitusi nilai ๐ dan ๐
๐s โฅ๐๐ sin ๐
๐ป sin ๐ โ ๐ cos๐๐ป sin ๐
๐๐๐ sin๐ + ๐ป cos๐
๐ป
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐s โฅ๐ป sin๐ sin ๐ โ ๐ sin ๐ cos๐
๐ sin ๐ sin ๐ + ๐ป cos๐ sin ๐
Bagi penyebut dan pembilang sis kanan dengan sin๐ sin ๐, sehingga akan kita
dapatkan
๐s โฅ๐ป โ ๐ cot ๐
๐ + ๐ป cot๐
Maka koefisien gesek minimum agar bola dapat setimbang secara statik adalah
๐smin =๐ป โ ๐ cot ๐
๐ + ๐ป cot๐
6. Sebuah pendulum digantung menggunakan tali yang tidak elastis dan memiliki panjang
๐ pada sebuah titik poros di langit-langit. Pendulum berupa bola kecil bermassa ๐. Pada
awalnya bola berada di atas lantai dan tali dalam keadaan panjang totalnya namun tetap
relaks. Pada kondisi ini tali membentuk sudut ๐0 terhadap garis vertikal.
Kemudian sebuah prisma bidang miring licin bermassa ๐ dengan sudut kemiringin
๐ผ menumbuk bola dengan arah gerak prisma tegak lurus tali dan permukaan lantai
dengan kecepatan ๐ฃ0.
Diketahui koefisien restitusi antara bola dan prisma adalah ๐ (0 < ๐ < 1).
๐ ๐0
๐
๐ ๐ผ
๐ฃ0
๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
a. Apakah momentum linear dan energi sistem prisma bola pada kondisi sesaat sebelum
dan sesudah tumbukan kekal?
b. Tentukan kecepatan bola sesudah tumbukan?
c. Tentukan kecepatan prisma sesudah tumbukan?
d. Berapa perbandingan massa prisma dan bola pendulum agar prisma diam sesudah
tumbukan?
e. Saat pendulum sudah bergerak melingkar, berapa momentum sudut pendulum?
Apakah nilainya konstan?
f. Bagaimana dengan energi pendulum selama dia bergerak melingkar, apakah nilainya
konstan? Berapa energi sistem bola pendulum ini? Jadikan poros di langit-langit
sebagai acuan energi potensial sama dengan nol.
Pembahasan :
a. Gaya luar pada sistem prisma dan bola saat tumbukan diberikan oleh tali berupa gaya
tegangan dan dari lantai berupa gaya normal, gaya gesek tidak ada karena permukaan
lantai dan prisma licin. Namun karena gaya-gaya ini tegak lurus dengan lintasan
gerak awal prisma, maka tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistem untuk arah ini
sehingga momentum linear sistem pada arah ini akan kekal. Karena tumbukan elastis
sebagian (0 < ๐ < 1) maka energi sistem sesaat sebelum dan sesudah tumbukan
tidak kekal.
b. Sesudah tumbukan, bola akan memiliki kecepatan yang arahnya tegak lurus dengan
permukaan yang menumbuknya, yaitu permukaan miring prisma.
Dari konservasi (kekekalan) momentum arah mendatar (berdasarkan gambar di
atas, ini adalah arah gerak awal prisma) akan kita peroleh
๐๐ฃ0 = ๐๐ฃ1 +๐๐ฃ2 sin ๐ผ
๐ ๐ผ
๐ฃ1 ๐ฃ2
๐ผ
๐
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๐๐ฃ0 โ๐๐ฃ1 = ๐๐ฃ2 sin ๐ผ
๐(๐ฃ0 โ ๐ฃ1) = ๐๐ฃ2 sin ๐ผ โน ๐ฃ0 โ ๐ฃ1 =๐
๐๐ฃ2 sin ๐ผ โฆ (1)
Koefisien restitusi adalah perbandingan antara kecepatan saling menjauh dan
mendekat titik-titik yang bertumbukan pada arah tumbukan. Arah tumbukan adalah
arah yang tegak lurus bidang permukaan titik yang bertumbukan. Bidang tumbukan
di sini adalah permukaan bidang miring, maka arah tumbukan adalah tegak lurus
permukaan bidang miring (hipotenusanya). Dari sini akan kita peroleh
๐ =๐ฃ2 โ ๐ฃ1 sin ๐ผ
๐ฃ0 sin ๐ผ
๐๐ฃ0 sin ๐ผ = ๐ฃ2 โ ๐ฃ1 sin ๐ผ
๐๐ฃ0 sin ๐ผ + ๐ฃ1 sin ๐ผ = ๐ฃ2 โน ๐๐ฃ0 + ๐ฃ1 =๐ฃ2sin ๐ผ
โฆ (2)
Jumlahkan persamaan (1) dan (2)
๐ฃ0 โ ๐ฃ1 + ๐๐ฃ0 + ๐ฃ1 =๐
๐๐ฃ2 sin ๐ผ +
๐ฃ2sin ๐ผ
๐ฃ0 + ๐๐ฃ0 = (๐
๐sin ๐ผ +
1
sin ๐ผ)๐ฃ2
(1 + ๐)๐ฃ0 =๐ +๐sin2 ๐ผ
๐ sin ๐ผ๐ฃ2 โน ๐ฃ2 =
(1 + ๐)๐ sin ๐ผ
๐ +๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0
c. Subtitusi ๐ฃ2 ke persamaan (1)
๐ฃ0 โ ๐ฃ1 =๐
๐((1 + ๐)๐ sin ๐ผ
๐ +๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0) sin ๐ผ
๐ฃ0 โ ๐ฃ1 =(1 + ๐)๐ sin2 ๐ผ
๐ +๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0
๐ฃ0 โ(1 + ๐)๐ sin2 ๐ผ
๐ + ๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0 = ๐ฃ1
๐ +๐sin2 ๐ผ โ (1 + ๐)๐ sin2 ๐ผ
๐ + ๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0 = ๐ฃ1 โน ๐ฃ1 =
๐ โ ๐๐ sin2 ๐ผ
๐ +๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
d. Agar prisma diam sesudah tumbukan, kecepatannya harus bernilai nol, dari sini kita
peroleh
๐ฃ1 = 0 =๐ โ ๐๐ sin2 ๐ผ
๐ +๐ sin2 ๐ผ ๐ฃ0
๐ โ ๐๐ sin2 ๐ผ = 0 โน๐
๐= ๐ sin2 ๐ผ
e. Pendulum akan berotasi berotasi terhadap poros di langit-langit dimana tali
diikatkan.
Pendulum akan memiliki momentum sudut terhadap sumbu vertikal yang melalui
poros ini, besarnya adalah
๐ฟ = ๐๐ฃ2 sin ๐ผ ๐ sin ๐0 โน ๐ฟ =(1 + ๐)๐๐๐ฃ0๐ sin
2 ๐ผ sin ๐0๐ +๐sin2 ๐ผ
Syarat momentum sudut kekal pada suatu arah adalah tidak ada torsi luar yang
bekerja pada sistem untuk arah yang dimaksud terhadap sumbu rotasinya. Untuk
pendulum, torsi luar diberikan oleh gaya gravitasi dan gaya tegangan tali, namun
kedua gaya ini memberikan torsi yang arahnya tegak lurus dengan rotasi pendulum.
Alhasil momentum sudut pendulum akan kekal.
f. Syarat energi sistem kekal adalah tidak ada usaha yang dilakukan pada sistem oleh
gaya non konservatif. Pada sistem pendulum ini, dia mendapat gaya tegangan tali
yang tidak konservatif dan gaya gravitasi yang konservatif. Gaya gravitasi melakukan
usaha pada pendulum karena pendulum akan berubah posisi ketinggiannya dari
lantai namun usaha ini tidak membuat energi sistem hilang karena gaya gravitasi
merupakan gaya konservatif. Sedangkan gaya tegangan tali tidak memberikan usaha,
๐0
๐ฃ2
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
karena bola tidak bergerak pada arah yang searah dengan tali (tali tidak elastis)
sehingga dapat disimpulkan bahwa energi pendulum kekal semasa dia bergerak
melingkar, tentunya setelah ditumbuk oleh prisma.
Energi sistem pendulum ini dengan menjadikan poros di langit-langit sebagai acuan
energi potensila sama dengan nol adalah
๐ธ = โ๐๐๐ sin ๐0 +1
2๐๐ฃ2
2
๐ธ =(1 + ๐)2๐2๐sin2 ๐ผ
2(๐ + ๐ sin2 ๐ผ )2๐ฃ02 โ๐๐๐ sin ๐0
7. Sebuah struktur yang dapat berputar terdiri dari belah ketupat dengan panjang sisi ๐ฟ, 2๐ฟ
dan 3๐ฟ (lihat gambar). Titik ๐ด3 bergerak dengan kecepatan hozisontal tetap ๐ฃ0. Tentukan
kecepatan titik-titik ๐ด1, ๐ด2 dan ๐ต2 pada saat semua sudut-sudut struktur tersebut sama
dengan 900. Tentukan juga percepatan titik ๐ต2!
Pembahasan :
Kita jadikan poros pada dinding sebagai acuan. Tinjau saat sudut pada titik ๐ต1, ๐ต2, dan ๐ต3
adalah ๐. Posisi masing-masing titik adalah
titik ๐ด1 โน ๐1 = 2๐ฟ sin๐
2๐ฬ
titik ๐ด2 โน ๐2 = 6๐ฟ sin๐
2๐ฬ
titik ๐ด3 โน ๐3 = 12๐ฟ sin๐
2๐ฬ
titik ๐ต2 โน ๐B = 4๐ฟ sin๐
2๐ฬ + 2๐ฟ cos
๐
2๐ฬ
๐ฟ 2๐ฟ 3๐ฟ
๐ฃ0 ๐ฃ0 ๐ด1 ๐ด2 ๐ด3
๐ต1 ๐ต2
๐ต3
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
turunkan satu kali terhadap waktu akan kita peroleh kecepatan masing-masing titik
tersebut
titik ๐ด1 โน๐๐1๐๐ก
= ๐ฃ1 = ๐ฟ cos๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ
titik ๐ด2 โน๐๐2๐๐ก
= ๐ฃ2 = 3๐ฟ cos๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ
titik ๐ด3 โน๐๐3๐๐ก
= ๐ฃ3 = 6๐ฟ cos๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ
titik ๐ต2 โน๐๐๐ต๐๐ก
= ๐ฃ๐ต = 2๐ฟ cos๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ โ ๐ฟ sin
๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ
kita tahu bahwa titik ๐ด3 bergerak ke kanan dengan kecepatan ๐ฃ0 atau ๐ฃ3 = ๐ฃ0๐ฬ sehingga
๐ฃ0๐ฬ = 6๐ฟ cos๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ โน cos
๐
2
๐๐
๐๐ก=๐ฃ06๐ฟโน๐๐
๐๐ก=
๐ฃ06๐ฟ cos(๐/2)
Sehingga akan kita peroleh kecepatan masing-masing titik yaitu
titik ๐ด1 โน ๐ฃ1 =๐ฃ06๐ฬ โน ๐ฃ1 =
๐ฃ06
titik ๐ด2 โน ๐ฃ2 =๐ฃ02๐ฬ โน ๐ฃ1 =
๐ฃ02
titik ๐ต2 โน ๐ฃ๐ต =๐ฃ03๐ฬ โ
๐ฃ06tan
๐
2๐ฬ
saat ๐ = 900 akan kita peroleh tan(๐/2) = tan 450 = 1 sehingga
๐ฃ๐ต =๐ฃ03๐ฬ โ
๐ฃ06๐ฬ โน ๐ฃ๐ต = โ(
๐ฃ03)2
+ (โ๐ฃ06)2
โน ๐ฃ๐ต =โ5
6๐ฃ0
Untuk mendapatkan percepatan titik ๐ต2, turunkan ๐ฃ๐ต terhadap waktu satu kali
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ต =๐๐ฃ๐ต๐๐ก
= โ๐ฃ012sec2
๐
2
๐๐
๐๐ก๐ฬ
Subtitusi ๐๐/๐๐ก
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ต = โ๐ฃ012sec2
๐
2(
๐ฃ06๐ฟ cos(๐/2)
) ๐ฬ
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ต = โ๐ฃ02
72๐ฟsec3
๐
2๐ฬ
Saat ๐ = 900 kita peroleh sec(๐/2) = sec 450 = โ2 sehingga
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] www.officialsainsworld.wordpress.com Youtube Channel : Sainsworld Official
ID Line : mr_sainsworld Whatsapp : 0895-7010-02686 Facebook : Sainsworld Sainsworld Instragram : @sainsworld_official
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ต = โ๐ฃ02
72๐ฟ(โ2)
3๐ฬ
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ต = โโ2๐ฃ0
2
36๐ฟ๐ฬ โน ๐๐ต =
โ2๐ฃ02
36๐ฟ