2 Interpolasi Qu

8/16/2019 2 Interpolasi Qu

1/34

INTERPOLASI


2/34

• Pada bidang rekayasa (engineering), sering kitamemerlukan/memperkirakan suatu nilai yang terletak di antara nilai nilailain yang suda diketaui (data)!

• "ara untuk memperkirakan nilai diantara nilai nilai yang suda diketaui(data) ini disebut sebagai Interp#lasi!

• "ara Interp#lasi yang paling sering dipakai adala Interp#lasi Linier,dimana diasumsikan ba$a %ungsi yang mengubungkan antara nilainilai yang diketaui berbentuk %ungsi linier!

• "#nt#&'#nt# p#lin#m interp#lasi

• (a) #rde pertama (linear) mengubungkan dua titik

•

(b) #rde&kedua (kuadrat atau parab#la) mengubungkan tiga titik• (') #rde&ketiga (kubik) mengubungkn empat titik!


3/34

Interp#lasi Linier• *entuk inerp#lasi yang paling sederana adala mengubungkan dua titik

data dengan garis lurus! Teknik ini, yang dinamakan INTERPOLASI LINIER,dilukiskan se'ara gra+s dalam ambar berikut!

• "ara menulisan menun-ukan ba$a ini adala p#lin#m interp#lasi#rde&pertama!

• Peratikan ba$a disamping menyatakan kemiringan garis yangmengubungkan titik&titik, bentukadala perkiraan (apr#ksimasi) beda&ingga&terbagi dari turunan pertama!

• .mumnya, semakin ke'il selang diantara titik&titik data, semakin baikperkiraannya

( ) ( ) ( ) ( )

01

01

0

01

x x

x f x f

x x

x f x f

−

−=

−

−

x 0 x x 1

f(x 1 )

f(x)

f(x 0 )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

01

01

01 x x

x x

x f x f x f x f −

−

−+=

( ) x f 1

( ) ( )[ ] ( )0101

/ x x x f x f −−


4/34

Suatu '#nt# ika diketaui data sebagai 0123 %(0123) 2 1 dan 0324%(0324)2 3,5635767! *erapaka nilai perkiraan %(028)29

:ungsi di atas adala %ungsi Ln(0)! .ntuk nilai se-ati

Adala Ln(8) 2 1,46;3esalaan (err#r) sebesar


5/34

Interp#lasi >uadrat (#rden28)

• Err#r (>esalaan) dari '#nt# di atas 'ukup besar disebabkan #le

kenyataan ba$a kur@a didekati (appr#0imated) dengan garis lurus! Strategiuntuk memperbaiki perkiraan adala memperkenalkan suatu kelengkunganke garis yang mengubungkan titik&titik tersebut! ika tersedia TIGA titikdata, ini dapat dilaksanakan dengan POLINOM ORDE DUA (-uga disebutP#lin#m >uadrat atau Parab#la)! *entuk persamaan interp#lasi kuadrat iniadala

• Persamaan interp#lasi ini selalu melalui titik titik data (dalam al inipersamaan interp#lasi ini selalu melalui tiga titik data yang diketaui)!engan melakukan subtitusi ba$a persamaan interp#lasi tersebut melaluititik titik data

• Belalui titik C01, %(01)D akan mengasilkan

• Belalui titik C03, %(03)D akan mengasilkan

•Belalui titik C08, %(08)D akan mengasilkan

( ) ( ) ( ) ( )1020102 x x x xb x xbb x f −−+−+=

( )00 x f b =

( ) ( )

01

01

1 x x

x f x f b

−

−=

( ) ( ) ( ) ( )

02

01

01

12

12

2 x x

x x

x f x f

x x

x f x f

b −

−

−−

−

−

=


6/34

"#nt#

PERSAMAAN INTERPOLASINYA adala

.ntuk nilai 0 2 8, maka HASIL INTERPOLASINYA adala (Berlaku untuk1


7/34

"#nt#

PERSAMAAN INTERPOLASINYA adala

.ntuk nilai 0 2 =, maka HASIL INTERPOLASINYA adala (Berlaku untuk%


8/34

Interp#lasi P#lin#mialPersamaan Interp#lasi ORDE n adala

.ntuk P'ln'( 'r)e ke*n, diperlukan n+1 ttk*ttk )ata

.ntuk POLINOM ORDE ,, maka persamaan interp#lasinya adala

Nla -ara(eter .&/ .1/ )an .0 a)ala 2a(a )en3an -ara(eter

untuk P'ln'( 4ua)rat! .ntuk nilai parameter b; adala

( ) ( ) ( )( ) ( )110010 ...... −−−−++−+= nnn x x x x x xb x xbb x f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21031020103

x x x x x xb x x x xb x xbb x f −−−+−−+−+=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

03

02

01

01

12

12

13

12

12

23

23

3 x x

x x

x x x f x f

x x x f x f

x x

x x x f x f

x x x f x f

b−

−

−−−

−−

−−

−−−

−−

=


9/34

• ari parameter b1, b3, b8 dan b; dapat diliat ba$a nilai b3 adala

beda ingga dari turunan pertama, b8 adala beda ingga dari

turunan ke dua, dan b; adala beda ingga dari turunan ke tiga!

•

engan prinsip ba$a -er2a(aan nter-'la2 2elalu (elaluttk ttk )ata 5an3 )3unakan untuk (eru(u2kan-er2a(aan nter-'la2n5a, maka nilai parameter b1, b3, b8 dan b;

dapat di ketaui sebagai berikut

• di mana peritungan %ungsi dalam kurung siku adala beda&terbagiingga! Bisalnya, beda terbagi hingga pertama (frst fnitedevided dierence) dinyatakan se'ara umum sebagai

( )00 x f b =

( )011 , x x f b =( )0122 ,, x x x f b =

[ ]011

,,...,, x x x x f b nnn −=

[ ] ( ) ( )

ji

ji

ji

x x

x f x f x x f

−

−=,


10/34

• Beda terbagi hingga kedua, yang menggambarkan perbedaan daridua beda terbagi pertama, diungkapkan se'ara umum sebagai

• emikian pula, beda terbagi hingga ke-n adala

[ ]

( ) ( )

k i

k j ji

k ji x x

x x f x x f x x x f

−

−

=

,,,,

[ ] ( ) ( )

0

0211011

,...,,,...,,,,...,,

x x

x x x f x x x f x x x x f

n

nnnnnn

−

−=

−−

−


11/34

• engan menggunakan k#e+sien asil peritungan beda inggatersebut, maka persamaan interp#lasinya adala

• "#nt#

• *eda Ginga >edua adala

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]012100100

,,, x x x f x x x x x x f x x x f x f n −−+−+=

( )( ) ( ) [ ]01110 ,....,,...... x x x f x x x x x x nnn −−−−−++

# ,"#$

F123 1

F32< 3,;=486


12/34

• *eda Gingga ketiga adala

( ) ( )

0078655415,015

051873116,0020410950,0,,,

0123 =

−

−−−= x x x x f


13/34

Tingkat >esalaan Interp#lasiP#lin#m

• Peratikan ba$a struktur Persamaan Interp#lasi P#lin#m serupadengan uraian deret Tayl#r dalam arti ba$a suku&sukunyaditambakan se'ara sekuensial supaya menangkap perilaku #rdeyang lebi tinggi dari %ungsi yang mendasarinya!

• Suku&suku ini adala beda ingga dan karena itu menyatakanampiran dari turunan&turunan dari #rde yang lebi tinggi!Akibatnya, serupa dengan deret Tayl#r, ika %ungsi se-ati yang

dimaksudkan adala p#lin#m #rde ke&n, maka p#lin#m interp#lasi#rde ke&n yang didasarkan pada n H 3 titik&titik data akanmenun-ukan asil yang eksak!

• emikian pula, seperti alnya dengan deret Tayl#r, dapat diper#lerumus untuk kesalaan perp#t#ngan (truncation error )! Ingatkembali Persamaan interp#lasinya ba$a err#r perp#t#ngan untuk

deret Tayl#r se'ara umum dapat diungkapkan sebagai ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )nn

n x x x x x xn

f R −−−+

=

+

...!1

10

1 ξ


14/34

• Rumus alternati% untuk tingkat kesalaan (err#r) yang tidakmensyaratkan pengetauan sebelumnya mengenai %ungsi! Rumustersebut memakai beda terbagi ingga untuk mengampiriturunan yang ke (n H 3)

• di mana adala beda terbagi ingga

yang ke (n H 3)! >arena Persamaan di atas mengandung

yang tidak diketaui, ia tidak dapat dipe'aan peritungan err#r

nya! Namun, -ika ada titik data tambaan , Persamaan di atas

dapat digunakan untuk menaksir galat, seperti dalam

[ ]( ) ( ) ( )nnnn x x x x x x x x x x f R −−−= − ...,....,,, 1001

[ ]( )( ) ( )nnnnn x x x x x x x x x x f R −−−≅ −+ ...,....,,, 10011

[ ]01 ,,, x x x x f nn −( ) x f

( )1+n x f


15/34

Interp#lasi Lagrange• P#lin#m Interp#lasi Lagrange anyala perumusan ulang dari

p#lin#m Ne$t#n yang mengindari k#mputasi beda&beda terbagi!Se'ara singkat ia dapat dinyatakan sebagai

• engan

• imana #perat#r menun-ukan JasilkaliK (-r')ut '! )! DanLi (x) a)ala O-erat'r La3ran3e!

•

.ntuk interp#lasi #rde ; (n2;), maka Operat#r Lagrange adala (Idan - adala dari 1 sampai ;)

• i21 L0(x) 2

( ) ( ) ( )∑=

=n

i

iin x f x L x f 0

( ) ∏≠

= −−=

n

i j

j ji

ji

x x x x x L

0

( )

−−

−−

−−

−−

=30

3

20

2

10

1

00

0

0 ...

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x L


16/34

• i21 L0(x) 2

• i23 L1(x) 2

• i28 L2(x) 2

• i2; L3(x) 2

( )

−

−

−

−

−

−

−

−=

31

3

21

2

11

1

01

0

1 ...

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x L

( )

−−

−−

−−

−−

=32

3

22

2

12

1

02

0

2 ...

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x L

( )

−−

−−

−−

−−

=33

3

23

2

13

1

03

0

3 ...

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x L

( )

−

−

−

−

−

−

−

−

= 303

20

2

10

1

00

0

0 ...

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x x L

( ) ∏≠

= −

−=

n

i j

j ji

j

i x x

x x x L

0


17/34

• .ntuk Inter-'la2 Or)e 1 "Lner$/ maka persamaan interp#lasinya adala

• .ntuk Inter-'la2 Or)e 0 "4ua)rat$, maka persamaaninterp#lasinya adala

• .ntuk Inter-'la2 Or)e , "4u.$, maka persamaaninterp#lasinya adala

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )2

1202

101

2101

200

2010

212 x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f

x x x x

x x x x x f

−−

−−+

−−

−−+

−−

−−=

( ) ( ) ( )101

0

0

10

11 x f

x x

x x x f

x x

x x x f

−

−+

−

−=

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) +

−−−

−−−+

−−−

−−−= 1

312101

3200

302010

3213 x f

x x x x x x

x x x x x x x f

x x x x x x

x x x x x x x f

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( )( ) ( )3

231303

210

2

321202

310

x f x x x x x x

x x x x x x

x f x x x x x x

x x x x x x

−−−

−−−

+−−−

−−−

+


18/34

"#nt# Perkirakan %;(0237) dengan menggunakanLagrange Interp#lati#n!

a$ab .ntuk persamaan interp#lasi #rde n2;diperlukan < titik data! Seingga untuk nilai0237 bisa digunakan nilai data dari 027 s/d0281 atau untuk data dari 025 s/d 0287!

Bisal digunakan data dari 027 s/d 0281 , maka

X 7"X$

3 1,;

F127 1,4

F325 1,=

F823

1

3,8

F;28

1

3,5

87 8,8( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) +

−−−

−−−+

−−−

−−−== 8,0

20710757

201510155156,0

20510575

20151015715153 x f

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) 784,17,11020720520

1015715515

2,12010710510

2015715515=

−−−

−−−+

−−−

−−−+


19/34


20/34


21/34


22/34


23/34


24/34


25/34


26/34


27/34


28/34


29/34


30/34


31/34


32/34


33/34


34/34

Date post:	05-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	dheni-prasetia
View:	222 times
Download:	0 times

2 Interpolasi Qu

Documents