Linear Programming Sederhana

Linear Programming Sederhana Linear programming sederhana menggunakan grafik

untuk menemukan solusi model. Syarat solusi grafik hanya untuk dua variabel

keputusan (x dan y atau x1 dan x2). Jika variabel keputusan lebih dari dua variabel maka

jalan terbaik adalah menggunakan komputer untuk menemukan solusi model.

Langkah Program Linear Sederhana Memahami masalah yang terjadi Menentukan apa yang dianggap sebagai variable x

dan y, Membuat model matematika fungsi objektif Membuat model matematika kendala/pembatasan

masalah, Menggambar daerah himpunan penyelesaian, Menentukan hasil optimum.

Menentukan Himpunan Penyelesaian

Nilai A Tanda ContohPositif (+)Ax + By + C

> atau ≥

< atau ≤

x + y ≥ 5

5

5

x + y ≤ 5

5

5

Menentukan Himpunan Penyelesaian

Nilai A Tanda ContohNegatif (-)Ax + By + C

> atau ≥

< atau ≤

-x - y ≥ -5

5

5

-x - y ≤ 5

5

5

Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif1. Pengunaan Garis Selidik

Jika fungsi objektif ƒ(x, y) = Ax + By + C, Nilai maksimum titik pojok/garis batas paling kanan

yang dilintasi garis selidik.Nilai minimum titik pojok/garis batas paling kiri

yang dilintasi selidik.

2. Pengujian Titik PojokFungsi objektif ƒ (x,y) = Ax + By + C dimasukkan

seluruh koordinat titik pojokhasil yang terbesar Nilai maksimumhasil yang terkecil Nilai minimum

Contoh Kasus Maksimasi

Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung paling banyak 58 bus atau 58 mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp. 500 dan bus Rp. 750. Jika tempat parkir itu penuh, hasil dari biaya parkir maksimum adalah…

Menentukan Variabel x dan y

Jenis Tempat Biaya ParkirMobil (x) 6 m2 Rp. 500Bus (y) 24 m2 Rp. 750Kapasitas ( ≤ 58) ≤ 600 m2

Pembuatan Model Linear

Target memaksimalkan biaya parkir

f (x , y) = 500x + 750y

Dengan kendala: x + y ≤ 58 (Garis 1)

6x + 24y ≤ 600 (Garis 2)

Garis 1: memotong x = 58 dan y = 58

Garis 2: memotong x = 600/6 = 100

memotong y = 600/24 = 25

Solusi Grafis

Garis 1Garis 2

10058

58

25

0

Titik potong garis 1 dan garis 2 dengan cara eliminasi x + y =58 dengan x + 4y = 100.

Didapat titik (44, 14)

Daerah

Penyelesaian

Garis Selidik

Garis 1Garis 2

10058

58

25

0

(44, 14)

Daerah

Penyelesaian

500x + 750y 50x + 75y

Titik potong sumbu x = 75

Titik potong sumbu y = 50

Solusi Titik Pojok

Titik Pojok 500x + 750y

(0, 25) 18.750

(58, 0) 29.000

(44, 14) 32.500

Jadi hasil dari biaya parkir maksimum adalah Rp. 32.500 untuk 44 mobil dan 14 bus.

Variabel Slack (Pengurang) Variabel slack menunjukkan jumlah sumberdaya

yang tidak terpakai. Dari kasus lahan parkir, keuntungan maksimum

terjadi ketika 44 mobil dan 14 bus parkir. Walaupun mencapai keuntungan maksimum, tetap

saja ada sumberdaya yang tidak terpakai. Contoh:6x + 24y + s ≤ 600 6(44) + 24(14) + s ≤ 600

s + 600≤ 600 s = 0 m2 lahan yang tidak terpakai

Latihan

Produk Tenaga Kerja (Jam/unit)

Material(ons/unit)

Laba($/unit)

Mangkok 1 4 40

Cangkir 2 3 50

Batasan 40 jam 120 ons

Carilah berapa keuntungan maksimum

Contoh Kasus Minimasi

Sebuah peternakan memproduksi susu dan keju. Order minimum dari supermarket harus dipenuhi. Dalam sehari, supermarket memesan 16 liter susu dan 24 kg keju. Peternakan tersebut memiliki dua peternakan dengan biaya produksi $ 6 untuk peternakan 1 dan $3 untuk peternakan 2. Peternakan 1 menghasilkan 2 liter susu dan 4 kg keju setiap jamnya. Sedangkan peternakan 2 menghasilkan 4 liter susu setiap dan 3 kg keju setiap jamnya. Berapa biaya produksi yang minimum agar order minimum dari supermarket dapat terpenuhi?

Menentukan Variabel x dan y

Produk Susu(liter/jam)

Keju(kg/jam)

Biaya($/jam)

Peternakan 1 2 4 6

Peternakan 2 4 3 3

Batasan Minimal 16 liter 24 kg

Pembuatan Model Linear

Minimalkan: C = 6x1 + 3x2

Dengan kendala: 2x1 + 4x2 ≥ 16

4x1 + 3x2 ≥ 24

x1, x2 ≥ 0

Solusi Grafis

4x1 + 3x2 = 242x1 + 4x2 = 16

(8, 0)6

(0, 8)

4

0

Daerah

Penyelesaian

x1

x2

(4.8, 1.6)

Garis Selidik

4x1 + 3x2 = 24

6x1 + 3x2

Titik potong x1 = 3

Titik potong x2 = 6

(8,0)6

0, 8

4

0

Daerah

Penyelesaian

(4.8, 1.6)

x1

x2

2x1 + 4x2 = 16

Solusi Titik Pojok

Titik Pojok 6x1 + 3x2

(0, 8) 24

(4.8, 1.6) 33.6

(8, 0) 48

Jadi hasil dari biaya penggunaan peternakan adalah $24 dengan menggunakan Peternakan 1 selama 0 jam dan Peternakan 2 selama 8 jam.

Solusi Majemuk

Kasus:

Maksimalkan π = 40x1 + 30x2

Dengan kendala :

x1 + 2x2 ≤ 40

4x1 + 3x2 ≤ 120

x1, x2 ≥ 0

Solusi Optimal Majemuk6x1 + 3x2

Titik potong x1 = 3

Titik potong x2 = 6

30 40

40

0

Daerah

Penyelesaian

8, 24

x1

x2

20

Model Tidak Bisa Diselesaikan

Kasus:

Maksimalkan π = 5x1 + 3x2

Dengan kendala :

4x1 + 2x2 ≤ 8

x1 ≥ 120

x2 ≥ 6

x1,x2 ≤ 0

Grafik Model Tidak Bisa Diselesaikan

2 4

40

0

Daerah

Penyelesaian

8, 24

x1

6

4