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2. Movimiento Ondulatorio

2-1

2. MOVIMIENTO ONDULATORIO

Cuando golpeamos una campana ó encendemos una radio, el sonido se oye en

puntos distantes de la campana ó de la radio. El sonido se ha transmitido a través del aire. Si estamos en la playa y un bote pasa velozmente a cierta distancia de la orilla sentimos al cabo del tiempo la onda producida por su movimiento. Cuando se enciende la lámpara del cuarto, éste se ilumina. Aunque el mecanismo físico puede ser diferente para cada uno de los procesos mencionados todos ellos tienen una característica en común, son perturbaciones físicas producidas en un punto del espacio que se propagan a través del mismo y que se reciben en otro punto. Todos estos procesos son ejemplos del movimiento ondulatorio cuya característica esencial es que en él se transmite una propiedad de un lugar a otro a través de un medio, pero el medio en sí mismo no se traslada, es decir no se traslada masa sino energía. 2.1 Descripción matemática del movimiento ondulatorio

Pasemos a describir matemáticamente este fenómeno. Consideremos una

función ξ=f(x) representada gráficamente por la curva de la figura 2.1. Si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función ξ=f(x-a). Evidentemente la forma de la curva no ha cambiado sino que se ha transladado sin deformación hacia la derecha, si a es positiva, una cantidad a. Análogamente ξ=f(x+a) corresponde a un desplazamiento hacia la izquierda. Si hacemos a=vt donde t es el tiempo, obtenemos una curva viajera; esto es ξ=f(x-vt) representa una curva que se mueve hacia la derecha con velocidad v, llamada velocidad de fase.

Figura 2.1. Función matemática que se desplaza con el tiempo sobre el eje x a una velocidad v

Podemos concluir entonces que la expresión matemática

)(),( vtxftx ±=ξ [2.1]

es adecuada para describir una situación física que se propaga sin deformación en el eje X; este es el llamado movimiento ondulatorio. La cantidad ξ=f(x,t) puede representar diversas cantidades físicas, tales como la deformación en un sólido, la presión de un gas, un campo eléctrico ó magnético, etc.


2-2

En una onda la perturbación puede ser perpendicular ó paralela a la dirección de propagación. Según esto distinguimos entre ondas transversales, donde la perturbación física es perpendicular a la dirección de propagación, caso del campo electromagnético, y ondas longitudinales con la perturbación paralela a la dirección de propagación, caso por ejemplo del sonido. Existen casos de movimientos ondulatorios combinación de transversales y longitudinales, como por ejemplo las ondas superficiales del agua tal y como se muestra en la figura 2.2. Podemos tambien tener una onda que ocupa todo el eje X, denominada onda continua, ó una onda que empieza y acaba en puntos determinados del espacio que se denomina tren de ondas ó pulso, esquematizadas ambas en la figura 2.3.

2.2 Movimiento ondulatorio armónico Un caso especialmente interesante es aquel en el que ξ=f(x,t) es una funcional sinusoidal ó armónica tal como )(),( 0 vtxsenktx −= ξξ [2.2]

donde ξ0 es la amplitud y la cantidad k tiene un significado especial. Reemplazando el valor de x por x+ k

π2 obtenemos para ξ=f(x,t) el mismo valor

)(

)2)(()2

()2

( 00

vtx

vtxksenvtk

xsenkvtk

x

−=

=+−=−+=−+

ξ

πξπ

ξπ

ξ [2.3]

es decir

kπ

λ2

= [2.4]

Figura 2.2. Ondas superficiales en el agua combinación de ondas transversales y longitudinales

Figura 2.3.a. Onda continua ocupando todo el eje x

Figura 2.3.b. Onda limitada a una zona del espacio denominada tren de ondas ó pulso


2-3

es el periodo espacial de la curva 2.4 que representa la ecuación [2.2]. Esto es, la curva se repite cada longitud λ que recibe el nombre de longitud de onda. Entonces la cantidad λ

π2=k representa

el número de longitudes de onda en la distancia 2π y se denomina número de onda. Por consiguiente [2.2] representa una onda sinusoidal de longitud de onda

λ propagándose hacia la derecha según el eje X con velocidad v tal y como se muestra en la figura 2.5 donde se observa como un punto de fase constante, en este caso notado como B, se desplaza hacia la derecha del eje X.

Figura 2.5. Propagación de la onda según el eje X con una velocidad v. Se observa como un punto de

fase constante, en este caso notado como B, recorre una distancia igual a una longitud de onda λ en un

tiempo f-1.

Figura 2.4. Movimiento ondulatorio armónico


2-4

La ecuación [2.2] puede escribirse también en la forma )(),( 0 tkxsentx ωξξ −= [2.5]

donde

λπ

ωv

kv2

== [2.6]

da la frecuencia angular de la onda. Puesto que sabemos que fπω 2= donde f es la

frecuencia con la cual la perturbación física varía en cada punto llegamos a la relación vf =λ [2.7] que liga la longitud de onda con la frecuencia y la velocidad de propagación del movimiento ondulatorio. Es decir la onda sinusoidal se propaga, puntos de fase constante, una longitud λ en un tiempo f-1. En el capítulo anterior vimos que según el teorema de Fourier, cualquier movimiento periódico se puede expresar como superposición de movimientos armónicos simples de frecuencias ω, 2ω, 3ω,….., nω,… El mismo resultado se aplica al movimiento ondulatorio periódico de tal forma que el movimiento ondulatorio descrito por )( vtxf −=ξ puede expresarse como

....)(......)(2)(....)(cos

......)(2cos)cos()(

21

210

+−+++−+−++−+

++−+−+=−=

tkxsennbtkxsenbtkxsenbtkxna

vtkxatkxaavtxf

n

n

ωωωω

ωωξ [2.8]

lo cual indica que cualquier movimiento ondulatorio periódico se puede expresar como una superposición de movimientos ondulatorios armónicos de frecuencias ω, 2ω, …., nω,.. y longitudes de onda λ,λ/2,…, λ/n,… Debido a este resultado es importante comprender el movimiento ondulatorio armónico a fín de entender el movimiento ondulatorio en general. 2.3 Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio El proceso físico que gobierna el movimiento ondulatorio estará regido por leyes dinámicas, características de cada proceso, y que pueden expresarse en forma de ecuaciones diferenciales, tal y como ya vimos para el movimiento oscilatorio. Nos proponemos en este apartado encontrar una ecuación diferencial aplicable a todo tipo de movimiento ondulatorio de tal forma que cada vez que


2-5

veamos que una magnitud física satisface tal ecuación podemos estar seguros que se propaga a través del espacio con velocidad definida y sin distorsión. La ecuación diferencial que describe el movimiento ondulatorio que se propaga a una velocidad v y sin distorsión según las direcciones –X ó +X es

2

22

2

2

xv

t ∂∂

=∂∂ ξξ

[2.9]

La solución general de esta ecuación tiene la forma )()(),( 21 vtxfvtxftx ++−=ξ [2.10] que son dos movimientos ondulatorios que se propagan en la misma dirección pero en sentidos opuestos. Verificando este hecho para el caso concreto de una onda armónica )(0 vtxsenk −= ξξ

)(),(cos

);(),(cos

022

2

2

0

02

2

2

0

vtxsenkvkt

vtxkkvt

vtxsenkkx

vtxkkx

−−=∂∂

−−=∂∂

−−=∂∂

−=∂∂

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

[2.11]

cumpliéndose la ecuación diferencial [2.9]. 2.4 Velocidades de ondas en medios específicos A fín de comprender mejor las ideas fundamentales del movimiento ondulatorio en este apartado discutiremos ciertos tipos de ondas más o menos familiares 2.4.1 Ondas transversales en una cuerda. Consideremos el caso de una cuerda sometida a una tensión T. En condiciones de equilibrio la cuerda está en línea recta. Desplazemos la cuerda perpendicularmente a su longitud una pequeña cantidad como se muestra en la figura 2.6. La porción AB de la cuerda de longitud dx se desplaza de su posición de equilibrio una distancia ξ. En cada extremo del segmento actúa una fuerza tangencial T. Debido a la curvatura de la cuerda, estas fuerzas no son directamente opuestas

La fuerza resultante según el eje Y sobre el segmento AB de la cuerda es )´( αα sensenTFy −= [2.12]


2-6

Figura 2.6. Diagrama de fuerzas en una cuerda desplazada perpendicularmente a su longitud

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande α y α´ son pequeños y sus senos pueden reemplazarse por sus tangentes. De modo que la fuerza hacia arriba es

dxtgx

TtgtgTFy )()´( ααα∂∂

=−= [2.13]

y dado que tgα es la pendiente de la curva formada por la cuerda que es igual a x∂

∂ξ

obtenemos

dxx

TFy 2

2

∂∂

=ξ

[2.14]

y utilizando la 2º ley de Newton, siendo µ la densidad lineal de la cuerda y la

aceleración 2

2

t∂∂ ξ

dxx

Tt

dx 2

2

2

2

)(∂∂

=∂∂ ξξ

µ es decir

2

2

2

2

xT

t ∂∂

=∂∂ ξ

µξ

[2.15]

La perturbacion, que cumple la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio, se propaga de forma transversal a lo largo de la misma, y siempre que la amplitud del desplazamiento sea pequeña, con una velocidad

µT

v = [2.16]


2-7

2.4.2 Ondas elásticas longitudinales en una barra. Consideremos una barra de sección transversal uniforme A, sujeta a una fuerza F según su eje. El esfuerzo normal ó tensión se define como A

F=σ relacionada con la deformación unitaria ll∆=ε por

la ley de Hooke εσ E= donde E es el modulo de Young del material que forma la barra. Bajo la acción de F, la sección de la barra experimenta un desplazamiento ξ paralelo al eje, es decir tenemos una onda longitudinal. Si este desplazamiento es el mismo en todos los puntos, no se produce deformación de la barra sino simplemente un desplazamiento en conjunto de la misma. Estamos interesados en el caso en el que se produce deformación, es decir ξ varía a lo largo de la barra dependiendo su valor de x. Consideremos 2 secciones A, sobre la que actúa una fuerza F, y A´, sobre la que actúa una fuerza F´,separadas una distancia dx en el estado de equilibrio tal y como se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.7. Diagrama de fuerzas en una barra sometida a una deformación longitudinal

Cuando la fuerza F se manifiesta, la sección A se desplaza la distancia ξ y la

sección A´ la distancia ξ´. Luego la separación entre A y A´ en el estado de deformación vale

ξξξ ddxdx +=−+ )´( [2.17]

Por tanto la deformación unitaria de la barra en dx es

x∂∂

=ξ

ε [2.18]

Introduciendo este valor en la ley de Hooke obtenemos

xEAF

∂∂

=ξ

[2.19]

La fuerza neta que actúa sobre esta sección de barra, de masa dm=ρAdx,

siendo ρ la densidad del material, es dF=F-F´= dxxF

∂∂

. La aceleración de esta masa


2-8

es igual a 2

2

t∂∂ ξ

. Por tanto, la 2º ley de Newton aplicada a esta sección de barra

queda

2

2

tA

xF

∂∂

=∂∂ ξ

ρ [2.20]

que combinada con la ecuación [2.19] da lugar a

2

2

2

2

xE

t ∂∂

=∂∂ ξ

ρξ

[2.21]

con lo que la velocidad de propagación de las ondas elásticas longitudinales en la barra es igual a

ρE

v = [2.22]

2.5 Energía e intensidad de una onda En todas las ondas analizadas hasta ahora, la propagación de la onda da lugar a un movimiento de partículas (átomos ó moléculas) del medio a través del cual viaja la onda, pero en promedio las partículas permanecen en su posición de equilibrio. Como ya ha sido mencionado, en un movimiento ondulatorio no es materia lo que se propaga sino una condición física descrita en términos de energía y cantidad de movimiento. Se afirma entonces que cuando una onda se propaga a través de un medio transmite energía y cantidad de movimiento. Consideremos el caso de las ondas armónicas donde el desplazamiento del equilibrio viene dado por )(0 wtkxsen −= ξξ . Para una posición x dada tenemos la

ecuación de un oscilador armónico. Recordando el resultado de la energía total de un oscilador y utilizando la densidad ρ en lugar de la masa total tendremos que la energía por unidad de volumen ó densidad de energía u asociada al movimiento ondulatorio viene dada por la ecuación

20

2

21

ξρω=u [2.23]

y se mide en Jm-3. El transporte de energía por una onda se describe habitualmente en función de la intensidad de la onda I definida como la energía que fluye por unidad de tiempo a través de un área unitaria perpendicular a la dirección de propagación


2-9

uvI = [2.24] donde v es la velocidad de propagación de la onda. La intensidad de la onda se expresa en Js-1m-2=W m-2, es decir equivalente a potencia por unidad de área. Para una onda armónica y utilizando [2.23] llegamos a

vI 20

2

21

ξρω= [2.25]

indicando que en una onda armónica, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud. 2.6 Ondas en dos y tres dimensiones

Aunque )( vtxf −=ξ representa un movimiento ondulatorio que se propaga según el eje X, no tenemos necesariamente que interpretarla como una onda concentrada según ese eje. Si la perturbación física descrita por ξ se extiende sobre todo el espacio, tenemos que en el tiempo t dado, ξ toma el mismo valor para todos los puntos r de abcisa x. Pero x=cte representa un plano perpendicular al eje X, como se muestra en la figura 2.8, denominado frente de onda. Por lo tanto )(),( vtxft −=rξ

describe en tres dimensiones una onda plana, frente de ondas plano, que se propaga paralela al eje X. Observemos que lo característico de una onda plana es la dirección de propagación que se indica con un vector u perpendicular al plano de la onda. Si r es el vector de posición de cualquier punto P del frente de ondas, tenemos que x=u.r y podemos escribir

).(),( vtft −= rurξ [2.26]

Cualquiera que sea la dirección de

u, figura 2.9, la cantidad u.r es siempre la

Figura 2.8. Onda en tres dimensiones propagándose según el eje X

Figura 2.9. Onda en tres dimensiones propagándose según una dirección arbitraria


2-10

distancia medida desde el origen O según la dirección de propagación. Por lo tanto la ecuación [2.26] representa una onda plana que se propaga en la dirección u.

En el caso de una onda plana armónica propagándose en la dirección u, escribimos )(),( 0 vtsenkt −= u.rr ξξ [2.27]

y definiendo un vector k=k.u denominado vector propagación ó vector de onda )()(),( 00 tzkykxksentsent zyx ωξωξξ −++=−= k.rr [2.28]

El vector propagación k tiene por módulo λ

π2=k y apunta en el sentido de la

propagación. Sus componentes satisfacen la relación

2

2222

vkkk zyx

ω=++ [2.29]

Cuando la propagación tiene lugar en un espacio tridimensional, la ecuación diferencial de onda se convierte en

ξξξξξ 222

2

2

2

2

22

2

2

∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

vzyx

vt

[2.30]

Las ondas planas [2.27] ó [2.28], aunque contienen las tres coordenadas x, y, z, son en realidad monodimensionales ya que la propagación es según una dirección particular, y la situación física es la misma en todos los planos perpendiculares a esa dirección. En la naturaleza hay sin embargo otras clases de ondas que se propagan en varias direcciones siendo las más interesantes las ondas cilíndricas y las ondas esféricas, figura 2.10.

2.6.1 Ondas esféricas. Cuando la perturbación originada en un punto se propaga con la misma velocidad en todas la direcciones del espacio, medio isótropo, las ondas resultantes son esféricas. Los frentes de onda, definidos como el lugar geométrico de los puntos del espacio que para el mismo tiempo presentan igual fase, son esferas concéntricas respecto al punto donde se originó la perturbación, figura 2.10. Según nos alejamos del origen de la onda, el área del frente de ondas aumenta con el cuadrado del radio. Este hecho sugiere, dada la necesaria conservación de la energía y la dependencia de ésta con el cuadrado de la amplitud, que la amplitud de la onda debe disminuir con la distancia r al origen. Utilizando coordenadas esféricas para expresar la ecuación diferencial de ondas [2.30] y su solución, y asumiendo una simetría esférica, se demuestra que una onda esférica viene dada por la expresión.


2-11

)(1

),( vtrfr

tr −=ξ [2.31]

En el caso de que la velocidad de propagación no sea la misma en todas las

direcciones hablaremos de un medio anisótropo. 2.6.2 Ondas cilíndricas. En este caso los frentes de onda son cilindros

coaxiales paralelos a una línea dada, que podemos situar en el eje Z y por tanto perpendiculares al plano XY, figura 2.10. Un ejemplo de estas ondas sería la producida por una serie de fuentes distribuidas uniformemente a lo largo de un eje, ó las ondas de presión generadas en el aire por un cuerda larga. De nuevo consideraciones energéticas nos permiten intuir que la amplitud de la onda debe disminuir al aumentar la distancia ρ al eje. La solución exacta a la ecuación diferencial de ondas en coordenadas cilídricas asumiendo simetría cilíndrica tiene la forma de las funciones de Bessel. Si consideramos grandes distancias ρ respecto al eje del cilindro, la ecuación de una onda armónica cilíndrica puede aproximarse por la expresión

)(),( 0 tksent ωρρ

ξρξ −= [2.32]

Un ejemplo particular de las ondas cilíndricas serían las ondas circulares que

se dan cuando la onda se propaga sobre una superficie, como por ejemplo una membrana ó la superficie libre de un líquido.

Figura 2.10. a) Ondas cilíndricas donde los frentes de onda son cilindros con eje Z y donde, para

grandes distancia respecto al eje, la amplitud de la onda disminuye con la raiz de la distancia al mismo.

b) Ondas esféricas donde los frentes de ondas son esferas con centro en el origen de la perturbación y

la amplitud de la onda disminuye con la distancia al origen.


2-12

2.7 Superposición de ondas La forma resultante del encuentro de dos ondas en el espacio puede determinarse como la suma de las perturbaciones producidas por cada onda separadamente. Este principio de superposición es una propiedad del movimiento ondulatorio que expresa lo siguiente: cuando dos ó más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebráica de las ondas individuales. Este fenómeno recibe el nombre genérico de interferencia y resulta de la linealidad de la ecuación diferencial de ondas; si ξ1 y ξ2 son soluciones de la ecuación de onda, la combinación lineal ξ3=C1ξ1+C2ξ2, siendo C1 y C2 constantes arbitrarias, también es solución. Consideremos el caso de la interferencia de dos ondas armónicas planas de igual amplitud y frecuencia. Sean las ondas armónicas

)(

)(

02

01

δωξξωξξ

+−=−=

tkxsentkxsen

[2.33]

donde δ es la constante de fase de la 2º onda.

Por tanto, las ondas 1 y 2 difieren en fase δ y, dado el principio de superposición previamente expuesto, la onda resultante es la suma )()( 0021 δωξωξξξ +−+−=+ tkxsentkxsen [2.34]

que utilizando identidades trigonométricas queda

)21

()21

cos2( 021 δωδξξξ +−=+ tkxsen [2.35]

La interferencia de las dos ondas da lugar a otra onda armónica, con igual frecuencia ω y número de ondas k, y amplitud dependiente de la diferencia de fase

entre ondas según la expresión δξ21

cos2 0 . Bastará por tanto analizar cual es la

diferencia de fase entre las dos ondas para poder determinar completamente la onda resultante.

Cuando δ=2πn, figura 2.11.a, las dos ondas están en fase, la amplitud de la

onda resultante es máxima e igual 2ξ0, dado que nos queda 1cos2

2cos == π

πn

n, y se

dice que tenemos una interferencia constructiva.


2-13

Si δ=(2n+1)π, figura 2.11.b, las dos ondas están en contrafase, la amplitud de la

onda resultante es cero, 02

)12(cos =

+ πn, y tenemos una interferencia destructiva.

(a)

(b)

Figura 2.11. (a) Interferencia constructiva, diferencia de fase δ=2πn, y (b) destructiva, diferencia de fase

δ=(2n+1)π, de dos ondas armónicas de igual frecuencia y amplitud

Una causa corriente que origina diferencias de fase entre dos ondas es la diferencia de longitudes de los trayectos que deben recorrer desde su fuente hasta el punto donde se produce la interferencia. Supongamos dos fuentes que están emitiendo ondas armónicas de igual frecuencia y longitud de onda y que están oscilando en fase, tal y como se esquematiza en la figura 2.12. Sus ondas esféricas vendrán dadas por

[2.36]

donde r1 y r2 son las distancias desde cualquier punto a las fuentes puntuales S1 y S2. La diferencia de fase para estas dos funciones de onda es

rkrkr ∆=−=λπ

δ2

21 [2.37]

Si la diferencia de camino recorrido es igual a un número entero

Figura 2.12. Fuentes 1 y 2 emitiendo ondas armónicas en fase y de igual frecuencia e interfiriendo en el punto P de forma constructiva en (a) y destructiva en (b). La diferencia de fase entre las ondas 1 y 2 será función de la diferencia de camino recorrido

)()(

2022

1011

tkrsentkrsen

ωξξωξξ

−=−=


2-14

de longitudes de onda, la interferencia será constructiva. Si la diferencia de camino es un número impar de semilongitudes de onda, la interferencia será destructiva. Pero r1-r2=cte define una superficie hiperbólica de revolución cuyos focos son S1 y S2 de tal forma que cuando r1-r2=nλ tendremos interferencia constructiva y hablaremos de superficies ó líneas ventrales, tal y como se muestra en la figura 2.13; si r1-r2=(2n+1)λ/2, tendremos interferencia destructiva y hablaremos de superficies ó líneas nodales.

Hasta ahora hemos analizado el caso de fuentes de ondas que están en fase ó tienen una diferencia de fase constante. En este caso se dice que las fuentes son coherentes. En caso de que las fuentes de onda tengan una diferencia de fase no constante a lo largo del tiempo se dice que las fuentes son incoherentes y no se observa un patrón de interferencia definido.

2.8 Ondas estacionarias Cuando las ondas están confinadas en el espacio, como las ondas en una cuerda de piano o las ondas sonoras de un tubo de organo, se producen reflexiones en ambos extremos y, por consiguiente, existen ondas que se mueven en las dos sentidos y que se combinan según el principio de superposición. Para una cuerda ó tubo determinado, existen ciertas frecuencias para las cuales la superposición da un esquema vibratorio estacionario denominado onda estacionaria. Este tipo de ondas tienen aplicaciones importantes en campos tan dispares como los instrumentos de música ó la teoría cuántica.

Figura 2.14. Reflexión de una onda transversal en una cuerda con un extremo fijo

Figura 2.13. Líneas nodales y ventrales debido a la interferencia de dos fuentes idénticas


2-15

Consideremos el caso de una cuerda con un extremo fijo tal y como se esquematiza en la figura 2.14. Una onda transversal incidente moviéndose hacia la izquierda y de ecuación )(01 kxtsen += ωξξ se reflejará en el extremo O originando una

nueva onda que se propaga hacia la derecha y de ecuación )(´0 kxtsen −= ωξξ . El

desplazamiento en cualquier punto de la cuerda es el resultado de la interferencia ó superposición de estas dos ondas )()( ´

00 kxtsenkxtsen −++= ωξωξξ [2.38]

En el punto fijo O x=0 de modo que 0)( ´

00)0( =+== senwtx ξξξ t∀ [2.39]

pero O es fijo en todo instante. Esto implica que ξ0

´= -ξ0, es decir la onda experimenta un cambio de fase de π cuando se refleja en el extremo fijo, fenómeno que analizaremos más profundamente en el siguiente apartado. La ecuación [2.38] se transforma entonces en [ ])()(0 kxtsenkxtsen −−+= ωωξξ [2.40]

que utilizando identidades geométricas se convierte en tsenkx ωξξ cos2 0= [2.41]

Las expresiones ωt±kx no aparecen más y la ecuación [2.41] no representa una onda viajera sino un movimiento armónico simple cuya amplitud varía de punto a punto denominándose este tipo de onda como onda estacionaria. La amplitud viene dada por la ecuación senkxA 02ξ= [2.42]

que se hace cero para

λ

π

nx

ónkx

21

=

= [2.43]

Estos puntos se denominan nodos. Los nodos sucesivos estan separados por una distancia 2

λ .


2-16

Estudiemos ahora el caso de una cuerda de longitud L fija por ambos extremos, figura 2.15. La segunda condición de contorno qua aparece es que x=L sea un nodo.

Figura 2.15. Ondas estacionarias en una cuerda fija por ambos extremos

Utilizando la ecuación [2.43] llegamos a la condición

nL2

=λ [2.44]

Esta segunda condición limita automáticamente las longitudes de onda de las ondas que pueden propagarse en esta cuerda a los valores dados por [2.44] y a su vez también están limitadas las frecuencias de oscilación a los valores

122nf

TL

nf n ===

µπω

[2.45]

donde

L

vTL

f22

11 ==

µ [2.46]


2-17

es la denominada frecuencia fundamental. De este modo las posibles frecuencias de oscilación, llamadas armónicos, son todos los múltiplos de la fundamental. Podemos decir que las frecuencias y las longitudes de onda están cuantizadas. La figura 2.15 indica la distribución de amplitud para los tres primeros modos de vibración. Los puntos de máxima amplitud son los antinodos y la separación entre nodo y antinodo es 4

λ .

Una característica importante de la ecuación de ondas estacionarias [2.41] es que las variables x y t están separadas. Es decir, tenemos una amplitud de vibración máxima variable a lo largo de la cuerda y fija para cada punto, propiedad fundamental de las ondas estacionarias. Por tanto una formulación más general de una onda armónica estacionaria vendría dada por la ecuación tsenxftx ωξ )(),( = [2.47] donde f(x) es la amplitud de onda en un punto x. Pero dado que ξ(x,t) es una onda, deberá cumplir la ecuación diferencial de ondas [2.9]. Introduciendo [2.47] en [2.9] encontramos que f(x) debe cumplir la ecuación diferencial

022

2

=+ fkdx

fd [2.48]

que tiene por solución general kxBAsenkxxf cos)( += [2.49]

donde A y B son constantes arbitrarias. Por consiguiente la ecuación de ondas general de una onda armónica estacionaria viene dada por la ecuación senwtkxBAsenkxtx )cos(),( +=ξ [2.50]

Las constantes de la ecuación [2.50] se determinan por las condiciones de contorno. Ilustremos esto con el caso de la cuerda con extremos fijo con condiciones de contorno ξ(0)=ξ(L)=0 0),0( == Bsenwttξ implica que B=0 0),( == tAsenkLsenwtLξ implica que kL=nπ

es decir n

L2=λ donde n es un entero, de conformidad con [2.44].


2-18

2.9 Reflexión y refracción de ondas Cuando una onda incide sobre una superficie límite ó de separación de dos regiones en las que la velocidad de la onda es diferente, parte de la onda se refleja y parte se transmite dando lugar al fenómeno de la reflexión y de la refracción. Supongamos que la onda incidente está descrita por la ecuación )(0 tsenii ωξξ −= rk i [2.51]

Las ondas reflejada y refractada, transmitida, serán

)(

)(

0

´´0´

tsentsen

rrr

rrr

ωξξωξξ

−=−=

rkrk

[2.52]

donde hemos usado la misma frecuencia angular de la onda incidente para la reflejada y la transmitida porque es un hecho experimental que la frecuencia del movimiento ondulatorio no cambia en la reflexión ó refracción. La propiedad física adscrita a ξ, desplazamiento, presión, campo eléctrico ó magnético, es tal que su valor en la superficie de separación de dos medios debe ser el mismo cualquiera sea el lado en que calculemos. Ahora bien, en el medio 1 tenemos la onda incidente y reflejada que produce la perturbación resultante ξ I+ξ r´ y en el medio 2 tenemos solo la onda refractada ξ r. Entonces en la superficie de separación rri ξξξ =+ ´ [2.53]

Para que se cumpla está ecuación en todos los puntos de la superficie de separación en el mismo t es necesario que las fases de las tres ondas sean idénticas

rkrkrk rri == ´ [2.54] para puntos r sobre la superficie de separación. Escogemos los ejes como se indica en la figura 2.16 de tal forma que la superficie de separación coincida con en plano XZ y la dirección de incidencia esté en el plano XY. Esto implica que el vector r está en el plano XZ, zx zx uur += . Análogamente y dado que la dirección de

Figura 2.16. Reflexión y refracción de una onda en una superficie de separación


2-19

incidencia está en XY, iyix kk yxi uuk += y como no sabemos en que plano están

contenidas la onda transmitida y la reflejadas zryryxrr kkk ´´´´ zx uuuk ++= y

rzryyrxr kkk zx uuuk ++= . Sustituyendo estos vectores en [2.54] obtenemos

zkxkzkxkxk rzrxzrxrix +=+= ´´ [2.55]

ecuación válida para todos los puntos del plano XZ, por lo tanto

0´

´

====

rzzr

rxxrix

kkkkk

[2.56]

indicando que los vectores kr´ y kr no tienen componente según el eje Z, estando contenidos en el plano XY al igual que la onda incidente. Encontramos la primera ley

de la reflexión-refracción que nos dice que la onda incidente, reflejada y refractada están en el mismo plano. Siguiendo ahora la figura 2.17, encontramos que, siendo θI el ángulo incidente sobre el plano XZ y θr´ el ángulo de la onda reflejada y θr el ángulo de la onda refractada

´´´ rrxr

rrrx

iiix

senkksenkksenkk

θθϑ

===

[2.57]

Por otro lado sabemos que

kI=kr´=ω/v1 y kr=ω/v2, que junto a [2.56] nos permite obtener

rri senv

senv

senv

θϑθ2

´11

111== [2.58]

De estas relaciones deducimos que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión θI=θr´ y la ley de Snell, el cociente entre los senos del ángulo incidente y refractado es igual a la razón de velocidades de propagación de la onda en los dos medios

2

1

vv

sensen

r

i =ϑθ

[2.59]

Figura 2.17. Leyes de la reflexión-refracción de ondas en la superficie de separación de dos medios


2-20

Ahora que ya conocemos la relación entre los vectores de onda de las ondas incidente, reflejada y transmitida, nos falta por analizar las amplitudes de las tres ondas. Dado que se cumple la ecuación [2.54], igualdad de fase entre las tres ondas, la ecuación [2.53] se reduce a rri 0´00 ξξξ =+ [2.60]

que es la relación entre la amplitud de las tres ondas. Para seguir avanzando

necesitamos una condición de contorno que implique a las amplitudes de onda y que depende de cada caso en particular. Centrémonos en el caso de ondas transversales en dos cuerdas unidas de diferentes densidades y sometidas a una tensión T, tal y como se muestra en la figura 2.18. Sabemos del análisis realizado

en la sección 2.4.1 que la fuerza vertical en la cuerda 1 donde tenemos onda incidente y reflejada

∂∂

+∂∂

=∂∂

=xx

Tx

TF riy

´ξξξ [2.61]

y usando [2.51] y [2.52], y teniendo en cuenta que la onda reflejada viaja en dirección contraria a la onda incidente, nos queda [ ])cos()cos( 1´0101 xktxktTkF riy ++−−= ωξωξ [2.62]

Análogamente, la fuerza vertical en la cuerda 2 es

)cos( 202 xktTkx

TF rr

y −−=∂

∂= ωξ

ξ [2.63]

Ahora bien, en el punto de unión, x=0, la fuerza vertical debe ser la misma en la cuerda 1 y en la 2; por tanto, igualando [2.62] y [2.63] en x=0 obtenemos rri kk 02´001 )( ξξξ =− [2.64]

Esta es la segunda ecuación que deben cumplir las tres amplitudes y que está impuesta por la naturaleza física de la onda. Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por [2.60] y [2.64] obtenemos la ecuación [2.65] que nos da la amplitud de la onda transmitida y reflejada en función de la amplitud de la onda incidente.

Figura 2.18. Ondas transversales en dos cuerdas de diferent e densidad unidas


2-21

ir

ir

kkkkkk

k

021

21´0

021

10

2

ξξ

ξξ

+−

=

+=

[2.65]

Usando la igualdad vk ω= y, dado que la velocidad en una onda transversal

en una cuerda viene dada por µTv = , obtenemos

ir

ir

021

21´0

021

10

2

ξµµ

µµξ

ξµµ

µξ

+

−=

+=

[2.66]

Los cocientes i

r

0

0ξ

ξ y i

r

0

´0ξ

ξ reciben respectivamente los nombres de

coeficiente de transmisión T y coeficiente de reflexión R y viene dados por

21

21

21

12

µµ

µµ

µµ

µ

+

−=

+=

R

T

[2.67]

Obsérvese como T es siempre positivo, de manera que la amplitud de la onda transmitida tiene el mismo signo que la amplitud de la onda incidente, ambas ondas están en fase. En cambio R es positiva ó negativa dependiendo de si µ1 en mayor ó menor que µ2 de modo que la onda reflejada puede estar en fase ó en oposición, con un desfase π, con la onda incidente. Las dos situaciones se ilustran en la figura 2.19.

Figura 2.19. Reflexión y transmisión de un onda transversal en el punto de unión de dos cuerdas de

diferente densidad


2-22

2.10 Velocidad de fase y velocidad de grupo La velocidad kv ω= para una onda armónica de frecuencia angular ω y

longitud de onda λ se llama velocidad de fase, y nos dice la velocidad con la que se propagan los puntos de fase constante (kx-ωt). Sin embargo ésta no es necesariamente la velocidad que observamos cuando analizamos un movimiento

ondulatorio, generalmente detectado por su intensidad asociada a su amplitud. Si tenemos una onda continua, por tanto de longitud infinita, ésta puede constar de una sola longitud de onda y de una sola frecuencia. Pero una onda de estas características no es adecuada para transmitir una señal, porque una señal implica algo que empieza en un cierto instante y termina un cierto tiempo más tarde. Esto es, la onda debe tener una

forma similar a la representada en la figura 2.20. Vimos como una onda de este tipo se denomina pulso. Por consiguiente, si medimos la velocidad con que la señal se transmite, nos estamos refiriendo esencialmente a la velocidad con la que viaja este pulso.

Este pulso, utilizando el análisis de Fourier, se puede considerar como un conjunto de ondas armónicas, denominado paquete de ondas, de diferentes longitudes de onda y frecuencias viajando por el medio. Siempre que la velocidad de las ondas armónicas no dependa de la frecuencia ó de la longitud de onda, medio no dispersivo, todas las ondas armónicas que componen el pulso viajaran con la misma velocidad y el pulso mantendrá su forma al desplazarse. Ejemplos de medios no

dispersivos son una cuerda perfectamente flexible, µTv = no dependiente de la

frecuencia, las ondas sonoras en el aire ó las ondas electromagnéticas en el vacío. En este caso la velocidad de fase coincide con la velocidad del pulso. Si la velocidad de la onda en un medio depende de la frecuencia y longitud de onda, medio dispersivo, las componentes armónicas del pulso se moverán con velocidades diferentes dando lugar a un cambio de forma del pulso al desplazarse. Ejemplos de medios dispersivos son cuerdas no perfectamente flexibles ú ondas electromagnéticas en un material, dando lugar al conocido fenómeno de refracción en prismas. Por tanto debido a la dispersión, la velocidad del centro del pulso, velocidad de la señal denominada velocidad de grupo, no es la misma que la velocidad de propagación de cada una de las ondas armónicas que lo componen.

Figura 2.20. Pulso transmitiéndo una señal


2-23

Consideremos el caso más sencillo de un pulso consistente en la superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y de frecuencias muy cercanas, pulsaciones ó batidos. La onda resultante vendrá dada por

+−+

−−−=

=−+−=+=

txkksentxkk

txksentxksentx

)(21

)(21

)(21

)(21

cos2

)()(),(

212121210

22011021

ωωωωξ

ωξωξξξξ [2.68]

y utilizando la notación ∆k=k1-k2 y ∆ω=ω1-ω2 , y valores medios, ω y k , la onda queda

−

∆∆

−∆= tk

xksentk

xktxωω

ξξ21

cos2),( 0 [2.69]

onda resultante representada en la figura 2.21 para frecuencias y longitudes de onda muy cercanas.

Figura 2.21. Pulso resultante de la superposición de dos ondas armónicas de igual amplitud y

frecuencias cercanas

El resultado es una onda de frecuencia angular ω y número de onda k pero

con una amplitud modulada por el factor

∆∆

−∆ tk

xkω

ξ21

cos2 0 . La velocidad de onda

resultante, representada en la figura por la línea continua, k

v ω= es prácticamente la

misma que la de las ondas armónicas que componen el pulso y es la velocidad de fase. La envolvente del pulso, curva discontinua en el pulso, se propaga como una onda cuyo número de onda es 2

k∆ y su frecuencia angular es 2ω∆ . La velocidad

correspondiente a esta envolvente, que es la velocidad con la que se propaga el pulso, se puede calcular considerando el factor de modulación

( )

kv

tvxktk

xk

g

g

∆∆

=

−∆=

∆∆

−∆

ω

ω21

cos21

cos [2.70]


2-24

La velocidad kvg ∆∆= ω se denomina velocidad de grupo, y en el caso más

general es la velocidad con la que se propaga la amplitud y por tanto la intensidad de la onda que es proporcional al cuadrado de la amplitud. La frecuencia y la longitud de onda no son parámetros independientes en un medio, sino que dependen uno de otro. De ahí podemos escribir que

dkd

vgω

= [2.71]

generalización de la ecuación [2.70]. La velocidad de fase está definida como kv f

ω=

y sustituyendo en [2.71] obtenemos la relación entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase.

dkdv

kvkvdkd

dkd

v fffg +=== )(

ω [2.72]

De esta ecuación se deduce que si la velocidad de fase no depende del número de onda, medio no dispersivo, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de fase. En un medio dispersivo, la velocidad de fase es función del número de onda y la velocidad de fase y de grupo, velocidad de la señal (máximo de la figura 2.21) no coinciden. Distinguiremos entre dispersión normal, cuando la velocidad de grupo es menor que la velocidad de fase, y dispersión anómala, cuando la velocidad de grupo es mayor que la de fase.

2.10.1 Ondas superficiales en un líquido. Un ejemplo típico de un medio dispersivo son las ondas superficiales en un líquido. La expresión general para la velocidad de propagación v de las ondas superficiales de longitud de onda λ en un líquido de profundidad h, densidad ρ y tensión superficial T es

λπ

ρλπ

πλ h

tghTg

v22

2

+= [2.73]

Como se observa la velocidad de fase depende de la longitud de onda con lo que un pulso, suma de varios movimiento armónicos de diferente longitud de onda, se propagará, perdiendo gradualmente su forma inicial, con una velocidad dada por la velocidad de grupo.


2-25

2.11 Paquete de ondas Un caso de notable interés es cuando el paquete de ondas está formado por la superposición de un conjunto infinito de ondas planas de amplitud y frecuencia variables que se propagan en la dirección X. Una de las componentes quedará representada, usando notación exponencial, por la ecuación )(exp),( kxtiAtx kkk −= ωξ [2.74]

y el paquete de ondas vendrá dado por

∫∞

∞−

−= dkkxtkikAtx ))((exp)(),( ωξ [2.75]

Centrémonos en un caso de interés práctico en el que k varía en torno a un valor central k0 en un intervalo ∆k pequeño donde A(k) tiene un máximo muy acusado en k0 y decáe rápidamente al alejarnos de k0. Tratemos de analizar como es la resultante de esta superposición y con que velocidad se desplaza el conjunto.

En caso de un medio no dispersivo, velocidad de fase independiente de k, la función ω(k) es muy sencilla, ω=vfk. Si el medio es dispersivo, la velocidad de fase depende de k y la relación entre ω y k será más complicada. No obstante, por ser ∆k muy pequeño podemos desarrollar la función ω(k) en serie de Taylor en torno a k0 en la forma

.....)()()( 00

0

+−

+= kk

dkd

kkk

ωωω [2.76]

y haciendo ω(k0)=ω0 nos queda

−

−+−=− xt

dkd

kkxktkxtk0

)( 000ω

ωω [2.77]

con lo que [2.75], tomando la integral en el intervalo k0±∆k/2 que es donde tiene existencia, se escribirá

∫∆+

∆−

−

−−=

2/

2/000

0

0 0

)(exp)()(exp),(kk

kk k

dkxtdkd

kkikAtktitxω

ωξ [2.78]

Para hacernos una idea del resultado es necesario conocer A(k) para resolver la integral. Supongamos que A(k)= A0 es constante, es decir, la amplitud de todas la


2-26

ondas que constituyen el paquete tienen la misma amplitud. Por otro lado, como para t=0, x=0 todas están en fase, el grupo tendrá la estructura que se muestra en la figura 2.22 y la superposición dará un máximo de gran amplitud en el origen que decae rápidamente al apartarnos del mismo. Veamos este hecho matemáticamente realizando la integral en [2.78] con A(k)=A0 y quedándonos con el coseno del argumento

)(exp

)(2

2),( 000

0

0 xktixt

dkd

xtdkdk

sen

Atx

k

k−

−

−

∆

= ωω

ω

ξ [2.79]

Como se ve este paquete de ondas da lugar a una onda monocromática, exp[i(ω0t-k0x)], de frecuencia ω0 y número de onda k0, y de amplitud modulada. Este factor de modulación tiene un máximo acusado de amplitud de valor A0∆k para

tdkd

xk0

=

ω disminuyendo rápidamente

hasta extinguirse al alejarnos de este máximo. El paquete de ondas se reduce, a diferencia de lo que ocurría cuando únicamente superponíamos dos ondas de parecida frecuencia, figura 2.21, a un único pulso mostrado en la figura 2.23, que se propaga con la velocidad de grupo

0kg dk

dv

=

ω .

Este análisis resulta muy útil a la hora de tratar matemáticamente el envío de información mediante pulsos discontinuos en el tiempo.

Figura 2.22. Superposición de ondas de amplitud constante y en fase en el origen

Figura 2.23. Pulso resultante de la superposición de las ondas


2-27

Problemas

1. La función de onda de una onda armónica que se mueve sobre una cuerda es

y(x,t)=0,3sen(2,2x-3,5t) en unidades del SI. Determinar la dirección del movimiento, velocidad, longitud de onda, frecuencia y periodo de esta onda. ¿Cuál es el desplazamiento y velocidad máximos de cualquier segmento de la cuerda?

2. Demostrar explicitamente que la función y(x,t)=Asen(kx-ωt) satisface la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio.

3. Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud 1,2 cm se mueven a lo largo de una cuerda de 15 m que tiene una masa de 80 g y está sometida a una tensión de 12 N. Determinar la velocidad y frecuencia angular de las ondas. Calcular la energía total media de las ondas en la cuerda.

4. Una cuerda de 1,5 m de longitud posee una densidad lineal de 0,03 kg/m y está sometida a una tensión de 500 N. Si oscila en su modo fundamental con una amplitud máxima de 6 cm, ¿cuál es su energía?

5. Una fuente oscila con una amplitud de 0,3 m y una frecuencia de 10 Hz unida la extremo de una cuerda de densidad lineal 0,08 kg/m. Si la longitud de onda de las ondas que genera es de 1 m, ¿cuánto tiempo ha de estar funcionando para transmitir una energía 100.000 J.

6. Una cuerda de 3 m de longitud cuelga del techo libremente. Demostrar que la velocidad de las ondas transversales depende de la distancia y desde el extremo inferior. Si se genera un pulso de onda en el extremo inferior, ¿cuánto tardará en subir al techo, reflejarse y regresar al punto inferior de la cuerda?

7. Una onda plana tiene la forma f(x,y,t)= Acos(kxx+kyy-ωt). ¿Cómo son los frentes de onda en este caso? Demostrar que la dirección en la que se mueve la onda forma un ángulo θ= arct(ky/kx) con el eje x y que la velocidad de propagación de la onda es v= ω/(k2

x+k2y)1/2

8. Demostrar que una onda esférica ξ=f(r,t), su valor en un tiempo t depende únicamente de la distancia al origen r, no puede tener la forma ξ=f(r-vt). Nota: comprobar que no cumple la ecuación de ondas teniendo en cuenta que el operador laplaciano en coordenadas esféricas cuando solo depende de r toma la

forma 2

22 2

rrr ∂∂

+∂∂

=∇ξξ

ξ . Comprobar que la onda esférica debe tener la forma

)(1

),( vtrfr

tr −=ξ

9. Dos focos de ondas emiten en fase. En un punto a 5 m de un foco y 5,17 m del otro, la amplitud procedente de cada foco por separado es A0. Hallar la amplitud de la onda resultante si la frecuencia de las ondas es 500 Hz, 1000 Hz y 2000 Hz. (Utilizar como velocidad de las ondas v=340 m/s).

10. Un punto M se encuentra situado en la misma recta y entre dos focos S1 y S2 que emiten ondas sinusoidales transversales del mismo periodo y de igual amplitud.


2-28

Suponiendo que ambos focos emiten con una diferencia de fase nula, hallar la ecuación del movimiento resultante en el punto M.

11. Dos movimientos sinusoidales con longitud de onda λ=600 nm se desplazan en la misma dirección pero en sentido contrario. Calcular las abcisas correspondientes a los planos nodales y ventrales de la onda estacionaria resultante si el desfase es de 60º.

12. Sean dos fuentes de onda armónicas situadas en el eje x, de igual frecuencia y amplitud y con una diferencia de fase δ proporcional al tiempo, δ=Ct siendo C una constante. Escribir las funciones de onda en un punto P del eje x situado a una distancia x1 de una de las fuentes y x1+∆x de la otra. Hallar la función de onda resultante. Calcular la intensidad y el valor medio de la misma en el punto P para ∆x=0 y ∆x=λ/2.

13. Una cuerda de 5 m de longitud que está fija solo por un extremo está vibrando en su quinto armónico con una frecuencia de 400 Hz. ¿Cuál es su longitud de onda, vector de onda y frecuencia angular? Escribir la función de onda correspondiente a esta onda estacionaria.

14. Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes 0,7 m entre si y se ajusta la tensión hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 440 Hz ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?

15. Una cuerda de 3 m de longitud y densidad másica 0,0025 kg/m está sujeta por ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 252 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz. ¿Qué armónico corresponde a los 252 Hz? Determinar la frecuencia fundamental y la tensión de la cuerda.

16. Las funciones de onda para dos ondas de igual amplitud, pero que se propagan en sentidos opuestos, vienen dadas por y1= y0sen(kx-ωt) e y2= y0sen(kx+ωt). Demostrar que la suma de estas dos ondas es una onda estacionaria.

17. Una onda estacionaria sobre una cuerda fija por sus dos extremos viene dada por y(x,t)=0,024sen(52,3x)cos(480t) en unidades del SI. Determinar la velocidad de las ondas sobre la cuerda y la distancia entre los nodos.

18. Dos cables de densidades másicas lineales distintas se sueldan uno a continuación del otro y después se estiran bajo una tensión F. La velocidad de una onda en el primer alambre es doble que en el segundo y la onda reflejada tiene la mitad de la amplitud de la onda transmitida. Si la amplitud de la onda incidente es A, ¿cuál es la amplitud de la onda reflejada y transmitida?

19. Hallar, para grandes profundidades, la velocidad de fase y la velocidad de grupo para ondas superficiales en un líquido

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