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Ministerio de Educación Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

Departamento de Materias Básicas

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA

Ing. Sandra Silvester Página 11

I.2 Movimiento Ondulatorio

Introducción:

Cuando estudiamos las leyes de la reflexión y de la refracción a través de la

óptica geométrica, vimos que los fenómenos ópticos a gran escala pueden

explicarse mediante rayos luminosos (aplicación de la teoría corpuscular). Pero

cuando se estudian fenómenos en pequeña escala, se aprecian detalles para

los cuales resulta necesaria una interpretación ondulatoria. La mayoría de

estos detalles no son de observación habitual, pero se hacen evidentes cuando

examinamos, por ejemplo, la luz que pasa por rendijas estrechas o que se

refleja en superficies rayadas.

A los fenómenos ópticos que requieren de la teoría ondulatoria para su

explicación, se los incluye dentro de la óptica física (que forma parte de este curso),

la cual estudia las interacciones entre haces luminosos y entre luz y materia.

Finalmente, si los fenómenos ópticos tienen lugar a escala atómica, es preciso

hacer uso de la teoría cuántica para explicarlos de modo riguroso.

Cabe aclarar que la teoría ondulatoria es apta para estudiar los fenómenos de

reflexión y refracción, como así también la teoría cuántica es apta para

estudiar los fenómenos ondulatorios.

Cuando estudiamos la luz como fenómeno ondulatorio, sabemos que podemos

generalizar nuestras conclusiones para el conjunto de las ondas electromagnéticas.

Propiedades Comunes de las Ondas:

La noción de onda es familiar a la mayoría de la gente. Cuando se deja caer

una piedra en un estanque, las ondulaciones del agua se alejan radialmente; al

tocar el piano vibran las cuerdas y las ondas sonoras se desplazan a través del

el aire; las imágenes de la televisión se forman mediante la decodificación de





señales transportadas por ondas electromagnéticas moduladas.

Todos los movimientos ondulatorios tienen dos características comunes: a)

propagan energía hacia puntos distantes; b) la perturbación marcha a través

del medio, sin que éste sufra ningún desplazamiento. Las ondulaciones del

estanque se desplazan llevando energía, pero el agua no viaja con las ondas

(un objeto flotante no cambia de lugar).

Las ondas que se forman en la superficie del agua son útiles para analizar las

características más importantes de cualquier movimiento ondulatorio.

Si las ondas se propagan en la dirección x y la oscilación y es vertical, una

imagen instantánea de su perfil viene representada en la figura 10 por la curva

de trazo continuo. Sea y f x la ecuación de esta curva.

Si el perfil de la onda se desplaza en la dirección x con una velocidad

constante v, luego de un intervalo Δt la ordenada y1 habrá avanzado hacia la

derecha una distancia Δx v Δt, encontrándose en y’1. Esto se verifica para

una función del tipo y f x – v t , ya que para los dos instantes t y t Δt se

tiene: y1 f x – v t e y’1 f x Δx – v t Δt

Si se sustituye Δx por v Δt, resulta y’1 y1, cumpliéndose la condición exigida.

En el instante t Δt la onda ocupa la posición de la línea de trazos.

La ecuación general de cualquier movimiento ondulatorio transversal en un

plano es:

correspondiendo el signo al caso en que la onda se desplaza hacia la

PROPAGACIÓN DE ONDAS EN EL AGUA figura 10

y f x ± v t (1)





izquierda, o sea en la dirección – x. Esta ecuación es la solución de la llamada

ecuación de onda:

La ecuación vista representa el avance del perfil de la onda en función del

tiempo y determina que cualquiera que sea la forma inicial, en el instante t será la misma, pero desplazada una distancia vt. Esto no significa que las

partículas del medio se hayan desplazado con la onda, puesto que lo único que

se desplaza continuamente es el perfil de la misma, limitándose las partículas a

oscilar alrededor de su posición de equilibrio.

La figura 10 sólo representa un corte longitudinal perpendicular a las crestas de

las ondas. Las ondas completas se extienden en el plano xz y sus puntos más

elevados están alineados, ya que en la ecuación vista el desplazamiento y es

independiente de z. Si consideramos ahora ondas tridimensionales en lugar de superficiales, tales

como las sonoras (∗) o las sísmicas, podremos aplicar las mismas ecuaciones.

En este caso, el lugar geométrico correspondiente a desplazamientos iguales

será un plano y hablaremos de ondas planas.

(∗) las ondas sonoras en el aire (medio gaseoso) son longitudinales, pero las ondas sonoras que se transmiten en un metal o una cuerda son transversales.

Ecuación diferencial en derivadas parciales para una onda que se

propaga a lo largo del eje x

∂ y∂ t

v∂ y∂ x

PRODUCCIÓN DE

ONDAS TRANSVERSALES

EN UN SÓLIDO

ELÁSTICO

figura 11





Las ondas planas pueden producirse, por ejemplo, en un bloque de una

sustancia elástica como el de la figura 11. Sujetando una lámina a una de las

superficies del bloque y comunicándole un movimiento periódico en su propio

plano, se originarán ondas planas en dicho bloque. Estas ondas estarán

representadas por las ecuaciones que hemos visto, siempre que la

perpendicular a los frentes de onda sea paralela al eje x. Si queremos generalizar las ecuaciones para que representen ondas planas que

se propagan en cualquier dirección, basta sustituir x por la expresión:

l x m y n z donde l, m y n son los cosenos directores de tal dirección para los ejes x, y y z.

Un manantial luminoso suficientemente pequeño, genera ondas esféricas en

vez de planas. Como la curvatura disminuye con la distancia, puede suponerse

que las ondas son planas a una distancia suficientemente grande del

manantial.

Un procedimiento usual para obtener ondas luminosas planas, consiste en situar un

manantial puntual en el foco objeto de una lente o de un espejo. En la práctica, el

manantial nunca es un punto matemático y el haz luminoso se compone en realidad

de muchas ondas planas ligeramente inclinadas entre sí y procedentes cada una de un

punto distinto de dicho manantial. Para minimizar este defecto, en los laboratorios

normalmente se emplea como manantial un pequeño orificio iluminado, cuyo diámetro

es extremadamente reducido.

Ondas Sinusoidales:

El tipo más sencillo de onda es aquella cuya ecuación está conformada por un

seno o un coseno. Las partículas individuales están sometidas en este caso a

un movimiento armónico simple.

Consideremos ondas transversales en las que los movimientos de las partículas

son movimientos perpendiculares a la dirección de propagación. Los

desplazamientos instantáneos y pueden expresarse por la siguiente ecuación:

2 /λ





En la figura 12 se representa la gráfica correspondiente a esta expresión, en

donde a es la amplitud de onda y λ la longitud de onda.

Para representar la onda tanto en el tiempo como en el espacio, es decir, para

hacerla móvil, introducimos el tiempo tal como se hizo en la ecuación (1),

resultando:

Este perfil se desplazará en el sentido positivo de las x con una velocidad v. Cualquier partícula tal como la P de la figura, cuando la onda avanza, ocupa

sucesivamente las posiciones P, P’, P’’, etc. El tiempo empleado en una

vibración completa es el período T, y su inversa, número de vibraciones por

segundo, es la frecuencia f. Es decir:

λ λ

Si escribimos la ecuación (2) en función de la pulsación ω 2πf y del número

de propagación 2π/λ , tenemos:

ω ω – π ω – π2

La constante aditiva del paréntesis tiene poca significación física, pues puede

eliminarse mediante una elección adecuada del origen de tiempos:

figura 12

PERFIL DE UNA ONDA SINUSOIDAL EN EL INSTANTE t = 0

2λ

(2)2λ





Estas ecuaciones representarán la onda de la figura 12, si la curva se inicia en

los instantes t = T/4 o t = T/2, respectivamente, en lugar de t = 0.

Un haz luminoso al cual le sean aplicables las ecuaciones anteriores, tiene las

siguientes características: a) es perfectamente paralelo; b) es absolutamente

monocromático, por tener una longitud de onda perfectamente definida; c)

está polarizado linealmente, puesto que las vibraciones se producen en un

plano único que pasa por la dirección de propagación. Este tipo de luz es una

idealización imposible de realizar en la práctica, especialmente en lo que se refiere a su

carácter monocromático. No obstante, en muchos casos se obtiene una aproximación bastante

cercana a esta idealización.

Fase y Diferencia de Fase:

En una onda plana, el movimiento vibratorio de cualquier punto del sistema es

idéntico si se exceptúa su fase. Ésta está representada por la magnitud entre

paréntesis de la ecuación (3) y nos indica la fracción de vibración completa que

ha ejecutado la partícula en un instante dado.

En una vibración completa, la fase aumenta en 2π. Dando a t un valor

particular, vemos que la fase varía a lo largo de la onda proporcionalmente a x. La diferencia de fase en cualquier instante entre dos partículas situadas en x2 y

x1, es:

en donde Δ se llama diferencia de camino.

El valor absoluto de la fase es imposible de medir en la práctica, máxime en el

caso de la luz, pero tampoco resulta necesario. Lo que tiene importancia es la

diferencia de fase, la cual puede medirse con gran precisión.

Si un haz de luz monocromática es dividido en otros dos mediante reflexión

parcial (o cualquier otro método) y luego de efectuar distintos recorridos se les

δ 2πλ

Δ

(3) ω –

ω –





hace coincidir en un punto (superponiéndolos), la intensidad luminosa resultante

depende en gran parte de la diferencia de fase exacta entre ambos trenes de

ondas. Esta diferencia está determinada por las distancias recorridas por cada

una de las ondas. La designación “diferencia de camino Δ”, indica que lo que

interesa es la diferencia entre dos ondas separadas y no entre dos puntos de

una misma onda.

En el caso descripto, puede ocurrir que las trayectorias de las ondas se realicen

en sustancias en las cuales la velocidad de la luz difiera de la que tiene en el

vacío (o en el aire). Para calcular en este caso diferencias de fase, no se utiliza el

recorrido geométrico real sino el camino óptico, que es el “producto de la

distancia por el índice de refracción n de la sustancia” (esto deriva de que la

velocidad de la luz es 1/n veces menor en el medio más denso).

En consecuencia, si se desea obtener el camino equivalente en el vacío, o sea

la distancia que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo, se utilizará el

camino óptico en lugar del geométrico. Para ello se aplicará la siguiente

expresión:

Las sumatorias representan los caminos ópticos totales de los dos haces

luminosos anteriormente mencionados.

Velocidad de Fase o de Onda:

La velocidad con que se desplaza la cresta de una onda se suele denominar

velocidad de onda, aunque a veces se utiliza el término más preciso de

velocidad de fase. Esta magnitud es idéntica a la velocidad v vista en las

ecuaciones anteriores v λ/T f λ y se demuestra calculando la derivada de

x respecto al tiempo, con la condición de fase constante. Usando la expresión

de la fase en la ecuación (3), dicha condición se convierte en:

δ 2πλ

Σ Σ (4)

δ 2π/λ ó





ωt – kx constante y la velocidad de onda es:

Sustituyendo ω 2πf y k 2π/λ , se obtiene la ecuación v f λ .

Para una onda que se desplaza hacia las x negativas, la fase constante toma la

forma ωt kx y entonces ω/ .

El coeficiente ω/ para un tipo dado de ondas depende de las propiedades

físicas del medio en que éstas se desplazan y, en general, también de la

misma pulsación ω.

En las ondas elásticas transversales, la velocidad de la onda es independiente de la frecuencia

y viene dada por: ⁄ (siendo N el módulo de rigidez y ρ la densidad).

Por el hecho de poder polarizarse, se sabe que las ondas luminosas son transversales.

Además, las mediciones revelan que su velocidad en el vacío es aproximadamente de 300.000

km/s. Si se supone que son ondas elásticas (como se creía en el siglo XIX), se plantea la

cuestión de cuál es el medio en que se propagan. Dado que la velocidad es tan grande, la

ecuación anterior requeriría que el cociente entre la rigidez y la densidad fuera también muy

grande. En la primitiva “Teoría del Sólido Elástico”, se supuso la existencia de un medio con

ésas propiedades llamado “éter”. Esta hipótesis tenía muchas objeciones; por ejemplo, si su

rigidez era tan elevada debía tener gran resistencia a las deformaciones, pero no se detectaba

que el éter produjera efecto alguno en el movimiento de los cuerpos celestes.

Todas las dificultades desaparecieron al desarrollar Maxwell la Teoría Electromagnética de la

Luz, en la cual se reemplaza el desplazamiento mecánico de un elemento del medio por la

variación de un campo eléctrico en el punto correspondiente.

Hay un gran paralelismo entre ambas teorías. La primera consiguió explicar importantes

propiedades de la luz y gran parte de su formulación matemática inicial pudo ponerse sin

dificultad en términos electromagnéticos. Por lo tanto, con frecuencia hallamos analogías

mecánicas útiles para comprender el comportamiento de la luz.

Amplitud e Intensidad:

Se denomina intensidad de una onda a la “cantidad de energía que fluye, en la

unidad de tiempo, a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de

propagación”.

ω (5)





Si la onda fluye continuamente con velocidad v, existe una densidad de

energía definida o energía total por unidad de volumen. Toda la energía

contenida en una columna del medio de sección unidad y longitud v, pasará

por la unidad de área en un segundo. Por lo tanto, la intensidad es igual al

“producto de v por la densidad de energía”.

Tanto la intensidad como la densidad de energía son proporcionales al

cuadrado de la amplitud y la frecuencia. Para demostrar esto en el caso de

ondas sinusoidales en un medio elástico, basta con determinar la energía

vibratoria de una sola partícula que efectúa un movimiento armónico simple.

Consideremos por ejemplo una partícula en el punto P de la figura 12. En esta

posición está moviéndose hacia arriba y posee simultáneamente energía

cinética y potencial. En la posición P´, tendrá energía cinética nula y energía

potencial máxima. Al descender, ganará energía cinética y perderá energía

potencial, de modo que su energía total permanezca constante. En la posición

P´´, toda su energía será cinética. Podemos por lo tanto calcular su energía

total como la potencial máxima que tiene en P´ o como la cinética máxima que

tiene en P´´. Adoptamos esta última por ser la más sencilla.

De acuerdo con la ecuación (3), el desplazamiento de una partícula varía con el

tiempo según la relación:

Su velocidad es:

Cuando y 0, el seno se anula y el coseno es máximo. En este caso, la

velocidad máxima es ω a. La energía cinética máxima será entonces:

½ á ½ ω

Como ésta es también la energía total de la partícula y es proporcional a la

energía por unidad de volumen, concluimos que:

ω ω α

y sen ωt α donde α kx

la densidad de energía es proporcional a ω2 a2 (6)





La intensidad, que es v veces esta magnitud, será también proporcional a ω2 a2.

En las ondas esféricas, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia al manantial puntual (siempre que no haya conversión de energía en

otras formas, pasará la misma cantidad de energía por cualquier esfera cuyo centro esté en el

manantial). Como el área de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio,

la energía por unidad de área a una distancia r del manantial (o sea la intensidad)

variará como 1/r2. Por lo tanto, la amplitud variará como 1/r. Podemos

entonces escribir la ecuación de una onda esférica en la forma:

Si parte de la energía se transforma en calor, es decir, si hay absorción, la

amplitud e intensidad de las ondas planas no será constante, sino que

disminuirán a medida que avanzan en el medio. Análogamente, para las ondas

esféricas la pérdida de intensidad es más rápida que la requerida por la ley de

proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia.

En las ondas planas, la fracción dI/I de la pérdida de intensidad al atravesar un

espesor infinitesimal dx, es proporcional a dx :

Para obtener la pérdida total en un espesor finito x, integramos:

Resolviendo estas integrales definidas, se obtiene:

Esta expresión se denomina ley exponencial de la absorción. En la figura 13 se

representa la intensidad de acuerdo con esta ley, en función del espesor de un

medio absorbente cuyo α = 0,4 cm−1. La intensidad de la luz solar es de

aproximadamente 1.400 W/m2. Pero no todo este flujo de energía afecta visualmente al ojo ni

la intensidad así definida corresponde necesariamente a la sensación de brillo; por ello, el flujo

de energía luminosa se expresa normalmente en otras unidades llamadas fotométricas. La

amplitud de un manantial de luz solar cuya intensidad es la anteriormente mencionada,

representa un campo eléctrico de 730 V/m junto con un campo magnético de 2,4 μT.

y a/r sen ω t k r (7)

dI/I = − α dx

(8)





La amplitud de las ondas luminosas siempre decrece rápidamente al aumentar

la distancia recorrida. Sólo en el caso de ondas planas en el vacío, como las de

la luz de los astros, es aproximadamente constante. Para las distancias propias

del laboratorio, puede despreciarse la absorción del aire.

Frecuencia y Longitud de Onda:

La frecuencia de una onda (f ) es la misma que la del manantial vibrante que le

da origen. La longitud de onda (λ) en un medio dado, está determinada por la

velocidad en él y, según la ecuación v f λ, se obtiene dividiendo la velocidad

por la frecuencia. Al pasar de un medio a otro, la longitud de onda cambia en

igual proporción que la velocidad, mientras que la frecuencia permanece

constante e inalterable.

Recordando que un frente de onda representa una superficie sobre la cual la

fase es constante, resulta claro que, independientemente de cualquier cambio

de velocidad, dos frentes de onda diferentes están separados por un cierto

número de ondas. Como las longitudes de onda son proporcionales a las

velocidades, cuando la luz pasa del vacío (longitud λ y velocidad c) a otro medio

(longitud λm y velocidad v), se tiene:

figura 13

DISMINUCIÓN DE LA INTENSIDAD EN UN MEDIO ABSORBENTE

(índice de refracción) (9) λλ





En consecuencia, el camino óptico correspondiente a una distancia d en

cualquier medio, es:

En óptica y espectroscopia, se acostumbra referir la longitud de onda de una

radiación o raya espectral particular, a la que tiene en el aire en condiciones

normales.

En las ondas sonoras se produce un cambio de longitud de onda cuando el manantial se traslada. Las ondas emitidas en la dirección del movimiento se acortan y las de dirección opuesta se alargan. Como las ondas no cambian de velocidad, un observador estacionario percibe una frecuencia mayor (longitud de onda menor) o menor (longitud de onda mayor) que la del manantial. Este fenómeno se conoce como efecto Doppler y es de fácil observación en el caso del sonido por los cambios de tono. Esta propiedad puede aplicarse para calcular la velocidad de los cuerpos celestes en función de los cambios de color de la luz procedente de los mismos. Dada la extraordinaria velocidad de la luz, un cambio apreciable de color requeriría velocidades enormes de los cuerpos en la dirección de observación. Para la mayoría de las estrellas estas velocidades oscilan alrededor de 30 km/s, mientras que la velocidad de la luz es de aproximadamente 300.000 km/s. En consecuencia, los cambios de frecuencia son muy pequeños. Supongamos que la tierra se

λλ

número de longitudes de onda en

dicha distancia, multiplicado por (10) la longitud de onda en el vacío

figura 14

Las longitudes de onda del espectro visible (figura 14) están comprendidas entre 800 nm (rojo lejano) y 400 nm (violeta extremo). La radiación cuya longitud es inferior a la visible se denomina ultravioleta y se extiende hasta los 5 nm. Entre esta longitud y 6 x 10−4 nm (1.000.000

de veces más pequeñaIque la longitud media de la

luz) se encuentran los rayos X. Aún más cortos que éstos son los rayos gamma, emitidos por las sustancias radiactivas. En el lado de las longitudes más largas del espectro visible está el infrarrojo, que empalma con las microondas con una longitud de onda de 6 x 105 nm (1.000 veces

más grande que la longitud media de la luz). Por debajo de éstas se encuentran las ondas de radio y televisión. Los límites de separación entre las distintas regiones del espectro son puramente formales y han sido fijados de manera aproximada, ya que las propiedades inherentes a dos regiones se superponen. La radiación visible (luz) cubre una fracción casi insignificante del intervalo total.





mueve con una velocidad u hacia una estrella fija. Un observador recibiría u/λ ondas

suplementarias sobre el número c/λ que le alcanzarían si estuviese en reposo. La frecuencia aparente sería: Con las velocidades mencionadas, la diferencia con la verdadera frecuencia sería aproximadamente del 1 º/ºº. No obstante, un buen espectroscopio es capaz de detectar y medir esta diferencia por el desplazamiento de las líneas espectrales. Por tal motivo, este método es el que se usa frecuentemente para medir las velocidades de las estrellas y de las galaxias. En el caso de estas últimas, en las que las velocidades pueden llegar a miles de km/s, los cambios de frecuencia son suficientes para hacer variar apreciablemente el color (pero su lejanía hace que sean observables solamente con potentes telescopios).

Paquetes de Ondas:

Ningún manantial de ondas vibra de un modo indefinido como se requeriría

para producir una verdadera onda sinusoidal. Normalmente, las vibraciones se

amortiguan hasta desaparecer o se las interrumpe de alguna forma. En

consecuencia, se producen grupos de ondas de longitud finita, conformando lo

que se conoce como paquetes de ondas (figura 15).

Entre las características de estos paquetes de ondas, tenemos que su longitud

de onda no está bien definida. Si se hace pasar el paquete por algún aparato

que mida tal longitud de onda (red de difracción, por ejemplo), se encontrará que

están distribuidas en un cierto intervalo Δλ. La intensidad máxima se producirá

para el valor λ0, pero habrá energía asociada a otras longitudes de onda y la

intensidad decrecerá a ambos lados de ese valor.

´λ

1

EJEMPLO DE UN PAQUETE DE ONDAS figura 15





Cuanto mayor sea el número N de ondas del grupo, menor será la dispersión

Δλ. Se demuestra que Δλ/λ0 es aproximadamente igual a 1/N. Por lo tanto,

sólo cuando N es muy grande puede considerarse que la onda tiene una

longitud definida con precisión.

Si el medio en el cual se desplaza el paquete es tal que la velocidad depende

de la frecuencia, se observa que las crestas de las ondas se desplazan con

velocidad diferente a la del paquete en conjunto (el cual se extiende a medida

que avanza). Nos encontramos por lo tanto con dos velocidades: la de onda (o

de fase) y la de grupo.

En los manantiales luminosos, los átomos radiantes emiten trenes de onda de

longitud finita. Corrientemente, a causa de las colisiones y de otros debilita-

mientos, tales paquetes son muy cortos. De acuerdo con lo anteriormente

mencionado, deducimos que las rayas del espectro no son muy estrechas, sino

que tienen una anchura apreciable Δλ. Midiendo esta anchura podemos saber

la longitud media de los paquetes de ondas.

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