20131021101012

Aplicaciones de la Derivada: maximos y mınimos

Lic. Robert Dıaz Tapullima

Departamento de Ciencias

UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO

UPAO

26 de mayo de 2013

Departamento de Ciencias – UPAO Aplicaciones de la Derivada: maximos y mınimos 1/24

Motivacion

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Determinar en que momentos el transito en un punto de unacarretera es mas rapido o mas lento, decidir la manera en que seutilice la menor cantidad de material en una obra o encontrar elpunto en el que la produccion sea maxima, son algunos problemasque ocurren en la realidad.

Que se desea hacer en estos problemas:.............. ¿maximizar ominimizar?

¿Se podra utilizar herramientas matematicas para solucionar estosproblemas?


Motivacion

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Motivacion

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Motivacion

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Motivacion

Mas concretamente se tiene el siguiente problema:

Optimizacion de materiales

Tres ciudades estan situadas en los vertices de un trianguloisosceles. Las ciudades B y C que distan entre si 16 km estansituadas en la base, en tanto que la ciudad A esta en el tercervertice y a una distancia de 10 km de la base. ¿A que distancia deA sobre la altura del triangulo, se debe ubicar una instalacion debombeo de manera que se emplee la menor cantidad de tuberıapara abastecer de agua a las tres ciudades?.


Motivacion

Se observa que este es un problema optimizacion en el que se deseaminimizar la cantidad de material.

A resolver este tipo de problemas se orienta la presente sesionutilizando herramientas matematicas, entre otras, la derivada.


Motivacion

Se observa que este es un problema optimizacion en el que se deseaminimizar la cantidad de material.

A resolver este tipo de problemas se orienta la presente sesionutilizando herramientas matematicas, entre otras, la derivada.


Objetivos

Objetivos o capacidad de la sesion

• Aplicar la derivada para analizar el crecimiento y decrecimientode funciones.

• Utilizar el criterio de la primera derivada para determinar elmaximo y mınimo de una funcion.

• Aplicar la derivada en la solucion de modelos funcionales delentorno real.


Funcion creciente y decreciente


Sea f : R→ R una funcion e I un intervalo contenido en el dominiode f (Df )a.) Se dice que f es creciente en I si para cualquier x1, x2 ∈ I con

x1 < x2 se tiene que f (x1) < f (x2).

b.) Se dice que f es decreciente en I si para cualquier x1, x2 ∈ Icon x1 < x2 se tiene que f (x2) < f (x1).

Figura: ¿Crece o decrece? Figura: ¿Crece o decrece?



c.) Si una funcion f es creciente o decreciente en un intervalo I ,entonces se dice que f es monotona.

Teorema

Si f : R→ R es una funcion continua en [a, b] y derivable en 〈a, b〉entonces

a.) Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces f es creciente en〈a, b〉;

b.) Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ 〈a, b〉, entonces f es decreciente en〈a, b〉.


Maximos y mıminos locales

Definicion

Sea f : R→ R, x0 ∈ Df y B(x0, δ) = 〈x0 − δ, x0 + δ〉 ⊂ Df

a.) Se dice que f tiene un maximo local en x0 si f (x) ≤ f (x0) paratoda x ∈ B(x0, δ);

b.) Se dice que f tiene un mınimo local en x0 si f (x0) ≤ f (x) paratoda x ∈ B(x0, δ).

• El termino extremo se utiliza para denotar a un maximo o a unmınimo local.

Definicion

Un extremo se dice que es global si es extremo para todo eldominio de la funcion.



• El valor maximo o mınimo de una funcion es la ordenada(coordenada y = f (x0)) del punto en el que la grafica tiene unextremo.



• ¿Que extremos identificas en la grafica?

• ¿Que pasa con la derivada en esos puntos?



Teorema

Si una funcion f tiene un maximo local o un mınimo local en unpunto x0 de un intervalo abierto, entonces f ′(x0) = 0 o f ′(x0) noexiste.

• x0 se denomina punto crıtico.


Crıterio de la primera derivada

Teorema

Sea x = x0 un punto crıtico de la funcion f , f continua enB(x0, δ) = y f derivable en B(x0, δ) excepto talvez en x0. Entonces:

a.) Si f ′(x) > 0 para toda x ∈ 〈x0 − δ, x0〉 y f ′(x) < 0 para todax ∈ 〈x0, x0 + δ〉, entonces f (x0) es un maximo local de f ;

b.) si f ′(x) < 0 para toda x ∈ 〈x0 − δ, x0〉 y f ′(x) > 0 para todax ∈ 〈x0, x0 + δ〉, entonces f (x0) es un mınimo local de f ;





c.) si f ′(x) tiene el mismo signo en x ∈ 〈x0 − δ, x0〉 y x ∈ 〈x0, x0 + δ〉,entonces x0 no es un extremo local de f .

Ejemplo: Sea la funcion f (x) = x2/3(x − 5) ⇒ f ′(x) = (5/3)x−1/3(x − 2)⇒ los puntos crıticos son: x = 0 y x = 2 ⇒ se tiene los siguientesintervalos: 〈−∞, 0〉, 〈0, 2〉 y 〈2,+∞〉. Por lo tanto

Tarea: Determinar los extremos locales de las funciones:

a.) f (x) = x4 − 4x3 + 7 b.) f (x) = x4

x−1 .


Crıterio de la segunda derivada

Teorema

Sea x0 un punto crıtico de la funcion f ademas f diferenciable dosveces en x0. Entonces:

a.) Si f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) < 0, entonces f (x0) es un maximo localde f ;

b.) si f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) > 0, entonces f (x0) es un mınimo localde f .


Ejemplo aplicativo

Conservacion optima

En un lago se cultivan peces. Entre mas peces se introduzca,habra mas competencia por el alimento disponible y el pezganara peso en forma mas lenta. De hecho, se sabe porexperimentos previos que cuando hay n peces por unidad de area delago, la cantidad promedio en peso que cada pez gana en unatemporada esta dado por w = 600− 30n gramos. ¿Que valor de nconduce a la produccion total maxima en el peso de los peces?


Ejemplo aplicativo

SolucionLa ganancia en peso de cada pez es w = 600− 30n. Puesto quehay n peces por unidad de area, entonces la producion total porunidad de area es P = nw . Por lo tanto,

P(n) = n(600− 30n) = 600n − 30n2.

Se desea que la produccion sea en lo posible mayor o igual que ceroentonces para P(n), n ∈ [0, 20].Derivando P(n) se obtiene P ′(n) = 600− 60n. Como P ′(n) existepara cualquier n, los puntos crıticos son aquellos que satisfacenP ′(n) = 0. Es decir,

600− 60n = 0.

Por lo tanto P tiene un punto crıtico en n0 = 10.


Ejemplo aplicativo

Analizando P y P ′ en valores menores y mayores que n0 = 10.

Ası, cuando se tiene 10 peces por unidad de area laproduccion total es maxima. El valor maximo de P es

P(10) = 600(10)− 30(10)2 = 3000,

es decir, 3000 gramos por unidad de area. Se puede verificar queeste es un maximo local usando el crıterio de la segunda derivada:

P ′′(n) = −60.


Ejemplo aplicativo

P ′′(n) < 0 para todos los valores de n, por lo que para n0 = 10(punto crıtico) corresponde un maximo local de P.

En la siguiente figura se observa de forma grafica como P aumentay disminuye.

Figura: Grafica de P(n) = 600n − 30n2.


Ejemplo a solucionar

Flujo vehıcular

En el verano pasado el ministerio de transportes con el fin dedeterminar la variacion de la velocidad del flujo de vehıculos queregresan de las playas del sur de Lima hacia Lima los dıas domingosentre las 17:00 horas y 22:00 horas, ha efectuado mediciones queindican que la velocidad del transito a la entrada de la capital enese lapso esta dada por;

V (t) =80

9

( t3

3− 5

2t2 + 4t

)+

1180

27,

donde, V(t) se expresa en kmh y t = 0 equivale a las 17:00 horas.

a.) ¿En que momento entre las 17:00 horas y 22:00 horas eltransito es mas rapido y en que momento es mas lento?;

b.) ¿Cual es la velocidad maxima y mınima que se alcanza en estelapso de tiempo?.


Ejemplo a solucionar

Optimizacion de materiales

Tres ciudades estan situadas en los vertices de un trianguloisosceles. Las ciudades B y C que distan entre si 16 km estansituadas en la base, en tanto que la ciudad A esta en el tercervertice y a una distancia de 10 km de la base. ¿A que distancia deA sobre la altura del triangulo, se debe ubicar una instalacion debombeo de manera que se emplee la menor cantidad de tuberıapara abastecer de agua a las tres ciudades?.



Tarea

Determinar si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes:

a.) f (x) = 2x + 3

b.) f (x) = −13x + 12

c.) f (x) = 1x

Tarea

Determinar para las siguientes funciones los valores de x en lascuales crecen o decrecen:

a.) f (x) = x2

b.) f (x) = x3 − 3x

c.) f (x) = 4xx2+4

.



Tarea

Determinar los puntos crıticos para las siguientes funciones:

f (x) = 2x3 − 3x

f (x) = x4(x − 1)4/5

f (x) = x3e−x2.


Referencias

Libros:

• Pita Ruiz, C. Calculo de una variable. Prentice Hall.

• Ortega, P. y Serra, J. Problemas de Calculo Diferencial. 1era aEdicion. Editorial Pearson Educacion. Mexico, 2008.

• Arya, J. y Lardner, R. Matematicas aplicadas a la Administracion yla Economıa. Pearson Educacion. Mexico. 2006.

Libro virtual

• Colo, Ana, Patritti, Hector. Aplicaciones de la Derivada. (En lınea).Uruguay, 2004 (consultado el 27 de febrero del 2013). Disponible en:http://www.utu.edu.uy/Publicaciones/Publicaciones

%20Educativas/Libros %20de %20Matematica/libro

%20de %20DERIVADA.pdf

Enlace de interes

• http://canek.uam.mx/Calculo1/TCalculo1.php (consultado el 27 defebrero del 2013).


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