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.cl open green road Guía Matemática CUADRIL ´ ATEROS tutora: Jacky Moreno
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Guía MatemáticaCUADRILATEROS
tutora: Jacky Moreno
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1. Polıgonos
Epistemologicamente, la palabra polıgono significa “muchos angulos”. Los polıgonos son figuras ce-rradas planas que estan formadas por la union de segmentos rectos que tienen distinta direccion. Al serfiguras cerradas el contorno del polıgono delimita dos regiones del plano: el area interior que correspondeal espacio que queda encerrado dentro de las lıneas poligonales y el area exterior que queda fuera de estaslıneas, tal como lo muestra la figura.
Como dijimos, los polıgonos se caracterizan por tener multiples angulos, en base a la medida quetengan sus angulos interiores los podemos clasificar en concavos o convexos.
Polıgonos Concavos: Corresponden a aquellos polıgonos en que algun angulo interior es mayorque 180°. Tambien se pueden identificar como aquellas figuras en las que al trazar un segmentodeterminado por dos puntos de la region interior del polıgono, este segmento posee al menos unpunto que esta en la region exterior.
Polıgonos Convexos: Corresponden a aquellos polıgonos en que todos sus angulos interiores sonmenores que 180°. Tambien se pueden identificar como aquellas figuras en las que al trazar unsegmento determinado por dos puntos de la region interior de polıgono, este segmento tiene todossus puntos en la region interior.
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De acuerdo al numero de lados los polıgonos los podemos clasificar como se muestran a continuacion:
Numero de lados Nombre
3 Triangulo
4 Cuadrilatero
5 Pentagono
6 Hexagono
7 Heptagono
8 Octagono u octogono
9 Nonagono o Eneagono
10 Decagono
11 Endecagono
12 Dodecagono
13 Tridecagono
14 Tetradecagono
15 Pentadecagono
20 Icosagono
1.1. Propiedades de los polıgonos
En todo polıgono de n lados se cumplen las siguientes propiedades:
La suma de los angulos interiores es igual a 180° · (n− 2).
La suma de los angulos exteriores es igual a 360°.
El numero de diagonales que se pueden dibujar desde un vertice es de (n− 3).
El numero total de diagonales que es posible trazar esn · (n− 3)
2.
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- Ejercicios 1
Resolver los siguientes ejercicios.
1. Si el numero de diagonales que se pueden trazar en un polıgono es 14, ¿cuantos lados tiene elpolıgono?
2. Si la suma de los angulos interiores de un polıgono es igual a 1260°, ¿cuantos lados tiene el polıgono?
3. ¿Cuantas diagonales son posible trazar en un polıgono de 12 lados?
4. Si el numero de diagonales que se pueden trazar desde el vertice de un polıgono son 7, ¿cuantosuman las medidas de los angulos interiores del polıgono?
5. Si la suma de los angulos interiores de un polıgono es igual a 720°, ¿cuantas diagonales es posibletrazar en su interior?
1.2. Polıgonos regulares
Los polıgonos regulares corresponden aquellas figuras que tienen todos sus lados congruentes, comotambien todos sus angulos interiores. De lo contrario, se denominan polıgonos irregulares.
1.2.1. Propiedad de los polıgonos regulares
En todo polıgono regular de n lados se cumplen las siguientes propiedades:
La medida de cada angulo interior es de180° · (n− 2)
n.
La medida de cada angulo exterior es de360°n
.
Se pueden inscribir y circunscribir una circunferencia.
Se pueden dividir en n triangulos congruentes.
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- Ejercicios 2
Resolver los siguientes ejercicios.
1. ¿Cuanto mide cada angulo interior de un tetradecagono regular?
2. Si el angulo interior de un polıgono regular mide 135°, ¿cuantos lados tiene el polıgono?
3. Si el angulo exterior de un polıgono regular mide 60°, ¿cuantas diagonales se pueden trazar en elpolıgono?
4. ¿Cuanto mide cada angulo exterior de un pentagono regular?
5. ¿Cuanto miden los angulos interiores de uno de los 9 triangulos congruentes que se pueden formaren un nonagono regular?
6. ¿Cual es el polıgono regular que tiene el mayor angulo exterior? ¿Cuanto mide?
2. Cuadrilateros
Un cuadrilatero es un polıgono de cuatro lados, los cuales se cortan de dos en dos formando una figurageometrica cerrada compuesta por 4 vertices, 4 lados y 4 angulos (interiores y exteriores), que de acuerdoa su disposicion van variando la forma y tamano que tendra la figura geometrica. Al igual que con lospolıgonos podemos encontrar cuadrilateros concavos y convexos, de acuerdo a si uno de sus angulos midemas de 180° o no.
En esta guıa cuando hablemos de cuadrilateros haremos referencia a cuadrilateros convexos a no serque se indique lo contrario.
2.1. Propiedades de los cuadrilateros
Todo cuadrilatero cumple las siguientes propiedades que se obtienen a partir de las caracterısticasgenerales de los polıgonos:
La suma de los angulos interiores es igual a 360°.
La suma de los angulos exteriores es igual a 360°.
El numero de diagonales que se pueden dibujar desde un vertice es 1.
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El numero total de diagonales que es posible trazar dentro del cuadrilatero es 2.
La longitud del lado mayor debe ser menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados.
. Ejemplo
En el cuadrilatero ABCD de la figura se cumple que α = 3β y γ+ δ = 2α. ¿Cuanto miden los angulosα y β?
Solucion: Como la figura es un cuadrilatero la suma de los angulos interiores es 360°. Ası que:
360° = α+ β + γ + δ
360° = 3β + β + 2α
360° = 3β + β + 2(3β)
360° = 10β
36° = β
Por otro lado como α = 3β tenemos que el angulo α mide 108°.
- Ejercicios 3
Resolver los siguientes ejercicios.
1. En el cuadrilatero ABCD de la figura, ¿cuanto mide ]ABC?
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2. En el cuadrilatero ABCD de la figura se cumple que 2]BAD = ]ADC y ]ABC =]BCD
4.
¿Cuanto mide cada angulo interior del cuadrilatero?
3. En el cuadrilatero ABCD de la figura, ¿cuanto mide el angulo exterior β?
4. ¿Cuanto miden los angulos interiores del cuadrilatero formado por la interseccion de las rectas L1,L2, L3 y L4?
2.2. Clasificacion de los cuadrilateros
Los cuadrilateros se pueden clasificar de acuerdo a las caracterısticas que tienen sus cuatro lados.En particular, de acuerdo a la relacion de paralelismo que existe entre los lados, se pueden clasificar enparalelogramos, trapecios y trapezoides.
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2.2.1. Paralelogramos
Son aquellos cuadrilateros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos.
Propiedades de los paralelogramos
Todo paralelogramo cumple las siguientes propiedades:
Los angulos opuestos son congruentes, es decir, miden lo mismo.
Los angulos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180°.
Las diagonales siempre se cortan en sus puntos medios, es decir, cada diagonales se divide en dossegmentos iguales.
Los lados opuestos son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
Clasificacion de los paralelogramos
Los paralelogramos se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados y de sus angulos en lassiguientes figuras geometricas:
Cuadrado: Paralelogramo que tienen sus cuatro lados de igual medida y todos sus angulos rectos,es decir, miden 90°.
Dentro de las caracterısticas particulares que tienen los cuadrados podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
• Las diagonales son bisectrices de los angulos interiores.
• Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su interseccion se forman angulos rectos.
• Al ser un polıgono regular, se le puede inscribir y circunscribir una circunferencia.
Rectangulo: Paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales y sus lados consecutivos distintos.En cuanto a sus angulos, todos son rectos por lo que miden 90°.
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Dentro de las caracterısticas particulares que tienen los rectangulos podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
• Se le puede circunscribir en una circunferencia.
Rombo: Paralelogramo que tiene sus cuatros lados de igual medida. En cuanto a los angulosinteriores, ninguno mide 90°.
Dentro de las caracterısticas particulares que tienen los rombos podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son bisectrices de los angulos interiores.
• Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su interseccion se forman angulos rectos.
• Se le puede inscribir una circunferencia.
Romboide: Paralelogramo que tiene sus lados opuestos iguales y sus lados consecutivos diferentes.En cuanto a los angulos interiores, ninguno mide 90°.
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. Ejemplo
En el rombo ABCD de la figura se cumple que ]BDA = 2]BCA. ¿Cuanto miden los angulos interioresy exteriores del rombo?
Solucion: Sabemos que las diagonales del rombo actuan como bisectrices de los angulos, es decir, losdivide por la mitad. Ademas al ser el rombo un cuadrilatero sus angulos opuestos tienen igual medida yla suma de sus angulos interiores es igual a 360°.
Sea el ]BCA = x, entonces tenemos que ]BCD = ]BAD = 2x. Ademas como el ]BDA = 2]BCAtenemos que ]ABC = ]CAD = 4x. A partir de los datos anteriores podemos plantear la siguienteecuacion:
360° = 4x+ 4x+ 2x+ 2x
360° = 12x
360°12
= x
30° = x
Por lo tanto los angulos interiores del rombo miden 60° y 120° y los angulos exteriores miden lo mismo.
- Ejercicios 4
Resolver los siguientes ejercicios.
1. ¿Cuanto mide el suplemento del complemento del ]EBA del cuadrado ABCD?
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2. En el romboide ABCD de la figura se traza el BG que es bisectriz del ]ABC. Si EF es paralela aAD y ]ADC = 124°, ¿cuanto mide ]BHE?
3. En el rectangulo ABCD de la figura se cumple que DA ∼= AE. Si el ]BDE = 22°, ¿cuanto mide el]AFB?
4. En el rombo ABCD de la figura se trazan los segmentos BE y DF perpendiculares a los lados DCy AB respectivamente. Si el ]BCD mide 50°, ¿cuanto mide el ]CGB
5. En la figura, el cuadrado EFGD intersecta su lado EF con el cuadrado ABCD en el punto A. Siel ]DAE = 40°, ¿cuanto mide el ]GOD?
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6. En la figura, el cuadrilatero ABCD es rectangulo y el triangulo EBF es equilatero. ¿Cuanto mideel ]BGF si ]ADB = 60°?
2.2.2. Trapecios
Son aquellos cuadrilateros que tienen un par de lados opuestos paralelos. A estos lados se les denominabase y de acuerdo a la medida que tengan se les puede denominar base mayor o base menor.
La caracterıstica que destaca en estas figuras, es que la suma de los angulos colaterales internos entrelas bases son suplementarios:
α+ δ = 180°
β + γ = 180°
Clasificacion de los trapecios
Los trapecios se pueden clasificar de acuerdo a la medida de sus lados y de sus angulos en las siguientesfiguras geometricas:
Trapecio isosceles: Corresponde al trapecio que tienen sus lados no paralelos de igual medida.Ademas los angulos que forman los lados no paralelos con la base mayor son congruentes.
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Dentro de las caracterısticas particulares que tienen los trapecios isosceles podemos destacar lassiguientes:
• Las diagonales son congruentes, es decir, tienen la misma medida.
• Los angulos basales son congruentes.
• Los angulos opuestos son suplementarios.
Trapecio rectangulo: Corresponde al trapecio que tiene uno de sus lados no paralelos perpendi-culares a las bases.
Trapecio escaleno: Corresponde al trapecio que tienen sus lados no paralelos de distinta medida.
2.2.3. Trapezoides
Son aquellos cuadrilateros en que no existe ningun lado paralelo a otro.
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Clasificacion de los trapezoides
Los trapezoides de acuerdo a la medida de sus lados se pueden clasificar en las siguientes figurasgeometricas:
Trapezoide asimetrico: Trapezoide que tienen todos sus lados de distinta medida.
Trapezoide simetrico o deltoide: Trapezoide que tienen dos pares de lados congruentes entre sı.
Dentro de las caracterısticas particulares que tienen los deltoides podemos destacar las siguientes:
• Las diagonales son perpendiculares, es decir, en su interseccion forman angulos rectos.
• Una diagonal es bisectriz.
• La diagonal que es bisectriz, divide a la otra diagonal en dos segmentos congruentes.
. Ejemplo
En el trapecio isosceles ABCD de la figura se cumple que ]DAB = x+45° y ]BCD = 3x+15°. ¿Cuantomide el angulo α?
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Solucion: Como es un trapecio isosceles tenemos que los angulos opuestos son suplementarios:
180° = ]DAB + ]BCD
180° = x+ 45° + 3x+ 15°180° = 4x+ 60°120° = 4x
30° = x
Y al ser un trapecio isosceles los angulos basales son congruentes, por lo tanto ]DAB = α = (30 + 45)° =75°.
- Ejercicios 5
Resolver los siguientes ejercicios.
1. En el deltoide ABCD el ]DAB = 98° y ]ABC = 30°. ¿Cuanto mide el ]DCA?
2. En el trapecio ABCD de la figura el ]ABC = 54°. ¿Cuanto miden los otros angulos interiores deltrapecio?
3. En el trapecio isosceles ABCD de la figura se tiene que el ]ABC = 73°. ¿Cuanto mide el ]ADC?
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4. En el deltoide, ABCD el ]BDA = 16° y el ]DCB = 104°. ¿Cuanto mide el ]DBA?
5. En el trapecio ABCD de la figura se tiene que ]DBC = 36° y el ]DCB = 100°. ¿Cuanto mide]DBA?
6. En el trapecio ABCD de la figura se cumple que AD ∼= DC ∼= CB. Si ]DAB = 50°, ¿cuanto mide]BDC?
7. En el trapecio ABCD de la figura, los segmentos DE y EC son bisectrices de ]ADC y ]BDCrespectivamente. Si ]BAD = 75° y ]ABC = 37°, ¿cuanto mide ]CED?
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Bibliografıa
[1 ] Manual de preparacion PSU Matematica, Quinta Edicion,Oscar Tapıa Rojas, Miguel Ormazabal Dıaz-Munoz, David Lopez, Jorge Olivares Sepulveda.
[3 ] Desarrollo del pensamiento matematico, Cuadrilateros y otros polıgonos, No 14,Abril 2006,Martın Andonegui Zabala.
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