8/18/2019 2462-11817-1-PB

1/6

APLI CACI ON DEL METODO I NVERSO A LADETERMI NACI ON DE LA PRESI ON CAPI LAR Y LAS PERHEABI L I DADES RELATI VAS

EN EL DESPLAZAMI ENTO DE PETROLEO CON AGUA EN UN MEDI O POROSO

Pa t r i c i a M. C ar p an o ' "Car l os A . Gr at t on iMi r t ha S . B i dner

Labor at or i o de I ngeni er I a de Reser vor i osDepar t ament o de I ngeni er I a Qu! m1caF a c ul t a d d e I n ge nt e r I a - Un i v e r s i d ad Na c i o na l d e L a P l a -ta

L a P l a t a - A r g e nt i n a' " CI C.   0  CONI CET

S e p r o p on e u n me t o d o p a r a e s t i ma r s i mu l t a ne a me nt e l a s c u r v a s d ep e r me a bi l i d ad e s r e l a t i v a s y d e p r e s i o n c a p i l a r , a p ar t i r d e d at o s e x pe -r i me nt a l e s me di d o s d ur a nt e u n e n s ay o d e d es p l a z a mi e n t o d e p e t r 6 l e o c o na g ua e n u n t e s t i g o r o c o s o l i n e al . 5 e c o n s i d e r a q ue l a s p e r me a bi l i d ad e sr e l a t i v a s y l a p r e s i o n c a pi l a r s o n f u nc i o ne s e x po ne nc i a l e s d e l a s a t u r ~c i o n d e a gu a. S e u s a u n me t o do d e o pt i mi z a c 1o n p ar a mi n i m1 z ar L a s u mat o r i a d e l a s d i f e r e nc i a s a l c u ad r a do e nt r e e l c a ud al d e p et r o l e o e x pe r t

me nt a l y c a l c u l a do . £ 1 c a ud al d e p et r o l e o e n f u nc i o n d el t i e mp o s e c a l =c u l a c o n u n s i mu l a do r n ume r i c o d e l f l u j o t r a ns i t o r i o , b i f a s i c o e i n c o m-p r e s i b l e a t r a v es d e u n me di o p or o s o u ni d i me ns i o na l . L a s c u r v as d e ? e r -me a bi l i d a de s r e l a t i v a s y p r e s i o n c a p i l a r b us c a d a s s o n p a r a me t r o s d e d i -cho si mul ador .

A met hod t o est i mat e s i mul t aneousl y o i l - wat er r e l at i ve per mea-b i l i t i e s a nd c a pi l l a r y p r e s s ur e c u r v es i s p ut f o r wa r d . T he s e c u r v e s a r eo b t a i n ed f r o m e x pe r i me n t a l d at a me a s u r e d d ur i n g t h e d i s p l a c e me nt o f o i l

b y wa t e r t h r o ug h a l i n e ar c o r e . R el a t i v e p e r me a bi l i t i e & a n d c a p i l l a r yp r e s s ur e a r e c o ns i d er e d e x po ne nt i a l f u nc t i o ns o f wa t e r s a t u r a t i o n. Ano pt i mi z a t i o n t e c h ni q ue i s a pp l i e d t o mi n i mi z e t h e s u m o f t h e s q u ar e o f  t h e d i f f e r e nc e s b et we en c a l c u l a t e d a nd e xp er i me nt a l o i l r a t e s . T he o i lr a t e a s a f u nc t i o n o f t i me i s c a l c u l a t e d wi t h a n ume r i c a l s i mu l a t o r o f  t r a ns i e n t . t wo p ha s e , i n c o mp r e s i b l e f l o w t h r o u gh o n e d i me n s i o na l p or o u sme d i a . Oi l - wa t e r r e l a t i v e p e r me a bi l i t i e s a n d c a p i l l a r y p r e s s u r e a r e t h eadj ust ab l e par amet er s o f t he s i mul at or .

8/18/2019 2462-11817-1-PB

2/6

P ar a r e al i z a r e l d i s e no i n ge ni e r i l d e u na r e c up er f c i o n s e c un da r i ad e u n y a c i mi e n t o p e t r o l i f e r o me di a nt e u n b a r r i d o ~o n a g ua . e s n ece s a r i oco n oce r l a s p e r me a bi l i d a de s r e l a t i v a s   y   l a p r e s i o n c a pi l a r d el s i s t e maa gu a- p et r o l e o c o mo f u nc i o ne s d e l a s a t u r a c i o n d e l a f a s e a c uo s a. E s os

p a r a me t r o s s e d et e r mi n a n me d i a nt e e ns a y o s d e d es p l a z a mi e n t o e n e l l a b o-r a t o r i o u t i l i z a n do t e s t i g o s r o co s o s l i n ea l e s . T r a di c i o n al me n t e l o s e n s ay o s s e l l e v an a c a bo e n e s t a do e s t a c i o na r i o . i n e l y ac i mi e nt o e l f l u j o -e s t r a n s i t o r i o . P o r 1 0 t a n t o . d e be s e r t r a ns i t o r i o t a mb i e n e n s u s i mu l ac i on exper i ment al en el l abor at or i o. -

Var i os aut or es   [ 1- 3]   han pr opuest o met odos par a det er mi nar per mea-b i l i d a de s r e l a t i v a s a p a r t i r d e e ns a y o s d i n a mi ~o s d e d e s pl a z a mi e n t o . T ~d os e l l o s d es pr e ci a n l a pr e s i o n c a pi l a r c o n e l o bj e t o de a pl i c a r l a s o -l u c i o n a na l i t i c o - g r a f i c a d e Bu c kl e y L e ve r e t t a l f l u j o b i f a s i c o d e a gu ay pet r ol eo.

L a s e c ua c i o ne s d e d i f u s i v i d ad p ar a e l a gu a y p et r o l e o p ar a e l f l u - j o un i di men s i on al e i nc ompr e s i bl e s on r e s ue l t as numer i c amen t e po r di f e -r e nc i a s f i n i t a s u t i l i z a nd o e l me t o do I HP ES . L a d i s c r e t i z a c i o n d e l a s e -c u ac i o ne s y e l me t o do d e r e s ol u c i o n p ue de n v e r s e e n e l t r a ba j o d e Ga bb anel l i et a1, [ 3] . . -

L a s c u r v as d e p er e me ab i c i d ad r e l a t i v a y p r e s i o n c a pi l a r s o n f u nc i on es d e l a s a t u r a c i o n. d e a c ue r d o a l a s s i g ui e nt e s e xp r e s i o ne s :

S   - S   n

k   • k*   W wc )   Wr w   r w   I - S - Swc or

I - S - S   nk -   k*

  W   or)

  0r o   r o   I - S - S

wc or

1- 5 - 5   n p - p*

  w or)

  cc c   I - S - S

wc or

d on de : k * • k * • p * s o n p ar a me t r o s q ue p ue de n s e r d et e r mi n ad os e x pe r i -

me nt a l me f i r e u r g bt e ai d os j u nt o a n. n y n a j us t a ndo e l c au da l c o n e 1a l g or i t mo d e r e gr e s i o n n O' l i n ea l j WS . 0 S ~ S s o n s a t u r a c 10 ne s d e a -gua, agua connat a y r esi dual de pet ' o1e~cr espg~t 1vament e.

E l p r o b l e ma d e o pt i mi z a c i o n a r e s o l v e r e s l a mi n 1l l l i z a c i 6 n d e l af unc10n obj et i vo   (FO)   I s c ua l e s I s s ums de 1 08 c ua dr s d os d e 10 8 r e s i -duos ( R) :

d o nd e l o s s u b i n di ce s H, E . N, e i i n di ca n n Gme r o d e d at o s , e x pe r i me n t a : ,numer 1co y t empor al , r espect i vament e.

8/18/2019 2462-11817-1-PB

3/6

E l me t o d a d e o p t i mi z a c i o n u t i l i z a d o f u e   el   a l gor i t mo de Levenber g-Ma r q ua r d t [ 4 ] c o n u na f u nc i o n p en al i d ad . E s t a e s : n

w' no' n

c  ~ 1.

P a r a p r o ba r e l me t o d o p r o pu e s t o s e u t i l i z a n e n u na p r i me r a e t a p a,l o s d at o s d e l a T ab l a   I .   E l s i mu l a d or n ume r i c o s e a l i me n t a c a n d i c h os d at o s y c o ns i d er a nd o: n - 1 . 61 , n - L . 8 1, n - 1 . 5 0. L a s p er me ab i l i d ad es r e l a =t i v as a l p et r o l e o y a I a gu a, e 8. ( 1) y i c . ( 2) y 1 4 p r e s i o n c ap i l a r , e c.( 3 ) s e g r a f i c a n p ar a l o s v a l o r e s d e l o s p a r a me t r o s me nc i o na d os e n l a F i g .1 . E l c a ud al d e p et r o l e o e n f u nc i o n d el t i e mp o, QO( t ) , o bt e ni d o d e l a s !mu l a c i o n n ume r i c a s e mu es t r a e n 1 4 F i g . 2 . E l s i mu l a do r f u e u t 1 l 1 z a do c o n~x - 2 . 5 4x l O- l m y A t - 2 . o 00 s e g . E s t o s r e s u l t a do s f u e r o n u t i l i z a d os c o mo v al a r e s e x pe r i me nt a l e s c a n e l f i n d e v e r i f i c a r l a b on da d d el me t o d a.

De e s t e mo do , e n u na s e gu nd a e t a pa s e u t i l i z an l o s d at o s d e l a T abl a   I e n e l s i mu l a do r n Ume r i c o p e r o c o n d i s t i n t o s v a l o r e s i n i c i a l e s d e-

l o s pa r a me t r o s n , n , n • L o s c ua t r o j ue go s d e v al o r e s i ni c i a l e s s emu e s t r a n e n l a T l b l a ~l i p l i c a nd o l a t e c ni c a d e o p t i mi z a c i o n d e L e v en -b e r g - Ma r q ua r d t p ar a mi n i mi z a r 1 4 f u nc i o n o bj e t i v o , e c . ( 4 ) , v a r i a n do s imu l t a ne ame nt e l o s t r e s p ar a me t r o s n , n y n s e o bt i e ne n l o s v a l o r e s 7in al e s d e l a T a bl a   I I .   wac

S e o b s e r v a q ue l o s v a l o r e s f i n al e s d e nw

  y n o c o i n ci d en mu y b i e nc o n l o s v e r d a de r o s c o n u n e r r o r r e l a t i v o d e l o r d e n d e 0 . 0 1%. S i n e mb ar g oe l v al o r f i n al d e n d i f i e r e d el v e r d ad er o e n u n 3 . 25 %. De bi d o a e s t o ,s e e s t u di o l a i n f l u ~n ci a d e n s o br e 1 4 F O ma nt e ni e nd o n y n f i j o s . S ec o mp r o bo q ue e n e l e nt o r n o d e l mi n i ma F O e s i n s e ns i b l e a Ol a s ~a r i a c i o ne sde n •

c ,L as f u n c i o n es   ~Q'   k , P c ( s . , , ) Y Qo ( t ) o bt e ni d as c o n l o s v a l o r e s f in al e s : n - 1 . 6 1, n - 1 . 8 1 y ~· - 1 . 4 52 s e mu es t r a n e n l a s F i g . 1 y 2 c o moc u r vas c Kn t i n u as i o b r e e l g f a f i c o y so n . . c o 1 . n c . i d ent esc on l o s p un t o s q ue r ep r e s e nt a n a l o s v a l o r e s v e r d ad e r o s .

L a b on da d d e l a s o l u c i o n e s e v al u ad a c o n e 1 r e s i d uo p r o me di o :R   -/FO/H    - S . 6 64 x 10 - ~ s i e n do M- 1 S e l n Gme r o d e d at o s u t i l i z a d os . A de ma s d el t s d i s c r e p an c i a s e n t r e l a s c u r v a s d e p e r me a bi l i d ad r e l a t i v a c a l c u 14 da s yver d ader as es d et e r mi n ada p o r :

P - 6e -   t   e i / F - 9 . 5 9 x 10

i-1

d o nd e e i - k r wE i - k r wNi y p - 3 3 es e l n Gmer o d e med i c i o n es u t i l i z ad as .

E n e l an i l i s i s e f ec t u ado se u t i l i z a r o n c o mo med 1. c i o n es exp er i men t a -l e s , ~( t ) c a l c ul a da p or e l s i mu 14 do r p ar a l o s d at o s d e l a T ab l a   I .   Po r1 0 t a n~o l o s e r r o r e s e nc o n t r a d os s o n i n he r e nt e s a l mo de l e ma t e ma t i c o y al a t e c ni c a d e o pt i mi z a c i o n . E n 1 4 r e a l i d ad . 8 i s e h ub i e r a n u t 1 . l i z a d o r e -s u l t a d os d e e ns a y o s d e d e s pl a z a mi e nt o s e h a br ! a n s u ma d oo t r a s d o s f u en t e sd e e r r o r : l a s o r i g i n ad as e n l a s me di c i o ne s y l a a c r e ad as p or l a s r e pr e -s e nt a c i o ne s f u nc i o na l e s a pr o xi ma da s d e l a s e c s . ( 1 ) , ( 2) y ( 3 ) .

5 e a pl i c o e l me t o do i n ve r s o p ar a h al l a r l a s f u nc i o ne s k r   • k   YP c ( S w) ' E s t as f u n c i o n es so r t par amet r o s d e l mo d e l e mat emat i c o ae l f l u j o

8/18/2019 2462-11817-1-PB

4/6

exp er i ment alt.   1. 610

1. 810

+   1.500

numer i c o1.610

1.8io1. 452

Fi gur a 1. Cur vas de per meabi l i dadesr el at i vas   y   p r e s i o n c a pi l a r e n f u n-c i o n d e l a s a t u r a c i o n d e a gu a.

exper 1. l l l en t alnumer i c on •   1.610w

n •   1.810o

n •   1.452c

F i g ur a 2 . Ca ud al   de   pet r ol eo pr oduc i d o e n f u nc i o n d el t 1 emp o.

8/18/2019 2462-11817-1-PB

5/6

A r e a t r a ns v e r s a l , A

P or o s i d ad , ~

Pe r me a bi l i d a d a b s o l u t a , K  

P r e s i o n d e i n ye c c i o n, P iS at u r a c i o n c a n na t a d e a gu a, S wc

S at u r a c i o n r e s i d ua l d e p et r o l e o , S or

Vi s c o s i d ad d el a gu a, ~w

V i s c o s i da d d e l p e t r o l e o ,   ~w

L o n gi t u d d el me di o p or o s o , L

Per meabi l i dad r e l at i va a Swc'

Per meabi l i dad r e l at i va a Sor '

P r e s i o n Ca pi l a r a S wc ' P ~

k*ro

k*rw

1. 1401x10-3m2

0.2150

- 2 23.4937xl0   11 m

7.9054xl05

Pa0.3500

0.3190

O.9700xlO-3 pa. s

1. 0450xlO-2 pa. s

1. 2705xl0-1m

0.7740

0.1600

2.0265xlO-4 pa

VALORESI~ICIALES   VALORESFINALES

n n n   n   n   n   FOx104

w   0   c   w   0   c

2.000 2.000 2.000   1.609   1. 810   1.447 2.433

2.000 2.000 1.400   1.610 1. 810 1.455   2.432

1.600 1.600 1.600   1. 610   1.810   1.452   2.432

1.400 1. 400   1.400   1.610 1. 810   1.451   2.432

 Ta bl a I I . Va l or es ob t e ni do s c on di s t i nt os pu nt osi n i c i a l es .

8/18/2019 2462-11817-1-PB

6/6

de agua v pet r o l ee a t r aves de l a r oca- r eser vor i o. Se ut i l i zo un mode-10 numer i co y una t ecni ca ci e r egr esi on par a mi ni mi zar l as di f er enci aseucr e 105 val or es de l os caudal es de pet r ol eo medi dos axper i ment al men-t e   !l as cal cul adas por el model o. La mi ni mi zaci Pn se ef ect ua var i an-ci o l os par amet r os menci onad05. Se anal i zo excl usi vament e el er r or i nh~

r ent e al model e mat emat i ce   y   a l a t ec ni c a d e r egr es i o n, y s e enc o nt r oque el mi smo es muv chi co par a el conj unt o de dat os pr esent ados. Lascur vas de per meabi l i dad r el at i va y de pr esi on capi l ar son dat os necesar i os e i mpr esci ndi bl es par a el di seno de l a r ecuper aci on secundar i a   d epet r ol eo por i nundaci on cor . agua. De al I i su i mpor t anci a.

[ 1] J one s, S. C.   y   Roszel l e, W. P. , "Gr aphi cal Techni ques f or Det er mini ng Rel at i ve Per meabi l i t y f r om Di spl acement Exper i ment s" . J . Pet . Tec h. , Vol . 3C,   1978,   pags.   807-817. -

[ 2] Ekwer e,   J.   P . , . Sa nt a r u , K. , " T h e E f f ec t o f I n es t a bi l i t y o n Rel a -

t i ve Per meabi l i t y Cur ves Obt ai ~ed by t he Dynami c Di spl acementMet hod" . SPE For mat i or . Eval uat i on, Vol . : : ,   1978,   pags.   469-479.

[ 3] Ga bb an el l i , S . C. , Mez z at es t a , A. G. Y Bi d ner , M. S . , " On e Di -mensi onal Nume~i cal Si mul at i on of Wat er f l oodi ng an Oi l Reser -v oi r " . L a t .   Alt.   Heat &~l ass Tr ansf . , Vol . 6, 1982, pags.   25i-273.

[ 4] Gi l l . P . E . , ~u r r a y,   l>".   y Wr i ght , M.   R"   " Pr act i cal Opt i mi zat i on" ,Academi c Pr ess, 1981, pag. 136.