3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA · Interpolación de K medios aritméticos. 2.3. Suma de N...

Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente Matemáticas 3º ESO Unidad 5

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3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA

MATEMÁTICAS UNIDAD 5

LAS PROGRESIONES

a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Conceptos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación


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A/ PRESENTACIÓN

Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).

Esta afirmación tan evidente se conoce como el segundo axioma de Peano. Pero, ¿Es necesario afirmar de forma rigurosa que detrás de cada número hay otro? Como habrás imaginado la respuesta es: sí. Gran parte de la culpa del rigor matemático la tienen las sucesiones. Éstas se utilizan para demostrar grandes teoremas y, en muchas ocasiones simplifican cálculos que parecían imposibles en un principio. El hecho de que cada número tenga un sucesor (2 es el sucesor de 1, 3 el de 2, etc.) nos indica que desde los principios de la aritmética, las sucesiones y progresiones han estado presentes en todos nuestros cálculos. Ha habido grandes matemáticos de todos los tiempos, que han trabajado en el campo de las sucesiones. Uno de los ejemplos más claros y visuales, es el problema de la población de bacterias, resuelto con el uso de sucesiones geométricas por L. Euler, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. El problema es muy sencillo, aparentemente, en su enunciado: Tenemos una población de bacterias que se reproduce conforme a una ley. En la primera generación hay 2 bacterias, en la segunda hay 4, en la tercera hay 8, en la cuarta 16, y así sucesivamente. La pregunta es si podemos encontrar una fórmula que nos indique el número de bacterias que hay en la generación n-ésima.

Generación 1 2 3 4

Nº Bacterias 2 4 8 16

Como podemos observar en el cuadro, existe una relación entre el número de bacterias de la generación anterior y de la siguiente. Bacterias en una generación = 2·(Bacterias en la generación anterior). Si llamamos n a la generación, n = 1, 2, 3, 4, 5,…y Bn = Nº de bacterias en la generación n, entonces Bn = 2·Bn-1. Pero esto planteaba un problema a Euler. ¿Qué pasaría si necesitase el número de bacterias en la generación 248? Pues escribiendo la fórmula: B248 = 2·B247. Necesito saber las que hay en la 247 B247 = 2·B246. Necesito saber las que hay en la 246 B246 = 2·B245. Necesito saber las que hay en la 245 B245 = 2·B244. Necesito saber las que hay en la 244, etc.


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Este cálculo se puede complicar mucho, ya que hasta que lleguemos a la primera generación… Entonces lo que hacemos es intentar relacionar la n (generación) con la Bn (Nº de bacterias) Resulta que: Generación = 1 Bacterias = 21

Generación = 2 Bacterias = 22 Generación = 3 Bacterias = 23 Generación = 4 Bacterias = 24… Así que en la generación n tendremos 2n bacterias. Finalmente por tanto: Bn = 2n. Este problema, posteriormente, dio lugar a toda una teoría de propiedades de crecimiento y decrecimiento de poblaciones. Para llevar a cabo esta teoría fue necesario construir y redactar todas las propiedades de las sucesiones y, en particular las de dos tipos: Aritméticas y Geométricas. Esto es lo que vamos a estudiar en esta unidad.


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B/ EVALUACIÓN INICIAL

1. Saca factores de los siguientes radicales.

7

6·96)243·24·128) ba 32·56·343))80·125() 5 dc

2. Averigua el valor numérico de la siguiente expresión 2

522

n

nn para:

a) n = 1 b) n = – 3 c) n = 10

3. Simplifica las expresiones siguientes, dejando una sola fracción y sin calcular las potencias.

13

1

3

1

3

1

3)

12

1

22

1

2

1)

5

6

7

6ba

4. Calcula el valor de n en las siguientes expresiones:

143)·12()4

9)·1()1·(

4

1

2

5)

4264)6)·1(422)2

nndnnc

nbna

5. Dada la siguiente lista de números: 7, 3, – 1, – 5, – 9,… ¿Serías capaz de

completar la serie hasta obtener 15 términos? 6. Se quieren construir triángulos equiláteros con bolígrafos iguales. Completa la

siguiente tabla y halla la expresión que da el número mínimo de bolígrafos necesarios para hacer los triángulos

Nº de triángulos 1 2 3 4 5 … t

Nº de bolígrafos 3 5 7 …


5

7. Un pastor cierra una finca rectangular dcon 100 m. de tela metálica. Halla la expresión que permite obtener la superficie del terreno conociendo la base x del rectángulo. 8. En una ciudad, la bajada de bandera de un taxi cuesta 1 €, y luego se pagan 50 céntimos por cada Km. recorrido. Si hemos recorrido x Km. escribe una expresión que nos de el coste de la carrera en función de x. Si se han pagado 6 €, ¿cuántos Km. se han recorrido?


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C/ CONCEPTOS

1.- Sucesiones de números reales.

Definición de sucesión. Ejemplos. 2.- Sucesiones Aritméticas. 2.1. Definición. Término general 2.2. Interpolación de K medios aritméticos. 2.3. Suma de N términos de una sucesión aritmética. 2.4. Problemas de aplicación. 3.- Sucesiones Geométricas. 3.1. Definición. Término general. 3.2. Interpolación de K medios geométricos. 3.3. Producto de N términos de una sucesión geométrica. 3.4. Suma de N términos de una sucesión geométrica. Suma infinita.


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D/ ACTIVIDADES

Sistema de trabajo: individual. Recursos: libro de texto y consultores de aula.

1. Sucesiones de números reales. . ¿Cuál es el siguiente? ¿Y el siguiente? ¿Y…? - 1, 3, 5, 7… - 1, 4, 9, 16... - 256, 128, 64, 32… . Los tres ejemplos anteriores son sucesiones de números reales.

1. Indica los tres números que siguen a los dados:

a) – 6, – 3, 0, 3,… b) 200, 40, 8, 8/5,…

c) ,...4

5,1,

4

3,

2

1

. Lo que verdaderamente motiva el estudio de las sucesiones es la siguiente pregunta: ¿Hay alguna relación entre los números que aparecen y la posición en la que aparecen? . Fíjate en 1, 3, 5, 7, 9, 11,… Obviamente hay una relación muy clara que es que cada NÚMERO NUEVO = NÙMERO ANTERIOR + 2 . En el caso de 1, 4, 9, 16,… una relación parecida a la anterior es imposible, pero si que se observa que NÚMERO NUEVO = POSICIÓN2

2. Encuentra relaciones parecidas para las sucesiones del ejercicio 1.

Definición de sucesión. Ejemplos.

. Una sucesión de números reales es un conjunto ORDENADO de números. 3. Lee la página 52 del libro y contesta: ¿Qué diferencia hay entre posición y término? .En la sucesión: 3, 12, 45, 6, 87, 98, 1, 2, 43, 31. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 87? ¿Cuánto vale el séptimo término?


8

¿SABÍAS QUE…En general, a las posiciones de una sucesión se las denota por la letra “n” y son siempre las mismas 1, 2, 3, 4, 5… y a los términos que hay en cada una de esas posiciones se los denota por “an”

4. Lee la definición 1.4 de la página 53 del libro y realiza los ejercicios de ésa página.

5. Calcula los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

(a) 73

3

n

nan (b)

1)1(

2

n

nb n

n

(c) 0

32

1

1

c

cc nn (d) 5nd

. Ahora vamos a intentar algo un poco más difícil. Dados los primeros términos de una sucesión, ¿Podemos hallar el término general? . Sea la sucesión 2, 4, 6, 8, 10,… 1ª etapa: Observamos cómo varían los términos. Parece que cada término es el anterior más dos. 2ª etapa: ¿Soy capaz de decir cuál es el siguiente? Sí, es 12. 3ª etapa: Fabrico el siguiente cuadro Relación de 1 y 2 ; 2 =2·1 Relación de 2 y 4 ; 4 =2·2 Relación de 3 y 6 ; 6 =2·3 Relación de 4 y 8 ; 8 =2·4, etc De modo que el término general es: an = 2n

6. Halla el término general de: a) 1, 3, 5, 7,9… e) 1, 2, 4, 8, 16,…

Posición 1 2 3 4 5

Término 2 4 6 8 10

¿SABÍAS QUE… Hay dos formas fundamentales de expresar el término general:

1. En función de la posición. Bastará con sustituir n, por la posición que sea para calcular los términos

2. Como una ley de recurrencia: an = Algo que depende de an-1 entonces

voy a necesitar el primero para hallar el segundo, y el segundo para el tercero, etc…


9

b) ,...5

4,

4

3,

3

2,

2

1 f) 2, 5, 10, 17, 26,…

c) 1, 4, 9, 16, 25,… g) ,...25

4,

16

3,

9

2,

4

1,0

d) 0, 3, 8, 15, 24,… h) ...81

5,

27

4,

9

3,

3

2,1

2. Sucesiones aritméticas.

7. Lee atentamente el punto 2.1 de tu libro de texto en la página 54 e indica si las siguientes progresiones son aritméticas ó no lo son. En caso afirmativo indica la diferencia.

a) ,...3,2

5,2,

2

3,1 b) 5, 3, 1, – 1,… c) 16, 8, 4, 2, 1,…

d) ,...245,235,225,25,5

¿SABÍAS QUE…Una progresión es aritmética si cada término se obtiene a partir del anterior sumando una cantidad fija llamada diferencia (d). Es decir an = an-1 + d

2.1. Definición. Término general. .Toda progresión aritmética queda perfectamente determinada por el primer término a1 y por su diferencia, d. Vamos a realizar un proceso que construirá la fórmula del término general de una P.A. .Sean a1 y d el primer término y la diferencia de una P.A. cualquiera. Sabemos que: a2 = a1 + d En total hay n – 1 ecuaciones. Sumando miembro a miembro: a3 = a2 + d a4 = a3 + d a2 + a3 + a4 + a5 +…+ an= a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an-1 + d+…+ d. a5 = a4 + d ………….. En total, en la parte derecha hay (n – 1)·d. Así: an = an-1 + d a2 + a3 + a4 + a5 +…+ an= a1 + a2 + a3 + a4 +…+ an-1 + (n – 1)d. Como ves se cancelan todos y queda an= a1 + (n – 1)d.

IMPORTANTE: Toda progresión aritmética responde a la fórmula que hemos deducido para su término general. an = a1 + (n – 1)d.


10

8. En la fórmula anterior, obtén expresiones para calcular a1, d, y n

9. Realiza los ejercicios del 5 al 8 de la página 55 del libro.

10. En una progresión aritmética se conocen: a) a3 = 28 y a7 = 448. Calcula a1 y d b) a1 = 2 y a11 = 6. Calcula d 2.2. Interpolación de K medios aritméticos. . Interpolar, significa intercalar. Veamos un ejemplo sencillo: Interpolar 5 medios aritméticos entre – 4 y 14. – 4, __ , __ , __ ,__ , __ , 14 . Tenemos que hallar 5 términos entere – 4 y 14 de tal forma que resulte una progresión aritmética. a1 – 4, __ , __ , __ ,__ , __ , 14 a7 1 2 3 4 5 6 7

Contamos los términos que hay, incluidos los extremos. De este modo tenemos que: an = a1 + (n – 1)d. a7 = 14; a1 = – 4; n = 7, puedo calcular “d” 14 = – 4 + (7 – 1)d 18 = 6d d = 3

11. a) Interpola 3 medios aritméticos entre 7 y 23. b) Interpola 4 medios aritméticos entre 5 y 25. c) Interpola 6 medios aritméticos entre 3 y 73. d) Interpola 4 medios aritméticos entre 4 y 6.

12. En una progresión aritmética se conocen el cuarto término que vale 5 y el undécimo término que vale 7. Halla los términos que hay entre medias. 2.3. Suma de N términos de una sucesión aritmética. . Hace muchos años, un niño llamado Karl Friedich Gauss resolvió a la edad de 10 años el siguiente problema: “Calcular la suma de los 100 primeros números” 1 + 2 + 3 +…+ 99 +100 = ? Nos puede llevar un rato hacer las 100 sumas, pensó Gauss, y se dio cuenta de lo siguiente:

– 4, – 1, 2 , 5 , 8 , 11 , 14


11

1 + 2 + 3 + 4 +…+ 97 + 98 + 99 + 100 4+97=101 3 + 98 = 101 2 + 99 = 101 1 + 100 = 101 De modo que tenemos 101 la mitad de las veces (es decir 50) así se resuelve que: 1 + 2 + 3 + 4 +…+ 97 + 98 + 99 + 100 = 101·50 = 5050.

13. Sea la progresión aritmética 1, 4, 7, 10, …, 298. ¿Podrías calcular la suma de la misma forma que lo hizo Gauss?

14. Lee la página 55 de tu libro y la demostración de la página 60. Realiza los ejercicios 9 y 10 de la página 55.

15. Calcula la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética – 3, 0, 3, 6,…

16. Calcula el primer término de una progresión aritmética sabiendo que la suma de los 50 primeros es 2825 y que el último vale 150.

17. ¿Cuántos términos de la progresión 3, 1, - 1, - 3,… hay que sumar para que la suma sea - 140?

18. Halla cuatro números en P.A. sabiendo que su suma es 22 y que la suma de sus cuadrados es 166.

¿SABÍAS QUE…En toda progresión aritmética se cumple la ley de términos equidistantes:

a1 + an = a1+j + an-j y para el término central: 2

1

2

nn

aaa (cuando n es impar)

¿SABÍAS QUE…La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética se calcula:

naa

S nn ·

2

)( 1


12

19. A modo de repaso realiza los ejercicios del 25 al 35 la página 61. 2.3. Problemas de aplicación . Las progresiones nos pueden servir, como vimos en la presentación, como herramienta para resolver problemas. .EJEMPLO: “La factura de teléfono de cierto operador se realiza cobrando 12 céntimos de establecimiento de llamada y luego 6 céntimos por minuto. Si una persona ha pagado por una llamada 1.32 euros, ¿Cuántos minutos estuvo hablando?” 1º Agrupemos los datos: Dinero pagado = 12 + 6·(Nº de minutos) 2º Le damos nombre: an = 12 + 6·n, donde n es el número de minutos. 3º 132 = 12 + 6n 120 = 6n n = 20 minutos.

20. Realiza los problemas de la página 63 de tu libro. 3. Sucesiones geométricas. . Hemos visto que cuando vamos sumando la misma cantidad, obtenemos una progresión aritmética, que está bien definida y de la que tenemos fórmulas para calcular todos los elementos que en ella intervienen. . Vamos a dar un salto en la jerarquía de operaciones. ¿Qué pasa si multiplicamos en lugar de sumar? Por ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, 64,… 2, 2

2, 2

3, 2

4, 2

5, 2

6,… an = 2·an-1

Si observamos los exponentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… ¡Son las posiciones!

21. Indica si las siguientes progresiones son geométricas. En caso afirmativo, indica cual es la razón.

a) ,...27

16,

9

8,

3

4,2 b) ,...

18

8,

6

4,

3

2,1 c) 27, 45, 75, 125,…

¿SABÍAS QUE…Una progresión es geométrica si cada término se obtiene a partir del anterior multiplicando por una cantidad fija llamada razón (r). Es decir an = r·an-1


13

3.1. Definición. Término general. .Toda progresión geométrica queda perfectamente determinada por el primer término a1 y por la razón, r. Vamos a realizar un proceso que construirá la fórmula del término general de una P.G. .Sean a1 y r el primer término y la razón de una P.G. cualquiera. Sabemos que: a2 = r·a1 En total hay n – 1 ecuaciones. Multiplicando ambos miembros: a3 = r·a2 a4 = r·a3 a2 ·a3 ·a4 ·a5·…· an= a1·a2 ·a3 ·a4 ·…·an-1·r·…·r. a5 = r·a4 ………….. En total, en la parte derecha hay rn-1. Así: an = r·an-1 a2 · a3 · a4 ·a5 ·…· an= a1 · a2 · a3 · a4 ·…· an-1 · r

n-1. Como ves se cancelan todos y queda an= a1 · r

n-1.

IMPORTANTE: Toda progresión geométrica responde a la fórmula que hemos deducido para su término general. an = a1 ·r

n-1.

22. En la fórmula anterior, obtén expresiones para calcular a1 y r.

23. Realiza los ejercicios del 11 al 14 de la página 57 del libro.

24. En una progresión geométrica se conocen: a) a7 = 1 y r = 1/2. Calcula a1. b) a5 = 7/3 y r = 2. Calcula a1 y a15

25. En una P.G. de término general 13

5naa calcula a1 y r

26. Cierto término de una P.G. vale 28672, el primero es 7 y la razón es 2, ¿Qué posición ocupa dicho término?

3.2. Interpolación de K medios geométricos. . Veamos un ejercicio análogo al de interpolación aritmética: Interpolar 4 medios geométricos entre 3 y 96 3, __ , __ , __ ,__ , 96 . Tenemos que hallar 4 términos entere 3 y 96 de tal forma que resulte una progresión geométrica.


14

a1 3, __ , __ , __ ,__ , 96 a6 1 2 3 4 5 6

Contamos los términos que hay, incluidos los extremos. De este modo tenemos que: an = a1 ·r

n-1. a6 = 96; a1 = 3; n = 6, puedo calcular “r” 96 = 3·r5 32 = r5 r = 2

27. a) Interpola 1 medio geométrico entre 4 y 16. b) Interpola 5 medios geométricos entre 7 y 5103. c) Interpola 5 medios geométricos entre 8 y 1/8.

28. En una progresión geométrica se conocen el cuarto término que vale 56 y el noveno término que vale 1792. Halla los términos que hay entre medias. 3.3. Producto de N términos de una sucesión geométrica. . Reflexiona un momento sobre las analogías que hay entre progresiones aritméticas y geométricas: an = a1 ·r

n-1. an = a1 + (n – 1)d. producto - potencia suma – producto .Parece que en las progresiones geométricas, se sube un escalón en la jerarquía de operaciones:

Aritmética Suma Resta Producto División Geométrica Producto División Potencia Raíz

“Calcular el producto de la progresión: 1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128” Nos puede llevar un rato hacer las 7 multiplicaciones, pero si probamos lo que hizo Gauss para la suma: 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 4 8 16 32 64 128 8·16=128 4·32 = 128 2 ·64 = 128 1· 128 = 128

3, 6 , 12 , 24 , 48, 96


15

De modo que tenemos 128 multiplicándose 4 veces (es decir la mitad de los 8 que teníamos) así se resuelve que: 1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = 1288/2 = 1284 = (27)4 = 228

29. Sea la progresión aritmética 3, 6, 12, 24, …, 384. ¿Podrías calcular la suma de la misma forma que lo hemos hecho?

30. Deduce la fórmula del producto de n términos de una P.G. teniendo en cuenta la fórmula de la suma de una P.A. y el cuadro de equivalencias de operaciones que hay en la página anterior

31. Calcula el producto de los 15 primeros términos de una progresión geométrica en la que a1 = 7 y a15 = 1575

32. Calcula el producto de los 7 primeros términos de la progresión

geométrica ,...4

1,

2

1,1

33. Calcula el producto de los 11 primeros términos de la progresión geométrica cuyo término central vale 2.

3.4. Suma de N términos de una sucesión geométrica. Suma infinita.

34. Lee atentamente las páginas 56 y 57, así como las demostraciones de la página 60. Realiza los ejercicios 15, 16, 17 y 18 de la pág. 57.

35. Hallar la suma de los 10 primeros términos de ,...1,2

3,

4

9,

8

27. ¿Se

podría calcular la suma infinita? Calcúlala en caso afirmativo.

¿SABÍAS QUE…En toda progresión geométrica se cumple la ley de términos equidistantes:

a1 · an = a1+j · an-j y para el término central: 2

2

1· nn aaa (cuando n es impar)

¿SABÍAS QUE…El producto de los n primeros términos de una progresión

geométrica se calcula: n

n

n

nn aaaaP )·()·( 12

1

¿SABÍAS QUE…La suma de n términos de una Progresión geométrica se halla:

1

· 1

r

aarS n

n y si además – 1 < r < 1 se puede hallar toda la suma r

aS

1

1


16

36. A modo de repaso realiza los ejercicios del 36 al 45 en las páginas 61 y 62.

37. Realiza los problemas 80 y 81 de la página 63.

38. Lee atentamente las páginas 58 y 59 y realiza los ejercicios que en ésta se proponen.


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E/ AUTOEVALUACIÓN

Alumno/a....................................................................................................Grupo..... 1. Indica si son verdaderos (V) o falsos (F) los siguientes enunciados: ( ) Toda progresión es o bien aritmética o bien geométrica. ( ) Toda progresión aritmética tiene términos positivos. ( ) Toda progresión geométrica tiene términos positivos. ( ) En todas las progresiones geométricas puedo calcular la suma infinita. ( ) La sucesión de término general an = – 3n + 7 es aritmética.

2. Desarrolla los cinco primeros términos de las sucesiones cuyos términos generales son:

2

32

2

1

2

4

1

1

c

ccnb

n

na

nn

nnn

3. Escribe el n-ésimo término ó término general de las siguientes sucesiones:

,...27

20,

9

15,

3

10,5),...

13

16,

10

9,

7

4,

4

1),...

11

8,

9

6,

7

4,

5

2),...

343

16,

49

8,

7

4,2) dcba

4. ¿Qué lugar ocupa en la sucesión an = 3n2 – 2n, el término cuyo valor es 408?

a) Halla el primer múltiplo de 47 que sea mayor que 5000. b) Halla el múltiplo de 39 inmediatamente inferior a 8000.

5. En una progresión aritmética se conocen:

a. a1 = 3, d = 4. Hallar a22 y a13. b. a12 = 42, d = 2. Hallar a1. c. a40 = 59, a27 = 33. Hallar a1 y d. d. a25 = 52, d = -3. Hallar a40. e. a55 = 232, d = 7. Hallar a30.

6. a) Interpolar 4 medios aritméticos entre -3/7 y 1. b) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3. c) Interpolar 6 medios aritméticos entre 16 y 37.


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7. Hallar la suma de los:

a) 25 primeros términos de 3, 8, 13, 18,… b) 22 primeros términos de 42, 39, 36, 33,…

c) 40 primeros términos de ,...8

5,

4

3,

8

5,

2

1

8. Hallar la suma de una progresión aritmética de 12 términos sabiendo que a3 = 24, a10 = 66.

9. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 6, 4, 2, 0,… para que la suma sea -368?

10. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética 4, 1, -2, -5,… se deben tomar para que la suma sea -95?

11. Indica cuales de las siguientes progresiones son geométricas y cuales no lo son. En caso afirmativo escribir el término general.

,...2

3,1,

3

2,

9

8),....9,

27

5,

81

25),...

2

3,3,6,12) cba

12. Halla el octavo término de la progresión geométrica 5, 15, 45,…

13. Halla el decimosegundo término de la progresión geométrica ,...10

1,

100

1,

1000

1

14. Sabiendo que a1 = 3 y r = 2, halla a10 en una progresión geométrica.

15. En una progresión geométrica de razón 1/2, halla a6 y a8 conocido a1 = 8.

16. De una progresión geométrica se conocen:

a. a7 = 243, r = 3. Hallar a1 b. a15 = 512, a10 = 16. Hallar a1 y r c. a12 = 72, r = 1/2. Hallar a8 d. a1 = 6, a15 = 54. Hallar a6

17. Interpolar tres medios geométricos entre 108 y 1/12.


19

18. Halla la suma de los diez primeros términos de la progresión geométrica

...,3

1,

3

2,

3

4. ¿Cuánto vale la suma de todos?

19. Obtén la suma de una progresión geométrica ilimitada de razón 2/3 cuyo primer término vale 6.

20. Calcula el valor de la siguiente fracción suponiendo que el numerador y el

denominador tienen infinitos términos:

...1000

1

100

1

10

11

...9

4

3

21

2

3


20

F/ OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED

- Consultores de aula. - Explicación y ejercicios de aplicación www.cnice.mecd.es/recursos.html - Aplicación WIRIS. - Ejercicios. http://descartes.cnice.mecd.es/Algebra/Sucesiones_progresiones/ejercicios4.htm

www.fisicanet.com.ar/matematica/m2_progresiones.php www.ematematicas.net/parit.php?a=4

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G/ REFUERZOS EDUCATIVOS

Alumno/a....................................................................................................Grupo..... Sistema de trabajo: individual, monitorías de carácter individual o grupal. Recursos: todos los utilizados en la unidad.

1. Repasa y estudia todos los recuadros que has encontrado en esta unidad.

2. Halla el término general de cada una de estas sucesiones: a) { 10 , 7 , 4 , 1 , -2 ,…} b) {2 , 6 , 18 , 54 ,…} c) {4 ; 4,2 ; 4,4 ; 4,6 ;…}

d) ,...15

19,

15

13,

15

7,

15

1 e) ...

4

1,

2

1,1,2,4,8 f) ,...

21

32,

17

16,

13

8,

9

4,

5

2

g) ,...3,3

5,

9

7,

27

9,

81

11

3. Interpola 4 medios geométricos entre 1 y 81

16. Halla la suma y el producto de la

sucesión resultante. Si es posible, halla la suma total.

4. El tercer término de una progresión geométrica es 28 y el séptimo 448, halla el producto de los 20 primeros términos.

5. Dada la sucesión {8 , 5 , 2 , -1 , -4…}. Se pide: a) Halla el término general indicando si se trata de una progresión aritmética

o geométrica. b) Indica qué posición ocupa el término que vale -79 c) Calcula la suma de los 30 primeros términos.

6. En una progresión aritmética se conocen a4 = 4/9 y a9 = 23/18. Calcular la diferencia y la suma de los 12 primeros términos.

7. El tercer término de una progresión aritmética es 28 y el séptimo 448, halla el término general, el que ocupa la posición 15 y la suma de los 10 primeros términos.

8. Halla el término general de la progresión geométrica cuyo cuarto término es 56 y el noveno 1792.


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9. El término a11 de una progresión geométrica es 81 y el a1 es igual a 3

1, halla la

razón y el término que ocupa la posición 30.

10. En una progresión geométrica 160

1ay

5

1a 72 .

a) Halla los términos intermedios. b) Calcula el producto de los 9 primeros términos. c) Halla la suma de toda la progresión.

11. En una progresión aritmética se conocen a4 = 4/9 y a9 = 23/18. Calcular la diferencia y la suma de los 12 primeros términos.

12. Se cuenta que hace muchos años un tratante de ganado propuso a un señor el siguiente negocio: “Yo le vendo este caballo con la condición de que usted me pague un céntimo por el primer clavo de la herradura del caballo, dos por el segundo, cuatro por el tercero y así hasta llegar al clavo 32 que es el último”. Averigua el precio del caballo.

13. Se ha hecho un pozo de 40 metros de profundidad. Por el primer metro se ha pagado 7,5 € y por cada uno de los siguientes 2,3 € más que por el anterior. ¿Cuál es el coste total del pozo?

14. Interpola 5 medios aritméticos entre 2 y –22.


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H/ AMPLIACIONES

Alumno/a....................................................................................................Grupo.....

Sistema de trabajo: individual. Recursos: Todos los utilizados en la unidad

1. La suma de los 8 primeros términos de una progresión geométrica es 17 veces la suma de los cuatro primeros. Halla la razón.

2. La suma de los 10 primeros términos de una progresión geométrica es 244 veces la suma de los cinco primeros. La suma del cuarto y el sexto término es 135. Halla la razón y el primer término.

3. El producto de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es a21 y a1 = s. Halla a6 y la razón.

4. Halla la fracción generatriz de 2781.3)73.0) ba

5. Lee el apartado de aplica tus competencias de la página 65 y realiza los ejercicios que vienen en dicha página.

6. Realiza los problemas del apartado “para profundizar” de la página 64.

7.

Realiza los ejercicios de la página 69, leyendo previamente el Así Funciona.

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3º DE EDUCACIÓN SECUNDARIA OBLIGATORIA · Interpolación de K medios aritméticos. 2.3. Suma de N...

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