Date post: | 26-May-2015 |
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• La idea de valor absoluto está directamente relacionada con el de distancia en la recta numérica.
• La distancia de un número al origen se representa por medio de un número positivo.
• La distancia de los números 5 y -5 al origen (0) es la misma y vale 5.
• Finalmente la distancia de 5 y -5 al origen se representa por medio de una expresión llamada valor absoluto de estos, que se denota así:
|-5| = |5| = 5
Definición: El valor absoluto de un número real “x” se denota por x y se define como:
0
0
xsix
xsixx
Esto quiere decir que los números x y –x están a la misma distancia del origen.
0x
Entonces |x| representa la distancia de cualquiera de los números x y –x al origen.
Ejemplos: 66 66 33 00 55
¿Existirá algún valor de x que cumpla la siguiente igualdad: x= 7?
¿Qué valores puede tomar x si: x = 7
¿Qué valores puede tomar x si: x 5 = 9
Rpta: 7 ó 7
Rpta: 14 ó 4
Rpta: NO porque el valor absoluto de cualquier número real siempre es no negativo.
Responde
Esto también puede denotarse así: x = ± 7
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
1. a ≥ 0; a R
2. a = a ; a R
3. Si: x = a | a 0 x = a ó x = a
4. = x ; x R
5. a.b = a . b
6. b
a
ba
7. x = y ; si y sólo si: x = y ó x = y
2x
Para resolver ecuaciones con valor absoluto se aplica la definición de valor absoluto o algunas propiedades de valor absoluto.
Resolver una ecuación con valor absoluto, es hallar su conjunto solución; (C.S.) es decir los valores de la variable “X”.
Ejemplo N°1 Resolver 115x2
Resolución:
115x2 2x + 5 = 11 ó 2x + 5 = 11
2x = 6 ó 2x = 16
x = 3 ó x = 8
C.S: = { 8; 3}
Ejemplo N°2 Resolver 45x 2
Resolución:
45x 2 x2 5 = 4 ó x2 5 = 4
x2 = 9 ó x2 = 1
| x | = 3 ó | x | = 1
x = 3 ó x = 1
C.S, = { 3; 1; 1; 3 }
Extrayendo raíz cuadrada ambos miembros:
Ejemplo N°3 Resolver 10x72x
Resolución:
10x72x x + 2 = 7x – 10 ó x + 2 = – (7x – 10)
6x = 12 ó 8x = 8
x = 2 ó x = 1
C.S = { 2 }
Deben verificarse los valores calculados en la ecuación original
x = 2 : |2 + 2| = 7(2) – 10 4 = 4
( sí cumple)
x = 1 : |1 + 2| = 7(1) – 10
3 = 3( no cumple)
7|243
| x