4 gauss

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIRIA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

Curso: FISICA II CB 302U 93

Profesor: JOAQUIN SALCEDO [email protected]: Ley de Gauss

Halla el CE de una esfera hueca con carga Q radio a.

d

a

ad

a

asen

r

Ed

P

Las componentes en el eje Y se anulanEl CE resultante de la esfera hueca se encontrara sobre el eje X.El rea de trabajo

El diferencial de carga sena..2

ad

2

2d q a sen d =

De las relaciones observadas en el grafico tendremos:

ar

asen

x

2

2 2

2cos cos

x

dq k a sen d dE k

r r

= =

Las variables son: , ,r

Tipler -Mosca, Serway-Beichner, Sears-Semansky , Benson, Ohanian-Markert, Maximo-Alvarenga

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Escogemos rDel grfico

2 2 2 2 cosr a x ax rdr ax sen d = + =

2 22 2 2

2 cos cos2

a r xa r x rx

rx

2 = + =

2 2

2

2

x

rdr a r xdE c

ax r rx

2 =

xE =

Ley de gauss

Introduccin.Al calcular el CE de una esfera hueca conductora vemos que el clculo escomplicado. Existe un mtodo que nos facilitar el clculo cuando tengamossimetra?

as de fcil!

Flujo elctrico.Relaciona el CE y que atraviesa una superficie.Para una superficie perpendicular a E es el producto de la magnitud E y elrea A

EA =

Las unidades son 2/ Nm C Como el CE es proporcional al # de lneas por unidad de rea el es

proporcional al # de lneas que atraviesan el rea

Ejercicio.Imagina que tus dedos de la mano derecha son las lneas de CE y tu manoizquierda el rea. Analiza y responde cuando el flujo es mximo? Cuandoes mnimo? Cmo lo puedes expresar con smbolos?

Si el rea vara con la posicin. El flujo es d EdA =


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Al rea se le adjudica un vector con un vector unitario normal a su superficie

A An= En consecuencia tenemos que hay dos entidades vectoriales que producen una cantidad escalar.

El flujo es:

Mximo si el rea es perpendicular a las lneas de CE.Nulo si es paraleloVara conforme el rea cambia.Luego una definicin que involucre todas estas consideraciones es:

.d E d = A Si es el ngulo entre la normal al plano y las lneas de CE

cosd EdA =

El flujo total es la suma infinitesimal en toda el rea involucrada

.E d A = Un caso muy importante es cuando la superficie es cerrada, el flujo neto es

. E d A =

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Un cubo de lado a=2 m tiene un vrtice en (1m, 0, 0) y sus lados son paralelosa los ejes coordenados.El cubo est en una regin donde el CE siempre tiene la direccin +x y sumagnitud varia slo en funcin de x, y tiene valores de 5N/C en x=1 y 15N/C

en x=3Cul es el flujo que atraviesa el cubo?

1 2 3 4 5 6

1 6

2

.

0 0 0 0

5 . ( 4 ) 1 5 . ( 4 ) 4 0 /

E d A E d A

i i i i N m

= =

= + + + + +

= + + + + +

= + =

C

El flujo en la cara 1 es negativo esta entrando y el flujo en la cara 6 es positivoesta saliendo.

Tarea:


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Enunciado de la ley de Gauss

* Halle el flujo de una carga puntual alrededor de una esfera con la carga en elcentro.En todos los puntos de la superficie de la esfera

El vector normal de la superficie es paralelo a E

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La magnitud del CE es la misma en todo punto de la superficie esfrica ciertoo falso?

22

0

. (4nkq q

d Ed A EdA E dA r kqr

) 4= = = = = =

Donde hemos sustituido por su valork0

1

4k

=

Resumiendo:

0 0

. n nq q

E d A o E d A

= =

El flujo neto a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la carganeta dentro de la superficie entre la permitividad del espacio libre.

Es una herramienta muy potente para calcular E en casos de simetra

Receta.

Observe si existesimetraBusque una superficie en donde todo todos los puntos tengan la mismamagnitud de CE o el vector normal sea perpendicular al CE (superficie G)

{ }/GS S E cte n E = = * Halle el CE de un plano infinito con carga uniforme con GaussExiste simetra.

La superficie gausiana es un cilindro pequeo perpendicular al plano.El la superficie lateral sl existe perpendicularidad


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0 0

. . . . ( ).( ) 2

22

sl base tapa base tapa b

E d S E d S E d S E d S EdS E dS E dS

SE S E

= + + = + ==

==

=

Esta es una relacin muy til. Ya la conocemos y lo veremos a menudoCundo un plano finito puede ser visto como finito?

Tarea.Halle el CE para dos planos paralelos infinitos con densidades de cargaopuesta

Simetra esfricaEntre las distribuciones de carga con simetra esfrica estn puntos, esferas,cascarones esfricos, y capas concntricas de esos objetos

*Halle el CE de una esfera hueca conductora

.La superficie G es un esfera concntrica de radio rPara el exterior

2

2

2

0

2

0

4. (4 )

E

R EdS EdS E d E ES r

R

r

== = = =

Exprese la relacin en funcin de su carga Q.


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2

2

0

2

0

(4 )4

Q Q E r E

r

Qk

r

= = =

!Conclusin!

Para puntos fuera de la espere el CE es como si la carga estuviera concentrada

en el origen.

Para el interior

20. (4 )

I E d S EdS E dS EE r= = = = = 0

* Halle el CE de una esfera slida no conductora de carga uniforme

La superficie G es un esfera concntrica de radio r

Para el exterior


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2

0

2. ( 4 ) E

Q EdS EdS E dS E

QE kr r

r

== = = =

Para el interior

Calculamos la carga encerrada.

3 3

33

4( )

4 3

3i

Q q Q Qq r

V V RR

= = = r

2 3

3 30

1. (4 ) i

Q E d S EdS E dS E r r

R

Q E k r

R

= = = = =

r


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Tarea.ExpreseEl campo exterior en funcin de la carga alguna conclusin?El campo interior en funcin de la densidad

Simetra cilndricaEntre las distribuciones de carga con simetra cilndrica estn las lneasinfinitamente largas, las barras (cilindros macizos), los tubos (cascaronescilndricos), etc. Y las capas concntricas de esos objetos

*Halle el CE de un hilo infinito con carga uniforme

Existe simetra.

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La superficie G es un cilindro de radio r y longitud L paralelo al hiloEs necesario que consideremos las partes de la superficie: dos tapas y lasuperficie lateral. En las tapas existe perpendicularidad.

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00

. . . . 0

( 21

) 2

b s t s

s

E r

E d S E d S E d S E d S E d S

l E d S E r l

r

= + + = + +

= =

0 =

=

Conclusiones:1) Gauss permite un calcula rpido y fcil en distribuciones de carga consimetra.

2) Se puede aplicar en algunos casos (despreciando efectos de borde ocomo aproximacin) a situaciones finitas

3) Gauss pertenece a las 4 leyes bsicas del electromagnetismo.

4)

Podra utilizar Gauss para calcular el CE de un dipolo, un disco cargado?Por qu?

Conductores en equilibrio electrosttico1. El CE es cero en el interior del conductor

2. Si el conductor aislado transporta carga esta reside en su superficie.

3. El CE afuera del conductor cargado es perpendicular a su superficie y

0/E =


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4. La densidad es mayor donde el radio de curvaturaR es menor /cte R =

Si existe equilibrio, el CE debe ser nulo, de no ser as habra movimiento de

cargas Antes de aplicar el CE externo los electrones libres se distribuyen por todo elconductor.Al aplicar el E los electrones libre se mueven hacia la izquierda y se produceuna acumularon de carga negativa en la superficie de la izquierda.Lo anterior da como resultado un plano de carga positiva a la derecha.Estas cargas producen un CE interno que anula el CE externo dentro delconductor.Esto sucede casi instantneamente.

Cmo expresar esta discontinuidad?

** Con Gauss: La superficie G puede estar tan cerca de la superficie y como

luego el flujo neto es cero entonces no hay carga dentro del conductor

luego cualquier carga neta esta en la superficie.

0iE =

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*** El CE en la superficie debe ser perpendicular en caso contrario existira unacomponente tangencia al cual originaria el movimiento de cargas

0 0 0

. n

s

q A Ed A E dA E A E

= = = =

*** Una esfera conductora slida de radio a tiene una carga positiva neta 2Q.

Un cascaron esfrico conductor de radio interior b y radio exterior c esconcntrica y tiene carga neta Q. HalleEl CE y la distribucin de cargas sobre el cascaron cuando el sistema esta en

equilibrio.


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0

0. , 0nn

qr a Ed A q E

< = = =

0

2

2

0

2

. , 2 4 )

2

(n

n

s

q Q

a r b Ed A q Q E d E kA E

Q

rr < < = = = = =

Lo mas difcil es en el interior del cascaronPara una superficie G en esta regin El CE es nulo. Luego la carga neta

encerrada es nulaEn la parte interior r=b se induce una carga -2Q, para anular a la carga de laesfera interiorEn la parte exterior de r = b se induce una cara +Q en la superficie paracancelar la carga Q

0

. , 2 02 0nn

qb r c E d A q Q Q Q EQ

< < = = + = =

2

0 0

2. , 2 (4 )n n

s

q Qr c E d A q Q Q E

QE kdA E r

r

> = == = =

*** Un cubo con lados de longitud L =0.3 m est colocado con un vrtice en elorigen, como se ilustra en la figura. El CE, est dado por

5 3 E x i z k = + a) Halle el flujo elctrico en cada una de las seis caras del cubo

b) Halle la carga elctrica total en el interior del cubo


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2

2 2

1

5 5

22

2 5

1 3

0

8 .1 1 0

1 .3 5 1 0

5 .4 1 0

4 .7 8 1 0

n k x

n j x

N mx

C

q x

= =

= =

= + =

= =

C

jercicios.rtical de

E1. Un CE ve

42 10 / x N C existe sobre la tierra un da que amenaza una

la base inferior del auto

. Una espira de 40cm de dimetro gira en un CE hasta que se encuentra en la

tormenta. Un auto (Sea un rectngulo de 6x3m) viaja a o largo del caminoinclinado 10 hacia abajoHalle el flujo a travs de

4 2cos 2 10 (6 ) cos10 / E A x kN m C = = =

2

posicin de flujo elctrico mximo 5 25.2 10 / x Nm C . Halle la magnitud del CE

2 23.14(0.2) 0.126A r= = =2

5 2cos 5.2 10 / (0.126) cos 0 414 /

m

EA x Nm C E E MN C = = =

, Hallar el flujo en el hemisferio y en la tapa3


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2

2 0

1. ( 4

2 2c l h

Q Q E d S E S k R

R )

= = = =

El flujo en la superficie cerrada es nula luego en la tapa es

02

t

Q

=

4, Hallar el CE dentro de la cavidadUna esfera de radio 2a no conductora densidad p. (Suponga que el materialno afecta el campo elctrico.) Se separa una esfera de radio a. Muestre que

el CE en la cavidad es uniforme y est dado por Ex =O y 0/3yE a = . (Sug:

superposicin del CE debido a la esfera original, ms el CE de la esfera deradio a y densidad

3

2

0 0 0

3

2

1 1 1

0 0 0

1 44

3 3 3

1 44 ( )

3 3 3

r rr E E r r

r rr E E r r

++

= = =

= = =


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1 1

0 0

0

( )3 3

0,3

x y

r r a r r a

E r a E E E a

E E a

+

= + =

= = + =

= =

Una esfera tiene una densidad de carga variablea

r= donde a es constante

Halle el CE

2 2

0

22

0 0

3 32

2

0 0

(4 ) 4 4 2

24

2

2 14

2

r

n

i i

e e

ad q d V r d r a rd r q a rd r a r

r

ar ar E E

a ar E E

r

= = = = =

= =

= =

Una carga puntual Q se localiza en el eje de un disco de radio R aunadistancia b del plano del disco. Muestre que si un cuarto del flujo elctrico

de la carga pasa por el disco, entonces 3R b=

2 2 2

0 1

2 2 2 2 1/ 2 2 2 3 /

0

0

, , 2 ,4

2( ) 2 ( )

4

Q q q E k k dS rdr cos

r b r r

q b bq r d EdScos k rdr

b r b r b r

Q

= = = = =+

= = =+ + +

=

1

2

b

dr

Ti l M S B i h S S k B Oh i M k M i Al

Date post:	09-Apr-2018
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