4. TEORIA DE ERRORES.ppt

8/17/2019 4. TEORIA DE ERRORES.ppt

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TEORIA DE ERRORES• Todas las magnitudes que se miden están afectadas de

Errores, por lo tanto nunca podremos determinar el valormatemáticamente exacto de las magnitudes medidas.

• Estos errores se deben a las imperfecciones del tacto, de lavista, de los instrumentos y de los métodos de quedisponemos para hacer las observaciones, así también como

la refraccin atmosférica, las variaciones del viento, de latemperatura y otras causas imprevistas.

• !i bien no podemos llegar a obtener el valor real de lasmagnitudes medidas, sin embargo por medio de la Teoría de

los Errores podemos calcular en funcin de los valoresobservados, el valor más probable de dichas magnitudes, osea aquel valor que tiene mayor n"mero de probabilidades deacercarse más al valor real.


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FUENTES DE ERROR• !on de tres clases#

• Errores Personales.- !on debidos a lasimperfecciones de nuestros sentidos, alas distracciones o al cansancio.

• Fuentes de Error Instrumentales.- !ondebidos a las imperfecciones de losinstrumentos. $or e%emplo, &n limbo mal

graduado o descorregido.• Fuentes Naturales.- !on debidas por

e%emplo al viento, la temperatura, losobstáculos, la curvatura de la tierra, etc.


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CLASES DE ERROR•

'o debemos confundir la palabra Error con Equivocacin,que si bien en el lengua%e vulgar tiene significado sinnimo,en Topografía son totalmente diferentes.

• ERRORES.- !on aquellos que son inevitables,generalmente muy peque(os.

• EQUIVOCACIÓN.- )esignaremos como equivocacin a loserrores groseros procedentes de alguna distraccin oconfusin mental que consiste por e%emplo#

a) *eer la cinta + metros en lugar de metros-

b) En llevar mal la cuenta del n"mero de cantidades.• *as Equivocaciones son fáciles de evitar si se adopta ciertoorden en las medidas efectuadas poniendo suficientecuidado y empleando métodos adecuados decomprobacin.


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• $or lo tanto las equivocaciones no se

consideran Errores, porque escapan atoda consideracin y la Teoría de los

Errores no puede abarcarlas.

• Hay dos clases de Errores:

• Errores !istemáticos o $ermanentes.

• Errores ccidentales, /ortuitos,0mprevistos o 1asuales.


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1) ERRORES SISTEMÁTICOS OPERMANENTES

• !on aquellos en los cuales sus causas son siempre

conocidas y resulta de alg"n fenmeno cuya ley se

conoce, por e%emplo#

a) &na cinta que se dilata por la accin del calor nosdará un Error !istemático 2ariable.

b) l medir una distancia inclinada sin tomar encuenta la pendiente, nos dará un Error !istemático

1onstante.

• *os Errores !istemáticos pueden ser siempre

eliminados aplicando las correcciones debidas.


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) ERRORES ACCIDENTALES! FORTUITOS!IMPRE"ISTOS O CASUALES

• !on aquellos que por su peque(a amplitud

escapan por completo al control del observador.

• 1omo Errores ccidentales pueden considerarse#

los cometidos por la vista del observador , al hacerla biseccin de la se(al con el retículo de un

anteo%o.

• Estos Errores ccidentales, no admiten correccin,

pero como se reali3an independientemente en

ambos sentidos 4positivos y negativos5 tienden a

compensarse.


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DISCREPANCIA• Es la diferencia entre dos mediciones de una

misma dimensin.

• 1uando la discrepancia es peque(a, nos indicala ausencia de Errores ccidentales fuertes.


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TOLERANCIA

• Es el mayor error que se puede admitir

entre dos mediciones de una misma

dimensin o también como la mayor

discrepancia entre dos mediciones.

• Ta6 789√n

• E:6 ; .

;


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MEDIA ARITMETICA1) "ALOR MAS PRO#A#LE DE UNA

DIMENSION $LP)• Es %&'al a la Med%a Ar%(*(%ca de (odas las

ed%c%o+es ' obser,ac%o+es real%-adas.ara '+a %sa d%e+s%/+! o sea:

LP0 L +Do+de:LP0 "alor s .robable de '+a d%e+s%/+

obser,ada2 L0 S'a de (odas las obser,ac%o+esreal%-adas2+0 N3ero de obser,ac%o+es2


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E4e.lo 1!e ha medido una =ase de una Triangulacin obteniendo

los resultados siguientes# =

*;6 ;,>?@.@;m

*@6 ;,>?@.@A

*B6 ;,>[email protected]@*>6 ;,>[email protected] C

*86 ;,>[email protected]

C# *a observacin *>6 ;,>[email protected] la descartamos por

diferir mucho de las restantes, luego el valor másprobable de la =ase = será# *$6 Σ*

n n6> observac.

*P6 ;,>?@.@;D;,>?@.@AD;,>[email protected]@D;,>[email protected] ;,>?@.@+m

>


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E4e.lo

!i se ha medido un ángulo > veces, se tiene#


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MA5NITUDES RELACIONADAS ENTRE SI

1) Cuando di!as ma"nitudes o#edeen a unaondii$n matem%tia.$or e%emplo#

a) Tratándose de un triángulo, la suma de sus ángulosinternos de be ser ;A


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E4e.lo • *os ángulos internos medidos de un triangulo han

arro%ado los siguientes valores#

A

C

B

ngulo 1orrec ng.1orregido

6 A


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&) Cuando la suma de 'arias mediiones (arialesde#e ser i"ual a la dimensi$n total tam#inmedida

• En este caso el error se distribuye por

partes iguales entre todas las mediciones

incluyendo la medicin total.

• *a correccin que se aplicará a la

medicin total debe tener signo contrario

a los de las mediciones parciales.


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E4e.lo Se ;a+ ed%do dos +&'los co+sec'(%,os! ob(e+%*+dose

los s%&'%e+(es res'l(ados#A+&'lo Correc A+&2Corre&%doA#C0


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ERRORES "ERDADEROS

• 1omo sabemos que no podremos nunca

saber el valor verdadero de una

dimensin, tampoco podremos saber los

Errores 2erdaderos que se cometen en

las mediciones de una dimensin.


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ERRORES APARENTES O RESIDUALES

• !on las diferencias que existen entre los

valores medidos de una magnitud y elvalor más probable de ella.

• E4e.lo26 !upongamos que la base =,

se ha medido B veces obteniendo lossiguientes resultados#

A B

L1

L2

L3


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• El valor más probable 4Iedia ritmética5 será#

LP0 L 0 L1 7 L 7 L

+

*uego el Error parente o :esidual para la medicin#

*; será v; 6 *; F *$- v;, v@, vB 6 errores residuales

*@ será v@ 6 *@ F *$

*B será vB 6 *B F *$

• *a suma algebraica de los errores residuales debeser igual a cero, salvo las diferencias que provienen

de decimales despreciados.


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FORMULAS PARA CALCULAR LOS ERRORESMEDIOS CUADRATICOS B LOS ERRORES

PRO#A#LES !e aplican en observaciones de precisin#

•en stronomía $ráctica,

•Jeodesia,•en /ísica,

•en mediciones electrnicas y en general en

todas las ramas de la Técnica que involucremediciones de precisin.

Estas frmulas han sido deducidas de la

Teoría de los Iínimos 1uadrados.


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1) FORMULA PARA CALCULAR EL ERROR MEDIOCUADRATICO DE UNA O#SER"ACION $E1)

• Es igual a la Iedia ritmética de todas lasmediciones u observaciones reali3adas parauna misma dimensin, o sea#

E;6 ± Σ v

nF;• !iendo# E;6 Error medio cuadrático de una

observacin.

• Σv6 !uma de los cuadrados de los

errores residuales.

• n6 '"mero de observaciones.

• Es igual a la Iedia ritmética de todas lasmediciones u observaciones reali3adas parauna misma dimensin, o sea#

E;6 ± Σ v

nF;• !iendo# E;6 Error medio cuadrático de una

observacin.

• Σv6 !uma de los cuadrados de los

errores residuales.

• n6 '"mero de observaciones.


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) FORMULA PARA CALCULAR EL ERRORPRO#A#LE DE UNA O#SER"ACION $E.)


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) FORMULA PARA CALCULAR EL ERRORPRO#A#LE DE LA MEDIA ARITMETICA $EM)


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?) FORMULA DEL ERROR PRO#A#LEDE LA MEDIA ARITMETICA $EP)


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@) ERROR RELATI"O $ER)

• Es igual al Error Iedio 1uadrático de una

observacin 4E;5 entre la Iedia ritmética

correspondiente 4*P5, o sea#


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No(a 1

• El Error :elativo puede referirse a una solaobservacin o a la media aritmética de lasobservaciones.

• Entonces tendremos que el Error :elativo dela Iedia ritmética se puede calcular con lasiguiente frmula#


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• !i se traba%a con errores probables,

tendremos que#


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No(a

• *os errores relativos calculados por estas

frmulas se aplican com"nmente para

anali3ar la precisin obtenida en la

medicin de distancias.

• E%emplo# bases de triangulacin.


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No(a

• En el caso de poligonales, el Error

:elativo se calculará dividiendo el Error

Total entre el $erímetro de la poligonal.

E:6 ET .

$erímetro


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E4e.lo

• !e ha calculado las coordenadas

parciales de una poligonal cuyo perímetro

es 8Am y su error de cierre ET6


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Sol'c%/+

1

)

=

ET


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•El Error Relativo siempre se expresa por medio de

una fracción, cuyo numerador es la unidad; para

esto se divide el numerador y denominador entre

el numerador de la fracción.

• Tolerancia *ineal# ; .

8


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8) ERROR TEMI#LE $ET)

• Iáximo error accidental que se puede cometer

en una medicin.

• ET6 B.E:.

• ET6 Bx ; 6 BHB 6 ; .

• 8


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EEMPLOS DE APLICACIN

• E4e.lo 1.F !e ha medido con cinta deacero una base de triangulacin

topográfica, ? veces, obteniéndose los

resultados que figuran en el siguiente

cuadro#

=


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C'adro co+ lo+&%('des

: 6 :emovido o :etirado, no se toma en cuenta esta longitud

para los posteriores cálculos.


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No(a26 Estos resultados ya están libres de erroressistemáticos o sea que ya se han efectuado lascorrecciones correspondientes. )eterminar#

;5 *a Iedia ritmética.

@5 El Error Iedio 1uadrático de una observacin.B5 El Error Iedio 1uadrático de la Iedia

ritmética.

>5 El Error :elativo. Tolerancia E: 6 ;H8


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Sol'c%/+:


37/85

)


38/85

>5 El Error :elativo. 1on respecto a una

observacin. E:6 f4una observacin5

En los traba%os prácticos, la Tolerancia *ineal paraterrenos llanos o sea de muy poca pendiente, la

Tolerancia *ineal dada es de ;H8


39/85

@)

8)


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E4e.lo • !e han medido 8 veces distintas un mismo

ángulo, encontrando los valores que figuran en

el siguiente cuadro#


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Calc'lar:

;5 *a Iedia ritmética.

@5 El Error Iedio 1uadrático de una

observacin.

B5 El Error Iedio 1uadrático de la Iedia

ritmética.

>5 El 2alor más $robable del ngulo y su errorque lo afectará.


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Sol'c%/+:


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B5 1alcular el Error Iedio 1uadrático de la

Iedia ritmética 4EM5

• EM6 ± Σ v@ 6 ± @.A<

n4nF;5 848F;5

EM6 ±;.??G

>5 *uego, el valor más probable del ángulo y

el error que lo afectará será#

P6 B8@9;A.AG ±;.??G


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O#SER"ACIONES PESADAS• Es fácil comprender que no siempre las

observaciones se reali3an ba%o condicionesidénticas de precisin# muchas veces algunasmerecen más confian3a que otras. En estos casosse recurre al concepto de las medidas pesadas.

• PESO DE UNA O#SER"ACION26 *lamamos (eso de una observacin, a un coeficiente 4L5 que leasignamos a dicha observacin seg"n la confian3aque nos inspira. Este coeficiente expresa su valorrelativo con referencia a otras observacionessimilares.

• Tericamente un peso es proporcional al n"merode observaciones de que proviene el valor al cualafecta.

EEMPLO


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EEMPLO

• !e han hecho tres series de mediciones de un

mismo ángulo, siendo#

• Pr%era ser%e: el promedio de 8 observaciones,

• Se&'+da ser%e: el promedio de B y• Tercera ser%e: el promedio de @ observaciones-


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• *gicamente no podemos promediar lostres valores por igual.

• signaremos#

• la primera un peso de cinco,

• la segunda un peso de tres y

• la tercera un peso de dos, y• *uego calcularemos la Iedia ritmética$esada que sería el valor más probabledel ángulo.

MEDIA ARITMETICA PESADA


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MEDIA ARITMETICA PESADA

• *a teoría de errores da para la mediaaritmética pesada, la siguiente frmula#

!iendo#

m;, m@, M, mn 6 el promedio de cada serie de

observaciones.

p;, p@, M, pn 6 el peso respectivo de cada serie.

Σmp 6 suma de productos de los promedios de cada

serie por sus pesos respectivos.

Σp 6 suma de pesos p;Dp@DpBDMDpn

ASI5NACION DE PESOS


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• Iuchas veces los pesos no corresponden al

n"mero de observaciones que intervienen en

cada valor, sino que se asignan

arbitrariamente seg"n los factores que

contribuyen a darle mayor o menor precisin

4observador, instrumentos, precauciones,viento, refraccin, etc.5 pero el concepto

básico y la manera de operar son los

mismos.

• N*os pesos que se deben dar a los resultados

m;, m@, mB, M, son inversamente

proporcionales a los cuadrados de los

errores medios respectivosG.

ASI5NACION DE PESOS


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• !ean n; y n@ el n"mero de observaciones

hechas en la primera y segunda serie de

mediciones reali3adas para una magnitud.• !abemos que el error medio cuadrático de la

media aritmética, está dado por la frmula#

*uego tendremos que los errores medios cuadráticos

para la primera y segunda serie son respectivamente#EI; y EI@.#


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1on esta frmula pueden calcularse los pesos

si se conocen los errores y viceversa.

Á


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EN LA PRÁCTICA

• !e puede satisfacer esta condicin de proporcionalidad

inversa dando a los pesos los valores#

Teniendo presente que dos magnitudes son inversamente

proporcionales cuando el producto de sus valores

correspondientes es una constante, podemos también escribir

las expresiones anteriores de la siguiente manera#


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• )e donde#

•$odemos también decir que aquella relacin de

pesos es igual a la inversa de los cuadrados de

los errores probables.


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• )e lo estudiado, deducimos que#

!i Σp es la suma de los pesos de las

series de observaciones, y EI el error

medio cuadrático del resultado, tenemos

que#

!iendo L el coeficiente de proporcionalidad inversa, de donde#

AUSTE DE O#SER"ACIONES PESADAS


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AUSTE DE O#SER"ACIONES PESADAS

• !abemos que matemáticamente los pesos son

inversamente proporcionales a los cuadrados delos errores medios respectivos, o sea#

$or consiguiente si se conocen los errores que afectan

a las mediciones, fácilmente se pueden calcular lospesos aplicando el concepto matemático.

EEMPLO


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EEMPLO

• lrededor de un punto se han medido Bángulos cerrando el hori3onte, obteniéndose

los resultados que se indican en el siguientecroquis#


56/85


57/85

• *gicamente la correccin N1iG que debamos

aplicar a cada ángulo debe ser inversamente

proporcional a su peso respectivo- puestoque# a mayor peso menor correccin.

• 1omo ya se ha dicho los pesos y sus

respectivas correcciones son inversamente

proporcionales.

• )os magnitudes inversamente

proporcionales son aquellas en las cuales el

producto de sus valores nos da una cantidadconstante pxp6L- seg"n esto tendremos que#


58/85


59/85


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ERROR MEDIO CUADRATICO DE UNAO#SER"ACION PESADA $E.)

• *a frmula para calcular este error es la

siguiente#

En donde#

Σpv@ 6 significa la suma de los productos delos pesos por los cuadrados de los

errores residuales respectivos.

n 6 es el n"mero de series.


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ERROR MEDIO CUADRATICO DE LA MEDIAARITMETICA PESADA $EMP)

En donde# Σp 6 es la suma de los pesos.


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• El error medio cuadrático de la media

aritmética pesada, también se puede

calcular con la siguiente frmula#

En donde#Emp 6 es el error medio cuadrático de una observacin pesada,

Σp 6 es la suma de los pesos.

EEMPLO


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EEMPLO

• !e ha reali3ado cuatro series de mediciones

de un mismo ángulo#• $rimera serie# promedio de A observaciones-

• !egunda serie# promedio 8,

• Tercera y cuarta serie# promedio de B cadauna de las observaciones.

DATOS DEL EEMPLO


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• 1on los valores de la primera columna, sedisponen los cálculos como sigue#

1) Med%a ar%(*(%ca .esada $LM):

LM

) E d% d (% d b %/


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) Error ed%o c'adr(%co de '+a obser,ac%/+.esada $E.):

) Error ed%o c'adr(%co de la ed%a ar%(*(%ca

.esada $EMP):

O#SER"ACIONES INDIRECTAS


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O#SER"ACIONES INDIRECTAS

• !ucede a veces que no se mide

directamente la magnitud misma sinootras de las cuales dicha magnitud

depende.

• Por e4e.lo, se puede medirdirectamente la distancia inclinada

entre dos puntos, y el ángulo de

inclinacin de la línea que los une.

• *uego calcular la distancia hori3ontal.

SEA LA FUNCION GU9


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SEA LA FUNCION U

• *a teoría de los errores nos dice que, si &

es una funcin de las variables x, y, 3, etc.,

cuyos errores ex, ey, e3, etc., son

conocidos, el error E& de la funcin & será#

5RAFICO


68/85

5RAFICO

EEMPLO


69/85

EEMPLO

• 1alcular la distancia hori3ontal entre dos

puntos y el error cometido#• !abiendo que la distancia inclinada entre

dichos puntos es de *6 +.>Am

• Oabiéndose medido con un error de e*6±


70/85

SOLUCION

Tendremos que#

O 6 * cos P ................................4;5

O 6 +.>A cos ;9 6 +>.A+m

Der%,a+do:


71/85

Der%,a+do:

:eempla3ando valores en 4a5, obtendremos el error de la distancia hori3ontal#


72/85

!e notará que el error ;.89 se ha multiplicado por


73/85

• !i la magnitud que se desea hallar es la funcin de

la suma o diferencia de varias variables

independientes, o sea#

C'a+do ,ar%os errores acc%de+(ales aec(a+ %+de.e+d%e+(ee+(e '+aed%c%/+! se s'.o+e 'e el error res'l(a+(e obedece a la /r'la

a+(er%or2

EEMPLO


74/85

EEMPLO

• !e ha fi%ado la ubicacin del punto $ con

respecto a la base =, por medio de sudistancia $ y el ángulo $=, teniendo#

5RAFICO:

SOLUCION


75/85

EEMPLO


76/85

EEMPLO

• l medir una distancia de ;


77/85

SOLUCION

1uando se conoce el error de una suma de mediciones,

se puede usar la misma frmula para conocer el error

individual de cada una de ellas.

EQEI$*R


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EQEI$*R

• !e han medido los tres ángulos de un

triangulo con idéntico cuidado, de modo

que sus pesos son iguales, existiendo un

error positivo de ?8G que habrá que dividirentre B para aplicar a cada uno, una

correccin negativa de @8G.

SOLUCION


79/85

SOLUCION

• $ara hallar la precisin de cada ángulo

tendremos#

P % % ( ( d


80/85

Por co+s%&'%e+(e (e+dreos:

ERROR DE UN PRODUCTO


81/85

ERROR DE UN PRODUCTO

• El error de un producto 4e%emplo, como el

de una área5, esta dado por la siguiente

frmula#

x ±

ex

EEMPLO


82/85

!e ha medido un lote rectangular cuyas

dimensiones y errores respectivos son los

siguientes#

ba

Estos lados se han medido con precisin

de ;H8


83/85

SOLUCION

PRECISION


84/85

PRECISION

1omo observamos la precisin obtenida en

el cálculo es menor que las precisiones con

que se han medido los lados, y esto es

lgico puesto que el error de un producto no

puede ser menor que el error del factor

menos preciso.


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MEDICIONES MA5NETICAS

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