UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO PUNOFACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA Y METALURGICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA GEOLOGICA

CURSO DE GEOESTADISTICA I

TEMA 5: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL RELACIONADAS A POTENCIAS Y LEYES

Por: Ing. MSc. Roger Gonzales Aliaga Puno, Marzo del 2012

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL RELACIONADAS A POTENCIAS Y LEYES

1. Medidas de tendencia o posición centralMedia aritmética o promedioMedianaModaOtras medidas de posición central

2. Medidas de posición no centralesCuartilDecilPercentil

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL RELACIONADAS A POTENCIAS Y LEYES

Los aspectos relevantes de una muestra son generalmente descritos usando medidas deposición y de dispersión. Estas medidas, sirven para aproximar los parámetros de posición yde dispersión de una variable.

Las medidas de posición son funciones de los datos de una muestra que miden, segúndiferentes criterios, el centro de la distribución de frecuencias en la muestra; también sonllamadas medidas de tendencia central. Las más usadas para este fin son: la media muestral( x ), los cuantiles (xp), la mediana muestral (me) y el modo muestral o moda (mo).

Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamosanalizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de una serie de datos.

Las medidas de posición son de dos tipos:

a) Medidas de posición o tendencia central: son valores numéricos en torno a los cuales seagrupan, en menor a mayor medida los valores de una variable estadística. Estos valoresnuméricos usados son la media aritmética, la mediana y la moda.

b) Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valoresde la serie. Estos son los percentiles, deciles y cuartiles.

Media aritmética o promedio (X)Es el valor promedio de un conjunto de datos numéricos (variable cuantitativa). Seobtiene dividiendo la suma de todos los datos entre el numero total de datos. Unadebilidad de la media aritmética es que es sensible a valores extremos de ladistribución.

-Para datos no tabulados o no agrupados, se define como el cociente que seobtiene al dividir la suma de los valores de la variable por el n° de observaciones. Sufórmula es la siguiente:

1. MEDIDAS DE TENDENCIA O POSICION CENTRAL

-Para datos tabulados o agrupados, se define como el valor promedio de unconjunto de datos numéricos. Es igual al cociente de la suma de los productos decada frecuencia absoluta con su respectiva marca de clase, entre el total de datos.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA O POSICION CENTRAL

Mediana (Me)para datos agrupados es el valor numérico que ocupa la posición central de lamuestra, y por tanto deja la 50 % de ella sobre dicho valor y al otro 50% por debajode el. Para hallar el intervalo donde se ubica la mediana se aplica la formula: n/2,donde n=numero de datos.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA O POSICION CENTRAL

Moda (Mo)para datos agrupados, es el valor de la variable que mas veces se repite; es decir, elque tiene mayor frecuencia absoluta. Dependiendo de los datos, es posible que lamoda no exista, y también que pueda hacer mas de una.

1. MEDIDAS DE TENDENCIA O POSICION CENTRAL

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Son medidas que permiten determinar la proporción de la población de unavariable estadística cuyos valores estadísticos son menores o iguales que un valortomado como referencia.

Son útiles para describir el comportamiento de una población y surgen como unaextensión del concepto de la mediana. Recordemos que la mediana divide a unconjunto de datos ordenados, en dos partes de igual tamaño; al ampliar esteconcepto nos interesa encontrar otros estadígrafos que dividan al conjunto de datosordenados en mas partes de igual tamaño.

Las medidas de tendencia no centra, son:

- Decil- Cuartil- Percentil

Decil, son estadígrafos que dividen a un conjunto de datos ordenados, en diezpartes iguales en tamaño, cada parte contiene el 10% de los datos, como máximo;los deciles son nueve y en el quinto decil se ubica la mediana. Si dividimos yordenamos los datos de menor a mayor tendríamos el grafico siguiente:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Además se observa que:

La formula con la que se calcula el decil es:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Cuartil, este estadígrafo divide una conjunto de datos, ordenados en cuatro partesiguales de tamaño, cada parte contiene el 25% de los datos, como máximo. Loscuartiles son tres y el segundo cuartil coincide con la mediana. En un conjunto dedatos ordenados en un segmento seria de la siguiente manera:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

El calculo del cuartil se hace con la siguiente formula:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Percentiles, son valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cien partesiguales (en %) y de igual tamaño. Cada parte contiene el 1% del total de datos,como máximo. Los percentiles son noventa y nueve y el cincuentavo percentilcoincide con la mediana. El percentil se denota por Pj, donde j=1; 2;3;……99 para elcalculo de los percentiles los datos deben estar ordenados.

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Imaginemos que los datos están ordenados de menor a mayor en una segmentocomo el que sigue:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Del gráfico anterior se deduce:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

EJEMPLO 4:

2. MEDIDAS DE LOCALIZACION O TENDENCIA NO CENTRAL

Los diagramas de Caja-Bigotes (boxplots o box and whiskers) son una presentaciónvisual que describe varias características importantes, al mismo tiempo, tales como ladispersión y simetría.

Para su realización se representan tres cuartiles (Q1, Q2 y Q3) y los valores mínimo ymáximo de los datos, sobre un rectángulo, alineado horizontal o verticalmente.

Construcción de un diagrama de bigotes

Una gráfica de este tipo consiste en una caja rectangular, donde los lados más largosmuestran el recorrido intercuartílico. Este rectángulo está dividido por un segmentovertical que indica donde se posiciona la mediana y, por lo tanto su relación con loscuartiles primero y tercero(recordemos que el segundo cuartil coincide con lamediana).

Esta caja se ubica a escala sobre un segmento que tiene como extremos los valoresmínimo y máximo de la variable. Las líneas que sobresalen de la caja se llaman bigotes.Estos bigotes tienen un límite de prolongación, de modo que cualquier dato o caso queno se encuentre dentro de este rango es marcado e identificado individualmente

4. GRAFICO DE CAJA BIGOTES O BOX PLOT

EjemploUtilizaremos la distribución de leyes (%) de 20 muestras obtenidas en un socavón pormuestreo sistemático de canales, esto en una veta de Cu-Au ubicada en el Departamento deArequipa, la estructura contiene minerales como calcosina, covelina y Au.

36, 25, 37, 24, 39, 20, 36, 45, 31, 31, 39, 24, 29, 23, 41, 40, 33, 24, 34, 40

Para calcular los parámetros estadísticos, lo primero es ordenar la distribución de leyes

20, 23, 24, 24, 24, 25, 29, 31, 31, 33, 34, 36, 36, 37, 39, 39, 40, 40, 41, 45

Luego se calcula los cuartiles

Q1, el cuartil primero es el valor mayor que el 25% de los valores de la distribución. Como N= 20 resulta que N/4 = 5; el primer cuartil es la media aritmética de dicho valor y elsiguiente:

Q1=(24 + 25) / 2 = 24,5

Q2, el segundo cuartil es, evidentemente, la mediana de la distribución, es el valor de lavariable que ocupa el lugar central en un conjunto de datos ordenados. Como N/2 =10 ; lamediana es la media aritmética de dicho valor y el siguiente:

me= Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5

4. GRAFICO DE CAJA BIGOTES O BOX PLOT

Q3 , el tercer cuartil, es el valor que sobrepasa al 75% de los valores de la distribución.En nuestro caso, como 3N / 4 = 15, resulta

Q2=(39 + 39) / 2 = 39

Dibujar la caja de bigotes

El bigote de la izquierda representa al colectivo de edades ( Xmín, Q1)La primera parte de la caja a (Q1, Q2),La segunda parte de la caja a (Q2, Q3)El bigote de la derecha viene dado por (Q3, Xmáx).

4. GRAFICO DE CAJA BIGOTES O BOX PLOT

Que información se obtiene del diagrama

Podemos obtener abundante información de una distribución a partir de estarepresentación. Veamos algunas:

La parte izquierda de la caja es mayor que la de la derecha; ello quiere decir que lasleyes comprendidas entre el 25% y el 50% de la población está más dispersa que entreel 50% y el 75%.

El bigote de la izquierda (Xmím, Q1) es más corto que el de la derecha; indica que porello el 25% de las leyes mas bajas están más concentrados que el 25% de las leyes altaso valores altos.

El rango intercuartílico = Q3 - Q1 = 14,5; es decir, el 50% de la población estácomprendido en 14,5 % de Cu.

La mediana de las leyes es la siguiente:

me= Q2 = (33 + 34)/ 2 =33,5

4. GRAFICO DE CAJA BIGOTES O BOX PLOT