8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

1/12

3/24/201

1

 TRANSFORMASILINIER

BUDI DARMASETIAWAN

PEMETAAN VEKTOR

•  Jika V dan W adalah ruang vk!"r dan T adalah #u!u $ung#i %ang

&nga#"#ia#ikan vk!"r unik di Wdngan #!ia' vk!"r %ang !rl!ak diV( &aka dika!akan T &&!akan V didala& W)

•  T* V  W

•  Jika F &nga#"#ia#ikan vk!"r wdngan vk!"r v( &aka w + T,v-

•w adalah .a%angan dari v di.a/ah T

• Ruang vk!"r V dika!akan d"&ain T

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

2/12

0ONTO1 PEMETAAN

VEKTOR• Mi#alkan v + ,2( %- adalah #ua!u vk!"r di R3

Dan ada #.uah $ung#i T,v- + ,2( 2 4 %( 2 5 %-%ang &&!akan R3 k R6

Maka 7ika v + ,8(8- !n!ukan T,v-9

 TRANSFORMASILINIER

•  Jika T* V W adalah #ua!u $ung#idari ruang vk!"r V k dala& ruang

vk!"r W( &aka Tdika!akantransformasi linier 7ika*8) T,ku- + k T,u- un!uk #&ua vk!"r u di dala& V

dan #&ua #kalar k

3) T,u + v- + T,u- 4 T,v- un!uk #&ua vk!"r u dan vdi V

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

3/12

0ONTO

1• Mi#alkan T*R3R3 adalah $ung#i

%ang did:ni#ikan "lh T,v- + ,32(%- dngan v + ,2( %- di R3) .uk!ikan.ah/a T &ru'akan !ran#$"r&a#ilinir

 Ja/a.

• Mi#alkan u + ,28( %8- dan v + ,23( %3-

• Buk!i 'r!a&a* T,u 4 v- + T,,28( %8- 4 ,23( %3--

+ T,28423( %84%3-

+ ,3,28423-( ,%84%3--

+ ,,328( %8- 4 ,323(

%3-- T,u 4 v- + T,u- 4 T,v-

+; !r.uk!i

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

4/12

• Buk!i kdua*

 T,ku- + T,k28( k%8-

+ ,3k28(k%8-

+ k ,328(%8-

 T,ku- + k T,u- +;!r.uk!i

 Jadi T adalah !ra#n$"r&a#i linir

SOAL

• Mi#alkan T* R3R6 adalah $ung#i%ang did:ni#ikan "lh T,v- + ,2(24%( 25%- dngan v+ ,2(%- di R3) Buk!ikan .ah/a T&ru'akan !ran#$"r&a#i linir

• Buk!ikan liniri!a# !ran#$"r&a#i T*R3R6

dngan T,2(%- + ,324%( 256%( 6248-

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

5/12

MATRIKS

 TRANSFORMASI• Mi#alkan A adalah #ua!u &a!rik#

.r"rd &

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

6/12

0ONTO

1• 0arilah &a!rik# .aku ,A- un!uk !ran$"r&a#i

 T* R6R3 %ang did:ni#ikan "lh

 T,2- + ,28423( 23426-( un!uk #!ia' 2 + ,28( 23( 26-dala& Rn

 7a/a.

•  T* R6 R3

• Ba#i# .aku dari R6 adalah*

 – 8 + ,8( @( @-

  T,8- + ,8 4 @( @ 4 @- + ,8( @- – 3 + ,@( 8( @-   T,3- + ,@ 4 8( 8 4 @- + ,8( 8-

 – 3 + ,@( @( 8-   T,6- + ,@ 4 @( @ 4 8- + ,@( 8-

• Maka &a!rik# A n%a adalah vk!"r k"l"&.n!ukan dari T,8-( T,3-( dan T,6-(%ai!u

• Buk!ikan 7a/a.an !r#.u!9

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

7/12

SOA

L• Mi#alkan T* R6R3 adalah

!ran#$"r&a#i &a!rik#( dan&i#alkan*

 – T,8(@(@- + ,8(8-

 – T,@(8(@- + ,6(@-

 – T,@(@(8- +

,( 5-

1i!unglah*

a) Ma!rik#

!ran#$"r&a#in%a .)

 T,8( 6( C-

) T,2( %( -

KERNEL DAN JANKAUAN

•  Jika T* VW adalah !ran#$"r&a#ilinir( &aka hi&'unan vk!"r di V%ang di'!akan k @( dina&akandngan kernel ,a!au ruang n"l-dari T) hi&'unan !r#.u!din%a!akan "lh ker(T))

• 1i'unan #&ua vk!"r di W %ang&ru'akan .a%angan di .a/ah T

dari 'aling #diki! #a!u vk!"r di V

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

8/12

dina&akan jangkauan dari T=hi&'unan !r#.u! din%a!akan "lhR(T))

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

9/12

SIFAT TRANSFORMASI LINIER

•  Jika T*VW adalah !ra#n$"r&a#ilinir( &aka

 – T,@- + @

 – T,5v- + 5T,v- un!uk #&ua v di V

 – T,v5/- + T,v- G T,/- un!uk #&ua v dan / di V

RANK DAN NULITAS

•  Jika T*VW adalah !ran#$"r&a#ilinir( &aka di&n#i 7angkauan dari

 T dina&akan rank T( dan di&n#ikrnl dina&akan nuli!a# T

•  Jika T*VW adalah !ra#n$"r&a#i linir( &aka

 – Krnl dari T adalah #u.5ruang dari V

 – Jangkauan dari T adalah #u.ruang dari W

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

10/12

 TEOREMA DIMENSI

•  Jika T*VW adalah !ran#$"r&a#ilinir dari ruang vk!"r V %ang.rdi&n#i n k'ada #ua!u ruangvk!"r W( &aka*

Rank dari T 4 nuli!a# dari T + n

•  Jika A adalah &a!rik# & 2 n &akadi&n#i ruang '&ahan dari

A2 + @ adalahn G rank,A-

0ONTO1

• Dik!ahui #.uah SPL h"&"gn%ang &&'un%ai ruang'&ahan .rdi&n#i 3 &&iliki&a!rik# k":#in #.agai .riku!

!n!ukan rank ,A-

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

11/12

 Ja/a

.• S#uai !"r&a #.lu&n%a

.ah/a Jika A adalah &a!rik# & 2n( &aka di&n#in%a did:ni#ikan#.agai*

di&n#i + n G rank,A-

#hingga rank ,A- + n G di&n#i + H G 3 + 6

0ONTO1

•  Tin7aulah .a#i# S + v8( v3( v6 un!uk

R6 di&ana v8 + ,8( 8( 8-= v3+,8( 8( @-=v6+,8( @( @-( dan &i#alkan T* R

6R3

adalah !ran#$"r&a#i linir #hingga T,v8- + ,8( @-= T,v3- + ,3(58-= T,v6- +,(6-) 0arilah T,3( 56( H-

8/16/2019 (521891159) 09 Transformasi-Linier

12/12

 7a/a

.• N%a!akan v + ,3( 56( H-#.agai k"&.ina#i

linir dari v8( v3( dan v6*

v + k8v8 4 k8v3 4 k6v6• Dida'a! k8+H= k3+5C= dan k6+H

• Shingga*

,3(56(H- + Hv8

G Cv3

4 Hv6

 T,3(56(H- + HT,v8- G CT,v3- 4 HT,v6-

+H,8(@- G C,3(58- 4 H,(6-

+,(36-

TERIMA KASIH