V 6 *× ¿ªÁþÊÁÿ? ÇÐ(×

o<ÊúH ú<Æ÷r m Óüto<Æ\"f ×æ¹כôÇ %i½+ɦ ôÇ. $ o

<Êú K$3<Êú_ zúÂÒH ¦כ Ðs¦ s\¦ s6 x # o<Êú_

#Q t $í|9[þt¦ ·úè­q ú e. %ò%i_ â>\"f ÅÒ#Q |¦ ëß7á¤

H o<Êú\¦ ¹1ÔܼH no=åJÏ@ ëH]j %ò%is \P2;"é¶óøÍ âĺ K$3<Êú

_ ïr &hìr/BNdܼÐÂÒ' Õª zo\¦ ú¦ ú e. #Q t %ò%i\"f

o<Êú\¦ ¹1Ôܼ9 s %ò%iõ \P2;"é¶óøÍ s_ éß K$3<Êú\¦ ¹1Ôܼ ÷&

HX<, éß K$3<ÊúH 1lx&hܼРժ %i<Êú K$3<Êú )a.

6.1. ¿ªÁþÊÁ

sptèß 3.2]X\"f&ñ_ %i1pws,%ò%i Ω ⊂ R2\"f&ñ_)a<Êú

u : Ω → R_ 9> x9 s>¼#<Êú 5Åqs¦ 6£§ 1pxd

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0 (1)

¦ ëß7᤽+É M:, u\¦ ÐésÈÕ¬£ ôÇ. î 0A_ éß9/BGs ÅÒ#Q4R

e¦ M:, Õª ?/ÂÒ\"f î+þA ©I\¦ sêr :r ìrí<ÊúH o<Êús

. sQôÇ 2[t\"f Ð, 9&ñôÇ |¦ °úðr o<Êú\¦ ¹1ÔH Érכ

143

144 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

Bĺ ×æ¹כôÇ 9s. :£¤y, ÅÒ#Q %ò%i_ â>\"f po ÅÒ#Q °úכ¦

tH o<Êú\¦ ¹1ÔH ëH]j\¦ 9ìøÍ&hܼРOPÊ×¹× 'Ö<<K ôÇ.

¼#pìr~½Ó&ñd ëH]jÐ"f 4¤èK$3õ Z> ©'a\O#Q ÐsH s ëH]jH

o<ÊúÐK$3<Êú_zúÂÒHzM:ëH\4¤èK$3~½ÓZOs

H0A§4¦µ1Ï6fôÇ.tèß 3.2]X\"f¶ú(RФ1pwsK$3<Êú f = u+iv

_ zúÂÒ uH ½Ó© o<Êús. s]j, o<Êú u ÅÒ#Q4R e¦

M:, u\¦ zúÂÒÐ tH K$3<Êú f = u + iv\¦ ¹1Ôܼ9 ôÇ. ëß9

f = u+ iv K$3<Êús ïr–oëß ~½Ó&ñd\ _ #

f ′(z) =∂u

∂x(z) + i

∂v

∂x(z) =

∂u

∂x(z)− i

∂u

∂y(z) (2)

sټРs <Êú_ "é¶r<Êú\¦ ¹1Ôܼ )a.

XNËP 6.1.1. ¹ÿGB ÈÕ¬£ u(z) ·ÿ)Ö<a:@lB*å*9;c"k +äqùÚH ÐésÈÕ¬£T

@, u = Re f -> AI)oÈÕ¬£ f(z) +í<<Â6Ò.

7£x"î: f]X >íß # Ð <Êú∂u

∂x(z)− i

∂u

∂y(z) ïr–oëß ~½Ó&ñd

¦ ëß7ᤠټР&ño 3.2.2\ _ # K$3<Êús. s]j, ôÇ &h z0 ∈ Ω

\¦ ¦&ñ ¦ <Êú f(z)\¦ 6£§

f(z) = u(z0) +∫ z

z0

[∂u

∂x(ζ)− i

∂u

∂y(ζ)

]dζ

õ °ú s &ñ_ . %ò%i Ω éßíH%ò%isټР&h z0\"f zt

H e__ /BG¦ "f &hìr # Õª °úכÉr ðøÍts. "f,

&ño 4.2.2ü< &ño 4.3.3\"f Ð1pws f(z)H K$3<Êús¦,

f ′(z) =∂u

∂x(z)− i

∂u

∂y(z)

s. ÕªX< 1pxd (2)\"f Ð1pws, 9ìøÍ&hܼÐ

f ′(z) =∂Re f∂x

(z)− i∂Re f∂y

(z)

6.1. o<Êú 145

sټРu(z)ü< Re f(z)H °ú Ér ¼#pìr¦ t¦, Re f(z0) = u(z0)s

ټРu(z) = Re f(z)e¦ ·ú ú e.

o<Êú u(z)\ @/ #, u + iv K$3<Êú9 M: v(z)\¦ u(z)_

Ðésx7ÈÕ¬£ÂÒÉr.ëß9 vü< w o<Êú u_ o(YU<Êús

, i(v − w)H Õª ©s )ú»¡¤ îß\ [þt#QH K$3<ÊúsټР\P2;

©&ño\_ #©Ãº<Êú)a.7£¤, o(YU<ÊúH©Ãºs\¦Áº

r Ä»9 > &ñ)a.

'Ö<<K 6.1.1. ëß9 u(z) o<Êús, <Êú g(z) =∂u

∂x(z)− i∂u

∂y(z) ï

r–oëß ~½Ó&ñd¦ ëß7á¤<ʦ Ð#.

|ºM 1. tèß 3.2]X_ Ðl 3\"f ¶ú(R:r ü< °ú s

u(z) = u(x, y) =12

log(x2 + y2), z ∈ C \ 0

H%ò%i C\00A\"f o<Êús.ÕªQ, u(z)Hs%ò%i\"f

K$3<Êú_ zúÂÒ |c ú \O. s\¦ Ðsl 0A # u+ iv K$3<Ê

ú&ñ .ÕªQ%ò%i C\it : t ≤ 00A\"f u(z)+ iv(z)−Log z

H K$3<Êús¦, :£¤y zúÂÒ 0s. "f \P2;©&ño\¦ &h6 x

u(z) + iv(z) = Log z +C (éß, CH ©Ãº)e¦ ·ú ú e. ÕªQ

Log zH %ò%i C \ 0 \"f &ñ_|c ú \O. Óüt:r tèß 3.2]X_ Ð

l 3\"f >íßôÇ ü< °ú s %ò%i z : Re z > 0 0A\"fH o(YU<Êú\¦ .

'Ö<<K 6.1.2. %ò%i z : Im z < 0 x9 z : Im z > 0 0A\"f u(x, y) =1

2log(x2 + y2)_ o(YU<Êú\¦ ¹1Ô.

&ño 6.1.1\ _ # K$3<Êú_ #Q t $í|9[þtÉr o<Êú\

Õª@/Ð &h6 x÷&H âĺ ú§. ôÇ t \VÐ"f ĺۼ îçH°úכ&ño\"f

zúÂÒ\¦ 2[ , u(z) "é¶óøÍ D(z0, r) ¦ í<Ê H %ò%i 0A\"f o

<Êú9 M:, 1pxd

u(z0) =12π

∫ π

−π

u(z0 + reiθ)dθ (3)

146 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

s $íwnôÇ. ëß9 o<Êú u(z) z = z0\"f FG@/°úכ¦ t &h

]XôÇ "é¶óøÍ D(z0, R) 0A\"f u(z0)H þj@/°úכs )a. "f, e__

r ∈ (0, R)\ @/ #

u(z0)− u(z0 + reit) ≥ 0,∫ π

−π

[u(z0)− u(z0 + reit)

]dt = 0

sÙ¼Ð, 5Åq<Êú uH ©Ãº<Êú )a. o<Êú u(z) z = z0\"f

FGè°úכ¦ tH âĺ ðøÍts. "f, %ò%i\"f &ñ_)a o

<ÊúH ©Ãº<Êú m FG@/°úכs FGè°úכ¦ tt ·ú§6£§¦ ·ú ú

e¦, sÐÂÒ' 6£§¦ %3H.

XNËP 6.1.2. (þj@/°úכ"é¶o)ÈÕ¬£ u(z)­¤4*å*9 Ω;c"kÐésÈÕ¬£Tz

· Öכ Ω = Ω ∪ ∂Ω;c"k a:@ö¶;T@, :?

maxu(z) : z ∈ Ω = maxu(z) : z ∈ ∂Ω

T )ç· Â6Ò.

s]j no=åJÏ@ ëH]j\¦ "îSX > + Ð. î 0A_ éß9/BG

Γ ⊂ Cü< 5Åq<Êú u : Γ → R ÅÒ#Q4R e. /BG Γ_ ?/ÂÒ\¦ Ω

½+É M:, 6£§ $í|9

(n1) U(z)H Ω ∪ Γ 0A\"f 5Åq<Êús,

(n2) U(z)H Ω 0A\"f o<Êús,

(n3) y z ∈ Γ\ @/ # U(z) = u(z)s

[þt¦ ëß7ᤠH <Êú U : Ω ∪ Γ → R\¦ ¹1ÔH sכ no=åJÏ@ ëH]js.

éß9/BG¦ Ér úÐ ¿ßÃ$×(1)כ¤n>s¦ ÂÒØÔl 9, ØÔ©

(1) Marie Ennemond Camille Jordan (1838∼1922), áÔ|½ÓÛ¼ ú<Æ. Ecole Polytech-nique\"f /BNÂÒ ¦ s /BMõ College de France1px\"f Ö1lx %i. ØÔ© /BG&ñoH 4¤èî 0A_ éß9/BG Γs ÅÒ#Qt C \ Γ ¿º %ò%iܼРsÀÒ#Qt 9y %ò%i_ â> Γe¦ ú HX<, sp s Õþ\"f 6 xôÇ e.

6.1. o<Êú 147

/BG_ ?/ÂÒ\¦ ¿ßÃ$×ÆZ]s¦ ôÇ. ëß9 U1õ U2 no=åJÏ@ ëH

]j_ [j t $í|9¦ ëß7ᤠ, þj@/]X@/°úכ&ño\ _ # U1 = U2

)a. 7£¤, no=åJÏ@ ëH]j_ KH Ä»9 .

© @/³ð&h ØÔ©%ò%i_ \VH \P2; éß0A"é¶óøÍ ∆ = D(0, 1)s

. s]jÂÒ' Γ éß0A"é¶9 M:, no=åJÏ@ ëH]j\¦ #QbG> ÉÒHt ¶ú(R

:r. éß0A"é¶óøÍ ∆ = D(0, 1) ¦ í<Ê H %ò%i\"f K$3<Êú ÅÒ#Q4R

e¦ M:, ïr &hìr/BNds ú ¦ eH ÙþdÉr éß0A"é¶ 0A_ <Êú°úכ\

_ # Õª ?/ÂÒ_ <Êú°úכs &ñ)aH .sכ o<ÊúH K$3<Êú

_ zúÂÒsÙ¼Ð, o<Êú\ @/K"f sü< q5pwôÇ &ño $íwn o

\V©½+É Ãº e.

s]j, f(z) 2³ éß0A"é¶óøͦ í<Ê H %ò%i\"f K$3&hs

&ñ ¦, éß0A"é¶ ?/ÂÒ_ &h z = reiθü< éß0A"é¶ ü@ÂÒ_ &h w =1reiθ\¦

¦&ñ ïr &hìr/BNd\ _ # 6£§

f(z) =1

2πi

∫|ζ|=1

f(ζ)ζ − z

dζ − 12πi

∫|ζ|=1

f(ζ)ζ − w

dζ

=1

2πi

∫|ζ=1|

[1

ζ − z− z

ζz − 1

]f(ζ)dζ

¦ %3H. ÕªX< |ζ| = 1\"f[1

ζ − z− z

ζz − 1

]dζ =

i(r2 − 1)eitdt

(eit − reiθ)(rei(t−θ) − 1)

=i(1− r2)dt

(1− rei(θ−t))(1− re−i(θ−t))

=i(1− r2)dt

1− 2r cos(θ − t) + r2

s. "f,

Pr(t) =1− r2

1− 2r cos t+ r2, 0 ≤ r < 1, t ∈ [−π, π] (4)

s ¿º 6£§ 1pxd

f(reiθ) =12π

∫ π

−π

Pr(θ − t)f(eit)dt, 0 ≤ r < 1 (5)

148 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

¦ %3H. s 1pxd¦ ²»ö¶B(2)+8(Ûoðs ÂÒØÔ¦ <Êúe

Pr : 0 ≤ r < 1

¦ ²»ö¶Bás ÂÒÉr.

s]j, <Êú Pr(θ − t) #Q" g1J9 ÒqtyK Ð. ĺ s 1pxd (5)

K$3<Êú f(z) = zn\ @/ # $íwn ټР6£§

12π

∫ π

−π

eintPr(θ − t)dt = rneinθ, n = 0, 1, 2, . . .

s$íwnôÇ.ÕªX<,1pxd (5)_zúÂÒü<)úÂÒ\¦q§ #Ð,s

1pxds K$3<Êú f(z) = u(z) + iv(z)_ zúÂÒ u(z)ü< )úÂÒ v(z)\

@/ #$íwn<ʦ·úúe."f,1pxd (5)HK$3<Êú f(z)_(YU

f(z) = u(z)− iv(z)\ @/K"f $íwnôÇ. 1pxd (5)\ <Êú f(z) = zn

\¦ V,ܼ

12π

∫ π

−π

eintPr(θ − t)dt = r|n|einθ, n = 0,±1,±2, . . .

¦ %3H. "f, Pr(θ − t) =∞∑

n=−∞r|n|ein(θ−t)s ÷&o f½+É Ãº

e. z]j >íß # Ð∞∑

n=−∞r|n|eint = 1 +

∞∑n=1

rn(eint + e−int

)= 1 + 2Re

∞∑n=1

rneint

= 1 + 2Rereit

1− reit= Re

1 + reit

1− reit= Pr(t)

(6)

Hd¦ SX½+É Ãº e. s]j 1pxd (4)ü< (6) ¦ s6 x ÉÒ5ÅxÙþ_

6£§ $í|9[þt

(ÉÒ1) y r ∈ [0, 1)\ @/ #12π

∫ π

−π

Pr(t)dt = 1s¦ Pr(t) > 0s,

(2) Simeon–Denis Poisson (1781∼1840), áÔ|½ÓÛ¼ ú<Æ. ÅÒÐ Ecole Polytechnique\"f /BNÂÒ ¦ Ö1lx %i.

6.1. o<Êú 149

(ÉÒ2) PrÉr <Êús¦, 0 < s < |t| ≤ πs Pr(t) < Pr(s)s,

(ÉÒ3) y δ ∈ (0, π)\ @/ # limr→1

maxPr(t) : |t| ≥ δ = 0s

¦ÐSX½+Éúe.sQôÇ$í|9[þtÉr5Åq<Êú_ÉÒo\/åLú\¦

ÀÒH X<\ &ñ&h %i½+ɦ H ]jØÔÙþ(3)_ $í|9[þtõ _ Ä»<Ê

¦ ·ú ú e.

'Ö<<K 6.1.3. (ÉÒ1)∼ (ÉÒ3) ¦ 7£x"î #.

P1/2 P2/3 P3/4

p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

p pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

pp p

p p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p pp p p

s]j, éß0A"é¶óøÍ ∆ = D(0, 1)_ â> ∂∆ 0A\"f &ñ_)a 5Åq<Êú

u(eit)\ @/ # no=åJÏ@ ëH]j\¦ Û¦9, ÉÒ5Åx &hìr/BNd¦ ¦9

# ©y 6£§

U(reiθ) =

12π

∫ π

−π

Pr(θ − t)u(eit)dt, 0 ≤ r < 1

u(eiθ), r = 1(7)

õ °ú s &ñ_K ½+É .sכ ÕªX<, 1pxd (6)\ _ # <Êú U(z)H

6£§ <Êú

F (reiθ) =12π

∫ π

−π

1 + rei(θ−t)

1− rei(θ−t)u(eit)dt

(3) ]jØÔÙþ\ 'aôÇ ?/6 xÉr ÃЦëH³ [$íl·ôÇ·>5px+À:, K$3>h:r, >h&ñóøÍ, "fÖ¦@/<Ƨ ئóøÍÂÒ, 1995, 2002] 9.3]X¦ ÃЦ .

Lipot Fejer (1880∼1959), +ùAo ú<Æ. ÂÒÛ¼àÔü< Z\¦2;\"f /BNÂÒôÇ +' ÂÒÛ¼àÔ\"f Ö1lx %i.

150 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

_ zúÂÒs. "f, <Êú F (z) K$3<Êúe¦ Ðs U(z)H

o<Êú )a. s]j z = reiθ ¿º

F (z) =12π

∫ π

−π

eit + z

eit − zu(eit)dt =

12πi

∫ π

−π

(1 + ze−it) · ieit

eit − zu(eit)dt

=1

2πi

∫|ζ|=1

u(ζ)ζ − z

dζ +z

2πi

∫|ζ|=1

u(ζ)/ζζ − z

dζ

sټР&ño 4.3.2\ _ # F (z)H K$3<Êús¦, "f U(z)H

o<Êús. &ño 4.3.2\"f ÕªXOmü< tFKt 7H_ôÇ ?/6 xÉr u

5Åq<ÊúHX<\ß¼> ½E~ÃÎt·ú§H.z]j u&hìr HX<\

t©s \O¦ &ñ_ <Êú, \V\¦ [þt#Q"f Ô¦5Åq&hs Ä»ôÇ>h Ä»><Êú

s (7)\ _ # &ñ_)a <ÊúH ½Ó© o<Êú )a.

s]j, u 5Åqs U 5Åqe¦ ÐsHX<, l ñ\¦ çß¼# >

l 0A # z = 1\"f 5Åqe¦ 7£x"î lÐ ôÇ. |9½+Ë X 0A\"f &ñ_

)a<Êú u&h z0 ∈ X\"fa:@ö¶;sHÉr,e__ªÃºכ ε > 0\@/

# 6£§ $í|9

z ∈ X, |z − z0| < δ =⇒ |u(z)− u(z0)| < ε

¦ ëß7ᤠH ªÃº δ > 0 >rFôÇH >pws.

$ ªÃº ε > 0\¦ ¦&ñôÇ. <Êú u z = 1\"f 5ÅqsÙ¼Ð

6£§ $í|9

|t| < δ =⇒ |u(eit)− u(1)| < 13ε

¦ ëß7ᤠH ªÃº δ > 0\¦ ú¦ ú e. ÉÒ5ÅxÙþ_ $í|9 (ÉÒ1) ¦ s

6 x # >íß

U(reiθ)− u(1) =12π

∫ π

−π

Pr(θ − t)u(eit)dt− 12π

∫ π

−π

u(1)dt

=12π

∫|t|≤δ

Pr(θ − t)[u(eit)− u(1)]dt

+12π

∫|t|≥δ

Pr(θ − t)[u(eit)− u(1)]dt

6.1. o<Êú 151

s)a.<Êú |u|_þj@/°úכ¦M s ¦ (ÉÒ3) ¦s6 x 6£§$í|9

R < r < 1, |θ| < δ

2=⇒ Pr(θ) <

ε

3M

¦ ëß7ᤠH R ∈ (0, 1) ¦ ú¦ ú e. s]j R < r < 1s¦ |θ| < δ

2s

|U(reiθ)− u(1)| ≤ 12π

∫|t|≤δ

Pr(θ − t)ε

3dt+

12π

∫|t|≥δ

ε

3M2M dt

≤ ε

3+

23ε = ε

s ÷&#Q"f U(z) z = 1\"f 5Åqe¦ ·ú> )a. <Êú U _ 5Åq$í

¦ 7£x"î H sQôÇ ~½ÓZOÉr ÉÒo\ K$3¦ q2©ôÇ K$3<Æ ìøÍ\ 5g

"f +þA&hܼР6 x÷&H ~½ÓZOs. tFKt 7H_ôÇ ?/6 x¦ &ño

6£§õ °ú .

XNËP 6.1.3. ·ÿa4wHÁ6Òq#Ü4 ∂∆a;c"k+äqùÚHa:@ö¶;ÈÕ¬£ u : ∂D → R

;c 60 #l ÈÕ¬£ U : D → R¿ì> (7)Üï ìm¥T +äq @, U(z)¤< :c )çHB

(n1)∼ (n3)¿ì> ¹ÿø¶;Â6Ò.

|ºM 2. <Êú u(eiθ) = Re einθ = cosnθ\ @/ # tFKt 7H_ôÇ

\¦ ·úÐ. s âĺ 1pxd (6) ¦ &h6 x

U(reiθ) =12π

∫ π

−π

r|n|Re einθdt = r|n| cosnθ

s. ëß9 u(eiθ) = Re (−ieinθ) = sinnθ U(reiθ) = r|n| sinnθs

. ÕªX<, ÉÒo\ K$3_ ]j\¦ &ño\¦ s6 x e__ 5Åq<Êú

u\ @/ #

limN→∞

max

∣∣∣∣∣u(eiθ)−N∑

n=0

(an cosnθ + bn sinnθ)

∣∣∣∣∣ : θ ∈ R

= 0

152 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

¦ ëß7ᤠH an, bn : n = 0, 1, 2, . . . \¦ ú¦ ú e.(4) r ú #

∂∆ 0A\"f &ñ_)a e__ 5Åq<ÊúH 6£§ g1J

u(eiθ) =∞∑

n=0

(an cosnθ + bn sinnθ)

Ð ÅÒ#QtHX<, s âĺ o<Êú_ þj@/°úכ"é¶o\¦ &h6 x s 5Åq<Ê

ú\ @/ôÇ no=åJÏ@ ëH]j_ KH

U(reiθ) =∞∑

n=0

rn(an cosnθ + bn sinnθ)

s )a.

6.2. ÇÐ(×ø gh=³,=i %KV

e__ ØÔ©%ò%i 0A\"f no=åJÏ@ ëH]j\¦ Û¦9 s %ò%iõ \P

2; éß0A"é¶óøÍ s\ éß K$3<Êú\¦ ¹1ÔH sכ ×æ¹כ . s ]X\

"fH $ sQôÇ éß K$3<Êú_ $í|9¦ /BNÂÒ ¦, sQôÇ éß

K$3<Êúü< no=åJÏ@ ëH]j_ Ks #Q" 'aº¦ tH ·ú :r.

ÅÒ#Q <Êú éß H ëH]jH z<Êú_ âĺü< ðøÍtÐ p

ìr>ú 0 H ëH]jü< 'aºs U·.

%ò%i Ω\"f &ñ_)a K$3<Êú φ(ζ) ÅÒ#Qt, <Êú φ′(ζ)−φ′(z0)_ "é¶r<Êú φ(ζ)− φ′(z0)ζsÙ¼Ð, &ño 4.1.1\ _ # 6£§ 1pxd

φ(w)− φ(z)− φ′(z0)(w − z) =∫ w

z

(φ′(ζ)− φ′(z0))dζ

¦ %3H. "f, \P2;"é¶óøÍ D = D(z0, r) ⊂ Ω\¦ ú¦

Mr = max|φ′(ζ)− φ′(z0)| : ζ ∈ ∂D(z0, r)

(4) ÃЦëH³ [$íl·ôÇ·>5px+À:, K$3>h:r, >h&ñóøÍ, "fÖ¦@/<Ƨ ئóøÍÂÒ, 1995,2002] 9.3]X¦ ÃЦ .

6.2. 1pxy©õ no=åJÏ@ ëH]j 153

s ¿º, e__ z, w ∈ D\ @/ # ÂÒ1pxd∣∣∣∣φ(w)− φ(z)w − z

− φ′(z0)∣∣∣∣ ≤ 1

|w − z|

∫ w

z

|φ′(ζ)− φ′(z0)||dζ| ≤Mr

s$íwnôÇ.s]j, φ′(z) 6= 0s φ′_5Åq$í\_ #Mr < |φ′(z0)| r > 0 ¦ ú¦ ú e. ëß9 w, z ∈ D\ @/ # w 6= zü< φ(w) =

φ(z) 1lxr\ $íwn |φ′(z0)| ≤Mr < |φ′(z0)| ÷&#Q íHs.

"f,<Êú φ(z)H\P2;"é¶óøÍ D(z0, r)0A\"féß<Êúe¦·úúe¦,

6£§s 7£x"î÷&%3.

XNËP 6.2.1. *å*9 Ωa;c"k+äqùÚHAI)oÈÕ¬£ φ(z)ã# z0 ∈ Ω®£#e$p

. ¹ÿGB φ′(z0) 6= 0T@, ÈÕ¬£ φ¤< +8BÂ6Ò ~x)>4wHÁ6Ò D(z0, r) a;c

"k ·ÿÈÕ¬£T.

ôÇ t ÅÒ_½+É &hs e. <Êú φ(z) = ez\"f Ð1pws φ′ 6= 0s

&ñ_%i\"féß<Êú99¹כH\OHs.Óüt:rÅÒ#Q&hכ

z0\¦×ædܼÐ-q 2πúî z : Im z0−π < Im z < Im z0 +π\¦ úܼ sH z0_ H~½Ós ÷&¦ s 0A\"f <Êú φ(z) = ez

H éß

<Êús.

s &ñoH "4/åLú>h φ(z) =∑

n an(z − z0)n\¦ s6 x # 7£x"î½+É

ú eHX<, >íß_ ¼#_\¦ 0A # z0 = 0s &ñ ¦ 7£x"î .

ëß9 φ(0) = a1 6= 0s <Êú t 7→∞∑

n=2

n|an|tn−1_ 5Åq$í\ _ #

∞∑n=2

n|an|rn−1 < |a1| ¦ ëß7ᤠH r > 0 ¦ ú¦ ú e. s]j <Êú

φ(z) D(0, r) 0A\"f éß<Êúe¦ Ðs. ëß9 z, w ∈ D(0, r)s¦

φ(z) = φ(w)s

0 =∞∑

n=0

an(zn − wn) =∞∑

n=1

an(z − w)(zn−1 + zn−2w + · · ·+ wn−1)

154 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

s $íwnôÇ. ëß9 z 6= ws

∞∑n=2

an(zn−1 + zn−2w + · · ·+ wn−1) = −a1

s¦, "f |z|, |w| < r\ _ #

|a1| ≤∞∑

n=2

|an|nrn−1 < |a1|

s ÷&#Q íHs.

'Ö<<K 6.2.1. "4/åLú>h\ _ôÇ &ño 6.2.1_ 7£x"î\"f 9ìøÍ&h âĺ\¦ Áºo #.

0A ¿º t 7£x"î\"f Ð1pws <Êú_ 5Åq$ís 7£x"î\"f H %i½+É

¦ %i. z<Êú_ âĺ Õª <Êú 5Åqs ðøÍt &ño $í

wn tëß 9ìøÍ&hܼРժXOt 3lw .

|ºM 1. <Êú φ : R → R ¦ 6£§

φ(x) =

x2 sin1x, x 6= 0

0, x = 0

õ °ú s &ñ_ . s M:, φ′(0) = 0sټРα 6= 0\¦ ×þ ¦ ψ(x) =

φ(x) + αx ¿º ψ′(0) = α 6= 0s. ÕªQ, α ∈ R Øæìry ܼ

ψH 0 ¦ í<Ê H #Q" ½çß\"f éß<Êú m.

'Ö<<K 6.2.2. #Q" α\ @/ # <Êú ψ(x) = φ(x) + αx 0 H~½Ó\"f éß<Êút #.

s]jH φ′(z0) = 0 âĺ #Q*ôÇ 9s 9#QHt ·úÐHX<,

φ(z) ©Ãº<ÊúH m¦ &ñôÇ. s âĺ, 6£§ <Êú

φ(z)− φ(z0) =φ′′(z0)

2!(z − z0)2 + · · ·

H n-×æH¦ (éß, n ≥ 2). ¢ôÇ ½Ó1px&ño\ _ # φ(z)− φ(z0)

ü< φ′(z)H &h]XôÇ "é¶óøÍ D = D(z0, r) 0A\"f z = z0 sü@_ H¦ t

6.2. 1pxy©õ no=åJÏ@ ëH]j 155

t·ú§H.s]jm = min|φ(z)−φ(z0)| : z ∈ ∂D¿º¦, 0 < |α| < m

α ∈ C\¦ ×þ #

ψ(z) = φ(z)− φ(z0)− α

&ñ_ . ÕªQ z ∈ ∂D\ @/ #

|(φ(z)− φ(z0))− ψ(z)| = |α| < m ≤ |φ(z)− φ(z0)|

$íwn ټРÀÒ[V &ño\ _ # ψ(z)H \P2;"é¶óøÍ D = D(z0, r) 0A

\"f φ(z) − φ(z0)ü< °ú s n >h_ H¦ . ÕªX< D \ z0 0A\"f ψ′(z) = φ′(z) 6= 0s¦ ψ(z0) 6= 0sټРψ(z)H D îß\"f ×æH¦

tt ·ú§H. "f, <Êú ψ(z)H D 0A\"f "fÐ Ér n >h_ H¦

. 7£¤,

φ(z1) = φ(z2) = · · · = φ(zn) = φ(z0) + α, zi 6= zj (i 6= j)

\¦ ëß7ᤠH z1, . . . , zn ∈ D\¦ ú¦ ú e¦, "f 6£§¦ %3H.

XNËP 6.2.2. *å*9 Ω a;c"k +äqùÚH AI)oÈÕ¬£ φ(z) 硬£ÈÕ¬£ N

. ¹ÿGB ÈÕ¬£ φ(z) z = z0;c"k n-ïB£ÓÃç> U@ :? )çHB

• ëß9 |α| < ms φ−1(φ(z0) + α)H n >h_ &h¦ .

Ãç> ¹ÿø¶; ¤< 衬£ m > 0Ãç> mÃç> ¬£ .

,¹Hכ n-×æH¦ tH &h H~½Ó\"fH <Êú φ(z) n @/ 1 <Êú

)aH ús. \VÐ"f, <Êú φ(z) = zn¦ ÒqtyK Ð )a. ëß9 <Ê

ú φ(z) %ò%i Ω 0A\"f éß<Êú ©y φ′ 6= 0s. s %ir

z<Êú φ(x) = x3\¦ Òqty z<Êú\"fH $íwn t ·ú§H .sכ

'Ö<<K 6.2.3. K$3<Êú φ(z) z = z0\"f ×æH¦ |9 ¹Øæìכ9r|Érφ′(z0) = 0e¦ Ð#.

156 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

XNËP 6.2.3. (%i<Êú&ño) *å*9 Ω a;c"k +äqùÚH AI)oÈÕ¬£ φ(z) ·ÿ

ç¡T@, »qq z ∈ Ω;c 60 #l φ′(z) 6= 0T. ¡Â6Ò, *9ÈÕ¬£

ψ : φ(Ω) → Ω|¡ AI)oÈÕ¬£T.

7£x"î: tFKt7H_ôÇ\_ #éß©s φ′ 6= 0s¦,\P2;

©&ño\ _ # φ(Ω)H r %ò%is. ĺ ψ φ(Ω)\"f 5Åqe

¦ 7£x"îôÇ. s\¦ 0AK"f, Ω îß_ ú\P 〈an〉õ a ∈ Ω\ @/ # 6£§

φ(an) → φ(a) =⇒ an → a

¦ Ðs )a. \P2;"é¶óøÍ D = D(a, r) ⊂ Ω\¦ ú. \P2;©&ñ

o\_ # φ(D)H φ(a)\¦í<Ê H\P2;|9½+Ës¦ φ(an) → φ(a)s

Ù¼Ð, Øæìry H H n\ @/K"f φ(an) ∈ φ(D)s¦, "f an ∈ D

s. "é¶óøÍ D\¦ Áºo > ú °ú Ér 9s 9#QÙ¼Ð, ns 7£x

<Ê\ ans a\ e_Ð 0>f¦ ·ú ú e. s]j φ(z0) = w0

ψ(w)− ψ(w0)

w − w0=

z − z0φ(z)− φ(z0)

÷&¦, "f, ψ′(w0) =1

φ′(z0)s.

ëß9 φ′(z0) 6= 0s <Êú φ(z)H 9<Êú φ(z0) + φ′(z0)(z − z0)

ü< Ä» > )a. ÕªX< 9<ÊúH ²DG î's1lx, SX@/, rs

ټРφ(z) z = z0H~½Ó\"fH SX@/ü< rõ Ä» > )a. :£¤y,

z = z0\¦ ×ædܼРy\¦ Õªo Õª © °ú Ér y\¦ Ä»t > |c

.sכ sQôÇ _p\"f φ′ 6= 0 <Êú\¦ ûB~ç¡s ÂÒÉr. ëß9

φ′(z0) 6= 0s¦ z(t) z(t0) = z0 /BGs, 6£§

argd(φ z)dt

(t0) = arg[φ′(z0) ·

dz

dt(t0)

]= arg φ′(z0) + arg

dz

dt(t0)

s $íwnôÇ. "f, ëß9 w(t) w(t0) = z0 ¢ Ér /BGs

¿º /BG s_ yH

argdw

dt(t0)− arg

dz

dt(t0) = arg

d(φ w)dt

(t0)− argd(φ z)dt

(t0)

6.2. 1pxy©õ no=åJÏ@ ëH]j 157

X<, sH Ð ¿º /BG_ © (φ z)(t)ü< (φ w)(t) s_ ys.

7£¤, 1pxy©Ér ¿º /BG s_ y\¦ Ð>r H ©s.

tèß 1.3]X\"f¶ú(R:r9ìrú<Êú φ(z) =az + b

cz + dH1pxy©_

@/³ð&h \Vs. z]jÐ >íß # Ð

φ′(z) =ad− bc

(cz + d)2

X<, ©Ãº<Êú ÷&H âĺ, 7£¤ ad − bc = 0 âĺ\¦ ]jü@ %ò%i

C \ −d/c\"f C \ a/cÐ H 1pxy©s. :£¤y, tèß 1.3]X\

"f ¶ú(R :r ù&qĺۼ8

φα(z) =z − α

1− αz

Ér \P2; éß0A"é¶óøÍ ∆ s\ &ñ_)a 1pxy©s.

w = φi/2(z)

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qqq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q

q qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

q

q qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq

qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq qq q

XNËP 6.2.4. (ûØÔÞÔ ¹¡§&ño) ~x)> ·ÿa4wHÁ6Ò ∆ a;c"k +äqùÚH AI

)oÈÕ¬£ φ : ∆ → ∆ φ(0) = 0T@ :?

|φ(z)| ≤ |z|, |z| < 1 (8)

(4) Hermann Amandus Schwarz (1843∼1921), 1lq9 ú<Æ. Z\¦2;\"f /BNÂÒôÇ +'\Gottingenõ Z\¦2; 1pxt\"f Ö1lx %i.

158 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

T )ç· Â6Ò. ¹ÿGB a «»ûB;c"k ûBÚ )ç· ¤< z0 ∈ D Ä@

φ(z)¤< φ(z) = eiθzq dT.

7£x"î: <Êú φ(z)\¦ "4/åLúР³ð&³ φ(z) = a1z + a2z2 + · · · s

Ù¼Ð, φ(z) = zψ(z)_ g1Js (éß, ψ(z)H K$3<Êú). &ñ\ _ #

φ(z) ∈ ∆, 7£¤ |φ(z)| < 1sÙ¼Ð, e__ r < 1\ @/ #

|z| = r =⇒ |ψ(z)| = |φ(z)||z|

≤ 1r

s $íwnôÇ. #l"f þj@/]X@/°úכ&ño\¦ &h6 x

|z| ≤ r =⇒ |φ(z)|r

≤ |φ(z)||z|

= |ψ(z)| ≤ 1r

s. s "î]j e__ r < 1\ @/ # $íwn ټР(8) ¦ %3H. ëß

9 |φ(z0)| = |z0|$íwn H z0 ∈ De |ψ(z)|H z = z0\"fþj

@/°úכ 1 ¦ t¦, r þj@/]X@/°úכ&ño\ _ # ψ(z) = eiθs.

"f, φ(z) = eiθzs.

6£§ &ñoH \P2; éß0A"é¶óøÍ s_ éß 1pxy©s r8õ

ù&qĺۼ8, <ÊÉr s ¿º t_ ½+Ë$í÷re¦ ú ¦ e.

XNËP 6.2.5. ~x)> ·ÿa4wHÁ6Ò ∆ T;c +äqùÚH b9·ÿ ûB~硪<

φ(z) = eiθφα(z) = eiθ z − α

1− αz

q dT (·ÿ, θ ∈ R).

7£x"î: ëß9 φ : ∆ → ∆ éß 1pxy©s φ(α) = 0 α ∈ D\¦ú¦ ú e. ÕªQ ψ = φ φ−1

α : ∆ → ∆%ir éß 1pxy©

X< 0 ¦ 0ܼРзp. "f, ûØÔÞÔ ¹¡§&ño\¦ &h6 x z ∈ ∆

@/ # |ψ(z)| ≤ |z|s. ôǼ# ψ−1 : ∆ → ∆ %ir 0 ¦ 0ܼРÐ?/Ù¼Ð

|ψ−1(z)| ≤ |z|s. "f, 6£§

|z| = |ψ−1(ψ(z))| ≤ |ψ(z)| ≤ |z|, z ∈ ∆

6.2. 1pxy©õ no=åJÏ@ ëH]j 159

¦ %3HX<, sÐÂÒ' |ψ(z)| = |z|s¦ r ûØÔÞÔ ¹¡§&ño\ _ # φ(φ−1

α (z)) = ψ(z) = eiθzs. s 1pxd\"f z\ φα(z)\¦ @/9 #

"é¶ H õ\¦ %3H.

ÅÒ#Q éßíH%ò%i Ω\"f \P2; éß0A"é¶óøÍ ∆Ð H éß 1px

y© φ : Ω → ∆\¦ ¹1Ô¤¦ . ëß9 ψ : Ω → ∆ éß

1pxy©s ψ φ−1 : ∆ → ∆ 1pxy©s¦ &ño 6.2.5\ _

# ψ(φ−1(z)) = eiθφα(z)s. "f, e__ 1pxy© ψ : Ω → ∆H

6£§

ψ(z) = eiθφα(φ(z)) = eiθ φ(z)− α

1− αφ(z), z ∈ Ω

_ g1Js.

s]jÂÒ', ÅÒ#Q ØÔ©%ò%i Ω\"f no=åJÏ@ ëH]j\¦ ÉÒH õכ

éß 1pxy© φ : Ω → ∆\¦ ¹1ÔH sכ #QbG> 'aº÷&Ht ·ú Ð

lÐ ôÇ. s\¦ 0A #, $ e__ 5Åq<Êú u : ∂Ω → R\ @/K"f

no=åJÏ@ ëH]j_ K >rFôǦ &ñK Ð.

ôÇ &h a ∈ Ω\¦ ¦&ñ ¦, y z ∈ ∂Ω\ @/K"f u(z) = log |z − a|&ñ_ , u : ∂Ω → RH 5Åq<Êús. s <Êú\ @/ôÇ no=åJÏ@ ëH

]j_ K\¦ U : Ω → Rs , U H Ω 0A\"f 5Åqs¦, Ω 0A\"f

o<Êús 9, ¢ôÇ y z ∈ ∂Ω\ @/ # U(z) = u(z) = log |z − a|s. ÕªX< Ω éßíH%ò%isټР&ño 6.1.1\ _ # Re f = U\¦

ëß7ᤠH K$3<Êú f : Ω → C >rF HX<, &h]XôÇ íH)ú\¦ 8 #

Im f(a) = 0&ñ½+É Ãº e. s]j, <Êú φ : Ω → C\¦

φ(z) = (z − a)e−f(z), z ∈ Ω

Ð &ñ_ . s <ÊúH Ω 0A\"f K$3&hs¦, φ(a) = 0 x9 φ′(a) > 0

¦ ëß7á¤ôÇ. ĺ log |φ(z)| = log |z − a| − U(z)H Ω \ a \"f o<Êús¦, y z ∈ ∂Ω\ @/ # log |φ(z)| = 0s. ªÃº ε > 0 ¦ Øæìr

y > úܼ |9½+Ë z ∈ C : 0 < |z − a| ≤ εs Ω\ í<Ê÷&¦ s |9

160 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

½+Ë\"f log |f(z)|_ °úכs 0Ð > ½+É Ãº e. s zõ o<Êú

_ þj@/°úכ"é¶oÐÂÒ' y z ∈ Ω \ a\ @/K"f log |φ(z)| < 0s $íwn

<ʦ ·ú ú e. "f |φ(z)| < 1sټРφH Ω\"f ∆Ð H K

$3<Êús. =åQܼРφ : Ω → ∆ éße¦ Ðsl 0A #, b ∈ ∆

. ÂÒ1pxd |b| < r < 1 ¦ ëß7ᤠH zú r ¦ ×þôÇ 6£§,

D = z ∈ Ω : |φ(z)| < r ¿º. ÕªQ D îß\ <Êú φ(z) − b_ H

s &ñSXy ôÇ >h e6£§¦ Ðs )a. K$3<Êú φ_ <ÊúH ∂D\"f

Ä»ôÇ>h_ H¦ tټР∂DH y C1-/BG[þtÐ sÀÒ#Q4R e¦, :£¤

y DH 2³/BG ∂D_ ?/ÂÒÐ sÀÒ#Q %ò%i[þt_ ½+Ë|9½+Ës. s]j,

y z ∈ ∂D\ @/ # |φ(z)| = rsÙ¼Ð

|φ(z)− (φ(z)− b)| = |b| < r = |φ(z)|, z ∈ ∂D

s $íwnôÇ. s ÂÒ1pxdõ ÀÒ[V &ñoÐÂÒ' ¿º <Êú φü< φ− bH D îß

\"f °ú Ér >hú_ H¦ . <Êú φ D\"f &ñSXy ôÇ >h_ H¦

tټРφ : Ω → ∆H éß 1pxy©s. 0A 7H7£x õ&ñ\"f ∂D

y C1-/BG[þtÐ sÀÒ#Q4R e¦ D %ò%i[þt_ ½+Ë|9½+Ës %i

ܼ,²DG φéß1pxy©sÙ¼Ðz]jÐ ∂DôÇ>h_ C1-/BG

ܼÐsÀÒ#Qéß9/BGs¦ DHôÇ>h_%ò%iܼÐsÀÒ#Q4Re.

s]j,no=åJÏ@ëH]jü<1pxy©_'aº¦Ðìr"î > l

0A # ØÔ©%ò%i Ω\ 'aôÇ 6£§ ¿º "î]j

(OP) e__ 5Åq<Êú u : ∂Ω → R\ @/K"f no=åJÏ@ ëH]j_ K

>rFôÇ,

(ûB~) e__ a ∈ Ω\ @/K"f φ(a) = 0 x9 φ′(a) > 0 ¦ ëß7ᤠH

éß 1pxy© φ : Ω → ∆ Ä»9 > >rFôÇ

\¦ °ú s Òqty # Ð. tFKt 0A\"f 7H7£xôÇ Érכ 6£§

• ØÔ©%ò%i Ω\ @/ # (OP) $íwn (ûB~) $íwnôÇ

6.2. 1pxy©õ no=åJÏ@ ëH]j 161

¦ 7£x"îôÇ .sכ Õª ìøÍ@/ ~½Ó¾Ó, r ú # (ûB~)s $íwnôÇ &ñ

¦ (OP)\¦7£x"î HÉrsÕþ_úïכr¦Åtëß,>h|ÄÌ&h~½ÓZO¦

è>hôÇ. $, &ñ (ûB~)\ _ # Ω\"f ∆Ð H éß 1pxy

© φ >rFôÇ.ÕªX<, ØÔ©%ò%i Ω\"f ∆ÐHéß

1pxy©Ér Ω\"f ∆Ð H éß 5Åq©Ü¼Ð SX©÷& 9, SX©)a

©_%i©5Åqes ú ·ú94Re.s]j,5Åq<Êú u : ∂Ω → R

ÅÒ#Qt, u φ−1 ∂∆0A\"f 5Åqs. éß0A"é¶óøÍ\"fH H n

o=åJÏ@ ëH]j K\¦ tÙ¼Ð, 5Åq<Êú U : ∆ → C >rF # ∆

0A\"f o<Êús¦, |z| = 10A\"f U(z) = u φ−1(z)s. ÕªQ

U = U φ ÅÒ#Q no=åJÏ@ ëH]j_ Ke¦ ~1> ·ú ú e.

z (ûB~) x9 (OP)H ØÔ©%ò%iÐ s 9ìøÍ&h %ò%i\"f

$íwn<Ês ú ·ú94R etëß s\ @/ôÇ >&h /BNÂÒH s Õþ_ úïr

¦ ÅH. \V\¦ [þt#Q"f e__ éßíH%ò%i\"f no=åJaÅ@ ëH]j Û¦

2;H sכ ú ·ú94R eܼ 9, e__ %ò%i\ @/K"f Õª #|9½+Ës

-Áºt·ú§Ü¼noFMÏ@ëH]j_K\¦¹1Ԧúe.ÕªQ, ½"íÝüt

2; \P2;"é¶óøÍ ∆ \ 0%!3 Õª #|9½+Ë 0 ∪ z : |z| ≥ 1_ y îrX< ôÇ &hܼРsÀÒ#Q ys eH âĺ no=åJÏ@ ëH]j Û¦ot ·ú§

H.(5)

ôǼ#, éß 1pxy©_ >rF\ 'aK"fH (ûB~)s ØÔ©%ò%i÷r

m 4¤èî e__ éßíH%ò%i\"f $íwnôÇH

sכ oëß ©&ño(6)s.

XNËP 6.2.6. (oëß ©&ño) õi;Эè@q .>«»(Ûo· ÖT fכ ·ÿ)Ö<a:@lB*å

*9-> Ωã# Â6Ò +8 a ∈ Ω ®£#eU@, φ(a) = 0 D φ′(a) > 0Ãç> ¹ÿø¶; ¤<

b9·ÿ ûB~ç¡ f : Ω → ∆T ­¤GB 4 +í<<Â6Ò.

(5) _þvëH]j 6.5.9\¦ ÃÐ .

(6) s &ñoH 1851 oëß\ _ # /åL÷&%3ܼ, þj7áx&h 7£x"îÉr 20[jl [þt#Qü<"f sÀÒ#Q&. s\ @/ôÇ %iH [R. Remmert, Classical Topics in FunctionTheory, Springer, 1998], 8.3]X¦ ÃÐ .

162 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

ëß9 Ω = C4¤èî Ω\"f ∆ÐHK$3<ÊúHo

ĺqÄ» &ño\ _K"f ©Ãº<Êú ÷rsÙ¼Ð, oëß ©&ño\"f Ω 4¤

èî_ ÂÒìr|9½+ËsH &ñs ¹כ9.

6.3. #ba m ÇÐ(×

s]X\"fH#QtéßíH%ò%i Ω\@/ #éß1pxy©

φ : Ω → ∆\¦ ¹1Ô Ð. $ ìøÍî Hu = z : Im z > 0\¦ ÒqtyKÐ. s âĺ, &h 0, 1, ∞\¦ −1, −i, 1Ð Ð?/H 9ìrú<Êú\¦ Òqty

)a. tèß 1.3]X_ /BNd (17) ¦ s6 x , ½ H <ÊúH

(w + 1)(−i− 1)(w − 1)(−i+ 1)

= limz3→∞

(z − 0)(1− z3)(z − z3)(1− 0)

= z

\"f

φ(z) = w =z − i

z + i(9)

\¦ %3H. s M:, φ(i) = 0 ∈ ∆sÙ¼Ð, "é¶ H 8e¦ SX½+É Ãº

e.

'Ö<<K 6.3.1. ìøÍî Hu\"f ∆Ð H 1pxy©¦ ¿º ¹1Ô.

w =z − i

z + i

q

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qqq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq

qq qq qq

qq

qqq

qqq qq q

qq

qqq

qq qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qq qq

qq

qqq

q qq qqq

qq

qqq

qq qq qq

qq

qq

qqqq qq qq

qq

qq

qqqq qq qq

qq

qq

qqqq qq qq

qq

qq

qqqq qq qq

qq

qq

qqqq qq qq

qq

qq

qqqq qq qq

qq

qq

qqqq qq q

qq

qq

qqq

qq qq qq

qq

qq

qqqq qq q

qq

qq

q

qqqq qq q

qq

qq

q

qqqq qq q

qq

qq

q

qqqq qq q

qq

qq

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qq qq

qq

q

q

qq qq qqq

qq

qq

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq qq

qq

qq

q

q

qq qq

qq

qq

q

qq

q

qq qq

qq

qq

q

qq

q

qq qq

qq

qq

q

qq

q

qq qq

qq

qq

q

q

q

q

qq qq

qq

qq

q

q

q

q

qq qq

qq

qq

q

q

q

q

qq qq

qq

qq

q

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

qq

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

qq

q

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

qqqqqqqqqqqq

q

q

qq

qq

qq

qq

q

q

q

q

qq

qq

qq

qq

q

q

q

q

qq

q qqq

qq

q

q

q

q

qq

q qqq

qq

q

q

q

q

qq

q qqq

qq

q

q

q

q

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

qq

q qqq

qq

q

q

qq

q qq qqq

qq

q

q

qq

q qq qqq

qq

q

q

qq

q qq qqq

qq

q

q

qq

q qq qqq

qq

q

q

qq

q qq qqq

q

q

q

q

qq

q qq qqq

q

q

q

q

qq

q qq qqq

q

q

q

q

qq

q qq qqq

q

q

q

q

qq

q qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qq qqq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qq qqq

qq

q

q

q

q

q qqq

qq

qq

q

q

q

q

q qqq

qq

qq

q

q

q

q

q qqq

qq

qq

q

q

q

q

q qqq

qq

qq

q

q

q

q

q qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q qqq

qq

q

q

q

q

q

q

q qqq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

qq

q

q

q

q

q

q

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

q

qq

qq

q

q

q

q

q

q

q

qp p p p p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p p p

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp p pp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

ppp ppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pp

ppppppp

pppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

pppppp

p

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppppppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp pppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p ppp

ppp p p pp

ppp p p pp

ppp p p pp

ppp p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

ppp p p p

ppp

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp p

p p p pp

p pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

pp pp p p p

p

p pp p p pp

p pp p p pp

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p pp p p p

p

p p pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

6.3. #Q t 1pxy© 163

'Ö<<K 6.3.2. ìøÍî H = (x, y) : y < x+ 1\"f ∆Ð H 1pxy©¦ ¹1Ô.

9ìrú<Êú (9)\¦ s6 x #Q t 1pxy©¦ ¹1Ô¦ ú e.

\V\¦ [þt#Q, 9ìr

Ω = z : Re z > 0, Im z > 0

\"f ∆Ð H éß 1pxy©¦ %3ܼ9 8 z 7→ z2õ 1pxy©

(9)\¦ ½+Ë$í )a. s M:, "é¶ H éß 1pxy©Ér

φ(z) =z2 − i

z2 + i

s. 9ìrú<Êú (9)_ %i©

φ(z) = −iz + 1z − 1

ÉrÓüt:r\P2;éß0A"é¶óøÍ ∆\¦ìøÍî HuÐ?/HX<,s8 #Qâĺ

\ Ä»6 x > æ¼. ìøÍî Hu\¦ r>~½Ó¾ÓܼÐπ

2ëßpu r ¢

Ér ìøÍî

Hr = z : Re z > 0

s )a. "f, 8

φ(z) = (−i) ·(−iz + 1z − 1

)=

1 + z

1− z

Ér \P2;"é¶óøÍ ∆\¦ ìøÍî HrРзp. s 8Ér :£¤y ìøÍ"é¶óøÍ

∆u = z ∈ ∆ : Re z > 0

¦ 9ìrܼРзp. s\¦ s6 x

Ω = z : Re z > 0, Im z > 0, |z| < 1

\¦ #QbG> ∆Ð Ðè­q ú eHt ·ú ú eHX<, 6£§ %ò%i

Ω → ∆u →9ìr→ Hu → ∆

164 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

[þt¦ YVÐ Òqty )a.

'Ö<<K 6.3.3. %ò%i Ω = z ∈ ∆ : Re z > 0, Im z > 0\¦ ∆Ð Ð?/H éß1pxy©¦ ¹1Ô.

s]j, sìrú<Êú\¦ ÒqtyK ÐHX<, © çßéßôÇ +þAI

w = φ(z) =12

(z +

1z

), z ∈ C \ 0 (10)

\¦ ¶ú(R Ð. ĺ <Êú\¦ ½K Ð

φ′(z) =z2 − 12z2

sټРφH C \ 0,±1 0A\"f 1pxy©s. ôǼ#, f]X >íß #

Ð

φ(z1) = φ(z2) ⇐⇒ z1 = z2 <ÊÉr z1z2 = 1 (11)

e¦ ·ú ú e. "f, s 8Ér éß0A"é¶ ?/ÂÒ ∆éß0A"é¶ ü@ÂÒ C \∆

\"fôÇ&hm úÉr¿º&h¦°ú Ér&hܼÐзp.sHu8 w = z2

s "é¶&h¦ ×ædܼР@/gA÷&H ¿º &h¦ °ú Ér &hܼРÐ?/H õכ ðøÍ

ts.

ëß9 z = reiθ ¿º¦, w = u+ iv ¿º

u =12

(r +

1r

)cos θ, v =

12

(r − 1

r

)sin θ

s. #l"f, θü< r ¦ yy è

u2[12

(r +

1r

)]2 +v2[

12

(r − 1

r

)]2 = 1,u2

cos2 θ− v2

sin2 θ= 1 (12)

¦ %3H. "f, éß0A"é¶ îß\"f "é¶&h¦ ×ædܼРH "é¶Ér ©»¡¤_

Us1r

+rs¦,éß»¡¤_Us1r−r"é¶Ü¼Ð8)a.ÕªìøÍt

2£§ rs 1\֦ú2¤±úK4R"féß0A"é¶Érzú»¡¤0A_ ½çß [−1, 1]

Ð 8÷&¦, Õª ìøÍt2£§ rs 0\ ֦ú2¤ ÑüæÕªXO> ÷&"f ÁºôÇy

6.3. #Q t 1pxy© 165

&. ¢ôÇ,"é¶&hõ eiθ s_ìrÉr©/BGܼÐ8÷&HX<,ôÇAá¤

©/BG_ ìøÍܼР8)a.

'Ö<<K 6.3.4. "î]j (11) ¦ 7£x"î #. ¢ôÇ, 'a>d (12)\¦ Ä» #.

tFKt 7H_ôÇ Ü¼Ðכ pÀÒ#Q <Êú

φ : z : 0 < |z| < 1 → C \ z : Im z = 0, −1 ≤ Re z ≤ 1 (13)

H éß 1pxy©s. s ©Ér z 9ìrú<Êúü< s<Êú_

½+Ë$íܼРsK½+É Ãº e. $, \P2; éß0A"é¶óøÍ ∆\¦ ìøÍî HuÐ Ð

?/H 9ìrú<Êú\¦ ÒqtyôÇ. Óüt:r (9)\"f &ñ_ôÇ 9ìrú<Êú_

%i<Êú

φ1(z) = −iz + 1z − 1

\¦ úܼ )a. Õª 6£§ 8

φ2 : z 7→ z2 : Hu → C \ z : Im z = 0, Re z ≥ 0

¦ ÒqtyôÇ. s]j, φ2(φ1(0)) = φ2(i) = −1e¦ %i¿º\ ¿º¦, [j &h

−1, 0, ∞\¦ ∞, −1, 1Ð yy Ð?/H 9ìrú<Êú

φ3(z) =z − 1z + 1

\¦ úܼ φ = φ3 φ2 φ1e¦ Ð SX½+É Ãº e.

'Ö<<K 6.3.5. 1pxy© (13)s ©e¦ Ð#. ¢ôÇ, φ = φ3 φ2 φ1s

$íwn<ʦ Ð#.

sìrú<Êú (10)\"f,éß0A"鶦?/ÂÒ\¾¡§H"é¶ C_©s#QbG>

8÷&Ht ¶ú(R Ð. s âĺ éß0A"é¶s zú»¡¤0A_ ½çß I = [−1, 1]

Ð 8÷&¦ éß0A"é¶ ü@ÂÒ C \ IÐ Ð?/tH ¦כ yîß , "é¶ Cü<

éß0A"é¶ s_ /BNçßs ½çß I\¦ ÑütQH _þvs ÷&o |9½+É Ãº e

. ÕªX<, ëß9 s "é¶s f ′(z)_ :£¤s&h z = 1\"f éß0A"é¶õ ]XôÇ

½ H ©Ér s &h\"f ¶ð7á¤ôÇ ªs )a.

166 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

c

c c

?

φ1(z) = −iz + 1z − 1

6φ3(z) =

z − 1z + 1

-φ2(z) = z2

-

φ(z) =12

(z +

1z

)

q

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qq

q q

qp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

p

pppppppppp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

p

pppppppppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

p

p

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

p

ppppppppppp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

pp

p p

p

e w =

12

(z +

1z

)p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

ppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

pp

pp

pp

ppppppppppppppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp

pp

pp

pp

p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

ppppp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp p

p pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

pp

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

pp

pp

pp

pp

pp

p pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp pp ppp

pp

pp

6.3. #Q t 1pxy© 167

'Ö<<K 6.3.6. sìrú<Êú (10)\"f, éß0A"é¶õ z = 1\ ü@]X H "é¶Ér #Q"_þvܼР8÷&Ht [O"î ¦, ÕªaË>¦ Õª9Ð.

s]j, úf ª_ %ò%i

Ω = z : −1 < Re z < 1

¦ #QbG> \P2; éß0A"é¶óøÍ ∆Ð Ð?/Ht ·ú Ð. s âĺ, çßs

π úî tú<Êú\ _ # ìøÍîܼРçßH sכ Ùþds.

½&hܼР6£§ éß>\¦ u ÷&HX<, [j &h 0,±1 ¦ ¦&ñ #

H âĺ\¦ Òqty .

• iz\¦ s6 x # úî z : −1 < Im z < 1Рзp.

• π

2(z + i)\¦ s6 x # úî z : 0 < Im z < πРзp.

• ez\¦ s6 x # ìøÍî HuРзp.

s [j éß>\¦ uH 1lxîß ÅÒ#Q [j &hÉr

−1, 0, 1 −→ −i, 0, i −→ 0, π2i, πi −→ 1, i,−1

ܼР8)a. s]j, ìøÍî Hu\¦ ∆Ð Ð?/"f [j &h 1, i,−1 ¦−1, 0, 1Ð Ð?/9 0, i,∞\¦ i, 0− i <ÊÉr −i, 0, iܼРÐ?/ôÇ. "f, ½ H 9ìrú<ÊúH

w =z − i

iz − 1= i

1 + iz

1− iz, <ÊÉr w =

z − i

1− iz= −i1 + iz

1− iz

X<, |\ úH Érכ s. ²DG, ½ H 8Ér 6£§ [j 8

πi

2(z + 1), ez, i

1 + iz

1− iz

_ ½+Ë$í

w = φ(z) = i1 + ie(πi/2)(z+1)

1− ie(πi/2)(z+1)= i

1− eπz/2

1 + eπz/2= tan

π

4z

Ð ÅÒ#Q.

168 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

r = 1− 10−5

r = 0.5

rrrr rrrr rrrr rrrr ss

ss pp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

p ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pp

pp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppp

ppppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp p

ppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp ppp

p pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp pppp

'Ö<<K 6.3.7. [j &h −1, i, 1 ¦ 1, 0,−1Ð Ð?/H 9ìrú<Êú\¦ tèß 1.3]X_ (17) ¦ s6 x # ½ #.

'Ö<<K 6.3.8. 8 w = φ(z)%i8s

z = ψ(w) =4

πarctanw =

2

πiLog

1− iw

1 + iw

Ð ÅÒ#Qf¦ Ð#.(7) ¢ôÇ, zú r ∈ (−1, 1)\ @/ # ψ(r)õ ψ(ir)_ °úכ¦ ½ #.

6.4. ÇÐÌfCø ÇÐ(×

s ]X\"fH tܼРy+þAõ 'aº)a éß 1pxy©\ @/

# ·ú :r. ĺ ôÇ t \VÐ"f 6£§ 8

φ(z) =∫ z

0

1√ζ + 1

√ζ√ζ − 1

dζ (14)

¦¶ú(RÐ.#l\"fÁºo<Êú√z = e(log

∗ z)/2H¼#y¦

(−π

2,3π2

)\"f 2[ H ¼#y_ t\¦ 6 xôÇ. ÕªQ

z 7→√z : C \ −it : t ≥ 0 →

z : z 6= 0, −π

4< arg z <

3π4

H z 7→ z2_ %i©Ü¼Ð"f Óüt:r éß 1pxy©s. ÕªQ &hìr

°úכ (14)_ x&hìr<ÊúH ìøÍî Hu0A\"f K$3<ÊúsÙ¼Ð, e__

z ∈ Hu\ @/ # &hìrs ú &ñ_÷&#Q φ(z)H Hu 0A\"f K$3<Êús

(7) _þvëH]j 3.4.12 x9 _þvëH]j 4.5.12\¦ ÃÐ .

6.4. y+þAõ 1pxy© 169

.(8) $ z zú»¡¤¦ "f ª_ ~½Ó¾ÓܼР¹¡§f9 M: φ(z) #Q

bG> ¹¡§fsHt ¶ú(RÐ. s]j, z = t ∈ Rs ¿º

φ′(t) =1√

t+ 1√t√t− 1

H t 5ÅqôÇ ½çß I\ "f 6£§ °úכ¦ . #l"f R+ü< R−H

yy ªõ 6£§_ zú»¡¤¦ ?/¦, I+ü< I−H ªõ 6£§_ )ú»¡¤¦

yy ·p.

(−∞,−1] [−1, 0] [0, 1] [1,∞)

1/√t+ 1 I− I− I− R+

1/√t I− I− R+ R+

1/√t− 1 I− R+ R+ R+

φ′(t) I+ R− I− R+

"f, t zú»¡¤¦ ª_ ~½Ó¾ÓܼР¹¡§fsH 1lxîß φ(t)H 4¤èî

¦ 0AÐ, ýaÐ, AÐ, ĺР¹¡§fe¦ ·ú ú e.

s]j, φ(t)_ °úכ¦ ½&hܼР·ú Ð. ëß9 0 ≤ t ≤ 1s y

r ∈ [0, t]\ @/ # r(r2 − 1) ≤ 0sÙ¼Ð

φ(t) = −i∫ t

0

dr√r(1− r2)

s. ôǼ# t ≥ 1s

φ(t) = −i∫ 1

0

dr√r(1− r2)

+∫ t

1

dr√r(r2 − 1)

(8) :£¤s&hìr

∫ ∞

0

1√

tdt Ä»ôÇ°úכe¦ Ä»_ .

170 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

e¦ ·ú ú e. ðøÍtÐ t ≤ 0s

φ(t) =

∫ −t

0

dr√r(1− r2)

, −1 ≤ t ≤ 0∫ 1

0

dr√r(1− r2)

− i

∫ −t

1

dr√r(r2 − 1)

, −∞ < t ≤ −1

)a. s]j,

κ =∫ 1

0

dr√r(1− r2)

¿º. #l"f r =1 + s

1− sÐ u8

∫ ∞

1

dr√r(r2 − 1)

=∫ 1

0

ds√s(1− s2)

= κ

s. ôǼ#, ìøÍî\ [þt#QH it ∈ Hu\ @/ # φ(it)\¦ ½KÐ

φ(it) =∫ t

0

idr√ir(−r2 − 1)

= e−πi/4

∫ t

0

dr√r(1 + r2)

s. "f, 8 φH ìøÍî Hu\¦ 6£§

κ− iκ, κ, 0, −iκ, κ− iκ

¦ =Gt&hܼРH &ñy+þAܼРÐ?/H 1pxy©e¦ ·ú ú e.

@@

@@

w = φ(z)

r rr b

rrr tt

6.4. y+þAõ 1pxy© 171

s]j, &ñy+þA_ _ Us κ_ °úכ¦ ½KÐ. s\¦ 0A #

1− r2 = sÐ u8

κ =∫ 1

0

r−1/2(1− r2)−1/2dr =12

∫ 1

0

(1− s)−3/4s−1/2ds

=12B

(14,12

)=

12·Γ

(14

)Γ

(12

)Γ

(34

)s. #l"f, B(x, y)H Z<Êús¦, Γ(x)H y<Êús.(9) Õª

X<√π = Γ

(12

)=

1√2π

Γ(

14

)Γ

(34

)sÙ¼Ð

κ =12· Γ

(14

)√π ·

Γ(

14

)√

2π=

12√

2πΓ2

(14

)≈ 2.622 . . .

e¦ ·ú ú e. ôǼ# 1 + r2 =1sÐ u8

∫ ∞

0

dr√r(1 + r2)

=12

∫ 1

0

(1− s)−3/4s−3/4ds

=12B

(14,14

)=

12·Γ2

(14

)Γ

(12

) =√

2κ

sÙ¼Ð

limt→∞

φ(it) = e−πi/4

∫ ∞

0

dr√r(1 + r2)

= κ− iκ

(9) y<Êú\ @/ôÇ >&h /BNÂÒH ÁºôÇYLõ <Êa 4¤èK$3_ ×æ¹כôÇ ÅÒ]jstëßs Õþ_ úïr¦ ÅH. y<Êúü< Z<Êú\ 'aôÇ lí&h ?/6 xÉr ÃЦëH³[$íl·ôÇ·>5px+À:, K$3>h:r, >h&ñóøÍ, "fÖ¦@/<Ƨ ئóøÍÂÒ, 1995, 2002] 8.2]X¦ ÃЦ .

172 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

e¦ ·ú ú e.

'Ö<<K 6.4.1. φ(z) =1

2(κ− iκ) z ∈ Hu\¦ ¹1Ô.

s]jtܼÐzÉr9Ér φìøÍîHu\"f&ñy+þA S_?/ÂÒ

ÐHéß<Êúe¦7£x"î H9s.s\¦0A #ìøÍîHuîß\

"f RÂÒ' −Rt H ìøÍ"é¶ ñ\¦ CRs . ¢ôÇ, y k = −1, 0, 1

\ @/ # k\¦ ×ædܼРìøÍî Hu 0A\ Õª2; Ér ìøÍ"é¶ ñ\¦ Ck

¦, 5.3]X_ Ðl 2ü< °ú s s ìøÍ"é¶ ñ[þt¦ zú»¡¤Ü¼Ð ôÇ éß9

/BG¦ C . ëß9 |z| Øæìry ß¼ |z| < 2|z − k|sټР(éß,

k = −1, 0, 1), |φ′(z)| < 8|z|3/2

s¦, sÐÂÒ'

∣∣∣∣∫CR

φ′(z)∣∣∣∣ ≤ 8

R3/2· πR

¦ %3ܼټÐ, limR→∞

∫CR

φ′(z)dz = 0e¦ ·ú ú e. ðøÍtÐ y

k = −1, 0, 1\ @/ # Ck_ ìøÍt2£§¦ rs limr→0

∫Ck

φ′(z)dz = 0

sÙ¼Ð,

limz→∞, Im z>0

φ(z) = limx→∞, x>0

φ(x) = κ− iκ

s.s]j,&ñy+þA?/ÂÒ_&h w0\¦¦&ñ ¦ ψ(z) = φ(z)−w0_H

s ìøÍî Hu 0A\"f ôÇ >h_ H¦ f¦ Ðs )a. 8 φH z

f¦ &ñy+þA_ ÑütYUÐ Ð?/¦ −1, 0, 1,∞\¦ yy &ñy+þA_ W1=Gt&hܼРÐ?/Ù¼Ð, R ¦ Øæìry ß¼> ú¦ r ¦ Øæìry > úܼ

z ∈ C =⇒ |φ(z)− w0| ≥ δ

ªÃº δ > 0\¦ ú¦ ú e. ÕªQ∣∣∣∣∫CR

φ′(z)φ(z)− w0

∣∣∣∣ ≤ 8R3/2δ

· πR

6.4. y+þAõ 1pxy© 173

s )a. ÕªX<ψ′(z)ψ(z)

=φ′(z)

φ(z)− w0sÙ¼Ð,

limR→∞, r→0

12πi

∫C

ψ′(z)ψ(z)

dz =1

2πi

∫ ∞

−∞

φ′(t)dtφ(t)− w0

=1

2πi

∫∂S

dw

w − w0= 1

sټР¼#y"é¶o\¦ &h6 x # "é¶ H :r¦ %3¦ ú e.

s]j, 9ìøÍ&h ¦2¤y+þAõ 'aº)a 1pxy©¦ &ñ_ l 0A #

6£§ |

t1 < t2 < · · · < tn−1, α1 + α2 + · · ·+ αn−1 + αn = 2

¦ ëß7ᤠH zú t1, . . . , tn−1 ∈ Rü< ªÃº α1, . . . , αn ∈ (0, 1)\¦ ¦&ñ

¦, <Êú F : Hu → C\¦ 6£§

φ(z) =∫ z

0

(ζ − t1)−α1(ζ − t2)−α2 · · · (ζ − tn−1)−αn−1 dζ (15)

õ °ú s &ñ_ôÇ. #l"f <Êú ω = ζαH Hu\¦ z : 0 < argω < πα

Ð Ð?/H ܼÐכ &ñôÇ. ĺ t zú»¡¤ 0A_ ôÇ ½çß [ti−1, ti] 0A\

e¦ M:

φ′(t) = (t− t1)−α1(t− t2)−α2 · · · (t− tn−1)−αn−1

¦&ñ)a ¼#y θ ¦ tÙ¼Ð, s ½çß 0A\"f φ(t)H ìr 0A\¦ ¹¡§f

s> )a. s]j, t ½çß [ti−1, ti]\"f [ti, ti+1]Ð Å#Q°ú M: #QbG>

÷&Ht ·ú Ð. s M:, φ′(t)\"f (t − ti)_ ÂÒ ñ −\"f +Ð

֦. ͻX<,

s < 0 =⇒ arg s−α = −πα, s > 0 =⇒ arg s−α = 0

sÙ¼Ð

ti−1 < si < ti < si+1 < ti+1 =⇒ arg si+1 = arg si + παi

174 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

e¦ ·ú ú e. 7£¤, t zú»¡¤ 0A\¦ ¹¡§fs"f ti\¦ t±ú M: ¼#

ys παiëßpu Zþt#Qèß. ÕªQ t ∞\¦ t±ú M: 2π −n−1∑i=1

αi = παn

ëßpu ¼#ys Zþt#QټРzú»¡¤Ér (15)\ _ # 6£§ &h

φ(t1), φ(t2), . . . , φ(tn−1), φ(∞)

[þt¦ =Gt&hܼРtH ¦2¤y+þAܼР8Hd¦ ·ú ú e. tFK

t ¶ú(R :r 8 (15)\¦ ¬¤ÀÆ¥–ÇPÃÔàÇ(10)_@Z9s ÂÒÉr.

HHH

HHHHHH

j

3rφ(ti) παi

ìøÍî Hu\"f y+þAܼРH 1pxy©¦ &ñ_½+É M:, )ú»¡¤\

@/gA y+þA¦ ëß[þt9 ªÃº k ∈ (0, 1)\¦ ¦&ñ ¦ 6£§

φ(z) =∫ z

0

dζ√(1− ζ2)(1− k2ζ2)

, z ∈ Hu (16)

õ °ú s &ñ_ôÇ. #l\"f, x&hìr<Êú_ ìrH (15)ü< °ú s y 9

d_ ]jYLH¦ 2[ôÇ Êê YLôÇ Ü¼Ðכ sKôÇ. ëß9

K =∫ 1

0

dt√(1− t2)(1− k2t2)

, K ′ =∫ 1/k

0

dt√(t2 − 1)(1− k2t2)

s ¿º F (z)Ér ìøÍî Hu ¦ 6£§ W1 &h

φ(−1k

) = −K + iK ′, φ(−1) = −K, φ(1) = K, φ(1k

) = K + iK ′ (17)

¦ =Gt&hܼРH y+þA R0_ ?/ÂÒРзp.

'Ö<<K 6.4.2. 1pxd (17) ¦ Ð#. ¢ôÇ, φ(∞) = iK′e¦ Ð#.

(10) Elwin Bruno Christoffel (1829∼1900), 1lq9 ú<Æ. Z\¦2;\"f /BNÂÒôÇ +'\ 2[oyü< Strasbourg\"f Ö1lx %i.

6.4. y+þAõ 1pxy© 175

s]j 8 φ : Hu → R0_ %i8 ψ : R0 → Hu\¦ Òqty . #l

"f ψ(iK ′) = ∞Ð sKôÇ. s 8 ψ_ &ñ_%i¦ #QbG> 4¤èî

Ð SX©½+É Ãº eHt ·ú Ð. <Êú ψH &ñ_%i îß\ eH zú

[þt¦ ¿º zúРзp. ëß9 s <Êú R0\¦ zú»¡¤ ×ædܼР@/gA

8ôÇ y+þA R1t &ñ_)a K$3<Êú zú»¡¤ 0A\"f "4/åLú

>h Õª >ú ¿º zús¦, "f 1pxd

ψ(z) = ψ(z), z ∈ R0 ∪R1 (18)

¦ ëß7á¤K ôÇ.(11) "f, 1pxd (18) ¦ z ∈ R1\ @/ôÇ ψ(z)_ &ñ

_Ð ½+É .sכ s]j, Ð 9ìøÍ&h ©S!¦ Òqty .

XNËP 6.4.1. (ìøÍ"é¶o) *å*9 Ω+ ⊂ Huq #Ü4 FB¬£_k;q ¦µÿ I¿ì>

ÔÈÕÂ6Òz +ä z, T CI,

Ω− = z : z ∈ Ω+, Ω = Ω+ ∪ I ∪ Ω−

£. ¡Â6Ò, a:@ö¶;ÈÕ¬£ f : Ω+ ∪ I → C Ω+ a;c"k AI)o+8Tz »

qq z ∈ I;c 60 #l f(z) ∈ R . T CI,

F (z) =

f(z), z ∈ Ω+ ∪ I,f(z), z ∈ Ω−

+äq @ F (z)¤< Ω a;c"k AI)oÈÕ¬£T.

ëß9 z0 ∈ Ω+H~½Ó\"f f(z) =

∑n an(z − z0)ns z0 ∈ Ω−_

H~½Ó\"f F (z) = f(z) =∑

n an(z − z0)nH K$3<Êús. s]j, <Êú

F (z) I 0A\"fK$3<Êúe¦Ðs÷&HX<,&ño 4.3.3_ ()\¦s

6 x )a. z]jÐ ½çß Iü< ëßH y+þA Rs ÅÒ#Qt R_ x9

¦ L+ε = z ∈ R : Im z = εË#Q y+þA R+

ε s ¦, y+þA R

(11) _þvëH]j 4.5.20 ¦ ÃÐ .

176 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

À»¦ L−ε = z ∈ R : Im z = −εÐ Ë#Q Òqt| y+þA¦ R−ε s

. ÕªQ, <Êú_ 5Åq$í\ _ #∫

L+ε

F (z)dzÉr ε→ 0\ "f∫I∩R

f(z)dzРú§4 > )a. &hìr°úכ∫

L−ε

F (z)dz ðøÍtsÙ¼Ð∫∂R

F (z)z = limε→0

∫∂R+

ε +∂R−ε

F (z)dz = 0

e¦ ·ú ú e¦, "f F (z)H Ω 0A\"f K$3<Êús.

-

-

-

R−ε

R+ε

s]jy+þA R0_?/ÂÒ\ìøÍ"é¶o\¦&h6 x , R0\¦zú»¡¤\@/

gA8 #%3Éry+þA R1tK$3<Êú ψ&ñ_)a.ÕªQ ψH

y+þA R0 ∪R1_ ?/ÂÒ\¦ Hu ∪ (−1, 1) ∪ z : z ∈ HuÐ Ð?/H 1pxy©s )a. ôǼ#, y+þA R0\¦ À»\ @/gA8 # %3Ér y+þA¦

R2 . ÕªQ ψH ðøÍt ~½ÓZOܼРR2t &ñ_ SX©)a.

½&hܼР¶ú(RÐ z ∈ R2\ @/ # R0 ∩R2\¦ ×ædܼР@/gA8

# z + 2iK ′¦ %3HX<,

ψ(z) = ψ(z + 2iK ′) = ψ(z − 2iK ′) = ψ(z − 2iK ′)

ܼР&ñ_ôÇ. sü< °ú Ér ~½ÓZOܼР>5Åq &ñ_%i¦ SX© <Êú ψ

H %ò%i S0 = z : −K < Re z < K \"f &ñ_)a. :£¤y, ~½ÓFK ¶ú(R

:r ü< °ú s ψH ÅÒl 2iK ′ ÅÒl<Êús. ðøÍt ~½ÓZO¦ >

5Åq &h6 x %ò%i S0\¦ ÉrAᤠâ>\¦ ×ædܼР@/½Ós1lxôÇ %ò%i S1

t &ñ_%is SX©÷&¦, ²DG 4¤èî Ð SX©)a. :£¤y s <Ê

ú_ ÅÒlH 4Ke¦ ·ú ú e. "f, y+þA

R = z : −K ≤ Re z < 3K, 0 ≤ Im z < 2K ′

6.4. y+þAõ 1pxy© 177

0A\"f <Êú\¦ ¶ú(RÐ )a.

'Ö<<K 6.4.3. %ò%i S0\"f &ñ_)a <Êú ψ\¦ S1t &ñ_%i¦ SX© H õ

&ñ¦ [O"î #. ¢ôÇ, e__ w0 ∈ C∪ ∞\ @/ # ψ(z) = w0\¦ ëß7á¤

H 4¤èú z R îß\ ¿º >h e6£§¦ Ð#.

bbb

bbb

bbb

R0

R1

R2

S0 S1S2

rrr

sp ¶ú(RФ1pws <Êú ψH R îß\"f ¿º >h_ ¦wn:£¤s&h iK ′,

2K + iK ′¦ . "f, <Êú ψ_ :£¤s&hÉr 6£§ g1J

2nK + (2m+ 1)iK ′, m, n = 0,±1,±2, . . .

s. ôǼ# <Êú ψH R îß\"f ¿º >h_ éßH 0, 2K\¦ . "f,

<Êú ψ_ H HÉr éßHs¦, 6£§ g1J

2nK + 2miK ′, m, n = 0,±1,±2, . . .

Ð ÅÒ#Q.

'Ö<<K 6.4.4. <Êú ψH H :£¤s&h\"f éßFG¦ f¦ Ð#.

&hìr (16)Ér "é¶A "é¶_ ñ_ Us\¦ ½ H ëH]j\"f ئµ1ÏôÇ &h

ìrs. "f, sQôÇ ª_ &hìr¦ 4wH+8(Ûos ÂÒÉr. sü< <Ê

a, 0A\"f ¶ú(R:r <Êú ψ\¦ 4wHÈÕ¬£ ÂÒØÔHX<, s <Êú_ Ùþd $í

|9Ér ÅÒl ¿º >hH zs. sü< °ú s ÅÒl ¿º >h ÅÒl<Êú

\¦ 9ìøÍ&hܼР4wHÈÕ¬£ ÂÒÉr. :£¤y ·ú¡\"f ¶ú(R:r "é¶<Êú ψH

178 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

ØÔïß×¼ØÔ,(12) 6\, ïq(13)1px\ _ # ½÷&%3HX<, Ð:x Ø

R 4wHÈÕ¬£ ÂÒØÔ¦ s\¦ sn zÐ H. s <ÊúH sin <Êúü< #Q

t \"f /BN:x&h¦ .(14) "é¶<ÊúH &ñú:r¦ q2©ôÇ Ãº<Æ

ìøÍ\"f ×æ¹כôÇ %i½+ɦ HX<, s\ @/ôÇ >&h /BNÂÒH s Õþ_ #3

0A\¦ ÅH.

6.5. ¥o>¢æ¹%KV

6.5.1. éßíH%ò%i Ω\"f &ñ_)a ¿º o<Êú u1(z)ü< u2(z)\ @/ #u1(z)u2(z) ≡ 0s¦ . ÕªQ Ω 0A\"f u1(z) ≡ 0 ¢H u2(z) ≡ 0e¦Ð#.

6.5.2. K$3<Êú\ 'aôÇ ½Ó1px&ño o<Êú\ @/ # $íwn Ht ¶ú(RÐ.

6.5.3. o<Êú u, v\ @/ # 6£§s 1lxue¦ Ð#.

() uv o<Êús.() &h]XôÇ ©Ãº c, d ∈ R\ @/ # cuü< dv o(YUs.

6.5.4. <Êú z 7→ log |1 + z|ü< 1pxd (3) ¦ s6 x # 6£§ &hìr°úכ∫ π

0

log sin θdθ

¦ ½ #.

6.5.5. "é¶óøÍ D(0, R) ¦ í<Ê H %ò%i 0A\"f &ñ_)a o<Êú u(z)\ @/ # 6£§ 1pxd

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−π

R2 − r2

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2u(Reiθ) dt

s $íwn<ʦ Ð# (éß, r < R).

6.5.6. 6£§ 1pxd ∫ 2π

0

sin(θ − t)

R2 − 2rR cos(θ − t) + r2dt = 0

(12) Adrien-Marie Legendre (1752∼183), áÔ|½ÓÛ¼ ú<Æ. ÅÒÐ o Academie desSciences\"f Ö1lx %i.

(13) Carl Gustav Jacob Jacobi (1804∼1851), 1lq9 ú<Æ. Z\¦2;\"f /BNÂÒ ¦,Konigsberg (Kaliningrad, &³F Qr %òÐ), o, Z\¦2; 1pxt\"f Ö1lx %i.

(14) _þvëH]j 6.5.17\¦ ÃÐ .

6.5. _þvëH]j 179

¦ 7£x"î #.

6.5.7. |z| < 1\"f o<Êús¦ |z| = 1\"f 6£§

u(eiθ) =

1, 0 < θ < π

0, π < θ < 2π

¦ ëß7ᤠH o<Êú\¦ ¹1Ô.

6.5.8. )ú»¡¤ I = z : Re z = 0 0A\"f &ñ_)a Ä»>5Åq<Êú f : I → R\@/ # <Êú u\¦ 6£§

u(x+ iy) =1

π

∫ ∞

−∞

xf(it)

x2 + (y − t)2dt

õ °ú s &ñ_ , Re z > 0 0A\"f u o<Êúe¦ Ð#. ¢ôÇ y c ∈ R\ @/ # f(ic) = lim

z→icu(z)e¦ Ð#.

6.5.9. %ò%i A = z : R1 < |z| < R2\"f o<Êú u(z) &ñ_÷&#Q e.o<ÊúH C∞-<ÊúsÙ¼Ð, y n = 0 = ±1,±2, . . . \ @/ #

an(r) =1

2π

∫ π

−π

u(reiθ)e−inθdθ, R1 < r < R2

&ñ_ ÉÒo\/åLú s:r\ _ #

u(reiθ) =

∞∑n=−∞

an(r)einθ, R1 < r < R2

s $íwn ¦, s /åLúH y ½ÓZ>Ð pìr x9 &hìr¦ ½+É Ãº e.(15)

()∂2

∂x2+

∂2

∂y2=

∂2

∂r2+

1

r· ∂∂r

+1

r2· ∂

2

∂θ2s $íwn<ʦ Ð#.

() <Êú reiθ 7→ a0(r)s o<Êúe¦ Ð#.() <Êú a0(r)H a0(r) = A log r +B_ g1Je¦ Ð#.() <Êú u : ∆ → R 5Åqs¦ ∆ \ 0\"f o<Êú &ñ . ëß9

u|∂∆ = 0s u(0) = 0e¦ 7£x"î #.

6.5.10. %ò%i Ω\"f &ñ_)a K$3<Êú f(z) f ′(z0) 6= 0s 6£§ 1pxd

2πi

f ′(z0)=

∫Γ

dz

f(z)− f(z0)

\¦ ëß7ᤠH /BG Γ\¦ ú¦ ú e6£§¦ Ð#.

6.5.11. 6£§ g1J w =az2 + bz + c

dz2 + ez + fÐ &ñ_)a <Êú\¦ sìrú<Êú ôÇ.

(15) [$íl·ôÇ·>5px+À:, K$3>h:r, >h&ñóøÍ, "fÖ¦@/<Ƨ ئóøÍÂÒ, 1995, 2002] 9.4]X¦ ÃЦ .

180 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

() e__ sìrú<ÊúH 6£§ [j 8

9ìrú<Êú, z2, 9ìrú<Êú

_ ½+Ë$íܼРjþt ú e6£§¦ Ð#.() e__ sìrú<ÊúH 6£§ [j 8

9ìrú<Êú, z +1

z, 9<Êú

_ ½+Ë$íܼРjþt ú e6£§¦ Ð#.() e__ sìrú<ÊúH 6£§ [j 8

9ìrú<Êú, z2 + C

_ ½+Ë$íܼРjþt ú e6£§¦ Ð#.

6.5.12. y ¦&ñ)a zú θ ∈ (−π, π)\ @/ # %ò%i Sθ\¦ 6£§

Sθ = z : |z| < 1, −π < Arg z < θ

õ °ú s &ñ_ %i¦ M:, Sθ\¦ ∆Ð Ð?/H éß 1pxy©¦ ¹1Ô.

6.5.13. <Êú cos z =eiz + e−iz

2H <Êú z 7→ eiz ü< © (10)_ ½+Ë$ís.

() úî Im z = y0 cos z\ _ # #QbG> 8÷&H ¶ú(R Ð.() úî Re z = x0 cos z\ _ # #QbG> 8÷&H ¶ú(R Ð.() <Êú cos zH %ò%i Ω = z : 0 < Im z < π 0A\"f 1pxy©e¦ Ð

#.() %ò%i Ω1 = z : 0 < Im z < π, Re z > 0\ @/ # â> ∂Ω1õ Ω1s

cos z\ _ # #QbG> 8÷&Ht ¶ú(R Ð.() <Êú w = cos z\ _ôÇ Ω_ ©Ér Áº%Á ¶ú(R Ð.

6.5.14. y 4¤èú α ∈ C\ @/ # <Êú fα\¦ 6£§

fα(z) =z

1 + αz2

õ °ú s &ñ_ôÇ.

() s <Êú ∆ 0A\"f éß<Êú |c α_ |¦ ¹1Ô.() s <Êú ∆ 0A\"f éß<Êú9 M:, Õª © fα(∆)\¦ ½ #.

6.5.15. y z ∈ ∆\ @/ #

w = φ(z) =

∫ z

0

1√1− ζ

√1 + ζ

√1− iζ

√1 + iζ

dζ

6.5. _þvëH]j 181

&ñ_ . #l"f√z = e(Log z)/2Ð &ñ_ôÇ. ¢ôÇ

κ =

∫ 1

0

1√1− t4

dt

&ñ_ôÇ.

() φ(0) = 0, φ(±1) = ±κ, φ(±i) = ±iκe¦ Ð#.() e__ θ ∈ [0, 2π]\ @/ # 1pxd

Arg1

1− eiθ=π − θ

2

s $íwn<ʦ Ð#.(16)

() ¦&ñ)azú θ ∈ (−π, π]\@/ # Γθ(t) = teiθÐ&ñ_)a/BG Γθ\¦Òqt

y . ÕªQ y k = −2,−1, 0, 1\ @/ # 6£§

π

2k < θ <

π

2(k + 1) =⇒ Arg

[(φ Γθ)

′(1)]

=π

2k +

π

4

s $íwn<ʦ Ð#.() <Êú w = φ(z)H éß0A"é¶óøÍ ∆\¦ @/y_ Us 2κ &ñy+þAܼÐ

Ð?/H 1pxy©e¦ Ð#.() κ_ °úכ¦ y<ÊúР?/#Q.

6.5.16. <Êú

f(z) =

∫ z

0

ζα−1(1− ζ)β−1dζ

ÅÒ#Q4Re.éß, α+β+γ = 1s¦,y ζ ∈ Hu\@/ # Arg ζ1/3 ∈ (0,π

3)

&ñôÇ.

() <Êú f H ìøÍî Hu ¦ ?/ys πα, πβ, πγ y+þAܼР8<ʦ Ð#.

() ?/y πα, πβ, πγ_ @/_ Us\¦ a, b, c ½+É M:,

a =Γ(β)Γ(γ)

Γ(β + γ), b =

Γ(γ)Γ(α)

Γ(γ + α), c =

Γ(α)Γ(β)

Γ(α+ β)

e¦ Ð#.() 1pxd

Γ(x)Γ(1− x) =π

sinπx, 0 < x < 1

s $íwn<ʦ Ð#.

(16) s 1pxdÉr sp _þvëH]j 3.4.14 ()\"f 6 x %i.

182 ]j 6 © o<Êúü< 1pxy©

6.5.17. ìøÍî Hu0A\"f &ñ_)a 6£§ <Êú

w =

∫ z

0

1√1− ζ

√1 + ζ

dζ, z ∈ Hu

_ ©¦ ½ ¦, éß 1pxy©e¦ Ð#. s <Êú_ %i<Êú z = sinw¦ Ð#.

6.5.18. 8 (15)\"f, αi_ °úכs

(−∞,−1], (−1, 0], [1,∞)

\ [þt#QH âĺ yy #Q" &³©s 9#QHt ¶ú(RÐ.

6.5.19. ûØÔÞÔ–ß¼oÛ¼Ð:\ 8 (15)\"f zf_ ©s ¦2¤y+þAe¦ Ð#. ¢ôÇ, s 8s ìøÍî Hu\¦ s y+þA_ ?/ÂÒÐ Ð?/H éß

1pxy©e¦ Ð#.