Universitat WurzburgMathematisches InstitutProf. J. Steuding, T. Gregor,
J. Jordan, C. Teichert
Sommersemester 20074.06.2007
6 . Ubung zur Analysis II
Vorbemerkung:Wir werden die Additionstheoreme aus Satz 14.2 (Ana I) benotigen:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β (1)
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β (2)
6.1 Die Bahn eines Asteroiden sei parametrisiert durch
γ : R → R2, t 7→ (a cos3(t), a sin3(t)), a ∈ R+.
a) Bestimmen Sie das kleinste T > 0 so dass γ(t + T ) = γ(t) fur alle t ∈ R.
b) Bestimmen Sie die maximale und die minimale Entfernung des Asteroiden zumKoordinatenursprung.
c) Bestimmen Sie die Lange des Weges, die der Asteroid vom Zeitpunkt t bis zumZeitpunkt t + T zurucklegt.
d) Skizzieren Sie die Bahn des Asteroiden.
Losungshinweise:
a) Da cos und sin beide 2π - periodisch sind, gilt auf jedenfall
γ(t + 2π) =
(a cos3(t + 2π)a sin3(t + 2π)
)= γ(t),
also T ≤ 2π.Insbesondere gilt fur t = 0:
a cos3(0+T ) = a cos3(0) = a·1 ⇐⇒ cos3(T ) = 1 ⇐⇒ cos(T ) = 1 ⇐⇒ T = 2kπ mit k ∈ Z
Also ist T = 2π das kleinste T .
b) Es ist ‖γ(t)‖ = a√
cos6(t) + sin6(t). Wegen a) betrachten wir nur t ∈ [0, 2π). Es gilt
‖γ(t)‖ minimal/maximal ⇐⇒ f(t) = cos6(t) + sin6(t) minimal/maximal
Unter Verwendung des Additionstheorems (1) mit α = β = t folgt:
f ′(t) = −6 sin(t) cos5(t) + 6 cos(t) sin5(t) = 6(sin4(t)− cos4(t)) sin(t) cos(t) =
6(sin2(t) + cos2(t)︸ ︷︷ ︸=1
)(sin2(t)− cos2(t)︸ ︷︷ ︸=− cos(2t)
) sin(t) cos(t) = −6 cos(2t) sin(t) cos(t)
Also
f ′(t) = 0 ⇐⇒
sin(t) = 0 (d.h. t = 0, π)cos(t) = 0 (d.h. t = π
2, 3π
2) oder
cos(2t) = 0 (d.h. t = π4, 3π
4, 5π
4, 7π
4)
Maxima und Minima werden deshalb hochstens in folgenden Punkten angenommen:
t1 = 0, t2 =π
4, t3 =
π
2, t4 =
3π
4, t5 = π, t6 =
5π
4, t7 =
3π
2, t8 =
7π
4.
Einsetzen der Werte ergibt unter Benutzung von
cos(π/4) = sin(π/4) = sin(3π/4) = cos(7π/4) =
√2
2
bzw.
cos(3π/4) = cos(5π/4) = sin(5π/4) = sin(7π/4) = −√
2
2:
– ‖γ(t1)‖ = ‖γ(t3)‖ = ‖γ(t5)‖ = ‖γ(t7)‖ = a√
16 + 06 = a: das sind die Maxima.
– ‖γ(t2)‖ = ‖γ(t4)‖ = ‖γ(t6)‖ = ‖γ(t8)‖ = a
√(±√
22
)6
+(±√
22
)6
= a√
18
+ 18
=a2: das sind die Minima.
c) Aus der Periodizitat folgt λ(γ|t+2πt ) = λ(γ|2π
0 ). Nach Satz 6.1 ergibt sich
λ(γ|2π0 ) =
∫ 2π
0
‖γ′(t)‖dt =
∫ 2π
0
√(3a cos2 t sin t)2 + (3a sin2 t cos t)2dt =
∫ 2π
0
√9a2 cos2 t sin2 t (cos2 t + sin2 t)︸ ︷︷ ︸
=1
dt = 3a
∫ 2π
0
| cos t sin t︸ ︷︷ ︸=
sin(2t)2
nach A.(2)
|dt =
3a
(∫ π/2
0
sin(2t)
2dt +
∫ π
π/2
−sin(2t)
2dt +
∫ 3π/2
π
sin(2t)
2dt +
∫ 2π
3π/2
−sin(2t)
2dt
)=
3a
([−1
4cos(2t)
]π/2
0
+
[1
4cos(2t)
]π
π/2
+
[−1
4cos(2t)
]3π/2
π
+
[1
4cos(2t)
]2π
3π/2
)=
3
4a ([1 + 1] + [1 + 1] + [1 + 1] + [1 + 1]) = 6a.
d) Fur z.B.: a = 1 sieht die Kurve wie folgt aus:
6.2 Betrachten Sie den Kreis K = {(x, y) | x2 + (y − 1)2 = 1}. Der Punkt P = (0, 0) liegtauf K. Nun rolle K auf der x-Achse zwei Umdrehungen nach rechts. Berechnen Siedie Lange der Kurve, die P beschreibt.
Losungshinweise:
Wir berechnen die Lange der Kurve zunachst nur fur eine Umdrehung. Anhand der Skizzeerkennt man: Fur t ∈ [0, 2π] ist
x(t) = t− sin(180◦ − t) = t− sin(t)
y(t) = 1 + cos(180◦ − t) = 1− cos(t)
eine Parametrisierung der Kurve.Weiterhin ist
f : [0, 2π] −→ R2, t 7→ (t− sin(t), 1− cos(t))
stetig differenzierbar mitf ′(t) = (1− cos(t), sin(t)).
Nach Satz 6.1 ist f rektifizierbar und fur die Lange einer Umdrehung gilt:
λ(f) =
∫ 2π
0
√(1− cos(t))2 + sin(t)2dt =
∫ 2π
0
√2(1− cos(t))dt =
∫ 2π
0
√2
(1− cos2
(t
2
)+ sin2
(t
2
))dt =
∫ 2π
0
√2
(sin2
(t
2
)+ sin2
(t
2
))dt =
∫ 2π
0
√4 sin2
(t
2
)dt =
∫ 2π
0
2
∣∣∣∣sin( t
2
)∣∣∣∣ dt =
∫ 2π
0
2 sin
(t
2
)dt = −4 cos
(t
2
) ∣∣∣∣∣2π
0
= 8.
Dabei haben wir beim 3. Gleichheitszeichen das Additionstheorem (1) mit α = β = t2
ausgenutzt.Fur die Kurve ergibt sich dann bei 2 Umdrehungen eine Lange von 16.
6.3 Es sei M ∈ Rn×n mit M = MT . Zeigen Sie, dass die Abbildung
f : Rn → R, x 7→ xT Mx
differenzierbar ist und bestimmen Sie die Ableitung.
Losungshinweise:Es gilt
f(x + h)− f(x) = (x + h)T M(x + h)− xT Mx =
xT Mx + xT Mh + hT Mx + hT Mh− xT Mx = xT Mh + hT Mx︸ ︷︷ ︸∈R
+hT Mh =
xT Mh + (hT Mx)T + hT Mh = xT Mh + xT MT︸︷︷︸=M
h + hT Mh = 2xT Mh + hT Mh
Wir definieren Ax = 2xT M und r(h) = hT Mh. Dann gilt:
• f(x + h)− f(x) = Axh + r(h)
• Ax ist eine lineare Abbildung (genauer: Ax ist die Matrix, die die lineare AbbildungAx : Rn −→ R, h 7→ Axh reprasentiert) und
• ‖r(h)‖ = ‖(hT M)h‖ ≤ ‖hT M‖‖h‖ nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung,vgl. Satz 1.2. Deshalb gilt:
0 ≤ limh→0
‖r(h)‖‖h‖
≤ limh→0
‖hT M‖ = ‖ limh→0
hT M‖ = 0
also
limh→0
‖r(h)‖‖h‖
= 0
Folglich ist f in jedem Punkt x differenzierbar mit Ableitung Ax = 2xT M .