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8/2/2019 7trees.ps
1/20
S E V E N T R E E S I N O N E
A n d r e a s B l a s s
A b s t r a c t . F o l l o w i n g a r e m a r k o f L a w v e r e , w e e x p l i c i t l y e x h i b i t a p a r t i c u l a r l y e l e -
m e n t a r y b i j e c t i o n b e t w e e n t h e s e t T o f n i t e b i n a r y t r e e s a n d t h e s e t T
7
o f s e v e n -
t u p l e s o f s u c h t r e e s . \ P a r t i c u l a r l y e l e m e n t a r y " m e a n s t h a t t h e a p p l i c a t i o n o f t h e
b i j e c t i o n t o a s e v e n - t u p l e o f t r e e s i n v o l v e s c a s e d i s t i n c t i o n s o n l y d o w n t o a x e d
d e p t h ( n a m e l y f o u r ) i n t h e g i v e n s e v e n - t u p l e . W e c l a r i f y h o w t h i s a n d s i m i l a r b i -
j e c t i o n s a r e r e l a t e d t o t h e f r e e c o m m u t a t i v e s e m i r i n g o n o n e g e n e r a t o r X s u b j e c t t o
X = 1 + X
2
. F i n a l l y , o u r m a i n t h e o r e m i s t h a t t h e e x i s t e n c e o f p a r t i c u l a r l y e l e -
m e n t a r y b i j e c t i o n s c a n b e d e d u c e d f r o m t h e p r o v a b l e e x i s t e n c e , i n i n t u i t i o n i s t i c t y p e
t h e o r y , o f a n y b i j e c t i o n s a t a l l .
I n t r o d u c t i o n
T h i s p a p e r w a s m o t i v a t e d b y a r e m a r k o f L a w v e r e 8 ] , w h i c h i m p l i e s t h a t t h e r e
i s a p a r t i c u l a r l y e l e m e n t a r y c o d i n g o f s e v e n - t u p l e s o f b i n a r y t r e e s a s s i n g l e b i n a r y
t r e e s . I n S e c t i o n 1 , w e e x p l i c i t l y e x h i b i t s u c h a c o d i n g a n d d i s c u s s t h e s e n s e i n
w h i c h i t i s p a r t i c u l a r l y e l e m e n t a r y . I n S e c t i o n 2 , w e d i s c u s s t h e a l g e b r a b e h i n d
t h i s s i t u a t i o n , w h i c h e x p l a i n s w h y \ s e v e n " a p p e a r s h e r e . S e c t i o n 3 c o n n e c t s , i n a
s o m e w h a t m o r e g e n e r a l c o n t e x t , t h e a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n s o f S e c t i o n 2 w i t h t h e
e l e m e n t a r y c o d i n g s o f S e c t i o n 1 . F i n a l l y , i n S e c t i o n 4 , w e p r o v e a m e t a - t h e o r e m
s a y i n g t h a t s u c h p a r t i c u l a r l y e l e m e n t a r y c o n s t r u c t i o n s c a n b e e x t r a c t e d f r o m e x -
i s t e n c e p r o o f s c a r r i e d o u t i n t h e m u c h m o r e l i b e r a l c o n t e x t o f c o n s t r u c t i v e t y p e
t h e o r y .
T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , w e u s e t r e e t o m e a n s p e c i c a l l y a n i t e b i n a r y t r e e i n
w h i c h t h e i m m e d i a t e s u c c e s s o r s ( = c h i l d r e n ) o f a n y n o d e a r e l a b e l e d l e f t a n d r i g h t .
E v e n i f a n o d e h a s o n l y o n e c h i l d , t h e c h i l d m u s t h a v e a l a b e l . W e a d m i t t h e e m p t y
t r e e , d e n o t e d b y 0 , b u t e v e r y n o n - e m p t y t r e e h a s a u n i q u e r o o t , f r o m w h i c h e v e r y
n o d e c a n b e r e a c h e d b y r e p e a t e d l y p a s s i n g t o c h i l d r e n . T h e d e p t h o f a n o d e i s
d e n e d a s t h e n u m b e r o f n o d e s o n t h e p a t h j o i n i n g i t t o t h e r o o t ( s o t h e r o o t h a s
d e p t h 1 ) , a n d t h e l a r g e s t d e p t h o f a n y n o d e i s t h e d e p t h o f t h e t r e e . ( I f w e n e e d t o
a s s i g n a d e p t h t o t h e e m p t y t r e e , w e a s s i g n 0 . ) A s t h i s t e r m i n o l o g y s u g g e s t s , w e
v i s u a l i z e t r e e s a s g r o w i n g d o w n w a r d , t h e r o o t b e i n g a t t h e t o p . W e u s e t h e n o t a t i o n
t
1
; t
2
] f o r t h e t r e e c o n s i s t i n g o f a r o o t , a l e f t s u b t r e e ( c o n s i s t i n g o f t h e l e f t c h i l d ,
i f a n y , a n d a l l i t s d e s c e n d a n t s ) i s o m o r p h i c t o t
1
, a n d a r i g h t s u b t r e e i s o m o r p h i c t o
1 9 9 1 M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n . 0 3 G 3 0 , 0 5 C 0 5 , 1 6 Y 6 0 , 1 8 B 2 5 .
P a r t i a l l y s u p p o r t e d b y N S F g r a n t D M S - 9 2 0 4 2 7 6 .
T y p e s e t b y A
M
S - T
E
X
1
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2/20
2 A N D R E A S B L A S S
t
2
. F o r e x a m p l e , 0 ; 0 ] c o n s i s t s o f j u s t t h e r o o t . B y t h e l e f t w a r d p a t h o f a t r e e , w e
m e a n t h e s e t o f t h o s e n o d e s s u c h t h a t n e i t h e r t h e n o d e n o r a n y a n c e s t o r o f i t i s a
r i g h t c h i l d , i . e . , t h e s e t c o n s i s t i n g o f t h e r o o t ( i f a n y ) , i t s l e f t c h i l d ( i f a n y ) , i t s l e f t
c h i l d ( i f a n y ) , e t c .
1 . A V e r y E x p l i c i t B i j e c t i o n
O u r r s t t h e o r e m i s d u e t o L a w v e r e , w h o m e n t i o n s i t ( t h o u g h w i t h o u t p r o o f a n d
n o t q u i t e i n t h e s a m e f o r m ) i n 8 ] .
T h e o r e m 1 . T h e r e i s a v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n b e t w e e n t h e s e t o f a l l s e v e n - t u p l e s
o f t r e e s a n d t h e s e t o f a l l t r e e s .
B e f o r e w e p r o v e t h e t h e o r e m , w e m u s t e x p l a i n t h e m e a n i n g o f \ v e r y e x p l i c i t , " f o r
w i t h o u t t h i s p h r a s e t h e t h e o r e m i s t r i v i a l . T h e s e t T o f a l l t r e e s ( a s d e n e d i n t h e
i n t r o d u c t i o n ) i s c l e a r l y c o u n t a b l y i n n i t e a n d i s t h e r e f o r e i n o n e - t o - o n e c o r r e s p o n -
d e n c e w i t h t h e s e t T
7
o f s e v e n - t u p l e s o f t r e e s ( a n d a l s o w i t h T
k
f o r a n y n i t e k 1 ) .
S i n c e a b i j e c t i o n f r o m T t o t h e s e t o f n a t u r a l n u m b e r s c a n b e g i v e n e x p l i c i t l y , s o
c a n t h e b i j e c t i o n T
7
! T . T h i s i s n o t t h e c o n t e n t o f t h e t h e o r e m . \ V e r y e x p l i c i t "
m e a n s , r o u g h l y , t h a t t h e v a l u e o f t h e b i j e c t i o n f a t a s e v e n - t u p l e
~
t = ( t
1
; : : : ; t
7
)
o f t r e e s c a n b e d e t e r m i n e d b y ( 1 ) i n s p e c t i n g t h e s e s e v e n t r e e s d o w n t o a d e p t h n
t h a t d e p e n d s o n l y o n f , n o t o n t h e p a r t i c u l a r t r e e s , ( 2 ) d e p e n d i n g o n t h e s e s e v e n
p a r t i a l t r e e s , c o n s t r u c t i n g a p a r t p o f f (
~
t ) , a n d ( 3 ) t a k i n g t h e s u b t r e e s t h a t w e r e
b e l o w d e p t h n i n t h e t
i
' s ( a n d w e r e t h u s i g n o r e d a t s t e p ( 1 ) ) a n d a t t a c h i n g t h e m
t o c e r t a i n l e a v e s o f p . I n o t h e r w o r d s , a n y s t r u c t u r e o c c u r r i n g b e l o w d e p t h n i n t h e
t
i
' s i s s i m p l y c o p i e d i n t o f (
~
t ) ; t h e \ r e a l w o r k " d o n e b y f i n v o l v e s t h e t
i
' s o n l y t o
d e p t h n .
F o r a m o r e p r e c i s e d e n i t i o n o f \ v e r y e x p l i c i t " ( w h i c h t h e i m p a t i e n t r e a d e r c a n
s k i p f o r n o w , a s i t w i l l n o t b e n e e d e d u n t i l S e c t i o n 3 ) , r s t d e n e a p a t t e r n t o
b e a t r e e i n w h i c h s o m e o f t h e l e a v e s a r e l a b e l e d w i t h d i s t i n c t s y m b o l s . ( T h i s
l a b e l i n g h a s n o t h i n g t o d o w i t h t h e l e f t - r i g h t l a b e l i n g t h a t i s p a r t o f t h e s t r u c t u r e
o f e v e r y t r e e . ) A n i n s t a n c e o f a p a t t e r n i s o b t a i n e d b y r e p l a c i n g e a c h l a b e l e d l e a f
b y s o m e t r e e ; t h e f u n c t i o n a s s i g n i n g t o e a c h l a b e l t h e c o r r e s p o n d i n g t r e e i s c a l l e d
t h e s u b s t i t u t i o n l e a d i n g t o t h e i n s t a n c e . ( N o t e t h a t t h e s u b s t i t u t i o n c a n h a v e t h e
e m p t y t r e e 0 a s a v a l u e ; t h e c o r r e s p o n d i n g l a b e l e d n o d e i s t h e n r e m o v e d f r o m
t h e p a t t e r n w h e n t h e i n s t a n c e i s f o r m e d . ) S i m i l a r l y , w e d e n e 7 - p a t t e r n s t o b e
s e v e n - t u p l e s o f p a t t e r n s w i t h a l l l a b e l s d i s t i n c t , a n d w e d e n e t h e i r i n s t a n c e s u n d e r
s u b s t i t u t i o n s , w h i c h a r e s e v e n - t u p l e s o f t r e e s , b y r e p l a c i n g e v e r y l a b e l e d n o d e b y
t h e i m a g e o f i t s l a b e l u n d e r t h e s u b s t i t u t i o n . A v e r y e x p l i c i t f u n c t i o n f : T
7
! T i s
g i v e n b y ( 1 ) a n i t e i n d e x e d f a m i l y ( ~p
i
)
i 2 I
o f 7 - p a t t e r n s s u c h t h a t e v e r y s e v e n - t u p l e
~
t o f t r e e s i s a n i n s t a n c e o f e x a c t l y o n e ~p
i
( u n d e r e x a c t l y o n e s u b s t i t u t i o n ) a n d ( 2 )
a f a m i l y ( q
i
)
i 2 I
o f p a t t e r n s , i n d e x e d b y t h e s a m e I , s u c h t h a t e a c h q
i
c o n t a i n s t h e
s a m e l a b e l s a s ~p
i
. T o a p p l y f t o a s e v e n - t u p l e
~
t o f t r e e s , n d t h e u n i q u e ~p
i
a n d t h e
u n i q u e s u b s t i t u t i o n y i e l d i n g
~
t a s a n i n s t a n c e , a n d t h e n a p p l y t h e s a m e s u b s t i t u t i o n
t o q
i
.
A n o n - t r i v i a l e x a m p l e w i l l o c c u r i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . F o r a t r i v i a l b u t
i n s t r u c t i v e e x a m p l e , n o t e t h a t t h e r e i s a v e r y e x p l i c i t f u n c t i o n T
2
! T s e n d i n g
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3/20
S E V E N T R E E S I N O N E 3
e v e r y p a i r ( t
1
; t
2
) o f t r e e s t o t h e t r e e t
1
; t
2
] c o n s i s t i n g o f a r o o t w i t h l e f t s u b t r e e t
1
a n d r i g h t s u b t r e e t
2
. ( I n t h e n o t a t i o n o f t h e p r e c e d i n g d e n i t i o n , i t i s g i v e n b y a
s i n g l e t o n I , s o w e c a n o m i t t h e s u b s c r i p t s i ; b y ~p c o n s i s t i n g o f t w o o n e - p o i n t t r e e s
w i t h t h e p o i n t s l a b e l e d , s a y , 1 a n d 2 ; a n d b y q a t r e e c o n s i s t i n g o f t h e r o o t , a l e f t
c h i l d l a b e l e d 1 , a n d a r i g h t c h i l d l a b e l e d 2 . ) T h i s v e r y e x p l i c i t m a p i s o n e - t o - o n e
b u t n o t q u i t e s u r j e c t i v e , a s t h e e m p t y t r e e i s n o t i n i t s r a n g e . T h e r e i s a l s o a v e r y
e x p l i c i t i n j e c t i o n i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n , T ! T
2
, s e n d i n g e a c h t r e e t t o t h e
p a i r ( t ; 0 ) . O n e c o u l d a p p l y t h e C a n t o r - S c h r o d e r - B e r n s t e i n a r g u m e n t t o t h i s p a i r
o f i n j e c t i o n s t o o b t a i n a b i j e c t i o n T
2
! T , b u t t h e r e s u l t i s n o t v e r y e x p l i c i t . I n
f a c t , t h e b i j e c t i o n o n e o b t a i n s i s j u s t l i k e t h e i n j e c t i o n T
2
! T d e s c r i b e d a b o v e
e x c e p t t h a t , i f t h e o u t p u t i s j u s t a l e f t w a r d p a t h ( i . e . , a t r e e w h e r e n o n o d e h a s
a r i g h t c h i l d ) t h e n t h e p a t h i s s h o r t e n e d b y o n e n o d e . U n l i k e t h e i n j e c t i o n s , t h i s
b i j e c t i o n m a y n e e d t o l o o k d o w n t o a r b i t r a r y d e p t h i n i t s i n p u t t r e e s t o d e t e r m i n e
w h e t h e r t h e o u t p u t i s a l e f t w a r d p a t h . W e s h a l l s e e i n S e c t i o n 3 t h a t t h e r e i s n o
v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n T
2
! T .
P r o o f o f T h e o r e m 1 . W e s h a l l d e n e t h e d e s i r e d b i j e c t i o n f : T
7
! T b y c a s e s
d e p e n d i n g o n t h e s t r u c t u r e o f i t s i n p u t
~
t = ( t
1
; : : : ; t
7
) ( d o w n t o d e p t h 4 ) . T o
i m p r o v e r e a d a b i l i t y , w e s h a l l w r i t e i n t e g e r s k i n p l a c e o f t h e t r e e s t
k
.
C a s e 1 . A t l e a s t o n e o f t h e r s t f o u r t r e e s i s n o n - e m p t y . O u t p u t t h e t r e e
7 ; 6 ] ; 5 ] ; 4 ] ; 3 ] ; 2 ] ; 1 ] .
C a s e 2 . T r e e s 1 t h r o u g h 4 a r e e m p t y , b u t t r e e 5 i s n o t , s a y 5 = 5 a ; 5 b ] . O u t p u t
t h e t r e e 0 ; 7 ] ; 6 ] ; 5 a ] ; 5 b ]
C a s e 3 . T r e e s 1 t h r o u g h 5 a r e e m p t y , b u t t r e e 6 i s n o t . O u t p u t t h e t r e e
6 ; 7 ] ; 0 ] ; 0 ] ; 0 ] ; 0 ]
C a s e 4 . T r e e s 1 t h r o u g h 6 a r e e m p t y , b u t t h e l e f t w a r d p a t h i n t r e e 7 h a s a t l e a s t
4 n o d e s . S o 7 = 7 a ; 7 b ] ; 7 c ] ; 7 d ] ; 7 e ] . O u t p u t t h e t r e e 0 ; 7 a ] ; 7 b ] ; 7 c ] ; 7 d ] ; 7 e ] .
C a s e 5 . O t h e r w i s e , o u t p u t t r e e 7 .
T h i s f c l e a r l y t s t h e r o u g h d e s c r i p t i o n a b o v e o f v e r y e x p l i c i t f u n c t i o n s . T o s e e
t h a t i t t s t h e p r e c i s e d e s c r i p t i o n , w e s h o u l d l i s t t h e a p p r o p r i a t e p a t t e r n s ~p
i
a n d
q
i
. T h e r e a r e e l e v e n ~p ' s a n d e l e v e n c o r r e s p o n d i n g q ' s | f o u r f o r C a s e 1 ( a c c o r d i n g
t o w h i c h o f t r e e s 1 t h r o u g h 4 i s t h e r s t n o n e m p t y o n e ) , o n e e a c h f o r C a s e s 2 , 3 ,
a n d 4 , a n d f o u r f o r C a s e 5 ( a c c o r d i n g t o w h e t h e r t h e l e f t w a r d p a t h o f t r e e 7 h a s 0 ,
1 , 2 , o r 3 n o d e s ) . W e r e f r a i n f r o m e x p l i c i t l y e x h i b i t i n g t h e r e s u l t s o f t h i s s p l i t t i n g
o f c a s e s .
W e m u s t s t i l l v e r i f y t h a t w e h a v e d e n e d a b i j e c t i o n , i . e . , t h a t e v e r y t r e e a r i s e s
e x a c t l y o n c e a s t h e o u t p u t o f t h i s c o n s t r u c t i o n . F o r t h i s p u r p o s e , n o t e t h a t t h e
l e f t w a r d p a t h o f t h e o u t p u t h a s l e n g t h
6 i n C a s e 1 ,
4 i n C a s e 2 ,
6 i n C a s e 3 ( r e m e m b e r t h a t t r e e 6 i s n o n - e m p t y h e r e ) ,
5 i n C a s e 4 , a n d
3 i n C a s e 5 .
T h i s s h o w s t h a t n o t w o c a s e s , w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f C a s e s 1 a n d 3 , c o u l d
p r o d u c e t h e s a m e t r e e a s o u t p u t . T h e p o s s i b l e e x c e p t i o n i s n o t a r e a l e x c e p t i o n ,
8/2/2019 7trees.ps
4/20
4 A N D R E A S B L A S S
b e c a u s e i n C a s e 1 a t l e a s t o n e o f t h e r s t f o u r n o d e s o n t h e l e f t w a r d p a t h h a s a
r i g h t s u c c e s s o r ( b e c a u s e t h o s e s u c c e s s o r s u b t r e e s a r e 1 t h r o u g h 4 , o f w h i c h a t l e a s t
o n e i s n o n - e m p t y b y c a s e h y p o t h e s i s ) w h e r e a s i n C a s e 3 t h i s i s n o t t h e c a s e . T h u s ,
g i v e n a n a r b i t r a r y t r e e t , w e c a n d e t e r m i n e t h e u n i q u e c a s e t h a t m i g h t p r o d u c e i t
a s o u t p u t . O n c e t h i s i s d o n e , i t i s s t r a i g h t f o r w a r d t o c h e c k t h a t e a c h c a s e a c t u a l l y
d o e s p r o d u c e a l l t h e t r e e s t h e r e b y a s s i g n e d t o i t , a n d t h a t i t p r o d u c e s t h e m e x a c t l y
o n c e e a c h .
T h e o r e m 1 w o u l d r e m a i n t r u e i f w e e x t e n d e d t h e c o n c e p t o f t r e e t o a l l o w i n n i t e
t r e e s , a n d t h e p r o o f w o u l d b e u n c h a n g e d . T h e r e a s o n i s t h a t a v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n
c a n b e a p p l i e d t o i n n i t e t r e e s j u s t a s t o n i t e t r e e s , s i n c e b e l o w a c e r t a i n d e p t h
i t m e r e l y c o p i e s t h e i n p u t i n t o a p p r o p r i a t e p l a c e s i n t h e o u t p u t . M o r e u n u s u a l
n o t i o n s o f \ t r e e " c a n b e h a n d l e d s i m i l a r l y . F o r e x a m p l e , w e c o u l d a l l o w t r e e s t o
h a v e n i t e l y m a n y i n n i t e p a t h s ; w e c o u l d a l l o w i n n i t e p a t h s o n l y i f , b e y o n d s o m e
n o d e o n a p a t h , a l l f u r t h e r n o d e s a r e l e f t c h i l d r e n ; w e c o u l d x a s e t C o f \ c o l o r s "
a n d a l l o w i n n i t e t r e e s i n w h i c h e v e r y i n n i t e p a t h i s a s s i g n e d a c o l o r f r o m C
( a n d w e c o u l d i m p o s e c o n t i n u i t y r e q u i r e m e n t s o n t h e c o l o r i n g ) ; e t c . I n e a c h c a s e ,
T h e o r e m 1 r e m a i n s t r u e a s l o n g b o t h o c c u r r e n c e s o f \ t r e e s " a r e i n t e r p r e t e d t h e
s a m e w a y .
2 . A l g e b r a
T h e p r o o f o f T h e o r e m 1 r a i s e s a t l e a s t t w o q u e s t i o n s . W h e r e d i d i t c o m e f r o m ?
A n d w h y s e v e n ? T h e r e a d e r i s i n v i t e d t o t r y s o m e \ e a s i e r " n u m b e r s i n p l a c e o f
s e v e n , s a y v e o r t w o ; n o a n a l o g o u s p r o o f w i l l b e f o r t h c o m i n g , s o t h e r e i s i n d e e d
s o m e t h i n g s p e c i a l a b o u t s e v e n . ( O f c o u r s e t h e r e i s a n a n a l o g u e f o r t h i r t e e n . G i v e n
t h i r t e e n t r e e s , a p p l y T h e o r e m 1 t o c o d e t h e r s t s e v e n a s a s i n g l e t r e e , a n d t h e n
c o d e t h i s t r e e w i t h t h e o t h e r s i x o f t h e o r i g i n a l i n p u t s . T h e s a m e t r i v i a l o b s e r v a t i o n
h a n d l e s a n y n u m b e r c o n g r u e n t t o 1 m o d u l o 6 . )
T o s e e w h y s e v e n i s s p e c i a l , w e r s t g i v e a n a r g u m e n t t o e s t a b l i s h T h e o r e m 1
i n t h e s t y l e o f e i g h t e e n t h - c e n t u r y a n a l y s i s , w h e r e m e a n i n g l e s s c o m p u t a t i o n s ( e . g . ,
m a n i p u l a t i n g d i v e r g e n t s e r i e s a s t h o u g h t h e y c o n v e r g e d a b s o l u t e l y a n d u n i f o r m l y )
s o m e h o w g a v e c o r r e c t r e s u l t s . T h i s a r g u m e n t b e g i n s w i t h t h e o b s e r v a t i o n t h a t a
t r e e e i t h e r i s 0 o r s p l i t s n a t u r a l l y i n t o t w o s u b t r e e s ( b y r e m o v i n g t h e r o o t ) . T h u s
t h e s e t T o f t r e e s s a t i s e s T = 1 + T
2
. ( O f c o u r s e e q u a l i t y h e r e a c t u a l l y m e a n s
a n o b v i o u s i s o m o r p h i s m . N o t e t h a t t h e s a m e e q u a t i o n h o l d s a l s o f o r t h e v a r i a n t
n o t i o n s o f t r e e m e n t i o n e d a t t h e e n d o f S e c t i o n 1 . ) S o l v i n g t h i s q u a d r a t i c e q u a t i o n
f o r T , w e n d T =
1
2
i
p
3
2
. ( T h e r e a d e r w h o o b j e c t s t h a t t h i s i s n o n s e n s e h a s
n o t t r u l y e n t e r e d i n t o t h e e i g h t e e n t h - c e n t u r y s p i r i t . ) T h e s e c o m p l e x n u m b e r s a r e
p r i m i t i v e s i x t h r o o t s o f u n i t y , s o w e h a v e T
6
= 1 a n d T
7
= T . A n d t h i s i s w h y
s e v e n - t u p l e s o f t r e e s c a n b e c o d e d a s s i n g l e t r e e s .
A l t h o u g h t h i s c o m p u t a t i o n i s n o n s e n s e , i t h a s a t l e a s t t h e p s y c h o l o g i c a l e e c t o f
s u g g e s t i n g t h a t s o m e t h i n g l i k e T h e o r e m 1 h a s a b e t t e r c h a n c e o f b e i n g t r u e f o r s e v e n
t h a n f o r v e o r t w o . T o i m p r o v e t h e e e c t f r o m p s y c h o l o g i c a l t o m a t h e m a t i c a l , w e
a t t e m p t t o r e m o v e t h e n o n s e n s e w h i l e k e e p i n g t h e e s s e n c e o f t h e c o m p u t a t i o n .
I n c i d e n t a l l y , L a w v e r e ' s r e m a r k t h a t l e d t o t h i s p a p e r w a s p h r a s e d i n t e r m s o f s u c h
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5/20
S E V E N T R E E S I N O N E 5
a m e a n i n g l e s s c o m p u t a t i o n g i v i n g a c o r r e c t r e s u l t : \ I w a s s u r p r i s e d t o n o t e t h a t
a n i s o m o r p h i s m x = 1 + x
2
( l e a d i n g t o c o m p l e x n u m b e r s a s E u l e r c h a r a c t e r i s t i c s i f
t h e y d o n ' t c o l l a p s e ) a l w a y s i n d u c e s a n i s o m o r p h i s m x
7
= x " 8 ] p . 1 1 . T h i s r e m a r k
w a s a n a p p l i c a t i o n o f t h e m e t h o d o f S c h a n u e l 1 0 ] f o r d e v e l o p i n g o b j e c t i v e m e a n i n g
f o r s u c h c o m p u t a t i o n s .
O n e m i g h t h o p e f o r a m e t a - t h e o r e m t o t h e e e c t t h a t , w h e n s u c h a m e a n i n g -
l e s s c o m p u t a t i o n l e a d s f r o m a m e a n i n g f u l e q u a t i o n ( l i k e T = 1 + T
2
) t o a n o t h e r
m e a n i n g f u l e q u a t i o n ( l i k e T
7
= T ) t h e n t h e l a t t e r h o n e s t l y f o l l o w s f r o m t h e f o r m e r .
T h i s w o u l d b e s o m e w h a t a n a l o g o u s t o H i l b e r t ' s p r o g r a m f o r m a k i n g c o n s t r u c t i v e
s e n s e o f i n n i t a r y m a t h e m a t i c s b y s h o w i n g t h a t , w h e n a d e t o u r t h r o u g h t h e i n -
n i t e l e a d s f r o m o n e n i t i s t i c a l l y m e a n i n g f u l s t a t e m e n t t o a n o t h e r , t h e n t h e l a t t e r
h o n e s t l y ( n i t i s t i c a l l y ) f o l l o w s f r o m t h e f o r m e r . U n f o r t u n a t e l y , o u r s i t u a t i o n ( l i k e
H i l b e r t ' s ) i s m o r e s u b t l e . A f t e r a l l , T
6
= 1 i s a m e a n i n g f u l e q u a t i o n , s a y i n g t h a t
t h e r e i s o n l y o n e s i x - t u p l e o f t r e e s , w h i c h i s f a l s e . S o a n y r e h a b i l i t a t i o n o f t h e c o m -
p u t a t i o n a b o v e m u s t , i n p a r t i c u l a r , e x p l a i n w h y t h e u l t i m a t e c o n c l u s i o n T
7
= T i s
r i g h t w h i l e t h e p e n u l t i m a t e T
6
= 1 i s n o t .
A s a r s t s t e p t o w a r d r e h a b i l i t a t i o n , w e o b s e r v e t h a t w e c a n a v o i d c o m p l e x
n u m b e r s b y w o r k i n g e n t i r e l y w i t h i n t h e r i n g o f p o l y n o m i a l s w i t h i n t e g e r c o e c i e n t s .
( T h e p o s s i b i l i t y o f s u c h a s t e p i s g u a r a n t e e d b y g e n e r a l f a c t s a b o u t p o l y n o m i a l r i n g s
a n d i d e a l s , b u t h e r e i s t h e s t e p e x p l i c i t l y . ) W e s i m p l i f y T
7
b y r e p e a t e d l y r e d u c i n g
i t s d e g r e e , u s i n g t h e e q u a t i o n T = 1 + T
2
i n t h e f o r m T
2
= T 1 . T h e r e s u l t i s
T
7
= T
6
T
5
= T
4
= T
3
+ T
2
= T :
T h e c o m p l e x n u m b e r s a r e g o n e , b u t t h e c o m p u t a t i o n i s s t i l l m e a n i n g l e s s ( w h e n w e
r e m e m b e r t h a t T i s a s e t ) b e c a u s e o f n e g a t i v e c o e c i e n t s , a n d w e c o u l d s t i l l g e t
T
6
= 1 j u s t b y r e d u c i n g a l l e x p o n e n t s b y o n e .
T h e n e x t s t e p i s t o e l i m i n a t e t h e n e g a t i v e t e r m s b y a d d i n g n e w t e r m s ( T
5
, T
4
,
a n d T
3
) t o c a n c e l t h e m . T h e r e s u l t i n g c a l c u l a t i o n , w h i c h t a k e s p l a c e i n t h e s e m i r i n g
N T ] = ( T = 1 + T
2
) , r e a d s
T
7
+ T
5
+ T
4
+ T
3
= T
6
+ T
4
+ T
3
= T
5
+ T
3
= T
5
+ T
4
+ T
2
= T
5
+ T
4
+ T
3
+ T :
E v e r y t h i n g h e r e i s m e a n i n g f u l a n d c o r r e c t w h e n T i s i n t e r p r e t e d a s t h e s e t o f
t r e e s ( r a t h e r t h a n a f o r m a l i n d e t e r m i n a t e s u b j e c t t o T = 1 + T
2
) a n d e q u a l i t y i s
i n t e r p r e t e d a s o b v i o u s i s o m o r p h i s m ( o r , b e t t e r , a s v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n ) . U n f o r t u -
n a t e l y , i n s t e a d o f g e t t i n g a v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n f r o m T
7
t o T , w e h a v e t h e e x t r a
t e r m s T
5
+ T
4
+ T
3
o n b o t h s i d e s . C a n w e g e t r i d o f t h e m ?
T h e r e i s a g e n e r a l w a y t o c o n v e r t a b i j e c t i o n f : A + X ! B + X i n t o a b i j e c t i o n
f
0
: A ! B w h e n X i s n i t e , n a m e l y t h e G a r s i a - M i l n e i n v o l u t i o n p r i n c i p l e 6 ] . T h e
i d e a i s t o d e n e f
0
( a ) b y r s t a p p l y i n g f t o a ; i f t h e r e s u l t i s i n B , a c c e p t i t a s
t h e o u t p u t f o r f
0
; i f n o t , t h e n i t i s i n X , s o w e c a n a p p l y f a g a i n ; i f t h e r e s u l t
i s i n B , a c c e p t i t a s t h e o u t p u t f o r f
0
; i f n o t , t h e n i t i s i n X , s o w e c a n a p p l y f
a g a i n ; a n d s o f o r t h u n t i l w e n a l l y g e t a n o u t p u t i n B . T h e n i t e n e s s o f X i s u s e d
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6 A N D R E A S B L A S S
t o e n s u r e t h a t t h e p r o c e s s t e r m i n a t e s . I n o u r s i t u a t i o n , X = T
5
+ T
4
+ T
3
i s n o t
n i t e . O n e c a n t r y t o a p p l y t h e G a r s i a - M i l n e c o n s t r u c t i o n a n y w a y , h o p i n g t h a t t h e
p r o c e s s t e r m i n a t e s e v e n t h o u g h n o n i t e n e s s f o r c e s i t t o . U n f o r t u n a t e l y , i t d o e s n o t
t e r m i n a t e .
W e c a n d o b e t t e r b y c o n s i d e r i n g t h e l a s t c o m p u t a t i o n d i s p l a y e d a b o v e . I t i s i n
t w o p a r t s . I n t h e r s t p a r t , T
7
+ T
5
+ T
4
+ T
3
i s s i m p l i e d t o T
5
+ T
3
; t h a t i s ,
T
7
+ T
4
i s e l i m i n a t e d . I n t h i s e l i m i n a t i o n , t h e p r e s e n c e o f T
5
w a s e s s e n t i a l a s a
s o r t o f c a t a l y s t , s i n c e t h e T
5
i s r e m o v e d a t t h e r s t s t e p a n d r e s t o r e d a t t h e s e c o n d .
T
3
, o n t h e o t h e r h a n d i s i r r e l e v a n t t o t h i s h a l f o f t h e c a l c u l a t i o n . C l e a r l y , t h e s a m e
a r g u m e n t s h o w s t h a t , i n a n y p o l y n o m i a l i n N T ] = ( T = 1 + T
2
) , w e c a n d e l e t e o r
i n t r o d u c e T
k + 3
+ T
k
p r o v i d e d T
k + 1
i s a l s o p r e s e n t a s a c a t a l y s t . T h e s e c o n d h a l f
o f t h e d i s p l a y e d c o m p u t a t i o n i n t r o d u c e s T
4
+ T , u s i n g T
3
a s a c a t a l y s t ; t h e s a m e
a r g u m e n t w o u l d a l l o w u s t o i n t r o d u c e o r d e l e t e T
k + 3
+ T
k
p r o v i d e d T
k + 2
i s a l s o
p r e s e n t a s a c a t a l y s t . T h u s , w e c a n d e l e t e o r i n t r o d u c e t w o p o w e r s o f T w h o s e
e x p o n e n t s d i e r b y e x a c t l y t h r e e , p r o v i d e d o n e o f t h e t w o i n t e r v e n i n g p o w e r s i s
a l s o p r e s e n t a s a c a t a l y s t .
T h i s r e s u l t c a n b e s i g n i c a n t l y i m p r o v e d b y n o t i c i n g t h a t a n y p o s i t i v e p o w e r o f
T c a n s e r v e a s a c a t a l y s t ; i t n e e d n o t b e b e t w e e n t h e t w o t h a t a r e b e i n g d e l e t e d o r
i n t r o d u c e d . T o s e e t h i s , s u p p o s e w e w a n t t o d e l e t e o r i n t r o d u c e T
k + 3
+ T
k
, a n d w e
h a v e a n o t h e r p o s i t i v e p o w e r T
r
p r e s e n t i n t h e p o l y n o m i a l . I f r i s k + 1 o r k + 2 , t h e n
w e a l r e a d y k n o w T
r
c a n s e r v e a s t h e d e s i r e d c a t a l y s t . I f n o t , t h e n u s e T = 1 + T
2
t o r e p l a c e T
r
w i t h T
r 1
+ T
r + 1
. S o n o w w e h a v e t w o p o w e r s o f T , i n o n e o f w h i c h
t h e e x p o n e n t i s c l o s e r t o t h e d e s i r e d k + 1 o r k + 2 . A p p l y t h e s a m e p r o c e d u r e t o
t h a t p o w e r , l e a v i n g t h e o t h e r o n e a l o n e , a n d r e p e a t t h e p r o c e s s u n t i l n a l l y y o u g e t
t h e d e s i r e d c a t a l y s t . U s e i t t o d e l e t e o r i n t r o d u c e T
k + 3
+ T
k
, a n d t h e n r e v e r s e t h e
p r e v i o u s s t e p s t o r e c o v e r t h e o r i g i n a l T
r
b y r e a s s e m b l i n g t h e t e r m s i n t o w h i c h t h e
r s t p a r t o f t h e p r o c e d u r e d e c o m p o s e d i t . ( N o t e t h a t w e n e e d e d r t o b e s t r i c t l y
p o s i t i v e i n o r d e r t o r e p l a c e T
r
w i t h T
r 1
+ T
r + 1
. )
N o w w e c a n , i n N T ] = ( T = 1 + T
2
) , c o n v e r t T
7
i n t o T
7
+ T
4
+ T ( i n t r o d u c i n g
T
4
+ T w i t h T
7
a s c a t a l y s t ) a n d t h e n i n t o T ( d e l e t i n g T
7
+ T
4
w i t h T a s c a t a l y s t ) .
W e r e f r a i n f r o m w r i t i n g o u t e x p l i c i t l y t h e c o m p u t a t i o n i n N T ] = ( T = 1 + T
2
)
o b t a i n e d b y t h e m e t h o d o f t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h . I t c o n s i s t s o f t w e n t y s t e p s :
f o u r t o c o n v e r t T
7
i n t o a u s a b l e c a t a l y s t T
3
( p l u s e x t r a t e r m s ) , t w o t o i n t r o d u c e
T
4
+ T u s i n g t h i s c a t a l y s t , f o u r t o c o l l e c t t h e c a t a l y s t a n d e x t r a t e r m s b a c k i n t o
a T
7
, f o u r t o c o n v e r t T i n t o a u s a b l e c a t a l y s t T
5
( p l u s e x t r a t e r m s ) , t w o t o d e l e t e
T
7
+ T
4
u s i n g t h i s c a t a l y s t , a n d f o u r t o c o l l e c t t h e c a t a l y s t a n d e x t r a t e r m s b a c k
i n t o a T . N o t i c e t h a t t h e p r o o f o f T
7
= T d o e s n o t b e c o m e a p r o o f o f T
6
= 1 i f w e
r e d u c e t h e e x p o n e n t s ; u n l i k e T , 1 c a n n o t s e r v e a s a c a t a l y s t .
W e c a n n o w a n s w e r t h e r s t o f t h e q u e s t i o n s a t t h e b e g i n n i n g o f t h i s s e c t i o n |
w h e r e d i d t h e b i j e c t i o n i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 c o m e f r o m ? I t c a m e f r o m t h i s
t w e n t y - s t e p c o m p u t a t i o n . W h e r e v e r t h e c o m p u t a t i o n u s e d T = 1 + T
2
, a p p l y t h e
o b v i o u s b i j e c t i o n b e t w e e n t h e s e t s T a n d f 0 g T
2
, a n d t h e w h o l e c o m p u t a t i o n w i l l
g i v e a c o m p o s i t e b i j e c t i o n w h i c h i s t h e o n e u s e d t o p r o v e T h e o r e m 1 ( e x c e p t t h a t
I i n t e r c h a n g e d l e f t a n d r i g h t o n c e , t o m a k e t h e d e s c r i p t i o n o f t h e p r o o f e a s i e r ) .
A s f o r t h e s e c o n d q u e s t i o n | w h y s e v e n ? | w e h a v e a p a r t i a l a n s w e r . T h e
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7/20
S E V E N T R E E S I N O N E 7
t e c h n i q u e t h a t l e d t o t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 w o r k s o n l y f o r n u m b e r s k t h a t a r e
c o n g r u e n t t o 1 m o d u l o 6 , b e c a u s e i t i s o n l y f o r t h e s e n u m b e r s t h a t T
k
= T i s t r u e
i n t h e s e m i r i n g N T ] = ( T = 1 + T
2
) , o r e v e n i n t h e r i n g s Z T ] = ( T = 1 + T
2
) o r
C T ] = ( T = 1 + T
2
) , i . e . , b e c a u s e i t i s o n l y f o r t h e s e v a l u e s o f k t h a t T
k
= T i s
s a t i s e d b y t h e r o o t s
1
2
i
p
3
2
o f T = 1 + T
2
. A m o r e c o m p l e t e a n s w e r t o t h e s e c o n d
q u e s t i o n w o u l d i n v o l v e s h o w i n g t h a t v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n s b e t w e e n T
k
a n d T c a n
e x i s t o n l y w h e n t h e c o r r e s p o n d i n g p o l y n o m i a l s a r e e q u a l i n N T ] = ( T = 1 + T
2
) .
T h i s w i l l b e d o n e , i n g r e a t e r g e n e r a l i t y , i n t h e n e x t s e c t i o n .
B e c a u s e o f t h e i m p o r t a n c e o f t h e s e m i r i n g N T ] = ( T = 1 + T
2
) i n c o m p u t a t i o n s
l i k e t h e p r e c e d i n g o n e s , w e p r e s e n t a n o r m a l f o r m f o r i t s e l e m e n t s .
T h e o r e m 2 . E v e r y e l e m e n t o f N T ] = ( T = 1 + T
2
) i s u n i q u e l y e x p r e s s i b l e i n t h e
f o r m a + b T
2
+ c T
4
w i t h n o n - n e g a t i v e i n t e g e r c o e c i e n t s a , b , a n d c s u c h t h a t e i t h e r
a t l e a s t o n e c o e c i e n t i s 0 o r e l s e a b = c = 1 .
P r o o f . E v e r y e l e m e n t o f t h e s e m i r i n g N T ] = ( T = 1 + T
2
) i s a p o l y n o m i a l i n T w i t h
n o n - n e g a t i v e i n t e g e r c o e c i e n t s . W e s h o w h o w t o s i m p l i f y s u c h a p o l y n o m i a l t o
t h e f o r m c l a i m e d i n t h e t h e o r e m . S i n c e T
7
= T , a l l t e r m s o f d e g r e e 7 o r m o r e c a n
b e r e d u c e d t o l o w e r d e g r e e , s o w e m a y a s s u m e t h e p o l y n o m i a l h a s d e g r e e a t m o s t
6 . T h e d e g r e e c a n b e r e d u c e d t o a t m o s t 4 b y m e a n s o f t h e e q u a t i o n s
T
6
= T
5
+ T
7
= T
5
+ T a n d T
5
= 1 + T
3
+ T
5
= 1 + T
4
;
w h e r e 1 + T
3
w a s i n t r o d u c e d i n t h e s e c o n d e q u a t i o n w i t h c a t a l y s t T
5
. F u r t h e r m o r e ,
w e c a n e l i m i n a t e a l l t e r m s o f o d d d e g r e e , s i n c e T = 1 + T
2
a n d T
3
= T
2
+ T
4
.
S o o u r p o l y n o m i a l h a s t h e f o r m a + b T
2
+ c T
4
. W e c h e c k n e x t t h a t t h e c o e c i e n t
r e s t r i c t i o n s i n t h e t h e o r e m c a n b e e n f o r c e d .
F o r t h i s p u r p o s e , c o n s i d e r t h e p o l y n o m i a l Q = 1 + T
2
+ T
4
. I n t h e p r e s e n c e o f a
c a t a l y s t ( a n y p o s i t i v e p o w e r o f T ) , Q v a n i s h e s , f o r i t e q u a l s T + T
4
w h i c h a c a t a l y s t
c a n d e l e t e . N o w c o n s i d e r o u r g e n e r a l p o l y n o m i a l a + b T
2
+ c T
4
. I f a t l e a s t o n e o f
t h e c o e c i e n t s i s 0 , t h e n i t h a s t h e d e s i r e d f o r m , s o s u p p o s e a l l t h r e e c o e c i e n t s a r e
a t l e a s t 1 . T h e n t h e p o l y n o m i a l i s Q + ( a 1 ) + ( b 1 ) T
2
+ ( c 1 ) T
4
. I f e i t h e r b 1
o r c 1 i s p o s i t i v e , w e h a v e a c a t a l y s t a n d c a n r e m o v e Q . R e p e a t i n g t h e p r o c e s s o f
s p l i t t i n g o a Q a n d d e l e t i n g i t a s l o n g a s a c a t a l y s t i s a v a i l a b l e , w e u l t i m a t e l y g e t
e i t h e r a p o l y n o m i a l o f t h e f o r m a + b T
2
+ c T
4
w i t h a z e r o c o e c i e n t ( i f , a t s o m e
s t a g e , w e c a n n o t s p l i t o a Q ) o r o n e o f t h e f o r m d + Q w i t h d 2 N ( i f , a t s o m e
s t a g e , w e h a v e s p l i t o a Q b u t h a v e n o c a t a l y s t t o r e m o v e i t ) . T h i s c o m p l e t e s t h e
p r o o f t h a t e v e r y p o l y n o m i a l c a n b e p u t i n t h e r e q u i r e d f o r m ; i t r e m a i n s t o s h o w
u n i q u e n e s s .
I f t w o e x p r e s s i o n s o f t h e f o r m d e s c r i b e d i n t h e t h e o r e m , s a y a + b T
2
+ c T
4
a n d
a
0
+ b
0
T
2
+ c
0
T
4
, a r e e q u a l i n N T ] = ( T = 1 + T
2
) , t h e n t h e y a r e a l s o e q u a l a s c o m p l e x
n u m b e r s w h e n T i s i n t e r p r e t e d a s t h e p r i m i t i v e s i x t h r o o t o f u n i t y t =
1
2
+ i
p
3
2
( s i n c e C i s a c o m m u t a t i v e s e m i r i n g , a n d t = 1 + t
2
, a n d N T ] = ( T = 1 + T
2
) w i t h T
i s t h e i n i t i a l c o m m u t a t i v e s e m i r i n g w i t h a s o l u t i o n o f T = 1 + T
2
) . t
2
i s a p r i m i t i v e
c u b e r o o t o f u n i t y ; i t s m i n i m a l p o l y n o m i a l i s 1 + z + z
2
. S o t h i s m i n i m a l p o l y n o m i a l
w o u l d h a v e t o d i v i d e ( a a
0
) + ( b b
0
) z + ( c c
0
) z
2
, w h i c h m e a n s t h a t a a
0
, b b
0
,
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8/20
8 A N D R E A S B L A S S
a n d c c
0
a r e a l l e q u a l . I f t h e y a r e a l l z e r o , t h e n a + b T
2
+ c T
4
a n d a
0
+ b
0
T
2
+ c
0
T
4
a r e i d e n t i c a l a s e x p r e s s i o n s , w h i c h i s w h a t w e n e e d e d t o p r o v e . S o s u p p o s e t h a t
t h e d i e r e n c e s a a
0
, b b
0
, a n d c c
0
a r e a l l p o s i t i v e . ( I f t h e y a r e a l l n e g a t i v e ,
i n t e r c h a n g e p r i m e d a n d u n p r i m e d i n w h a t f o l l o w s . ) A f o r t i o r i , a , b , a n d c a r e a l l
p o s i t i v e , s o a + b T
2
+ c T
4
, b e i n g o f t h e f o r m i n t h e t h e o r e m , h a s b = c = 1 a n d
a 1 , i . e . , i t i s ( a 1 ) + Q . A s a a
0
, b b
0
a n d c c
0
a r e e q u a l a n d p o s i t i v e , w e
m u s t h a v e b
0
= c
0
= 0 a n d a
0
= a 1 .
O u r t a s k i s t h u s r e d u c e d t o s h o w i n g t h a t a
0
a n d a
0
+ Q a r e n o t e q u a l i n N T ] = ( T =
1 + T
2
) . F o r t h i s p u r p o s e , n o t i c e t h a t t h e s e t c o n s i s t i n g o f t h e n a t u r a l n u m b e r s a n d
t h e c a r d i n a l @
0
i s a c o m m u t a t i v e s e m i r i n g ( w i t h t h e u s u a l a d d i t i o n a n d m u l t i p l i -
c a t i o n o f c a r d i n a l n u m b e r s ) i n w h i c h @
0
= 1 + @
0
2
. S o a n e q u a t i o n a
0
= a
0
+ Q i n
N T ] = ( T = 1 + T
2
) w o u l d i m p l y t h e s a m e e q u a t i o n i n t h i s c a r d i n a l s e m i r i n g w i t h
T i n t e r p r e t e d a s @
0
. B u t i n t h i s i n t e r p r e t a t i o n s u c h a n e q u a t i o n i s f a l s e , s i n c e a
0
i s i n t e r p r e t e d a s t h e i n t e g e r a
0
w h i l e a
0
+ Q i s i n t e r p r e t e d a s @
0
. S o t h e e q u a t i o n
c a n n o t h o l d i n N T ] = ( T = 1 + T
2
) .
3 . A l g e b r a i c E q u i v a l e n c e a n d V e r y E x p l i c i t B i j e c t i o n s
L e t u s c a l l t w o p o l y n o m i a l s , P ( X ) a n d Q ( X ) , w i t h n o n - n e g a t i v e i n t e g e r c o e -
c i e n t s a l g e b r a i c a l l y e q u i v a l e n t i f t h e e q u a t i o n P ( X ) = Q ( X ) h o l d s i n t h e s e m i r i n g
N X ] = ( X = 1 + X
2
) . W e c a l l t h e i n d e t e r m i n a t e X r a t h e r t h a n T t o a v o i d c o n f u s i o n ,
s i n c e w e s h a l l n e e d t o d i s c u s s i t a n d t h e s e t T o f t r e e s i n t h e s a m e c o n t e x t .
A p o l y n o m i a l P ( X ) 2 N X ] h a s a n a t u r a l i n t e r p r e t a t i o n a s a n o p e r a t i o n S 7!
P ( S ) o n s e t s ( w e l l - d e n e d u p t o c a n o n i c a l b i j e c t i o n s ) ; s u m s a n d p r o d u c t s o f p o l y -
n o m i a l s c o r r e s p o n d t o d i s j o i n t u n i o n s a n d C a r t e s i a n p r o d u c t s o f s e t s . ( W e c a n
i n t e r p r e t t h e n u m e r i c a l c o e c i e n t s i n P ( X ) a s c a n o n i c a l l y c h o s e n s e t s o f t h e c o r -
r e s p o n d i n g c a r d i n a l i t i e s , o r w e c a n e l i m i n a t e t h e s e c o e c i e n t s i n f a v o r o f s u m s o f
r e p e a t e d t e r m s . ) T h a n k s t o t h e c a n o n i c a l b i j e c t i o n f r o m T t o 1 + T
2
, a l g e b r a i c a l l y
e q u i v a l e n t p o l y n o m i a l s , w h e n a p p l i e d t o t h e s e t T o f t r e e s , g i v e c a n o n i c a l l y i s o m o r -
p h i c s e t s . I n f a c t , w e s h a l l s h o w , a s h a l f o f t h e n e x t t h e o r e m , t h a t t h e c a n o n i c a l
i s o m o r p h i s m i s v e r y e x p l i c i t i n t h e s e n s e o f S e c t i o n 1 .
L e t u s c a l l t w o p o l y n o m i a l s P ( X ) a n d Q ( X ) c o m b i n a t o r i a l l y e q u i v a l e n t i f t h e r e
i s a v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n f r o m P ( T ) t o Q ( T ) . O f c o u r s e , w e m u s t e x t e n d t h e
d e n i t i o n o f \ v e r y e x p l i c i t , " g i v e n i n S e c t i o n 1 f o r t h e s p e c i a l c a s e o f T
7
a n d T , t o
t h e g e n e r a l c a s e o f P ( T ) a n d Q ( T ) , b u t t h i s i s s t r a i g h t f o r w a r d . I f P ( X ) =
P
k
c
k
X
k
,
t h e n w e r e g a r d P ( T ) a s t h e s e t o f t a g g e d k - t u p l e s o f t r e e s ,
~
t = ( t
1
; : : : ; t
k
; ) w h e r e
k r a n g e s o v e r t h e s a m e n i t e s e t a s i n t h e s u m d e n i n g P ( X ) a n d w h e r e t h e t a g
i s a n i n t e g e r i n t h e r a n g e 1 c
k
. F o r b r e v i t y , w e c a l l s u c h a t a g g e d k - t u p l e a
P - t u p l e . A P - p a t t e r n i s a s i m i l a r l y t a g g e d k - t u p l e o f p a t t e r n s ( i n t h e s e n s e d e n e d
i n S e c t i o n 1 ) i n w h i c h a l l t h e l a b e l s a r e d i s t i n c t , a n d t h e n o t i o n o f a n i n s t a n c e o f a
p a t t e r n w i t h r e s p e c t t o a s u b s t i t u t i o n i s d e n e d j u s t a s i n S e c t i o n 1 . A v e r y e x p l i c i t
f u n c t i o n f f r o m P ( T ) t o Q ( T ) i s g i v e n b y a n i n d e x e d f a m i l y ( ~p
i
)
i 2 I
o f P - p a t t e r n s
a n d a s i m i l a r l y i n d e x e d f a m i l y ( ~q
i
)
i 2 I
o f Q - p a t t e r n s s u c h t h a t , f o r e a c h i 2 I , t h e
s a m e l a b e l s o c c u r i n ~p
i
a s i n ~q
i
a n d s u c h t h a t e v e r y e l e m e n t
~
t o f P ( T ) i s a n i n s t a n c e
o f a u n i q u e ~p
i
( u n d e r a u n i q u e s u b s t i t u t i o n ) . T h e n f (
~
t ) i s d e n e d a s t h e r e s u l t o f
8/2/2019 7trees.ps
9/20
S E V E N T R E E S I N O N E 9
a p p l y i n g t h e s a m e s u b s t i t u t i o n t o ~q
i
( f o r t h e s a m e i ) .
R e m a r k . I f t h e v e r y e x p l i c i t f u n c t i o n f i s a b i j e c t i o n f r o m P ( T ) t o Q ( T ) , t h e n
e v e r y e l e m e n t o f Q ( T ) o c c u r s e x a c t l y o n c e a s a n i n s t a n c e o f a ~q
i
( i n t h e n o t a t i o n o f
t h e p r e c e d i n g d e n i t i o n ) . I t f o l l o w s t h a t t h e i n v e r s e b i j e c t i o n i s a l s o v e r y e x p l i c i t ,
a s w e c a n i n t e r c h a n g e t h e r o l e s o f t h e ~p
i
a n d t h e ~q
i
. T h u s , i t m a k e s n o d i e r e n c e
w h e t h e r \ v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n " i s i n t e r p r e t e d i n t h e o b v i o u s w a y a s \ v e r y e x p l i c i t
f u n c t i o n t h a t h a p p e n s t o b e a b i j e c t i o n " o r a s \ v e r y e x p l i c i t f u n c t i o n w i t h v e r y
e x p l i c i t t w o - s i d e d i n v e r s e . "
O u r i n t e r e s t w i l l b e f o c u s e d o n v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n s , a n d f o r t h e s t u d y o f
t h e s e o u r d e n i t i o n o f \ v e r y e x p l i c i t " s e e m s a d e q u a t e . I f w e w e r e t o s t u d y v e r y
e x p l i c i t f u n c t i o n s i n g e n e r a l , i t w o u l d b e a d v i s a b l e t o l i b e r a l i z e t h e d e n i t i o n o f
\ v e r y e x p l i c i t " b y a l l o w i n g l a b e l s t o b e r e p e a t e d i n a ~q
i
a n d a l l o w i n g a l a b e l t o
o c c u r i n ~p
i
w i t h o u t o c c u r r i n g i n ~q
i
. I n e i t h e r o f t h e s e c a s e s , t h e v e r y e x p l i c i t
f u n c t i o n c a n n o t b e a b i j e c t i o n .
T h e o r e m 3 . T w o p o l y n o m i a l s P ( X ) ; Q ( X ) 2 N X ] a r e c o m b i n a t o r i a l l y e q u i v a l e n t
i f a n d o n l y i f t h e y a r e a l g e b r a i c a l l y e q u i v a l e n t .
P r o o f . S u p p o s e r s t t h a t P ( X ) a n d Q ( X ) a r e a l g e b r a i c a l l y e q u i v a l e n t . S i n c e N X ]
i s t h e f r e e c o m m u t a t i v e s e m i r i n g o n o n e g e n e r a t o r , i t s q u o t i e n t N X ] = ( X = 1 + X
2
)
i s t h e i n i t i a l a l g e b r a i n t h e v a r i e t y V o f c o m m u t a t i v e s e m i r i n g s w i t h a d i s t i n g u i s h e d
e l e m e n t X s u b j e c t t o X = 1 + X
2
. A l g e b r a i c e q u i v a l e n c e t h e r e f o r e m e a n s t h a t
t h e e q u a t i o n P ( X ) = Q ( X ) i s s a t i s e d b y t h e w h o l e v a r i e t y V . ( N o t e t h a t h e r e
X i s a c o n s t a n t f o r t h e d i s t i n g u i s h e d e l e m e n t o f a V - a l g e b r a . ) B y B i r k h o ' s t h e -
o r e m 3 , T h e o r e m 1 4 . 1 9 ] , t h e r e i s a n e q u a t i o n a l d e d u c t i o n o f P ( X ) = Q ( X ) f r o m
X = 1 + X
2
a n d t h e a x i o m s f o r c o m m u t a t i v e s e m i r i n g s , u s i n g a s r u l e s o f i n f e r e n c e
o n l y s u b s t i t u t i o n o f e q u a l s f o r e q u a l s a n d s u b s t i t u t i o n o f t e r m s f o r v a r i a b l e s . A l l
t h e s u b s t i t u t i o n s f o r v a r i a b l e s c a n b e d o n e a t t h e b e g i n n i n g , a s s u b s t i t u t i o n s i n t o
a x i o m s . S o w e g e t a d e d u c t i o n o f P ( X ) = Q ( X ) f r o m X = 1 + X
2
a n d v a r i a b l e - f r e e
i n s t a n c e s o f t h e c o m m u t a t i v e s e m i r i n g a x i o m s , u s i n g o n l y s u b s t i t u t i o n o f e q u a l s f o r
e q u a l s .
C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y o f e q u a t i o n s : W h e n t h e t w o s i d e s a r e a p p l i e d
a s o p e r a t i o n s t o T , t h e t w o r e s u l t i n g s e t s h a v e a b i j e c t i o n b e t w e e n t h e m s u c h t h a t
b o t h t h e b i j e c t i o n a n d i t s i n v e r s e a r e v e r y e x p l i c i t . I t i s t r i v i a l t o c h e c k t h a t t h e
e q u a t i o n X = 1 + X
2
a n d a l l v a r i a b l e - f r e e i n s t a n c e s o f t h e a x i o m s o f c o m m u t a t i v e
s e m i r i n g s e n j o y t h i s p r o p e r t y a n d t h a t t h e p r o p e r t y i s p r e s e r v e d b y s u b s t i t u t i o n o f
e q u a l s f o r e q u a l s . I t t h e r e f o r e f o l l o w s t h a t P ( X ) = Q ( X ) h a s t h i s p r o p e r t y , w h i c h
i m p l i e s c o m b i n a t o r i a l e q u i v a l e n c e .
F o r t h e c o n v e r s e , s u p p o s e t h a t P ( X ) a n d Q ( X ) a r e c o m b i n a t o r i a l l y e q u i v a l e n t .
S p e c i c a l l y , l e t f b e a v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n f r o m P ( T ) t o Q ( T ) , a n d l e t ( ~p
i
)
i 2 I
a n d ( ~q
i
)
i 2 I
b e a s i n t h e d e n i t i o n o f \ v e r y e x p l i c i t " p r e c e d i n g t h e t h e o r e m .
I t w i l l b e c o n v e n i e n t , b o t h f o r t h i s p r o o f a n d f o r S e c t i o n 4 , t o i n t r o d u c e c e r t a i n
s t a n d a r d c o l l e c t i o n s o f p a t t e r n s . ( W e t e m p o r a r i l y d e a l w i t h p a t t e r n s i n t h e s e n s e
o f S e c t i o n 1 , s i n g l e t r e e s ; w e w i l l r e t u r n t o t u p l e s a n d P - p a t t e r n s l a t e r . ) F o r e a c h
p o s i t i v e i n t e g e r n , l e t S
n
b e t h e s e t o f p a t t e r n s p o f d e p t h n + 1 s u c h t h a t a l l
n o d e s a t l e v e l n h a v e e x a c t l y t w o c h i l d r e n , a l l n o d e s a t l e v e l n + 1 a r e l a b e l e d
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10/20
1 0 A N D R E A S B L A S S
( w i t h d i s t i n c t l a b e l s , a s r e q u i r e d b y t h e d e n i t i o n o f p a t t e r n ) , a n d n o n o d e s a t
l e v e l s n a r e l a b e l e d . I f p 2 S
n
t h e n i t s i n s t a n c e s a r e e x a c t l y t h o s e t r e e s t h a t
a r e i d e n t i c a l w i t h p d o w n t o d e p t h n , w i t h n o c o n s t r a i n t s o n w h a t ( i f a n y t h i n g )
h a p p e n s a t g r e a t e r d e p t h . I n k e e p i n g w i t h t h i s , w e c a n d e n e S
0
t o c o n s i s t o f j u s t
o n e p a t t e r n , w h i c h c o n s i s t s o f a s i n g l e , l a b e l e d n o d e . C l e a r l y , f o r e v e r y n , e v e r y
t r e e i s a n i n s t a n c e o f a u n i q u e m e m b e r o f S
n
.
I f r i s a n y p a t t e r n o f d e p t h < n , t h e n w e c a n a s s o c i a t e t o i t a s e t ^ r S
n
h a v i n g
c o l l e c t i v e l y t h e s a m e i n s t a n c e s a s r . O n e c a n p r o d u c e ^ r f r o m r b y t h e f o l l o w i n g s t e p -
b y - s t e p p r o c e d u r e , w h i c h w e c a l l d e v e l o p i n g r ( t o d e p t h n ) . C h o o s e a n y l a b e l e d
l e a f i n r a n d r e p l a c e r w i t h t w o n e w p a t t e r n s , r
0
i n w h i c h t h i s l e a f h a s b e e n d e l e t e d ,
a n d r
0 0
i n w h i c h t h i s l e a f h a s b e e n g i v e n t w o l a b e l e d c h i l d r e n ( a n d h a s l o s t i t s o w n
l a b e l , a s i t i s n o l o n g e r a l e a f ) . A p p l y t h e s a m e c o n s t r u c t i o n t o r
0
a n d r
0 0
, u s i n g
l a b e l e d l e a v e s a t d e p t h s n . I t e r a t e t h e p r o c e s s u n t i l a l l t h e p a t t e r n s h a v e t h e i r
l a b e l s a t l e v e l n + 1 . A t t h i s s t a g e , t h e y a r e e a s i l y s e e n t o b e i n S
n
. F u r t h e r m o r e ,
t h e i n s t a n c e s o f r a r e p r e c i s e l y t h e i n s t a n c e s o f r
0
a n d t h o s e o f r
0 0
( a c c o r d i n g t o
w h e t h e r t h e s u b s t i t u t i o n g i v e s t h e l a b e l o f t h e c h o s e n l e a f t h e v a l u e 0 o r n o t ) . A n d
n o t r e e i s a n i n s t a n c e o f b o t h r
0
a n d r
0 0
. I t f o l l o w s i n d u c t i v e l y t h a t , a t e a c h s t a g e o f
t h e d e v e l o p m e n t , t h e p a t t e r n s h a v e d i s j o i n t s e t s o f i n s t a n c e s a n d t h e u n i o n o f t h e s e
s e t s c o n t a i n s p r e c i s e l y t h e i n s t a n c e s o f r . T h u s , t h e n a l s e t o f p a t t e r n s o b t a i n e d
b y t h i s d e v e l o p m e n t i s ^ r .
W e n e e d t o e x t e n d t h e p r e c e d i n g c o n c e p t s f r o m p a t t e r n s t o P - p a t t e r n s ( a n d Q -
p a t t e r n s ) . B y S
n
( P ) w e m e a n t h e s e t o f a l l P - p a t t e r n s w h o s e c o m p o n e n t p a t t e r n s
l i e i n S
n
. ( R e c a l l t h a t a P - p a t t e r n i s a t a g g e d k - t u p l e o f p a t t e r n s , s o t h i s m a k e s
s e n s e . ) E v e r y P - t u p l e o f t r e e s i s a n i n s t a n c e o f a u n i q u e p a t t e r n i n S
n
( P ) ( f o r e a c h
x e d n ) . P - p a t t e r n s c a n b e d e v e l o p e d c o m p o n e n t w i s e ; t h a t i s , t h e d e v e l o p m e n t
o f ( r
1
; : : : ; r
k
; ) t o d e p t h n ( > t h e d e p t h s o f a l l t h e r
j
' s ) c o n s i s t s o f t h e p a t t e r n s
( z
1
; : : : ; z
k
; ) 2 S
n
( P ) w i t h e a c h z
j
i n r
j
S
n
. A g a i n , t h e m e m b e r s o f t h e d e -
v e l o p m e n t o f ~r h a v e d i s j o i n t s e t s o f i n s t a n c e s a n d t h e u n i o n o f t h e s e s e t s c o n t a i n s
p r e c i s e l y t h e i n s t a n c e s o f ~r .
L e t u s r e t u r n t o t h e f a m i l i e s ( ~p
i
)
i 2 I
a n d ( ~q
i
)
i 2 I
d e t e r m i n i n g o u r v e r y e x p l i c i t
b i j e c t i o n f . F i x n g r e a t e r t h a n t h e d e p t h s o f a l l t h e p a t t e r n s i n a l l t h e s e P - a n d
Q - p a t t e r n s . S i n c e e v e r y P - t u p l e i s a n i n s t a n c e o f e x a c t l y o n e ~p
i
, i t f o l l o w s f r o m t h e
p r e c e d i n g d i s c u s s i o n t h a t t h e s e t s ^ p
i
S
n
( P ) o b t a i n e d b y d e v e l o p i n g ~p
i
t o d e p t h
n a r e d i s j o i n t a n d t h e i r u n i o n i s S
n
( P ) .
B y t h e w e i g h t o f a p a t t e r n r , w e m e a n t h e m o n o m i a l X
l
2 N X ] = ( X = 1 + X
2
) ,
w h e r e l i s t h e n u m b e r o f l a b e l s i n r . B y t h e w e i g h t o f a ( t a g g e d ) t u p l e o f p a t t e r n s
( e . g . , a P - o r Q - p a t t e r n ) , w e m e a n t h e p r o d u c t o f t h e w e i g h t s o f i t s c o m p o n e n t
p a t t e r n s , i . e . , X w i t h e x p o n e n t t h e t o t a l n u m b e r o f l a b e l s i n t h e t u p l e . B y t h e
w e i g h t o f a s e t o f p a t t e r n s o r o f ( t a g g e d ) t u p l e s o f p a t t e r n s , w e m e a n t h e s u m o f
t h e w e i g h t s o f i t s m e m b e r s .
O n e s t e p i n t h e d e v e l o p m e n t o f a p a t t e r n r r e p l a c e s i t b y a s e t o f t w o p a t t e r n s r
0
a n d r
0 0
w h e r e , i f r h a s w e i g h t X
l
, t h e n r
0
h a s w e i g h t X
l 1
( a s o n e l a b e l e d l e a f w a s
d e l e t e d ) a n d r
0 0
h a s w e i g h t X
l + 1
( a s o n e l a b e l e d l e a f l o s t i t s l a b e l b u t w a s g i v e n t w o
l a b e l e d c h i l d r e n ) . S o t h e w e i g h t o f t h e s e t o b t a i n e d i s X
l 1
+ X
l + 1
= X
l
, s i n c e t h e
w e i g h t s a r e i n a s e m i r i n g w h e r e 1 + X
2
= X . S o o n e s t e p o f d e v e l o p m e n t l e a v e s t h e
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S E V E N T R E E S I N O N E 1 1
w e i g h t u n c h a n g e d . I t f o l l o w s b y i n d u c t i o n t h a t d e v e l o p m e n t o f a p a t t e r n t o d e p t h
n l e a v e s t h e w e i g h t u n c h a n g e d ; r a n d ^ r h a v e t h e s a m e w e i g h t . I t f u r t h e r f o l l o w s
e a s i l y t h a t t h e s a m e a p p l i e s t o ( t a g g e d ) t u p l e s o f p a t t e r n s .
T h e s e o b s e r v a t i o n s i m p l y t h a t t h e s e t S
n
h a s w e i g h t X , b e c a u s e S
0
t r i v i a l l y h a s
w e i g h t X a n d S
n + 1
i s o b t a i n a b l e b y d e v e l o p i n g S
n
. I t f o l l o w s t h a t S
n
( P ) h a s w e i g h t
P ( X ) , b e c a u s e t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e w e i g h t f r o m t h e k - t u p l e s w i t h a p a r t i c u l a r
t a g i s
X
~r 2 ( S
n
)
k
w e i g h t ( ~r ) =
X
~r 2 ( S
n
)
k
k
Y
j = 1
w e i g h t ( r
j
) =
k
Y
j = 1
X
r 2 S
n
w e i g h t ( r ) =
k
Y
j = 1
w e i g h t ( S
n
) = X
k
:
S i n c e , a s w e s a w a b o v e , S
n
( P ) i s o b t a i n a b l e b y d e v e l o p i n g t h e s e t o f ~p
i
' s , t h i s s e t
a l s o h a s w e i g h t P ( X ) . S i m i l a r l y , t h e s e t o f ~q
i
' s h a s w e i g h t Q ( X ) . B u t e a c h ~p
i
c o n t a i n s e x a c t l y t h e s a m e l a b e l s a s t h e c o r r e s p o n d i n g ~q
i
, s o t h e s e t w o s e t s h a v e t h e
s a m e w e i g h t . T h e r e f o r e , P ( X ) = Q ( X ) i n N X ] = ( X = 1 + X
2
) .
I t f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m T h e o r e m 3 t h a t , i f P ( X ) a n d Q ( X ) a r e c o m b i n a t o -
r i a l l y e q u i v a l e n t , t h e n P ( t ) = Q ( t ) w h e r e t =
1
2
+ i
p
3
2
. T h u s , t h e c o m p l e x n u m b e r
P ( t ) s e r v e s a s a n i n v a r i a n t o f t h e c o m b i n a t o r i a l e q u i v a l e n c e c l a s s o f P ( X ) . T h i s i s
w h a t L a w v e r e r e f e r r e d t o a s \ c o m p l e x E u l e r c h a r a c t e r i s t i c s " i n t h e p a s s a g e , q u o t e d
i n S e c t i o n 2 , t h a t m o t i v a t e d t h i s p a p e r . I n f a c t , T h e o r e m 3 a n d t h e p r o o f o f T h e -
o r e m 2 s h o w t h a t t h e s e m i r i n g o f c o m b i n a t o r i a l e q u i v a l e n c e c l a s s e s o f p o l y n o m i a l s
i s e m b e d d e d i n t h e p r o d u c t o f t h e c o m p l e x e l d a n d t h e s e m i r i n g o f c a r d i n a l s @
0
( b y s e n d i n g t h e i n d e t e r m i n a t e X t o h t ; @
0
i ) . L a w v e r e h a s p o i n t e d o u t t h a t f o r t h i s
p u r p o s e o n e c o u l d r e p l a c e t h e c a r d i n a l s e m i r i n g w i t h a t h r e e - e l e m e n t s e m i r i n g , f o r
a l l t h e n i t e , n o n - z e r o c a r d i n a l s c a n b e i d e n t i e d w i t h o u t d a m a g i n g t h e e m b e d -
d i n g . T h e r e s u l t i n g t h r e e e l e m e n t s f o r m t h e s y s t e m o f \ d i m e n s i o n s " a s s o c i a t e d t o
o u r p r o b l e m b y S c h a n u e l ' s g e n e r a l c o n s t r u c t i o n 1 0 ] , s o t h a t t h e p r e s e n t s o l u t i o n o f
t h e w o r d p r o b l e m s h o w s i n p a r t i c u l a r t h a t a g a i n i n o u r c a s e \ E u l e r c h a r a c t e r i s t i c
a n d d i m e n s i o n " a r e j o i n t l y i n j e c t i v e .
4 . C o n s t r u c t i v e S e t T h e o r y
W e s h o w i n t h i s s e c t i o n t h a t t h e a l g e b r a i c e q u i v a l e n c e o f P ( X ) a n d Q ( X ) c a n
b e d e d u c e d f r o m t h e m e r e p r o v a b i l i t y o f \ t h e r e i s a b i j e c t i o n f r o m P ( T ) t o Q ( T ) "
p r o v i d e d t h i s p r o v a b i l i t y i s f r o m s u c i e n t l y r e s t r i c t e d a s s u m p t i o n s . T h e r e s t r i c t i o n s
w e n e e d a r e t w o : T h e u n d e r l y i n g l o g i c i s c o n s t r u c t i v e a n d t h e o n l y a s s u m p t i o n
a b o u t T i s t h e e x i s t e n c e o f a b i j e c t i o n T ! 1 + T
2
. ( A c t u a l l y , t h e s e c o n d r e s t r i c t i o n
c a n b e r e l a x e d a b i t b y a l l o w i n g a s t r o n g e r a s s u m p t i o n a b o u t T . ) O n t h e o t h e r
h a n d , w e a l l o w t h e u s e o f h i g h e r - o r d e r l o g i c , s o m a n y s e t - t h e o r e t i c m e t h o d s a r e
a v a i l a b l e .
M o r e p r e c i s e l y , l e t L b e a h i g h e r - o r d e r t h e o r y i n t h e s e n s e o f 4 ] o r a l o c a l s e t
t h e o r y i n t h e s e n s e o f 1 ] , g e n e r a t e d b y a n a t u r a l n u m b e r o b j e c t a n d a n a d d i t i o n a l
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12/20
1 2 A N D R E A S B L A S S
g r o u n d t y p e T s u b j e c t t o t h e a x i o m \ t h e r e i s a b i j e c t i o n 1 + T
2
! T . " A l t e r n a t i v e l y ,
w e c o u l d l e t L b e i n t u i t i o n i s t i c Z e r m e l o - F r a e n k e l s e t t h e o r y a u g m e n t e d w i t h a
c o n s t a n t T a n d t h e s a m e a x i o m .
T h e o r e m 4 . L e t P ( X ) a n d Q ( X ) b e p o l y n o m i a l s w i t h n o n - n e g a t i v e i n t e g e r c o e f -
c i e n t s . S u p p o s e i t i s p r o v a b l e i n L t h a t t h e r e i s a b i j e c t i o n P ( T ) ! Q ( T ) . T h e n
P ( X ) a n d Q ( X ) a r e a l g e b r a i c a l l y e q u i v a l e n t .
B e f o r e p r o v i n g t h e t h e o r e m , w e m a k e s e v e r a l r e m a r k s . F i r s t , t h e c o n v e r s e o f
t h e t h e o r e m i s e a s y t o p r o v e . B y T h e o r e m 3 , a l g e b r a i c e q u i v a l e n c e i m p l i e s t h e
e x i s t e n c e o f a v e r y e x p l i c i t b i j e c t i o n P ( T ) ! Q ( T ) w h e n T i s t h e s e t o f t r e e s .
B u t t h e v e r y - e x p l i c i t n e s s m a k e s i t p o s s i b l e t o a p p l y t h e b i j e c t i o n t o a r b i t r a r y s e t s
f o r w h i c h a b i j e c t i o n 1 + T
2
! T i s g i v e n , a n d t h i s a p p l i c a t i o n c a n b e c a r r i e d
o u t i n c o n s t r u c t i v e s e t o r t y p e t h e o r y . A l t e r n a t i v e l y , w e c a n p r o c e e d a s i n t h e
p r o o f o f T h e o r e m 3 , c o n s i d e r i n g f o r a l l e q u a t i o n s P ( X ) = Q ( X ) t h e p r o p e r t y \ i t i s
p r o v a b l e i n L t h a t t h e r e i s a b i j e c t i o n P ( T ) ! Q ( T ) , " n o t i c i n g t h a t t h i s p r o p e r t y
i s e n j o y e d b y t h e e q u a t i o n 1 + X
2
= X a n d b y a l l v a r i a b l e - f r e e i n s t a n c e s o f t h e
a x i o m s f o r c o m m u t a t i v e s e m i r i n g s , n o t i c i n g f u r t h e r t h a t t h e p r o p e r t y i s p r e s e r v e d
b y s u b s t i t u t i o n o f e q u a l s f o r e q u a l s , a n d c o n c l u d i n g t h a t t h e p r o p e r t y h o l d s o f a l l
e q u a t i o n s t r u e i n N X ] = ( X = 1 + X
2
) .
T h e r e m a i n i n g r e m a r k s a r e i n t e n d e d t o j u s t i f y t h e r e s t r i c t i o n s w e p l a c e o n t h e
l o g i c a n d t h e a s s u m p t i o n s o n T i n t h e t h e o r y L .
I f w e a l l o w e d f u l l c l a s s i c a l s e t t h e o r y , w i t h t h e a x i o m o f c h o i c e , t h e n t h e a s s u m p -
t i o n T
=
1 + T
2
i m p l i e s t h a t T i s i n n i t e a n d t h e r e f o r e T , 1 + T , T + T , a n d T
2
a l l
h a v e t h e s a m e c a r d i n a l i t y . I t f o l l o w s t h a t e v e r y n o n - c o n s t a n t p o l y n o m i a l i s e q u i v -
a l e n t , i n t h e s e n s e o f p r o v a b l e b i j e c t i o n , t o T . I n o t h e r w o r d s , w i t h t h i s s t r o n g e r
s e t t h e o r y , t h e c o r r e s p o n d i n g n o t i o n o f a l g e b r a i c e q u i v a l e n c e w o u l d b e e q u a l i t y n o t
i n N X ] = ( X = 1 + X
2
) b u t i n N X ] = ( X = 1 + X = X + X = X
2
) , a s e m i r i n g
i s o m o r p h i c t o t h e N f @
0
g e x a m p l e u s e d a t t h e e n d o f t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 .
I f w e w o r k i n c l a s s i c a l s e t t h e o r y w i t h o u t t h e a x i o m o f c h o i c e , s o t h a t a d d i t i o n
a n d m u l t i p l i c a t i o n o f i n n i t e c a r d i n a l s a r e n o l o n g e r t r i v i a l , w e s t i l l g e t t h e s a m e
c o n c l u s i o n w i t h a b i t m o r e w o r k . F r o m T
=
1 + T
2
a n d i t s i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e
T
2
=
T + T
3
, w e i n f e r t h a t e a c h o f T a n d T
2
c a n b e e m b e d d e d i n t h e o t h e r . B y
t h e C a n t o r - S c h r o d e r - B e r n s t e i n T h e o r e m , w h o s e p r o o f d o e s n o t r e q u i r e t h e a x i o m
o f c h o i c e , w e h a v e T
=
T
2
. T h e n f r o m 1 2 T ( w h e r e m e a n s e m b e d d a b i l i t y ,
t h e u s u a l i n e q u a l i t y r e l a t i o n o n c a r d i n a l s ) w e g e t T T + T T
2
T , s o a n o t h e r
a p p l i c a t i o n o f t h e C a n t o r - S c h r o d e r - B e r n s t e i n T h e o r e m g i v e s T
=
T + T .
I f w e u s e i n t u i t i o n i s t i c r a t h e r t h a n c l a s s i c a l l o g i c , t h e n t h e C a n t o r - S c h r o d e r -
B e r n s t e i n T h e o r e m i s n o l o n g e r a v a i l a b l e a n d , a s T h e o r e m 4 s h o w s , t h e a r g u m e n t
i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h b r e a k s d o w n . E v e n i n i n t u i t i o n i s t i c l o g i c , h o w e v e r , i f
w e a s s u m e t h a t T i s t h e s e t o f t r e e s ( r a t h e r t h a n s o m e a r b i t r a r y s e t w i t h a b i j e c t i o n
1 + T
2
! T ) t h e n t h e a r g u m e n t i n t h e p r e c e d i n g p a r a g r a p h w o r k s , s i n c e t h e b i -
j e c t i o n s p r o d u c e d b y t h e C a n t o r - S c h r o d e r - B e r n s t e i n T h e o r e m c a n , i n t h i s c a s e , b e
c o n s t r u c t i v e l y d e n e d . F o r e x a m p l e , w e d e s c r i b e d , j u s t b e f o r e t h e p r o o f o f T h e o -
r e m 1 , a b i j e c t i o n T
2
! T , a n d t h a t d e s c r i p t i o n i s i n t u i t i o n i s t i c a l l y l e g i t i m a t e . T h e
m a i n p o i n t h e r e i s t h a t t h e c a s e d i s t i n c t i o n , w h e t h e r a t r e e i s j u s t a l e f t w a r d p a t h ,
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S E V E N T R E E S I N O N E 1 3
i s d e c i d a b l e b e c a u s e t h e t r e e i s n i t e . T h e r e i s a s i m i l a r l y c o n s t r u c t i v e b i j e c t i o n
T + T ! T w h e n T i s t h e s e t o f n i t e t r e e s . I t s e n d s a n y t r e e t f r o m t h e r s t
c o p y o f T t o 0 ; t ] , a n d i t s e n d s a n y t f r o m t h e s e c o n d c o p y o f T t o t ; 0 ] u n l e s s t
i s o f t h e f o r m 0 o r p ; q ] o r p ; q ] ; 0 ] o r p ; q ] ; 0 ] ; 0 ] o r : : : w i t h p a n d q b o t h 6= 0 ,
i n w h i c h c a s e i t s e n d s t t o t . A g a i n , i t i s t h e n i t e n e s s o f t h e t r e e s t h a t m a k e s t h e
c a s e d i s t i n c t i o n d e c i d a b l e a n d t h e d e n i t i o n c o n s t r u c t i v e l y c o r r e c t .
P r o o f o f T h e o r e m 4 . W e b e g i n b y g i v i n g a m o r e u s e f u l d e s c r i p t i o n o f s e t s T w i t h
b i j e c t i o n s f : 1 + T
2
! T . T h e b i j e c t i o n i s d e t e r m i n e d b y s p e c i f y i n g a d i s t i n g u i s h e d
e l e m e n t o f T a n d a b i n a r y o p e r a t i o n o n T ; t h e d i s t i n g u i s h e d e l e m e n t i s t h e v a l u e
o f f a t t h e u n i q u e e l e m e n t o f 1 , a n d t h e o p e r a t i o n i s t h e r e s t r i c t i o n o f f t o T
2
. T o
m a t c h t h e n o t a t i o n u s e d e a r l i e r f o r t r e e s , w e w r i t e t h e d i s t i n g u i s h e d e l e m e n t a s 0
a n d t h e o p e r a t i o n a s ; ] . T h u s , T ( w i t h t h e s t r u c t u r e f ) i s a n a l g e b r a w i t h o n e
c o n s t a n t a n d o n e b i n a r y o p e r a t i o n . T h a t f i s a b i j e c t i o n m e a n s t h a t t h i s a l g e b r a
m u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g s y s t e m T o f a x i o m s , w h i c h , f o r l a t e r c o n v e n i e n c e , w e
w r i t e a s g e o m e t r i c s e q u e n t s ( a s d e n e d i n 1 , p a g e 2 5 0 ] o r 7 , S e c t i o n 6 . 5 ] ) , i n d e e d ,
w h e n e v e r p o s s i b l e , a s u n i v e r s a l H o r n f o r m u l a s .
( 1 ) 0 = x ; y ] = ) f a l s e
( 2 ) x ; y ] = x
0
; y
0
] = ) x = x
0
( 3 ) x ; y ] = x
0
; y
0
] = ) y = y
0
( 4 ) t r u e = ) x = 0 _ 9 y 9 z x = y ; z ]
T h e a l g e b r a o f n i t e t r e e s i s i n i t i a l i n t h e v a r i e t y o f a l g e b r a s o f s i g n a t u r e f 0 ; ; ] g ,
a n d , s i n c e i t s a t i s e s t h e a x i o m s o f T , i t i s a l s o i n i t i a l i n t h e c a t e g o r y o f m o d e l s
o f T . A n y m o d e l M o f T c a n b e r e g a r d e d a s a n a l g e b r a o f g e n e r a l i z e d t r e e s , i n
t h a t i t h a s a n e l e m e n t 0 c o r r e s p o n d i n g t o t h e e m p t y t r e e , a n d a l l i t s o t h e r e l e m e n t s
a r e u n i q u e l y o f t h e f o r m y ; z ] a n d c a n t h e r e f o r e b e p i c t u r e d a s c o n s i s t i n g o f a r o o t
w i t h t w o s u b t r e e s , y a n d z , a t t a c h e d t o i t . A m o n g s u c h a l g e b r a s a r e , f o r e x a m p l e ,
t h e c o l l e c t i o n s o f t r e e s i n a n y o f t h e g e n e r a l i z e d s e n s e s m e n t i o n e d a t t h e e n d o f
S e c t i o n 1 .
W e s h a l l p r o v e t h e t h e o r e m b y c o n s t r u c t i n g a s p e c i c t o p o s m o d e l o f L . T h e
h y p o t h e s i s o f t h e t h e o r e m s a y s t h a t i n t h i s m o d e l t h e r e m u s t b e a b i j e c t i o n P ( T ) !
Q ( T ) , a n d a n a n a l y s i s o f w h a t t h i s m e a n s w i l l l e a d t o t h e d e s i r e d c o n c l u s i o n . P e r -
h a p s t h e m o s t n a t u r a l t o p o s m o d e l o f L i s t h e c l a s s i f y i n g t o p o s ( 7 , S e c t i o n 6 . 5 ] )
o f T , w i t h T i n t r e p r e t e d a s t h e g e n e r i c m o d e l i n t h i s t o p o s . F o r t e c h n i c a l r e a s o n s ,
h o w e v e r , i t i s e a s i e r t o w o r k w i t h t h e c l a s s i f y i n g t o p o s o f a s l i g h t l y s t r o n g e r t h e o r y ,
T
0
, o b t a i n e d f r o m T b y a d d i n g t h e f o l l o w i n g a x i o m f o r e v e r y t e r m t t h a t c o n t a i n s
t h e v a r i a b l e x b u t i s n o t j u s t x .
( 5 ) t = x = ) f a l s e
T h i s a d d i t i o n a l a x i o m s c h e m a s a y s t h a t n o ( g e n e r a l i z e d ) t r e e i n a m o d e l o f T
0
c a n
b e a p r o p e r s u b t r e e o f i t s e l f . I t i s s a t i s e d b y t h e i n i t i a l a l g e b r a ( o f n i t e t r e e s ) ,
b u t n o t b y , f o r e x a m p l e , t h e a l g e b r a o f a l l n i t e a n d i n n i t e b i n a r y t r e e s , w h e r e t h e
f u l l b i n a r y t r e e ( e v e r y n o d e o f w h i c h h a s t w o c h i l d r e n ) s a t i s e s x = x ; x ] .
N o t i c e t h a t , a p a r t f r o m m a k i n g t h e p r o o f e a s i e r , t h e a d d i t i o n o f a x i o m s c h e m a
( 5 ) t o T s l i g h t l y i m p r o v e s t h e t h e o r e m . T h e t h e o r e m r e m a i n s t r u e ( w i t h t h e s a m e
p r o o f ) i f w e r e p l a c e L b y t h e s t r o n g e r t h e o r y L
0
w h e r e T i s a s s u m e d t o s a t i s f y ( 5 ) .
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1 4 A N D R E A S B L A S S
T h i s s t r e n g t h e n i n g o f L w e a k e n s t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 4 a n d t h u s s t r e n g t h e n s
t h e t h e o r e m .
A s i n d i c a t e d a b o v e , w e s h a l l w o r k w i t h t h e c l a s s i f y i n g t o p o s E o f T
0
. I n i t , t h e r e
i s a g e n e r i c ( o r u n i v e r s a l ) m o d e l G o f T
0
; t h i s i m p l i e s t h a t , f o r a n y m o d e l M o f
T
0
i n a n y G r o t h e n d i e c k t o p o s F , t h e r e i s a g e o m e t r i c m o r p h i s m : F ! E w h o s e
i n v e r s e i m a g e f u n c t o r
s e n d s G t o M . ( I t i m p l i e s m o r e t h a n t h i s , b u t t h i s , a l o n g
w i t h t h e e x p l i c i t c o n s t r u c t i o n d e s c r i b e d b e l o w , w i l l s u c e f o r o u r p u r p o s e s . ) B e i n g
a G r o t h e n d i e c k t o p o s , E g i v e s a n i n t e r p r e t a t i o n o f h i g h e r o r d e r l o g i c ( a s i n 4 ] )
a n d l o c a l s e t t h e o r i e s ( 1 ] ) , w i t h n a t u r a l n u m b e r o b j e c t , a n d i n t u i t i o n i s t i c Z e r m e l o -
F r a e n k e l s e t t h e o r y ( 5 ] ) , s o b y i n t e r p r e t i n g T a s G w e o b t a i n a m o d e l o f L i n t h e
i n t e r n a l l o g i c o f E . B y t h e h y p o t h e s i s o f T h e o r e m 4 , i t m u s t b e i n t e r n a l l y t r u e i n
E t h a t t h e r e i s a b i j e c t i o n f r o m P ( G ) t o Q ( G ) .
T h e n e x t p a r t o f t h e p r o o f c o n s i s t s o f s t u d y i n g E a n d G i n s u c i e n t d e t a i l t o
d r a w u s e f u l c o n c l u s i o n s f r o m t h i s i n t e r n a l i n f o r m a t i o n . W e b e g i n b y d e s c r i b i n g
E e x p l i c i t l y a s t h e t o p o s o f s h e a v e s o v e r a s p e c i c s i t e . A s e x p l a i n e d i n 9 ] , i t
i s c o n v e n i e n t t o r s t b u i l d t h e c l a s s i f y i n g t o p o s f o r t h e u n i v e r s a l H o r n a x i o m s a n d
t h e n o b t a i n E a s a s h e a f s u b t o p o s . F o r T
0
, a x i o m s ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , a n d ( 5 ) a r e u n i v e r s a l
H o r n s e n t e n c e s . T h e c l a s s i f y i n g t o p o s f o r t h i s s u b t h e o r y i s , a c c o r d i n g t o 2 ] , t h e
t o p o s o f p r e s h e a v e s o n t h e d u a l o f t h e c a t e g o r y A o f n i t e l y p r e s e n t e d m o d e l s o f
( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , a n d ( 5 ) . S o w e n e e d t o a n a l y z e s u c h m o d e l s h A j E i , w h e r e A i s a
n i t e s e t o f g e n e r a t o r s a n d E i s a n i t e , c o n s i s t e n t s e t o f e q u a t i o n s b e t w e e n t e r m s
b u i l t f r o m t h e g e n e r a t o r s , 0 , a n d ; ] .
W e s h o w r s t t h a t e v e r y s u c h m o d e l i s f r e e , i . e . , i s i s o m o r p h i c t o h B i = h B j ; i
f o r s o m e n i t e s e t B . T o s e e t h i s , w e s y s t e m a t i c a l l y s i m p l i f y t h e g i v e n s e t E o f
e q u a t i o n s a s f o l l o w s . ( T e c h n i c a l l y , t h e s i m p l i c a t i o n i s a n i n d u c t i v e p r o c e s s ; a t e a c h
s t e p , w e e i t h e r d e c r e a s e t h e c a r d i n a l i t y o f A o r w e l e a v e t h i s c a r d i n a l i t y u n c h a n g e d
b u t d e c r e a s e t h e t o t a l l e n g t h o f a l l t h e e q u a t i o n s i n E . ) I f 0 o c c u r s a s o n e s i d e o f a n
e q u a t i o n i n E , t h e n t h e o t h e r s i d e m u s t b e 0 o r a m e m b e r o f A ; i t c a n n o t b e o f t h e
f o r m t
1
; t
2
] b e c a u s e t h e n t h e e q u a t i o n w o u l d b e i n c o n s i s t e n t b y ( 1 ) . I f i t i s 0 , t h e n
t h e e q u a t i o n 0 = 0 c a n b e d e l e t e d f r o m E a s i t i s a l w a y s t r u e . I f i t i s a m e m b e r
a o f A , t h e n w e c a n d e l e t e a f r o m A , d e l e t e t h e e q u a t i o n 0 = a ( o r a = 0 ) f r o m
E , a n d r e p l a c e a l l o c c u r r e n c e s o f a i n t h e r e s t o f E b y 0 . T h e r e s u l t i s a s i m p l e r
p r e s e n t a t i o n o f t h e s a m e a l g e b r a . S o w e m a y a s s u m e f r o m n o w o n t h a t 0 d o e s n o t
o c c u r a s a s i d e o f a n e q u a t i o n i n E . S u p p o s e n e x t t h a t a n e l e m e n t a o f A o c c u r s
a s a s i d e o f a n e q u a t i o n i n E . I f t h e o t h e r s i d e i s a l s o a , t h e n t h e e q u a t i o n a = a
c a n s i m p l y b e o m i t t e d . O t h e r w i s e , t h e o t h e r s i d e m u s t b e a t e r m t n o t i n v o l v i n g
a , f o r i f i t i n v o l v e d a t h e n t h e e q u a t i o n w o u l d c o n t r a d i c t ( 5 ) . S o w e c a n d e l e t e a
f r o m A , d e l e t e a = t ( o r t = a ) f r o m E , a n d r e p l a c e a l l o t h e r o c c u r r e n c e s o f a i n
E b y t . A g a i n , w e h a v e a s i m p l e r p r e s e n t a t i o n o f t h e s a m e a l g e b r a . S o w e m a y
a s s u m e t h a t e a c h e q u a t i o n i n E h a s t h e f o r m t
1
; t
2
] = t
3
; t
4
] ; b u t s u c h a n e q u a t i o n
c a n , t h a n k s t o ( 2 ) a n d ( 3 ) , b e r e p l a c e d w i t h t h e t w o e q u a t i o n s t
1
= t
3
a n d t
2
= t
4
,
o f l e s s e r t o t a l l e n g t h . S o a g a i n w e g e t a s i m p l e r p r e s e n t a t i o n o f t h e s a m e a l g e b r a .
R e p e a t i n g t h e s e s t e p s , w e n d t h a t t h e p r o c e s s m u s t t e r m i n a t e , f o r t h e s i z e o f A
c a n n o t d e c r e a s e i n n i t e l y o f t e n , a n d , a f t e r i t s t o p s d e c r e a s i n g , t h e t o t a l l e n g t h o f
E c a n n o t d e c r e a s e i n n i t e l y o f t e n . B u t t h e o n l y w a y t h e p r o c e s s c a n s t o p i s i f E
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S E V E N T R E E S I N O N E 1 5
h a s b e c o m e e m p t y . T h i s p r o v e s t h a t h A j E i i s i s o m o r p h i c t o h B j ; i f o r s o m e B
( a s u b s e t o f A ) .
B y v i r t u e o f t h i s s i m p l i c a t i o n , w e m a y r e g a r d A a s c o n s i s t i n g o f o n l y t h e f r e e
a l g e b r a s h A i o n n i t e s e t s A o f g e n e r a t o r s . W e m a y a l s o s u p p o s e t h a t t h e o n l y s e t s
A o c c u r r i n g a r e o f t h e f o r m f 1 ; 2 ; : : : ; k g f o r n a t u r a l n u m b e r s k , s i n c e e v e r y A i s
i s o m o r p h i c t o o n e o f t h e s e . W e w r i t e h k i f o r h f 1 ; 2 ; : : : ; k g i .
T h e e l e m e n t s o f h k i a r e t h e v a r i a b l e - f r e e t e r m s o f t h e l a n g u a g e h a v i n g t h e c o n -
s t a n t s y m b o l 0 , t h e b i n a r y o p e r a t i o n ; ] , a n d c o n s t a n t s y m b o l s f o r t h e g e n e r a t o r s
1 ; 2 ; : : : ; k . T h e y c a n b e i d e n t i e d w i t h t r e e s i n w h i c h l e a v e s m a y ( b u t n e e d n o t ) b e
l a b e l e d w i t h i n t e g e r s i n t h e r a n g e f r o m 1 t o k . S o t h e y a r e l i k e p a t t e r n s ( d e n e d i n
S e c t i o n 1 ) e x c e p t f o r t h e r e s t r i c t i o n o n t h e p o s s i b l e l a b e l s a n d t h e f a c t t h a t s e v e r a l
l e a v e s a r e a l l o w e d t o h a v e t h e s a m e l a b e l . W e c a l l t h e m k - l a b e l e d t r e e s . N o t e i n
p a r t i c u l a r t h a t t h e m e m b e r s o f h 0 i a r e s i m p l y t h e t r e e s .
A m o r p h i s m i n A f r o m h k i t o h l i i s , s i n c e h k i i s f r e e , s i m p l y a m a p f r o m
f 1 ; 2 ; : : : ; k g i n t o h l i , i . e . , a k - t u p l e o f l - l a b e l e d t r e e s . T o c o m p o s e t h i s w i t h s o m e
h l i ! h m i , i . e . , w i t h a n l - t u p l e o f m - l a b e l e d t r e e s , t a k e t h e k - t u p l e o f l - l a b e l e d
t r e e s a n d r e p l a c e , i n e a c h o f i t s c o m p o n e n t t r e e s , e a c h l e a f l a b e l e d j w i t h t h e j t h
m - l a b e l e d t r e e i n t h e g i v e n l - t u p l e . T h e i d e n t i t y m o r p h i s m o f h k i i s t h e k - t u p l e
w h o s e i t h m e m b e r i s a s i n g l e n o d e l a b e l e d i .
T h e t o p o s o f s e t - v a l u e d f u n c t o r s o n A i s t h e c l a s s i f y i n g t o p o s f o r t h e u n i v e r s a l
H o r n t h e o r y a x i o m t i z e d b y ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , a n d ( 5 ) . T h e u n i v e r s a l m o d e l U i s t h e
u n d e r l y i n g s e t f u n c t o r . F o r d e t a i l s a b o u t t h i s , s e e f o r e x a m p l e 2 ] .
T o o b t a i n t h e c l a s s i f y i n g t o p o s f o r t h e f u l l t h e o r y T
0
, w e m u s t p a s s t o t h e s u b t o -
p o s o f s h e a v e s f o r t h e G r o t h e n d i e c k t o p o l o g y \ f o r c i n g " t h e r e m a i n i n g a x i o m , ( 4 ) .
S e e 9 , 1 1 ] f o r m o r e i n f o r m a t i o n a b o u t f o r c i n g t o p o l o g i e s . I n t h e c a s e a t h a n d , t h e
t o p o l o g y i n q u e s t i o n i s t h a t d e s c r i b e d i n P a r t ( 1 ) o f t h e f o l l o w i n g l e m m a , w h o s e
o t h e r p a r t s g i v e u s e f u l a l t e r n a t i v e w a y s o f v i e w i n g t h i s t o p o l o g y . I n c o n n e c t i o n
w i t h P a r t s ( 2 ) a n d ( 3 ) o f t h e l e m m a , r e c a l l t h a t i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 w e
i n t r o d u c e d , f o r a n y p o l y n o m i a l P ( X ) , a s e t S
n
( P ) o f t a g g e d t u p l e s o f p a t t e r n s ; w e
s h a l l n e e d t h i s f o r t h e p o l y n o m i a l s X
k
. I n t h i s s p e c i a l c a s e o f m o n o m i a l s , a l l t a g s
a r e 1 , s o t h e y c a n b e o m i t t e d , a n d a l l t h e t u p l e s a r e k - t u p l e s . S o t h e e l e m e n t s o f
S
n
( X
k
) c a n b e t a k e n t o b e s i m p l y k - t u p l e s o f p a t t e r n s a n d t h u s , b y s u i t a b l e c h o i c e
o f l a b e l s , m o r p h i s m s h k i ! h l i f o r c e r t a i n l ' s .
L e m m a . T h e f o l l o w i n g f o u r G r o t h e n d i e c k t o p o l o g i e s o n t h e d u a l o f A c o i n c i d e .
( 1 ) T h e s m a l l e s t t o p o l o g y f o r w h i c h h 1 i i s c o v e r e d b y t h e s e t o f t w o m o r p h i s m s
h 1 i ! h 0 i : 1 7! 0 a n d h 1 i ! h 2 i : 1 7! 1 ; 2 ]
( 2 ) T h e s m a l l e s t t o p o l o g y i n w h i c h , f o r e a c h n , e a c h h k i i s c o v e r e d b y t h e s e t
S
n
( X
k
) .
( 3 ) T h e t o p o l o g y w h e r e t h e c o v e r i n g s i e v e s o f a n y h k i a r e t h o s e s i e v e s t h a t i n -
c l u d e S
n
( X
k
) f o r s o m e n .
( 4 ) T h e t o p o l o g y w h e r e t h e c o v e r i n g s i e v e s o f a n y h k i a r e t h o s e s i e v e s t h a t i n -
c l u d e a n i t e f a m i l y o f m a p s h k i ! h l
i
i s u c h t h a t e v e r y m a p h k i ! h 0 i
f a c t o r s t h r o u g h a m a p f r o m t h e n i t e f a m i l y .
( I t i s p a r t o f t h e a s s e r t i o n o f t h e l e m m a t h a t t h e c o l l e c t i o n s o f s i e v e s d e s c r i b e d i n
8/2/2019 7trees.ps
16/20
1 6 A N D R E A S B L A S S
( 3 ) a n d ( 4 ) a r e t o p o l o g i e s . )
P r o o f . W e r s t s h o w t h a t t h e f a m i l y o f s i e v e s i n d e s c r i b e d i n ( 4 ) i s a G r o t h e n d i e c k
t o p o l o g y . I t c l e a r l y c o n t a i n s t h e m a x i m a l s i e v e o n a n y o b j e c t ( u s e t h e f a m i l y
c o n s i s t i n g o f j u s t t h e i d e n t i t y m a p ) . I f i t c o n t a i n s a s i e v e R o n h k i , w i t n e s s e d b y
a n i t e f a m i l y o f h k i ! h l
i
i a s i n ( 4 ) , a n d i f f : h k i ! h m i i s a n y m o r p h i s m ,
t h e n t h o s e p u s h o u t s o f t h e h k i ! h l
i
i a l o n g f t h a t e x i s t i n A w i t n e s s t h a t ( 4 )
a l s o c o n t a i n s t h e s i e v e o f m o r p h i s m s o u t o f h m i w h o s e c o m p o s i t e s w i t h f a r e i n
R , i . e . , t h e p u l l b a c k o f R a l o n g f i n t h e s e n s e o f t h e d u a l c a t e g o r y . ( W e u s e h e r e
t h a t , f o r a n y p a i r o f m a p s i n A w i t h t h e s a m e d o m a i n , i f t h e y c a n b e c o m p l e t e d
t o a c o m
