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UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGIA Y METALURGIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS
MODELO DE TRANSPORTE
ING° ARNALDO RUIZ CASTRO
AGOSTO 2013
DEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTEEl modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de
una mercancía o producto de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
APLICACIONES DEL MODELO DE TRANSPORTES A LA MINERIA1. Asignación de Personal.
Realiza la distribución óptima del personal en relación con el puntaje de evaluación que obtienen para coberturar una plaza de trabajo de mayor dominio del mismo.
2. Asignación de Equipos y Maquinarias.
Establece el criterio de disposición adecuada de las maquinarias y equipos operativos, lo que permitirá cumplir con las metas trazadas de producción y minimizar los costos correspondientes.
3. Implementación con Activos Fijos.
Determina la elección apropiada de equipos y maquinarias, esto es equipos o maquinarias de las operaciones unitarias y auxiliares, a las actividades que deben realizar dependiendo de las condiciones operativas y climáticas.
4. Determinación de Equipos de Acarreo.
Establece la decisión de la selección de equipos de acarreo que son los más económicos para el acarreo de los productos terminados de la empresa.
5. Asignación de Equipos de Fleteo.
Permite que la empresa determine los equipos de transporte que deben enviarse a los procesos de producción y transporte masivo de productos para minimizar la distancia total entre los terminales y plantas de procesamiento.
6. Eficiencia del Sistema de Transporte.
Optimiza los costos de operación más bajos de las plantas a los centros de acopio y mantiene los costos totales mínimos de los almacenes a los centros de operación
7. Determinación de la Contribución Optima.
Además de la minimización de costos también se aplica a la maximización de la contribución de los productos obtenidos
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un circulo (nodo, evento o suceso), el arco que une la fuente y un destino representan la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta (producción, disponibilidad, etc.) en la fuente i es ai, y la demanda (consumo, requerimientos, etc.) en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.
Si Xij representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:
Diagrama de un Modelo de Transporte
1
2
m
1
2
n
a1
a2
am
b1
b2
bn
FUENTES DESTINOS
Un
idad
es
de
Ofe
rta
Un
idad
es
de
Dem
an
da
… …
X11; C11
Xmn; Cmn
m n
Minimizar Z= C i j X i j
i=1 j=1
Sujeto a: n X i j ≤ ai, i = 1,2,…, m j=1
m
X i j ≥ bj,j = 1,2,…, n i=1
X i j ≥ 0 para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta m
total ai, debe ser cuando menos igual a la demanda total i=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total,j=1
la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:
X i j = ai, i=1,2,..., m
X i j = bj, j=1,2,..., n
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del equilibrio y también sus implicaciones prácticas.
FLUJOGRAMA GENERAL EN UN MODELO DE TRANSPORTRE
MODELO IMPERFECTO
El cual se establece generalmente en la vida real
MODELO PERFECTO
Se iguala la oferta y la demanda, mediante fuentes o destinos de holgura
METODO DE SOLUCION
Hallar la solución básica factible.
Hallar la Solución óptima
SOLUCIONINTERPRETACION
Interpretar la solución teórica frente a la realidad
FLUJOGRAMA DE SOLUCION EN UN MODELO DE TRANSPORTRE
SOLUCION BASICA FACTIBLE
Métodos:Esquina NoroesteCosto MínimoVoguel
INTERPRETACION
OPTIMIZACIONSOLUCION
OPTIMA
Métodos:AlgebraicoHeurísticoModi
Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)
Una Empresa minera tiene plantas de procesamiento de minerales metálicos en Huancavelica, en la Sierra de Lima y en Ancash. Sus centros de distribución principales son El Callao y Huarmey. Las capacidades de las plantas durante el trimestre próximo son 1,000, 1,500, y 1,200 toneladas métricas secas (TMS). Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son de 2,300 y 1,400 TMS. El costo del transporte por tonelada métrica por vía terrestre es de ocho centavos de dólar ($0.08) por kilómetro. El cuadro de las distancias (en kilómetros), recorridas entre las plantas y los centro de distribución son:
Callao Huarmey
Huancavelica 1,000 2,690
Sierra de Lima 1,250 1,350
Ancash 1,275 850
Esto determina el costo por TMS, bajo las consideraciones de 8 centavos de dollar por kilómetro, los siguientes valores (redondeados a enteros), que representan a Cij del modelo original:
Callao Huarmey
Huancavelica 80 215Sierra de Lima 100 108Ancash 102 68
Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de distribución, hacemos que Xij represente las TMS transportadas de la fuente i al destino j. Como la oferta total (1,000 + 1,500 + 1,200 = 3,700) es igual a la demanda (2,300 + 1,400 = 3,700), el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.
La simulación genérica de este sistema de transporte es el siguiente:
X 11 X 12 = 1,000
X 21 X 22 = 1,500
X 31 X 32 = 1,200
X 11
X 21 X 31 = 2,300
X 12 X 22 X 32 = 1,400
X i j para todas las i y j
Minimizar Z = 80X 11 + 215X 12 + 100X 21 + 108X 22 + 102X 31 + 68X 32
Sujeto a:
Un método mas adecuado para representar el modelo de transporte consiste en utilizar la denominada tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo Cij se resumen en la esquina noreste de la celda de la matriz (i, j). De este modo, el modelo queda representado en la tabla siguiente:
X11 X12
X21 X22
X31 X32
80 215
100 108
102 68
HUANCAVELICA (1)
SIERRA DE LIMA (2)
ANCASH (3)
FUENTE CALLAO (1) HUARMEY (2)
DESTINO
OFERTA
1,000
1,500
1,200
DEMANADA 2,300 1,400
Ejemplo 2 (Modelo de Transporte en Desequilibrio).
En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de la Sierra de Lima es de 1,300 TMS (en vez de 1,500 TMS). Se dice que la situación esta desequilibrada debido a que la oferta total (3,500 TMS) no es igual a la demanda total (3,700 TMS).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de manera que distribuya la cantidad faltante(3,700 – 3,500 = 200) en forma optima entre los centros de distribución.
Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución. Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.
La única información que falta para completar el modelo son los “costos de transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero. Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.
Callao Huarmey Oferta
Huancavelica 80 215 1 000
Sierra de Lima 100 108 1 300
Ancash 102 68 1 200
Planta ficticia 0 0 200
SOLUCION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.En esta sección presentamos los detalles para resolver el
modelo de transporte.
TECNICA DE TRANSPORTE.
Los pasos básicos de la técnica de transporte son:
Paso 1: Determínese una solución factible.
Paso 2: Determínese la variable que entra, que se elige entre las variables no básicas. Si todas estas variables satisfacen la condición de optimidad (del método simplex), deténgase; de lo contrario, diríjase al paso 3.
Paso 3: Determínese la variable que sale (mediante el uso de la condición de factibilidad) de entre las variables de la solución básica actual; después obténgase la nueva solución básica. Regrese al paso 2.
OBTENCIÓN DE SOLUCIONES BÁSICAS FACTIBLES PARA PROBLEMAS DE TRANSPORTES
Podemos obtener una solución básica factible (sbf) para un problema de transporte balanceado mediante el método de la esquina Noroeste, el método de costo mínimo, o el método de Vogel.
Para obtener una sbf mediante el método de la esquina noroeste, empiece en la esquina superior izquierda del cuadro del transporte y asigne a X11 el máximo valor posible (esto es, el menor valor entre la oferta la demanda) .
Naturalmente, X11 no puede ser mayor que el menor valor ai y sí X11 = a1 tache el primer renglón del cuadro de transporte; Esto indica que si habrá más variables básicas del renglón 1 del cuadro. También b1-a1. Si X11= b1, tache la primera columna
del cuadro de transporte y cambie a1 = b1.
Si X11= a1 = b1, tache o el renglón 1, o la columna 1 (pero no ambos), del cuadro de transporte. Si tacha el renglón 1, cambie b1 por cero; si tacha columna 1, cambie a1 por 0.
Continúe aplicando este procedimiento a la celda más noroeste del cuadro que no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.
Finalmente, llegara un momento en el cual solo queda una celda a la cual se puede asignar un valor.
Asigne a esta celda un valor igual a la oferta de su renglón o a la demanda de su columna, y tache el renglón y la columna de la celda. Se obtiene de esta manera una solución básica factible.
METODO DE ESQUINA NOROESTECaracterísticas:
• Sencillo y fácil de aplicar
• No tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones
• Generalmente nos deja lejos del óptimo.
La determinación general del modelo de transporte requiere que: m n
ai = bj i=1 j=1
Este requisito da origen a una ecuación dependiente, lo que significa que el modelo de transporte tiene sólo m + n –1 ecuaciones independientes. Por lo tanto, como en el método simplex, una solución factible básica inicial debe incluir m + n – 1 variables básicas.
Normalmente, si el modelo de transporte se formula como una tabla simplex, sería necesario utilizar variables artificiales para asegurar una solución básica inicial. Sin embargo, cuando se utiliza la tabla de transporte, una solución factible básica inicial se puede obtener fácil y directamente. Presentamos un procedimiento llamado regla de la esquina noroeste para este fin.
La siguiente tabla establece un ejemplo que ha sido establecido por un problema que condiciona los siguientes datos, de oferta, demanda y costos, que debe ser resuelto por el método de la esquina noroeste.
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 15
X11 X12 X13 X14
2
12 7 9 20 25
X21 X22 X23 X24
3
0 14 16 18 5
X31 X32 X33 X34
Demanda 5 15 15 10
El procedimiento que se acaba de describir se aplica ahora en el ejemplo:
1. X11 = 5, se tacha la columna 1. Por lo tanto, no se puede hacer otra asignación en la columna 1. La cantidad que falta en el renglón 1 son 10 unidades.
2. X12 = 10, se tacha el renglón 1 y faltan 5 unidades en la columna 2.
3. X22 = 5, se tacha la columna 2 y faltan 20 unidades en el renglón 2.
4. X23 = 15, se tacha la columna 3 y faltan 5 unidades en el renglón 2.
5. x24 = 5, se tacha el renglón 2 y faltan 5 unidades en la columna 4.
6. X34 = 5, se tacha el renglón 3 o la columna 4. Como sólo un renglón o una columna se mantienen sin tachar, el proceso llega a su fin.
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 10
X11 = 5 X12 X13 X14
2
12 7 9 20 25
X21 X22 X23 X24
3
0 14 16 18 5
X31 X32 X33 X34
Demanda 0 15 15 10
PASO 1
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 0
X11 = 5 X12 = 10 X13 X14
2
12 7 9 20 25
X21 X22 X23 X24
3
0 14 16 18 5
X31 X32 X33 X34
Demanda 0 5 15 10
PASO 2
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 0
X11 = 5 X12 = 10 X13 X14
2
12 7 9 20 20
X21 X22 = 5 X23 X24
3
0 14 16 18 5
X31 X32 X33 X34
Demanda 0 0 15 10
PASO 3
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 0
X11 = 5 X12 = 10 X13 X14
2
12 7 9 20 5
X21 X22 = 5 X23 = 15 X24
3
0 14 16 18 5
X31 X32 X33 X34
Demanda 0 0 0 10
PASO 4
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 0
X11 = 5 X12 = 10 X13 X14
2
12 7 9 20 0
X21 X22 = 5 X23 = 15 X24 = 5
3
0 14 16 18 5
X31 X32 X33 X34
Demanda 0 0 0 5
PASO 5
Destino
1 2 3 4 Oferta
Fuente
1
10 0 20 11 0
X11 = 5 X12 = 10 X13 X14
2
12 7 9 20 0
X21 X22 = 5 X23 = 15 X24 = 5
3
0 14 16 18 0
X31 X32 X33 X34 = 5
Demanda 0 0 0 0
PASO 6
Las soluciones iniciales de las dos últimas tablas incluyen el número adecuado de variables básicas, o sea, m + n - 1 = 6. La regla de la esquina noroeste produce siempre el número adecuado de variables básicas.
La solución básica inicial resultante es la siguiente:
Las variables básicas son x11 =5, x12 =10, x22 = 5, x23 =15, x24 =5 y x34 = 5. Las variables restantes son no básicas en el nivel cero. El costo de transporte asociado es:
Z = 5 x 10 +10 x 0 + 5 x 7+ 15 x 9 + 5 x 20 +5 x 18 = $ 410.
1 2 3 4
1 5 10 15
2 5 15 5 25
3 5 5
5 15 15 10
OFERTA
DEMANDA
MODELO DEL COSTO MINIMO
Características Es más elaborado que el método de la esquina noroeste Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones Generalmente nos deja alejados del óptimo.
Operatividad
Asígnese el más grande valor posible a la variable con el menor costo unitario de toda la tabla. Táchese el renglón o columna satisfecha. Después de ajustar la oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachados, repítase el proceso asignando el valor más grande posible a la variable con el costo unitario mas pequeño no tachado. El procedimiento esta completo cuando queda exactamente un reglón o bien una columna sin tachar.
MODELO DEL COSTO MINIMO
1 2 3 4
1 10 0 20 1115
2 12 7 9 2025
3 0 14 16 185
5 15 15 10
PROCEDIMIENTO DEL MODELO DEL COSTO MINIMO
1 2 3 4
1 10 0 20 1115
2 12 7 9 2025
3 0 14 16 185
5 15 15 10
0
0 0
0
0 0
00
0
5
0
0
0
15
1015
0
10 0
0
METODO DE VOGEL.Características Es más elaborado que los anteriores, más técnico y dispendioso. Tiene en cuenta los costos, las ofertas y las demandas para hacer
las asignaciones. Generalmente nos deja cerca al óptimo.
El método comienza calculando por cada columna y por cada fila el castigo o penalidad. El castigo se calcula como la diferencia entre los dos costos menores en la columna o en la fila según corresponda. A continuación, se determina la fila o columna con un mayor valor de castigo. Luego, se selecciona como variable basal la celda con menor costo de la fila o columna, según corresponda, y se le asigna la máxima cantidad posible. Una vez realizada la asignación, se descarta la fila o columna cuya oferta o demanda haya sido completa. Se recalcula la demanda u oferta disponible en la fila o columna. La primera asignación se ha completado.
Se vuelven a calcular los castigos por fila y por columna y se repite el procedimiento descrito hasta completar las asignaciones posibles en el tableau.
La ventaja del método de Vogel por sobre el de la Esquina Noroeste es que va adelante algunas iteraciones y por lo tanto se obtiene una solución inicial mejor. Eventualmente puede ocurrir que aplicando el método se llegue directamente a la solución optima. La desventaja del método de Vogel radica en que sin duda es más complejo que el de la esquina noroeste, por lo tanto es más difícil de implementar y más proclive a errores en la aplicación.
Para ilustrar la aplicación del método veamos un ejemplo. Consideremos el siguiente tableau de transporte:
OFERTA
DEMANDA
10
15
15 5 5
6 87
15 80 78
De acuerdo al método, en primer lugar se calculan los castigos por fila y por columna:
OFERTA
DEMANDA
10
1515 5 5
6 87
15 80 78
CASTIGO
7-6=1
78-15=63
CASTIGO 9 73 70
5555
OFERTA
DEMANDA
5
1515 0 5
6 87
15 80 78
CASTIGO
8-6=2
78-15=63
CASTIGO 9 - 70
El mayor castigo entre las y columnas se encuentra en la segunda columna. De ambas celdas, la de mínimo costo es la de costo unitario de 7, buscando la máxima asignación por fila y por columna controla la columna con una asignación máxima de 5 unidades.
5
x
5555
OFERTA
DEMANDA
0
15
15 0 5
6 87
15 80 78
CASTIGO
-
-
CASTIGO 9 - -
De los castigos recalculados, el mayor corresponde a la tercera columna. En este caso la celda de menor costo es la de la primera fila. Verificando la asignación máxima por fila y por columna, controla la fila con una asignación máxima de 5 unidades.
5
x
5
x
5555
OFERTA
DEMANDA
0
15
15 0 5
6 87
15 80 78
CASTIGO
-
-
CASTIGO - - -
Luego, el único castigo disponible (y por lo tanto el mayor) corresponde a la primera columna. En este caso, el mínimo costo corresponde a la primera fila. La máxima cantidad posible a asignar por columna es 15, pero por fila es 0. Por lo tanto, debemos asignar 0 unidades a la celda de menor costo.
5
x
5
x
0
5555
OFERTA
DEMANDA
0
0
0 0 5
6 87
15 80 78
CASTIGO
-
-
CASTIGO - - -
Finalmente, no es posible calcular castigos y debemos asignar las unidades disponibles a la única celda libre. Luego:
5
x
5
x
0
15
Nótese que el numero de asignaciones es exactamente igual a m+ n - 1 = 2 + 3 - 1 = 5. Eventualmente, el método puede generar un número inferior de asignaciones. En dicho caso se completa las m + n - 1 asignaciones con ceros. En el caso de que falte solo una asignación, se puede ubicar un cero en cualquier casilla no asignada. En el caso que se requiera de dos o más ceros, la asignación no es tan arbitraria.
SOLUCION OPTIMA EN PROBLEMAS DE TRANSPORTE
En el siguiente problema de transporte obtener la solución óptima.
FUENTESDESTINOS OFERTA
1 2 3 4
110*
0* 20* 11*
15
212*
7* 9* 20*
25
30*
14* 16* 18*
5
DEMANDA 5 15 15 10
Los números marcados con asteriscos son los costos unitarios de transporte.
SOLUCION OPTIMA DE PROBLEMAS DE TRANPORTE
Se requiere determinar cuántos artículos enviar de cada fuente a cada destino con el mínimo costo.
PASO 1. ¿Oferta y demandas iguales?
Si --- Continuar
No -- ¿Mucha Oferta? Usar un cliente ficticio para igualar la oferta a la demanda.
¿Mucha demanda? Usar una fuente ficticia para igualar la oferta a la demanda.
En nuestro caso tememos: OFERTA = 15+25+5= 45 unidades.
DEMANDA = 5+15+15+10 = 45 unidades.
PASO 2. Se debe determinar una solución factible inicial. Como se manifestó anteriormente existen tres métodos: Esquina Noroeste, Costo Mínimo y Aproximación de Vogel.
SOLUCION OPTIMA DE PROBLEMAS DE TRANPORTE
Utilizamos el método de la esquina Noroeste
FUENTESDESTINOS
OFERTA
1 2 3 3
110*
50*
1020* 11*
15
212*
7*
59*
1520*
525
30*
14* 16* 18*
55
DEMANDA 5 15 15 10
SOLUCION OPTIMA DE PROBLEMAS DE TRANSPORTE
MODELO DE ASIGNACION
El modelo de asignación es una variación del modelo o método de transporte.
Muchas de las situaciones en la vida exigen una de dos respuestas posibles: si o no. Así es que podemos representar éstas posibilidades con los valores 0 (no) y 1 (si), y aprovechar las matemáticas para predisponer soluciones a decisiones difíciles; a esto es lo que se denomina Programación Binaria.
Una de las muchísimas aplicaciones de la Programación Binaria, es el problema de la Asignación. Este método analiza el problema de asignar un cierto número de recursos a un determinado número de tareas, con base en algún tipo de valoración para cada recurso. Cada recurso, podrá ser asignado a una sola tarea.
Se debe asignar el recurso i a la tarea j ? Si o no? He ahí la cuestión, =p
Apliquemos este sistema de modelamiento, mediante el siguiente problema:
APLICACIÓN N° 01
La Empresa Minera El Solar dispone de tres vacantes, para realizar procesos programáticos, se cuentan con tres solicitudes, presentados por tres profesionales: Jorge, Karen y Armando. El gerente de recursos humanos, Martin, pidió propuestas de salarios a cada uno de los profesionales para las actividades de capturista de datos, programador y analista de base de datos, que los tres solicitantes podrían realizar. Se sobreentiende que después los tres aceptarán la decisión de Martín sobre quién hará estas actividades. La Tabla N° 01 resume las propuestas de sueldos que cada profesional debe cobrar por realizar las diferentes actividades por hora.
TABLA N° 01
PROPUESTA DE SUELDOS ($/HORA)
Con base en esta información ¿Cómo debe asignar las actividades el gerente de recursos humanos?
PROFESIONAL CAPTURISTA PROGRAMADOR ANALISTAJORGE 160.00 110.00 100.00KAREN 100.00 160.00 110.00
ARMANDO 110.00 130.00 90.00
PASO N° 1.- Modelo de Programación lineal
xij = La asignación del profesional i a la actividad j
Min z = 160 X11+ 110X12 + 100X13 + 100X21 + 160X22 + 110X23 + 110X31 + 130X32 + 90X33
s.a.
Delimitamos a los profesionalesX11 + X12 + X13 = 1X21 + X22 + X23 = 1X31 + X32 + X33 = 1
Delimitamos a las tareasX11 + X21 + X31 = 1X12 + X22 + X32 = 1X13 + X23 + X33 = 1Xij ≥ 0, xij ε {0,1}
PASO N° 2.- Matriz de costos
PASO N° 3.- Solución por medio del Método Húngaro
Reste el número más pequeño de cada fila, esto se llama reducción de la fila. Introduzca los resultados en una nueva matriz
PASO N° 4.- Reste el número más pequeño de la nueva matriz a cada número de la columna, esto se llama reducción de columna. Introduzca los nuevos datos en otra matriz.
PASO N° 5.- Pruebe si puede hacer una asignación óptima. Hágalo mediante la determinación del número mínimo de líneas necesarias para cubrir todos los ceros (horizontales y verticales). Si el número de líneas es igual al número de renglones entonces es posible hacer una asignación.
En este caso, el número de líneas es igual al número de renglones de la matriz por lo tanto podemos hacer una asignación.
En el caso de no cumplir con el numero de columnas y reglones, se realizan los siguientes para lograr estos objetivos.
Si el número de líneas es menor que el número de renglones, modifique la matriz de la siguiente forma:
a)Reste el número no cubierto más pequeño de todos los números no cubiertos de la matriz.
b)Sume el número no cubierto más pequeño a los números que se encuentran en intersección de líneas.
c)Los números cruzados pero que no se encuentren en intersección de líneas permanecen igual.
Repita los pasos 3 y 4 hasta que el número de líneas sea igual al número de renglones de la matriz.
PASO N° 6.- Hacemos las asignaciones una a una en las posiciones que tienen elementos cero, comience con las filas y columnas que tienen un sólo cero. Cada renglón y columna necesita recibir exactamente una asignación, después continúe con los renglones y columnas que no han sido asignados, continúe hasta que todos los renglones y columnas hayan sido asignados.
En nuestro ejemplo asignamos las posiciones X21, X12 y X33.
Interpretación de resultadosEsto se realiza de acuerdo a los datos logrados en el paso 6, del modo siguiente:
Jorge va a ser el programador, Karen la capturista de datos y Armando el analista de base de datos. El costo total será de 110 + 100 + 90 = $300 por hora
PROFESIONAL ACTIVIDAD1 22 13 3
APLICACIÓN N° 02.
Se tienen tres personas (recurso) para asignarlos a tres labores diferentes. Cada uno de ellos puede efectuar cualquiera de las tareas existentes, pero con diferente nivel de especialidad. Sus respectivos jefes los han calificado de 1 a 10, para cada tarea en particular. Por supuesto el objetivo es el de asignar a las personas de manera tal que la calificación en conjunto sea la máxima.
La Tabla N° 02 muestra las calificaciones finales emitidas por los jefes de sección.
CALIFICACIÓN DE OPERARIO POR TAREA Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3
Operario 1 8 6 4Operario 2 9 7 3Operario 3 6 5 7
Nota: También funciona para minimizar. Por ejemplo, en vez de calificación podrían ser tiempos de manufactura de cualquier tipo de productos, y el objetivo sería el de minimizar el tiempo total de manufactura.
Xij = 1 si asignamos el operario i a la tarea j, de lo contrario 0
En éste orden de ideas, nuestro deseo es maximizar la calificación total al asignar los operarios a las diferentes tareas. Max Z = 8X11 + 6 X12 + 4 X13 + 9X21 +7 X22 +3X33 +6X31 +5X32 +7X33
s.a.1. Cada operario sólo puede tener una tarea asignada X11 +X12 +X13 = 1 (Es decir, sólo se puede responder Si una sola vez.) X21 +X22 +X23 = 1
X31 +X32 +X33 = 1
2. Cada tarea puede tener un sólo operario asignado (la restricción anterior no necesariamente garantiza esto, seguro!)
X11 + X21 + X31 = 1
X12 + X22 + X32 = 1
X13 + X23 + X33 = 1
3. La obvia: Xij = 0,1 para toda i y toda j.
Establecemos la solución del problema utilizando el programa EXEL, con el complemento SOLVER, el mismo que puede seguir el siguiente lineamiento:
Las variables de decisión, están localizadas en el rango de celdas B4:D6, como ya habíamos dicho son binarias, van a tomar el valor de 1 si se asigna ese operario a esa tarea, cero de lo contrario. La calificación que se logre está en la celda B2, y es el resultado de sumar el producto de dichas variables con su respectiva calificación en la matriz de abajo. Ya se había dicho que esto se logra fácilmente así: =SUMAPRODUCTO(B4:D6,B9:D11). Como un operario sólo se puede asignar a una tarea, colocamos una columna de Suma (E), ésta es por ejemplo para la celda E4: =B4+C4+D4. Cuando agreguemos las restricciones, ésta columna debe ser igual a uno, pues sólo se puede responder que si una vez, ni más, ni menos. De igual manera agregamos una fila (7), para asegurarnos que a una tarea sólo se asigne un operario, por ejemplo la celda B7: =B4+B5+B6 Deberá ser igual a 1. Ahora en el cuadro de diálogo de los parámetros de Solver, lo colocamos así:
Luego de hacer click en resolver...
La calificación máxima lograda es de 22, se asignó el operario 1 a la tarea 2, el operario 2 a la tarea 1 y el operario 3 a la tarea 3. Para los programas Lineales enteros es muy importante que Solver, esté debidamente configurado para un número suficiente de iteraciones, de tiempo, de precisión y de convergencia, para esto ver los detalles de Solver.
