7/27/2019 A Classifications Quadratic Vector Functions

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MATHEMATICS: F . L . H I T C H C O C K CI A F I = I F [ t y ( X ) + V ( X ) ] - F [ C ( x ) ] I < ew h e n e v e r 1 i s o f c l a s s C ( ' ) , o r c o n t i n u o u s a n d o f c l a s s C ( e x c e p t p o s -s i b l y a t a f i n i t e n u m b e r o f x - v a l u e s , a n d1 * ( x ) I < a , I ( x ) I < , . . . . . . , I j " )( ) I < 6 ( a x S b ) . ( 1 0 )F u r t h e r F h a s a d e r i v a t i v e a t a n y v a l u e x = t w h i c h i s a p p r o a c h e d w i t ho r d e r 2 n ; t h a t i s , i f ^ d o e s n o t c h a n g e s i g n a n d v a n i s h e s e x c e p t o n ani n t e r v a l o f l e n g t h l e s s t h a n h i n c l u d i n g x = } , a n d i f f u r t h e r m o r e

I A ( x ) I < a , I ~ ' ( I < a , . . . . . . , I < ' ( x ) I < , ( 1 1 )t h e n t h e l i m i t

F ' [ ( P ( ) , = l i m0 = oe x i s t s . F u r t h e r t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e q u o t i e n t A F / 8 h w i l l b e b o u n d e df o r a l l c h o i c e s o f a > 0 , h > 0 , ' ( x ) s a t i s f y i n g t h e r e l a t i o n s ( 1 1 ) a n ds u c h t h a t t h e v a l u e s ( x , y , y ' , . . . , y ) ) o n t h e a r c y = - p G , a_ x 6 b ,a r e a l l i n t h e n e i g h b o r h o o d R .

1 V o l t e r r a , L e m o n s s u r l e s e q u a t i o n s i n t E g r a e s , c h . 1 , a r t . 5 : o r h i s L e o o n s s u r e s f o n c -t i o n s d e s l i g n e s , c h . 1 , a r t . 2 .V o l t e r r a , a r t s . V I I a n d 2 , 3 , r e s p e c t i v e l y , o f t h e c h a p t e r s r e f e r r e d t o a b o v e .' S e e J o r d a n , C o w s d ' A n a l y s e , v o l . 1 , p . 2 4 7 .

4 S e e F i s c h e r , A g e n e r a l i z a t i o n o f V o l t e r r a ' s d e r i v a t i v e o f a f u n c t i o n o f a c u r v e , A m e r .J . M a t . , 3 5 , 3 8 5 ( 1 9 1 3 ) .A C L A S S I F I C A T I O N OF Q U A D R A T I C VECTOR FUNCTIONSB y F r a n k L H i t c h c o c kDEPARTMENT OF M A T H E M A T C S , MASSACHUSETTS I N S T I T U T E OF TECHNOLOGY

P r m m a t d t o d h A a d e m y , J a n u a r 9 . 1 9 1 5T h e r e i s p r o b a b l y n o c h a p t e r o f m a t h e m a t i c s m o r e w o r t h y o fa t t e n t i o n , o r m o r e n e g l e c t e d a t p r e s e n t , t h a n t h e t h e o r y o f v e c t o rf u n c t i o n s . I n t h e c a s e o f t h e l i n e a r v e c t o r f u n c t i o n , i t i s t r u e , a g o o dd e a l h a s b e e n f o u n d o u t i n o n e w a y o r a n o t h e r , a n d t h i s b y s o m e o ft h e v e r y g r e a t e s t o f m a t h e m a t i c i a n s . F i r s t i n v e s t i g a t e d i n d e t a i l b yH a m i l t o n ' a n d a g a i n a p p e a r i n g a s C a y l e y ' s m a t r i x o f t h e t h i r d o r d e r , 't h e l i n e a r v e c t o r f u n c t i o n i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h e G r a s s m a n n o p e np r o d u c t ' a n d t h e G i b b s d y a d i c . ' I n G e r m a n y t h e n o n i o n o r t h r e e -

s q u a r e m a t r i x b e a r s t h e n a m e T e n s o r , 5 a w o r d u s e d b y o t h e r s i n a d i f f e r -e n t s e n s e . On t h e o t h e r h a n d , w e m a y m a k e a d e a n s w e e p o f a l l t h e s e

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MATHEMATICS: F . L . HITCHCOCKo p e r a t i o n a l c o n c e p t s a n d , i f i t p l e a s e s u s , d e f i n e a v e c t o r f u n c t i o n a s as e t o f t h r e e a l g e b r a i c f o r m s X , Y , Z , h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l s i n t h r e ev a r i a b l e s x , y , z , w i t h n o t h i n g l e f t o f t h e o r i g i n a l i d e a o f a v e c t o r a s a d i -r e c t e d q u a n t i t y e x c e p t a d e f i n i t e o r d e r i n w r i t i n g t h e t h r e e f o r m sX , Y , Z . T h e o c c u r r e n c e o f t h e s a m e m a t h e m a t i c a l e n t i t y u n d e r s u c h av a r i e t y o f n a m e s a n d a l g o r i s m s i s p e r h a p s t h e n a t u r a l c o n s e q u e n c e o fi t s f u n d a m e n t a l c h a r a c t e r .F r o m w h a t e v e r p o i n t o f v i e w w e p r e f e r t o s t a r t , i t i s w e l l k n o w ni n t h e l i n e a r c a s e t h a t a c o n v e n i e n t c l a s s i f i c a t i o n o f t y p e s m a y b em a d e w i t h r e f e r e n c e t o t h e a x e s o f t h e f u n c t i o n ; a n a x i s o f a l i n e a r v e c -t o r f u n c t i o n t o f a v e c t o r p b e i n g a d i r e c t i o n o f p s u c h t h a t q p a n d pa r e p a r a l l e l , o r b p = g p , w h e r e g i s a m e r e n u m b e r . I n t h e l a n g u a g eo f a l g e b r a i c f o r m s t h i s i s t h e s a m e a s s a y i n g t h a t a n a x i s i s a p o i n t , i nh o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s , s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n s

y Z -zY = O , zX- xZ =, xY -yX =. ( 1 )I n t h e l o n g e r w o r k o f w h i c h t h e p r e s e n t p a p e r i s a n o u t l i n e , a s i m i l a rb a s i s i s t a k e n f o r a c l a s s i f i c a t i o n o f t y p e s o f q u a d r a t i c v e c t o r f u n c t i o n sF p o f t h e v e c t o r p . R e l a t e d m a t h e m a t i c a l p r o b l e m s w h i c h , b y r e a s o no f t h e i r c l o s e k i n s h i p , s u g g e s t t h e s t u d y o f v e c t o r s o f h i g h e r d e g r e ea r e n u m e r o u s . F o r e x a m p l e , i f x , y , z , a n d X , Y , Z , d e n o t e p o i n t s r e -

s p e c t i v e l y i n a f i r s t p l a n e a n d i n a t r a n s f o r m e d p l a n e , t h e v e c t o r F po b v i o u s l y e n o u g h d e f i n e s a g e o m e t r i c p o i n t - t r a n s f o r m a t i o n . T h ew o r k e r w h o l i m i t s h i m s e l f , h o w e v e r , t o s u c h a n i n t e r p r e t a t i o n i n h o m o -g e n e o u s c o 6 r d i n a t e s w i l l l o s e s i g h t o f t h e c o n v e n i e n c e s o f v e c t o r a d d i -t i o n . We m a y w i t h e q u a l e a s e l e t F p d e f i n e a t r a n s f o r m a t i o n i n s p a c eo f t h r e e d i m e n s i o n s w i t h t h e o r i g i n i n v a r i a n t .A s a n o t h e r a p p l i c a t i o n , t h e p r o p e r t i e s o f F p , b y r e a s o n o f t h e i ri n v a r i a n t c h a r a c t e r w i t h r e f e r e n c e t o c h a n g e o f c o o r d i n a t e a x e s , a r ei n t i m a t e l y c o n n e c t e d w i t h t h e w h o l e t h e o r y o f a s e t o f t h r e e a l g e b r a i cf o r m s . T h a t t h e s t u d y o f t h e l i n e a r v e c t o r f u n c t i o n l e d t o t h e d i s -c o v e r y o f v a r i o u s i n v a r i a n t s b e l o n g i n g t o o n e f u n c t i o n o r t o a s y s t e m o fs e v e r a l s u c h f u n c t i o n s , i s w e l l k n o w n . 6A g a i n , t h e s t u d e n t o f c e r t a i n t y p e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i l l f i n dt h a t t h e n o t i o n o f a v e c t o r f u n c t i o n c o m e s r e a d i l y i n t o h i s w o r k . T h ev e r y a p p e a r a n c e o f e q u a t i o n s l i k ed x = d y d z 2- - , ( 2 )X Y Zw h e r e X , Y , a n d Z a r e a l g e b r a i c f o r m s a s a l r e a d y e x p l a i n e d ; o r l i k e( y Z - z Y ) d x + ( z X - x Z ) d y + ( x Y - y X ) d z = 0 ; ( 3 )

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MATHEMATICS: F . L . HITCHCOCKs u g g e s t s t r a n s l a t i o n i n t o s o m e s o r t o f v e c t o r i a l l a n g u a g e . W i t h s p e c i a lr e f e r e n c e t o t h e q u a d r a t i c c a s e , t h e r e e x i s t s e v e r a l l o n g a n d i n t e r e s t i n g ,a l t h o u g h n o t v e r y r e c e n t , F r e n c h m o n o g r a p h s , n o t a b l y o n e b y D a r -b o u x , 7 i n w h i c h h e t a k e s a d v a n t a g e o f t h e c l o s e r e l a t i o n o f e q u a t i o n s( 2 ) a n d ( 3 ) w i t h e a c h o t h e r a n d w i t h t h e e q u a t i o n s , i n n o n - h o m o -g e n e o u s f o r m s , dyYd y Y , z= 1 Z = O . ( 4 )d x XI t f o l l o w s t h a t a v e c t o r f u n c t i o n o f f e r s a r e a d y t o o l f o r i n q u i r i n g i n t ot h e n a t u r e o f t h e f u n c t i o n s d e f i n e d b y a n y e q u a t i o n o f t h e t y p ed y / d x = R , w h e r e R i s a r a t i o n a l f u n c t i o n o f x a n d y . D a r b o u x d o e sn o t g e t much b e y o n d a n e x a m i n a t i o n o f a g r e a t v a r i e t y o f c a s e s w h e r e( 3 ) p o s s e s s e s o n e o r m o r e a l g e b r a i c i n t e g r a l s , o r e l s e can b e b r o u g h tt o d e p e n d o n a R i c c a t i e q u a t i o n . He d o e s s h o w v e r y c l e a r l y t h ew i d e r a n g e o f e v e n t h i s p r o b l e m , i n d i c a t i n g t h e v e r y g e n e r a l c h a r a c t e ro f t h e f u n c t i o n w h i c h w o u l d s a t i s f y ( 4 ) w h e n X a n d Y a r e q u a d r a t i c ss e t d o w n a t r a n d o m . F o r i n s t a n c e , t h e m o s t g e n e r a l h y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s a t i s f i e s a s e c o n d o r d e r e q u a t i o n w h i c h i s a r e s o l v e n t f o r av e r y s p e c i a l c a s e o f ( 4 ) i n t h e R i c c a t i f o r m . D a r b o u x u s e s n o v e c t o ra l g e b r a a s s u c h , b u t h e b r i n g s o u t a n d u s e s a f a c t w h i c h , t r a n s l a t e di n t o v e c t o r l a n g u a g e , i s a s f o l l o w s : T h e a d d i t i o n t o a v e c t o r F p o f a n o t h e rv e c t o r o f t h e f o r m p t , w h e r e t i s a s c a l a r v a r i a b l e , d o e s n o t a l t e r t h ea x e s o f F p . T h i s i s g e o m e t r i c a l l y e v i d e n t . A n a l y t i c a l l y e x p r e s s e d i tm e a n s t h a t i f X , Y , Z , s a t i s f y ( 1 ) w h e n a c e r t a i n s e t o f v a l u e s o f x , y , zi s g i v e n t h e e q u a t i o n s w i l l s t i l l b e s a t i s f i e d b y

X + t x , Y + t y , Z + t z ,w r i t t e n i n s t e a d o f X , Y , Z . T h i s c a n b e v e r i f i e d d i r e c t l y . I n f a c t t h ev a r i a b l e t d i s a p p e a r s a u t o m a t i c a l l y f r o m ( 3 ) . R o u g h l y s p e a k i n g , t h ec o n n e c t i o n o f i d e a s c o n s i s t s i n t h i s , t h a t i f ( 3 ) h a s b e e n c o m p l e t e l ys o l v e d ( w h i c h r e q u i r e s a c e r t a i n n u m b e r o f p a r t i c u l a r s o l u t i o n s ) , t h e nb o t h ( 2 ) a n d ( 4 ) can b e s o l v e d b y q u a d r a t u r e s . I n t h e q u a d r a t i c c a s e ,t h e s c a l a r t t a k e s t h e f o r m S a p , t h a t i s , i t d e p e n d s u p o n a s i n g l e c o n -s t a n t v e c t o r 5 . N ow i f , f o r a v a l u e o f 5 , we c a n f i n d a s o l u t i o n o f ( 4 ) ,o r ( w h a t i s much t h e s a m e h e r e ) , o f t h e p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

x b u + y O U + z O 0 , ( 5 )a x b y b zt h i s s o l u t i o n w i l l b e a p a r t i c u l a r s o l u t i o n o f ( 3 ) . S t a t e d a n o t h e r w a y ,a l l t h e d i f f e r e n t f u n c t i o n s d e f i n e d b y ( 5 ) w h e n a l l p o s s i b l e v a l u e s a r eg i v e n t o t h e v e c t o r 5 c a n b e f o u n d b y q u a d r a t u r e s w h e n ( 3 ) h a s b e e n

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MATHEMATICS: F . L . HITCHCOCKs o l v e d c o m p l e t e l y ; t h e s e f u n c t i o n s c o n s t i t u t e a f a m i l y o r s e t p o s s e s s i n gs o m e g r o u p p r o p e r t i e s , - j u s t h o w f a r t h e y f o r m a g r o u p h a s n o t b e e n i n -v e s t i g a t e d , s o f a r a s I am a w a r e .

T h e a x e s o f t h e v e c t o r f u n c t i o n c o r r e s p o n d t o t h e s i n g u l a r p o i n t so f ( 3 ) , i f we i n t e r p r e t i n h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s . I t i s w e l l k n o w nt h a t t h e s e a r e n 2 + n + 1 i n n u m b e r , 8 w h e n n i s t h e d e g r e e o f t h ef o r m s X , Y , Z . I f n = 2 we t h u s h a v e s e v e n a x e s , i n g e n e r a l .T h e n e c e s s i t y f o r c a r e f u l e x a m i n a t i o n a n d c l a s s i f i c a t i o n o f t y p e s o fq u a d r a t i c v e c t o r f u n c t i o n s a p p e a r s f r o m t h e f a c t t h a t m a n y d i f f e r -e n t i a l e q u a t i o n s l i k e ( 4 ) d o n o t y i e l d v e c t o r s o f t h e m o s t g e n e r a l k i n d ,h a v i n g a l l s e v e n a x e s d i s t i n c t , b u t p o s s e s s m u l t i p l e o r c o i n c i d e n t a x e s o fa l l o r d e r s u p t o s e v e n . To t a k e a s i m p l e e x a m p l e , i f X = x y , Y = y za n d Z = z x , t h e v e c t o r s i , j , a n d k a r e a l l d o u b l e a x e s , a n d i +++ as i n g l e a x i s , t h a t i s , i n h o m o g e n e o u s c o o r d i n a t e s , t h e p o i n t s ( 1 , 0 , 0 , ) ,( 0 , 1 , 0 , ) , a n d ( 0 , 0 , 1 ) , a r e h i g h e r s i n g u l a r i t i e s o f ( 3 ) , a n d ( 1 , 1 , 1 , ) i s a no r d i n a r y s i n g u l a r i t y . B y a p r o p e r c h o i c e o f t , t h a t i s o f 5 , we c a n a d da t e r m p S s p w h i c h s h a l l m a k e Z = 0 , a n d h a v e t h e e q u a t i o n ( 4 ) a sd y_( 1 - x )d x x ( y - x ) 't h e v a l u e o f t b e i n g - x , a n d t h a t o f a b e i n g i . T h e v a r i a b l e s x , y , z t h e m -s e l v e s c o r r e s p o n d t o p a r t i c u l a r s o l u t i o n s o f ( 3 ) . F o u r p a r t i c u l a r s o l u -t i o n s a r e n e e d e d , h o w e v e r , t o c o m p l e t e t h e s o l u t i o n b y q p a d r a t u r e s ;h e n c e t h e r e s t o f t h e f u n c t i o n s o f t h e f a m i l y c a n n o t b e f o u n d b y m e r eq u a d r a t u r e s .A g a i n , a q u a d r a t i c v e c t o r m a y h a v e m o r e t h a n s e v e n a x e s , b u t i fs o i t h a s an i n f i n i t e n u m b e r , a n d e q u a t i o n ( 3 ) m a y b e d i v i d e d t h r o u g hb y a s c a l a r v a r i a b l e . T a k e f o r e x a m p l e o n e o f t h e s i m p l e s t t y p e sf u r n i s h e d b y t h e t e c h n i q u e o f v e c t o r a l g e b r a , v i z . , V p V a p , o r i n G i b b s 'n o t a t i o n p X ( a X p ) . T h i s v e c t o r m a y b e e x p a n d e d a s

p S a p -a p 2 ,w h i c h d i f f e r s f r o m t h e v e c t o r a ( x 2 + y 2 + Z 2 ) o n l y b y t h e t e r m i n p ,h a v i n g no e f f e c t o n t h e a x e s . H e n c e a n y e l e m e n t o f t h e m i n i m a l c o n ep 2 = 0 i s an a x i s , a n d a i s t h e o n l y o t h e r a x i s .T h e m o s t g e n e r a l q u a d r a t i c v e c t o r f u n c t i o n m a y b e v e r y e l e g a n t l yd e f i n e d b y a su m o f t r i a d s , t h a t i s , a t r i a d i c . A s i n g l e t r i a d a f r y m u l -t i p l i e d ( d o t p r o d u c t ) b y a n d i n t o p i s t h e s a m e a s t h e H a m i l t o n i a nv e c t o r # I S a p S y p . E v i d e n t l y f i s an a x i s . A l s o , a n y v e c t o r a t r i g h ta n g l e s e i t h e r t o a o r t o y i s an a x i s . A s a l e s s s p e c i a l e x a m p l e , t h ev e c t o r V q p s p t , w h e r e q , s , t a r e c o n s t a n t q u a t e r n i o n s , h a s i m p o r t a n t

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MATHEMATICS: F . L . HITCHCOCKg e o m e t r i c a l a p p l i c a t i o n s ; H a m i l t o n s h o w e d t h a t i t s p r o p e r t i e s i n c l u d et h o s e o f t h e m o s t g e n e r a l c u b i c c o n e . 9 T h i s v e c t o r c a n n o t b e s o s i m p l ye x p r e s s e d i n a n y o t h e r a l g o r i s m . I t h a s , i n g e n e r a l , a l l i t s a x e sd i s t i n c t ; t w o o f t h e m a r e o n t h e m i n i m a l c o n e p 2 = 0 , a n d a r e e a s i l yf o u n d . T h e o t h e r s a r e d e t e r m i n e d b y a n e q u a t i o n o f t h e f i f t h d e g r e e .I n d e v e l o p i n g a c l a s s i f i c a t i o n o f v a r i o u s t y p e s , I h a v e m a d e c o m -p a r a t i v e l y s l i g h t u s e o f t h e t e c h n i c a l p r o c e s s e s o f v e c t o r a l g e b r a , a n dh a v e b a s e d my s u b c l a s s e s o n c o n f i g u r a t i o n s o f t h e a x e s r a t h e r t h a no n t h e p o s s i b i l i t y o f s i m p l e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n . I t a p p e a r s t h a t ,i n t h e m o s t g e n e r a l t y p e , a n o r m a l f o r m o f v e c t o r i s e a s i l y o b t a i n e d i n t e r m so f t h e a x e s t h e m s e l v e s . I f t h e r e a r e d o u b l e a x e s , b u t n o h i g h e r a x i s ,t h e r e i s s t i l l n o p a r t i c u l a r d i f f i c u l t y , a l t h o u g h t h e n o r m a l f o r m s a r e l e s ss i m p l e . I t i s s h o w n t h a t t h e r e i s o n l y o n e k i n d o f t r i p l e a x i s ; o b v i o u s l y ,a q u a d r a t i c v e c t o r c a n h a v e a t m o s t t w o o f t h e s e . A n o r m a l f o r m o fv e c t o r w i t h t w o t r i p l e a x e s i s d e v e l o p e d , a n d h a s a n u m b e r o f p r o p -e r t i e s i n t h e w a y o f s y m m e t r y . An a x i s o f t h e f o u r t h o r d e r , o n t h eo t h e r h a n d , m a y b e o f t w o k i n d s . Q u a d r a t i c v e c t o r s w i t h a n a x i s o fh i g h e r o r d e r t h a n t h e t h i r d f a l l n a t u r a l l y i n t o t w o f a m i l i e s , a c c o r d -i n g a s t h e a x i s i s o f t h e f i r s t , o r o f t h e s e c o n d k i n d . An a x i s o f t h ef i r s t k i n d i s s h o w n t o c o r r e s p o n d t o a d o u b l e p o i n t common t o a l l t h r e eo f t h e c u b i c c u r v e s d e f i n e d b y e q u a t i o n s ( 1 ) , i f we i n t e r p r e t i n h o m o -g e n e o u s c o o r d i n a t e s . T h e s e c o n d k i n d i s s h o w n t o d e p e n d o n a p a r -t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s a t i s f i e d b y t h e v e c t o r F p . T h i s d i f f e r e n t i a lc o n d i t i o n d e p e n d s i n p a r t o n t h e r e s u l t s o f m y f o r m e r p a p e r s , w h e r et h e p r o p e r t i e s o f a d i f f e r e n t i a l v e c t o r h a v e b e e n d e v e l o p e d . 1 0T e s t s f o r t h e e x i s t e n c e o f a x e s o f a n y o r d e r u p t o , a n d i n c l u d i n gt h e f o u r t h h a v e b e e n g i v e n f o r v e c t o r s o f a n y d e g r e e w h a t e v e r . I nt h e q u a d r a t i c c a s e , n o r m a l f o r m s a r e g i v e n i n c l u d i n g a l l p o s s i b l e t y p e s .T h e e x i s t e n c e o f o v e r o n e h u n d r e d s p e c i a l t y p e s m a k e s i t v e r y d e -s i r a b l e t o h a v e , o n t h e f o r m a l s i d e , t h e m e a n s o f c o v e r i n g i n o n e c o m p a r -a t i v e l y s i m p l e a l g e b r a i c e x p r e s s i o n a s m a n y o f t h e s e t y p e s a s p o s s i b l e , -a n d i n s u c h a w a y t h a t t h e i r p r o p e r t i e s a r e e a s i l y c o r r e l a t e d . T h el a r g e s t n u m b e r o f a d v a n t a g e s f o r t h i s p u r p o s e a p p e a r s t o b e p o s s e s s e db y t h e f o r m V p 9 O p , w h e r e 4 a n d 0 d e n o t e l i n e a r v e c t o r f u n c t i o n s . I nG i b b s ' n o t a t i o n , t h i s i s t h e s a m e a s d e t e r m i n i n g o u r v e c t o r f u n c t i o nb y t h e c r o s s p r o d u c t o f t w o d y a d i c s . B e s i d e s c o m p a c t n e s s o f e x p r e s -s i o n , t h i s v e c t o r p r o d u c t o f f e r s t h e f o l l o w i n g a d v a n t a g e s :1 . I t i s e a s i l y i n t e r p r e t e d a s t h e m o s t g e n e r a l b i r a t i o n a l q u a d r a t i cp o i n t t r a n s f o r m a t i o n i n a p l a n e .2 . I t d i f f e r s f r o m a q u a d r a t i c v e c t o r o f t h e m o s t g e n e r a l t y p e o n l y b ya t e r m i n p , w h i c h , a s a l r e a d y s h o w n , d o e s n o t a l t e r t h e a x e s .

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M A T H E M A T I C S : F . L . HITCHCOCK3 . T h e p r o p e r t i e s o f a q u a d r a t i c v e c t o r a r e m a d e t o d e p e n d o n t h o s eo f l i n e a r v e c t o r s .4 . F o r t h e s t u d y o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i t i s e s p e c i a l l y s u i t e d s i n c e

i t i s a v e c t o r p r o d u c t . E q u a t i o n ( 3 ) t a k e s t h e f a c t o r e d f o r mS p O p V p d p = 0 , o r i n G i b b s ' n o t a t i o n ( O p X O p ) . ( p X d p ) = 0 .5 . T h r e e o f i t s a x e s a r e z e r o s , t h a t i s , f o r t h r e e v a l u e s o f p t h e v e c t o rv a n i s h e s i n a l l i t s c o m p o n e n t s .I t a p p e a r s , t h e r e f o r e , a s a p r o b l e m o f i m p o r t a n c e t o d e t e r m i n e h o wf a r t h e v a r i o u s p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s o f a x e s , i n s p e c i a l t y p e s o f q u a d -r a t i c v e c t o r s , a r e i n c l u d e d a m o n g p o s s i b l e c o n f i g u r a t i o n s o f t h e a x e s o fV i p O p . T h i s i s t h e s a m e a s t h e p r o b l e m o f d e t e r m i n i n g w i t h w h a te x c e p t i o n s a q u a d r a t i c v e c t o r o f w h a t e v e r t y p e o r s u b - t y p e c a n b ew r i t t e n i n t h e f o r m V k p O p + p S 5 p .A t t h i s p o i n t o f t h e i n v e s t i g a t i o n a c e r t a i n d i f f i c u l t y p r e s e n t e d i t s e l f .I t i s e a s y s o t o c h o s e 5 t h a t t h e r e s u l t i n g q u a d r a t i c v e c t o r s h a l l h a v et h r e e z e r o s , d i s t i n c t o r m u l t i p l e ; i f , t h e n , t h e v e c t o r d o e s n o t f a l l i n t o au n i p l a n a r , i . e . , a b i n o m i a l f o r m , i t i s p o s s i b l e t o f a c t o r v e c t o r i a l l y i n t oV o p O p . B u t a b i n o m i a l q u a d r a t i c v e c t o r c a n n o t b e s o f a c t o r e d , h e n c et h e n e c e s s i t y o f e x a m i n i n g a v e r y l a r g e n u m b e r o f c h o i c e s o f a t o f i n dt h o s e w h i c h d o n o t y i e l d a b i n o m i a l . F o r m o s t t y p e s w h e r e s u c h a v e c -t o r 5 c a n b e f o u n d , I h a v e c o n t e n t e d m y s e l f w i t h g i v i n g t h e v a l u e o f t h er e s u l t i n g 5 , s i n c e i t s a c c u r a c y , w h e n f o u n d , i s e a s y t o v e r i f y . I n t h ec a s e s w h e r e n o v a l u e o f 5 c a n b e f o u n d , I h a v e , o f c o u r s e , d e m o n s t r a t e dt h e i m p o s s i b i l i t y .T h e f i n a l r e s u l t i s , o n t h e w h o l e , h i g h l y s a t i s f a c t o r y . I t a p p e a r st h a t t h e f o r m V 4 p O p + p S 6 p i n c l u d e s a l t y p e s o f q u a d r a t i c v e c t o r s e x c e p tt w o s i m p l e s u b - t y p e s b o t h b e l o n g i n g t o t h e f a m i l y h a z i n g a h i g h e r a x i s o ft h e s e c o n d k i n d . N o r m a l f o r m s f o r t h e s e t w o v e r y e x c e p t i o n a l t y p e sh a v e b e e n g i v e n .T h e e x i s t e n c e o f t h e s e e x c e p t i o n s i s d u e t o t h e f a c t t h a t , a s t h e f o r mo f t h e v e c t o r g r o w s m o r e a n d m o r e r e s t r i c t e d , t h e p o s s i b l e c h o i c e s o f 5 ,w h i c h a v o i d t h e b i n o m i a l , d e c r e a s e i n n u m b e r . T h u s i n g e n e r a l t h e r ea r e t h i r t y - f i v e p o s s i b l e v a l u e s o f 5 ; b u t i f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e c o m -p o n e n t s o f a s e t o f t h r e e a x e s v a n i s h e s , t h e n u m b e r f a l l s t o t h i r t y - o n e ;a n d t h e o c c u r r e n c e o f m u l t i p l e a x e s a l s o r e d u c e s t h e n u m b e r . T h ew o n d e r a p p e a r s t o b e , n o t t h a t t h e r e a r e e x c e p t i o n s , b u t t h a t t h e r e a r es o f e w , a n d t h e s e s o s i m p l e .

V a r i o u s p r o p e r t i e s o f q u a d r a t i c v e c t o r f u n c t i o n s a p p e a r b y v i r t u e o ft h e n o r m a l f o r m s w h i c h c h a r a c t e r i z e t h e i r t y p e s . S o m e o f t h e s e b r i n g

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ASTRONOMY: R . E . WILSONo u t p r o p e r t i e s o f t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 3 ) a n d ( 4 ) . F o r e x a m p l e ,i t i s v e r y e a s y t o d e t e r m i n e , w h e n t h e t y p e o f t h e v e c t o r i s k n o w n ,w h e t h e r t h e s e e q u a t i o n s c a n b e s o l v e d b y q u a d r a t u r e s . A g a i n , i t a p -p e a r s t h a t t h e m o s t g e n e r a l e q u a t i o n ( 4 ) n e v e r c o r r e s p o n d s t o t h ev e c t o r f u n c t i o n o f t h e m o s t g e n e r a l t y p e , b u t t o a s l i g h t l y r e s t r i c t e d t y p e .A c o n s i d e r a t i o n o f t h e d e t a i l s o f t h e s e n o r m a l f o r m s w o u l d c a r r y t h ed i s c u s s i o n b e y o n d t h e l i m i t s o f t h e p r e s e n t p a p e r .

1 W . R . H a m i l t o n , L e c t u r e s on Q u a t e r n i o n s , p . 4 8 0 .' A r t h u r C a y l e y , L o n d o n , P k i l . T r a n s . R . S o c . , 4 8 , 1 7 ( 1 8 5 8 ) .' Herman G r s s m a n n , G e s a m m d t e W e r k e ( D i e L i n e a l e A u s d e h n u n g s l e h r e , 1 8 4 4 , 1 7 2 ) .G i b b s - W i l s o n , V e c t o r A n a l y s i s ( 1 9 0 2 ) . A d y a d i c i s a sum o f d y a d t e r m s , w h e r e e a c hd y a d i s a p r o d u c t o f t w o v e c t o r s . When m u l t i p l i e d i n t o t h e v e c t o r p b y d o t , i . e . , s c a l a r ,m u l t i p l i c a t i o n , a s i n g l e d y a d i s e q u i v a l e n t t o a H a m i l t o n i a n t e r m o f t h e f o r m f S a p .W. V o i g t , D i e f u n d a m e n t a l e n E i g e n s c k a f k n d e r K r y s t a U e ( 1 8 9 8 ) .* H a m i l t o n , l o c . c i t . , L e c t u r e V I I . A H a m i l t o n i a n i n v a r i a n t i s a f u n c t i o n o f t h r e e v e c -t o r s w h i c h i s u n a l t e r e d w h e n t h e s e v e c t o r s a r e v a r i e d .D a r b o u x , M t m o i r e s u r l e s E q u a t i o n s D i f f r e n t i e l l e s A l g 6 b r i q u e s , B u l . S c . M a t h . ,P a r i s , 1 3 , 8 3 ( 1 8 7 8 ) .8 C l e b s c h , L e q o n s s u r a G e o m e t r i ( T r . B e n o i s t ) , t . 2 , p . 1 1 3 ; V o r l e s u n g e n t b e r G e o m e t r i c ,B d . 1 , 3 9 0 , 1 0 0 1 .9 H a m i l t o n , E l e m e n t o f Q u a t e r n i o n s , A r t . 4 1 5 .1 0 F . L . H i t c h c o c k , P h i l . M a g . , S e r . 6 , 3 , 5 7 6 ( 1 9 0 2 ) ; I b i d . , 4 , 1 8 7 ( 1 9 0 3 ) . 1ON T H E RADIAL VELOCITIES OF F I V E N E B U L A E I N T H EM AG E LL A NI C C L OU DSB y R a l p h E . W i l s o n

UCK OBSERVATORY. UNIVERSITY OF CALIFORNIAP r e s e t d t o te A c a d m y . F e b r u a r y 1 , 1 9 1 5

I n t h e c o u r s e o f o b s e r v a t i o n s o n t h e v e l o c i t i e s o f a p p r o a c h a n d r e -c e s s i o n ( r a d i a l v e l o c i t i e s ) o f s o u t h e r n n e b u l a e w h o s e s p e c t r a c o n t a i nb r i g h t l i n e s , m a d e w i t h s p e c t r o g r a p h s a t t a c h e d t o t h e 3 7 - i n c h r e f l e c t i n gt e l e s c o p e o f t h e D . O . M i l l s E x p e d i t i o n f r o m t h e L i c k O b s e r v a t o r y ,a t C e r r o S a n C r i s t o b a l , S a n t i a g o , C h i l e , w e h a v e f o u n d t h a t t h e f o l l o w -i n g f i v e n e b u l a e h a v e h i g h r a d i a l v e l o c i t i e s . T h e r e s u l t s d e p e n d u p o nt h e o b s e r v e d p o s i t i o n s o f t h e H o h y d r o g e n l i n e a n d t h e n e b u l i u m l i n e sa t 5 0 0 7 A a n d 4 9 5 9 A , i n e a c h c a s e . T h e v e l o c i t i e s a r e n o t c o r r e c t e d f o rt h e s o l a r m o t i o n .R a d i a l v e l o d c yN e b u l a R i g h t a s c e s i o n D e d i n a i o n k m / s e c . N u m b v r o f l t a s

N . G . C . 1 6 4 4 l h 6 . 2 m - 7 3 4 4 ' + 1 5 8 3N . G . C . 1 7 1 4 4 5 2 . 0 - 6 7 0 6 + 3 0 1 2N . G . C . 2 1 1 1 5 5 2 . 6 -69 3 3 + 2 6 8 2N . G . C . 1 7 4 3 4 5 4 . 6 -69 2 1 + 2 5 4 1N . G . C . 2 0 7 0 5 3 9 . 4 -69 0 9 + 2 7 6 1

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