A COMPARISON OF THE EIGENVALUE EQUATIONS
f L -1 IN h , a , X AND 7 IN REACTOR THEORY. APPLICATION TO FAST AND THERMAL SYSTEMS, IN
L UNREFLECTED AND REFLECTED CONFIGURATIONS
Guillermo Velarde Carolina Ahnert Jose Maria Aragones
MADRID, 1977
8 1 0 8 0 0 0 ~
A COMPARISON OF THE EIGENVALUE EQUATIONS IN k , a , h AND 3 IN REACTOR THEORY.
APPLICATION TO FAST AND THERMAL SYSTEMS, IN UNREFLECTED AND REFLECTED CONFIGURATIONS
Guillermo Velarde Carolina Ahnert Jose Maria Aragones
JUNTA DE ENERGIA NUCLEAR
MADRID, 1977
CLASIFICACION INIS Y DESCRIPTORES
E21 NEUTRON TRANSPORT THEORY EIGENVALUES NEUTRON FLUX FAST NEUTRONS THERMAL NEUTRONS COMPARATIVE EVALUATIONS
Toda correspondencia en relaci6n con es te traba- jo debe dir igirse a1 Servicio de ~ocumentacio 'n Biblioteca : y Publicaciones, Junta de ~ n e r g i a Nuclear, Ciudad Uni- ':* vers i tar ia , Madrid-3, ESPATA.
Las solicitudes de ejemplares deben dir igirse a este mismo Servicio.
Los descriptores s e han seleccionado del Thesauro del INIS para descr ibi r l a s materias que contiene este in- forme con vistas a su recuperacio'n. P a r a m& detalles cog s a t e s e e l informe IAEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indiza- ci6n) y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por e l Or- g a n i s m ~ Internacional de Energfa ~ t 6 m i c a .
i Se autoriza l a reproduccio'n de 10s resiimenes ana-
liticos que aparecen en es ta publicaci6n.
Submitted to the 2oth Meeting of the NUCLEAR ENERGY AGENCY COMMITTEE ON REACTOR PHYSICS, Petten (Nederlands), June 1977.
Este trkbajo s e ha recibido para su impresi6n en Junio de 1977.
Dep6sito legal no M-24411-1977
A COMPARISON OF THE E I G E N V A L U E EQUATIONS I N k , a , A A N D y I N
R E A C T O R T H E O R Y . APPLICATION T O FAST A N D THERMAL SYSTEMS, I N
UNREFLECTED A N D REFLECTED CONFTGURATIONS.
I N T R O D U C T I O N
1.- Theory ( G . Y e l a r d e l
1.1.- I n t e g r o d i f f e r e n t i a l B o l t z m a n n ' e q u a t i o n s o f n e u t r o n
t r a n s p o r t d e p e n d i n g on t i m e .
1.:. 1. - F u n c t i o n s p a c e .
1 . 2 . - C r i t i c a l R e a c t o r
1 . 3 . - V i r t u a l C r i t i c a l R e a c t o r w i t h k .
1.3.1.- A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n k
1 . 3 . 2 . - P h y s i c a l Meaning o f kg.
1 . 4 . - V i r t u a l C r i t i c a l R e a c t o r w i t h A .
1 . k . 1 , - A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n A.
1 . 4 . 2 .- P h y s i c a l Meaning o f A o ,
2 . 5 . - V i r t u a l C r i t i c a l R e a c t o r w i t h y .
1 . 5 . 1 . - A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n y .
t . 5 . 2 . - P h y s i c a l Meaning o f y o .
<' 1 . 6 . - V i r t u a l C r i t i c a l R e a c t o r w i t h a .
1 . 6 . 1 . - A n a l y s i s ' o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n a .
i . 6 . 2 . - F l u x d e t e r m i n a t i o n .
1 . 7 . - R e l a t i o n be tween a c r i t i c a l r e a c t o r and a v i r t u a l c r i -
t i c a l r e a c t o r w i t h k , A , y and a .
ii .
2 . - C a l c u l a t i o n Method. ( C . A h n e r t , J.M. A r a g o n g s ) ,
2 . 1 . - Cross S e c t i o n s D e t e r m i n a t i o n .
2 .:.I.- U n r e f l e c t e d f a s t s y s t e m s .
2 . 1 . 2 . - R e f l e c t e d f a s t s y s t e m s .
2 . 1 . 3 . - U n r e f l e c t e d t h e r m a l s y s t e m s .
2 . 2 . 4 . - R e f 3 e c t e d t h e r m a l s y s t e m s .
2 . 2 . - M o d i f i c a t i o n s and u t i l i z a t i o n o f DTF-IY
3 . - C a l c u l a t i o n s and C o n c l u s i o n s . C C . A h n e r t l .
3 . 1 . - Sys tem s p e c i f i c a t i o n s .
3 .2 . - S p e c t r a l p a r a m e t e r s .
3 . 2 . 1 , - Average s p e c t r a l i n d e x .
3 . 2 . 2 . - Average n e u t r o n v e l o c i t y .
3 . 2 . 3 . - Average <v I f> 3 .2 .4 . - G e n e r a t i o n t i m e A.
3 . 2 . 5 . - I n f i n i t e m u l t i p l i c a t i o n c o n s t a n t km.
3 . 3 . - C o n c l u s i o n s .
3 . 3 . 1 . - F a s t Sys tem.
3 . 3 . 1 . 1 . - E i g e n v a l u e s .
3 . 3 . 1 . 2 . - S p e c t r a l i n d e x e s .
3 . 3 .:. 3. - C o n c l u s i o n s . 235
3 . 3 . 2 . - Thermal s y s t e m of U . 3 .3 .2 .1 .- E i g e n v a l u e s
3 .3 .2 .2 . - S p e c t r a l i n d e x e s ,
3 . 3 . 2 . 3 . - C o n c l u s i o n s . 239
3 . 3 . 3 . - Thermal s y s t e m of Pu . 3 . 3 . 3 . 1 . - E i g e n v a l u e s .
3 . 3 . 3 . 2 . - S p e c t r a l i n d e x e s .
3 . 3 . 3 . 3 . - C o n c l u s i o n s .
4 .- R e f e r e n c e s .
I N T R O D U C T I O N .
Using t h e c o n c e p t o f v i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r a s s o c i a t e d t o
t h e r e a l r e a c t o r i n a d e t e r m i n a t e d moment, t h e t e m p o r a l Bol tzmann
e q u a t i o n o f t h e n e u t r o n t r a n s p o r t can b e t r a n s f o r m e d i n e i g e n v a -
l u e e q u a t i o n s i n k , X, y a n d a. Then t h e p r o b l e m i s t o d e t e r m i n e
which o f t h e s e e i g e n v a l u e e q u a t i o n s i s more a d e q u a t e f o r e a c h c a
s e : c r o s s s e c t i o n s w e i g h t i n g , t e m p o r a l a n a l y s i s , n e u t r o n i c f l u x
d e t e r m i n a t i o n . e t c .
I n a t e c h n i c a l n o t e p u b l i s h e d i n N u c l . S c i . Eng. - (7) was p r e
s e n t e d a compar i son o f t h e e i g e n v a l u e s k l o , and a , f o r some 0 ' 2 3 8
f a s t n e u t r o n s y s t e m , .-.~0nis'3s't~in~g-' i n u n r e f l e c t e d Pu s p h e r e s w i t h
d i f f e r e n t r a d i u s .
T h i s work i n t e n d s t o e x t e n d what was t h e r e e x p o s e d , u s i n g
a l s o t h e y o e i g e n v a l u e , which d i v i d e s t h e s c a t t e r i n g a n d f i s s i o n
s o u r c e s and t h e r emova l s i n k s , and t o d e v e l o p a c o m p r e h e n s i v e ap -
p l i c a t i o n , i n c l u d i n g f a s t n e u t r o n s y s t e m s , Pu 2 3 9 s p h e r e s u n r e f l e c - t e d o r r e f l e c t e d by n a t u r a l Uranium, and t h e r m a l n e u t r o n s y s t e m s ,
s p h e r e s o f Pu 239 o r u 2 3 5 mixed w i t h Hydrogen u n r e f l e c t e d o r r e f l e c - t e d by l i g h t w a t e r .
From t h i s s t u d y we w i l l d educe i f t h e c o n c l u s i o n s o f t h e r e -
f e r e n c e d n o t e a r e a l s o a p p l i c a b l e t o t h e s e o t h e r s y s t e m s , o r if
t h e b e h a v i o u r o f t h e e i g e n f u n c t i o n s and e i g e n v a l u e s i s d i f f e r e n t .
We w i l l o b t a i n v e r y i m p o r t a n t c o n c l u s i o n s a b o u t t h e t r a n s p o r t e q u a
t i o n e i g e n f u n c t i o n s , and which o f them w i l l b e b e t t e r , d e p e n d i n g
on t h e c a l c u l a t i o n t y p e t o be p e r f o r m , T h i s w i l l b e d i f f e r e n t f o r :
t h e r e a l c a l c u l a t i o n o f a s y s t e m , which p o s i t i v e r e a c t i v i t y we w i l l
n o t know a p r i o r i how i s g o i n g t o b e c o m p e n s a t e d ; o r f o r t h e r e a c -
t i o n r a t e s c a l c u l a t i o n s o f a c r i t i c a l a s s e m b l y ; o r f o r c r o s s s e c -
t i o n s w e i g h t i n g ; o r a t l a s t f o r t h e t e m p o r a l a n a l y s i s of a s y s t e m .
:.- Theory . (G. V e l a r d e )
The r e a l n e u t r o n i c f l u x depends on t i m e a c c o r d i n g t o t h e
Bol tzmann e q u a t i o n f o r t h e n e u t r o n t r a n s p o r t , which h a s s e v e n +
i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s ; p o s i t i o n r E R , b e i n g R t h e s u b s p a c e of
t h e c o n f i g u r a t i o n s p a c e c o n s t i t u t e d by t h e r e a c t o r domain, ve- +
l o c i t y vR E V x 5 2 , b e i n g V x R t h e s u b s p a c e o f t h e v e l o c i t y p h a - s e s p a c e ; and t i m e t .
I n t h e c a s e o f no i n d e p e n d e n t n e u t r o n s o u r c e p r e s e n t , t h e
t e m p o r a l v a r i a b l e can b e e l i m i n a t e d , i n t r o d u c i n g a f i c t i t i o u s
r e a c t o r , e q u a l t o t h e r e a l r e a c t o r i n a d e t e r m i n a t e i n s t a n t ,
b u t w i t h a c e r t a i n p a r a m e t e r m o d i f i e d by an a d d i t i v e t e r m o r a
c o n s t a n t f a c t o r , i n s u c h a way t h a t t h e r e a c t o r b e c r i t i c a l i n
t h e i n s t a n t c o n s i d e r e d . his r e a c t o r i s named t h e v i r t u a l c r i -
t i c a l r e a c t o r a s s o c i a t e d t o t h e r e a l r e a c t o r i n t h i s i n s t a n t .
I n t h i s way t h e t e m p o r a l t r a n s p o r t Bol tzmann e q u a t i o n w i -
t h o u t i n d e p e n d e n t s o u r c e i s t r a n s f o r m e d i n s e v e r a l s t a c i o n a r y
e q u a t i o n s i n e i g e n v a l u e s , a s many a s m o d i f i e d p a r a m e t e r s .
4 a A. L. - I n t e g r o d i f f e r e n t i a l Bol tzmann e q u a t i o n s o f n e u t r o n t r a n s p o r t ,
a d e p e n d i n g on t i m e .
The t e m p o r a l e q u a t i o n w i t h o u t i n d e p e n d e n t s o u r c e , which
a r e t h e s t a r t i n g p o i n t t o o b t a i n t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n s ,
a r e (1) -
where t h e o p e r a t o r s a r e g i v e n by
+ L = - ~ . V . ; . i s ... t he l i n e a r d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r o f l e a k a g e ,
d e f i n e d i n l?.
3 R~ = - I t ( r , v , t ) - , is the m u l t i p l i c a t i v e o p e r a t o r o f e x t r a c - .
s = I d v ' do ' I S ( $ , v f $ ' -t v$,t).- ,..is . tth . . . . . l i n e a i i n . t e g r a 1 c p e - ..., r a t o r o f s c a t t e r i n g d e f i n e d i n V x R .
4 I = -
Fx 4 x x x B x I d v ' dQ' v ( v ' ) v t , i s the l i n e a r i n -
@ t e g r a l o p e r a t o r o f f i s s i o n s , d e f i n e d i n V x R ,
x = p , d .
. _ . . . .where,'.f.he .. ., .c.ros-s . . ~ i:s:.~kt:ion~::'a~&;-su~k.d~~ . . o v e r ... a l l t h e n u c l i d e s .
. .
The s u b i n d e x e s p and d d e n o t e t h e prompt' n e u t r o n s and de- &...
l a y e d n e u t r o n s o f g roup d . Xx x = p , d is t h e s p e c t r u m o f t h e
prompt and d e l a y e d ' f i s s i o n n e u t r o n s ; a n d , Bx = , v X / v , x = p , d i s +
t h e c o r r e s p o n d i n g f r a c t i o n . P ( $ , v , t ) = x d ( v ) , C d ( r , t ) , b e i n g C d d t h e p r o b a b l e number o f p r e c u r s o r n u c l e i o f g r o u p d . The o t h e r '
e x p r e s s i o n s h a v e t h e u s u a l mean ing .
0 . 1 .1.1 .- F u n c t i o n s p a c e .
3 The f l u x f u n c t i o n + ~ r , v d , t ) must s a t . i s f y t h e f o l l o w i n g con -
d i t i o n s :
4 ) G e n e r a l c o n d i t i o n s . + s h o u l d b e r e a l , f i n i t e and no n e -
g a t i v e , v z , v$ e R x V x Q , t > t i .
3 i i l C o n t i n u i t y c o n d i t i o n . + s h o u l d b e c o n t i n o u s i n r i n t h e
$ d i r e c t i o n , v $ , v 8 . e R x V x R , t > t i .
i i i ) Boundary c o n d i t i o n . + she-uld obey t h e boundary c o n d i t i o n -t 3 3 3 -t
o v e r t h e f r e e s u r f a c e + ( r , v Q , t ) = 0 f o r ns*O < 0, rs € S 3 3
b e i n g ns t h e o u t e r n o r m a l t o S e n rs .
i v ) I n i t i a l c o n d i t i o n s . @ and C s h o u l d b e s p e c i f i e d i n t h e d
i n i t i a l i n s t a n t t i '
The s e t o f f u n c t i o n s t h a t s a t i s f y t h e g e n e r a l c o n d i t i o n s
and t h e c o n t i n u i t y and b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s t h e f u n c t i o n s p a - ce F . While t h e s e t t h a t o n l y s a t i s f y t h e c o n t i n u i t y and boun-
.-.. ..:. d a r y c o n d i t i o n s i s t h e .function schspace Fc 3 F. Then @ & f .
. . .~.. . .
1 . 2 . - C r i t i c a l R e a c t o r .
A r e a c t o r is d e f i n e d t o b e c r i t i c a l i n t h e i n s t a n t t 0'
when
1 . 3 . - V i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h k .
The v i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h k i n t i s d e f i n e d a s o t h e r e a c t o r which h a s t h e same c o n f i g u r a t i o n and c o m p o s i t i o n
o f t h e r e a l r e a c t o r i n t o , e x c e p t t h a t t h e number o f neu.crons
p e r f i s s i o n i s d i v i d e d by a c o n s t a n t f a c t o r k , s o t h a t t h e v i r - t u a l r e a c t o r i s c r i t i c a l , v e r i f y i n g ( 4 ) .
The i n t e g r o d i f f e r e n t i a l Bol tzmann e q u a t i o n o f t h e v i r t u a l 4
c r i t i c a l r e a c t o r w i t h k , i s o b t a i n e d when 2 A d Pd i s e l i m i n a - 4 a
t e d be tween ( 2 and 1 ) and t h e f i s s i o n s o u r c e i s d i v i d e d by k
w i t h t h e r e a c t i v i t y p d e f i n e d by
( 5 ) . i s t r a n s f o r m e d i n
The e q u a t i o n s ( 5 and 7 ) ' a r e g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e equa-
t i o n s , which can b e t r ' a n s f o r m e d i n o r d i n a r y e q u a t i o n s ; s i n c e . . ..
t h e F o p e r a t o r can b e s i n g u l a r , w h i l e M i s . n o t , i t w i l l a d m i t 4
t h e . i n v e r s e o p e ' r a t o r M-', and ( 5 ) g e t s t h e fo rm o f an i n t e g r a l
e q u a t i o n . . . .
. . . .
K kk = k +k, +k E ' F . C . ( 8 )
b e i n g K t h e c r i t i c a l i t y o p e r a t o r , ' w h i c h can b e expanded i n a
Neumann s e r i e , g i v e n by
Then, t h e p rob lem i s r e d u c e d t o d e t e r m i n e . t h e ' e i g e n v a l u e s ki
and t h e e i g e n f u n c t i o n s +k E Fc o f t h e K o p e r a t o r . i
1.3.1.- A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n k..
It i s v e r y i m p o r t a n t t o d e t e r m i n e i n which c o n d i t i o n s t h e
e i g e n v a l u e s a r e s i n g l e o r m u l t i p l e , r e a l o r complex , d i s c r e t e ;
o r c o n t i n u o u s , and i f t h e r e i s one w i t h p r e d o m i n a n t modulus . I t
i s a l s o o f i n t e r e s t t o d e t e r m i n e t h e e x i s t e n c e and u n i q u e n e s s
c o n d i t i o n s o f the. s o l u t i o n s +k E F; t h i s i s , when an e i g e n f u n c -
t i o n e x i s t s and i s s i n g l e , t h a t b e s i d e s o f s a t i s f y i n g t h e con-
t i n u i t y a n d boundary c o n d i t i o n s t h a t a l l t h e e i g e n f u n c t i o n s sa t i s f y , a l s o be r e a l , f i n i t e and no n e g a t i v e i n t h e who le r e a c -
t o r ( ' ) , a t l a s t i t i s d e s i r a b l e t o d e t e r m i n e i n which c a s e s t h e
e i g e n f u n c t i o n s fo rm a c o m p l e t e s e t w i t h r e s p e c t t p t h e f u n c t i o n s
I n r e l a t i o n w i t h t h e e i g e n v a l u e s , t h e r e e x i s t s an e i g e n v a - l u e k g , p o s i t i v e and s i m p l e s u c h t h a t ko > I k n I , n ic 0 , w i t h a
c o r r e s p o n d i n g e i g e n f u n c t i o n $k E F , v ~ , v 8 E R x V x Q. 0
F u r t h e r m o r e , @k 0
i s t h e u n i q u e e i g e n f u n c t i o n o f c o n s t a n t
s i g n o v e r R x V x 5 2 . Then, a l l t h e @k E F c , and o n l y $kO E F i
Tn r e l a t i o n w i t h t h e e i g e n f u n c t i o n s , i t i s d e m o s t r a b l e ( 2 )
t h a t i n g e n e r a l t h e y do n o t form a c o m p l e t e s e t i n Fc .
The e i g e n f u n c t i o n s $ i n k a r e named r e a c t i v i t y f u n c t i o n s k
o r modes k , r e s e r v i n g t h e name o f v i r t u a l f l u x i n k f o r $k 0'
: . 3 . 2 . - P h y s i c a l Meaning o f ko. -
I n t e g r a t i n g (5) o v e r t h e whole p h a s e s p a c e R x V x R , r e -
s u l t s
T h i s e q u a t i o n r e p r e s e n t s t h e r a t i o be tween t h e number o f
n e u t r o n s p r o d u c e d by E i s s i o n i n t h e u n i t o f t ime ' , i n t h e whole
r e a c t o r , c o r r e s p o n d i n g t o t h e v i r t u a l f l u x , and t h e l o s s e s o f
n e u t r o n s i n t h e u n i t o f t i m e due t o l e a k a g e t h r o u g h t h e f r e e
s u r f a c e o f t h e r e a c t o r and t o a b s o r p t i o n s i n t h e r e a c t o r , co-
r r e s p o n d i n g a l s o t o t h e v i r t u a l f l u x . Because t h i s , k i s na - 0 med t h e e f f e c t i v e m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r by f i s s i o n o f t h e v i r -
t u a l c r i t i c a l r e a c t o r , o r o n l y m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r , and some - t i m e s s t a t i c m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r .
1 . 4 . - V i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h A .
V i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h A i n t o , i s t h e r e a c t o r which
h a s t h e same c o n f i g u r a t i o n and c o m p o s i t i o n o f t h e r e a l r e a c t o r
i n t e x c e p t t h a t t h e number o f s .econdary n e u t r o n s p e r c o l l i - 0 '
s i o n a r e d i v i d e d b y a-aonst 'mt f a c t o r X , s o t h a t t h e v i r t u a l r e a z ... - t o r i s c r i t i c a l , v e r i f y i n g ( 4 ) . I n a v i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r
w i t h A , t h e number o f s e c o n d a r y n e u t r o n s p e r c o l l i s i o n a r e mo-
d i f i e d u n t i l t h e c r i t i c a l i t y i s r e a c h e d ; t h i s i s , t h e number
o f n e u t r o n s p e r s c a t t e r i n g and f i s s i o n , w h i l e i n t h e v i r t u a l
c r i t i c a l . r e a c t o r i n k o n l y t h e number o f n e u t r o n s p e r f i s s i o n
a r e m o d i f i e d .
The i n t e g r o d i f f e r e n t i a l Bol tzmann e q u a t i o n o f t h e v i r t u a l 4
c r i t i c a l r e a c t o r w i t h A , i s o b t a i n e d when 2- X 4 n Pd i s e l i m i n a -
t e d be tween ( 2 and :) and t h e c o l l i s i o n s o u r c e s a r e d i v i d e d by
X
The g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e e q u a t i o n (11) can b e t r a n s f o r -
med i n an o r d i n a r y e q u a t i o n . S i n c e t h e (L+Rt) o p e r a t o r i s n o t ,
s i n g u l a r , it w i l l a d m i t t h e i n v e r s e o p e r a t o r (L+Rt) -&, which
i s an i n t e g r a l o p e r a t o r , whose k e r n e l i s t h e Green f u n c t i o n o f
t h e bounda ry p rob lem. Then, t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l e q u a t i o n i s
o b t a i n e d
The p rob lem i s r e d u c e d t o d e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s X i , - -
and t h e e i g e n f u n c t i o n s @ E Fc o f t h e o p e r a t o r ~ - ( L + R ~ ) - : ( S t
1 +F) . 'i
2 . 4 . i . - A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n X .
The a n a l y s i s o f t h i s e q u a t i o n i s a n a l o g o u s t o t h e e i g e n v a - l u e e q u a t i o n s i n kc ' ) . I n r e l a t i o n w i t h t h e e i g e n v a l u e s , t h e r e
e x i s t s an e i g e n v a l u e A o , p o s i t i v e and s i m p l e s u c h t h a t ho > I A n I ,
n # 0 , w i t h a c o r r e s p o n d i n g e i g e n f u n c t i o n @ E F , v :, v 8 E R x
x V x a . Xo
I n r e l a t i o n w i t h t h e e i g e n f u n c t i o n s , t h e y n e i t h e r form i n
g e n e r a l a c o m p l e t e s e t i n F . C
The e i g e n f u n c t i o n s i n X a r e named m o d e s X , u s i n g t h e n a -
me o f v i r t u a l f l u x i n X f0.r .@ . 1 0
1 . 4 . 2 . - P h y s i c a l meaning o f X - .
I n t e g r a t i n g (11) o v e r t h e whole p h a s e s p a c e R x V x Q , r e -
s u l t s
which i s t h e r a t i o be tween n e u t r o n s p r o d u c e d b y c o l l i s i o n s i n
t h e u n i t o f t i m e i n t h e r e a c t o r , c o r r e s p o n d i n g t o t h e v i r t u a l
f l u x , and t h e l o s s e s of n e u t r o n s i n t h e u n i t o f t i m e due t o l e a - k a g e t h r o u g h t h e f r e e s u r f a c e o f t h e r e a c t o r and t o c o l l i s i o n s
i n t h e r e a c t o r , c o r r e s p o n d i n g a l s o t o t h e v i r t u a l f l u x . X O i s n a - med t h e e f f e c t i v e m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r b y c o l l i s i o n o f t h e v i r -
t u a l c r i t i c a l r e a c t o r .
1 . 5 . - V i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h y .
V i r t u a l ' c r i t i c a l r e a c t o r w i t h y i n t i s t h e r e a c t o r which 0 '
h a s t h e same c o n f i g u r a t i o n and c o m p o s i t i o n o f t h e r e a l r e a c t o r
i n t e x c e p t t h a t t h e n u c l e a r d e n s i t i e s o f a l l t h e n u c l i d e s a r e 0 '
d i v i d e d by a c o n s t a n t f a c t o r y , s o t h a t t h e v i r t u a l r e a c t o r . i s
c r i t i c a l , v e r i f y i n g C 4 ) . I n t h e v i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h y ,
t h e c r i t i c a l i t y i s r e a c h e d m o d i f y i n g t h e n u c l e a r d e n s i t i e s o r
t h e l e a k a g e .
The i n t e g r o d i f f e r e n t ' i a l Bol tzmann e q u a t i o n o f t h e v i r t u a l
c r i t i c a l r e a c t o r w i t h y w i l l be
I n a f i n i t e ' r e a c t o r , t h e g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e e q u a t i o n
( 1 4 ) can b e t r a n s f o r m e d i n an o r d i n a r y e q u a t i o n . However t h e i m - p o r t a n c e o f (14) i s t h a t c h a n g i n g t h e s p a t i a l v a r i a b l e
t h e f o l l o w i n g i s o b t a i n e d
+ + and i t s s o l u t i o n + ( p , v Q l t O ) i s t h e same f o r a l l t h e r e a c t o r s
Y w i t h e q u a l c o m p o s i t i o n and whose c o n f i g u r a t i o n s a r e r e l a t e d by
a s i m i l a r i t y t r a n s f o r m a t i o n (is).
e i . 5 . 1 . - A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n y .
Such a s i n 91.3. ; and •˜1.4.:, it c a n b e c o n s i d e r e d t h a t
t h e r e e x i s t s ") an e i g e n v a l u e y d i s c r e t e p o s i t i v e and s i m p l e , 0 '
s u c h t h a t y o > I Y n I , n # 0 w i t h a c o r r e s p o n d i n g e i g e n f u n c t i o n
+ Y 0 E F , V f , v 3 a R x V x n .
The e i g e n f u n c t i o n s '+ ' i n y a r e named modes y , r e s e r v i n g Y
t h e name o f v i r t u a l f l u x i n y f o r '+ . Y 0
1 . 5 . 2 . - P h y s i c a l meaning o f y - .
R e s i d e s t h e p h y s i c a l mean ing g i v e t o y b e f o r e , i f i n t e g r a 0 - t i n g (14 ) o v e r t h e whole p h a s e s p a c e R x V x a , r e s u l t s
t h i s i s t h e r a t i o be tween t h e ' f i s s i o n n e u t r o n s p r o d u c e d i n t h e
u n i t o f t i m e i n t h e r e a c t o r , l e s s t h e l o s s e s o f n e u t r o n s by a b - s o r p t i o n s i n t h e r e a c t o r , c o r r e s p o n d i n g t o t h e v i r t u a l f l u x ,
and t h e l o s s e s o f n e u t r o n s by l e a k a g e t h r o u g h t h e f r e e s u r f a c e
o f t h e r e a c t o r , c o r r e s p o n d i n g a l s o t o t h e v i r t u a l f l u x .
a yo i s named e f f e c t i v e m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r by l e a k a g e o f
t h e v i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r .
1 . 6 . - V i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h a .
V i r t u a l c r i t i c a l r e a c t o r w i t h a i n t o , i s t h e r e a c t o r which
h a s t h e same c o n f i g u r a t i o n and c o m p o s i t i o n o f t h e r e a l r e a c t o r
i n t o , e x c e p t t h a t t h e m a c r o s c o p i c c r o s s s e c t i o n o f a b s o r p t i o n
i s i n c r e a s e d i n a / v , b e i n g a c o n s t a n t , r e s u l t i n g t h a t t h e v i r -
t u a l r e a c t o r i s c r i t i c a l , t h e n s a t i s f i e s C4).
The i n t e g r o d i f f e r e n t i a l Bol tzmann e q u a t i o n o f t h e v i r t u a l
c r i t i c a l r e a c t o r w i t h a , w i l l b e
t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n a can a l s o be o b t a i n e d by L a p l a c e
t r a n s f o r m of (1 and 2 ) w i t h t h e f o l l o w i n g s i m p l i f i e d h y p o t h e s i s :
i ) The c o n f i g u r a t i o n and c o m p o s i t i o n o f t h e r e a c t o r a r e i n - d e p e n d e n t o f t i m e .
i i ) The f l u x and t h e p r e c u r s o r c o n c e n t r a t i o n s i n t h e i n i -
t i a l . moment a r e z e r o .
i i i ) The d e l a y e d n e u t r o n s a r e n o t c o n s i d e r e d , i n t h e s e n s e
t h a t t h e r e i s o n l y a t o t a l y i e l d o f f i s s i o n n e u t r o n s
v = ( 1 - 6 ) v , w i t h a s p e c t r u m x . P P
I n t h i s c a s e t h e L a p l a c e t r a n s f o r m o f ( 1 and 2 ) , e l i m i n a -
t i n g L{P } and u s i n g t h e f o r m e r h y p o t h e s i s , w i t h L { + } z + a , re d s u l t s i n
which c o i n c i d e s w i t h ( 1 8 ) i f a p p l y i n g i i i ) .
Then , t h e p rob lem i s r e d u c e d t o d e t e r m i n e t h e e i g e n v a l u e s
a i and t h e e i g e n f u n c t i o n s @, E F c o f t h e o p e r a t o r v B . i P
1.6.:.- A n a l y s i s o f t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n i n a .
A s b e f o r e , i n t h i s c a s e it i s a l s o o f i n t e r e s t t o d e t e r m i -
n e t h e c l a s s o f t h e s p e c t r u m o f t h e o p e r a t o r v B t h e e x i s t e n - P '
c e and u n i q u e n e s s o f t h e s o l u t i o n s b e l o n g t o F , and i n which c a - s e t h e e i g e n f u n c t i o n s fo rm a c o m p l e t e s e t w i t h r e s p e c t t o t h e
f u n c t i o n s o v e r F c .
I n r e l a t i o n w i t h t h e e i g e n v a l u e s and e i g e n f u n c t i o n s , i t i s
o b t a i n e d C 2 ' 3 ' 4 ' 5 ) i n g e n e r a l t h a t ' " :
i ) The re e x i s t s an e i g e n v a l u e a o , d i s c r e t e , r e a l and s i m -
p l e s u c h t h a t a O > Re a n , n # 0 , w i t h a c o r r e s p o n d i n g
e i g e n f u n c t i o n + E F , V G , v?i E R x V x n. a 0
F u r t h e r m o r e , @ a 0
i s t h e s i n g l e e i g e n f u n c t i o n o f c o n s -
t a n t s i g n o v e r R x V x Q. Then a l l @ E Fc and o n l y ai
i i ) I n a f i n i t e r e a c t o r , t h e e i g e n v a l u e s p e c t r u m i s d i s c r e - t e , e x i s t i n g a
E t c v ~ ~ .
If t h e r e a c t o r
l o w e r l i m i t o f a g i v e n by a > - 1 i m ( v ' 0 0 - v+O
i s i n f i n i t e , a t l e a s t i'n a d i r e c t i o n ,
t h e s p e c t r u m h a s a d i s c r e t e p a r t f o r an 2 - ( v l t ( v ) ) m i n ,
and t h e r e s t i s c o n t i n u o u s .
i i i ) I n a f i n i t e r e a c t o r , t h e e i g e n f u n c t i o n s fo rm a comple-
t e s e t , w i t h r e s p e c t t o t h e f u n c t i o n s o v e r Fc .
The c r o s s s e c t i o n 1 ( v ) i s c o n s i d e r e d t o b e w e i g h t e d o v e r t a l l t h e c h o r d s o f t h e r e a c t o r . Accord ing t o i) t h e e i g e n v a l u e s
can be o r d e r e d i n d e c r e a s i n g v a l u e s o f i t s r e a l p a r t : a > 0 Re a , > Re a 2 , . . .
L
I n e x t r e m e c a s e s , some o f t h e above r e s u l t s can b e no s a -
t i s f i e d . When t h e r e a c t o r s i z e d e c r e a s e s , a t e n d s t o d e c r e a s e , 0
t h e n f o r r e a c t o r s i z e s s u f f i c i e n t l y s m a l l , i i ) can b e n o t s a t i s - f i e d c 6 ) , and f o r c a s e s even more e x t r e m e s , a d i s c r e t e s p e c t r u m
can b e n o t t o e x i s t , and t h e n a. d o e s n o t e x i s t . I n t h e c a s e
t h a t t h e r e a c t o r b e formed by two r e g i o n s s e p a r a t e d by a n o t h e r
one c o m p l e t e l y b l a c k , t h e e i g e n v a l u e a. can b e no l o n g e r s i m p l e .
1 . 6 . 2 . - F l u x d e t e r m i n a t i o n .
If $ a . l ~ ; , ~ d ) i s one o f t h e e i g e n f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n g I -. .. ~ . ~ ~ . .~
t o t h e e i g e n v a l u e a of e~7de.x o f .:.niul:[email protected] '.~;,,_t l?_e...gn?ra J: ~. . ~ . -- .. . j -.
s o l u t i o n o f (:9) w i l l be ~
. .~ .. .
which i n v e r s e L a p l a c e t r a n s f o r m g i v e s t h e f l u x o b t a i n e d by t h e
c o n d i t i o n s i l , i i ) and i i i l o f 51 .6
S i n c e a > Re a j > 0 , a f t e r a s u f f i c i e n t l y l a r g e t i m e o j ' a l l t h e t e r m s w i l l b e n e g l i g i b l e r e s p e c t t o t h e f i r s t o n e , t h e n
( 2 1 ) t a k e s t h e a s y m p t o t i c form
i.7.- R e l a t i o n be tween t h e c r i t i c a l r e a c t o r and t h e v i r t u a l c r i t i c a l
r e a c t o r s w i t h k , A , y and a .
I f t h e r e a c t o r w i t h o u t i n d e p e n d e n t s o u r c e s i s c r i t i c a l i n
t h e t i m e t o , i t s e q u a t i o n s w i l l b e (1 and 2 ) B + = 0 , t h e n , com - p a r i n g w i t h (5, 7 , 21, 1 4 and :9) , t h e e i g e n v a l u e s w i l l b e k o = - 4 - - a - A
L, p o = 0 , X o - A , y o - ,, a. = 0 , and t h e v i r t u a l r e a c t o r
w i l l b e t h e r e a l o n e .
However t h e r e c i p r o c a l i s n o t s a t i s f i e d , a l t h o u g h t h e con-
f i g u r a t i o n and c o m p o s i t i o n o f t h e r e a c t o r b e i n d e p e n d e n t on t i-
me; i f k o = 1, - - 4 - 1 p o - 0 , ho - I, y o - I , a O = 0 , a s t h e e q u a t i o n s - - B $ Y o - B + a O = 0 a r e d i f f e r e n t t h a t (1 and 2 )
A P = B Q , i t w i l l b e + # + k = - - - -
0 +y 0 +a0 and t h e n Q d o e s n o t n e c e s s a r i l y v e r i f y t h e c r i t i c a l i t y c o n d i -
t i o n ( 4 ) .
I n b r i e f c 1 ) , i n a r e a c t o r w i t h o u t i n d e p e n d e n t s o u r c e s , if - - it i s c r i t i c a l , i t i s v e r i f i e d t h a t k o = 1, p o = 0 , X o - 2 , y o -
- - 1, a O = 0 , b u t i f t h e s e e q u a l i t i e s a r e v e r i f i e d i t i s n o t ne -
c e s s a r i l y c r i t i c a l , a l t h o u g h i f t h e r e a c t o r c o n f i g u r a t i o n and
c o m p o s i t i o n a r e i n d e p e n d e n t on t i m e , a c c o r d i n g t o ( 2 2 ) + t e n d s - - a s y m p t o t i c a l y t o +k = - Q Y O - Q a O , and t h e r e a c t o r i s na -
0 med a s y m p t o t i c a l y c r i t i c a l .
2. - C a l c u l a t i o n Method. (C. Ahne r t , J . M . A ragongs )
F o r t h e s o l u t i o n o f t h e e i g e n v a l u e t r a n s p o r t e q u a t i o n , t h e
u n i d i m e n s i o n a l t r a n s p o r t code DTF-IY ( 8 ' h a s b e i n g u s e d , i n s p h e - r i c a l geomet ry and u s i n g t h e d i s c r e t e o r d i n a t e s a p p r o x i m a t i o n
( 1 1 ) S 8 . M u l t i g r o u p c r o s s s e c t i o n s e t s were g e n e r a t e d u s i n g I D X
( 1 3 ) and WIMS-D
2 .1 . - C r o s s s e c t i o n s d e t e r m i n a t i o n .
The m u l t i g r o u p c o l l a p s e d c r o s s s e c t i o n s t o b e u s e d i n DTF-
-1V c a l c u l a t i o n s , h a v e been g e n e r a t e d by two d i f f e r e n t code s y s - tems, o n e f o r t h e f a s t s y s t e m s and o t h e r f o r t h e t h e r m a l s y s t e m s .
2 . 1 . 1 . - The f a s t s v s t e m c r o s s s e c t i o n s ( : 2 ) h a v e been g e n e r a t e d f rom t h e - - ENDF/B-I11 (') L i b r a r y , u s i n g t h e B a t t e l e - N o r t h w e s t code s y s t e m s ,
E T O X ( ' ~ ) - : D X ( ~ ' ) , c o l l a p s i n g them t o a n e n e r g y s t r u c t u r e o f 28
g r o u p s , which h a s been a p p r o p r i a t e l y chosen f o r f a s t s y s t e m t r e a t - m e n t ( t a b 1 e 2.:).
The a v e r a g e n e u t r o n v e l o c i t i e s and t h e f i s s i o n s p e c t r u m i n
few g r o u p s t o be u s e d f o r DTF-IV, have been o b t a i n e d a l s o i n t h i s
s t a g e .
2 . 1 . 2 . - F o r t h e f a s t s y s t e m when a r e f l e c t o r r e g i o n i s p r e s e n t , t h e same
s e t o f 2 . 1 . 1 . , h a s been u s e d .
2 . 1 . 3 . - The t h e r m a l s y s t e m s c r o s s s e c t i o n s have b e e n g e n e r a t e d f rom a b a -
s i c L i b r a r y g e n e r a t e d ' b y t h e GALAXY s y s t e m f rom t h e U K N D L L i b r a r y ,
t h i s b a s i c L i b r a r y i s i n 6 9 e n e r g y g r o u p s , which a r e d i s t r i b u t e d
i n 1 4 i n t h e f a s t r e g i o n , 1 3 i n t h e r e s o n a n c e r e g i o n and 42 i n t h e
t h e r m a l r e g i o n . From t h i s e n e r g y s t r u c t u r e , t h e c r o s s s e c t i o n s s e t s
i n few g r o u p s ( 2 1 g r o u p s , t a b l e 2 .21 have been o b t a i n e d by t h e
WIMS-D c o d e (13 a n d 1 4 )
A new s u b r o u t i n e h a s been added t o t h e o r i g i n a l v e r s i o n o f
WIMS-D f o r c o l l a p s e d c r o s s s e c t i o n s d e t e r m i n a t i o n (15)
The a v e r a g e n e u t r o n v e l o c i t i e s and t h e f i s s i o n s p e c t r u m i n
m u l t i g r o u p s were o b t a i n e d a l s o f rom t h e WIMS-D o u t p u t f l u x s p e c - t r u m .
F o r u n r e f l e c t e d s y s t e m s t h e c r o s s s e c t i o n s have been o b t a i n e d
by a WIMS-D c a l c u l a t i o n o f a n homogeneous and i n f i n i t e r e p r e s e n t a -
t i o n o f t h e c o m p o s i t i o n o f e a c h s y s t e m .
2 . 2 . 4 . - Fo r r e f l e c t e d t h e r m a l s y s t e m s t h e c r o s s s e c t i o n s were o b t a i n e d f rom
a WIMS-D c a l c u l a t i o n f o r t h e c o m p l e t e s y s t e m r e p r e s e n t a t i o n , w i t h
a c r i t i c a l i t y s e a r c h i n t h e r a d i u s o f t h e f u e l z o n e . The c o l l a p s e d
c r o s s s e c t i o n s a r e o b t a i n e d w i t h t h e c r i t i c a l s p e c t r u m o f t h e s y s - t em.
Next t o t h e c r o s s s e c t i o n s d e t e r m i n a t i o n , DTF-IV c a l c u l a t i o n s
were made o f t h e f o u r e i g e n v a l u e s k , a , 1 and y , whose t h e o r i c a l
mean ings a r e i n 5 2 . But f o r t h i s , it was p r e v i o u s l y n e c e s s a r y t o
made some m o d i f i c a t i o n s i n t h e o r i g i n a l c o d e .
2 . 2 . - M o d i f i c a t i o n s and u t i l i z a t i o n o f DTF-IV.
The o r i g i n a l v e r s i o n o f DTF-IV s o l v e s t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n
i n k, a and y , t h e f i r s t one a s a d i r e c t c a l c u 1 a t i o n ; a n d t h e o t h e r
two a s i n d i r e c t c a l c u l a t i o n s o r s e a r c h c a l c u l a t i o n s . When an i n d i -
r e c t c a l c u l a t i o n i s made more compu t ing t i m e i s n e e d e d .
The p o s s i b i l i t y o f e i g e n v a l u e c a l c u l a t i o n s h a s b e e n added
t o t h e o r i g i n a l code a s an o p t i o n f o r t h e r e a l i z a t i o n o f t h e p r e -
s e n t s t u d y .
The d e t e r m i n a t i o n o f t h i s e i g e n v a l u e i s made a s a d i r e c t c a l -
c u l a t i o n and i s s e l e c t e d by t h e r E V T = -1 o p t i o n ( c o l u m n s , 6:-66
o f t h e iSt c a r d o f t h e i n t e g e r d a t a ) .
F o r some s y s t e m s , p r i n c i p a l l y f o r t h e t h e r m a l s ( w i t h u p - s c a t - t e r i n g ) t h e c a l c u l a t i o n of t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n i n A , h a s p r e -
s e n t e d some d i f f i c u l t i e s . Due t o i t s i n f l u e n c e i n a l l t h e s c a t t e -
r i n g t e r m s , an o s c i l l a t i o n i n t h e c a l c u l a t i o n was p r o d u c e d .
I n o r d e r t o c o r r e c t t h i s , and p r e v e n t t h e o s c i l l a t i o n s , a dam - p e r f o r t h e X v a l u e s was i n t r o d u c e d i n t h e code a f t e r e a c h o u t e r
i t e r a t i o n .
S i n c e t h e X v a l u e i s c l o s e r t o u n i t y t h a n t h e k v a l u e , t h e A
v a l u e i s n o t a l l o w e d t o s e p a r a t e r a p i d l y f rom u n i t y , by d o i n g a
w e i g h t i n g be tween t h e l a s t A v a l u e o b t a i n e d by t h e code and u n i t y .
The w e i g h t i n g f a c t o r o f A i s a DTF i n p u t datum: XNPM (co lumns
1 - 1 2 o f t h e 6th d a t a c a r d ( f l o a t i n g p o i n t ) , a n d t h e w e i g h t i n g f a c -
t o r o f u n i t y w i l l b e t h e d i f f e r e n c e (i-XNPM).
The a d e q u a t e XNPM v a l u e depends on t h e s y s t e m t o b e c o n s e d e r e d
b e i n g d i f f e r e n t f o r t h e f a s t and t h e r m a l s y s t e m s . T h e r e i s an op-
timum v a l u e f o r e a c h s y s t e m s u c h t h a t c o n v e r g e n c e i s n o t t o o s l o w ,
w h i l e p r e v e n t i n g o s c i l l a t i o n s .
Ano the r c o n v e r g e n c e p r o b l e m w i t h DTF-IV a p p e a r s when u s i n g a .
s u f f i c i e n t l y l a r g e number of n a r r o w e n e r g y w i t h h y d r o g e n e o u s . .. .
m i x t u r e s a s i n t h e t h e r m a l s y s t e m s o f t h e p r e s e n t s t u d y .
T h i s i s b e c a u s e , when t h e t r a n s p o r t c o r r e c t i o n i s made i n t h e
c r o s s s e c t i o n s , l i k e i s made i n WIMS-D t h e s e l f s c a t t e r i n g ( x i i ) i s
low i n t h e r e s o n a n c e g r o u p s . S i n c e t h e d i f f e r e n c e be tween t h e t o -
t a l c r o s s s e c t i o n s X and t h e t r a n s p o r t c r o s s s e c t i o n s x i s t o t t r
a p p r e c i a b l e f o r t h e h y d r o g e n , when X t o t
i s r e p l a c e d by Z t r and
t h e d i f f e r e n c e ( X t r - X ) i s added t o t h e s e l f s c a t t e r i n g t e r m , t o t
i n o r d e r t o p r e s e r v e t h e n e u t r o n b a l a n c e a new s e l f s c a t t e r i n g t e r m
o f n e g a t i v e s i g n r e s u l t s f o r some g r o u p s . Then , i n c o n s e q u e n c e , n e
g a t i v e s o u r c e v a l u e s a p p e a r i n t h e i n n e r i t e r a t i o n s o f DTF-IV, and 87630fi2f,,
t h e s o l u t i o n d i v e r g e s , t e r m i n a t i n g t h e e x e c u t i o n i n e r r o r .
The n e g a t i v e "flux fix-up" correction i n c l u d e d i n t h e o r i g i n a l
v e r s i o n o f DTF-IV, o n l y g u a r a n t e e p o s i t i v e f l u x s o l u t i o n s i f
a l l t h e c r o s s s e c t i o n s and s o u r c e s a r e p o s i t i v e s .
We have f o l l o w e d t h e p r o c e d u r e s u g g e s t s by G . M i n s a r t and
J . Quenon ( 1 6 ) f o r t h e s o l u t i o n o f t h i s p rob lem. Then we have mo - d i f i e d DTF-IV, b e i n g p o s s i b l e by o p t i o n i n t h e i n p u t d a t a ( I S I = - a - columns 62-66 o f t h e 3rd d a t a c a r d ( i n t e g e r ) ) t o make a
damping o f t h e s c a l a r f l u x s o l u t i o n a t t h e end of e a c h i n n e r i t e - r a t i o n , b e i n g t h e r e s u l t a n t f l u x , t h e mean v a l u e be tween t h a t ob - t a i n e d i n an i t e r a t i o n and t h a t o f t h e f o r m e r i t e r a t i o n . I n o r -
d e r t o n o t p r o l o n g i n e x c e s s t h e i t e r a t i v e c a l c u l a t i o n , t h i s dam - p i n g i s o n l y made when (Ci ) gr ,mesh < 0 . 0 .
By u s i n g t h i s o p t i o n i t h a s b e e n p o s s i b l e t o e x e c u t e c o r r e c - t l y t h e DTF-IV c a s e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e t h e r m a l s y s t e m s , t h a t
i s & t i e r way p r e s e n t e d s t r o n g d i f f i c u l t i e s .
About t h e u s e o f t h e c o d e , we h a v e t o p o i n t o u t , t h a t t h e
compu t ing t i m e i s c o n s i d e r a b l y r e d u c e d , and t h a t f o r some c a s e s
it makes p o s s i b l e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s o l u t i o n , i f a n i n i t i a l
f l u x g u e s s i s g i v e n i n t h e i n p u t d a t a , which can b e o b t a i n e d
f rom a p r e c e d i n g c a s e .
C o n c r e t e l y , t h e a d o p t e d p r o c e d u r e h a s been t h e f o l l o w i n g ;
f i rs t t h e k c a l c u l a t i o n s , t h e n t h e a c a l c u l a t i o n s w i t h t h e f l u x
g u e s s o b t a i n e d i n t h e k c a l c u l a t i o n s ; and n e x t t h e X c a l c u l a -
t i o n s w i t h t h e f l u x from t h e a c a l c u l a t i o n s ; f o r t h e y c a l c u l a -
t i o n s t h e f l u x f rom t h e k c a l c u l a t i o n s h a s been u s e d . The com-
p r e h e n s i o n of t h i s p r o c e d u r e w i l l come o u t when t h e compar i son
among t h e f l u x s p e c t r a f o r t h e d i f f e r e n t e i g e n v a l u e s b e made.
i8.
2 8 GROUPS STRUCTURE FOR FAST SYSTEMS
H i g h e r E n e r g y (EV) GROUP H i g h e r E n e r g y (EV)
T a b l e 2.:
2: GROUPS STRUCTURE FOR THERMAL SYSTEMS
H i g h e r E n e r g y CEVl GROUP H i g h e r E n e r g y [EV)
T a b l e 2 . 2
3.- C a l c u l a t i o n s and c o n c l u s i o n s ( C . A h n e r t ) .
239 Three s y s t e m s have been s t u d i e d , one f a s t s y s t e m o f Pu ,
and two t h e r m a l s y s t e m s , one o f them u s i n g U 235 a s f i s s i o n a b l e
m a t e r i a l and t h e o t h e r u s i n g pu2". Each o f them i s s t u d i e d i n
u n r e f l e c t e d and r e f l e c t e d c o n f i g u r a t i o n s . The f a s t one i s r e f l e c - t e d by n a t u r a l Uranium and t h e t h e r m a l o n e s by l i g h t w a t e r .
F i r s t , i t was n e c e s s a r y t o g e n e r a t e m u l t i g r o u p c r o s s s e c t i o n s
f o r e a c h s y s t e m a s e x p o s e d i n •˜ 2.:. Next t h e r a d i i r a n g e f o r
which t h e m u l t i p l i c a t i o n f a c t o r s were compr i sed be tween 0.8 and
:.20 was chosen by D T F - I V c a l c u l a t i o n s . F o r f i v e r a d i i i n t h i s
r a n g e , and f o r e a c h s y s t e m t h e 4 e i g e n v a l u e s k , a, X and y , were
c a l c u l a t e d .
I n t h e r e f l e c t e d s y s t e m s t h e f u e l zone r a d i u s , were c h a n g e d ,
l e a v i n g t h e r e f l e c t o r t h i n c k n e s s c o n s t a n t and e q u a l t o 20 cms . ,
which i s e q u i v a l e n t t o i n f i n i t e r e f l e c t o r .
Only i n t h e y c a l c u l a t i o n s , s i n c e i t s v a l u e a f f e c t s t o t h e
c o n c e n t r a t i o n s o f b o t h z o n e s , f u e l and r e f l e c t o r , t h e r a d i i o f
b o t h z o n e s mus t b e changed i n t h e same p r o p o r t i o n , i n o r d e r t o
g e t s i m i l a r s y s t e m s . And t h e n , t h e r a t i o be tween t h e r a d i u s of
t h e s t u d i e d s y s t e m and t h e r a d i u s o f t h e c r i t i c a l s y s t e m , i s ob-
t a i n e d a s t h e y v a l u e , a s deduced from t h e t h e o r y ( 5 i).
3.1.- Sys tem s p e c i f i c a t i o n s .
C7 1 i f U n r e f l e c t e d f a s t s ~ h e r e . M a t e r i a l = Pu
239 3 o f d e n s i t y 15.6 gr / cm
R a d i i = 5 . 3 , 5 . 8 , 6 .24 , 6 . 8 and 7.3 ems.
2 35 i i ) U n r e f l e c t e d t h e r m a l s p h e r e o f U .
-2 ' N H = 6 . 2 3 0 x 1 0 a t . b / c m
3
R a d i i = 2 5 . , 2 7 . , 2 9 . , 3 1 . , and 33 . crns
2 39 i i i ) U n r e f l e c t e d t h e r m a l s p h e r e o f Pu .
9 R a t i o N ~ / N ~ ~ = 9 0 0
R a d i i = 2 0 . , 2 2 . , 2 4 . , 2 6 . , and 2 8 . crns.
i v ) R e f l e c t e d f a s t s p h e r e .
Zone 1. F u e l a s i ) o f r a d i i = 3 .0 , 3 . 5 , 4.0, 4 . 5 , and 5 .0 crns.
Zone 2 . R e f l e c t o r o f n a t u r a l Uranium o f 2 0 crns t h i c k
v ) R e f l e c t e d t h e r m a l s p h e r e o f U 2 3 5
Zone 1. F u e l a s i i ) of r a d i i = 2 0 . , 2 2 . , 2 4 . , 2 6 . , and 2 8 . crns
Zone 2 . R e f l e c t o r of l i g h t w a t e r o f 2 0 crns t h i c k .
v i ) R e f l e c t e d t h e r m a l s p h e r e o f Pu 239
Zone 1. F u e l a s i i i ) o f r a d i i = 1 5 . , 1 7 . , L9., 2 1 . and 23. crns.
Zone 2 . R e f l e c t o r o f l i g h t w a t e r o f 20. crns. t h i c k a s t h a t o f v ) .
From t h e e i g e n v a l u e c a l c u l a t i o n s o f t h e s e s y s t e m s , t h e r e s u l t s
shown i n t a b l e s 3.: t o 3 . 6 , were o b t a i n e d . I n them t h e k , a , X
and y e i g e n v a l u e s o b t a i n e d f o r e a c h r a d i u s , a r e shown, a s w e l l
a s t h e v a l u e s f o r e a c h o f t hem, o f some i n t e g r a l o r a v e r a g e p a r a - m e t e r s c a l c u l a t e d from t h e DTF-IV s o l u t i o n . These p a r a m e t e r s de-
pend on t h e e i g e n f u n c t i o n s of e a c h c a s e ; t h i s i s , on t h e n e u t r o -
n i c f l u x s o l u t i o n o f t h e e i g e n v a l u e t r a n s p o r t e q u a t i o n and t h e n
on i t s s p e c t r u m .
These s p e c t r a l p a r a m e t e r s a r e c a l c u l a t e d f o r t h e f u e l z o n e , and
by means o f them t h e d i f f e r e n t f l u x s o l u t i o n s w i l l b e a n a l i z e d .
3 .2 . - S p e c t r a l p a r a m e t e r s .
The s p e c t r a l p a r a m e t e r s c h o s e n , have been t h e f o l l o w i n g :
3 . 2 . 1 . - Average s p e c t r a l i n d e x . T h i s i s t h e r a t i o be tween t h e t h e r m a l
and t h e f a s t f l u x e s , j - n t e g r a t e d i n e n e r g y and volume.
where E s i s t h e h i g h e s t e n e r g y of t h e s p e c t r u m , t a k e n a s 20 MeV
and 1 0 MeV f o r t h e f a s t and t h e r m a l s y s t e m s r e s p e c t i v e l y . E c i s
s p e c t r u m e n e r g y c u t o f f , s e l e c t e d i n e a c h c a s e a s t h e mean p o i n t
o f t h e s p e c t r u m , i n a way s u c h t h a t t h e i n t e g r a t e d f l u x e s i n e n e r - gy o v e r and u n d e r E c , b e a s c l o s e a s p o s s i b l e f o r t h e c r i t i c a l con - f i g u r a t i o n o f t h e c o n s i d e r e d s y s t e m , s o t h a t t h e s p e c t r a l i n d e x b e
c l o s e t o u n i t y .
Fo r t h e f a s t s y s t e m s E = 1 . 3 MeV, o b t a i n i n g a s p e c t r a l i n - C
d e x 1.05: f o r t h e u n r e f l e c t e d c r i t i c a l s y s t e m , and 2 .677 f o r t h e
r e f l e c t e d c r i t i c a l .
235 F o r t h e t h e r m a l s y s t e m s o f U , E = 27.7 eV, o b t a i n i n g a
C
s p e c t r a l i n d e x 0.940 f o r t h e u n r e f l e c t e d c r i t i c a l s y s t e m , and
1 . 0 2 8 f o r t h e r e f l e c t e d c r i t i c a l ; and f o r t h e t h e r m a l s y s t e m s of 239
Pu , E = 5 . 5 3 KeV w i t h t h e s p e c t r a l i n d e x 0 . 9 9 2 f o r t h e u n r e - C
f l e c t e d c r i t i c a l , and :.;:0 f o r t h e r e f l e c t e d c r i t i c a l .
The s p e c t r u m e n e r g y c u t o f f E c is t h e same f o r b o t h , u n r e f l e c - t e d and r e f l e c t e d s y s t e m s ; t h e n i t i s o b s e r v e d t h a t t h e s p e c t r u m
o f t h e f a s t s y s t e m is s o f t e r when i s T e f l e c t e d C L i n c r e a s e s ) , whi-
l e f o r t h e t h e r m a l s y s t e m s I changes s l i g h t l y , b e c a u s e i t s s p e c -
t r u m i s s u f f i c i e n t l y s o f t i n t h e u n r e f l e c t e d c o n f i g u r a t ' i o n .
3 . 2 . 2 . - Average neatron' v e l o c i t y . I t t h e a v e r a g e v e l o c i t y o f t h e n e u t r o n
s p e c t r u m , and h a s b e e n o b t a i n e d a s :
T h i s p a r a m e t e r i s r e l a t e d d i r e c t l y w i i h I , when t h e s p e c t r u m i s s o f t e n e d , I i n c r e a s e s and ; d e c r e a s e s l o g i c a l l y , a n d , - v i c e ~ e r s a . )-J/'Gj3hLQ+.
3 . 2 . 3 . - Average <v If:. IS t h e p r o b a b i l i t y o f a f i s s i o n n e u t r o n
v i e l d and is c a l c u l a t e d a s :
< v l f > = FISSION NEUTRONS (DTFI
N E U T R O N F L U X CDTF)
t h i s p a r a m e t e r depends o f t h e e n e r g y s t r u c t u r e o f t h e f i s s i o n
c r o s s s e c t i o n and f l u x .
0 3 . 2 . 4 . - G e n e r a t i o n t i m e A . Is t h e t i m e be tween t h e v i e l d o f two con - s e c u t i v e f i s s i o n n e u t r o n s .
t h i s p a r a m e t e r c h a n g e s s l i g h t l y f r o m one c a s e t o o t h e r f o r t h e
t h e r m a l s y s t e m s .
3 . 2 . 5 . - I n f i n i t e m u l t i p l i c a t i o n c o n s t a n t k . -
t h i s p a r a m e t e r i n d i c a t e s t h e b e h a v i o u r o f t h e o v e r a l l s p e c t r u m ;
b u t a s A , it changes s l i g h t l y f o r t h e t h e r m a l s y s t e m s , and t h e n
i s n o t s u f f i c i e n t l y s e n s i t i v e t o a n a l i z e i t .
3 . 3 .- C o n c l u s i o n s .
To a n a l i z e t h e c a l c u l a t i o n s u s e w i l l b e done o f some t a -
b l e s and f i g u r e s c o l l e c t i n g t h e r e s u l t s . B e s i d e s o f t h e t a b l e s
3 .2 t o 3.6 o f s p e c t r a l p a r a m e t e r s a l r e a d y m e n t i o n e d , we h a v e
r e p r e s e n t e d g r a f i c a l l y t h e s p e c t r a l i n d e x e s ( F i g s . 3 . : t o 3 . 3 ) .
Each f i g u r e shows t h e d i f f e r e n c e be tween t h e s p e c t r a l i n -
dex f o r e a c h e i g e n v a l u e k , a , X and y , and t h e s p e c t r a l i n d e x
o f t h e c r i t i c a l c a s e , v e r s u s t h e s y s t e m d i m e n s i o n , o r even b e t - t e r , v e r s u s t h e e i g e n v a l u e y o b t a i n e d f o r e a c h s y s t e m r a d i u s .
I n o r d e r t o s u p e r p o s e i n t h e g r a p h s t h e e i g e n v a l u e s o f
b o t h s y s t e m s , r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d , s o t h a t a l l c o i n c i d e
i n t h e j u s t c r i t i c a l p o i n t (y = 1 . 0 ) t h e e i g e n v a l u e y h a s b e e n .- . . - -.
u s e d i n t h e X-axis and t h e s p e c t r a l i n d e x i n t h e Y - a x i s , w i t h
t h e s c a l e f o r t h e u n r e f l e c t e d s y s t e m i n t h e l e f t a x i s and f o r
t h e r e f l e c t e d s y s t e m i n t h e r i g h t a x i s . Both a x i s have t h e s a -
me s c a l e , b u t a r e s h i f t e d i n o r d e r t o c o i n c i d e i n t h e j u s t c r i - t i c a l p o i n t . I n t h i s way t h e s p e c t r a l c h a n g e s can b e e a s i l y
a n a l i z e d and t h e b ' e h a v i o u r s o f b o t h r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d
s y s t e m s can b e d i r e c t l y compared.
T h i s i s t h e more r e l e v a n t g r a p h i c o f t h e p r e s e n t s t u d y ,
b e c a u s e by means o f t h e o b s e r v a t i o n o f t h e c u r v e s l o p e s and
t h e compar i son among them, c o n c l u s i o n s a b o u t what e i g e n v a l u e
t y p e s h o u l d b e u s e d d e p e n d i n g o f t h e c a l c u l a t i o n o b j e c t can
be o b t a i n e d .
Ano the r g r a p h i c r e p r e s e n t a t i o n i s t h e k , a and X e i g e n -
v a l u e s Y e r s u s t h e e i g e n v a l u e y ( F i g s . 3 .4 t o 3.6). I n e a c h o f
them t h e e i g e n v a l u e s o b t a i n e d f o r e a c h o f t h e m e n t i o n e d s y s -
t e m s i n t h e r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d c o n f i g u r a t i o n s a r e shown.
A l l o f them c o i n c i d e i n t h e j u s t c r i t i c a l p o i n t k = 2 .0 , a= 4
= 0 . 0 , A = 1 . 0 and. y = 2 . 0 . The a s c a l e C ~ e c - ~ ) i s i n t h e l e f t
Y-axis and t h e k and y s c a l e s i n t h e r i g h t Y-ax i s .
F i n a l l y some t a b l e s w i l l h e l p us t o e x p l a i n t h e r e s u l t s
o b t a i n e d , a s t h e a b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g b a l a n c e t a b l e s
( t a b l e s 3 .7 t o 3 . 9 ) . They a r e t h e b a l a n c e t a b l e s f o r a c r i t i -
c a l c o n f i g u r a t i o n , and f o r a s u p e r c r i t i c a l c o n f i g u r a t i o n i n
two c o n d i t i o n s , c o r r e s p o n d i n g t o a and A e i g e n v a l u e s o l u t i o n s .
By means o f t h e m , t h e e f f e c t p r o d u c e d by b o t h e i g e n v a l u e s o l u -
t i o n s on t h e a b s o r p t i o n s and s c a t t e r i n g , w i l l b e o b s e r v e d ,
w i t h r e s p e c t t o t h e c r i t i c a l c o n f i g u r a t i o n , N e x t l y t h e r e s u l t s
w i l l be a n a l i z e d and t h e c o n c l u s i o n s f o r e a c h s y s t e m e x t r a c t e d
0 3 . 3 . 1 . - F a s t s y s t e m .
3 . 3 . 1 . 1 . - E i g e n v a l u e s ( F i g . 3 . 4 )
The m u l t i p l i c a t i o n c o n s t a n t k depends l i n e a r l y on t h e
e i g e n v a l u e y o r on t h e r a d i u s , and w i t h a l m o s t t h e s a m e s l o p e
f o r b o t h r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d c a s e s . The e i g e n v a l u e A i s
c l o s e r t o u n i t y t h a n t h e e i g e n v a i u e k , t h i s , i s b e c a u s e A , i s
a d d i t i o n t o d i v i d e t h e f i s s i o n s o u r c e a s k , a l s o d i v i d e s t h e . .
s c a t t e r i n g s o u r c e and t h e n i t s e f f e c t i n t h e t o t a l s o u r c e i s
h i g h , e r . I n t h e r e f l e c t e d c a s e i s s t i l l c l o s e r t o u n i t y b e c a u s e
t h e r e f l e c t o r zone i n c r e a s e s t h e s c a t t e r i n g s o u r c e , and them y
e f f e c t i n c r e a s e s .
The v a l u e s o b t a i n e d f o r t h e " t e m p o r a l a b s o r p t i o n " a , f o r
t h e same k v a l u e s , a r e l o w e r i n a b s o l u t e v a l u e f o r t h e r e f l e c - t e d s y s t e m t h a n f o r t h e u n r e f l e c t e d s y s t e m . T h i s i s v e r i f i e d
f o r b o t h c o n d i t i o n s , s u p e r c r i t i c a l s C p o s i t i v e s a) and s u b c r i t i - c a l s ( n e g a t i v e s a ) . T h i s can b e due t o t h e a e f f e c t i n t h e a b -
s o r p t i o n s o f t h e r e f l e c t o r z o n e , b e i n g i t s e f f e c t i n t h i s zone
h i g h e r t h a n i n t h e f u e l z o n e , b e c a u s e t h e s p e c t r u m i s s o f t e r i n
t h e r e f l e c t o r ( t a b l e 3 . 7 ) .
3 . 3 . 1 . 2 . - S p e c t r s l i n d e x e s ( F i g . 3 . 1 )
The s p e c t r a l i n d e x e s o b t a i n e d i n t h e k c a l c u l a t i o n s v e r s u s
y , have a p o s i t i v e s l o p e , b e c a u s e t h e k e i g e n v a l u e d e c r e a s e s
t h e f i s s i o n s o u r c e i n t h e s u p e r c r i t i c a l c o n d i t i o n s , and t h e n i t
s o f t e n s t h e s p e c t r u m . I n t h e s u b c r i t i c a l c o n d i t i o n s t h e e f f e c t
i s t h e o p p o s i t e .
The e i g e n v a l u e s a a n d X a f f e c t t o t h e s p e c t r u m i n t h e same
s e n s e , a i n c r e a s e s t h e a b s o r p t i o n and X d e c r e a s e s t h e s c a t t e r i n g
a n d f i s s i o n s o u r c e s ; t h e n , b o t h p r o d u c e a h a r d e r s p e c t r u m i n t h e
s u p e r c r i t i c a l c a s e s r e s p e c t t o t h e c r i t i c a l o n e . I n t h e u n r e f l e c - t e d s y s t e m t h e a e f f e c t i s h i g h e r t h a n t h e X e f f e c t , t h i s can b e
b e c a u s e t h e t o t a l a b s o r p t i o n i s i m p o r t a n t i n r e l a t i o n t o t h e s c a - t t e r i n g s o u r c e ( t a b l e 3 . 7 ) .
The s p e c t r a l i n d e x e s i n t h e r e f l e c t e d c r i t i c a l c a s e ( = 1 . 6 7 7 ) ,
change s t r o n g l y w i t h r e s p e c t t o t h e u n r e f l e c t e d c r i t i c a l c a s e
( = 1 . 0 5 1 ) , t h i s i s b e c a u s e i n t h e f a s t s y s t e m s t h e r e f l e c t o r r e -
g i o n i n c r e a s e s s t r o n g l y t h e s c a t t e r i n g s o u r c e ( t a b l e 3 . 7 ) .
The s p e c t r a l i n d e x e s f o r t h e k c a l c u l a t i o n s i n t h e r e f l e c t e d
s y s t e m s change s l i g h t l y w i t h r e s p e c t t o t h e v a l u e s o f t h e u n r e f l e c - t e d s y s t e m s , b u t t h e y change s t r o n g l y , f o r t h e a and A c a l c u l a -
t i o n s ; and i t h a s been o b s e r v e d , t h a t b o t h e i g e n v a l u e s a f f e c t more
t o t h e s p e c t r u m i n t h e r e f l e c t e d s y s t e m t h a n i n t h e u n r e f l e c t e d
s y s t e m , t h i s i s b e c a u s e b o t h e i g e n v a l u e s a l s o a f f e c t t o t h e r e -
f l e c t o r r e g i o n .
The a and X s p e c t r a a r e s i m i l a r i n t h e c o n f i g u r a t i o n s c l o s e
t o c r i t i c a l i t y , b e c a u s e t h e a e f f e c t i s an a b s o r p t i o n a / v , and
t h e X e f f e c t i s t o d i v i d e t h e s c a t t e r i n g s o u r c e by t h e X v a l u e
i n a c u m u l a t i v e way i n d e c r e a s i n g e n e r g i e s , and t h e n i t s e f f e c t
r e s u l t s i m i l a r ; a f f e c t i n g b o t h more t o t h e low e n e r g i e s t h a n t o
t h e h i g h e n e r g i e s . A s i s o b s e r v e d ( t a b l e 3 . 7 ) t h e a / v t e r m de-
c r e a s e s t h e s c a t t e r i n g s o u r c e , r e s u l t i n g i t s v a l u e o f t h e same
o r d e r i n t h e a c a s e s and i n t h e X c a s e s .
The s p e c t r u m i n t h e y c a l c u l a t i o n s does n o t change w i t h Y
a s was w a i t e d .
3.3.:. 3 . - C o n c l u s i o n s .
Fo r a " r e a c t i o n r a t e s " c a l c u l a t i o n o f a c r i t i c a l expe r imen-
t a l a s s e m b l y ; o r f o r a r e a c t o r p e r f o r m a n c e c a l c u l a t i o n , i n which
i t s p o s i t i v e r e a c t i v i t y i n e x c e s s i s compensa ted i n t h e r e a l r e -
a c t o r i n v a r i o u s ways; o r f o r c o l a p s i n g c r o s s s e c t i o n s an e i g e n -
v a l u e s h o u l d b e u s e d , s u c h t h a t a s s o c i a t e d s p e c t r u m c h a n g e s w i t h
y a s l e s s a s p o s s i b l e , and t h e n i s c l o s e t o t h e c r i t i c a l s p e c -
t r u m . But f o r a t e m p o r a l c a l c u l a t i o n , t h e s p e c t r u m c l o s e s t t o
t h e a c t u a l one i s t h a t o b t a i n e d i n t h e a s o l u t i o n s o t h a t o t h e r
e i g e n v a l u e s s h o u l d n o t b e u s e d i f i t s a s s o c i a t e s p e c t r u m i s con-
s i d e r a b l y d i f f e r e n t o f t h a t o f t h e a s o l u t i o n .
With t h e s e p r e m i s e s , it i s deduced t h a t , f o r an u n r e f l e c t e d
c a s e : -
a ) Fo r s t a t i o n a r y c a l c u l a t i o n s , t h e b e s t e i g e r i v a l u e i s A , o r
s t i l l b e t t e r y .
b ) Fo r t e m p o r a l c a l c u l a t i o n s , o n l y a s h o u l d b e u s e d .
The A e i g e n v a l u e h a s t h e a d v a n t a g e s o f b e a n a t u r a l e i g e n - , . v a l u e o f t h e i n t e g r a l t r a n s p o r t e q u a t i o n , and a l s o t h a t . i s n o t
l i m i t e d t o s y s t e m s w i t h f i s s i o n s l i k e t h e k . e i g e n v a l u e ( 7 ) , howe - v e r i t h a s t h e l i m i t a t i o n t h a t , s i n c e h - i s l o w e r t h a n lk-:I
f o r t h e same s y s t e m , t h e h e i g e n v a l u e i s l e s s s e n s i t i v e , and i n
n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n r e q u i r e s a h i g h e r c o n v e r g e n c e c r i t e r i o n . '
t h a n i n k c a l c u l a t i o n , t h e n p r e c i s e s a h i g h e r compu t ing t i m e .
The y e i g e n v a l u e h a s t h e d i s a d v a n t a g e o f b e i n g o b t a i n e d i n t h e
t r a n s p o r t c o d e s by i n d i r e c t c a l c u l a t i o n s , a s i n d i r e c t s e a r c h i n
i t s v a l u e , t h i s a d d s u n a c c u r a c y i n t h e c a l c u l a t i o n and h i g h com - p u t i n g t i m e s and a l s o few c o d e s a r e a b l e s t o make y c a l c u l a t i o n s . .
To o b t a i n t h e y e i g e n v a l u e a s d i r e c t c a l c u l a t i o n , i t seems
t h a t w i l l p r e s e n t c o n v e r g e n c e p r o b l e m s , b e c a u s e i t s v a l u e a f f e c t s
t o a l m o s t a l l t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n t e r m s .
For t h e r e f l e c t e d c a s e :
a ) F o r s t a t i o n a r y c a l c u l a t i o n s , t h e b e s t e i g e n v a l u e i s k .
b ) F o r t e m p o r a l c a l c u l a t i o n s , a s h o u l d b e u s e d , o r a l s o X i n
t h e zone c l o s e t o t h e c r i t i c a l i t y , b u t n e v e r k .
235 3 . 3 . 2 . - Thermal s y s t e m o f U .
a 3 . 2 . 1 . - E i g e n v a l u e s ( F i g . 3 . 5 )
The m u l t i p l i c a t i o n c o n s t a n t k c h a n g e s w i t h y more f o r t h e
u n r e f l e c t e d c a s e t h a n f o r t h e r e f l e c t e d c a s e , b e c a u s e t h e r e -
f l e c t o r zone d o e s n o t c o n t r i b u t e t o t h e f i s s i o n s o u r c e .
The a v a l u e f o r t h e s a m e k , c h a n g e s s l i g h t l y be tween b o t h
s y s t e m s , r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d , b e i n g a l i t t l e l o w e r i n ab-
s o l u t e v a l u e f o r t h e u n r e f l e c t e d c a s e t h a n f o r t h e r e f l e c t e d c a - s e .
The X v a l u e i s c l o s e t o u n i t y f o r b o t h s y s t e m s , r e f l e c t e d
and u n r e f l e c t e d , b e c a u s e t h e s c a t t e r i n g s o u r c e i s h i g h i n t h e s e
c a s e s , and t h e n t h e X e f f e c t i s i m p o r t a n t , b e c a u s e a s m a l l chan - ge i n i t s v a l u e a l t e r c o n s i d e r a b l y t h e s c a t t e r i n g s o u r c e .
3 . 3 . 2 . 2 , - S p e c t r a l i n d e x e s ( F i g . 3 . 2 )
The s p e c t r a l i n d e x e s f o r k , a and A change w i t h 7 w i t h t h e
same s l o p e s t h a n i n t h e f a s t s y s t e m s .
I t mus t b e p o i n t e d o u t t h a t , t h e a and 1 s p e c t r a a r e s i m i -
l a r f o r t h e u n r e f l e c t e d s y s t e m . The a f v a b s o r p t i o n c h a n g e s t h e
s c a t t e r i n g s o u r c e , t o a l m o s t t h e same v a l u e t h a n i n t h e X c a l c u - l a t i o n s , and s i n c e t h i s s o u r c e i s h i g h e r t h a n t h e t o t a l a b s o r p -
t i o n , i t s e v o l u t i o n i s p r e d o m i n a n t .
I n t h e r e f l e c t e d c a s e s , t h e c r i t i c a l s p e c t r a l i n d e x (=1.028)
i s s l i g h t l y d i f f e r e n t t h a n t h a t o f t h e u n r e f l e c t e d c a s e C=0.940).
The k e i g e n v a l u e a f f e c t s more t o t h e u n r e f l e c t e d c a s e s p e c t r u m t h a n
t o t h e r e f l e c t e d o n e , f o r t h e same k v a l u e , t h i s i s b e c a u s e i n t h e
r e f l e c t e d c a s e , k a f f e c t s t o t h e f i s s i o n s o u r c e . a n d t h e n o n l y t o
t h e f u e l z o n e , s o t h a t i t s e f f e c t i s damped.
When t h e s y s t e m is r e f l e c t e d , t h e a and X v a l u e s a f f e c t more
t o t h e s p e c t r u m t h a n i n t h e u n r e f l e c t e d s y s t e m , and s i n c e a chan-
g e s a l s o t h e s c a t t e r i n g s o u r c e , t h e a and X s p e c t r a a r e v e r y c l o -
I t w i l l b e o f i n t e r e s t , t o compare t h e d i f f e r e n t s p e c t r a l i n - d e x e s o b t a i n e d by t h e s o l u t i o n o f t h e e i g e n v a l u e t r a n s p o r t equa -
t i o n , w i t h t h e f l u x o b t a i n e d by t h e B, a p r o x i m a t i o n o f t h e funda - I
m e n t a l mode, which was o b t a i n e d t h r o u g h t h e WIMS-D r u n s m e n t i o n e d
a b o v e , f o r c o l l a p s i n g c r o s s s e c t i o n s .
T h i s i s t h e no rma l a p p r o x i m a t i o n i n t h e c e l l c o d e s and t h e n
t h e compar i son w i t h t h i s s p e c t r u m i s i m p o r t a n t , s i n c e i t i s u s e d
t o c o l l a p s e c r o s s s e c t i o n s e t s . WIMS-D was u s e d w i t h t h e homoge-
neous B, me thod , which t r e a t s e x p l i c i t l y t h e P, s c a t t e r i n g m a t r i I 2
- c e s o f t h e p r i n c i p a l m o d e r a t i n g m a t e r i a l s , i n o u r c a s e Hydrogen.
The l e a k a g e c a l c u l a t i o n was made by d i f f u s i o n t h e o r y w i t h t h e 2
DB 4 t e r m i n t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n : t h e s p e c t r a l i n d e x f o r t h e
c r i t i c a l f l u x o b t a i n e d i n t h i s way i s 120.984, t h a t compared w i t h
t h e s e o b t a i n e d by t h e e i g e n v a l u e e q u a t i o n s ( F i g . 3.2) i s l i k e an
e x t r a p o l a t i o n o f t h e k c a l c u l a t i ' o n s f o r s u p e r c r i t i c a l s y s t e m s .
T h i s can b e e x p l a i n e d , b e c a u s e t h e D B ~ term i s an a b s o r p t i o n
which r e d u c e s t o c r i t i c a l t h e s y s t e m , whose km=i.4:5, t h i s a b s o r p - t i o n i s h i g h e r f o r t h e f a s t e n e r g i e s t h a n f o r t h e t h e r m a l e n e r g i e s ,
s i n c e t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i s h i g h e r f o r t h e f a s t e n e r g i e s ;
t h e n i t s e f f e c t i n t h e s p e c t r u m i s i n t h e same s e n c e t h a n t h e k
e i g e n v a l u e ; d e c r e a s i n g t h e f a s t f l u x i n t h e s u p e r c r i t i c a l s y s t e m s
and i n c r e a s i n g t h e s p e c t r a l i n d e x .
Comparing w i t h t h e s p e c t r a l i n d e x e s o b t a i n e d f o r t h e r e f l e c - t e d s y s t e m , t h i s v a l u e i s l o w e r t h a n t h a t o f t h e c r i t i c a l o n e .
I n b r i e f , t h e f u n d a m e n t a l mode s p e c t r u m ( 5 0 . 9 8 4 ) i s s o f t e r
t h a n t h a t of t h e c r i t i c a l u n r e f l e c t e d s y s t e m ( = 0 . 9 4 0 ) , b u t i s
h a r d e r t h a n t h a t o f t h e c r i t i c a l r e f l e c t e d s y s t e m ( = 1 . 0 2 8 ) , k e e -
p i n g a l m o s t t h e same d i f f e r e n c e w i t h b o t h .
C o n c l u s i o n s
Fo r t h e u n r e f l e c t e d c a s e :
a ) Fo r s t a t i o n a r y c a l c u l a t i o n s : k , a o r X .
b.) F o r t e m p o r a l c a l c u l a t i o n s : a o r A .
Fo r t h e r e f l e c t e d c a s e :
a ) F o r s t a t i o n a r y c a l c u l a t i o n s : t h e b e s t i s k .
b ) F o r t e m p o r a l c a l c u l a t i o n s : a , o r a l s o h i n t h e zone c l o s e t o
t h e c r i t i c a l i t y .
I t s h o u l d b e i n d i c a t e d t h a t , s i n c e i n t h e t h e r m a l s y s t e m we
h a v e u s e d c r o s s s e c t i o n s e t s c o r r e c t e d by t r a n s p o r t ; i n t h e X e i -
g e n v a l u e c a , l c u l a t i o n s , w h i l e t h e t r a n s p o r t c o r r e c t i o n o f t h e s e l f - s c a t t e r i n g i s b e i n g a f f e c t e d by a :/A f a c t o r , t h e t r a n s p o r t co-
r r e c t i o n o f t h e t o t a l c r o s s s e c t i o n i s n o t . S i n c e n o r m a l l y ( I t r - - l t o t ) < O . O . , i f t h e f a c t o r 1/X were a p p l i e d t o b o t h c r o s s s e c - '
t i o n s i n a s u p e r c r i t i c a l c a s e a s i t s h o u l d b e ; i t s e f f e c t would b e
t o . i . n c r e a s e t h e a b s o r p t i o n c r o s s s e c t i o n , and t h e n t o h a r d e n s t i l l
more t h e s p e c t r u m w i t h r e s p e c t t o t h e o b t a i n e d by u s ; b u t s i n c e
t h e d i f f e r e n c e (I tr - l t o t ) i s l o w , t h e i n f l u e n c e o f t h i s w i l l n o t
be i m p - - ' a n t .
From t h e compar i son w i t h t h e f u n d a m e n t a l mode, t h e c o n c l u -
s i o n i s t h a t i t i s n e c e s s a r y f o r a l o t o f s y s t e m s , t o c a l c u l a t e
t h e c o l l a p s e d c r o s s s e c t i o n s i n few g r o u p s s o l v i n g t h e e i g e n v a -
l u e e q u a t i o n s by t r a n s p o r t c a l c u l a t i o n s , u s i n g a s u f f i c i e n t num - be?? o f m u l t i g r o u p s .
239 3 . 3 . 3 . - The rma l s y s t e m o f Pu .
3 . 3 . 3 . 1 . - E i g e n v a l u e s ( F i g . 3 . 6 )
The m u l t i p l i c a t i o n c o n s t a n t k depends on y w i t h a h i g h e r s l o - p e t h a n i n t h e t h e r m a l s y s t e m o f u ~ ~ ~ , and i s a l s o h i g h e r f o r t h e
pu 239 s y s t e m , a s we w i l l s e e l a t e r .
The a v a l u e , f o r t h e same k , i s a l m o s t t h e same f o r b o t h s y s - t e rns , r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d , b e i n g s l i g h t l y l o w e r i n a b s o l u t e
v a l u e f o r t h e r e f l e c t e d t h a n f o r t h e u n r e f l e c t e d .
The h v a l u e s , a s i n t h e U 235
c a s e s , i s c l o s e t o u n i t y .
3 . 3 . 3 . 2 . - S p e c t r a l i n d e x e s ( F i g . 3 . 3 )
The k e i n e n v a l u e a f f e c t s t o t h e s p e c t r u m more t h a n i n t h e - u~~~ c a s e , f o r b o t h s y s t e m s , r e f l e c t e d and u n r e f l e c t e d ; t h i s i s
b e c a u s e t h e k v a l u e i s h i g h e r f o r t h e same y .
The a and h v a l u e s a f f e c t l e s s t o t h e s p e c t r u m t h a n i n t h e
u~~~ c a s e f o r t h e u n r e f l e c t e d s y s t e m ; b u t , f o r t h e r e f l e c t e d c a - s e , t h e e f f e c t i s t h e same. T h i s i s e x p l a i n e d , b e c a u s e t h e s c a t
t e r i n g s o u r c e i n t h e u n r e f l e c t e d s y s t e m , i s l o w e r i n t h e Pu 239-
c a s e t h a n i n t h e U 2 3 5 c a s e ( t a b l e 3 . 9 ) . However i n t h e r e f l e c t e d
c a s e , t h e r e f l e c t o r r e g i o n , c o n t r i b u t e s w i t h an i m p o r t a n t s c a t t e - r i n g s o u r c e , r e s u l t i n g i t s t o t a l v a l u e s i m i l a r t o t h a t of t h e
u 2 35 c a s e ; and t h e a and X v a l u e s a f f e c t t o t h i s s o u r c e .
The f l u x s o l u t i o n of t h e f u n d a m e n t a l mode h a s i n t h i s c a s e ,
a s p e c t r a l i n d e x o f I = 1 . 0 4 6 , b e i n g t h e i n f i n i t e m u l t i p l i c a t i o n "ppyj7<.. 0 L <I L L. \, 1
c o n s t a n t km=1.S07
A s i n t h e t h e r m a l s y s t e m o f u ~ ~ ~ , t h i s v a l u e (1.046), i s
be tween t h e i n d e x o f t h e c r i t i c a l u n r e f l e c t e d s y s t e m (0.9921,
and t h a t o f t h e c r i t i c a l r e f l e c t e d s y s t e m (:.110), k e e p i n g a 1 - most t h e same d i f f e r e n c e w i t h b o t h .
3 . 3 . 3 . 3 . - C o n c l u s i o n s
Fo r t h e u n r e f l e c t e d c a s e :
a ) Fo r s t a t i o n a r y c a l . c u l a t i o n s : a , X o r k .
b ) Fo r t e m p o r a l c a l c u l a t i o n s : a o r 1.
F o r t h e r e f l e c t e d c a s e :
a ) Fo r s t a t i o n a r y c a l c u l a t i o n s : k .
b ) F o r t e m p o r a l c a l c u l a t i o n s : a , o r a l s o X i n t h e zone c l o s e t o
t h e c r i t i c a l i t y .
E i g e n v a l u e Type
Rad ius (ems)
5.3
5.8
6.24
6.8
7.3
5.3
5.8
6.24
6.8
7.3
5.3
5.8
6 . 2 4
6 . 8
7.3
5.3
5.8
6.24
6.8
7.3 '
a UNREFLECTED FAST SPHERE
a
E i g e n v a l u e S p e c t r a l I n d e x (E = i.3 Mev)
C
0.991
0.948
i.05:
1.05;
1.051
1.051
1.051
1.079
1.064
1.G52
1.038
1.027
T a b l e 3.1
Rad ius ( c m s . )
E i g e n v a l u e
UNREFLECTED THERMAL SPHERE OF Pu 239
S p e c t r a l Index (Ec=O. 0055Mev
Table 3.3.
Eigenvalue Type
k
k
k
k
k 4
a ( seg- '
a " a "
a "
a "
Y
Y
Y
Y
Y
h
A
A
A
A
adius cms .
3.0
3 . 5
4 . 0
4 .5
5 .0
3 .0
3 .5
4 . 0
4 . 5
5 .0
3 .0
3 . 5
4 . O
4 . 5
5 .0
3 .0
3 .5
4 . 0
4.5
5 .0
Eigenvalue
0 . 7 1 3
0 . 8 2 4
0 . 9 3 1
1 .O33
2 . 1 3 0
- 0 . 1 3 2 + 8
- 0 . 0 9 3 + 8
- 0 . 0 4 0 + 8
0 .O29+8
O . l 4 8 + 8
0 . 6 9 2
0 . 8 0 7
0 . 9 2 3
1 . 0 3 8
1;:53
0 . 9 6 2 6
0 . 9 7 0 8
0 . 9 8 7 5
1. 0 1 1 6
1 . 0 4 1 3
a REFLECTED FAST SPHERE
Spectral Index :E -1.3 Mev)
C
- v (cm/seg)
i 0 . 3 6 7 + 8
TO. 2 3 9 t 8
L 0 . 1 4 0 + 8
LO. O66+8
1 0 . 0 1 1 + 8
5 .71&+8
7 . 3 8 9 + 8
9 .O5O+8
1 0 . 5 1 1 + 8
2 1 . 4 2 1 + 8
:O.O87+8
1 0 . 0 8 7 + 8
1 0 . 0 8 7 + 8
2 0 . 0 8 7 + 8
1 0 . 0 8 7 + 8
6 . 5 4 2 + 8
8 . 1 0 8 + 8
9 , 3 9 0 + 8
1 0 . 4 5 0 + 8
1 1 . 0 3 2 + 8
Table 3 . 4
Eigenvalue Type
Radius (ems.)
Eigenvalue
REFLECTED THERMAL SPHERE OF U 2 3 5
S p e c t r a l Index (Ec= 27.7 eV)
T a b l e 3 . 5
E i g e n v a l u e Type
i a d i u s [ems.)
1 5 . 0
1 7 . 0
$ 9 . 0
2 1 . 0
2 3 . 0
1 5 . 0
1 7 . 0
1 9 . 0
2 1 . 0
2 3 . 0
1 5 . 0
1 7 . 0
1 9 . 0
2:. 0
2 3 . 0
1 5 . 0
1 7 . 0 ,
2 9 . 0
2:. 0
23 . 0
REFLECTED THERMAL SPHERE OF P U 239
S p e c t r a l Index (Ec=O. 0055Mev)
T a b l e 3 . 6
NEUTRONIC BALANCE FOR THE FAST SYSTEM
UNREFLECTED
R a d i u s I n (Eigenv.) S c a t t e r .
C r i t i c a l 1 . 6 3 1 - 1
6 . 8 crns 1 . 6 5 3 - 1 ((a y
6 . 8 crns 1 . 5 6 7 - 1
( A )
S e l f S c a t t e r .
A b s o r p t i o n
3 . 2 8 8 - 1
4 . 1 4 2 - 1
3 . 2 8 4 - 1
R i g h t L e a k a g e
R a d i u s
(Eigenv. )
C r i t i c a l
T a b l e 3 . 7
I n S c a t t e r .
REFLECTED
S e l f S c a t t e r
A b s o r p t i o n R i g h t L e a k a g e
Zone
4 I
2
" I
2
.4 I
2
N E U T R O N I C BALANCE FOR THE THERMAL SYSTEM OF U 2 3 5
I UNREFLECTED
Rad ius I n S e l f (Eigenv.) S c a t t e r . S c a t t e r .
C r i t i c a l 2 . 5 1 8 + 2 6 . 0 5 2
33.0 crns 2 . 5 3 0 + 2 5 . 9 7 7 ( A 1
A b s o r p t i o n R i g h t Leakage
R a d i u s (Eigenv. ) ,
C r i t i c a l
2 8.0 crns ( " )
2 8 .0 crns (A
I n S c a t t e r .
2 . 4 6 5 + 2 2 . 6 0 8 + 1
2 . 4 8 4 + 1 2 . 4 6 1 + 2
2 . 4 8 4 + 1 2 .:85+2
T a b l e 3 . 8
REFLECTED
S e l f S c a t t e r .
6 . 4 2 0 1 . 0 7 7 + 2
6 . 3 3 4 2 . 0 1 3 + 1
6 . 3 2 5 8 . 9 0 0
A b s o r p t i o n
7 . 0 6 5 - 1 2 . 6 2 8 - 1
7 . 3 6 5 - 1 2 . 7 9 7 - 1
7 . 0 6 8 - 1 2 . 1 8 6 - 1
R i g h t Leakage
2 . 8 4 9 - i 2.22:-2
2 . 6 7 2 - 1 2 . 0 4 0 - 2
2 . 6 4 9 - 1 1 . 3 3 3 - 2
Zone
L
2
" L 2
.3 .' 2
-
UNREFLECTED
Rad ius I n (Eigenv. ) S c a t t e r .
C r i t i c a l 1.540+1
S e l f S c a t t e r .
2.283
2.045
2 .O86
A b s o r p t i o n
6.220-1
6.908-1
6.222-1
R i g h t Leakage
3.785-1
3.097-2
3.074-1
R a d i u s (Eigenv. )
C r i t i c a l
23.0cms. ( a , )
23.0cms. ( X )
T a b l e 3.9
I n S c a t t e r .
1.483t: 3.444t:
1.518+1 2.332+:
2.511+2 2.078+1
S e l f S c a t t e r .
2.736 1.422+1
2.446 9.204
2.473 8.116
REFLECTED
A b s o r p t i o n R i g h t Leak age
Zone
1 2
4 I
2
2.
2
Unref.
1-1,
Unref.
I-Ic
4 . - R e f e r e n c e s
1. V e l a r d e , G . - E c u a c i o n e s i n t e g r o d i f e r e n c i a l e s e i n t e g r a l e s ,
n o r m a l e s y a d j u n t a s d e l t r a n s p o r t e d e n e u t r o n e s c o r r e s p o n -
d i e n t e s a r e a c t o r e s t e m p o r a l e s y v i r t u a l m e n t e c r i t i c o s c o n
k , A , y y a - JEN-377 ( 1 9 7 7 ) .
2 . H a b e t l e r , G . J . y M a r t i n o , M . A . - P r o c . Symp. A p p l . Math .
X I , A m . M a t h . S o c . ( 1 9 6 2 ) .
3 . H e n r y , A . - N u c l e a r R e a c t o r A n a l y s i s -MIT P r e s s ( 1 9 7 5 ) .
4 D a y i s o n , B . - N e u t r o n T r a n s p o r t T h e o r y - C l a r e n d o n P r e s s
( 1 9 5 7 ) .
5 . B e l l , G . I . y G l a s s t o n e , S . - N u c l e a r R e a c t o r T h e o r y - Van
N o s t r a n d ( 1 9 7 0 1 .
6 . A l b e r t o n i , S . y M o n t a g n i n i , B . - J . Math . A n a l . A p p l . 1 3 ,
1 9 ( 1 9 6 5 ) .
7 . Ronen , Y . e t a l . - A C o m p a r i s o n o f 50me E i g e n v a l u e s i n R e a c - t o r T h e o r y - N u c l . S c i . E n g . 6 0 , 1 ( 1 9 7 6 ) .
8 . L a t h r o p , K . D . - DTF-IV, A F o r t r a n I V P r o g r a m f o r S o l v i n g
t h e M u l t i g r o u p T r a n s p o r t E q u a t i o n w i t h A n i s o t r o p i c S c a t t e - r i n g - LA-3373 ( 1 9 6 5 ) .
9 . O z e r , 0 , a n d G a r b e r , D . - E v a l u a t e d N u c l e a r D a t a F i l e Su-
mmary D o c u m e n t a t i o n - BNL-17541 - (.May 1 9 7 3 ) .
1 0 . S c h e n t e r , R . E . , B a k e r , J . L . a n d Kidman , R . B . - ETOX, A Co - d e t o C a l c u l a t e Group C o n s t a n t s f o r N u c l e a r R e a c t o r C a l c u -
l a t i o n s - BNWL-1002 ( 1 9 6 9 ) .
4.4 . H a r d i e , R.W. a n d L i t t l e J r , W . W . - IDX, A One D i m e n s i o n a l
D i f f u s i o n Code f o r G e n e r a t i n g E f f e c t i v e N u c l e a r C r o s s S e c -
t i o n s - BNWL-954 ( 1 9 6 9 ) .
1 2 . M a r t i n e z - V a l , J . M . - C o n j u n t o d e S e c c i o n e s E f i c a c e s Prome - d i a d a s p a r a S i s t e m a s R 5 p i d o s - C o m u n i c a c i S n p r i v a d a ( 1 9 7 6 ) .
i 3 . Askew, J . R . e t a l . - A G e n e r a l D e s c r i p t i o n of . t h e L a t t i c e
Code WIMS. JBNES. ( O c t . 1 9 6 6 1 .
1 4 . R o t h , M . J., e t a l . - The P r e p a r a t i o n of I n p u t Data f o r
WIMS - AEEW-R-538 ( 1 9 6 7 ) .
5 . A h n e r t , C . , A r a g o n G s , J . M . - M o d i f i c a c i S n de WIYSpara Con
d e n s a c i S n d e S e c c i o n e s E f i c a c e s p o r Z o n a s y / o p o r G r u p o s
c o n E s p e c t r o C r f t i c o - TRCN-27 ( E n e r o 1 9 7 6 ) .
2 6 . M i n s a r t , G . , Q u e n o n , J . - Some I m p r o v e m e n t s t o t h e S t a b i -
l i t y a n d t h e C o n v e r g e n c e o f t h e R e a c t o r Codes . DTF-IV,
EXTERMINATOR a n d TREPAN-TRIBU. " N u m e r i c a l R e a c t o r C a l c u -
l a t i o n s " - r A E A ( 1 9 7 2 ) .
