A Complete and Consistent Formal System for Sortals

8/4/2019 A Complete and Consistent Formal System for Sortals

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M a x A . F r e u n d A C o m p l e t e a n d C o n s i s t e n t

F o r m a l S y s t e m f o r S o r t a l s

A b s t r a c t . A f o r m a l l o g i c a l s y s t e m f o r s o r t a l q u a n t i e r s , s o r t a l i d e n t i t y a n d ( s e c o n d

o r d e r ) q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s i s f o r m u l a t e d . T h e a b s o l u t e c o n s i s t e n c y o f t h e

s y s t e m i s p r o v e d . A c o m p l e t e n e s s p r o o f f o r t h e s y s t e m i s a l s o c o n s t r u c t e d . T h i s p r o o f

i s r e l a t i v e t o a c o n c e p t o f l o g i c a l v a l i d i t y p r o v i d e d b y a s e m a n t i c s , w h i c h a s s u m e s a s i t s

p h i l o s o p h i c a l b a c k g r o u n d a n a p p r o a c h t o s o r t a l s f r o m a m o d e r n f o r m o f c o n c e p t u a l i s m .

K e y w o r d s : s o r t a l l o g i c , c o n c e p t u a l i s m , s e m a n t i c s f o r s o r t a l s .

I n t r o d u c t i o n

W i t h i n t h e f r a m e w o r k o f s t a n d a r d r s t o r d e r p r e d i c a t e l o g i c w i t h i d e n -

t i t y , a d j e c t i v e s , c o m m o n n o u n s a n d i n t r a n s i t i v e v e r b s a r e a l l r e p r e s e n t e d

a s m o n a d i c p r e d i c a t e s . S e v e r a l a u t h o r s h a s r a i s e d s e v e r a l o b j e c t i o n s t o t h i s

a p p r o a c h a n d a r g u e d t h a t s o r t a l t e r m s s h o u l d b e d i s t i n g u i s h e d f r o m o t h e r

p r e d i c a t e t e r m s . ( S e e , f o r e x a m p l e , G e a c h ( 1 9 8 0 ) a n d S t r a w s o n ( 1 9 5 9 ) ) . T h e

m a i n c h a r a c t e r i s t i c w h i c h s e t s t h o s e t w o k i n d s o f t e r m s a p a r t i s t h a t t h e f o r -

m e r i s c o n s t i t u t e d b y l i n g u i s t i c e x p r e s s i o n s s u p p l y i n g c r i t e r i a e n a b l i n g u s t o

d i s t i n g u i s h a n d c o u n t o b j e c t s t h a t h a v e n o t b e e n p r e v i o u s l y i n d i v i d u a t e d ,

w h i l e t h e c r i t e r i a s u p p l i e d b y e x p r e s s i o n s b e l o n g i n g t o t h e l a t t e r p r e s u p p o s e

t h a t t h e d i s t i n g u i s h e d o b j e c t s h a d b e e n a l r e a d y i n d i v i d u a t e d . A c c o r d i n g l y ,

c o m m o n n o u n s ( s u c h a s ` m a n ' , ` h o r s e ' ) w o u l d , i n g e n e r a l , c o n s t i t u t e s o r t a l s

t e r m s , b u t n o t a d j e c t i v e s a n d v e r b s ( s u c h a s ` w h i t e ' a n d ` r u n ' ) . B a s e d o n

t h e a b o v e d i s t i n c t i o n , f u r t h e r d i s t i n c t i o n s h a v e b e e n d r a w n b e t w e e n s o r t a l

a n d s t a n d a r d p r e d i c a t i o n ( e . g . , b e t w e e n ` i s a m a n ' a n d ` i s r e d ' ) , s o r t a l a n d

a b s o l u t e i d e n t i t y ( e . g . b e t w e e n ` x i s t h e s a m e m a n a s y ' a n d ` x i s i d e n t i c a l t o

y ' ) a n d , n a l l y , s o r t a l a n d a b s o l u t e ( c l a s s i c a l ) q u a n t i c a t i o n ( e . g . , b e t w e e n

` e v e r y m a n ' , ` s o m e m a n ' , a n d ` e v e r y i n d i v i d u a l ' a n d ` s o m e i n d i v i d u a l ' ) .

A s a r e s p o n s e t o t h e a b o v e d i s c u s s i o n a n d f r o m a m o d e r n c o n c e p t u a l i s t

p h i l o s o p h i c a l f r a m e w o r k , N i n o C o c c h i a r e l l a h a s i n t r o d u c e d t h e n o t i o n o f a

s o r t a l c o n c e p t , b y w h i c h h e m e a n s a n i n t e r s u b j e c t i v e l y r e a l i z a b l e c o g n i t i v e

c a p a c i t y w h o s e u s e i n t h o u g h t a n d c o m m u n i c a t i o n i s a s s o c i a t e d w i t h c e r t a i n

i d e n t i t y c r i t e r i a , i . e . , c r i t e r i a b y w h i c h w e a r e a b l e t o d i s t i n g u i s h , c o u n t a n d

c l a s s i f y o b j e c t s . ( S e e , f o r e x a m p l e C o c c h i a r e l l a ( 1 9 7 7 ) , ( 1 9 9 5 ) a n d ( 1 9 9 8 ) . )

P r e s e n t e d b y M e l v i n F i t t i n g R e c e i v e d F e b r u a r y 5 , 2 0 0 0

S t u d i a L o g i c a 6 5 : 3 6 7 { 3 8 1 , 2 0 0 0 .

c

2 0 0 0 K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s . P r i n t e d i n t h e N e t h e r l a n d s .



3 6 8 M . A . F r e u n d

T h e a b o v e d i s t i n c t i o n b e t w e e n s o r t a l a n d o t h e r p r e d i c a t e t e r m s i s e x p l a i n e d

b y h i m i n t e r m s o f t h a t n o t i o n : s o r t a l t e r m s a r e t h e o n l y e x p r e s s i o n s s t a n d i n g

f o r s o r t a l c o n c e p t s o t h e r k i n d s o f p r e d i c a t e e x p r e s s i o n s s t a n d f o r p r e d i c a b l e

c o n c e p t s .

S o r t a l a s w e l l a s p r e d i c a b l e c o n c e p t s a r e f o r m e d , a c c o r d i n g t o C o c -

c h i a r e l l a ' s c o n c e p t u a l i s t f r a m e w o r k , i n a p r o c e s s o f d i e r e n t s t a g e s i n w h i c h

c o n c e p t u a l s t r u c t u r e s a t a l a t e r s t a g e a r e i n g e n e r a l n o t e x p l i c i t l y d e n a b l e

o r r e d u c i b l e t o t h o s e a t t h e e a r l i e r t h e y p r e s u p p o s e ( a s c o n c e p t u a l l y p r i o r

b a s e s f o r t h e i r c o n s t r u c t i o n ) . M o r e o v e r , a t a n y g i v e n s t a g e o f c o n c e p t u a l

d e v e l o p m e n t , t h e e a r l i e r s t a g e s a r e n o t t h r o w n o u t b u t r a t h e r r e t a i n e d a s

s t i l l i m p o r t a n t a n d u s e f u l p a r t s o f t h e o v e r a l l c o n c e p t u a l f r a m e w o r k .

N o w , s o r t a l c o n c e p t s a n d p r e d i c a b l e c o n c e p t s a r e n o t t h e o n l y o n e s w h i c h

a r e f o r m e d i n t h e a b o v e m e n t i o n e d p r o c e s s . L o g i c a l n o t i o n s a r e a l s o d e v e l -

o p e d i n t h i s p r o c e s s a n d a t d i e r e n t s t a g e s . A m o n g t h e r s t n o t i o n s t o

b e f o r m e d t h e r e i s t h e c o n c e p t o f r e l a t i v e i d e n t i t y o r i d e n t i t y r e l a t i v e t o a

s o r t a l s u c h a s ` a i s t h e s a m e h o r s e a s b ' : o n c e s o r t a l c o n c e p t s a r e f o r m e d ,

t h e n ( w h e r e S i s a s o r t a l t e r m s u c h a s ` m a n ' ) t h e n o t i o n t h a t a n o b j e c t a i s

t h e s a m e S a s b ( i n s y m b o l s , a

S

= b ) i s c o n s t r u c t e d . I n o t h e r w o r d s , g i v e n

t h e f o r m a t i o n o f s o r t a l c o n c e p t s , t h e n o t i o n o f i d e n t i t y r e l a t i v e t o i d e n t i t y

c r i t e r i a p r o v i d e d b y a s o r t a l c o n c e p t i s d e v e l o p e d .

R e l a t i v e i d e n t i t y i s c o n s i d e r e d t o b e f o r m e d e a r l i e r ( i n t h e p r o c e s s o f c o n -

c e p t u a l d e v e l o p m e n t ) t h a n t h e n o t i o n o f a b s o l u t e o r u n r e s t r i c t e d i d e n t i t y ,

i . e . , t h e n o t i o n o f a n o b j e c t a b e i n g s i m p l i c i t e r t h e s a m e a s b ( i n s y m b o l s ,

a = b ) . I n o t h e r w o r d s , t h e n o t i o n o f r e l a t i v e i d e n t i t y i s c o n s i d e r e d t o b e c o n -

c e p t u a l l y p r i o r t o t h e n o t i o n o f a b s o l u t e i d e n t i t y . M o r e o v e r , t h e c o n s t r u c t i o n

o f a b s o l u t e i d e n t i t y p r e s s u p o s e s a p r i o r c o n s t r u c t i o n o f a n o t h e r t w o n o t i o n s :

s o r t a l q u a n t i c a t i o n a n d ( s e c o n d o r d e r ) q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s .

C o c c h i a r e l l a h a s a n a l y s e d s o r t a l q u a n t i c a t i o n i n t e r m s o f w h a t h e c a l l s

r e f e r e n t i a l c o n c e p t s , i . e . , i n t e r s u b j e c t i v e l y r e a l i z a b l e c o g n i t i v e s t r u c t u r e s t h a t

e n a b l e u s t o r e f e r t o o b j e c t s d i s t i n g u i s h e d a n d c l a s s i e d b y s o r t a l c o n c e p t s .

A c c o r d i n g l y , l i n g u i s t i c e x p r e s s i o n s s u c h a s ` e v e r y m a n ' , ` e v e r y h o r s e ' , ` s o m e

h o r s e ' a n d ` a n y h o r s e ' , w h e r e s o r t a l q u a n t i c a t i o n i s f o u n d , s t a n d f o r s u c h

r e f e r e n t i a l c o n c e p t s . N o w , a n i m p o r t a n t p o i n t i n t h e p r e s e n t p h i l o s o p h i c a l

f r a m e w o r k i s t h a t t h e n o t i o n o f s o r t a l q u a n t i c a t i o n i s s u p p o s e d t o b e f o r m e d

e a r l i e r t h a n t h e n o t i o n o f a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n , i . e . , t h e n o t i o n l i n g u i s t i -

c a l l y e x p r e s s e d , e . g . , i n t h e w o r d s ` e v e r y t h i n g ' , ` e v e r y i n d i v i d u a l ' a n d ` e v e r y

o b j e c t ' . I n t h i s w a y , s o r t a l q u a n t i c a t i o n i s c o n s i d e r e d t o b e c o n c e p t u a l l y

m o r e b a s i c t h a n a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n . A s i n t h e c a s e o f a b s o l u t e i d e n t i t y ,

a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n a l s o p r e s u p p o s e s c o n s t r u c t i o n o f t h e n o t i o n o f s e c o n d

o r d e r q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s .



A C o m p l e t e a n d C o n s i s t e n t : : : 3 6 9

I n t h e p r o c e s s o f c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t , a f t e r t h e n o t i o n o f s o r t a l q u a n -

t i c a t i o n h a s b e e n f o r m e d , a s t a g e i s r e a c h e d i n w h i c h r e f e r e n c e t o s o r t a l

c o n c e p t s i s g i v e n . A c c o r d i n g t o t h i s v i e w , o n e r s t l e a r n s t o r e f e r t o t h i n g s

o f t h e d i e r e n t s o r t s a n d t h e n t o r e f e r t o t h e s o r t s t h e m s e l v e s . I s h o u l d n o t e

t h a t t h e n o t i o n o f s e c o n d o r d e r r e f e r e n c e t o s o r t a l c o n c e p t s i s u n d e r s t o o d t o

b e i m p l i c i t l y c o u n t e r - f a c t u a l , i . e . , r e f e r e n c e i s n o t o n l y t o t h e s o r t a l c o n c e p t s

a l r e a d y c o n s t r u c t e d , b u t a l s o t o t h o s e w h i c h w e c a n i n p r i n c i p l e c o n s t r u c t .

O n c e t h e s t a g e s a t w h i c h t h e n o t i o n s o f s o r t a l q u a n t i c a t i o n , s o r t a l i d e n -

t i t y a n d s e c o n d o r d e r q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s h a v e b e e n d e v e l -

o p e d , s t a g e s o f c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t a r i s e i n w h i c h t h e c o n c e p t s o f a b s o -

l u t e i d e n t i t y a n d q u a n t i c a t i o n c a n b e f o r m e d . A k i n d o f a b s o l u t e i d e n t i t y

i s c o n s t r u c t e d i n t h e s e s t a g e s a s t h e n o t i o n o f i d e n t i t y w i t h r e s p e c t t o s o m e

s o r t a l o r o t h e r , i . e . , w i t h r e s p e c t t o a c o g n i t i v e c a p a c i t y w h i c h c a n i n p r i n c i -

p l e b e c o n s t r u c t e d a n d c a n p r o v i d e i d e n t i t y c r i t e r i a . A c c o r d i n g l y , t h i s n o t i o n

c a n b e d e n i t i o n a l l y i n t r o d u c e d a s f o l l o w s

( x = y ) =

d f

( 9 S ) ( x

S

= y )

w h e r e t h e s y m b o l 9 S s t a n d s f o r ( s e c o n d o r d e r ) e x i s t e n t i a l q u a n t i c a t i o n o v e r

s o r t a l c o n c e p t s w h i c h m i g h t i n p r i n c i p l e b e c o n s t r u c t e d .

C o n c e r n i n g a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n , o n t h e o t h e r h a n d , a k i n d o f t h i s

n o t i o n i s f o r m e d i n t h e a b o v e s t a g e s a s r e f e r e n c e t o a l l o b j e c t s o f a n y s o r t

( i . e . , r e f e r e n c e t o a l l o b j e c t s t h a t m i g h t f a l l u n d e r s o r t a l s w h i c h c o u l d i n

p r i n c i p l e b e f o r m e d ) . T h i s c a n d e n i t i o n a l l y b e e x p r e s s e d a s

( 8 x ) ' =

d f

( 8 S ) ( 8 x S ) '

w h e r e t h e s y m b o l s 8 x S s t a n d s f o r s o r t a l q u a n t i c a t i o n w i t h r e s p e c t t o t h e

s o r t a l S ( a n d s h o u l d b e r e a d a s \ f o r e v e r y S " ) a n d t h e s y m b o l 8 S s t a n d s f o r

u n i v e r s a l ( s e c o n d o r d e r ) q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s w h i c h m i g h t i n

p r i n c i p l e b e c o n s t r u c t e d ( a n d s o s h o u l d b e r e a d a s \ f o r e v e r y s o r t a l c o n c e p t " ,

w h e r e r e f e r e n c e i n t h i s l a t t e r e x p r e s s i o n s h o u l d b e u n d e r s t o o d i m p l i c i t l y

c o u n t e r - f a c t u a l ) .

N o w , i n t h e p r e s e n t p h i l o s o p h i c a l f r a m e w o r k , i t i s l e f t o p e n w h e t h e r t h e r e

i s a l e v e l o f c o n c e p t f o r m a t i o n i n w h i c h t h e n o t i o n o f a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n

a s r e f e r e n c e t o a l l o b j e c t s i n g e n e r a l ( i . e . , r e f e r e n c e t o a l l o b j e c t s i r r e s p e c t i v e

o f w h e t h e r o r n o t t h e o b j e c t s f a l l o r m i g h t f a l l u n d e r a s o r t a l c o n c e p t ) h a s

b e e n c o n s t r u c t e d . I n o t h e r w o r d s , t h e p o s s i b i l i t y t h a t t h e r e i s a m o r e m a t u r e

s t a g e o f c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t a t w h i c h w e c o m e t o r e f e r i n a n a b s o l u t e

w a y t h a t i s i n d e p e n d e n t o f s o r t a l s ( i . e . , t o r e f e r t o t h i n g s t h a t m i g h t n e v e r

b e o f a n y s o r t a t a l l ) i s n o t p r e c l u d e d , e v e n t h o u g h t h e n o t i o n p r e s u p p o s e s

t h e p h i l o s o p h i c a l l y p r o b l e m a t i c v i e w t h a t t h i n g s m i g h t e x i s t f o r w h i c h t h e r e



3 7 0 M . A . F r e u n d

w i l l n e v e r b e i d e n t i t y c r i t e r i a . T h e s a m e a p p l i e s t o t h e c o n c e p t o f a b s o l u t e

i d e n t i t y b e t w e e n o b j e c t s i n g e n e r a l . ( F o r a d e t a i l e d d i s c u s s i o n o f t h e i d e a s i n

t h i s a n d p r e v i o u s p a r a g r a p h s s e e C o c c h i a r e l l a ( 1 9 9 7 ) , ( 1 9 9 5 ) a n d ( 1 9 9 8 ) . )

T h e r e f o r e , i n t h e a b o v e p h i l o s o p h i c a l f r a m e w o r k , t h e n o t i o n s o f s o r t a l

i d e n t i t y , s o r t a l q u a n t i c a t i o n a n d s e c o n d o r d e r q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n -

c e p t s a p p e a r a s p r i m i t i v e ( a n d b a s i c ) l o g i c a l n o t i o n s c o n s t r u c t e d i n a p r o c e s s

o f d i e r e n t s t a g e s o f c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t . T h e s e n o t i o n s a r e c o n s i d e r e d

t o b e c o n c e p t u a l l y p r i o r t o ( a n d m o r e b a s i c t h a n ) a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n a n d

a b s o l u t e i d e n t i t y a n d , m o r e o v e r , t h e y c o n s t i t u t e t h e b a s i s f o r t h e c o n s t r u c -

t i o n o f a c e r t a i n k i n d o f t h e s e t w o l a t t e r c o n c e p t s . I n g e n e r a l , f o r m a t i o n o f

t h e n o t i o n s o f a b s o l u t e i d e n t i t y a n d a b s o l u t e q u a n t i c a t i o n i s v i e w e d a s n o t

h a v i n g a d e v e l o p m e n t i n d e p e n d e n t f r o m t h e t h r e e a b o v e m e n t i o n e d l o g i c a l

n o t i o n s .

A s e t - t h e o r e t i c s e m a n t i c s f o r s o r t a l i d e n t i t y , s o r t a l q u a n t i c a t i o n a n d

( s e c o n d o r d e r ) q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s h a s b e e n f o r m u l a t e d i n

C o c c h i a r e l l a ( 1 9 7 7 ) a n d c o n s t i t u t e s a s e m a n t i c s y s t e m f o r a l a n g u a g e c o n -

t a i n i n g ( i n i t s l o g i c a l s y n t a x ) t h e p a s t a n d f u t u r e t e n s e p r o p o s i t i o n a l t e m -

p o r a l o p e r a t o r s a s w e l l a s t h e n o w o p e r a t o r . S e v e r a l s e m a n t i c s y s t e m s a r e

c l e a r l y d e r i v a b l e f r o m C o c c h i a r e l l a ' s s y s t e m b y r e s t r i c t i n g i t t o l a n g u a g e s

w i t h f e w e r p r o p o s i t i o n a l o p e r a t o r s i n t h e i r l o g i c a l s y n t a x a n d , i n p a r t i c u l a r ,

t o a f u l l y e x t e n s i o n a l l a n g u a g e , i . e . , a l a n g u a g e h a v i n g t h e c l a s s i c a l p r o p o s i -

t i o n a l o p e r a t o r s a n d n o i n t e n s i o n a l o p e r a t o r s i n t h e i r l o g i c a l s y n t a x .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t a b s o l u t e q u a n t i e r s a n d a b s o l u t e i d e n t i t y

a r e n o t i n c l u d e d i n t h e a f o r e m e n t i o n e d s e m a n t i c s y s t e m s a n d , i n p a r t i c u l a r ,

i n t h e r e s t r i c t i o n t o a f u l l y e x t e n s i o n a l l a n g u a g e . H o w e v e r , i n t h i s l a t t e r

r e s t r i c t i o n t h e s y s t e m a l l o w s t h a t a n o b j e c t ( i n t h e s e n s e o f a v a l u e o f a f r e e

i n d i v i d u a l v a r i a b l e ) m a y n o t b e i d e n t i a b l e b y a n y s o r t a l c o n c e p t a t a l l , i . e . ,

i n s y m b o l s , : 9 S ( x

S

= x ) i s c o n s i s t e n t i n t h e r e s t r i c t e d s e m a n t i c s y s t e m . T h i s

i s t o b e i n a c c o r d w i t h t h e a b o v e m e n t i o n e d p o s i t i o n o f n o t p r e c l u d i n g t h e

p o s s i b i l i t y t h a t a t a s t a g e o f c o n c e p t f o r m a t i o n w e m i g h t c o m e t o r e f e r i n a n

a b s o l u t e w a y i n d e p e n d e n t o f s o r t a l s . I t s h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t L e i b n i z ' s

l a w i s p r e s e r v e d u n d e r r e l a t i v e ( s o r t a l ) i d e n t i t y i n t h e s e m a n t i c s y s t e m s a n d

s o i t a g r e e s i n t h i s r e g a r d w i t h t h e v i e w , e . g . , o f C o c c h i a r e l l a ( 1 9 7 7 ) a n d

W i g g i n s ( 1 9 8 0 ) a n d i s o p p o s e d t o t h a t o n e o f G e a c h a n d R o u t l e y . F i n a l l y ,

I s h o u l d a d d t h a t a s e m a n t i c c l a u s e f o r s o r t a l p r e d i c a t i o n i s n o t i n c l u d e d

i n t h e d i e r e n t s y s t e m s b e c a u s e i n C o c c h i a r e l l a ( 1 9 7 7 , p . 4 4 6 ) i t h a s b e e n

d e n e d i n t e r m s o f s o r t a l p r e d i c a t i o n a n d s o r t a l i d e n t i t y .

N o w , c o n s i s t e n t f o r m a l s y s t e m s t o g e t h e r w i t h c o m p l e t e n e s s p r o o f s w i t h

r e s p e c t t o c o n c e p t s o f l o g i c a l v a l i d i t y ( p r o v i d e d b y C o c c h i a r e l l a ' s o w n s y s t e m

a s w e l l a s b y t h e p a r t i c u l a r s e m a n t i c s y s t e m s d e r i v a b l e f r o m i t ) h a v e n o t b e e n




c o n s t r u c t e d . I n t h i s a r t i c l e , I s h a l l f o c u s o n t h e a b o v e m e n t i o n e d r e s t r i c t i o n

o f C o c c h i a r e l l a ' s o r i g i n a l s e m a n t i c s y s t e m t o a f u l l y e x t e n s i o n a l l a n g u a g e . I

s h a l l f o r m u l a t e a n a x i o m a t i c f o r m a l s y s t e m , p r o v e i t s c o n s i s t e n c y a s w e l l a s

i t s s o u n d n e s s a n d c o m p l e t e n e s s w i t h r e s p e c t t o t h i s r e s t r i c t i o n .

1 . S y n t a x a n d s e m a n t i c s

T h e s e t o f p r i m i t i v e l o g i c a l s y m b o l s w i l l c o n s i s t o f t h e s y m b o l s : , ! , = , ( ,

) , 8 . T h e c l a s s i c a l p r o p o s i t i o n a l o p e r a t o r s o f c o n j u n c t i o n , d i s j u n c t i o n a n d

m a t e r i a l e q u i v a l e n c e w i l l b e r e p r e s e n t e d b y t h e s y m b o l s ` & ' , ` _ ' a n d ` $ ' ,

r e s p e c t i v e l y , a n d d e n e d i n t h e u s u a l w a y . I s h a l l a s s u m e d e n u m e r a b l y m a n y

i n d i v i d u a l v a r i a b l e s , s o r t a l t e r m v a r i a b l e s a n d , f o r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r n , n -

p l a c e p r e d i c a t e v a r i a b l e s . I s h a l l u s e ` x ' , ̀ y ' a n d ` z ' w i t h o r w i t h o u t n u m e r i c a l

s u b s c r i p t s t o r e f e r ( i n t h e m e t a l a n g u a g e ) t o i n d i v i d u a l v a r i a b l e s a n d u p p e r

c a s e l e t t e r s i n i t a l i c s ( s u c h a s ` S ' a n d ` H ' ) t o r e f e r t o s o r t a l t e r m v a r i a b l e s .

A t o m i c w s a r e e x p r e s s i o n s e i t h e r o f t h e f o r m o f a r e l a t i v e i d e n t i t y ( a

S

= b ) ,

w h e r e a a n d b a r e i n d i v i d u a l v a r i a b l e s a n d S i s a s o r t a l t e r m v a r i a b l e o r

o f t h e f o r m x

1

: : : x

n

, w h e r e i s a n n - p l a c e p r e d i c a t e v a r i a b l e a n d x

1

, : : : ,

x

n

a r e i n d i v i d u a l v a r i a b l e s . A s s t a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e a t o m i c w

( a

S

= b ) s h o u l d b e r e a d a s \ a i s t h e s a m e S a s b " .

T h e s e t o f w s i s t h e s m a l l e s t s e t c o n t a i n i n g t h e a t o m i c w s a n d s u c h

t h a t : ' , ( ' ! ) , 8 x S ' a n d 8 S ' a r e i n t h e s e t w h e n e v e r ' , a r e i n t h e s e t

a n d w h e r e x a n d S a r e , r e s p e c t i v e l y , a n i n d i v i d u a l v a r i a b l e a n d a s o r t a l t e r m

v a r i a b l e . A s s t a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , f o r a n y g i v e n s o r t a l t e r m v a r i a b l e S ,

t h e e x p r e s s i o n s 8 x S a n d 8 S f o r m a l l y r e p r e s e n t s , r e s p e c t i v e l y , s o r t a l q u a n -

t i c a t i o n w i t h r e s p e c t t o S a n d u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s .

A c c o r d i n g l y , w h e r e S i s a s o r t a l t e r m v a r i a b l e , t h e e x p r e s s i o n 8 x S s h o u l d

b e r e a d a s \ f o r e v e r y S " a n d 8 S a s \ f o r e v e r y s o r t a l c o n c e p t " .

I n a g i v e n c o n t e x t , I s h a l l u s u a l l y d r o p t h e u s e o f p a r e n t h e s e s w h e n e v e r

t h e r e i s n o d a n g e r o f a m b i g u i t y . H e r e a f t e r , I s h a l l m a k e u s e o f l o w e r c a s e

g r e e k l e t t e r s ' , , , a n d t o r e f e r t o w s , t o r e f e r t o p r e d i c a t e v a r i a b l e s

a n d u p p e r c a s e g r e e k l e t t e r s ; a n d t o r e f e r t o s e t s o f w s . T h e c o n c e p t s

o f a b o u n d a n d f r e e o c c u r r e n c e o f a v a r i a b l e a r e u n d e r s t o o d i n t h e u s u a l w a y .

I f a n d a r e v a r i a b l e s o f t h e s a m e t y p e , t h e n b y '

i s m e a n t t h e w t h a t

r e s u l t s b y r e p l a c i n g e a c h f r e e o c c u r r e n c e o f b y a f r e e o c c u r r e n c e o f , i f

s u c h a w e x i s t s , a n d o t h e r w i s e '

i s ' i t s e l f . I s h a l l s a y t h a t i s f r e e f o r

i n ' , i f '

i s n o t ' u n l e s s i s .

H a v i n g s p e c i e d t h e s y n t a x , I n o w p r o c e e d t o d e s c r i b e t h e s e m a n t i c

s y s t e m f o r s o r t a l s . A s n o t e d a b o v e , t h i s s y s t e m h a s a s i t s p h i l o s o p h i c a l

b a c k g r o u n d t h e a s s u m p t i o n s a l r e a d y o u t l i n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n .



3 7 2 M . A . F r e u n d

I s h a l l r s t d e n e a r e s t r i c t e d C o c c h i a r e l l a n s o r t a l f r a m e ( C - f r a m e , f o r

s h o r t ) , a s a s t r u c t u r e h D S i s u c h t h a t ( 1 ) D i s a d o m a i n o f d i s c o u r s e , e m p t y

o r o t h e r w i s e a n d ( 2 ) S P ( D ) ( w h e r e ` P ( D ) ' s t a n d s f o r t h e p o w e r s e t o f

D ) . B y a n a s s i g n m e n t ( o f v a l u e s t o v a r i a b l e s ) i n a C - f r a m e h D S i I s h a l l

u n d e r s t a n d a f u n c t i o n A w i t h t h e s e t o f v a r i a b l e s ( o f a l l t y p e s ) a s d o m a i n

a n d s u c h t h a t ( 1 ) A ( x ) 2 D , f o r e a c h i n d i v i d u a l v a r i a b l e x , ( 2 ) A ( H ) 2 S ,

f o r e a c h s o r t a l t e r m v a r i a b l e H , a n d ( 3 ) f o r e a c h p o s i t i v e i n t e g e r n a n d

n - p l a c e p r e d i c a t e v a r i a b l e , A ( ) 2 P ( D

n

) .

B y a C o c c h i a r e l l a n s o r t a l m o d e l ( C - m o d e l , f o r s h o r t ) I s h a l l m e a n a n

o r d e r e d p a i r A = h h D S i A i , w h e r e A i s a n a s s i g n m e n t i n t h e C - f r a m e

h D S i . B y A ( d = a ) I s h a l l u n d e r s t a n d t h e o r d e r e d p a i r h h D S i A ( d = a ) i ,

w h e r e A ( d = a ) i s l i k e A e x c e p t f o r a s s i g n i n g d t o a , w h e r e a i s e i t h e r a n

i n d i v i d u a l o r a s o r t a l t e r m v a r i a b l e .

L e t A b e a C - m o d e l h h D S i A i . I s h a l l d e n e t h e t r u t h - v a l u e o f ' i n

A ( i n s y m b o l s , V a l ( ' A ) ) a s f o l l o w s :

1 . V a l ( x

S

= y A ) = 1 i A ( x ) = A ( y ) a n d A ( y ) 2 A ( S )

2 . V a l ( x

1

: : : x

n

A ) = 1 i h A ( x

1

) : : : A ( x

n

) i 2 A ( )

3 . V a l ( : ' A ) = 1 i V a l ( ' A ) = 0

4 . V a l ( ' ! A ) = 1 i e i t h e r V a l ( : ' A ) = 1 o r V a l ( A ) = 1

5 . V a l ( 8 H ' A ) = 1 i f o r e v e r y d 2 S , V a l ( ' A ( d = H ) = 1

6 . V a l ( 8 x H ' A ) = 1 i f o r e v e r y d 2 A ( H ) , V a l ( ' A ( d = x ) ) = 1 .

F i n a l l y , a w ' i s s a i d t o b e C - v a l i d i f a n d o n l y i f V a l ( ' A ) = 1 f o r a n y

C - m o d e l A , a n d a s e t ; i s C - s a t i s a b l e i f a n d o n l y i f t h e r e i s a C - m o d e l B

s u c h t h a t V a l ( ' B ) = 1 , f o r e v e r y ' 2 ; .

A s t h e r e a d e r m i g h t h a v e n o t i c e d , i n a n y C - m o d e l t h e s e t S s e t - t h e -

o r e t i c a l l y r e p r e s e n t s t h e s e t o f s o r t a l c o n c e p t s w h i c h h a v e b e e n a n d m i g h t

i n p r i n c i p l e b e c o n s t r u c t e d w i t h r e s p e c t t o t h e d o m a i n D ( i n a c e r t a i n p r o -

c e s s o f c o n c e p t u a l d e v e l o p m e n t ) . I n t h i s w a y , i n a g i v e n a s s i g n m e n t s o r t a l

t e r m s v a r i a b l e s w o u l d s t a n d f o r ( s e t - t h e o r e t i c a l l y r e p r e s e n t a t i o n s o f ) s o r t a l

c o n c e p t s . T h e n , r e l a t i v e t o o n e o f s u c h a s s i g n m e n t s , c l a u s e 6 w o u l d e x p r e s s

u n i v e r s a l q u a n t i c a t i o n o v e r a l l t h e o b j e c t s f a l l i n g u n d e r t h e s o r t a l c o n c e p t a

g i v e n s o r t a l t e r m v a r i a b l e s t a n d s f o r . C l a u s e 5 a b o v e w o u l d s e t - t h e o r e t i c a l l y

c a p t u r e t h e c o n c e p t o f ( s e c o n d o r d e r ) q u a n t i c a t i o n o v e r s o r t a l c o n c e p t s .

C l a u s e 2 s e t - t h e o r e t i c a l l y r e p r e s e n t s p r e d i c a t i o n w i t h r e s p e c t t o p r e d i c a b l e

c o n c e p t s . A s a l r e a d y r e m a r k e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e r e i s n o n e e d f o r

a s e m a n t i c c l a u s e c o r r e s p o n d i n g t o p r e d i c a t i o n w i t h r e s p e c t t o s o r t a l s b e -

c a u s e i t c a n b e d e n e d i n t e r m s o f s o r t a l q u a n t i c a t i o n a n d s o r t a l i d e n t i t y .

O b v i o u s l y , c l a u s e 1 s e t - t h e o r e t i c a l l y e x p r e s s e s t h e n o t i o n o f s o r t a l i d e n t i t y .




2 . S y s t e m S Q

I s h a l l n o w f o r m u l a t e a n a x i o m a t i c s y s t e m ( w h i c h I s h a l l c a l l S Q ) a n d p r o v e

i t s a b s o l u t e c o n s i s t e n t y . I n t h e n e x t s e c t i o n , I w i l l s h o w t h a t S Q i s c o m p l e t e

w i t h r e s p e c t t o C - v a l i d i t y .

A x i o m s

A 0 A l l t a u t o l o g i e s

A 1 8 x S 9 y S ( y

S

= x )

A 2 ' ! 8 y S ' , p r o v i d e d y d o e s n o t o c c u r f r e e i n '

A 3 ' ! 8 S ' , p r o v i d e d S d o e s n o t o c c u r f r e e i n '

A 4 x

S

= x ! 9 y S ( y

S

= x ) , w h e r e y i s a v a r i a b l e o t h e r t h a n x

A 5 ( 8 S ' ! '

H

S

) , p r o v i d e d H i s f r e e f o r S i n '

A 6 x

S

= y ! x

S

= x

A 7 8 x S ( ' ! ) ! 8 x S ' ! 8 x S )

A 8 8 S ( ' ! ) ! ( 8 S ' ! 8 S )

L L x

S

= y ! ( ' $ '

) , w h e r e '

i s o b t a i n e d f r o m ' b y r e p l a c i n g o n e

o r m o r e f r e e o c c u r r e n c e s o f x b y f r e e o c c u r r e n c e s o f y .

R u l e s :

U G f r o m ' i n f e r 8 y S '

U G ( s ) f r o m ' i n f e r 8 S '

M P f r o m ' a n d ' ! i n f e r .

T h e e x i s t e n t i a l q u a n t i e r s a r e d e n e d a s u s u a l .

D e f i n i t i o n s

9 y S ' =

d f

: 8 y : '

9 S ' =

d f

: 8 S : '

T h e n o t i o n o f a t h e o r e m ( r e l a t i v e t o S Q ) w i l l b e d e n e d i n t h e c u s t o m a r y

w a y a s f o l l o w s : a w ' i s a t h e o r e m o f S Q ( i n s y m b o l s , ̀

S Q

' ) i f a n d o n l y

i f t h e r e i s n i t e s e q u e n c e o f w s

1

, : : : ,

n

s u c h t h a t e v e r y m e m b e r o f t h e

s e q u e n c e i s e i t h e r a n a x i o m o f S Q o r f o l l o w s f r o m p r e v i o u s m e m b e r s o f t h e

s e q u e n c e b y o n e t h e r u l e s o f S Q a n d ' i s

n

.

C o n v e n t i o n . F r o m n o w o n , a p r o o f r e q u i r i n g r e a s o n i n g i n a c c o r d a n c e w i t h

c l a s s i c a l p r o p o s i t i o n a l l o g i c w i l l b e d e n o t e d b y P L .

I w i l l n o w s h o w t h a t s e v e r a l p r i n c i p l e s i n s t r u m e n t a l i n t h e c o m p l e t e n e s s

p r o o f f o r S Q ( w i t h r e s p e c t t o C - v a l i d i t y ) a r e t h e o r e m s o f t h e s y s t e m .



3 7 4 M . A . F r e u n d

T h e o r e m s

T 0 9 x S ( x

S

= y ) ! ( 8 x S ' ! '

y

x

) , p r o v i d e d y i s a v a r i a b l e o t h e r t h a n

x f r e e f o r x i n ' ( B y L L , P L , U G )

T 1 8 y S ' $ 8 z S '

z

y

, p r o v i d e d z i s f r e e f o r y i n ' a n d d o e s n o t o c c u r

f r e e i n ' ( b y U G , T 0 , A 1 , A 2 )

T 2 8 S ' $ 8 H '

H

S

, p r o v i d e d H i s f r e e f o r S i n ' a n d d o e s n o t o c c u r

f r e e i n ' ( b y U G ( s ) , A 5 , A 3 )

T 3 x

S

= y ! y

S

= x ( b y L L , A 6 , P L )

T 4 x

S

= y ! 9 z S ( z

S

= x ) ( b y A 6 , A 4 , P L )

T 5 ( 9 S ( x

S

= y ) & 9 S ( y

S

= z ) ) ! 9 S ( x

S

= z ) ( b y L L , U G ( s ) , A 3 , A 8 , T 2 )

T 6 9 z S ( y

S

= z ) ! 9 S ( 9 z S ( y

S

= z ) ) ( b y A 5 , P L )

T 7 9 S ( x

S

= y ) ! 9 S 9 z S ( z

S

= y ) ( b y T 4 , U G ( s ) , A 8 , P L )

T 8 x

S

= y ! ( 9 H ( x

H

= y ) & 9 z S ( z

S

= y ) ) ( b y T 4 , A 5 , P L , d e n i t i o n )

T 9 9 y S ( x

S

= y ) ! x

S

= x ( b y A 6 , P L , U G , A 7 , A 2 , d e n i t i o n )

T 1 0 : 9 S ( x

S

= x ) ! 8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) ) ( b y T 9 , A 5 , P L , U G ( s ) , A 3 )

T 1 1 9 z S ( y

S

= z ) ! ( 9 H ( x

H

= y ) ! ( x

S

= y ) ) ( b y L L , U G ( s ) , P L , T 9 , A 8 , A 3 )

I t c a n b e e a s i l y s h o w n ( b y i n d u c t i o n o n t h e o r e m s ) t h a t S Q i s s o u n d w i t h

r e s p e c t t o C - v a l i d i t y .

M e t a t h e o r e m I . ( S o u n d n e s s T h e o r e m ) F o r e v e r y w ' , i f ' i s a t h e o r e m

o f S Q , t h e n ' i s C - v a l i d .

N o w , a s t h e p r o o f t o t h e f o l l o w i n g m e t a t h e o r e m s h o w s , S Q i s r e l a t i v e l y

c o n s i s t e n t t o s t a n d a r d s e c o n d o r d e r l o g i c .

M e t a t h e o r e m I I . S Q i s r e l a t i v e l y c o n s i s t e n t t o s t a n d a r d s e c o n d o r d e r l o g i c .

P r o o f . R e c u r s i v e l y d e n e t h e f u n c t i o n t a s t h a t f u n c t i o n w h o s e d o m a i n i s

t h e s e t o f w s s u c h t h a t :

t ( x

S

= y ) = ( x = y )

t ( x

1

: : : x

n

) = x

1

: : : x

n

t ( 8 x S ' ) = 8 x ( t ( ' ) )

t ( 8 S ' ) = 8 S

( t ( ' ) )

t ( : ' ) = : t ( ' )

t ( ' ! ) = t ( ' ) ! t ( )

w h e r e S

i s t h e r s t m o n a d i c p r e d i c a t e v a r i a b l e n e w t o ' .




C l e a r l y , f o r e v e r y w ' , t ( ' ) i s a w e l l f o r m e d f o r m u l a o f s t a n d a r d s e c o n d

o r d e r l o g i c . T h e r e a d e r c a n e a s i l y v e r i f y t h a t t ( ' ) i s a t h e o r e m o f s t a n d a r d

s e c o n d o r d e r l o g i c ( a s d e s c r i b e d f o r e x a m p l e , i n C o c c h i a r e l l a ( 1 9 8 6 , p . 1 8 2 ) ) ,

w h e n e v e r ' i s a n a x i o m o f S Q . A l s o , i f t ( ' ) a n d t ( ' ! ) a r e t h e o r e m s o f

s e c o n d o r d e r l o g i c , t h e n t ( ) , t ( 8 x S ' ) a n d t ( 8 S ' ) a r e t h e o r e m s o f s t a n d a r d

s e c o n d o r d e r l o g i c a s w e l l . T h a t i s , t h e M P , U G ( s ) a n d U G r u l e s p r e s e r v e

t h e o r e m h o o d u n d e r t h e t r a n s l a t i o n f u n c t i o n t . T h e r e f o r e , i f ' i s a t h e o r e m

o f S Q , t ( ' ) i s a t h e o r e m o f s t a n d a r d s e c o n d o r d e r l o g i c . C o n s e q u e n t l y , S Q

i s c o n s i s t e n t i f s t a n d a r d s e c o n d o r d e r l o g i c i s c o n s i s t e n t .

A s s h o w n i n C h u r c h ( 1 9 5 8 ) , s t a n d a r d s e c o n d o r d e r l o g i c i s a b s o l u t e l y

c o n s i s t e n t . C o n s e q u e n t l y , g i v e n M e t a t h e o r e m I I , S Q i s a b s o l u t e l y c o n s i s t e n t .

C o r o l l a r y . S Q i s a b s o l u t e l y c o n s i s t e n t .

3 . C o m p l e t e n e s s t h e o r e m f o r S Q

I s h a l l n o w c o n s t r u c t t h e c o m p l e t e n e s s p r o o f f o r S Q . H o w e v e r , b e f o r e d o i n g

s o , I m u s t r s t s t a t e t h e f o l l o w i n g d e n i t i o n s :

D e f i n i t i o n 1 . L e t ; b e a s e t a w s . T h e s e t ; i s ! - c o m p l e t e i f a n d o n l y

i f f o r e v e r y w ' , b o t h ( i ) i f 9 x S ' 2 ; , t h e n f o r s o m e v a r i a b l e y o t h e r t h a t

x f r e e f o r x i n ' , ( 9 x S ( x

S

= y ) & '

y

x

) 2 ; a n d ( i i ) i f 9 S ' 2 ; , t h e n t h e r e i s

a s o r t a l t e r m T f r e e f o r S i n ' s u c h t h a t '

T

S

2 ; .

D e f i n i t i o n 2 . ; i s a S Q - m a x i m a l l y c o n s i s t e n t s e t o f w s o f S Q i f a n d o n l y

i f ; i s S Q c o n s i s t e n t a n d f o r e v e r y w ' , e i t h e r ' 2 ; o r : ' 2 ; .

D e f i n i t i o n 3 . L e t ' b e a w a n d a n i n d i v i d u a l o r s o r t a l t e r m v a r i a b l e .

B y r e c u r s i o n , I s h a l l d e n e t h e e x p r e s s i o n ` '

( )

] ' , w h i c h i n t u i t i v e l y s h o u l d b e

u n d e r s t o o d a s t h e r e s u l t o f r e w r i t t i n g a l l b o u n d o c c u r r e n c e s o f b y v a r i a b l e s

n e w t o ' o f t h e s a m e t y p e a s .

I f ' i s a n a t o m i c w , t h e n '

( )

] = ' .

I f ' i s o f t h e f o r m : , t h e n '

( )

] = :

( )

] .

I f ' i s o f t h e f o r m ! , t h e n '

( )

] =

( )

] !

( )

] .

I f ' i s o f t h e f o r m 8 z S , t h e n

'

( )

] =

8

<

:

8 z S

( )

] i f z i t n o t

8 k S

( )

]

k

i f z i s a n d k i s t h e r s t

i n d i v i d u a l v a r i a b l e n e w t o

( )

] a n d ' .



3 7 6 M . A . F r e u n d

I f ' i s o f t h e f o r m 8 S , t h e n

'

( )

] =

8

<

:

8 S

( )

] i f S i t n o t

8 H

( )

]

H

i f S i s a n d H i s t h e r s t

s o r t a l v a r i a b l e n e w t o

( )

] a n d ' .

D e f i n i t i o n 4 . ' i s a S Q - t h e o r e m o f ; ( i n s y m b o l s , ; ̀

S Q

' ) i f a n d o n l y i f

t h e r e a r e w s

1

, : : : ,

n

2 ; s u c h t h a t (

1

& &

n

) ! ' i s a t h e o r e m

o f S Q .

I s h a l l n o w s t a t e s e v e r a l l e m m a s i n d i s p e n s a b l e i n t h e c o m p l e t e n e s s p r o o f

o n p p . 3 7 7 { 3 8 0 . B y i n d u c t i o n o n t h e c o m p l e x i t y o f , L e m m a 1 c a n b e

p r o v e d u s i n g T 1 a n d L e m m a 2 u s i n g T 2 .

L e m m a 1 . F o r a n y i n d i v i d u a l v a r i a b l e x , ̀

S Q

( x )

] $ .

L e m m a 2 . F o r a n y s o r t a l t e r m v a r i a b l e S , ̀

S Q

( S )

] $ .

N o t e 1 . I f x i s f r e e f o r y i n , t h e n

x

y

( x )

] i s

( x )

]

x

y

a n d s o b y L e m m a 1 ,

̀

S Q

( x )

]

x

y

$

x

y

.

N o t e 2 . I f S i s f r e e f o r H i n , t h e n

S

H

( S )

] i s

( S )

]

S

H

a n d s o b y L e m m a 2 ,

̀

S Q

( S )

]

S

H

$

S

H

.

L e m m a 3 . F o r a n y w ' , i f A = h D L A i i s a C - m o d e l a n d y i s a n

i n d i v i d u a l v a r i a b l e f r e e f o r x i n ' , t h e n V a l ( ' A ( A ( y ) = x ) ) = 1 i f a n d o n l y

i f V a l ( '

y

x

A ) = 1 .

P r o o f . L e t C = f n 2 ! j f o r a n y w ' a n d C - m o d e l A = h D L A i i f

' i s o f c o m p l e x i t y n a n d y i s a n i n d i v i d u a l v a r i a b l e f r e e f o r x i n ' , t h e n

V a l ( ' A ( A ( y ) = x ) ) = 1 i f a n d o n l y i f V a l ( '

y

x

A ) = 1 g . B y s t r o n g i n d u c t i o n

i t w i l l b e s h o w n t h a t ! C . S o l e t n 2 ! , x a n d y i n d i v i d u a l v a r i a b l e s

a n d s u p p o s e t h a t ' i s a w o f c o m p l e x i t y n i n w h i c h y i s f r e e f o r x i n ' ,

A = h D L A i i s a C - m o d e l a n d a s s u m e t h a t f o r e v e r y t < n , t 2 C . S i n c e

c a s e s w h e r e ' i s e i t h e r a n a t o m i c w o r o f t h e f o r m : o r ! ( f o r w s

, ) a r e f a i r l y s i m p l e , o n l y t h e c a s e s w h e r e ' i s e i t h e r 8 z S o r 8 S , f o r

s o m e w w i l l b e s h o w n .

S o s u p p o s e ' i s 8 z S , f o r s o m e w . T h e n , b y d e n i t i o n , V a l ( 8 z S

A ( A ( y ) = x ) ) = 1 i f a n d o n l y i f f o r a n y d 2 A ( S ) , V a l ( A ( A ( y ) = x d = z ) ) = 1 .

C l e a r l y , s i n c e y i s f r e e f o r x i n ' , t h e n y i s f r e e f o r x i n . O n t h e o t h e r

h a n d , f o r a n y d 2 A ( S ) , A ( d = z ) i s a C - m o d e l a n d i s o f c o m p l e x i t y

l e s s t h a n n . T h e n , b y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s , f o r a n y d 2 A ( S ) , V a l (

A ( A ( y ) = x ) d = z ) = 1 i f a n d o n l y i f f o r a n y d 2 A ( S ) , V a l (

y

x

A ( d = z ) ) = 1 .

T h e r e f o r e , V a l ( 8 z S A ( A ( y ) = x ) ) = 1 i f a n d o n l y i f V a l ( 8 z S

y

x

A ) = 1 .




S u p p o s e n o w ' i s 8 S , f o r s o m e w . T h e n , b y d e n i t i o n , V a l ( 8 S

A ( A ( y ) = x ) ) = 1 i f a n d o n l y i f f o r e v e r y d 2 L , V a l ( A ( A ( y ) = x d = S ) ) = 1 .

N o w , s i n c e y i s f r e e f o r x i n ' , t h e n y i s f r e e f o r x i n . A l s o , A ( d = S ) i s a C -

m o d e l , f o r e v e r y d 2 L , a n d i s o f c o m p l e x i t y l e s s t h a n n . T h e n , b y t h e i n -

d u c t i v e h y p o t h e s i s , f o r e v e r y d 2 L , V a l ( A ( A ( y ) = x ) d = S ) = 1 i f a n d o n l y

i f f o r e v e r y d 2 L , V a l (

y

x

A ( d = S ) ) = 1 . T h e r e f o r e , V a l ( 8 S A ( A ( y ) = x ) ) =

1 i f a n d o n l y i f V a l ( 8 S

y

x

A ) = 1 .

T h e p r o o f f o r t h e f o l l o w i n g L e m m a p r o c e e d s i n a w a y a n a l o g o u s t o t h e

p r o o f f o r t h e p r e v i o u s o n e .

L e m m a 4 . F o r a n y w ' , i f A = h D L A i i s a C - m o d e l a n d H i s a s o r t a l

t e r m v a r i a b l e f r e e f o r S i n ' , t h e n V a l ( ' A ( A ( H ) = S ) ) = 1 i f a n d o n l y i f

V a l ( '

H

S

A ) = 1 .

G i v e n t h e a b o v e l e m m a s a n d d e n i t i o n s , t h e c o m p l e t e n e s s o f S Q c a n n o w

b e s h o w n .

M e t a t h e o r e m I I I . ( C o m p l e t e n e s s T h e o r e m f o r S Q ) I f ; i s S Q - c o n s i s t e n t ,

t h e n ; i s C - s a t i s a b l e .

P r o o f . A s s u m e t h e h y p o t h e s i s o f t h e t h e o r e m . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y ,

s u p p o s e t h e r e a r e d e n u m e r a b l y m a n y i n d i v i d u a l v a r i a b l e s y

0

, : : : , y

n

, : : : a n d

d e n u m e r a b l y m a n y s o r t a l t e r m v a r i a b l e s H

0

, : : : , H

n

, : : : w h i c h d o n o t o c c u r

i n ; . ( O t h e r w i s e f o r e a c h k 2 ! r e p l a c e t h e k - t h i n d i v i d u a l v a r i a b l e a n d t h e

k - t h s o r t a l t e r m v a r i a b l e i n a l l t h e w s i n ; b y t h e 2 k - t h i n d i v i d u a l a n d s o r t a l

t e r m v a r i a b l e , r e s p e c t i v e l y . I t c a n t h e n b e e a s i l y s h o w n t h a t ; i s s a t i s a b l e

i f a n d o n l y i f t h e r e p l a c e m e n t s e t f o r ; i s a n d t h a t t h e r e p l a c e m e n t s e t f o r

; i s c o n s i s t e n t i f ; i s c o n s i s t e n t . ) L e t

0

, : : : ,

n

, : : : b e a n e n u m e r a t i o n o f

t h e w s o f t h e f o r m 9 y S ' o r 9 S ' . D e n e a c h a i n o f s e t s ;

0

, : : : , ;

n

, : : : a s

f o l l o w s .

;

0

= ;

I f

n

i s o f t h e f o r m 9 y S ' ,

;

n + 1

= ;

n

f 9 y S ' ! ( 9 y S ( y

S

= x ) & '

x

y

) g

w h e r e x i s t h e r s t i n d i v i d u a l v a r i a b l e n e w t o ; f

n

g ) .

I f

n

i s o f t h e f o r m 9 S ' ,

;

n + 1

= ;

n

f 9 S ' ! '

H

S

g

w h e r e H i s t h e r s t s o r t a l t e r m v a r i a b l e n e w t o ;

n

f

n

g ) .

B y w e a k i n d u c t i o n , i t c a n b e s h o w n t h a t f o r e v e r y n 2 ! , ;

n

i s c o n s i s t e n t :

b y a s s u m p t i o n , ;

0

i s c o n s i s t e n t . A s s u m e t h a t ;

n

i s c o n s i s t e n t a n d a l s o



3 7 8 M . A . F r e u n d

t h a t ;

n + 1

i s n o t c o n s i s t e n t . F i r s t s u p p o s e t h a t ;

n + 1

= ;

n

f 9 y S ' !

( 9 y S ( y

S

= x ) & '

x

y

) g . T h e n , ;

n

̀ ( 9 y S ' ! 9 y S ( y

S

= x ) & '

x

y

) ! a n d

;

n

̀ ( 9 y S ' ! ( 9 y S ( y

S

= x ) & '

x

y

) ) ! : , f o r s o m e w . C o n s e q u e n t l y ,

b y P L , ;

n

` 9 y S ' a n d ;

n

̀ ( 9 y S ( y

S

= x ) ! : '

x

y

) . G i v e n t h a t x d o e s n o t

o c c u r i n ;

n

, f r o m ;

n

̀ ( 9 y S ( y

S

= x ) ! : '

x

y

) ( b y U . G . , A 7 , A 2 , P L , A 1 , T 1

a n d d e n i t i o n ) i t f o l l o w s t h a t ;

n

` : 9 y S ' , w h i c h i s i m p o s s i b l e b e c a u s e ;

n

i s

c o n s i s t e n t b y a s s u m p t i o n . S u p p o s e n o w t h a t t h a t ;

n + 1

= ;

n

f 9 S ' ! '

H

S

g .

T h e n b y P L , ;

n

` 9 S ' a n d ;

n

` : ' H = S . F r o m ;

n

` : ' H = S ( b y U G ( s ) ,

A 8 , A 3 T 2 a n d d e n i t i o n ) i t f o l l o w s t h a t ;

n

` : 9 S ' , w h i c h i s i m p o s s i b l e b y

a s s u m p t i o n .

S e t ;

=

S

n 2 !

;

n

. C l e a r l y , b y a b o v e ;

i s c o n s i s t e n t . B y L i n d e n b a u m ' s

m e t h o d , e x t e n d ;

t o a m a x i m a l l y c o n s i s t e n t s e t . N o t e t h a t b y c o n s t r u c -

t i o n i s ! - c o m p l e t e . D e n e a r e l a t i o n a m o n g t h e s e t o f i n d i v i d u a l v a r i a b l e s

a s f o l l o w s :

x

=

z i e i t h e r 9 S ( x

S

= z ) 2 o r

8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= z ) ) 2 :

L e m m a 5 .

=

i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n i n t h e s e t o f i n d i v i d u a l v a r i a b l e s .

P r o o f . 1 .

=

i s r e e x i v e , i . e . , x

=

x f o r e v e r y i n d i v i d u a l v a r i a b l e x : S i n c e

i s m a x i m a l l y c o n s i s t e n t , b y P L 9 S ( x

S

= x ) 2 o r : 9 x ( x

S

= x ) 2 .

I f 9 S ( x

S

= x ) 2 , t h e n b y d e n i t i o n x

=

x . I f : 9 S ( x

S

= x ) 2 , t h e n

b y T 1 0 a n d P L , 8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) ) 2 . B u t t h e n b y P L , U G ( s ) , A 8 ,

8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= x ) ) 2 , a n d s o x

=

x .

2 .

=

i s s y m m e t r i c , i . e . , i f x

=

z , t h e n z

=

x , f o r e v e r y i n d i v i d -

u a l v a r i a b l e x a n d z : A s s u m e x

=

z . T h e n , e i t h e r 9 S ( x

S

= z ) 2 o r

8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= z ) ) 2 . I f 9 S ( x

S

= z ) 2 , t h e n ( b y

T 3 , P L , U G ( s ) , d e n i t i o n s a n d A 8 ) 9 S ( z

S

= x ) 2 a n d s o z

=

x . I f

8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= z ) ) 2 , t h e n b y P L , U G ( s ) a n d A 8 ,

8 S ( : 9 y S ( y

S

= z ) & : 9 y S ( y

S

= x ) ) 2 a n d s o z

=

x .

3 .

=

i s t r a n s i t i v e , i . e . , i f x

=

z a n d z

=

w , t h e n x

=

w , f o r e v e r y i n d i -

v i d u a l v a r i a b l e x , w a n d z : A s s u m e x

=

z a n d z

=

w . T h e n , b o t h e i t h e r

9 S ( x

S

= z ) 2 o r 8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= z ) ) 2 a n d e i t h e r 9 S ( z

S

=

w ) 2 o r 8 S ( : 9 y S ( y

S

= z ) & : 9 y S ( y

S

= w ) ) 2 . A c c o r d i n g l y , f o u r p o s s i -

b i l i t i e s s h o u l d b e c o n s i d e r e d . I f 9 S ( x

S

= z ) 2 a n d 9 S ( z

S

= w ) 2 , t h e n

b y T 5 , 9 S ( x

S

= w ) 2 . A s s u m e n o w 9 S ( x

S

= z ) 2 a n d 8 S ( : 9 y S ( y

S

= z )




& : 9 y S ( y

S

= w ) ) 2 . N o w , f r o m 9 S ( x

S

= z ) 2 ( b y T 7 a n d P L ) i t f o l -

l o w s t h a t 9 S 9 y S ( y

S

= z ) 2 . O n t h e o t h e r h a n d , f r o m 8 S ( : 9 y S ( y

S

= z )

& : 9 y S ( y

S

= w ) ) 2 ( b y P L , U G ( s ) , A 8 a n d d e n i t i o n ) i t f o l l o w s t h a t

: 9 S 9 y S ( y

S

= z ) 2 , w h i c h i s i m p o s s i b l e b e c a u s e i s c o n s i s t e n t . S i m i -

l a r r e a s o n i n g a p p l i e s w h e n b o t h 8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= z ) ) 2 a n d

9 S ( z

S

= w ) 2 . T h e r e f o r e , t h e s e c o n d a n d t h i r d p o s s i b i l i t i e s a r e i m p o s s i b l e .

I f 8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= z ) ) 2 a n d 8 S ( : 9 y S ( y

S

= z ) & : 9 y S ( y

S

=

w ) ) 2 , t h e n b y P L , U G ( s ) a n d A 8 , 8 S ( : 9 y S ( y

S

= x ) & : 9 y S ( y

S

= w ) ) 2 .

T h e r e f o r e , x

=

w . 2

L e t x ] b e t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f x d e t e r m i n e d b y

=

i n t h e s e t o f i n -

d i v i d u a l v a r i a b l e s . S e t D = f x ] j x i s a n i n d i v i d u a l v a r i a b l e g f o r e v e r y

s o r t a l t e r m v a r i a b l e H , C

H

= f x ] 2 D j 9 y H ( y

H

= x ) 2 , f o r s o m e i n -

d i v i d u a l v a r i a b l e y o t h e r t h a n x g , D

= f h x

1

] : : : x

n

] i j ( x

1

: : : x

n

) 2 g

a n d L = f C

H

j H i s a s o r t a l t e r m v a r i a b l e g . L e t A b e t h e f u n c t i o n

w h o s e d o m a i n i s t h e s e t o f v a r i a b l e s s u c h t h a t A ( x ) = x ] , A ( ) = D

a n d

A ( H ) = C

H

. L e t A = h D L A i . C l e a r l y , A i s a C - m o d e l .

B e f o r e c o n t i n u i n g w i t h t h e c o m p l e t e n e s s p r o o f , r s t n o t e t h a t t h e f o l -

l o w i n g s t a t e m e n t s c o n c e r n i n g A f o l l o w f r o m L e m m a s 1 { 4 a n d t h e S o u n d n e s s

M e t a t h e o r e m f o r S Q :

S t a t e m e n t 1 . F o r a n y w ' a n d f o r a n y i n d i v i d u a l v a r i a b l e s y a n d x ,

V a l ( ' A ( x ] = y ) ) = 1 i f a n d o n l y i f V a l ( '

( x )

]

x

y

A ) = 1 . ( W h e r e A i s t h e

a b o v e d e n e d C - m o d e l . )

S t a t e m e n t 2 . F o r a n y s o r t a l t e r m v a r i a b l e H , V a l ( ' A ( C

H

= S ) ) = 1 i f a n d

o n l y i f V a l ( '

( H )

]

H

S

A ) = 1 . ( W h e r e A i s t h e a b o v e d e n e d C - m o d e l . )

L e t I = f { 2 ! j f o r e v e r y w ' , i f ' i s o f c o m p l e x i t y { , t h e n V a l ( ' A ) = 1

i ' 2 g . I w i l l s h o w b y s t r o n g i n d u c t i o n t h a t ! I . S o s u p p o s e k 2 ! ,

' i s a w o f c o m p l e x i t y k a n d f o r e v e r y i < k , i 2 I . T h e r e a r e s i x c a s e s t o

c o n s i d e r .

1 . ' i s o f t h e f o r m x

S

= y : V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n )

A ( x ) = A ( y ) a n d A ( y ) 2 A ( S ) i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n ) x ] = y ] a n d

y ] 2 C

S

i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n ) 9 z S ( z

S

= y ) 2 a n d e i t h e r 9 S ( x

S

= y ) 2

o r 8 S ( : 9 z S ( z

S

= x ) & : 9 z S ( z

S

= y ) ) 2 . N o w , i f 9 z S ( z

S

= y ) 2 , t h e n

b y A 5 , P L a n d t h e c o n s i s t e n c y o f , 8 S ( : 9 z S ( z

S

= x ) & : 9 z S ( z

S

= y ) ) 62 .

S o i f 9 z S ( z

S

= y ) 2 a n d e i t h e r 9 S ( x

S

= y ) 2 o r 8 S ( : 9 z S ( z

S

= x )

& : 9 z S ( z

S

= y ) ) 2 , t h e n 9 z S ( z

S

= y ) 2 a n d 9 S ( x

S

= y ) 2 a n d



3 8 0 M . A . F r e u n d

t h e r e f o r e b y T 1 1 x

S

= y 2 . O n t h e o t h e r h a n d , i f x

S

= y 2 , t h e n b y T 8 ,

9 z S ( z

S

= y ) 2 a n d 9 S ( x

S

= y ) 2 .

2 . ' i s o f t h e f o r m x

1

: : : x

n

: V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n )

h A ( x

1

) : : : A ( x

n

) i 2 A ( ) i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n ) h x

1

] : : : x

n

] i 2

D

i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n ) x

1

: : : x

n

2 .

3 . ' i s o f t h e f o r m : : V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f V a l ( A ) = 0 i f a n d

o n l y i f ( b y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s ) 62 i f a n d o n l y i f ( b y m a x i m a l i t y

a n d c o n s i s t e n c y o f ) : 2 .

4 . ' i s o f t h e f o r m ! : V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n )

e i t h e r V a l ( A ) = 0 o r V a l ( A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y t h e i n d u c t i v e h y p o t h -

e s i s ) 62 o r 2 i f a n d o n l y i f ( b y m a x i m a l i t y a n d c o n s i s t e n c y o f )

: 2 o r 2 i f a n d o n l y i f ( b y P L , m a x i m a l i t y a n d c o n s i s t e n c y o f )

! 2 .

5 . ' i s o f t h e f o r m 8 y S : V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n )

f o r e v e r y d 2 A ( S ) , V a l ( A ( d = y ) ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n s ) f o r

e v e r y i n d i v i d u a l v a r i a b l e x , i f x ] 2 A ( S ) , t h e n V a l ( A ( x ] = y ) ) = 1 i f

a n d o n l y i f ( b y S t a t e m e n t 1 ) f o r e v e r y i n d i v i d u a l v a r i a b l e x , i f x ] 2 A ( S ) ,

t h e n V a l (

( x )

]

x

y

A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n ) f o r e v e r y i n d i v i d u a l

v a r i a b l e x , i f 9 z S ( z

S

= x ) 2 ( f o r s o m e v a r i a b l e z o t h e r t h a t x ) , t h e n

V a l (

( x )

]

x

y

A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y t h e i n d u c t i v e h y p o t h e s i s ) f o r e v e r y

i n d i v i d u a l v a r i a b l e x , i f 9 z S ( z

S

= x ) 2 ( f o r s o m e v a r i a b l e z o t h e r t h a t

x ) , t h e n

( x )

]

x

y

2 i f a n d o n l y i f ( b y T 0 , L e m m a 1 , U G , ! - c o m p l e t e n e s s ,

N o t e 1 i n m e d i a t e l y f o l l o w i n g L e m m a s 1 { 2 a n d T 1 ) 8 y S 2 .

6 . ' i s o f t h e f o r m 8 S : V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y d e n i t i o n ) f o r

e v e r y C

H

2 L , V a l ( A ( C

H

= S ) ) = 1 i f a n d o n l y i f ( b y S t a t e m e n t 2 ) i f

f o r e v e r y s o r t a l t e r m v a r i a b l e H , V a l (

( H )

]

H

S

A ) = 1 i f a n d o n l y ( b y t h e

i n d u c t i v e h y p o t h e s i s ) f o r e v e r y s o r t a l t e r m v a r i a b l e H ,

( H )

]

H

S

2 i f a n d

o n l y i f a n d o n l y i f ( b y L e m m a 2 , ! - c o m p l e t e n e s s , U G , N o t e 2 i n m e d i a t e l y

f o l l o w i n g L e m m a s 1 { 2 , A 5 a n d T 2 ) 8 S 2 .

T h e r e f o r e , b y a b o v e , f o r e v e r y w ' , V a l ( ' A ) = 1 i f a n d o n l y i f ' 2 .

S i n c e b y c o n s t r u c t i o n , ; , t h e n V a l ( ' A ) = 1 , f o r e v e r y 2 ; , w h i c h

p r o v e s t h e m e t a t h e o r e m .

A c k n o w l e d g m e n t s . I a m g r a t e f u l t o t h e r e f e r e e s f o r t h e i r c o m m e n t s a n d

s u g g e s t i o n s .




R e f e r e n c e s

C h u r c h , A . , 1 9 5 8 , I n t r o d u c t i o n t o M a t h e m a t i c a l L o g i c , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , P r i n c e -

t o n , N . J .

C o c c h i a r e l l a , N . B . , 1 9 7 7 , ` S o r t a l s , n a t u r a l k i n d s a n d r e - i d e n t i c a t i o n ' , L o g i q u e e t A n a l -

y s e 8 0 , 4 3 9 { 4 7 4 .

C o c c h i a r e l l a , N . B . , 1 9 8 6 , L o g i c a l I n v e s t i g a t i o n s o f P r e d i c a t i o n T h e o r y a n d t h e P r o b l e m s

o f U n i v e r s a l s , B i b l i o p o l i s P r e s s , N a p l e s .

C o c c h i a r e l l a , N . B . , 1 9 9 5 , ` K n o w l e d g e r e p r e s e n t a t i o n i n c o n c e p t u a l r e a l i s m ' , I n t . J .

H u m a n - C o m p u t e r S c i e n c e s 4 3 , 6 9 7 { 7 2 1 .

C o c c h i a r e l l a , N . B . , 1 9 9 8 , ` R e f e r e n c e i n C o n c e p t u a l R e a l i s m ' , S y n t h e s e 1 1 4 , 1 6 9 { 2 0 2 .

G e a c h , P . , 1 9 8 0 , R e f e r e n c e a n d G e n e r a l i t y , C o r n e l l U . P r e s s , I t h a c a .

S t r a w s o n , P . F . , 1 9 6 5 , I n d i v i d u a l s , M e t h e u e n , L o n d o n .

W i g g i n s , D . , 1 9 8 0 , S a m e n e s s a n d S u b s t a n c e , H a r v a r d U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , M A .

M a x A . F r e u n d

D e p a r t a m e n t o d e F i l o s o a

A P D O 8 6 - 3 0 0 0

H e r e d i a , C o s t a R i c a

m f r e u n d @ c a r i a r i . u c r . a c . c r



Date post:	07-Apr-2018
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