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7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems
1/12
A C o n e C o m p l e m e n t a r i t y L i n e a r i z a t i o n A l g o r i t h m
f o r S t a t i c O u t p u t - F e e d b a c k a n d R e l a t e d P r o b l e m s
L a u r e n t E l G h a o u i
, F r a n c o i s O u s t r y
y
a n d M u s t a p h a A i t R a m i
z
L a b o r a t o i r e d e M a t h e m a t i q u e s A p p l i q u e e s
E c o l e N a t i o n a l e S u p e r i e u r e d e T e c h n i q u e s A v a n c e e s
3 2 , B d . V i c t o r , 7 5 7 3 9 P a r i s , F r a n c e .
O c t o b e r 1 8 , 1 9 9 6
A b s t r a c t
T h i s p a p e r d e s c r i b e s a n L M I - b a s e d a l g o r i t h m f o r t h e s t a t i c a n d r e d u c e d - o r d e r o u t p u t -
f e e d b a c k s y n t h e s i s p r o b l e m s o f n - t h o r d e r L T I s y s t e m s w i t h n
u
( r e s p . n
y
) i n d e p e n d e n t i n p u t s
( r e s p . o u t p u t s ) . T h e a l g o r i t h m i s b a s e d o n a \ c o n e c o m p l e m e n t a r i t y " f o r m u l a t i o n o f t h e p r o b -
l e m , a n d i s g u a r a n t e e d t o p r o d u c e a s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r o f o r d e r m n ? m a x ( n
u
; n
y
) , m a t c h i n g
a g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t o f D a v i s o n a n d C h a t t e r j e e ( 1 9 7 1 ) . E x t e n s i v e n u m e r i c a l e x p e r i -
m e n t s i n d i c a t e t h a t t h e a l g o r i t h m n d s a c o n t r o l l e r w i t h o r d e r l e s s o r e q u a l t o t h a t p r e d i c t e d
b y K i m u r a ' s g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t ( m n ? n
u
? n
y
+ 1 ) . A s i m i l a r a l g o r i t h m c a n b e
a p p l i e d t o a v a r i e t y o f c o n t r o l p r o b l e m s , i n c l u d i n g r o b u s t c o n t r o l s y n t h e s i s .
1 I n t r o d u c t i o n
W e c o n s i d e r t h e R e d u c e d - o r d e r O u t p u t - F e e d b a c k ( R O F ) s t a b i l i z a t i o n p r o b l e m . W e a r e g i v e n a n
i n t e g e r m 0 , a n d a n L T I s y s t e m
_x = A x + B u ; y = C x ; ( 1 )
w h e r e x 2 R
n
, u 2 R
n
u
a n d y 2 R
n
y
, ( A ; B ) i s s t a b i l i z a b l e , ( C ; A ) d e t e c t a b l e , B ; C a r e f u l l r a n k ,
a n d m n . W e s e e k t o d e t e r m i n e a d y n a m i c o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l a w
"
_x
c
u
#
= K
"
x
c
y
#
; ( 2 )
w h e r e K 2 R
( m + n
u
) ( m + n
y
)
i s a c o n s t a n t m a t r i x , s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g c l o s e d - l o o p s y s t e m i s
s t a b l e . W h e n m = 0 , t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b l e m i s r e f e r r e d t o a s t h e S t a t i c O u t p u t - F e e d b a c k
( S O F ) s t a b i l i z a t i o n p r o b l e m . N o t e t h a t t h e R O F p r o b l e m i s r e a d i l y t r a n s f o r m e d i n t o a n S O F
p r o b l e m , u s i n g a w e l l - k n o w n s y s t e m a u g m e n t a t i o n t e c h n i q u e ( s e e x 2 . 4 ) .
D e s p i t e i t s a p p a r e n t s i m p l i c i t y , t h e R O F p r o b l e m i s s t i l l o p e n . T h e c o m p l e x i t y a n a l y s i s o f t h e
p r o b l e m i s n o t q u i t e c o m p l e t e y e t . A n d e r s o n , B o s e a n d J u r y h a v e s h o w n i n 1 ] t h a t t h e p r o b l e m
I n t e r n e t : e l g h a o u i @ e n s t a . f r .
y
W o r k s u p p o r t e d b y D R E T s c h o l a r s h i p .
z
W o r k s u p p o r t e d b y D R E T g r a n t # 9 2 0 1 7 B C 1 4 .
1
7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems
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i s d e c i d a b l e . A n i c e r e s u l t o f B l o n d e l a n d T s i t s i k l i s 3 ] s h o w s t h a t t h e p r o b l e m o f n d i n g a s t a t i c
o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l e r w i t h p r e s p e c i e d b o u n d s o n t h e c o n t r o l l e r m a t r i x K i s N P - h a r d . O f
c o u r s e , t h i s d o e s n o t p r o v e t h a t t h e S O F p r o b l e m i s N P - h a r d , s i n c e n o a p r i o r i b o u n d s o n t h e
c o n t r o l l e r m a t r i x K a r e i m p o s e d .
A n u m b e r o f n u m e r i c a l p r o c e d u r e s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . A s u r v e y w a s
d o n e b y S y r m o s , A b d a l l a h a n d D o r a t o 2 2 ] . R e c e n t p r o g r e s s h a s b e e n m a d e f o r t h e r e l a t e d p r o b l e m
o f p o l e p l a c e m e n t , s e e 2 5 , 1 9 ] a n d r e f e r e n c e s t h e r e i n .
A m o n g t h e r e c e n t a p p r o a c h e s t h a t h a v e b e e n p r o p o s e d , t h o s e b a s e d o n L i n e a r M a t r i x I n e q u a l -
i t i e s ( L M I s ) a r e p r o m i s i n g , s i n c e t h e s a m e f r a m e w o r k c a n b e u s e d f o r r e l a t e d p r o b l e m s , s u c h a s
r o b u s t c o n t r o l ( s e e x 3 ) . ( T h e b o o k 2 1 ] d e s c r i b e s a l a r g e n u m b e r o f s u c h p r o b l e m s . ) T h e L M I -
b a s e d m e t h o d s i n c l u d e t h e D - K i t e r a t i o n m e t h o d m e n t i o n e d i n 2 0 ] , t h e a l t e r n a t i n g p r o j e c t i o n s
m e t h o d 1 2 ] , t h e p r o j e c t i o n m e t h o d o f 1 8 ] , t h e m i n - m a x a l g o r i t h m 1 0 ] , t h e p o t e n t i a l r e d u c t i o n
m e t h o d 6 ] , t h e X Y - c e n t e r i n g a l g o r i t h m 1 4 ] . T h i s p a p e r d e s c r i b e s y e t a n o t h e r L M I - b a s e d m e t h o d
f o r t h e p r o b l e m . O n e o f t h e s t r o n g p o i n t s o f t h e p r o p o s e d a l g o r i t h m i s t h a t i t i s g u a r a n t e e d t o n d
a c o n t r o l l e r w i t h o r d e r l e s s o r e q u a l t o n ? m a x ( n
u
; n
y
) , a n d s e e m s t o c o n s i s t e n t l y i m p r o v e t h i s
n u m b e r i n p r a c t i c e .
T h e r e m a i n d e r o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 d e s c r i b e s a c o n e c o m p l e m e n t a r i t y
l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m . S e c t i o n 3 s h o w s h o w s o m e r o b u s t c o n t r o l s y n t h e s i s p r o b l e m s a r e a m e n a b l e
t o t h e s a m e m e t h o d . F i n a l l y , s e c t i o n 4 p r o v i d e s e x t e n s i v e n u m e r i c a l r e s u l t s .
N o t a t i o n . I
m
d e n o t e s t h e m m i d e n t i t y m a t r i x ; t h e s i z e i s o m i t t e d w h e n i t c a n b e d e t e r m i n e d
f r o m c o n t e x t . C
( r e s p . B
) d e n o t e s t h e m a t r i x w i t h m a x i m a l r a n k s u c h t h a t C C
= 0 ( r e s p .
B
B = 0 ) . F o r a r e a l m a t r i x X , k X k d e n o t e s t h e n o r m ( l a r g e s t s i n g u l a r v a l u e ) o f t h e m a t r i x X ,
a n d X > 0 ( r e s p . X 0 ) m e a n s X i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e - d e n i t e ( r e s p . p o s i t i v e - s e m i d e n i t e ) .
2 A n L M I - b a s e d A l g o r i t h m
2 . 1 L M I - b a s e d f o r m u l a t i o n
A s s e e n i n 8 ] , t h e r e e x i s t a m - t h o r d e r s t a t e - f e e d b a c k s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t
m a t r i c e s X ; S a n d s c a l a r > 0 s u c h t h a t
B
( A X + X A
T
+ 2 X ) B
T
0 ;
C
T
( A
T
S + S A + 2 S ) C
0 ;
; K ( X ; S ) =
"
X I
I S
#
0 ; ( 3 )
a n d R a n k K ( X ; S ) n + m . W e r s t s e e k t o s o l v e t h e a b o v e p r o b l e m f o r m = 0 , a n d f o r x e d
> 0 . T h a t i s , w e s e e k t o o b t a i n a s t a t i c o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l e r s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p
e i g e n v a l u e s h a v e r e a l p a r t t h a t i s l e s s o r e q u a l t o ? .
2 . 2 A c o n e c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m
F o r s o l v i n g t h e p r o b l e m a b o v e , w e n e e d t o \ s a t u r a t e " t h e c o n s t r a i n t K ( X ; S ) 0 i n ( 3 ) . T h e i d e a
i s t o a s s o c i a t e t o t h e S O F p r o b l e m t h e f o l l o w i n g p r o b l e m
m i n T r X S s u b j e c t t o ( 3 ) : ( 4 )
T h e r e e x i s t s a - s t a b i l i z i n g s t a t i c - o u t p u t f e e d b a c k c o n t r o l l e r i f a n d o n l y i f t h e g l o b a l m i n i m u m o f
p r o b l e m ( 4 ) i s n .
2
7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems
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P r o b l e m ( 4 ) c a n b e c a l l e d a \ c o n e c o m p l e m e n t a r i t y " p r o b l e m ( C C P ) , a s i t i s a n e x t e n s i o n
l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s ( L C P s , s e e e . g . 2 6 , 1 6 , 2 7 ] ) , t o t h e c o n e o f p o s i t i v e s e m i d e n i t e
m a t r i c e s .
T o s o l v e s u c h a p r o b l e m , a l i n e a r i z a t i o n m e t h o d ( o r i g i n a l l y p r o p o s e d b y F r a n k e a n d W o l f e , a n d
d e s c r i b e d i n 1 6 ] f o r L C P s ) c a n b e u s e d . A t a g i v e n p o i n t ( X
0
; S
0
) , a l i n e a r a p p r o x i m a t i o n o f T r X S
t a k e s t h e f o r m
l i n
( X ; S ) = c o n s t a n t + T r ( S
0
X + X
0
S ) :
T h e l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m i s c o n c e p t u a l l y d e s c r i b e d a s f o l l o w s .
A l g o r i t h m 1
1 . F i n d a f e a s i b l e p o i n t X
0
; S
0
. I f t h e r e a r e n o n e e x i t . S e t k = 0 .
2 . S e t V
k
= S
k
, W
k
= X
k
, a n d n d X
k + 1
; S
k + 1
t h a t s o l v e t h e L M I p r o b l e m
P
k
: m i n i m i z e T r ( V
k
X + W
k
S ) s u b j e c t t o ( 3 ) :
3 . I f a s t o p p i n g c r i t e r i o n i s s a t i s e d , e x i t . O t h e r w i s e , s e t k = k + 1 a n d g o t o s t e p 2 .
T h e r s t s t e p o f t h e a l g o r i t h m , a n d e v e r y s t e p 2 , a r e s i m p l e L M I p r o b l e m s . T h e r e a r e m a n y
a l g o r i t h m s t h a t a r e a v a i l a b l e f o r t h i s , e s p e c i a l l y i n t e r i o r - p o i n t m e t h o d s e . g . 2 4 , 4 , 1 7 ] . I n t h e
s e q u e l , w e c o u n t e a c h s t e p 2 a s o n e o u t e r i t e r a t i o n , t o m a k e a d i s t i n c t i o n w i t h t h e i n n e r s t e p s
r e q u i r e d t o s o l v e t h e L M I p r o b l e m s P
k
.
T h e f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s t h a t t h e a l g o r i t h m c o n v e r g e s .
T h e o r e m 2 . 1 T h e s e q u e n c e t
k
= T r ( X
k + 1
S
k
+ S
k + 1
X
k
) , k 0 , i s b o u n d e d b e l o w b y 2 n a n d
d e c r e a s i n g . T h u s , t h e s e q u e n c e ( t
k
) c o n v e r g e s t o s o m e v a l u e t
o p t
2 n . E q u a l i t y h o l d s i f a n d o n l y
i f X S = I a t t h e o p t i m u m .
P r o o f : L e t k > 0 . S i n c e X
k ? 1
; S
k ? 1
a r e f e a s i b l e , a n d ( X
k + 1
; S
k + 1
) a r e o p t i m a l f o r p r o b l e m ( P
k
) ,
w e h a v e
t
k
T r ( X
k ? 1
S
k
+ S
k ? 1
X
k
) = t
k ? 1
:
N o w t
k
i s b o u n d e d b e l o w b y 2 n , s i n c e
t
k
= T r ( X
k + 1
S
k
+ S
k + 1
X
k
) i n f
K ( V ; W ) 0
T r ( V X
k
+ W S
k
)
= 2 T r ( X
1 = 2
k
S
k
X
1 = 2
k
)
1 = 2
2 n :
T h e l a s t i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t i f t
o p t
= 2 n , t h e n X S = I . 2
T h e n e x t t h e o r e m s h o w s t h a t , f r o m t h e r s t s t e p o f t h e a l g o r i t h m o n , t h e m e t h o d n d s a
c o n t r o l l e r o f o r d e r t h a t i s l e s s o r e q u a l t o t h e o r d e r p r e d i c t e d b y t h e g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t s
o f D a v i s o n a n d C h a t t e r j e e 7 ] .
T h e o r e m 2 . 2 A t e v e r y s t e p k , w e h a v e
R a n k
"
X
k
I
I S
k
#
2 n ? m a x ( n
u
; n
y
) :
T h u s , t h e a l g o r i t h m n d s a c o n t r o l l e r o f o r d e r t h a t i s l e s s o r e q u a l t o n ? m a x ( n
u
; n
y
) a t e v e r y s t e p .
3
7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems
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P r o o f : L e t k 0 . T h e d u a l t o p r o b l e m P
k
i s ( s e e 2 4 ] )
D
k
: m a x i m i z e 2 T r N s u b j e c t t o Q 0 ; P 0 ;
Z = A
T
( B
T
Q B
) + ( B
T
Q B
) A + 2 ( B
T
Q B
) + V
k
;
R = A ( C
P C
T
) + ( C
P C
T
) A
T
+ 2 ( C
P C
T
) + W
k
;
~
Z =
"
Z N
N
T
R
#
0 :
P r e - ( r e s p . p o s t - ) m u l t i p l i y i n g t h e r s t e q u a l i t y c o n s t r a i n t i n D
k
b y B
T
( r e s p . B ) , w e o b t a i n t h a t
e v e r y f e a s i b l e Z s a t i s e s
B
T
Z B = B
T
S
k
B :
S i n c e B i s f u l l r a n k a n d S
k
> 0 , w e h a v e B
T
S
k
B > 0 , a n d t h u s R a n k Z n
u
. S i m i l a r l y ,
R a n k R n
y
f o r e v e r y f e a s i b l e R .
B o t h P
k
a n d D
k
a r e s t r i c t l y f e a s i b l e ( f o r D
k
, s e t Q = I , P = I f o r s m a l l e n o u g h , a n d
N = 0 ) . T h i s g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e o f o p t i m a l p r i m a l a n d d u a l p o i n t s . A t t h e o p t i m u m , w e
h a v e ( s e e 2 4 ] )
~
Z
"
X
k + 1
I
I S
k + 1
#
= 0 ( 5 )
w h i c h i m p l i e s
~
Z
=
"
I
? X
k + 1
#
Z
"
I
? X
k + 1
#
T
=
"
? S
k + 1
I
#
R
"
? S
k + 1
I
#
T
:
W e o b t a i n R a n k
~
Z = R a n k R = R a n k Z m a x ( n
u
; n
y
) . F r o m ( 5 ) , w e d e d u c e
R a n k
"
X
k + 1
I
I S
k + 1
#
2 n ? R a n k
~
Z 2 n ? m a x ( n
u
; n
y
) :
2
R e m a r k 2 . 1 A l g o r i t h m 1 i s b a s e d o n t h e f u n c t i o n ( X ; S ) = T r X S . I t t u r n s o u t t h a t a w h o l e
c l a s s o f a l g o r i t h m s c a n b e d e v i s e d w i t h o t h e r c h o i c e s f o r . F o r i n s t a n c e , w e m a y w o r k w i t h t h e
c o n c a v e f u n c t i o n
1 = 2
( X ; Y ) = 2 T r ( Y
1 = 2
X Y
1 = 2
)
1 = 2
, b y r e p l a c i n g V ; W i n a l g o r i t h m 1 b y
V = X
? 1 = 2
( X
1 = 2
Y X
1 = 2
)
1 = 2
X
? 1 = 2
; W = V
? 1
= Y
? 1 = 2
( Y
1 = 2
X Y
1 = 2
)
1 = 2
Y
? 1 = 2
:
I n o u r e x p e r i m e n t s , w e h a v e f o u n d t h a t t h i s m o d i e d a l g o r i t h m b e h a v e s s i m i l a r l y . F o r d e t a i l s ,
s e e 1 1 ] .
2 . 3 S y s t e m a u g m e n t a t i o n
A s s a i d i n t h e i n t r o d u c t i o n , t h e R O F p r o b l e m c a n b e a d d r e s s e d a s a n S O F p r o b l e m f o r a n a u g -
m e n t e d s y s t e m . D e n e
~
A =
"
A 0
0 0
m
#
;
~
B =
"
0 B
I
m
0
#
;
~
C =
"
0 I
m
C 0
#
: ( 6 )
I t c a n b e s h o w n t h a t t h e R O F p r o b l e m h a s a s o l u t i o n o f o r d e r m i f a n d o n l y i f t h e t r i p l e (
~
A ;
~
B ;
~
C )
i s s t a t i c o u t p u t - f e e d b a c k s t a b i l i z a b l e . W e m a y t h u s u s e t h e p r e v i o u s a l g o r i t h m w i t h t h e t r i p l e
(
~
A ;
~
B ;
~
C ) .
I t i s a l s o p o s s i b l e t o a p p l y d i r e c t l y t h e a l g o r i t h m t o t h e t r i p l e ( A ; B ; C ) . W e c o n j e c t u r e t h a t
t h i s d i r e c t a p p r o a c h y i e l d s t h e s a m e a n s w e r ( t h a t i s , t h e s a m e c o n t r o l l e r o r d e r ) . I f t h e c o n j e c t u r e
i s t r u e , t h e d i r e c t a p p r o a c h i s t o b e p r e f e r r e d , s i n c e i t i s l e s s n u m e r i c a l l y d e m a n d i n g ( i t i n v o l v e s
l e s s v a r i a b l e s a n d L M I s o f s m a l l e r s i z e ) .
4
7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems
5/12
2 . 4 C o n t r o l l e r R e c o n s t r u c t i o n
M o s t L M I s o l v e r s r e q u i r e t h e b o u n d n e s s f o r t h e f e a s i b l e s e t . F o r t h i s , a n a p r i o r i l a r g e b o u n d o n
t h e v a r i a b l e s c a n b e i m p o s e d , e . g . T r ( X + S ) M .
T h e f o l l o w i n g t h e o r e m c a n b e u s e d a s a ( h e u r i s t i c ) s t o p p i n g c r i t e r i o n , a n d p r o v i d e s d e t a i l s o n
h o w t o c o n s t r u c t t h e c o n t r o l l e r . ( I t s p r o o f i s i n a p p e n d i x A . ) I n t h i s t h e o r e m , t h e p a r a m e t e r
i s i n t e r p r e t e d a s t h e d e s i r e d s t a b i l i t y d e g r e e o f t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m , a n d > i s a p a r a m e t e r
n e e d e d t o g u a r a n t e e t h i s s t a b i l i t y d e g r e e s t r i c t l y ( i f > 0 , o n e m a y s e t = 2 ) .
T h e o r e m 2 . 3 S u p p o s e X ; S s a t i s f y c o n d i t i o n s ( 3 ) a n d T r ( X + S ) M . L e t , 0 < . I f
t h e r e a r e n ? m e i g e n v a l u e s o f X ? S
? 1
t h a t a r e l e s s o r e q u a l t o
r o f
=
( ? )
M k A + I k
; ( 7 )
t h e n t h e r e e x i s t a m - t h o r d e r , d y n a m i c o u t p u t - f e e d b a c k c o n t r o l l e r s u c h t h a t e v e r y e i g e n v a l u e o f t h e
c l o s e d - l o o p s y s t e m h a s a r e a l p a r t t h a t i s l e s s o r e q u a l t o ? . T h e c o n t r o l l e r c a n b e c o n s t r u c t e d a s
f o l l o w s . D e c o m p o s e X ? S
? 1
a s
X ? S
? 1
= R R
T
+ E ; ( 8 )
w h e r e 0 E
r o f
I , a n d R 2 R
n m
i s e i t h e r e m p t y ( w h e n m = 0 ) , o r s a t i s e s R
T
R >
r o f
I . S e t
(
~
A ;
~
B ;
~
C ) a s i n ( 6 ) a n d
~
X =
"
X R
R
T
I
#
:
T h e n ,
~
X > 0 a n d t h e L M I p r o b l e m i n K
(
~
A +
~
B K
~
C )
~
X +
~
X (
~
A +
~
B K
~
C )
T
+ 2
~
X 0 ; ( 9 )
h a s a s o l u t i o n . A l t e r n a t i v e l y , t h e a n a l y t i c f o r m u l a e o f 1 3 ] c a n b e u s e d t o r e c o n s t r u c t K .
3 R o b u s t O u t p u t - F e e d b a c k C o n t r o l
A s i m i l a r a l g o r i t h m c a n b e a p p l i e d f o r s o l v i n g a n u m b e r o f o t h e r c o n t r o l p r o b l e m s . H e r e i s a s i m p l e
i n s t a n c e . C o n s i d e r t h e p a r a m e t e r - d e p e n d e n t s y s t e m
_x = A x + B
p
p + B
u
u ;
y = C
y
x ;
q = C
q
x + D
q u
u ;
p = ( t ) q ; k k 1 ; d i a g o n a l ,
( 1 0 )
w h e r e A ; B
u
; B
p
; C
q
; C
y
a n d D
q u
a r e c o n s t a n t m a t r i c e s o f a p p r o p r i a t e s i z e . T h e N N t i m e - v a r y i n g
m a t r i x , r e f e r r e d t o a s t h e p e r t u r b a t i o n , i s b o u n d e d a n d s t r u c t u r e d ( d i a g o n a l ) .
W e s e e k f o r a f u l l - o r d e r c o n t r o l l e r o f t h e f o r m ( 2 ) , s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r
e v e r y a d m i s s i b l e v a r i a t i o n o f . W e u s e t h e a p p r o a c h o f q u a d r a t i c s t a b i l i t y c o m b i n e d w i t h s c a l i n g
( s e e e . g . 5 ] ) .
T h e o r e m 3 . 1 T h e r e e x i s t s a c o n t r o l l e r o f t h e f o r m ( 2 ) , w h e r e K 2 R
( n + n
u
) ( n + n
y
)
i s a c o n s t a n t
m a t r i x , s u c h t h a t t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r e v e r y a d m i s s i b l e v a r i a t i o n o f , i f t h e r e e x i s t
5
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o u t e r i t e r a t i o n s n u m b e r o f e x p e r i m e n t s R a t e
1 1 2 7 5 6 6 3 . 7 8 %
2 4 3 9 2 2 1 . 9 6 %
3 1 6 8 0 8 . 4 0 %
4 6 9 2 3 . 4 6 %
5 2 7 1 1 . 3 5 %
6 1 1 0 0 . 5 5 %
7 - 1 4 9 9 0 . 5 0 %
t o t a l 2 0 0 0 0 1 0 0 %
T a b l e 1 : E x p e r i m e n t s w i t h r a n d o m A ; B ; C , n = 6 , n
u
= 4 , n
y
= 3 . A l g o r i t h m 1 a l w a y s n d s a s t a t i c
c o n t r o l l e r , a s p r e d i c t e d b y K i m u r a ' s r e s u l t .
m a t r i c e s X ; S ; D ; T s u c h t h a t
M
T
"
A X + X A
T
+ B
p
D B
T
p
X C
T
q
C
q
X ? D
#
M
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s u c c e s s f u l . T h e a v e r a g e n u m b e r o f o u t e r i t e r a t i o n s i s ( f o r a b o u t 9 0 % o f c a s e s ) l e s s t h a n t h e o r d e r
o f t h e ( a u g m e n t e d ) p l a n t , a s w i t h t h e \ d i r e c t " a p p r o a c h o f t h e p r e v i o u s e x p e r i m e n t s .
o u t e r i t e r a t i o n s n u m b e r o f e x p e r i m e n t s R a t e
1 3 0 4 3 0 . 4 %
2 2 7 1 2 7 . 1 %
3 1 1 5 1 1 . 5 %
4 8 2 8 . 2 %
5 4 7 4 . 7 %
6 4 1 4 . 1 %
7 1 5 1 . 5 %
8 9 0 . 9 %
9 1 3 1 . 3 %
1 0 5 0 . 5 %
1 0
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T h e c l o s e d - l o o p e i g e n v a l u e s a r e
s =
2
6
6
6
6
6
4
? 0 : 1 0 0 0 1 : 7 8 7 0 i
? 0 : 1 0 0 0 1 : 4 7 5 3 i
? 0 : 1 0 0 0 0 : 9 0 7 2 i
? 0 : 1 0 0 0 0 : 4 6 9 0 i
? 0 : 1 0 0 0
3
7
7
7
7
7
5
:
n u m b e r o f m a s s e s c o n t r o l l e r o r d e r
= : 1 = : 0 0 1
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 5 5
5 6 6
6 7 7
7 9 8
8 1 3 9
9 1 5 1 1
1 0 1 7 1 1
T a b l e 3 : R e d u c e d - o r d e r - s t a b i l i z i n g c o n t r o l l e r s f o r m a s s / s p r i n g s y s t e m s . A s t h e r e q u i r e d c l o s e d - l o o p d e c a y
r a t e g r o w s , t h e a t t a i n a b l e c o n t r o l l e r o r d e r i n c r e a s e s .
c o n t r o l l e r o r d e r N u m b e r o f e x p e r i m e n t s R a t e
0 1 9 8 8 7 9 9 . 4 3 %
1 1 1 3 0 . 5 7 %
t o t a l 2 0 0 0 0 1 0 0 %
T a b l e 4 : E x p e r i m e n t s w i t h r a n d o m A ; B ; C ( n = 6 , n
u
= 3 , n
y
= 3 ) . A l g o r i t h m 1 n d s a c o n t r o l l e r o f o r d e r
0 i n m o r e t h a n 9 9 % o f t h e c a s e s , a n d o f o r d e r 1 a t m o s t .
T a b l e 4 p r e s e n t s a t w e n t y t h o u s a n d e x p e r i m e n t s , w i t h r a n d o m ( A ; B ; C ) s a t i s f y i n g t h e r s t -
o r d e r K i m u r a c o n d i t i o n . O u r n u m e r i c a l r e s u l t s m a t c h t h e f a c t t h a t e v e r y s y s t e m i s g e n e r i c a l l y
s t a b i l i z a b l e w i t h a r s t - o r d e r c o n t r o l l e r .
4 . 3 R o b u s t o u t p u t - f e e d b a c k
C o n s i d e r a m o r e \ r e a l i s t i c " m o d e l t a k e n f r o m 2 ] . T h e p l a n t m a t r i c e s a r e g i v e n b y
A ( p
1
; p
2
) =
2
6
6
6
4
? : 0 3 6 6 : 0 2 7 1 : 0 1 8 8 ? : 4 5 5 5
: 0 4 8 2 ? 1 : 0 1 : 0 0 2 4 ? 4 : 0 2 0 8
: 1 0 0 2 p
1
? : 7 0 7 p
2
0 0 1 0
3
7
7
7
5
; B
u
( p
3
) =
2
6
6
6
4
: 4 4 2 2 : 1 7 6 1
p
3
? 7 : 5 9 2 2
? 5 : 5 2 4 : 4 9
0 0
3
7
7
7
5
;
C =
h
0 1 0 0
i
:
8
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9/12
T h e t h r e e u n c e r t a i n p a r a m e t e r s p
1
; p
2
; p
3
a r e w i t h i n t h e b o u n d s j p
1
? 0 : 3 6 8 1 j : 0 5 , j p
2
? 1 : 4 2 0 0 j
: 0 1 a n d j p
3
? 3 : 5 4 4 6 j : 0 4 . W e s e t A ; B
u
t o b e t h e n o m i n a l v a l u e s , a n d w r i t e t h e a b o v e m o d e l
a s ( 1 0 ) , w i t h t h e f o l l o w i n g m a t r i c e s
B
p
=
2
6
6
6
4
0 0 0
0 0 0 : 0 4
0 : 0 5 0 : 0 1 0
0 0 0
3
7
7
7
5
; C
q
=
2
6
4
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3
7
5
; C
T
y
=
2
6
6
6
4
0
1
0
0
3
7
7
7
5
; D
q u
=
2
6
4
0 0
0 0
1 0
3
7
5
:
W e s e e k a r o b u s t , l o w - o r d e r c o n t r o l l e r f o r t h e s y s t e m a b o v e , w i t h A r e p l a c e d b y A + I . W e a p p l y
o u r a l g o r i t h m t o t h e C C P , w i t h d i a g ( X ; D ) a n d d i a g ( S ; T ) . I n o t h e r w o r d s , w e h a v e s o u g h t t o
m i n i m i z e
T r X D + T r S T
u s i n g t h e l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m 1 . F o r a r e q u i r e d d e c a y r a t e o f = 0 : 1 , w e h a v e f o u n d a r o b u s t ,
s t a b i l i z i n g o r d e r c o n t r o l l e r o f z e r o - t h o r d e r , a f t e r 2 o u t e r i t e r a t i o n s . T h e r e s u l t i s
S =
2
6
6
6
4
0 : 8 9 0 2 ? 0 : 2 4 9 9 ? 0 : 4 4 7 9 ? 0 : 4 2 1 2
? 0 : 2 4 9 9 1 : 5 7 5 3 0 : 7 3 8 8 0 : 4 7 4 0
? 0 : 4 4 7 9 0 : 7 3 8 8 1 : 3 5 9 5 0 : 7 2 0 8
? 0 : 4 2 1 2 0 : 4 7 4 0 0 : 7 2 0 8 1 : 5 0 5 9
3
7
7
7
5
; D = d i a g
2
6
4
0 : 9 9 8 5
1 : 5 1 4 5
0 : 9 9 9 7
3
7
5
;
X =
2
6
6
6
4
1 : 4 0 3 3 ? 0 : 0 0 8 4 0 : 3 4 4 9 0 : 2 3 0 0
? 0 : 0 0 8 4 0 : 8 5 6 4 ? 0 : 4 3 4 2 ? 0 : 0 6 4 1
0 : 3 4 4 9 ? 0 : 4 3 4 2 1 : 2 8 8 6 ? 0 : 3 8 3 7
0 : 2 3 0 0 ? 0 : 0 6 4 1 ? 0 : 3 8 3 7 0 : 9 3 2
3
7
7
7
5
; T = d i a g
2
6
4
1 : 0 0 1 5
0 : 6 6 0 3
1 : 0 0 0 3
3
7
5
:
W e c a n c h e c k t h a t D T = I , a n d t h a t X S = I . T h e s t a t i c r o b u s t c o n t r o l l e r , w h i c h s t a b i l i z e s t h i s
a b o v e s y s t e m c a n b e c o m p u t e d b y s o l v i n g a s o l u t i o n K t o L M I s t h a t e x p r e s s q u a d r a t i c s t a b i l i t y o f
t h e c l o s e d - l o o p s y s t e m . W e o b t a i n e d a f e a s i b l e K
K =
"
? 0 : 4 3 5 7
9 : 5 6 5 2
#
:
4 . 4 C o m p a r i s o n w i t h o t h e r a l g o r i t h m s
I n t a b l e 5 , w e c o m p a r e d t h e b e h a v i o r o f o u r a l g o r i t h m w i t h o t h e r e x i s t i n g a l g o r i t h m s : t h e D - K
i t e r a t i o n m e t h o d 2 0 ] , a n d t h e m i n - m a x a l g o r i t h m 1 0 ] ( l a b e l e d i n t a b l e 5 b y G S S ) . A t h o u s a n d
( A ; B ; C ) s a t i s f y i n g t h e 0 - t h o r d e r K i m u r a c o n d i t i o n w e r e c h o s e n r a n d o m l y . O u r a l g o r i t h m a l w a y s
n d s a s t a t i c c o n t r o l l e r i n l e s s t h a n 8 o u t e r i t e r a t i o n s . I n m o r e t h a n 7 0 % o f t h e c a s e s , t h e a l g o r i t h m
i s s u c c e s s f u l a f t e r o n l y o n e o u t e r i t e r a t i o n . T h e D - K i t e r a t i o n a l g o r i t h m f a i l s i n t h e v a s t m a j o r i t y
o f c a s e s . T h e G S S a l g o r i t h m b e h a v e s m u c h b e t t e r t h a n t h e D - K i t e r a t i o n a l g o r i t h m b u t f a i l s
s o m e t i m e s o r i t t a k e s m u c h m o r e i t e r a t i o n s t h a n o u r a l g o r i t h m . N o t e t h a t a l l t h r e e a l g o r i t h m
r e q u i r e a p p r o x i m a t e l y t h e s a m e a m o u n t o f w o r k a t e a c h ( o u t e r ) i t e r a t i o n .
5 C o n c l u d i n g R e m a r k s
T h i s p a p e r d e s c r i b e s a n a l g o r i t h m f o r t h e r e d u c e d - o r d e r o u t p u t - f e e d b a c k p r o b l e m . T h e a l g o r i t h m
i s g u a r a n t e e d t o g e n e r a t e a c o n t r o l l e r o f o r d e r t h a t i s l e s s o r e q u a l t o n ? m a x ( n
u
; n
y
) . A l t h o u g h t h e
a l g o r i t h m m a y n o t b e a b l e t o n d t h e s m a l l e s t - o r d e r c o n t r o l l e r i n a l l c a s e s , n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s
9
7/31/2019 A Cone Compl. Lin. Alg. for Statis Output-Feedback and Related Problems
10/12
O u t e r I t e r a t i o n s A l g o r i t h m 1 G S S D - K
1 7 1 7 1 2 9 1 6 8
2 1 6 1 1 2 6 4
3 7 4 3 1 2
4 2 8 4 7 0
5 1 1 4 4 0
6 6 4 9 0
7 2 8 1 0
8 1 8 9 0
9 0 9 7 0
1 0 5 0 0 2 6 0 0
F a i l 0 4 7 8 2 6
t o t a l 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
T a b l e 5 : C o m p a r i s o n w i t h o t h e r a l g o r i t h m s w i t h r a n d o m A ; B ; C ( n = 5 , n
u
= 3 , n
y
= 3 ) . T h e t a b l e s h o w s
t h e n u m b e r o f s u c c e s s e s v s . n u m b e r o f i t e r a t i o n s . F o r t h e G S S a l g o r i t h m , F A I L m e a n s t h a t i t g e n e r a t e s
u n b o u n d e d s e q u e n c e ( k X
k
k > 1 0
6
) , a n d p r o v i d e s n o s o l u t i o n . F o r t h e D - K a l g o r i t h m , F A I L m e a n s t h a t t h e
s t a t i o n a r y p o i n t o b t a i n e d f a i l e d t o s t a b i l i z e t h e s y s t e m .
i n d i c a t e a v e r y s a t i s f a c t o r y b e h a v i o r , m a t c h i n g i n p a r t i c u l a r K i m u r a ' s g e n e r i c s t a b i l i z a b i l i t y r e s u l t .
T h e a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d t o a l a r g e n u m b e r o f o t h e r r a n k - m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s o v e r L M I s
t h a t a r i s e i n c o n t r o l t h e o r y ( s e e 2 1 ] ) f o r m a n y e x a m p l e s ) .
T h e b e h a v i o r o f t h e a l g o r i t h m c a n b e i n t u i t i v e l y u n d e r s t o o d i n p a r a l l e l t o p r i m a l - d u a l i n t e r i o r -
p o i n t m e t h o d s f o r L M I p r o b l e m s , a s f o l l o w s . O u r a l g o r i t h m i s a n a t u r a l e x t e n s i o n o f a c l a s s i c a l a l -
g o r i t h m o r i g i n a l l y d e v i s e d f o r l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s , t o c o n e - c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s
( C C P s ) . C C P s a r i s e i n p a r t i c u l a r i n p r i m a l - d u a l f o r m u l a t i o n s o f L M I p r o b l e m s , a s s e e n i n e . g . 2 4 ] .
I n a C C P c o n s t r u c t e d f r o m a n L M I p r o b l e m , w e h a v e a p a i r o f s y m m e t r i c m a t r i x v a r i a b l e s X ; S ,
e a c h s u b j e c t t o e q u a l i t y a n d L M I c o n s t r a i n t s . B y c o n s t r u c t i o n , t h e c o n s t r a i n t s o n X a n d t h o s e
o n S a r e \ d u a l " , s o t h a t t h e p r i m a l - d u a l g a p T r X S i s a c t u a l l y l i n e a r i n X ; S o n t h e f e a s i b l e s e t .
T h e m o s t e c i e n t a l g o r i t h m s f o r L M I p r o b l e m s t o d a t e u s e t h e a b o v e f a c t a n d w o r k w i t h t h e C C P
f o r m u l a t i o n , u s i n g b o t h p r i m a l a n d d u a l v a r i a b l e s s i m u l t a n e o u s l y . O u r a l g o r i t h m i s a n a d a p t a t i o n
o f t h i s i d e a t o a p r o b l e m w h e r e t h e L M I c o n s t r a i n t s o n X ; S a r e n o t n e c e s s a r i l y \ d u a l " t o e a c h
o t h e r . A s i n L M I p r o b l e m s , w o r k i n g w i t h b o t h p r i m a l a n d d u a l v a r i a b l e s s i m u l t a n e o u s l y s e e m s t o
b e c o m p a r a t i v e l y e c i e n t ; t h i s w a s i l l u s t r a t e d i n t a b l e 5 .
N o t e t h a t t h e L M I c o n s t r a i n t s ( 3 ) o f t h e R O F p r o b l e m c a n a l s o b e v i e w e d a s \ d u a l " o f e a c h
o t h e r , i n t h e s e n s e g i v e n t o d u a l i t y i n c o n t r o l t h e o r y : t h e r s t c o n s t r a i n t i s r e l a t e d t o s t a b i l i z a b i l i t y ,
a n d t h e s e c o n d i s r e l a t e d t o d e t e c t a b i l i t y . T h e c o n n e c t i o n b e t w e e n c o n v e x d u a l i t y a n d c o n t r o l
d u a l i t y m a y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n t h e a n s w e r t o t h e r e d u c e d - o r d e r o u t p u t - f e e d b a c k p r o b l e m .
A c k n o w l e d g m e n t s
T h e a u t h o r s w i s h t o t h a n k t h e a n o n y m o u s r e v i e w e r s f o r t h e i r v e r y h e l p f u l c o m m e n t s .
R e f e r e n c e s
1 ] B . D . A n d e r s o n , N . K . B o s e , a n d E . I . J u r y . O u t p u t f e e d b a c k s t a b i l i z a t i o n a n d r e l a t e d p r o b l e m s |
1 0
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S o l u t i o n v i a d e c i s i o n m e t h o d s . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C - 2 0 : 5 3 { 6 6 , 1 9 7 5 .
2 ] S . P . B h a t t a c h a r y y a . R o b u s t S t a b i l i z a t i o n A g a i n s t S t r u c t u r e d P e r t u r b a t i o n s , v o l u m e 9 9 o f L e c t u r e N o t e s
i n C o n t r o l a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e s . S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 8 7 .
3 ] V . B l o n d e l a n d J . N . T s i t s i k l i s . N P - h a r d n e s s o f s o m e l i n e a r c o n t r o l d e s i g n p r o b l e m s . E u r o p e a n J o u r .
C o n t r o l , 1 , 1 9 9 5 .
4 ] S . B o y d a n d L . E l G h a o u i . M e t h o d o f c e n t e r s f o r m i n i m i z i n g g e n e r a l i z e d e i g e n v a l u e s . L i n e a r A l g e b r a
a n d A p p l i c a t i o n s , s p e c i a l i s s u e o n N u m e r i c a l L i n e a r A l g e b r a M e t h o d s i n C o n t r o l , S i g n a l s a n d S y s t e m s ,
1 8 8 , J u l y 1 9 9 3 .
5 ] S . B o y d , L . E l G h a o u i , E . F e r o n , a n d V . B a l a k r i s h n a n . L i n e a r M a t r i x I n e q u a l i t i e s i n S y s t e m a n d C o n t r o l
T h e o r y , v o l u m e 1 5 o f S t u d i e s i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s . S I A M , P h i l a d e l p h i a , P A , J u n e 1 9 9 4 .
6 ] J . D a v i d . A l g o r i t h m s f o r a n a l y s i s a n d d e s i g n o f r o b u s t c o n t r o l l e r s . P h D t h e s i s , E E D e p t . , K . U . L e u v e n ,
E S A T , E E D e p t . , L e u v e n , B e l g i u m , M a r c h 1 9 9 4 .
7 ] H . J . D a v i s o n a n d R . C h a t t e r j e e . A n o t e o n p o l e a s s i g n e m e n t i n l i n e a r s y s t e m s w i t h i n c o m p l e t e s t a t e -
f e e d b a c k . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , A C - 1 6 : 9 8 { 9 9 , F e b r u a r y 1 9 7 1 .
8 ] J . D o y l e , A . P a c k a r d , a n d K . Z h o u . R e v i e w o f L F T ' s , L M I ' s a n d . I n P r o c . I E E E C o n f . o n D e c i s i o n
a n d C o n t r o l , v o l u m e 2 , p a g e s 1 2 2 7 { 1 2 3 2 , B r i g h t o n , D e c e m b e r 1 9 9 1 .
9 ] L . E l G h a o u i , R . N i k o u k h a h , a n d F . D e l e b e c q u e . L M I T O O L : A f r o n t - e n d f o r L M I o p t i m i z a t i o n , u s e r ' s
g u i d e , F e b r u a r y 1 9 9 5 . A v a i l a b l e v i a a n o n y m o u s f t p t o f t p . e n s t a . f r , u n d e r / p u b / e l g h a o u i / l m i t o o l .
1 0 ] J . C . G e r o m e l , C . C . d e S o u z a , a n d R . E . S k e l t o n . L M I n u m e r i c a l s o l u t i o n f o r o u t p u t f e e d b a c k s t a b i -
l i z a t i o n . I n P r o c . I E E E C o n f . o n D e c i s i o n a n d C o n t r o l , p a g e s 4 0 { 4 4 , D e c e m b e r 1 9 9 5 .
1 1 ] L . E l G h a o u i , F . O u s t r y , a n d M . A i t R a m i . A n L M I - b a s e d l i n e a r i z a t i o n a l g o r i t h m f o r s t a t i c o u t p u t -
f e e d b a c k a n d r e l a t e d p r o b l e m s . T e c h n i c a l r e p o r t , L a b . A p p l . M a t h . , E c o l e N a t . S u p . T e c h n i q u e s
A v a n c e e s , 3 2 , B d . V i c t o r , 7 5 7 3 9 P a r i s , F r a n c e , N o v e m b e r 1 9 9 5 .
1 2 ] K . M . G r i g o r i a d i s a n d R . E . S k e l t o n . L o w o r d e r c o n t r o l d e s i g n f o r l m i p r o b l e m s u s i n g a l t e r n a t i n g
p r o j e c t i o n m e t h o d s . A u t o m a t i c a , J u n e 1 9 9 5 .
1 3 ] T . I w a s a k i a n d R . E . S k e l t o n . A l l c o n t r o l l e r s f o r t h e g e n e r a l H
1
c o n t r o l p r o b l e m : L M I e x i s t e n c e
c o n d i t i o n s a n d s t a t e s p a c e f o r m u l a s . A u t o m a t i c a , 3 0 ( 8 ) : p p 1 3 0 7 { 1 3 1 7 , a u g u s t 1 9 9 4 .
1 4 ] T . I w a s a k i a n d R . E . S k e l t o n . T h e X Y - c e n t e r i n g a l g o r i t h m f o r t h e d u a l L M I p r o b l e m : a n e w a p p r o a c h
t o x e d o r d e r c o n t r o l d e s g i n . I n t . J . C o n t r o l , 6 2 ( 6 ) : 1 2 5 7 { 1 2 7 2 , 1 9 9 5 .
1 5 ] H . K i m u r a . P o l e p l a c e m e n t b y g a i n o u t p u t f e e d b a c k . I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , 2 0 : 5 0 9 { 5 1 6 , 1 9 7 5 .
1 6 ] O . L . M a n g a s a r i a n a n d J . S . P a n g . T h e e x t e n d e d l i n e a r c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . S I A M J . o n M a t r i x
A n a l y s i s a n d A p p l i c a t i o n s , 2 : 3 5 9 { 3 6 8 , j a n 1 9 9 5 .
1 7 ] Y u . N e s t e r o v a n d A . N e m i r o v s k y . I n t e r i o r p o i n t p o l y n o m i a l m e t h o d s i n c o n v e x p r o g r a m m i n g : T h e o r y
a n d a p p l i c a t i o n s . S I A M , 1 9 9 4 .
1 8 ] P . L . D . P e r e s , J . C . G e r o m e l , a n d S . R . S o u z a . H
1
r o b u s t c o n t r o l b y s t a t i c o u t p u t f e e d b a c k . I n P r o c .
A m e r i c a n C o n t r o l C o n f . , v o l u m e 1 , p a g e s 6 2 0 { 6 2 1 , S a n F r a n c i s c o , C a l i f o r n i a , J u n e 1 9 9 3 .
1 9 ] J . R o s e n t h a l a n d X . A . W a n g . O u t p u t f e e d b a c k p o l e p l a c e m e n t w i t h d y n a m i c c o m p e n s a t o r s . I E E E
T r a n s . A u t . C o n t r o l , 4 1 ( 6 ) : 8 3 0 { 8 4 3 , 1 9 9 6 .
2 0 ] M . A . R o t e a a n d T . I w a s a k i . A n a l t e r n a t i v e t o t h e D - K i t e r a t i o n ? I n P r o c e e d i n g s o f t h e A m e r i c a n
C o n t r o l C o n f e r e n c e , p a g e s 5 3 { 5 7 , j u n e 1 9 9 4 .
2 1 ] R . E . S k e l t o n , T . I w a s a k i , a n d K . M . G r i g o r i a d i s . A u n i e d a p p r o a c h t o l i n e a r c o n t r o l d e s i g n , 1 9 9 3 .
M a n u s c r i p t .
2 2 ] V . L . S y r m o s , C . A b d a l l a h , a n d P . D o r a t o . S t a t i c o u t p u t f e e d b a c k : a s u r v e y . I n P r o c . I E E E C o n f . o n
D e c i s i o n a n d C o n t r o l , p a g e s 8 3 7 { 8 4 2 , D e c e m b e r 1 9 9 4 .
1 1
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12/12
2 3 ] L . V a n d e n b e r g h e a n d S . B o y d . S P , S o f t w a r e f o r s e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g , u s e r ' s g u i d e , D e c e m b e r
1 9 9 4 . A v a i l a b l e v i a a n o n y m o u s f t p t o i s l . s t a n f o r d . e d u u n d e r / p u b / b o y d / s e m i d e f _ p r o g .
2 4 ] L . V a n d e n b e r g h e a n d S . B o y d . S e m i d e n i t e p r o g r a m m i n g . S I A M R e v i e w , 3 8 ( 1 ) : 4 9 { 9 5 , M a r c h 1 9 9 6 .
2 5 ] X . A . W a n g . G r a s s m a n i a n , c e n t r a l p r o j e c t i o n , a n d o u t p u t f e e d b a c k p o l e a s s i g n e m e n t o f l i n e a r s y s t e m s .
I E E E T r a n s . A u t . C o n t r o l , 4 1 ( 6 ) : 7 8 6 { 7 9 4 , J u n e 1 9 9 6 .
2 6 ] Y . Y e . A f u l l y p o l y n o m i a l - t i m e a l g o r i t h m f o r c o m p u t i n g a s t a t i o n a r y p o i n t f o r t h e g e n e r a l l i n e a r
c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . M a t h . O p e r . R e s . , 1 8 : 3 3 4 { 3 4 5 , 1 9 9 3 .
2 7 ] Y . Z h a n g . O n t h e c o n v e r g e n c e o f a c l a s s o f i n f e a s i b l e i n t e r i o r - p o i n t m e t h o d s f o r t h e h o r i z o n t a l l i n e a r
c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m . S I A M J . o n O p t i m i z a t i o n , 4 ( 1 ) : 2 0 8 { 2 2 7 , F e b r u a r y 1 9 9 4 .
A P r o o f o r T h e o r e m 2 . 3
W e r s t p r o v e t h e t h e o r e m f o r m = 0 , i n w h i c h c a s e t h e t r i p l e (
~
A ;
~
B ;
~
C ) d e n e d i n ( 6 ) c o i n c i d e s
w i t h ( A ; B ; C ) .
F o r > 0 , i n t r o d u c e a l i n e a r o p e r a t o r ? d e n e d o n t h e s e t o f n n s y m m e t r i c m a t r i c e s b y
?
( H ) = B
( A H + H A
T
+ 2 H ) B
T
: ( 1 1 )
B
b e i n g o r t h o g o n a l , a b o u n d o n t h e n o r m o f ?
i s
m a x
k H k = 1
k ?
( H ) k 2 k A + I k : ( 1 2 )
A s s u m e t h a t X ; S a r e f e a s i b l e f o r t h e L M I c o n s t r a i n t s ( 3 ) . L e t H = S
? 1
? X , a n d 0 < .
W i t h ? d e n e d b y ( 1 1 ) , w e h a v e
?
( S
? 1
) = ?
( X ) + ?
( H ) ? 2 ( ? ) B
X B
T
+ ?
( H ) :
F r o m ( 1 2 ) , w e h a v e k ?
( H ) k 2 k A + I k k H k . T h u s , t h e c r i t e r i o n
k H k
2 ( ? )
m i n
( B
X B
T
)
k A + I k
g u a r a n t e e s t h a t
B
( A S
? 1
+ S
? 1
A
T
+ 2 S
? 1
) B
T
0 ; C
T
( A
T
S + S A + 2 S ) C
0 :
F r o m t h e e l i m i n a t i o n l e m m a ( s e e , e . g . 5 ] ) , w e o b t a i n t h a t p r o b l e m ( 9 ) i s f e a s i b l e . T h e p r o o f o f
t h e t h e o r e m f o r m = 0 t h e n f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t K ( X ; S ) 0 t o g e t h e r w i t h T r ( X + S ) M
i m p l i e s
m i n
( B
X B
T
) M
? 1
.
N o w c o n s i d e r t h e g e n e r a l c a s e m 0 . L e t
~
X b e d e n e d a s i n ( 8 ) , a n d d e n e
~
S =
"
X ? E R
R
T
I
#
? 1
=
"
I 0
? R
T
I
# "
S 0
0 I
# "
I ? R
0 I
#
:
I t i s e a s i l y s e e n t h a t b o t h
~
X ;
~
S a r e p o s i t i v e - d e n i t e . M o r e o v e r , f o r e v e r y , 0 ,
~
B
(
~
A
~
X +
~
X
~
A
T
+ 2
~
X )
~
B
T
= B
( A X + X A
T
+ 2 X ) B
T
0 ;
~
C
T
(
~
A
T
~
S +
~
S
~
A + 2
~
S )
~
C
= C
T
( A
T
S + S A + 2 S ) C
0 :
F i n a l l y ,
~
X ?
~
S
? 1
=
"
E 0
0 0
#
0 ;
w h i c h i m p l i e s k
~
X ?
~
S
? 1
k = k E k
r o f
. W e o b t a i n t h a t
~
X ;
~
S s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f t h e t h e o r e m
w i t h m = 0 , f o r t h e a u g m e n t e d s y s t e m (
~
A ;
~
B ;
~
C ) . T h i s a c h i e v e s t h e p r o o f .
1 2