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8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
1/15
A C O N T I N U A T I O N M E T H O D A P P R O A C H T O F I N D I N G T H E
C L O S E S T S A D D L E N O D E B I F U R C A T I O N P O I N T
Y u r i V . M a k a r o v I a n A . H i s k e n s
D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g
T h e U n i v e r s i t y o f N e w c a s t l e , C a l l a g h a n , N S W , 2 3 0 8 , A u s t r a l i a
A b s t r a c t
T h e p a p e r c o n s i d e r s t h e p r o b l e m o f n d i n g s a d d l e n o d e b i f u r -
c a t i o n p o i n t s w h i c h a r e c l o s e s t ( i n a l o c a l s e n s e ) t o t h e p o w e r
s y s t e m o p e r a t i n g p o i n t . T h i s o p t i m i z a t i o n p r o b l e m l e a d s t o
a s e t o f e q u a t i o n s w h i c h d e s c r i b e s u c h c r i t i c a l p o i n t s . N o t a l l
s o l u t i o n s o f t h i s s e t o f e q u a t i o n s a r e c r i t i c a l p o i n t s . T h e p a p e r
t h e r e f o r e e x p l o r e s t h e n a t u r e a n d c h a r a c t e r i s t i c s o f s o l u t i o n s .
A t w o s t a g e a l g o r i t h m i s p r o p o s e d f o r s o l v i n g t h e c r i t i c a l p o i n t
p r o b l e m . T h e r s t s t a g e i s s i m p l y t o n d a p o i n t o n t h e s i n g u -
l a r s u r f a c e , i . e . , t h e s u r f a c e o f s a d d l e n o d e b i f u r c a t i o n p o i n t s ,
w h i c h l i e s i s a s p e c i e d d i r e c t i o n . T h e s e c o n d s t a g e u s e s a
c o n t i n u a t i o n m e t h o d t o m o v e f r o m t h a t i n i t i a l p o i n t t o t h e
d e s i r e d c r i t i c a l p o i n t . S i n g u l a r i t y o f t h e c r i t i c a l p o i n t p r o b l e m
c a n h a v e a s i g n i c a n t i n u e n c e o n t h e r o b u s t n e s s o f t h e c o n t i n -
u a t i o n m e t h o d . T h e p a p e r i n v e s t i g a t e s s i n g u l a r i t y c o n d i t i o n s .
T h e p r o p o s e d a l g o r i t h m i s t e s t e d o n a n e i g h t b u s p o w e r s y s t e m
e x a m p l e .
K e y w o r d s : s t a b i l i t y m a r g i n c a l c u l a t i o n , p o w e r o w s i n g u l a r -
i t i e s , c o n t i n u a t i o n m e t h o d s
1 I n t r o d u c t i o n
T h e t r e n d i n m o d e r n p o w e r s y s t e m o p e r a t i o n i s t o w a r d
g r e a t e r u t i l i s a t i o n o f g e n e r a t i o n a n d t r a n s m i s s i o n a s s e t s .
T h i s n e c e s s a r i l y m e a n s t h a t s y s t e m s m u s t o p e r a t e m u c h
c l o s e r t o s t a b i l i t y l i m i t s . T h e r e f o r e t h e r e i s a n e e d t o b e
a b l e t o d e t e r m i n e t h o s e l i m i t s m o r e a c c u r a t e l y a n d r e l i -
a b l y .
T h e f o r m o f t h e d e s i r e d s t a b i l i t y m a r g i n i n f o r m a t i o n
v a r i e s , d e p e n d i n g o n t h e t y p e o f p o w e r s y s t e m i n v e s t i -
g a t i o n b e i n g u n d e r t a k e n . I n v e s t i g a t i o n s o f l a r g e d i s t u r -
b a n c e s t a b i l i t y m a y m a k e u s e o f a s t a b i l i t y m a r g i n b a s e d
o n L y a p u n o v i d e a s , s e e 1 ] f o r e x a m p l e . I n a n o p e r a t i n g
e n v i r o n m e n t h o w e v e r , i t i s m o r e c o m m o n t o u s e s e c u r i t y
m a r g i n s b a s e d o n q u a s i - s t a t i c p r o p e r t i e s o f t h e s y s t e m .
T h e p o w e r o w p r o b l e m i s c e n t r a l t o t h i s f o r m o f s e c u r i t y
m a r g i n . T h e m a r g i n i s g e n e r a l l y b a s e d o n s o m e m e a s u r e
o f d i s t a n c e f r o m t h e o p e r a t i n g p o i n t t o a p o i n t w h e r e t h e
p o w e r o w p r o b l e m b e c o m e s u n s o l v a b l e . T h i s p a p e r f o -
c u s s e s o n t h i s l a t t e r t y p e o f s e c u r i t y m a r g i n .
A p o w e r o w p r o b l e m c a n b e d e s c r i b e d b y t h e s e t o f n
n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s
y
0
+ f ( x ) = 0 ( 1 )
w h e r e y
0
2 R
n
i s t h e v e c t o r o f s p e c i e d i n d e p e n d e n t p a -
r a m e t e r s s u c h a s a c t i v e a n d r e a c t i v e p o w e r s o f l o a d s a n d
g e n e r a t o r s o r x e d v o l t a g e s , x 2 R
n
i s t h e s t a t e , c o n s i s t -
i n g o f n o d a l v o l t a g e s . T h e v e c t o r f u n c t i o n f ( x ) d e n e s
t h e s u m o f p o w e r o w s o r c u r r e n t s i n t o e a c h b u s f r o m t h e
r e s t o f t h e n e t w o r k . I f n o d a l v o l t a g e s x a r e e x p r e s s e d i n
r e c t a n g u l a r c o o r d i n a t e s t h e n f ( x ) i s a q u a d r a t i c f u n c t i o n
o f x
T h e p o w e r o w e q u a t i o n s f ( x ) g e n e r a l l y d e n e a m a p -
p i n g f r o m s t a t e s p a c e t o a s u b s e t o f p a r a m e t e r s p a c e , i . e . ,
? f R
n
! L w h e r e L R
n
. T h e r e g i o n L d e n e s t h e s e t
o f p a r a m e t e r s f o r w h i c h p o w e r o w s o l u t i o n s e x i s t . T h e r e -
f o r e t h e i n v e r s e m a p p i n g , f r o m p a r a m e t e r s p a c e t o s t a t e
s p a c e i s o n l y d e n e d i n s i d e L . T h i s i n v e r s e m a p p i n g i s
i n g e n e r a l n o t u n i q u e , w i t h a n u m b e r o f s o l u t i o n s c o r r e -
s p o n d i n g t o a g i v e n v a l u e o f p a r a m e t e r s y
0
2 L . I n f a c t ,
p a r a m e t e r s p a c e m a y b e d i v i d e d i n t o r e g i o n s , w i t h e a c h
r e g i o n h a v i n g a d i e r e n t n u m b e r o f s o l u t i o n s f o r a g i v e n
v a l u e o f y
A s p a r a m e t e r s y v a r y , t h e s o l u t i o n s o f ( 1 ) w i l l a l s o m o v e
i n s t a t e s p a c e . P a r a m e t e r s y m a y m o v e t o a p o i n t w h e r e
t w o s o l u t i o n s c o a l e s c e , w i t h f u r t h e r v a r i a t i o n o f y r e s u l t -
i n g i n t h e d i s a p p e a r a n c e o f t h a t s o l u t i o n . B e h a v i o u r o f
t h a t f o r m i s r e f e r r e d t o a s a s a d d l e n o d e b i f u r c a t i o n . I t
f o l l o w s f r o m t h e I m p l i c i t F u n c t i o n T h e o r e m t h a t a t s u c h
b i f u r c a t i o n p o i n t s
d e t D
x
f = d e t J ( x ) = 0 ( 2 )
i . e . , J ( x ) i s t h e J a c o b i a n m a t r i x o f f ( x ) . F u r t h e r , w e
s e e t h a t r e g i o n s d e n e d o n t h e b a s i s o f t h e n u m b e r o f
s o l u t i o n s f o r a g i v e n y m u s t b e b o u n d e d b y s u r f a c e s o f
p o i n t s s a t i s f y i n g ( 2 ) . W e s h a l l d e n e t h e b o u n d a r y a s
= f ( x y ) x y 2 R
n
y + f ( x ) = 0 d e t J
( x y )
= 0 g ( 3 )
T h e p r o j e c t i o n o f o n t o s t a t e s p a c e a n d p a r a m e t e r s p a c e
w i l l b e r e f e r r e d t o a s
x
y
r e s p e c t i v e l y . M o r e d e t a i l e d
a n a l y s i s o f t h e s t r u c t u r e o f L w a s u n d e r t a k e n i n 1 1 , 1 2 ] .
T h e c o n d i t i o n ( 2 ) m e a n s t h a t a t l e a s t o n e r e a l e i g e n -
v a l u e
i
o f J m u s t b e z e r o . U n d e r c e r t a i n m o d e l l i n g
a s s u m p t i o n s , a z e r o e i g e n v a l u e o f J c o r r e s p o n d s t o l o s s
o f s m a l l d i s t u r b a n c e s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m 1 3 , 1 4 , 1 5 ] .
T h e r e f o r e t h e ` d i s t a n c e ' f r o m a n o p e r a t i n g p o i n t t o p o i n t s
w h e r e J i s s i n g u l a r , i . e . , p o i n t s i n , p r o v i d e s a u s e f u l
m e a s u r e o f t h e s e c u r i t y o f a s y s t e m . A s a n o p e r a t i n g p o i n t
m o v e s n e a r e r t o , t h e s t a b i l i t y r e g i o n a r o u n d t h a t p o i n t
r e d u c e s 3 7 ] .
A n i m p o r t a n t p o w e r s y s t e m c o n t r o l p r o b l e m t h e r e f o r e i s
t o p r e v e n t a n o p e r a t i n g p o i n t f r o m m o v i n g t o o c l o s e t o .
T h a t i s , o p e r a t i n g p o i n t s s h o u l d a l w a y s b e ( a t l e a s t ) s o m e
s p e c i e d d i s t a n c e f r o m . A s p a r a m e t e r s y c o r r e s p o n d t o
p h y s i c a l q u a n t i t i e s t h a t c a n b e m e a s u r e d a n d c o n t r o l l e d ,
i t i s u s e f u l t o c o n s i d e r t h i s d i s t a n c e i n t e r m s o f p a r a m e t e r
s p a c e , i . e . ,
d ( y ) = k y ? y
0
k ( 4 )
w h e r e y
0
i s t h e o p e r a t i n g p o i n t , a n d y 2
y
, i . e . , y i s a
p o i n t o n t h e s o l u t i o n b o u n d a r y 1 6 , 1 7 , 1 8 , 1 9 ] . T h e s h o r t -
e s t ( o r c r i t i c a l ) d i s t a n c e m i n
y 2
y
d ( y ) g i v e s a m e a s u r e o f
p o w e r s y s t e m s e c u r i t y i n t h e m o s t d a n g e r o u s d i r e c t i o n o f
1
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
2/15
l o a d i n g 1 9 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 6 , 2 7 ] . I n a d d i t i o n , t h e c r i t i -
c a l v e c t o r ( y
0
? y ) d e n e s t h e o p t i m a l w a y o f c o n t r o l l i n g
t h e p o w e r s y s t e m t o m a x i m i s e s e c u r i t y . I t s l a r g e s t c o m -
p o n e n t s i n d i c a t e p a r a m e t e r s w h i c h c o n t r i b u t e m o s t t o t h e
s e c u r i t y c o n d i t i o n s 1 7 , 2 0 , 2 2 , 2 6 ] .
I n t h i s p a p e r w e a d d r e s s t h e i s s u e o f r o b u s t l y n d i n g t h e
m i n i m u m d i s t a n c e t o . T h i s q u e s t i o n h a s b e e n i n v e s t i -
g a t e d b e f o r e 1 9 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 6 , 2 7 ] . W e a r e p r o p o s i n g
a c o n t i n u a t i o n a p p r o a c h t o n d i n g t h e p o i n t s o n w h i c h
a r e c l o s e s t ( i n a l o c a l s e n s e ) t o t h e o p e r a t i n g p o i n t . W e
c a l l t h e s e p o i n t s c r i t i c a l p o i n t s . S i n g u l a r i t i e s o f t h e p r o b -
l e m w h i c h a e c t s u c h m e t h o d s a r e i n v e s t i g a t e d .
T h e p a p e r i s o r g a n i s e d a s f o l l o w s . S e c t i o n 2 e s t a b l i s h e s
t h e m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o f c r i t i c a l p o i n t s . P r o p e r t i e s
o f t h e s o l u t i o n s o f t h e c r i t i c a l p o i n t p r o b l e m a r e d i s c u s s e d
i n S e c t i o n 3 . S i n g u l a r i t i e s o f t h a t p r o b l e m a r e c o n s i d e r e d
i n S e c t i o n 4 . S e c t i o n 5 p r o p o s e s a n a l g o r i t h m f o r n d i n g
t h e c r i t i c a l p o i n t s . A n e i g h t b u s e x a m p l e i s c o n s i d e r e d
i n S e c t i o n 6 . A n n u m e r i c a l t e c h n i q u e w h i c h i s u s e f u l f o r
t h e c r i t i c a l p o i n t a l g o r i t h m o f S e c t i o n 5 i s o u t l i n e d i n A p -
p e n d i x B .
2 F o r m u l a t i o n o f t h e p r o b l e m
2 . 1 P a r a m e t e r w e i g h t i n g f a c t o r s
W h e n c o n s i d e r i n g t h e m i n i m u m d i s t a n c e f r o m a n o p -
e r a t i n g p o i n t t o , a n d o p t i m a l c o n t r o l s t r a t e g i e s f o r i n -
c r e a s i n g t h a t d i s t a n c e , i t i s n e c e s s a r y t o t a k e a c c o u n t o f
t h e f a c t t h a t p a r a m e t e r s m a y h a v e d i e r e n t d i m e n s i o n s ,
e . g . , b u s p o w e r s a n d n o d a l v o l t a g e s . I t m a y a l s o b e n e c e s -
s a r y t o w e i g h t p a r a m e t e r s o f t h e s a m e t y p e d i e r e n t l y . F o r
e x a m p l e a s m a l l b u t c r i t i c a l l o a d m a y n e e d t o b e w e i g h t e d
d i e r e n t l y t o a l a r g e , b u t n o t s o c r i t i c a l l o a d . F u r t h e r ,
s o m e p a r a m e t e r s a r e x e d . A n e x a m p l e i n t h i s c a s e w o u l d
b e b u s p o w e r s a t n o d e s w h i c h h a v e n o g e n e r a t o r s o r l o a d
c o n n e c t e d .
T h e r e f o r e , t o m a k e t h e p a r a m e t e r s c o m p a t i b l e , ` n o r m a l -
i s i n g ' c o e c i e n t s c a n b e u s e d 1 9 , 2 2 , f o r e x a m p l e ] . T h e
d i s t a n c e f u n c t i o n w o u l d t h e n b e r e d e n e d a s
d ( y ) = k y ? y
0
k ( 5 )
w h e r e i s a d i a g o n a l m a t r i x o f w e i g h t c o e c i e n t s , w i t h
d i a g o n a l e l e m e n t s
i
= 1 = y
b
i
( 6 )
E a c h y
b
i
i s a ` n o r m a l i s i n g ' f a c t o r f o r t h e i - t h p a r a m e t e r .
T h e d i s t a n c e ( 5 ) c a n b e u s e d a s a n a p e r i o d i c s t a b i l i t y ( o r
s e c u r i t y ) i n d e x 1 6 , 1 9 ] . B y c o m p a r i n g t h e d i s t a n c e d ( y )
w i t h a s p e c i e d s a f e v a l u e o f t h e s t a b i l i t y i n d e x I
s
, i t i s
p o s s i b l e t o d e c i d e w h e t h e r t h e c u r r e n t o p e r a t i n g s t a t e i s
d a n g e r o u s o r n o t .
I t s h o u l d b e n o t e d t h a t t h e y
b
i n ( 6 ) s h o u l d b e c o n s t a n t s ,
a n d n o t d e p e n d e n t o n t h e o p e r a t i n g p o i n t v a l u e s y
0
I t
w a s s h o w n i n 2 0 ] t h a t d i c u l t i e s a r i s e w h e n y
b
= y
0
, d u e
t o t h e r e s u l t i n g n o n l i n e a r d e p e n d e n c e o f d ( y ) o n y
0
2 . 2 O p t i m i z a t i o n f o r m u l a t i o n
O n e o f t h e r s t t h i n g s t o c o n s i d e r i n t h e f o r m u l a t i o n o f
t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m
m i n
y 2
y
d ( y ) ( 7 )
i s t h a t n o t a l l p a r a m e t e r s a r e f r e e t o v a r y . S o m e p a -
r a m e t e r s , s u c h a s p o w e r i n j e c t e d a t b u s e s w h i c h h a v e n o
l o a d o r g e n e r a t i o n , m u s t a l w a y s b e x e d . P a r a m e t e r s c a n
b e e e c t i v e l y h e l d c o n s t a n t b e a s s i g n i n g v e r y l a r g e v a l -
u e s o f w e i g h t c o e c i e n t s i n ( 5 ) . H o w e v e r t h i s l e a d s
t o a n i l l - c o n d i t i o n e d p r o b l e m , a n d a s s o c i a t e d n u m e r i c a l
d i c u l t i e s . W e t h e r e f o r e a d o p t t h e f o l l o w i n g p o w e r o w
f o r m u l a t i o n .
L e t m e q u a t i o n s i n ( 1 ) c o n t a i n x e d v a l u e s o f p a r a m e -
t e r s y
2
= y
0
2
= c o n s t . T h e o t h e r ( n ? m ) p a r a m e t e r s y
1
a r e f r e e t o v a r y . T h e n t h e s y s t e m ( 1 ) c a n b e r e w r i t t e n a s
y
1
+ f
1
( x ) = 0 ( 8 )
y
0
2
+ f
2
( x ) = 0 ( 9 )
U s i n g ( 8 ) , ( 9 ) , w e s e e t h a t t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e d ( y )
d e n e d a t ( 5 ) c a n b e w r i t t e n
1
d ( y )
2
= k y ? y
0
k
2
( 1 0 )
= k y
1
? y
0
1
k
2
( 1 1 )
= k y
0
1
+ f
1
( x ) k
2
( 1 2 )
C o n s i d e r t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m
e x t
x
k y
0
1
+ f
1
( x ) k
2
( 1 3 )
y
0
2
+ f
2
( x ) = 0 ( 1 4 )
w h e r e ` e x t ' d e n o t e s e x t r e m a o f t h e c o s t f u n c t i o n ( 1 3 ) .
T h e o p t i m i z a t i o n i s s u b j e c t t o n o n l i n e a r c o n s t r a i n t s ( 1 4 ) .
F r o m ( 1 0 ) - ( 1 2 ) i t c a n b e s e e n t h a t t h e c o s t f u n c t i o n ( 1 3 )
d e n e s t h e s q u a r e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o i n t s y
1
a n d y
0
1
, w i t h b o t h p o i n t s b e l o n g i n g t o t h e c o n s t r a i n t h y -
p e r p l a n e y
2
= y
0
2
= c o n s t , s e e F i g u r e 1 .
I f w e d e n e t h e L a g r a n g e f u n c t i o n
l ( x ) = k y
0
1
+ f
1
( x ) k
2
+ 2 y
0
2
+ f
2
( x )
t
( 1 5 )
t h e n t h e c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n p r o b l e m ( 1 3 ) , ( 1 4 ) c a n
b e f o r m u l a t e d a s a n u n c o n s t r a i n e d p r o b l e m
e x t
x
l ( x ) ( 1 6 )
S o l u t i o n s o f ( 1 6 ) s a t i s f y t h e n o n l i n e a r s y s t e m
J
t
1
( x ) y
0
1
+ f
1
( x ) + J
t
2
( x ) = 0 ( 1 7 )
y
0
2
+ f
2
( x ) = 0 ( 1 8 )
w h e r e J
1
=
@ f
1
@ x
a n d J
2
=
@ f
2
@ x
. T h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s
c a n b e w r i t t e n i n m o r e g e n e r a l f o r m a s
( x ) = 0 ( 1 9 )
U s i n g t h e s u b s t i t u t i o n
s = y
0
1
+ f
1
( x ) ( 2 0 )
i n ( 1 7 ) a l l o w s u s t o r e p r e s e n t t h e s y s t e m ( 1 7 ) , ( 1 8 ) a s
? s + y
0
1
+ f
1
( x ) = 0
y
0
2
+ f
2
( x ) = 0 ( 2 1 )
J
t
1
( x ) s + J
t
2
( x ) = 0
1
T o s i m p l i f y e x p r e s s i o n s w e t a k e = I , w h e r e I i s t h e i d e n t i t y
m a t r i x . T h e c a s e w h e n 6= I r e q u i r e s t r i v i a l t r a n s f o r m a t i o n s o f a l l
t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n s .
2
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
3/15
2
= const2 0
0
2
y
y
y
y
y
y1
F i g u r e 1 : T h e c o n s t r a i n t h y p e r p l a n e ( 1 4 ) .
I t i s c l e a r t h a t t h e s y s t e m ( 2 1 ) h a s t h e s a m e s o l u t i o n s a s
t h e s y s t e m ( 1 7 ) , ( 1 8 ) , s o
( x ) = 0 , ( x ; s ; ) = 0 ( 2 2 )
w h e r e ( x ; s ; ) = 0 r e p r e s e n t s t h e s y s t e m ( 2 1 ) . T h e l a s t
e q u a t i o n i n ( 2 1 ) c a n b e r e w r i t t e n a s
J
t
( x ) s
= 0 ( 2 3 )
w h e r e
J
t
= J
t
1
J
t
2
] ( 2 4 )
s
= s
t
t t
( 2 5 )
I f s
6= 0 , t h e J a c o b i a n m a t r i x J ( x ) i s s i n g u l a r , a n d
t h e v e c t o r s
i s a l e f t e i g e n v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o a z e r o
e i g e n v a l u e . T h e r e f o r e , c o n s i d e r i n g t h e o r i g i n a l o p t i m i z a -
t i o n p r o b l e m ( 1 3 ) , ( 1 4 ) , a n d t h e c o n d i t i o n ( 2 3 ) f o r s
6= 0
w e c a n c o n c l u d e t h a t c r i t i c a l p o i n t s , i . e . , p o i n t s o n t h a t
a r e m i n i m a l d i s t a n c e ( l o c a l l y ) f r o m t h e o p e r a t i n g p o i n t
y
0
, s a t i s f y t h e s y s t e m ( 2 1 ) .
3 S o l u t i o n s o f t h e c r i t i c a l p o i n t
p r o b l e m
T h e s y s t e m ( 2 1 ) c a n b e c o n s i d e r e d a s a n e x t e n d e d p o w e r
o w p r o b l e m w h e r e t h e u s u a l p o w e r o w e q u a t i o n s ( t h e
r s t t w o e q u a t i o n s i n ( 2 1 ) ) a r e s u p p l e m e n t e d b y t h e s i n -
g u l a r i t y c o n d i t i o n ( 2 3 ) . S t a t e s p a c e , i . e . , t h e s p a c e o f u n -
k n o w n v a r i a b l e s , i s n o w e x t e n d e d t o i n c l u d e t h e a d d i t i o n a l
v a r i a b l e s s
. S o t h e v a r i a b l e s a r e ( x s
) 2 R
2 n
3 . 1 T r i v i a l a n d n o n t r i v i a l s o l u t i o n s
T h e r e a r e t w o k i n d s o f s o l u t i o n s t o t h e c r i t i c a l p o i n t
p r o b l e m ( 2 1 ) :
T r i v i a l s o l u t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e c o n d i t i o n s
=
0 . T h o s e s o l u t i o n s a r e a c t u a l l y t h e s o l u t i o n s o f t h e
u s u a l p o w e r o w p r o b l e m ( 1 ) . T h e y a r e g l o b a l m i n -
i m a ( z e r o s ) o f t h e d i s t a n c e f u n c t i o n ( 4 ) . A l l t r i v i a l
s o l u t i o n s c o i n c i d e i n p a r a m e t e r s p a c e .
N o n t r i v i a l s o l u t i o n s c o n f o r m i n g t o t h e c o n d i t i o n s
6=
0 . T h o s e s o l u t i o n s b e l o n g t o t h e s i n g u l a r m a r g i n
g i v e n b y ( 3 ) .
S o l u t i o n o f ( 2 1 ) c a n r e s u l t i n e i t h e r t r i v i a l o r n o n t r i v i a l
s o l u t i o n s , d e p e n d i n g o n i n i t i a l e s t i m a t e s o f t h e v a r i a b l e s
a n d t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n t e c h n i q u e u s e d f o r s o l v i n g t h e
p r o b l e m . A t e c h n i q u e w h i c h p r o d u c e s n o n t r i v i a l s o l u t i o n s
i s p r o p o s e d i n S e c t i o n 5 .
3 . 2 D i s t a n c e a n d t h e l e f t e i g e n v e c t o r
L e t u s a n a l y z e t h e n o n t r i v i a l s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m
( 2 1 ) . I t i s k n o w n , t h a t t h e v e c t o r s
i s a n o r m a l v e c t o r t o
t h e s i n g u l a r h y p e r s u r f a c e
y
. H o w e v e r , w e s e e f r o m t h e
r s t e q u a t i o n o f ( 2 1 ) , a n d ( 8 ) t h a t a t c r i t i c a l p o i n t s , i . e . ,
s o l u t i o n s o f ( 2 1 ) ,
y
1
? y
0
1
= y
1
? s + f
1
( x ) = ? s ( 2 6 )
S o , b e c a u s e y
2
= y
0
2
, t h e c o m p o n t e n t ? s o f t h e v e c t o r ? s
i s t h e d i s t a n c e v e c t o r y ? y
0
S i n c e t h e d i s t a n c e v e c t o r i s a n o r t h o g o n a l v e c t o r t o t h e
s i n g u l a r h y p e r s u r f a c e
y
, n o n t r i v i a l s o l u t i o n s c o r r e s p o n d
t o l o c a l m i n i m a o r m a x i m a o f t h e d i s t a n c e f r o m t h e p o i n t
y
0
t o t h e s i n g u l a r m a r g i n . T h e m i n i m u m o f t h e d i s t a n c e s
a s s o c i a t e d w i t h t h e n o n t r i v i a l s o l u t i o n p o i n t s c h a r a c t e r i z e s
t h e \ l e v e l " o f p o w e r s y s t e m s e c u r i t y .
3 . 3 A g r a p h i c a l i l l u s t r a t i o n
T h e g r a p h i c a l i l l u s t r a t i o n o f a n o n t r i v i a l s o l u t i o n p o i n t
o f ( 2 1 ) i s g i v e n b y F i g u r e 2 . T h e s o l u t i o n p o i n t m u s t
l i e s o m e w h e r e o n t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e s i n g u l a r m a r g i n
y
a n d c o n s t r a i n t h y p e r p l a n e y
2
= y
0
2
= c o n s t . T h e l e f t
e i g e n v e c t o r s
a t t h e n o n t r i v i a l s o l u t i o n p o i n t y i s p e r -
p e n d i c u l a r t o t h e s i n g u l a r b o u n d a r y , a n d i t s c o m p o n e n t
s c o i n c i d e s w i t h t h e v e c t o r f r o m t h e s i n g u l a r p o i n t y t o
t h e o p e r a t i n g p o i n t y
0
. T h e c o m p o n e n t ( t h e L a g r a n g e
m u l t i p l i e r v e c t o r ) o f s
i s o r t h o g o n a l t o t h e c o n s t r a i n t h y -
p e r p l a n e .
3 . 4 C o n s t r a i n t i m p a c t u p o n t h e c r i t i c a l
d i s t a n c e
T h e r e l a t i v e l e n g t h o f t h e v e c t o r
l
=
k k
k s
k
( 2 7 )
i n d i c a t e s t h e s i g n i c a n c e o f t h e c o n s t r a i n t s e t ( 1 4 ) o n t h e
o p t i m i z a t i o n ( 1 3 ) . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g c a s e s ,
3
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
4/15
= 0
y =const
y
y
2
2
yo2
yo
- -
-
s sJ(x)det
F i g u r e 2 : G r a p h i c a l i l l u s t r a t i o n o f a n o n t r i v i a l s o l u t i o n
p o i n t .
1 l
= 0 , ( s 6= 0 = 0 ) . T h e v e c t o r s
l i e s o n t h e c o n -
s t r a i n t h y p e r p l a n e y
2
= y
0
2
= c o n s t , a n d t h e c r i t i c a l
p o i n t c o r r e s p o n d s t o a s o l u t i o n o f t h e u n r e s t r i c t e d
o p t i m i z a t i o n p r o b l e m
e x t
x
k y
0
+ f ( x ) k
2
( 2 8 )
H e n c e t h e c o n s t r a i n t s h a v e n o i n u e n c e o n t h e s o l u -
t i o n .
2 l
= 1 , ( s = 0 6= 0 ) . T h e v e c t o r s
i s o r t h o g o -
n a l t o t h e c o n s t r a i n t h y p e r p l a n e . T h i s m e a n s t h a t
t h e c o n s t r a i n t h y p e r p l a n e i s t a n g e n t t o t h e s i n g u l a r
m a r g i n
y
a t t h e c r i t i c a l p o i n t . I t w i l l b e s h o w n i n
S e c t i o n 4 . 2 t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g p o i n t i s a s i n g u -
l a r p o i n t o f ( 2 1 ) . T r a d i t i o n a l n u m e r i c a l t e c h n i q u e s
e n c o u n t e r d i c u l t i e s a t s u c h p o i n t s i n t h e s a m e w a y
t h a t p o w e r o w t e c h n i q u e s e x h i b i t p o o r c o n v e r g e n c e
n e a r s i n g u l a r p o i n t s . T h e c o n s t r a i n t s a r e p a r t i c u l a r l y
s i g n i c a n t i n t h i s c a s e .
3 0 < l
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
5/15
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
C1
C2
B2
B1
A1
C3
B3
B4
B5
A2
Delta 1, rad
Delta2,rad
F i g u r e 4 : T h e
1
2
p l a n e f o r t h e 3 b u s e x a m p l e .
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
C1
C2
B2
B1
A1
C3
B3
B4
B5
P 1
P2
F i g u r e 5 : T h e P
1
P
2
p l a n e f o r t h e 3 b u s e x a m p l e .
a p a t h , b e g i n n i n g f r o m A 1 , w o u l d b e m a p p e d o u t o n F i g -
u r e 4 . S u c h a p a t h w o u l d r s t i n t e r s e c t
x
a t a p o i n t
o n t h a t o v a l . A t p o i n t s a l o n g t h e p a t h u p t o t h a t s i n g u -
l a r p o i n t , a l l r e a l e i g e n v a l u e s o f t h e p o w e r o w J a c o b i a n
w o u l d b e n e g a t i v e . A t t h e s i n g u l a r p o i n t , a n e i g e n v a l u e
w o u l d b e c o m e z e r o . I t t h e p a t h c r o s s e d t h e o v a l t r a n s v e r -
s a l l y , t h e n a t p o i n t s i m m e d i a t e l y o u t s i d e t h e o v a l , o n e r e a l
e i g e n v a l u e w o u l d b e p o s i t i v e . N o t e t h a t r e a l e i g e n v a l u e s
c a n o n l y c h a n g e s i g n a t p o i n t s o n . T h e r e g i o n c o n t a i n e d
i n s i d e t h i s p r i m a r y s e c t i o n o f
x
s h a l l b e c a l l e d t h e s e c u -
r i t y r e g i o n . T h e p r i m a r y s e c t i o n o f
x
i s t h e r e f o r e t h e
b o u n d a r y o f t h a t r e g i o n .
F i g u r e 5 s h o w s t h e s e c t i o n s o f t h e s i n g u l a r m a r g i n
y
p l o t t e d i n t h e p l a n e o f f r e e p a r a m e t e r s P
1
P
2
. T h e s o l u -
t i o n s p a c e L h a s t h r e e ` l a y e r s ' , w i t h e a c h l a y e r r e s t r i c t e d
b y a s e c t i o n o f t h e s i n g u l a r m a r g i n . T h e s e l a y e r s r e e c t
t h e n o n - u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s o f t h e p o w e r o w e q u a -
t i o n s . E a c h l a y e r e e c t i v e l y g e n e r a t e s a p a i r o f p o w e r o w
s o l u t i o n s . F o r e x a m p l e , t h e r e a r e t w o l a y e r s a t t h e p o i n t
A 1 . C o n s e q u e n t l y , t h e r e a r e f o u r d i s t i n c t s o l u t i o n s o f t h e
p o w e r o w p r o b l e m ( 3 1 ) . O n l y t w o o f t h e m , A 1 a n d A 2
a r e s h o w n i n F i g u r e 4 .
A l l s o l u t i o n s o f ( 3 2 ) e x c e p t A 2 a r e s h o w n i n F i g u r e 5 .
( A 2 c o i n c i d e s w i t h A 1 , s o i s n o t m a r k e d . ) T h i s g u r e a l s o
s h o w s v e c t o r s f r o m t h e o p e r a t i n g p o i n t A 1 t o t h e s o l u t i o n s
o f ( 2 1 ) . E a c h o f t h e s e v e c t o r s i s n o r m a l t o t h e s i n g u l a r
m a r g i n
y
2
. T h e v e c t o r s A 1 - B 1 A 1 - B 2 A 1 - C 1 , a n d
A 1 - C 2 a r e p a r t i c u l a r l y s i g n i c a n t a s t h e y s h o w t h e d i s -
t a n c e s a n d d i r e c t i o n f r o m A 1 t o t h e c r i t i c a l p o i n t s o n t h e
b o u n d a r y o f t h e s e c u r i t y r e g i o n . F i g u r e 4 s h o w s c l e a r l y
t h a t B 1 B 2 a r e s a d d l e p o i n t s o f t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m
( 3 2 ) . F r o m F i g u r e 5 , w e s e e t h a t t h e y s a t i s f y ( 7 ) l o c a l l y .
O n t h e o t h e r h a n d , C 1 C 2 a r e l o c a l m a x i m a o f ( 3 2 ) . T h e y
a r e a l s o p o i n t s t h a t l o c a l l y s a t i s f y m a x
y 2
y
d ( y )
D e p e n d i n g o n i n i t i a l g u e s s e s o f v a r i a b l e s , a n d t h e s o l u -
t i o n t e c h n i q u e , a n y o f t h e p o i n t s i d e n t i e d i n F i g u r e s 4 o r
5 c o u l d b e o b t a i n e d a s a s o l u t i o n o f ( 2 1 ) . A s s e e n i n t h e
e x a m p l e t h o u g h , o n l y s o m e o f t h o s e p o i n t s a r e o f i n t e r e s t
t o u s . T h u s , t h e p r o b l e m i s t o n d s a d d l e p o i n t s o n t h e
b o u n d a r y o f t h e s e c u r i t y r e g i o n . T h i s p r o b l e m i s q u i t e
d i e r e n t t o u s u a l o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s w h e r e m i n i m a o r
m a x i m a a r e d e s i r e d . A p p r o p r i a t e t e c h n i q u e s a r e d i s c u s s e d
i n S e c t i o n 5 .
C o m m e n t
I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t b e c a u s e J
i s e e c t i v e l y t h e
H e s s i a n m a t r i x o f ( 1 5 ) , i t c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s y m m e t -
r i c m a t r i x b y t r a n s p o s i t i o n s o f i t s r o w s a n d c o l u m n s . S u c h
t r a n s p o s i t i o n s g i v e
~
J
=
"
? I J
1
( x ) 0
J
t
1
( x ) D ( s
) J
t
2
( x )
0 J
2
( x ) 0
#
( 3 3 )
T h e m a t r i x D ( s
) i n ( 3 3 ) i s s y m m e t r i c a s i t s e l e m e n t s d
i j
c a n b e e x p r e s s e d l i k e
d
i j
=
@
@ x
j
"
n
X
k = 1
@ f
k
@ x
i
s
k
#
=
@
@ x
i
"
n
X
k = 1
@ f
k
@ x
j
s
k
#
= d
j i
T h e r e f o r e
~
J
i s s y m m e t r i c .
2
T h e a p p a r e n t a b s e n c e o f o r t h o g o n a l i t y o f t h e v e c t o r s w i t h r e -
s p e c t t o t h e s i n g u l a r m a r g i n i n F i g u r e 5 i s c a u s e d b y a d i e r e n c e i n
t h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l s c a l e s o f t h e g u r e .
5
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
6/15
4 S i n g u l a r i t y o f t h e c r i t i c a l p o i n t
p r o b l e m
I n t h i s p a p e r w e a r e i n t e r e s t e d i n n u m e r i c a l t e c h n i q u e s
f o r n d i n g s o l u t i o n s o f t h e c r i t i c a l p o i n t p r o b l e m ( 2 1 ) .
S i n g u l a r p o i n t s o f ( 2 1 ) c a n h a v e a s i g n i c a n t i n u e n c e
o n t h e c o n v e r g e n c e c h a r a c t e r i s t i c s o f s u c h n u m e r i c a l t e c h -
n i q u e s . ( T h e i n u e n c e i s s i m i l a r t o t h a t o f a s i n g u l a r
p o w e r o w J a c o b i a n o n c o n v e r g e n c e o f p o w e r o w a l g o -
r i t h m s . ) T h e r e f o r e w e s h a l l e x p l o r e g e n e r a l c o n d i t i o n s o f
s i n g u l a r i t y , t h e n f o c u s o n s o m e p a r t i c u l a r c a s e s w h i c h a r e
o f i n t e r e s t . W e t h e n u n d e r t a k e a n a n a l y s i s o f s i n g u l a r
p o i n t s w h i c h i s a i m e d a t p r o v i d i n g a b e t t e r u n d e r s t a n d -
i n g o f t h e n a t u r e a n d s i g n i c a n c e o f s i n g u l a r i t y .
4 . 1 G e n e r a l s i n g u l a r i t y c o n d i t i o n s
I n l a t e r s e c t i o n s , w e i n v e s t i g a t e c o n t i n u a t i o n t e c h n i q u e s
w h i c h a r e b a s e d o n f o l l o w i n g p a t h s a l o n g t h e i n t e r s e c t i o n
o f t h e s o l u t i o n s p a c e b o u n d a r y a n d t h e h y p e r p l a n e y
2
=
y
0
2
. T h e r e f o r e w e a r e i n t e r e s t e d i n s i n g u l a r i t y o f t h e c r i t i c a l
p o i n t J a c o b i a n J
, g i v e n b y ( 2 9 ) , a t a r b i t r a r y p o i n t s o n
t h a t i n t e r s e c t i o n . S u c h a r b i t r a r y p o i n t s ( x y ) a r e g i v e n
b y
y
1
+ f
1
( x ) = 0 ( 3 4 )
y
0
2
+ f
2
( x ) = 0 ( 3 5 )
J
t
1
( x ) s + J
t
2
( x ) = J
t
( x ) s
= 0 ( 3 6 )
w h e r e s
6= 0 . L i n e a r i z i n g g i v e s
d y
1
+ J
1
( x ) d x = 0 ( 3 7 )
J
2
( x ) d x = 0 ( 3 8 )
D ( s
) d x + J
t
1
( x ) d s + J
t
2
( x ) d = 0 ( 3 9 )
S o , f o r s m a l l c h a n g e s d x i n x a l o n g t h e i n t e r s e c t i o n o f
x
a n d t h e h y p e r p l a n e y
2
= y
0
2
, ( 3 7 ) - ( 3 9 ) p r o v i d e t h e c o r r e -
s p o n d i n g c h a n g e s d y
1
a n d d s
i n y
1
a n d s
r e s p e c t i v e l y .
C o n s i d e r n o w a p o i n t w h e r e J
i s s i n g u l a r , i . e . , a p o i n t
a t w h i c h
J
( x ; s ; ) r = 0 ( 4 0 )
w h e r e r 6= 0 i s a r i g h t e i g e n v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o a z e r o
e i g e n v a l u e . L e t r = d x
t
d s
t
d
t t
. T h e n f r o m ( 2 9 ) w e n d
t h a t a t a s i n g u l a r p o i n t
J
1
( x ) d x ? d s = 0 ( 4 1 )
J
2
( x ) d x = 0 ( 4 2 )
D ( s
) d x + J
t
1
( x ) d s + J
t
2
( x ) d = 0 ( 4 3 )
F r o m ( 3 8 ) , ( 3 9 ) , i t c a n b e s e e n t h a t ( 4 2 ) , ( 4 3 ) a r e s a t i s e d
a t a l l p o i n t s o n t h e i n t e r s e c t i o n o f a n d t h e h y p e r p l a n e
y
2
= y
0
2
S o , a t a p o i n t w h e r e J
i s s i n g u l a r , a s m a l l c h a n g e d x
i n x w i l l c a u s e a c h a n g e d s = J
1
( x ) d x i n s . B u t ( 3 7 )
i n d i c a t e s t h a t t h e i n c r e m e n t d x w o u l d c a u s e y
1
t o c h a n g e
b y d y
1
= ? J
1
( x ) d x . T h e r e f o r e , a t a s i n g u l a r p o i n t ,
d s + d y
1
= 0 ( 4 4 )
W e c a n r e w r i t e ( 3 4 ) a s
1
( x s ) = ? s + y
0
1
+ f
1
( x ) = C ( 4 5 )
-s-ds
bBAa
C=const
f (x)
y
-s
d[f (x)]
ds
0
1
1
10
y
F i g u r e 6 : G e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f s i n g u l a r i t y o f J
o n
y
w h e r e
1
( x s ) i s t h e r s t e q u a t i o n o f ( 2 1 ) , a n d
C = ? s + y
0
1
? y
1
( 4 6 )
i s t h e m i s m a t c h i n
1
a t t h e c u r r e n t a r b i t r a r y p o i n t . ( A t
a s o l u t i o n p o i n t o f ( 2 1 ) ,
1
= 0 . ) F r o m ( 4 4 ) , ( 4 6 ) , w e s e e
t h a t a t a s i n g u l a r p o i n t , t h e c h a n g e d C i n t h e m i s m a t c h
C i n r e s p o n s e t o a c h a n g e d x i s
d C = ? d s ? d y
1
= 0 ( 4 7 )
S o , a t a p o i n t w h e r e J
i s s i n g u l a r ,
1
( x s ) = C r e m a i n s
c o n s t a n t f o r s m a l l c h a n g e s i n x
F i g u r e 6 p r o v i d e s a g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f b e -
h a v i o u r a t a s i n g u l a r p o i n t . T h e g u r e r e p r e s e n t s t h e
c o n s t r a i n t h y p e r p l a n e y
2
= y
0
2
, w i t h t h e i n t e r s e c t i o n o f
y
p l o t t e d . T h e s u m o f t h e v e c t o r s y
0
1
a n d f
1
( x ) g i v e s t h e
p o i n t A o n
y
. B y a d d i n g ? s , t h e m i s m a t c h v e c t o r C i s
o b t a i n e d . T h e t a n g e n t p l a n e a t a k e n a t t h e p o i n t A i s a n
o r t h o g o n a l p l a n e w i t h r e s p e c t t o s . V a r i a t i o n o f x b y d x
c a u s e s a s m a l l i n c r e m e n t d f
1
( x ) ] o f f
1
( x ) a l o n g
y
. T h i s
g i v e s t h e p o i n t B , a n e w e i g e n v e c t o r ? s ? d s , a n d t a n g e n t
p l a n e b . T h e p o i n t A o n
y
i s a s i n g u l a r p o i n t o f J
i f t h e
m i s m a t c h v e c t o r C i s c o n s t a n t , a n d t h e v e c t o r ? s ? d s i s
d i r e c t e d f r o m t h e n e w p o i n t B t o t h e s a m e p o i n t C I t
i s e a s y t o d e m o n s t r a t e t h a t p o i n t s o f
y
f o r m a s i n g u l a r
c o n t i n u u m i f
y
i s a p a r t o f t h e h y p e r s p h e r e w h o s e c e n t r e
i s a t t h e p o i n t C . T h e e q u a t i o n o f t h e h y p e r s p h e r e i s
k y
0
1
+ f
1
( x ) ? C k
2
? k s k
2
= 0 ( 4 8 )
L i n e a r i z i n g ( 4 8 ) g i v e s
2 s
t
( d y
1
+ d s ) = 0 ( 4 9 )
T h i s e q u a t i o n s a t i s e s t h e s i n g u l a r i t y c o n d i t i o n s ( 4 4 ) .
6
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
7/15
4 . 2 P a r t i c u l a r c a s e s o f s i n g u l a r i t y
I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r t h r e e i n t e r e s t i n g c a s e s o f
s i n g u l a r i t y o f J
1 . C o n s i d e r t h e s e c o n d c a s e o f S e c t i o n 3 . 4 , w h e r e t h e
p o i n t o f i n t e r e s t i s a p o i n t o f t a n g e n c y o f t h e c o n -
s t r a i n t h y p e r p l a n e y
2
= y
0
2
a n d t h e s i n g u l a r m a r g i n
y
. T h e v e c t o r s
i s o r t h o g o n a l t o t h e h y p e r p l a n e ,
s o J
t
( x ) s
= J
t
2
( x ) = 0 . T h e r e f o r e , i f r = 0 0
t t
t h e n J
r = 0 , i . e . , r i s a r i g h t e i g e n v e c t o r o f J
c o r r e -
s p o n d i n g t o a z e r o e i g e n v a l u e . H e n c e J
i s s i n g u l a r .
2 . I t i s s h o w n i n A p p e n d i x A t h a t i f t h e p o w e r b a l a n c e
f u n c t i o n s f ( x ) a r e f o r m u l a t e d u s i n g t h e r e c t a n g u l a r
f o r m o f v o l t a g e s ( r a t h e r t h a n t h e p o l a r f o r m ) , J
i s
s i n g u l a r a t t h e m i d p o i n t o f a l i n e i n s t a t e s p a c e c o n -
n e c t i n g a n y p a i r o f d i s t i n c t s o l u t i o n s z
1
= ( x
1
s
1
1
)
a n d z
2
= ( x
2
s
2
2
) o f ( 2 1 ) . B e c a u s e s o l u t i o n s o f t h e
p o w e r o w p r o b l e m ( 1 ) a r e t r i v i a l s o l u t i o n s o f ( 2 1 ) ,
i t f o l l o w s t h a t J
i s s i n g u l a r a t t h e m i d p o i n t o f a
s t r a i g h t l i n e i n s t a t e s p a c e j o i n i n g a n y d i s t i n c t p o w e r
o w s o l u t i o n s .
3 . A n y s o l u t i o n p o i n t x o f t h e p o w e r o w p r o b l e m ( 1 )
w h i c h l i e s o n t h e s i n g u l a r m a r g i n
x
c o r r e s p o n d s t o
a s i n g u l a r p o i n t o f ( 2 1 ) . I n t h i s c a s e , ( 2 1 ) i s s a t i s e d
b y v e c t o r s x 6= 0 s
= 0 . T h e r e f o r e , i n t h e J a c o b i a n
m a t r i x J
g i v e n a t ( 2 9 ) , t h e s u b m a t r i x D ( s
) i s a
z e r o m a t r i x . B u t b e c a u s e x 2
x
, d e t J ( x ) = 0 . S o
d e t ( J
) = d e t
2
J ( x ) = 0
4 . 3 A n a l y s i s o f s i n g u l a r p o i n t s
O n c e a p o i n t o f s i n g u l a r i t y o f J
h a s b e e n f o u n d , i t
i s p o s s i b l e t o o b t a i n i n f o r m a t i o n a b o u t t h e c a u s e o f t h e
s i n g u l a r i t y . T h e f o l l o w i n g a p p r o a c h e s a r e h e l p f u l .
T h e l e f t e i g e n v e c t o r u c o r r e s p o n d i n g t o a z e r o e i g e n -
v a l u e o f J
s a t i s e s
J
t
( x ; s ; ) u = 0 ( 5 0 )
B e c a u s e D ( s
) i s s y m m e t r i c , i t f o l l o w s t h a t i f r =
d x
t
d s
t
d
t t
s a t i s e s ( 4 0 ) , t h e n u = d s
t
d
t
d x
t t
s a t -
i s e s ( 5 0 ) . S o t h e l e f t e i g e n v e c t o r u c a n b e o b t a i n e d b y
t r a n s p o s i t i o n s o f e l e m e n t s o f t h e r i g h t e i g e n v e c t o r r
T h e r o l e o f t h e l e f t e i g e n v e c t o r u i n ( 5 0 ) i s s i m i l a r t o
t h a t o f s
i n ( 2 3 ) . T h e r e f o r e u c a n p r o v i d e i n f o r m a t i o n
a b o u t s i n g u l a r i t y o f t h e c r i t i c a l p o i n t p r o b l e m ( 2 1 ) i n t h e
s a m e w a y t h a t s
p r o v i d e s i n f o r m a t i o n a b o u t s i n g u l a r i t y
o f t h e p o w e r o w p r o b l e m ( 1 ) . L e t ( x ; s ; ) = q , i . e . , q i s
t h e m i s m a t c h i n t h e c r i t i c a l p o i n t e q u a t i o n s a t t h e p o i n t
( x ; s ; ) . ( O f c o u r s e q = 0 a t a c r i t i c a l p o i n t . ) T h e n u i s
n o r m a l t o t h e s u r f a c e o f s i n g u l a r i t y o f ( 2 1 ) i n t h e s p a c e o f
m i s m a t c h e s q . T h e r e f o r e n o r m a l i s e d v a l u e s ~u
i
= u
i
= k u k
o f t h e e l e m e n t s o f u p r o v i d e q u a l i t a t i v e i n f o r m a t i o n a b o u t
t h e f a c t o r s i n u e n c i n g s i n g u l a r i t y . F o r e x a m p l e , i f s o m e
v a l u e s o f ~u c o r r e s p o n d i n g t o d s a r e l a r g e , t h e n t h e c o r -
r e s p o n d i n g p a r a m e t e r s y
1
h a v e a s i g n i c a n t i n u e n c e o n
s i n g u l a r i t y . L a r g e v a l u e s o f ~u c o r r e s p o n d i n g t o d i n d i -
c a t e t h a t p a r a m e t e r s y
2
a r e s i g n i c a n t . L i k e w i s e , i f t h e
v a l u e s o f ~u c o r r e s p o n d i n g t o d x a r e l a r g e , t h e n t h e p o w e r
o w s i n g u l a r i t y c o n d i t i o n ( 2 3 ) h a s a s i g n i c a n t i n u e n c e
o n s i n g u l a r i t y o f J
T h i s i n f o r m a t i o n c a n b e p a r t i c u l a r l y h e l p f u l w i t h p a t h
f o l l o w i n g t e c h n i q u e s , s u c h a s t h o s e u s e d i n t h e a l g o r i t h m
o f S e c t i o n 5 . I f a s i n g u l a r p o i n t i s e n c o u n t e r e d a s t h e p a t h
i s t r a v e r s e d , t h e e l e m e n t s o f ~u p r o v i d e a g u i d e a s t o t h e
r e a s o n w h y t h e p a t h c a n n o t b e c o n t i n u e d .
I n f a c t , i n t h e v i c i n i t y o f a s i n g u l a r p o i n t , a n e s t i m a t e
o f u c a n b e o b t a i n e d d i r e c t l y f r o m i n c r e m e n t s o f t h e n u -
m e r i c a l t e c h n i q u e o u t l i n e d i n A p p e n d i x B . T o s e e t h i s ,
c o n s i d e r t h e g e n e r a l n o n l i n e a r e q u a t i o n
g ( z ) = 0 ( 5 1 )
I f , d u r i n g v a r i a t i o n o f t h e s c a l a r p a r a m e t e r , a p o i n t o f
s i n g u l a r i t y i s e n c o u n t e r e d , i . e . , a p o i n t w h e r e
u
t
@ g
@ z
= 0 u 6= 0 ( 5 2 )
t h e n t h e c u r v e z ( ) t e n d s t o t h e r i g h t e i g e n v e c t o r r o f
@ g
@ z
3 9 ] .
T h i s c a n b e s i m p l y p r o v e d , a s f o l l o w s . S u p p o s e t h a t t h e
v a l u e s o f z a t t h e s i n g u l a r p o i n t a r e z
. D e n o t e
@ g
@ z
z = z
=
= J
g
d g
d
z = z
=
= g
( 5 3 )
F r o m ( 5 1 ) ,
J
g
d z + g
d = 0 ( 5 4 )
M u l t i p l y i n g ( 5 4 ) b y u
t
g i v e s
u
t
J
g
d z + u
t
g
d = u
t
g
d = 0 ( 5 5 )
I n g e n e r a l u
t
g
6= 0 . T h e r e f o r e , a t t h e s i n g u l a r p o i n t
d = 0 . F r o m ( 5 4 ) ,
J
g
d z = 0 ( 5 6 )
T h e i n c r e m e n t d z o f t h e c u r v e z ( ) a t t h e s i n g u l a r p o i n t
t h e r e f o r e a l i g n s w i t h t h e r i g h t e i g e n v e c t o r r
T h e n u m e r i c a l m e t h o d g i v e n i n t h e A p p e n d i x B c l o s e l y
f o l l o w s t h e t r a j e c t o r y z ( ) . S o , t h e l a s t i n c r e m e n t s o f
v a r i a b l e s x s o b t a i n e d a s t h e s i n g u l a r p o i n t i s a p -
p r o a c h e d c a n b e u s e d t o e s t i m a t e t h e l e f t e i g e n v e c t o r u
u s
t
t
x
t t
( 5 7 )
4 . 4 T h e 3 b u s e x a m p l e ( c o n t i n u e d )
A g r a p h i c a l i l l u s t r a t i o n o f s i n g u l a r i t y o f J
f o r t h e 3
b u s e x a m p l e i s g i v e n i n F i g u r e s 7 a n d 8 . F i g u r e 7 s h o w s
c u r v e s o f s i n g u l a r i t y o f t h e H e s s i a n m a t r i x o f ( 3 2 ) ( e e c -
t i v e l y J
) , a n d o f t h e J a c o b i a n o f ( 3 1 ) . T h e l a t t e r a r e
s h o w n a s d a s h e d l i n e s . I n t e r s e c t i o n s o f t h e s e s i n g u l a r i t y
c u r v e s , i . e . , p o i n t s o f s i n g u l a r i t y o f J
o n , a r e m a r k e d
a s T 1 T 1 0 . F i g u r e 8 s h o w s t h e s o l u t i o n s p a c e b o u n d a r y
y
i n p a r a m e t e r s p a c e . T h e c r i t i c a l p o i n t s a r e m a r k e d ,
a l o n g w i t h t h e s i n g u l a r p o i n t s T 1 T 1 0
I t a p p e a r s t h a t t h e c u r v e s o f s i n g u l a r i t y o f t h e H e s s i a n
o f ( 3 2 ) r e s t r i c t t h e r e g i o n s o f c o n v e r g e n c e ( o f ` t r a d i t i o n a l '
n u m e r i c a l t e c h n i q u e s ) t h a t s u r r o u n d s o l u t i o n s o f ( 3 2 ) . N o -
t i c e i n F i g u r e 8 t h a t a l o n g
y
, a p o i n t o f s i n g u l a r i t y o f J
l i e s b e t w e e n e a c h s o l u t i o n o f t h e c r i t i c a l p o i n t p r o b l e m .
F u r t h e r e x p l o r a t i o n o f t h e s e i d e a s i s r e q u i r e d .
7
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
8/15
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3
C1
C2
B2
B1
A1
C3
B3
B4
B5
A2
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
Delta 1, rad
Delta2,rad
F i g u r e 7 : P o w e r o w a n d c r i t i c a l p o i n t s i n g u l a r i t y c u r v e s
( s t a t e s p a c e ) .
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
C1
C2
B2
B1
A1
C3
B3
B4
B5
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
P 1
P2
F i g u r e 8 : P o w e r o w a n d c r i t i c a l p o i n t s i n g u l a r i t i e s ( p a -
r a m e t e r s p a c e ) .
5 A n a l g o r i t h m f o r n d i n g c r i t i -
c a l p o i n t s
T h e e q u a t i o n s ( 2 1 ) t h a t d e s c r i b e c r i t i c a l p o i n t s a l s o
h a v e s o l u t i o n s t h a t a r e n o t o f i n t e r e s t , e . g . , t r i v i a l s o l u -
t i o n s w h e r e s
= 0 . T h e r e f o r e , a n a l g o r i t h m f o r n d i n g
c r i t i c a l p o i n t s m u s t c o n s i s t o f t w o p a r t s , ( 1 ) a w a y o f o b -
t a i n i n g a g o o d e s t i m a t e o f t h e u n k n o w n s t a t e v a r i a b l e s
x ; s ; i n t h e v i c i n i t y o f t h e c r i t i c a l p o i n t , a n d ( 2 ) a n u -
m e r i c a l t e c h n i q u e t h a t w i l l c o n v e r g e r e l i a b l y f r o m t h a t
i n i t i a l e s t i m a t e t o t h e c r i t i c a l p o i n t . S u c h a n a l g o r i t h m i s
d e s c r i b e d i n t h i s s e c t i o n .
5 . 1 S t a g e 1 : O b t a i n i n g a g o o d i n i t i a l e s -
t i m a t e
T h e r s t s t a g e o f t h e c r i t i c a l p o i n t a l g o r i t h m m u s t p r o -
d u c e a g o o d e s t i m a t e o f s t a t e v a r i a b l e s x ; s ; i n t h e v i c i n -
i t y o f t h e c r i t i c a l p o i n t . T o a c h i e v e t h i s , i t i s n e c e s s a r y t o
h a v e s o m e i d e a o f t h e d i r e c t i o n i n p a r a m e t e r s p a c e f r o m
t h e o p e r a t i n g p o i n t t o t h e d e s i r e d c r i t i c a l p o i n t . I n p r a c -
t i c e t h i s r e q u i r e m e n t d o e s n o t r e s t r i c t t h e u s e f u l n e s s o f
t h e m e t h o d , a s p o w e r s y s t e m o p e r a t o r s a n d p l a n n e r s w i l l
u s u a l l y h a v e a g o o d i d e a o f t h e w a y i n w h i c h p a r a m e t e r s
o f t h e i r s y s t e m , s u c h a s l o a d s , v a r y . L e t t h e e s t i m a t e d
l o a d i n g d i r e c t i o n b e y
1
. R e c a l l y
2
= y
0
2
T h e i n i t i a l e s t i m a t e o f t h e c r i t i c a l p o i n t c a n b e t a k e n
a s t h e p o i n t o n t h e s o l u t i o n b o u n d a r y i n t h e d i r e c t i o n
y
1
f r o m t h e o p e r a t i n g p o i n t . T h a t p o i n t i s g i v e n b y
y
1
+ y
0
1
+ f
1
( x ) = 0 ( 5 8 )
y
0
2
+ f
2
( x ) = 0 ( 5 9 )
J
t
( x ) s
= 0 ( 6 0 )
s
t
s
= 1 ( 6 1 )
w h e r e i s t h e l o a d i n g p a r a m e t e r i n t h e s p e c i e d d i r e c -
t i o n y
1
, a n d k y
1
k = 1 . A n a l t e r n a t i v e f o r m u l a t i o n o f
( 6 0 ) , ( 6 1 ) u s e s t h e r i g h t e i g e n v e c t o r t o a c h i e v e t h e s i n g u -
l a r i t y c o n d i t i o n , r a t h e r t h a n t h e l e f t e i g e n v e c t o r s
. M a n y
t e c h n i q u e s h a v e b e e n p r o p o s e d f o r s o l v i n g t h i s p r o b l e m ,
f o r e x a m p l e 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ] . I n s o m e c a s e s d i r e c t m e t h o d s
h a v e b e e n u s e d , w h i l s t o t h e r s h a v e a p p l i e d c o n t i n u a t i o n
m e t h o d s 8 , 9 ] t o o b t a i n t h e s o l u t i o n .
T h e n u m e r i c a l s o l u t i o n t e c h n i q u e o u t l i n e d i n A p p e n -
d i x B c a n b e u s e d t o o b t a i n t h e d e s i r e d p o i n t o n . U s i n g
t h a t t e c h n i q u e , t h e e q u a t i o n s ( 5 8 ) , ( 5 9 ) a r e s o l v e d f o r
v a r y i n g f r o m z e r o t o s o m e l a r g e v a l u e , w h e r e i s c h o -
s e n t o e n s u r e t h a t n o s o l u t i o n s e x i s t s f o r t h e p a r a m e t e r
v a l u e y
1
+ y
0
1
. T h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e m e t h o d e n -
s u r e t h a t i t f o l l o w s t h e l i n e y
1
, a p p r o a c h i n g ( b u t n o t
q u i t e r e a c h i n g ) t h e p o i n t w h e r e t h a t l i n e i n t e r s e c t s . T h e
v a l u e s o f x g i v e n b y t h i s l o a d i n g t e c h n i q u e a r e t h e n u s e d
a s i n i t i a l e s t i m a t e s o f v a r i a b l e s f o r s o l v i n g ( 5 8 ) - ( 6 1 ) . A n
e s t i m a t e o f s
i s a l s o r e q u i r e d . I t i s g i v e n b y ? y
1
. T h i s
p r o c e d u r e g i v e s f a s t a n d r e l i a b l e c o n v e r g e n c e .
5 . 2 S t a g e 2 : M o t i o n a l o n g t h e s i n g u l a r
m a r g i n
S t a g e o n e o f t h e a l g o r i t h m p r o v i d e d u s w i t h a p o i n t
o n i n t h e v i c i n i t y o f t h e d e s i r e d c r i t i c a l p o i n t . L e t t h a t
p o i n t b e x
s
= s
t
t t
. W e n o w w i s h t o m o v e f r o m
t h a t p o i n t t o t h e c r i t i c a l p o i n t . C o n s i d e r t h e e q u a t i o n s
(
y
1
+ s
) ? s + y
0
1
+ f
1
( x ) = 0 ( 6 2 )
8
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
9/15
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
10/15
1
7
5 4
8 3
26
L
LL
L
G
G
1
6
5
7
4
3
2
G
GLG
5
1
4
F i g u r e 1 0 : E i g h t b u s t e s t p o w e r s y s t e m .
T a b l e 1
B u s p a r a m e t e r s f o r t h e 8 - b u s s y s t e m
B u s G e n e r a t i o n , v o l t a g e L o a d
n o
A c t i v e F i x e d A c t i v e R e a c t i v e
p p o w e r v o l t a g e p o w e r p o w e r
M W k V M W M v a r
1 - - 1 6 . 0 1 0 . 0
2 3 2 . 0 2 2 0 . 0 - -
3 - - 6 4 . 0 4 0 . 0
4 6 0 0 . 0 2 2 0 . 0 - -
5 - - 2 5 6 . 0 1 6 0 . 0
6 - 2 2 0 . 0 - -
7 - - 1 0 2 0 . 0 6 4 0 . 0
8 - - - -
F u r t h e r , a s r e d u c e s f r o m 1 t o 0 , t h e v e c t o r ( y
)
P
w i l l
r e d u c e t o z e r o . F r o m ( 6 8 ) , t h e v e c t o r ( y
0
1
+ f
1
( x ) )
P
w i l l
a l s o r e d u c e t o z e r o . I t f o l l o w s t h a t k y
0
1
+ f
1
( x ) k = k y
1
? y
0
1
k
m u s t r e d u c e a l o n g t h e c o n t i n u a t i o n p a t h . T h e r e f o r e t h i s
a p p r o a c h w i l l n e v e r c o n v e r g e t o s o l u t i o n s o f ( 2 1 ) t h a t a r e
m a x i m a .
6 A n 8 b u s e x a m p l e
T h e a l g o r i t h m o f S e c t i o n 5 w a s t e s t e d o n t h e e i g h t b u s
e x a m p l e s h o w n i n F i g u r e 1 0 . O p e r a t i n g p o i n t v a l u e s o f
g e n e r a t i o n a n d l o a d p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n T a b l e 1 . T h e
s y s t e m c o n t a i n s t h r e e g e n e r a t o r s w i t h x e d t e r m i n a l v o l t -
a g e , a n d f o u r n o n z e r o l o a d s . B u s 6 i s t h e s l a c k b u s . T h e
n o m i n a l v o l t a g e o f a l l b u s e s i s 2 2 0 k V . T h e e l e c t r i c a l n e t -
w o r k c o n s i s t s o f 9 l i n e s . T h e i r p a r a m e t e r s a r e g i v e n i n
T a b l e 2 .
T h e v o l t a g e p r o l e a t t h e o p e r a t i n g p o i n t i s g i v e n i n
T a b l e 2
I m p e d a n c e s f o r t h e 8 - b u s s y s t e m
B u s e s I m p e d a n c e B u s e s I m p e d a n c e
p - q Z
p q
O h m p - q Z
p q
O h m
1 - 7 5 . 4 1 + j 2 0 . 8 2 - 3 1 5 . 8 5 + j 6 1
2 - 8 1 3 . 9 + j 5 3 . 4 3 - 4 6 . 0 9 + j 2 3 . 4
3 - 8 1 8 . 4 + j 7 0 . 8 4 - 5 3 . 3 8 + j 2 1 . 6
5 - 8 1 0 . 9 + j 6 9 . 9 6 - 7 2 . 0 3 + j 1 0 . 0
7 - 8 4 . 3 5 + j 2 7 . 0
T a b l e 3
C o m p l e x b u s v o l t a g e s a t t h e o p e r a t i n g p o i n t
N o d e V o l t a g e N o d e V o l t a g e
p k V p k V
1 1 6 7 . 1 0 - j 3 0 . 7 1 2 2 1 8 . 1 3 + j 2 8 . 6 3
3 2 0 2 . 5 1 + j 4 8 . 5 4 4 2 0 6 . 1 9 + j 7 6 . 7 2
5 1 8 8 . 9 2 + j 3 7 . 8 8 6 2 2 0 . 0 0 + j 0 . 0 0
7 1 6 9 . 1 0 - j 2 9 . 4 1 8 1 8 7 . 7 5 + j 8 . 6 0
T a b l e 4
T h e c l o s e s t s i n g u l a r p o i n t s ( c r i t i c a l p o i n t s
I - s t c r i t i c a l p o i n t I I - n d c r i t i c a l p o i n t
B u s V o l t - V e c t o r E i g e n - V o l t - V e c t o r E i g e n -
p a g e y y
0
v e c t o r a g e y y
0
v e c t o r
k V M W M W k V M W M W
M v a r M v a r M v a r M v a r
R e / I m o r k V
2
o r k V
2
R e / I m o r k V
2
o r k V
2
1 1 2 6 . 7 - 4 8 . 5 4 8 . 5 8 1 . 6 - 2 9 7 . 8 2 9 7 . 8
- 2 7 . 9 0 . 0 9 4 . 1 - 7 4 . 4 0 . 0 2 3 2 . 0
2 1 2 3 . 3 0 . 0 - 2 3 8 . 5 2 1 9 . 1 0 . 0 - 2 3 . 9
1 8 2 . 2 0 . 0 - 1 . 3 2 0 . 4 0 . 0 - 0 . 5
3 5 0 . 3 0 . 0 - 2 1 7 . 7 1 9 9 . 3 0 . 0 - 2 3 . 5
1 8 1 . 7 0 . 0 8 . 2 4 5 . 5 0 . 0 9 . 1
4 2 . 9 1 9 9 . 8 - 1 9 9 . 8 2 0 6 . 0 2 5 . 3 - 2 5 . 3
2 1 9 . 9 0 . 0 - 0 . 8 7 7 . 2 0 . 0 - 0 . 5
5 2 4 . 4 2 1 0 . 4 - 2 1 0 . 4 1 8 4 . 5 2 2 . 5 - 2 2 . 5
1 7 3 . 7 0 . 0 1 1 . 8 3 7 . 9 0 . 0 1 2 . 5
6 2 2 0 . 0 0 . 0 - 1 2 6 3 . 0 2 2 0 . 0 0 . 0 - 1 8 2 6 . 3
0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0
7 1 3 3 . 0 0 . 0 3 2 . 3 1 3 3 . 9 0 . 0 6 4 . 6
- 1 9 . 2 0 . 0 9 0 . 3 - 4 2 . 7 0 . 0 1 1 5 . 8
8 9 5 . 3 0 . 0 - 1 8 8 . 0 1 7 1 . 0 0 . 0 - 3 . 6
9 1 . 2 0 . 0 1 0 9 . 6 1 . 0 0 . 0 5 3 . 1
T a b l e 3 . D u e t o t h e l a c k o f r e a c t i v e p o w e r i n t h e s y s -
t e m , v o l t a g e m a g n i t u d e s a t b u s e s 1 , 7 , a n d 8 a r e v e r y l o w
( 0 . 7 7 p u , 0 . 7 8 p u , a n d 0 . 8 5 p u r e s p e c t i v e l y ) .
T h e a i m o f t h e e x a m p l e w a s t o d e t e r m i n e t h e c l o s e s t
p o i n t s o n t h e p o w e r o w s o l u t i o n b o u n d a r y ( t h e c r i t i c a l
p o i n t s ) , i f t h e r e a l p o w e r i n j e c t i o n s a t b u s e s 1 , 4 , a n d
5 w e r e f r e e p a r a m e t e r s , i . e . , a l l o w e d t o v a r y f r o m t h e i r
o p e r a t i n g p o i n t v a l u e s . T w o c r i t i c a l p o i n t s w e r e o b t a i n e d
u s i n g t h e a l g o r i t h m o f S e c t i o n 5 . D e t a i l s o f t h e s e p o i n t s
a r e g i v e n i n T a b l e 4 . T h e l e n g t h o f t h e v e c t o r y ? y
0
i s 2 9 4 . 1 M W f o r t h e r s t c r i t i c a l p o i n t , a n d 2 9 9 . 7 M W f o r
t h e s e c o n d c r i t i c a l p o i n t . I n b o t h c a s e s t h e a n g l e b e t w e e n
y ? y
0
( c o l u m n s 3 , 6 i n T a b l e 4 ) a n d s , w h i c h i s f o r m e d
f r o m t h e e l e m e n t s o f t h e l e f t e i g e n v e c t o r s
( c o l u m n s 4 , 7
i n T a b l e 4 ) t h a t c o r r e s p o n d t o f r e e p a r a m e t e r s , i s e q u a l t o
1 8 0 d e g .
I n o b t a i n i n g t h e s e s o l u t i o n s , a n u m b e r o f d i e r e n t l o a d -
i n g d i r e c t i o n s y
1
w e r e u s e d i n t h e r s t s t a g e o f t h e c r i t -
i c a l p o i n t a l g o r i t h m . T h e s e l o a d i n g d i r e c t i o n s a r e g i v e n
i n T a b l e 5 ( c o l u m n s 2 t o 4 ) . T h e l o a d i n g d i r e c t i o n s g a v e
d i e r e n t p o i n t s o n t h e s o l u t i o n b o u n d a r y . E a c h o f t h e s e
p o i n t s w a s u s e d a s t h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h e s e c o n d s t a g e
o f t h e c r i t i c a l p o i n t a l g o r i t h m . T a b l e 5 ( c o l u m n s 5 , 6 )
s h o w s c o n v e r g e n c e r e s u l t s f o r t h e s e c o n d s t a g e w h e n t h e
s o l u t i o n t e c h n i q u e o f A p p e n d i x B w a s u s e d . C o l u m n 6 i n -
d i c a t e s w h i c h c r i t i c a l p o i n t w a s c o n v e r g e d t o , o r w h e t h e r
a s i n g u l a r p o i n t ( s . p . ) w a s e n c o u n t e r e d . F i g u r e 1 1 s h o w s
t r a j e c t o r i e s o f t h e s e c o n d s t a g e s o l u t i o n p r o c e s s . E a c h
t r a j e c t o r y s t a r t s f r o m t h e p o i n t o n o b t a i n e d f r o m s t a g e
o n e f o r t h e d i e r e n t l o a d i n g d i r e c t i o n s . T h e l a b e l s o f t h e s e
s t a r t i n g p o i n t s c o r r e s p o n d t o t h e l o a d i n g d i r e c t i o n s g i v e n
i n T a b l e 5 .
T h e f o l l o w i n g o b s e r v a t i o n s w e r e m a d e a b o u t t h e s t a g e
t w o s o l u t i o n p r o c e s s :
1 0
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
11/15
T a b l e 5
I n i t i a l d i r e c t i o n s a n d c o n v e r g e n c e o f t h e m e t h o d
I n i t i a l l o a d i n g d i r e c t i o n s C o n v e r g e n c e r e s u l t s
E x p e r i - P
1
P
4
P
5
N u m b e r o f S o l u t i o n
m e n t M W M W M W i t e r a t i o n s
1 3 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 2 4 I
2 0 . 0 3 0 0 . 0 0 . 0 4 I
3 0 . 0 0 . 0 3 0 0 . 0 4 I
4 - 3 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 4 I I
5 0 . 0 - 3 0 0 . 0 0 . 0 - s . p .
6 0 . 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - s . p .
7 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 0 . 0 7 I
8 3 0 0 . 0 0 . 0 3 0 0 . 0 6 I
9 0 . 0 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 4 I
1 0 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 0 . 0 - s . p .
1 1 3 0 0 . 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - s . p .
1 2 0 . 0 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - s . p .
1 3 - 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 0 . 0 7 I I
1 4 - 3 0 0 . 0 0 . 0 3 0 0 . 0 8 I I
1 5 0 . 0 - 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 - s . p .
1 6 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 6 I
1 7 - 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 4 I
1 8 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 2 2 I
1 9 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - s . p .
2 0 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - s . p .
2 1 - 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 5 I I
2 2 - 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 3 0 0 . 0 4 I I
2 3 - 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 - 3 0 0 . 0 1 0 I I
2 4 - 4 8 . 5 1 9 9 . 8 2 1 0 . 4 0 I
2 5 - 2 9 7 . 8 2 5 . 3 2 2 . 5 0 I I
-400
-200
0
200
400
600
800-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
-500
0
500
P 1
P 4
P5
12
21
6
13
I
23
11
24
II
14
07
17
20
9
5
3 1622
8
1
10
18
F i g u r e 1 1 : T r a j e c t o r i e s o f t h e s t a g e t w o i t e r a t i v e p r o c e s s
i n t h e s p a c e o f f r e e p a r a m e t e r s .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
Iterations
Distance,
MW
Solution I
Solution II
Singular points
F i g u r e 1 2 : D i s t a n c e c h a n g e s d u r i n g t h e s t a g e t w o i t e r a t i v e
p r o c e s s .
T h e i t e r a t i v e s o l u t i o n p r o c e s s a l w a y s m o v e d a l o n g t h e
s o l u t i o n s p a c e b o u n d a r y , i . e . , o n e e i g e n v a l u e o f t h e
p o w e r o w J a c o b i a n J ( x ) w a s a l w a y s z e r o .
T h e d i s t a n c e d ( y ) = k y ? y
0
k s t e a d i l y d e c r e a s e d a s
t h e i t e r a t i v e p r o c e s s m o v e d f r o m t h e i n i t i a l p o i n t o n
g i v e n b y s t a g e o n e , t o t h e n a l p o i n t ( e i t h e r o f t h e
c r i t i c a l p o i n t s , o r a s i n g u l a r p o i n t ) . T h i s b e h a v i o u r
i s s h o w n i n F i g u r e 1 2 .
I n m o s t c a s e s s o l u t i o n s w e r e o b t a i n e d a f t e r 4 - 8 i t -
e r a t i o n s . M o r e i t e r a t i o n s w e r e r e q u i r e d ( 1 0 - 2 4 ) , a n d
s i n g u l a r p o i n t s w e r e e n c o u n t e r e d , w h e n i n a p p r o p r i a t e
i n i t i a l l o a d i n g d i r e c t i o n s y
1
w e r e c h o s e n .
C o n v e r g e n c e t o t r i v i a l s o l u t i o n s o r m a x i m a n e v e r o c -
c u r e d .
7 C o n c l u s i o n s
T h e m i n i m u m d i s t a n c e f r o m a n o p e r a t i n g p o i n t t o t h e
p o w e r o w s o l u t i o n s p a c e b o u n d a r y g i v e s a m e a s u r e o f t h e
s e c u r i t y o f a p o w e r s y s t e m . P o i n t s w h i c h ( l o c a l l y ) p r o v i d e
t h i s m i n i m u m d i s t a n c e s a t i s f y a c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n
p r o b l e m . T h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m l e a d s t o a s e t o f e q u a -
t i o n s w h i c h d e s c r i b e s u c h c r i t i c a l p o i n t s . N o t a l l s o l u t i o n s
o f t h i s s e t o f e q u a t i o n s a r e c r i t i c a l p o i n t s h o w e v e r . T r i v i a l
s o l u t i o n s c o r r e s p o n d t o s o l u t i o n s o f t h e u s u a l p o w e r o w
p r o b l e m . O t h e r n o n t r i v i a l s o l u t i o n s d e s c r i b e e x t r e m a o f
t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m t h a t a r e n o t o f i n t e r e s t . C a r e
m u s t t h e r e f o r e b e t a k e n t o e n s u r e t h a t a l g o r i t h m s f o r n d -
i n g c r i t i c a l p o i n t s d o i n f a c t n d t h e c o r r e c t t y p e o f p o i n t s .
A t w o s t a g e a l g o r i t h m c a n b e u s e d t o n d c r i t i c a l p o i n t s .
B e c a u s e t h e r e m a y b e m a n y c r i t i c a l p o i n t s , i t i s n e c e s s a r y
t o p r o v i d e a n e s t i m a t e o f t h e d i r e c t i o n i n p a r a m e t e r s p a c e
o f t h e d e s i r e d c r i t i c a l p o i n t . T h e r s t s t a g e o f t h e a l g o -
r i t h m n d s a p o i n t o n t h e s o l u t i o n s p a c e b o u n d a r y w h i c h
l i e s i n t h a t s p e c i e d d i r e c t i o n . T h e s e c o n d s t a g e u s e s a
1 1
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
12/15
c o n t i n u a t i o n m e t h o d t o m o v e f r o m t h a t i n i t i a l p o i n t t o
t h e d e s i r e d c r i t i c a l p o i n t . T w o w a y s o f f o r m u l a t i n g t h e
c o n t i n u a t i o n p r o b l e m a r e g i v e n i n t h e p a p e r . A n u m e r i -
c a l t e c h n i q u e t h a t c a n b e u s e d t o s o l v e t h e c o n t i n u a t i o n
p r o b l e m i s o u t l i n e d .
T h e p r o p o s e d a l g o r i t h m c o n v e r g e s r e l i a b l y t o d e s i r e d
c r i t i c a l p o i n t s u n d e r n o r m a l c o n d i t i o n s . H o w e v e r , i f a v e r y
b a d e s t i m a t e o f t h e d i r e c t i o n o f t h e c r i t i c a l p o i n t i s u s e d ,
s i n g u l a r i t y o f t h e J a c o b i a n o f t h e c r i t i c a l p o i n t e q u a t i o n s
m a y o c c u r . I n f o r m a t i o n c o n t a i n e d i n t h e l e f t e i g e n v e c t o r
o f t h e J a c o b i a n c a n b e u s e d t o d e t e r m i n e t h e n a t u r e a n d
c a u s e o f t h e s i n g u l a r i t y .
A c k n o w l e d g e m e n t
T h i s w o r k w a s s p o n s o r e d i n p a r t b y a n A u s t r a l i a n
E l e c t r i c i t y S u p p l y I n d u s t r y R e s e a r c h B o a r d p r o j e c t g r a n t
\ V o l t a g e C o l l a p s e A n a l y s i s a n d C o n t r o l " .
R e f e r e n c e s
1 ] M . A . P a i , E n e r g y F u n c t i o n A n a l y s i s f o r P o w e r S y s t e m S t a b i l -
i t y , K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h e r s , B o s t o n , 1 9 8 9 .
2 ] A . M . K o n t o r o v i c h a n d A . V . K r u k o v , S t a b i l i t y l i m i t l o a d o w s
o f p o w e r s y s t e m s ( F u n d a m e n t a l s o f t h e t h e o r y a n d c o m p u t a -
t i o n a l m e t h o d s ) , P u b l i s h i n g H o u s e o f t h e I r k u t s k U n i v e r s i t y ,
I r k u t s k , 1 9 8 5 ( i n R u s s i a n ) .
3 ] A . M . K o n t o r o v i c h a n d A . V . K r u k o v , \ S t a b i l i t y l i m i t l o a d o w
e q u a t i o n s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n t o s o l u t i o n o f p o w e r s y s t e m
c o n t r o l p r o b l e m s " , P r o c e e d i n g s : C o m p l i c a t e d p o w e r s y s t e m
s t a b i l i t y a n a l y s i s m e t h o d s a n d t h e i r u s a g e , E n e r g i a , M o s c o w ,
1 9 8 5 , p p . 3 4 - 4 0 ( i n R u s s i a n ) .
4 ] F . L . A l v a r a d o a n d T . H . J u n g , \ D i r e c t d e t e c t i o n o f v o l t a g e c o l -
l a p s e c o n d i t i o n s " , P r o c e e d i n g s : B u l k p o w e r s y s t e m p h e n o m -
e n a - v o l t a g e s t a b i l i t y a n d s e c u r i t y , E P R I R e p o r t E L - 6 1 8 3 ,
P o t o s i , M i s s o u r i , J a n u a r y 1 9 8 9 , p p . 5 . 2 3 - 5 . 3 8 .
5 ] C . A . C a ~n i z a r e s a n d F . L . A l v a r a d o , \ C o m p u t a t i o n a l e x p e r i -
e n c e w i t h t h e p o i n t o f c o l l a p s e m e t h o d o n v e r y l a r g e A C / D C
s y s t e m s " , P r o c e e d i n g s : B u l k p o w e r s y s t e m v o l t a g e p h e n o m -
e n a - v o l t a g e s t a b i l i t y a n d s e c u r i t y , E C C / N S F w o r k s h o p , D e e p
C r e e k L a k e , M D , A u g u s t 1 9 9 1 ; p u b l i s h e d b y E C C I n c . , F a i r f a x ,
V i r g i n i a .
6 ] T . V a n C u s t e m , \ A m e t h o d t o c o m p u t e r e a c t i v e p o w e r m a r -
g i n s w i t h r e s p e c t t o v o l t a g e c o l l a p s e " , I E E E T r a n s a c t i o n s o n
P o w e r S y s t e m s , V o l . 6 , N o . 1 , F e b r u a r y 1 9 9 1 , p p . 1 4 5 - 1 5 6 .
7 ] I . A . H i s k e n s a n d R . J . D a v y , \ A t e c h n i q u e f o r e x p l o r i n g
t h e p o w e r o w s o l u t i o n s p a c e b o u n d a r y " , T e c h n i c a l R e p o r t
E E 9 3 2 7 , D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g ,
T h e U n i v e r s i t y o f N e w c a s t l e , A u s t r a l i a , M a y 1 9 9 4 .
8 ] R . S e y d e l , F r o m E q u i l i b r i u m t o C h a o s , E l s e v i e r S c i e n c e P u b -
l i s h i n g C o . , N e w Y o r k , 1 9 8 8 .
9 ] C . B . G a r c i a a n d W . I . Z a n g w i l l , P a t h w a y s t o S o l u t i o n s , F i x e d
P o i n t s , a n d E q u i l i b r i a , P r e n t i c e - H a l l , E n g l e w o o d C l i s , N e w
J e r s e y , 1 9 8 1 .
1 0 ] I . D o b s o n a n d L . L u , \ C o m p u t i n g a n o p t i m a l d i r e c t i o n i n c o n -
t r o l s p a c e t o a v o i d s a d d l e n o d e b i f u r c a t i o n a n d v o l t a g e c o l l a p s e
i n e l e c t r i c p o w e r s y s t e m s " , I E E E T r a n s a c t i o n s o n A u t o m a t i c
C o n t r o l , V o l . 3 7 , N o . 1 0 , O c t o b e r 1 9 9 2 , p p . 1 6 1 6 - 1 6 2 0 .
1 1 ] V . P . V a s i n , \ S t r u c t u r e o f t h e p o w e r s y s t e m e x i s t i n g l o a d o w
r e g i o n i n t h e s p a c e o f a c t i v e p o w e r s " , I z v e s t i a A k a d e m i i N a u k
S S S R , E n e r g e t i k a i t r a n s p o r t , N o . 6 , 1 9 8 1 , p p . 6 - 1 8 ( i n R u s -
s i a n ) .
1 2 ] V . P . V a s i n , R e g i o n s o f t h e e l e c t r i c p o w e r s y s t e m e x i s t i n g l o a d
o w s , P u b l i s h i n g H o u s e o f M E I , M o s c o w , 1 9 8 2 ( i n R u s s i a n ) .
1 3 ] V . A . V e n i k o v , V . A . S t r o e v , V . I . I d e l c h i k , e t . a l . , \ O n d e n i t i o n
o f e l e c t r i c a l s y s t e m s t e a d y - s t a t e a p e r i o d i c s t a b i l i t y l i m i t s u s -
i n g t h e l o a d o w e q u a t i o n J a c o b i a n " , I z v e s t i a A k a d e m i i N a u k
S S S R , E n e r g e t i k a i t r a n s p o r t , N o . 1 , 1 9 7 3 , p p . 4 6 - 5 3 ( i n R u s -
s i a n ) .
1 4 ] V . A . V e n i k o v , V . A . S t r o e v , V . I . I d e l c h i k a n d V . I . T a r a s o v ,
\ E s t i m a t i o n o f e l e c t r i c a l p o w e r s y s t e m s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y " ,
I E E E T r a n s a c t i o n s o n P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , V o l .
P A S - 9 4 , M a y / J u n e 1 9 7 5 , p p . 1 0 3 4 - 1 0 4 3 .
1 5 ] P . W . S a u e r a n d M . A . P a i , \ P o w e r s y s t e m s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y
a n d t h e l o a d o w J a c o b i a n " , I E E E T r a n s a c t i o n s o n P o w e r
S y s t e m s , V o l . 5 , N o . 4 , N o v e m b e r 1 9 9 0 , p p . 1 3 7 4 - 1 3 8 3 .
1 6 ] V . A . V e n i k o v , V . P . V a s i n , V . A . S t r o e v a n d V . I . I d e l c h i k , \ C o n -
s i d e r a t i o n o f t h e s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y c o n s t r a i n t s d u r i n g l o a d
o w c o m p u t a t i o n s f o r c o m p l i c a t e d e l e c t r i c a l s y s t e m s " , I z v e s t i a
A k a d e m i i N a u k S S S R , E n e r g e t i k a i t r a n s p o r t , V o l . 2 , 1 9 7 3 , p p .
5 1 - 5 6 ( i n R u s s i a n ) .
1 7 ] F . D . G a l i a n a a n d J . J a r j i s , \ F e a s i b i l i t y c o n s t r a i n t s i n p o w e r
s y s t e m s " , I E E E P E S S u m m e r M e e t i n g , P a p e r N o . A 7 8 5 6 0 - 5 ,
L o s A n g e l e s , C A , J u l y 1 9 7 8 .
1 8 ] J . J a r j i s a n d F . D . G a l i a n a , \ Q u a n t i t a t i v e a n a l y s i s o f s t e a d y
s t a t e s t a b i l i t y i n p o w e r n e t w o r k s " , I E E E T r a n s a c t i o n s o n
P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , V o l . P A S - 1 0 0 , N o . 1 , J a n u a r y
1 9 8 1 , p p . 3 1 8 - 3 2 6 .
1 9 ] V . A . V e n i k o v , V . A . S t r o e v , L . A . V i n o g r a d o v a n d V . I . I d e l c h i k ,
\ C o m p u t a t i o n s o f t h e p o w e r s y s t e m s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y i n -
d e x " , I z v e s t i a A k a d e m i i N a u k S S S R , E n e r g e t i k a i t r a n s p o r t
V o l . 2 , 1 9 8 4 , p p . 5 5 - 6 4 ( i n R u s s i a n ) .
2 0 ] D . K . M u r a g e , D e v e l o p m e n t o f t h e m e t h o d s f o r d e n i t i o n a n d
s t a n d a r d i z a t i o n o f s t a b i l i t y i n d i c e s , l o c a l i z a t i o n o f w e a k e l e -
m e n t s f o r t h e p o w e r s y s t e m o f K e n y a , P h D t h e s i s , L e n i n g r a d
S t a t e T e c h n i c a l U n i v e r s i t y , L e n i n g r a d , 1 9 9 0 ( i n R u s s i a n ) .
2 1 ] A . M . K o n t o r o v i c h , Y . V . M a k a r o v a n d R . G . K h u l u k s h i n o v ,
\ M e t h o d s f o r f a s t s t a b i l i t y i n d i c e s c o m p u t a t i o n s i n t h e m o s t
d a n g e r o u s l o a d i n g d i r e c t i o n " , P r o c e e d i n g s o f t h e I X U S S R N a -
t i o n a l S c i e n t i c C o n f e r e n c e \ P o w e r S y s t e m M o d e l l i n g " , R i g a ,
1 9 8 7 ( i n R u s s i a n ) .
2 2 ] A . M . K o n t o r o v i c h , A . V . K r u k o v , M . K . L u k i n a , Y . V . M a k a r o v ,
V . E . S a k t o e v a n d R . G . K h u l u k s h i n o v , M e t h o d s o f s t a b i l i t y i n -
d i c e s c o m p u t a t i o n s f o r c o m p l i c a t e d p o w e r s y s t e m s , P u b l i s h i n g
H o u s e o f t h e I r k u t s k U n i v e r s i t y , I r k u t s k , 1 9 8 8 ( i n R u s s i a n ) .
2 3 ] A . M . K o n t o r o v i c h , M . K . L u k i n a , Y . V . M a k a r o v a n d R . G . K h u -
l u k s h i n o v , \ A m e t h o d f o r p o w e r s y s t e m s t e a d y - s t a t e s t a b i l i t y
l i m i t l o a d o w d e n i t i o n i n t h e m o s t d a n g e r o u s d i r e c t i o n o f
l o a d i n g " , P r o s e e d i n g s : P r o b l e m s o f S t a b i l i t y a n d R e l i a b i l i t y o f
t h e U S S R P o w e r S y s t e m ( o n t h e b a s e o f U S S R N a t i o n a l S c i -
e n t i c a n d T e c h n i c a l C o n f e r e n c e m a t e r i a l s ) , M o s c o w , 1 9 9 0 ( i n
R u s s i a n ) .
2 4 ] I . D o b s o n , L . L u , a n d Y . H u , \ A d i r e c t m e t h o d f o r c o m p u t i n g
a c l o s e s t s a d d l e n o d e b i f u r c a t i o n i n t h e l o a d p o w e r p a r a m e -
t e r s p a c e o f a n e l e c t r i c p o w e r s y s t e m " , I E E E I n t . S y m p . o n
C i r c u i t s a n d S y s t e m s , S i n g a p o r e , J u n e 1 9 9 1 , p p . 3 0 1 9 - 3 0 2 2 .
2 5 ] I . D o b s o n , \ O b s e r v a t i o n s o n t h e g e o m e t r y o f s a d d l e n o d e b i f u r -
c a t i o n a n d v o l t a g e c o l l a p s e i n e l e c t r i c p o w e r s y s t e m s " , I E E E
T r a n s a c t i o n s o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s , P a r t 1 , V o l . 3 9 , N o . 3 ,
M a r c h 1 9 9 2 , p p . 2 4 0 - 2 4 3 .
2 6 ] I . D o b s o n a n d L . L u , \ N e w m e t h o d s f o r c o m p u t i n g a c l o s e s t
s a d d l e n o d e b i f u r c a t i o n s a n d w o r s t c a s e l o a d p o w e r m a r g i n f o r
v o l t a g e c o l l a p s e " , I E E E T r a n s a c t i o n s o n P o w e r S y s t e m s , V o l .
8 , N o . 3 , A u g u s t 1 9 9 3 , p p . 9 0 5 - 9 1 3 .
2 7 ] F . A l v a r a d o , I . D o b s o n , a n d Y . H u , \ C o m p u t a t i o n o f c l o s e s t
b i f u r c a t i o n s i n p o w e r s y s t e m s " , I E E E P E S S u m m e r M e e t i n g
P a p e r N o . 9 3 S M 4 9 2 - 9 P W R S , V a n c o u v e r , B . C . , C a n a d a , J u l y
1 9 9 3 .
2 8 ] J . E . D e n n i s a n d R . B . S c h n a b e l , N u m e r i c a l m e t h o d s f o r u n c o n -
s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n a n d n o n l i n e a r e q u a t i o n s , M i r , M o s c o w ,
1 9 8 8 .
1 2
8/11/2019 A Continuation Method Approach to Finding the Closest Saddle Node Bifurcation Point
13/15
2 9 ] A . M . K o n t o r o v i c h a n d N . P . D u n a e v a , \ I n v e s t i g a t i o n o f l o a d
o w m e t h o d s b a s e d o n t h e T a y l o r e x p a n s i o n o f a s o l u t i o n " ,
P r o c e e d i n g s : P r i m e n e n i e m a t e m a t i c h e s k i h m e t o d o v p r i u p -
r a v l e n i i r e g i m a m i i r a z v i t i e m e l e k t r i c h e s k i h s i s t e m , I r k u t s k ,
1 9 7 8 , p p . 6 5 - 7 4 ( i n R u s s i a n ) .
3 0 ] A . M . K o n t o r o v i c h , Y . V . M a k a r o v a n d A . A . T a r a k a n o v , \ I m -
p r o v e d m e t h o d s f o r l o a d o w a n a l y s i s " , A c t a P o l y t e c h n i c a ,
P r a c e
C V U T v P r a z e , V o l . 5 / I I I , N o . 1 , 1 9 8 3 , p p . 1 2 1 - 1 2 5 .
3 1 ] A . M . K o n t o r o v i c h , \ A d i r e c t i o n o f i n v e s t i g a t i o n s o f t h e l o a d
o w p r o b l e m " , T r u d y L P I , N o . 4 0 6 , 1 9 8 5 , p p . 1 8 - 2 5 ( i n R u s -
s i a n ) .
3 2 ] Y . V . M a k a r o v , L o a d o w c a l c u l a t i o n m e t h o d s f o r i n f o r m a t i o n
a n d c o n t r o l s y s t e m s ( I C S ) u s e d i n p o w e r s y s t e m c o n t r o l , P h D
t h e s i s , T h e L e n i n g r a d P o l y t e c h n i c a l I n s t i t u t e , L e n i n g r a d , 1 9 8 4
( i n R u s s i a n ) .
3 3 ] G . A . K o r n a n d T . M . K o r n , M a t h e m a t i c a l H a n d b o o k f o r S c i -
e n t i s t s a n d E n g i n e e r s , M c G r a w - H i l l B o o k C o m p a n y , N e w
Y o r k , 1 9 6 8 .
3 4 ] V . I . T a r a s o v , \ I m p l e m e n t a t i o n o f a p e r m a n e n t l o a d i n g p r o c e -
d u r e t o d e n i t i o n o f l o a d o w s o n a l i m i t o f a p e r i o d i c s t e a d y -
s t a t e s t a b i l i t y " , P r o c e e d i n g s : V o p r o s y p r i m e n e n i j a m a t e m -
a t i c h e s k i h m e t o d o v p r i u p r a v l e n i i r e g i m a m i i r a z v i t i e m e l e k -
t r i c h e s k i h s i s t e m , I r k u t s k , 1 9 7 5 , p p . 5 0 - 5 6 ( i n R u s s i a n ) .
3 5 ] V . A . M a t v e e v , \ A m e t h o d o f n u m e r i c s o l u t i o n o f s e t s o f n o n -
l i n e a r e q u a t i o n s " , J u r n a l V y c h i s l i t e l n o i M a t e m a t i k i i M a t e m -
a t i c h e s k o i F i z i k i , V o l . 4 , N o . 6 , 1 9 6 4 , p p . 9 8 3 - 9 9 4 ( i n R u s s i a n ) .
3 6 ] A . M . K o n t o r o v i c h , Y . V . M a k a r o v a n d A . A . T a r a k a n o v , \ I m -
p r o v e m e n t s o f a p e r m a n e n t l o a d i n g t e c h n i q u e t o c o m p u t e l o a d
o w s o n s t a b i l i t y m a r g i n " , T r u d y L P I , N o . 3 8 0 , 1 9 8 2 , p p . 3 7 - 4 1
( i n R u s s i a n ) .
3 7 ] C . L . D e M a r c o a n d A . R . B e r g e n , \ A s e c u r i t y m e a s u r e f o r r a n -
d o m l o a d d i s t u r b a n c e s i n n o n l i n e a r p o w e r s y s t e m m o d e l s " ,
I E E E T r a n s . o n C i r c u i t s a n d S y s t e m s , V o l . 3 4 , N o . 1 2 , D e -
c e m b e r 1 9 8 7 , p p . 1 5 4 6 - 1 5 5 7 .
3 8 ] Y . V . M a k a r o v a n d I . A . H i s k e n s , \ S o l u t i o n c h a r a c t e r i s t i c s o f
t h e q u a d r a t i c p o w e r o w p r o b l e m " , T e c h n i c a l R e p o r t E E 9 3 7 7 ,
D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , T h e U n i -
v e r s i t y o f N e w c a s t l e , A u s t r a l i a , M a y 1 9 9 4 ( R e v i s e d ) .
3 9 ] I . D o b s o n , e t . a l . , \ A m o d e l o f v o l t a g e c o l l a p s e i n e l e c t r i c p o w e r
s y s t e m s " , P r o c . 2 7 t h C o n f . o n D e c i s i o n a n d C o n t r o l , A u s t i n ,
T e x a s , D e c e m b e r 1 9 8 8 , p p . 2 1 0 4 - 2 1 0 9 .
4 0 ] A . M . K o n t o r o v i c h a n d Y . V . M a k a r o v , \ M e t h o d s o f l o a d o w
c o m p u t a t i o n s u s i n g h i g h o r d e r t e r m s o f T a y l o r s e r i e s e x p a n -
s i o n s " , T e c h n i c a l R e p o r t E E 9 4 2 6 , D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l
a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , T h e U n i v e r s i t y o f N e w c a s t l e , A u s -
t r a l i a , J u l y 1 9 9 4 .
A M i d p o i n t s i n g u l a r i t y o f J
I f v o l t a g e s a r e e x p r e s s e d i n r e c t a n g u l a r f o r m , t h e n f
1
( x )
a n d f
2
( x ) a r e q u a d r a t i c f u n c t i o n s o f x . T h e J a c o b i a n s
J
1
( x ) a n d J
2
( x ) a r e t h e n l i n e a r f u n c t i o n s o f x . I t f o l l o w s
t h a t t h e c r i t i c a l p o i n t f u n c t i o n ( x ; s ; ) d e s c r i b e d b y ( 2 1 )
i s a q u a d r a t i c f u n c t i o n o f x ; s ;
L e t z
1
= ( x
1
s
1
1
) a n d z
2
= ( x
2
s
2
2
) b e s o l u t i o n s
o f ( 2 1 ) , w i t h z
1
6= z
2
. T h e n t h e T a y l o r s e r i e s e x p a n s i o n o f
y i e l d s
( z
2
) = ( z
1
) + J
( z
1
) ( z
2
? z
1
) +
1
2
W
( z
2
? z
1
)
( z
1
) = ( z
2
) + J
( z
2
) ( z
1
? z
2
) +
1
2
W
( z
1
? z
2
)
( 7 0 )
w h e r e ( z
1
) = ( z
2
) = 0 , a n d W
i s t h e q u a d r a t i c t e r m
o f t h e e x p a n s i o n . T h e v e c t o r W
h a s d i m e n s i o n 2 n . I t s
e l e m e n t s a r e g i v e n b y
w
i
( z
2
? z
1
) =
2 n
X
k = 1
2 n
X
= 1
@
2
i
@ z
k
@ z
( z
2 k
? z
1 k
) ( z
2
? z
1
) ( 7 1 )
A s t h e e l e m e n t s o f t h e H e s s i a n m a t r i c e s i n ( 7 1 ) a r e c o n -
s t a n t s , i t i s c l e a r t h a t
W
( z
2
? z
1
) = W
( z
1
? z
2
)
S o , f r o m ( 7 0 ) , w e g e t
h
J
( z
1
) + J
( z
2
)
i
( z
1
? z
2
) = 0 ( 7 2 )
B e c a u s e a l l e l e m e n t s o f J
( z ) a r e l i n e a r f u n c t i o n s o f z
( 7 2 ) b e c o m e s
2 J
z
1
+ z
2
2
( z
1
? z
2
) = 0 ( 7 3 )
N o w z
1
6= z
2
, s o t h e m a t r i x J
c a l c u l a t e d a t t h e p o i n t
( z
1
+ z
2
) = 2 i s s i n g u l a r .
F o r a p a i r o f
