Matematik
a Lanjut 1
Vekto
r
Ruang V
ektor
Matriks
Determ
inan
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
1
Determ
inan
Matriks In
vers
Sistem
Persam
aan Linier
Tran
sform
asi Linier
Dra. D
. L. C
rispina P
ardede, D
EA.
Referen
siReferen
si
[1]. Yusuf Y
ahya, D
. Suryad
i. H.S., A
gus S.,
Matem
atika untuk
Perguruan T
inggi, Ghalia-
Indonesia, Jakarta, 1995.
[2]. Suryad
i H.S., P
engantar Aljabar L
inier dan
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
[2]. Suryad
i H.S., P
engantar Aljabar L
inier dan
Geom
etri Analitik
, Penerb
it Gunadarm
a, Jakarta, 1991.
[3]. Seymour L
ipsch
utz, T
heory and problems of
Linear A
lgebra, McG
raw-H
ill, 1968.
2
VEKTOR
VEKTOR
1.Defin
isi Vekto
r
2.Notasi
3.Operasi p
ada V
ektor
4.Interp
retasi Vekto
r Secara Geometris
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
5.Komponen Vekto
r
6.Dalil p
ada O
perasi V
ektor
7.Vekto
r Satuan
8.Panjan
g Vekto
r
9.Perkalian
Vekto
r
3
Vekto
rVekto
r
Vektormem
iliki besaran
dan arah
.
Besaran
fisika yang
dinyatakan
dengan
vektor:
perp
indahan, kecep
atan
dan percep
atan.
A
B
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
dan percep
atan.
Skalarhanya m
emiliki b
esaran saja,
contoh : tem
peratu
r, tekanan, en
ergi,
massa d
an waktu
.
4
A
Vekto
rVekto
r
�Penyajian
Vekto
r
◦Geometri: T
anda P
anah
B
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
◦Notasi: P
atau P
5
A
Penjumlah
an Vekto
rPenjumlah
an Vekto
r
R=A+B
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
6
�Cara P
oligo
n
Penjumlah
an Vekto
rPenjumlah
an Vekto
r
AB
A
R=A+B
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
7
A
RB
�Cara Jajaran
Genjan
g
Penjumlah
an Vekto
rPenjumlah
an Vekto
r
A
R=A+B
A
R
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
8
B
θ
B
R
Dua b
uah vekto
r dikatakan
sama b
ila mem
iliki besaran
(panjan
g) dan arah
yang sam
a.
Vekto
r -A
adalah
vektor yan
g mem
iliki besaran
yang sam
a dengan
vektor A
,
tetapi b
erlawanan arah
, dan b
ila diju
mlah
kan akan
mengh
asilkan
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
dan b
ila diju
mlah
kan akan
mengh
asilkan
vektor 0
.
A + (-A
) = 0
9
A-A
R= A
–B
�R
= A
+ (-B
)
SelisihVekto
rSelisih
Vekto
r
A-B
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
BA
R
10
Perkalian
Vekto
r dengan
Skalar Perkalian
Vekto
r dengan
Skalar
Perkalian
vektor A
dengan
skalar mmengh
asilkan vekto
r mA.
A
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
A
2A
11
Interp
retasi Vekto
r Interp
retasi Vekto
r
Secara G
eometris
Secara G
eometris
x2
6542U
U= [3 2]
2U
= 2 . [3 2]
= [6 4]
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
x1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
321-2
U
-U
-U =
-1 . [3 2]
= [-3 -2]
12
Interp
retasi Vekto
r Interp
retasi Vekto
r
Secara G
eometris
Secara G
eometris
x2
54
�U = [3 2]
�V = [2 3]
�W = U
+ V
= [3 2] +
[2 3]
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
x1
321
1 2 3 4 5
W
U
V
= [3 2] +
[2 3]
= [5 5]
T =
U –
V = …
. ?
13
Komponen Vekto
rKomponen Vekto
r
θ
AAy
Y
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
Komponen Vekto
r A: vekto
r Axdan vekto
r Ay
Komponen-ko
mponen seb
uah vekto
r selalu salin
g
tegaklurus.
Komponen skalarn
ya:
Ax =
A co
s θA
y = A sin
θ X
θ
Ax
14
Ada 2 cara m
enyatakan
vektorA
1. A
= A
x+ A
y
2.+
=y
xA
AA
22
Y
Komponen Vekto
r Komponen Vekto
r (lanjutan
)(lan
jutan
)
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
15
=−
x y
A A1
tanθX
θ
AAy
Ax
Komponen Vekto
r Komponen Vekto
r (lanjutan
)(lan
jutan
)
Arah
komponen vekto
r
tergantung p
ada arah
sumbu-su
mbu yan
g
digu
nakan
sebagai acu
an.
AAy
Y
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
A=A
x+ A
y
atau
A=A
x’ +
Ay’
X
θ
Ax
16
Komponen Vekto
r Komponen Vekto
r (lanjutan
)(lan
jutan
)
Dua b
uah vekto
r dikatakan
sama jika ked
uanya m
emiliki
komponen yan
g sama.
u[u
1u2
u3 ] =
v[v
1v2
v3 ], jika u
1= v
1 , u2= v
2 , u3 =
v3 .
Contoh:
1. u=[1 2 3] d
an v
=[2 3 1], u
≠v.D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
1. u=[1 2 3] d
an v
=[2 3 1], u
≠v.
2.Misalkan
[ x-y x+y z-1] =
[4 2 3].
Kedua vekto
r tersebut m
emenuhi kesam
aan bila n
ilai x =
3, y = -1, z =
4.
17D. L
. Crisp
ina ard
ede (O
ktober 2011)
Penjumlah
an Vekto
r
Berd
asarkan K
omponennya
C =
A + B
Cx =
Ax+ B
x
Cy= A
y+ B
y)
(tan
1
22
x y
yx
C C
da
n
CC
C
−=
+=
θ
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
18
Penjumlah
an Vekto
r …
Contoh
Contoh
Misalkan
vektor
U= [3 2] d
an V
= [2 3]
Ux =
3 dan U
y= 2
Vx =
2 dan V
y= 3
Jika W= U
+ V
, maka W
dapat d
icari
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
Jika W= U
+ V
, maka W
dapat d
icari dengan
cara
Wx= U
x + V
x = 3 +
2 = 5
Wy= U
y + V
y = 2 +
3 = 5
∴Vekto
rW = [W
x Wy ] =
[5 5].
19
Dalil P
ada O
perasi V
ektor
Dalil P
ada O
perasi V
ektor
Untuk setiap
vektor A
= [a
1 , a2 , …
, an ],
B= [b
1 , b2 , …
, bn ], C
= [c
1 , c2 , …
, cn ] ∈
Rn
dan besaran
skalar k, m
∈R (R
: him
punan
bilan
gan riil), b
erlaku
1.A+ B = B
+ A
komutatif
A+ (B
+ C)=
(A+ B) +
Caso
siatif
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
2.A+ (B
+ C)=
(A+ B) +
Caso
siatif3.
k(A
+ B) =
kA+ k
Bdistrib
utif
4.A+ 0
= A
5.A+ -A
= 0
6.(k
+m)A
= k
A+ m
A
7.(k
m)A
= k(mA) =
m(kA)
8.1A = A
20
Vekto
r Satuan
Vekto
r Satuan
•Vekto
r dapat d
ituliskan
dalam
vektor-vek
tor satuan.
•Sebuah vekto
r satuan m
empunyai m
agnitu
do/
uku
ran/panjan
g yang b
esarnya sam
a dengan
satu (1).
•Vekto
r satuan dalam
sistem ko
ordinat R
2 (R3 )
dinyatakan
dengan
i dan
j(i, j
dan k)yan
g saling
tegaklurus.
y
yD. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
ji
Ay
xA
A+
=
x
y
i
j
A
R2
kj
iz
yx
BB
BB
++
=
xi
jB
R3
kz
21
Panjan
g Vekto
rPanjan
g Vekto
rBesar d
an arah
vektor d
iuku
r
langsu
ng.
Misalkan
, Vekto
r Adi R
dinyatakan
sebagai A
= A
i+ A
j
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
()
()
()z
2
y
2
x
2
BB
B
++
=B
Misalkan
, Vekto
r Adi R
2dinyatakan
sebagai A
= A
xi+ A
yj
Panjan
g Vekto
r Adihitu
ng d
engan
cara:
Misalkan
, Vekto
r Bdi R
3dinyatakan
sebagai
B= B
xi+ B
yj+ B
z k ,P
anjan
g Vekto
r Bdihitu
ng d
engan
cara:
()
()y
2
x
2
AA
+
=A
22
Perkalian
Titik
Perkalian
Titik
Misalkan
A dan B
vektor d
i dalam
Rn. H
asil kali titik dari
A dan B
adalahA
.B =
A1 B
1+ A
2 B2+...+
An B
n.
dim
ana A
= [A
1 A2 ... A
n ], B= [B
1 B2 ... B
n ].
Dua vekto
r A dan B
dikatakan
tegak lurus satu
sama lain
, jika
A.B
=0.
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
A.B
=0.
Contoh:
Diketah
ui u
= [1 -2 3 -4], v
= [6 7 1 -2], w
= [5 -4 5 7].
u.v =
1.6 + (-2).7 +
3.1 + (-4).(-2) =
3
u.w
= ... ...
v.w = ... ...
Vekto
r ...... dan ...... salin
g tegak lurus.
23
Perkalian
Titik
Perkalian
Titik (L
anjutan
)(Lanjutan
)
Sifat perkalian
titik (dot product) dalam
Rn.
Teorem
a
Untuk sem
baran
g vektor u
,v,w ∈
Rndan
sembaran
g skalar k ∈R berlaku
1. (u+ v) .
w= u.w
+ v.w
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
1. (u+ v) .
w= u.w
+ v.w
2. (ku) .
v= k (u
.v)3. u
.v= v.u
.
4. u.u
≥0 d
an u
.u= 0 jika d
an hanya jika u
= 0.
24
Perkalian
Titik
Perkalian
Titik
……Latih
anLatih
an
1. Jika u= [2 -7 1],
v= [-3 0 4], d
an w = [0 5 -8],
tentukan
a). 3u–4v
b). 2
u–3v–5w.
2.Tentukan
x dan y jika [4 y] =
x[2 3].
3.Tentukan
x, y, z jika
[2 3 4] = x[1 1 1] +
y[1 1 0] + z[1 0 0]
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
4.Dari so
al no. 1, ten
tukan
a). u.v
b). u
.w
3. u.(v+
w)
25
Panjan
g Vekto
r di R
Panjan
g Vekto
r di R
nn
Panjan
g vektor u
= [u
1u2…
un]
dinyatakan
dengan
|u|
2n
22
21u
...u
u
u .
u
++
+=
=u
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
Contoh:
u = [1 -2 3]
26
14
94
1
3
)2
(1
32
2=
++
=+
−+
=u
Jarak pada R
Jarak pada R
nn
Misalkan
dua vekto
r pada R
n, u= [u
1u2…
un] d
an v
= [v
1v2…
vn].
Jarak (distance) an
tara udan v
adalah
2
nn
2
22
2
11
)v
(u...
)v
(u)
v(u
)
,(
d−
++
−+
−=
vu
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
Contoh: u
= [1 -2 4] , v
= [3 1 -5]
27
94
)9(
)3
()
2(
))5
(4(
)1(-2
)3
(1
),
(d
22
2
22
2
=
+−
+=
−−
+−
+−
=v
u
Panjan
g Vekto
r dan Jarak p
ada R
Panjan
g Vekto
r dan Jarak p
ada R
nn…
…
Latih
anLatih
an
1. Tentukan
panjan
g vektor |u|
jika diketah
ui
a). u= [2 -7]
b). u
= [3 -12 4]
2.Tentukan
k sedem
ikian hingga |u|=
√39
dim
ana u
= [1 k -2 5].
3.Hitu
ng jarak an
tara vektor u
dan v, jika
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
3.Hitu
ng jarak an
tara vektor u
dan v, jika
a). u= [1 7], v
= [6 -5]
b). u
= [3 -5 4], v
= [6 2 -1]
4.Tentukan
harga k sed
emikian
hingga d
(u,v) =
6
dim
ana u
= [2 k 1 -4], v
= [3 -1 6 -3]
28
RUANG VEKTOR
RUANG VEKTOR
1.Field
2.Ruang V
ektor d
i atas Suatu
Field
3.Ruang V
ektor B
agian
4.Ketergan
tungan
Linier
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
4.Ketergan
tungan
Linier
5.Kombinasi L
inier
6.Dim
ensi d
an Basis
29
Field
Field
Misalkan
K seb
uah him
punan. P
ada K
didefin
isikan 2 (d
ua) o
perasi
yang d
isebut p
enjumlah
an (+
) dan perkalian
( . ).
K m
erupakan
field
bila aksio
ma-aksio
ma b
erikut d
ipenuhi:
1.K te
rtutupterh
adap operasi p
enjumlah
an (+
) dan perkalian
( . )
2.Operasi p
enjumlah
an bersifat a
sosia
tifpada K
3.Terd
apat id
entita
spenjumlahanyan
g juga m
erupakan
anggo
ta K
4.Setiap
anggo
ta K m
emiliki in
vers
penjumlahanyan
g juga an
ggo
ta
K
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
30D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
K
5.Operasi p
enjumlah
an bersifat k
omutatif
pada K
6.Operasi p
erkalian bersifat a
sosia
tifpada K
7.Operasi p
erkalian bersifat d
istributif
terhadap operasi p
enjumlah
an
8.Operasi p
erkalian bersifat k
omutatif
pada K
9.Terd
apat id
entita
sperkalia
nyan
g juga m
erupakan
anggo
ta K
10.Setiap
anggo
ta K m
emiliki in
vers
perkalia
nyan
g juga m
erupakan
anggo
ta K
Field
Field
(K, +
, . ) adalah
Field, jika ∀
α, β
, γ∈
K dipenuhi:
1. α+ β
∈K d
an α
. β∈
K(tertu
tup)
2. (α
+ β) +
γ= α
+ (β
+ γ)
(asosiatif)
3. ∃0 ∈∈∈ ∈
K ∋
α+0 =
0+α= α
(0 identitas p
enjumlah
an)
4. ∀
α∈K ∃
-α∈
α∈
α∈
α∈K
∋α+-α
= -α
+α= 0
(-αinvers p
enjumlah
an dari α
)
αβ
βα
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
(-invers p
enjumlah
an dari
)
5. α+ β
= β
+ α
(komutatif)
6. (α.β).γ
= α.(β
.γ) (aso
siatif)
7. α.(β
+ γ) =
α.β
+ α.γ
; (β+ γ).α
= β.α
+ β.γ
(distrib
utif)
8. α. β
= β
. α(ko
mutatif)
9. ∃1 ∈∈∈ ∈
K ∋
α.1 =
1.α= α
(1 identitas p
erkalian)
10. ∀α
≠0 ∈
K ∃
ααα α-1∈∈∈ ∈
K∋
α.α
-1= α
-1.α= 1
(α-1invers p
erkalian dari α
)31
Misalkan
(K, +
, . ) adalah
Field
dan V him
punan tid
ak kosong
dim
ana, jika ∀
u, v ∈
V, u
+ v ∈
V d
an ∀
u ∈
V, k ∈
K
berlaku
ku ∈
V. H
impunan V diseb
ut R
uang Vektor jika
berlaku
:
A1.
∀u, v, w
∈V, (u
+ v) +
w = u + (v +
w)
A2.
∀u ∈
V, ∃
0 ∈V ∋
u+0 =
u(0: vekto
r nol)
Ruang V
ektor d
i Atas Su
atu Field
Ruang V
ektor d
i Atas Su
atu Field
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
A2.
∀u ∈
V, ∃
0 ∈V ∋
u+0 =
u(0: vekto
r nol)
A3.
∀u ∈
V, ∃
-u ∈
V ∋
u+-u = 0
A4.
∀u, v ∈
V, u
+ v =
v + u
M1. ∀
k ∈K, ∀
u, v ∈
V, k(u
+ v) =
ku + kv
M2. ∀
k, l ∈K, ∀
u ∈
V, (k +
l) u = ku
+ lu
M3. ∀
k, l ∈K, ∀
u ∈
V, (k l) u
= k (l u
)
M4. ∀
u ∈
V , ∃
1 ∈K ∋
1.u = u
32
Ruang V
ektor
Ruang V
ektor
…
… Contoh
Contoh
1. Him
punan sem
ua n
-tuple d
ari elemen-elem
en field
K,
dim
ana p
enjumlah
an vekto
r dan perkalian
skalar yang
didefin
isikan seb
agai
(a1 , a
2 ,…, a
n ) + (b
1 , b2 ,…
, bn ) =
(a1 +
b1 , a
2+ b
2 ,…, a
n+ b
n )
k (a1 , a
2 ,…, a
n ) = (ka
1 , ka2 ,…
, kan ) d
imana a
i , bi ∈
K,
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
k (a1 , a
2 ,…, a
n ) = (ka
1 , ka2 ,…
, kan ) d
imana a
i , bi
K,
adalah
ruang vekto
r atas field K
.
2. Misalkan
V h
impunan sem
ua m
atriks (mxn
) dim
ana
setiap sel b
erisi anggo
ta K. V
meru
pakan
ruang vekto
r atas K dengan
operasi p
enjumlah
an m
atriks dan perkalian
skalar.
33
Ruang V
ektor
Ruang V
ektor
…
… Latih
anLatih
an
1. Tunjukkan
bahwa u
ntuk sem
baran
g skalar k dan
sembaran
g vektor U
dan V, b
erlaku
k (U –
V) =
kU –
kV
2. Diketah
ui h
impunan pasan
gan teru
rut d
ari
bilan
gan riil V
= {(a, b
)|a, b ∈
R}. T
unjukkan
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
bilan
gan riil V
= {(a, b
)|a, b ∈
R}. T
unjukkan
bahwa V
bukan
ruang vekto
r atas R di b
awah
operasi p
enjumlah
an dan perkalian
skalar pada V
yan
g didefin
isikan seb
agai (a, b) +
(c, d) =
((a + c),
(b+d)) d
an k(a,b
) = (ka, b
)
34
Ruang V
ektor
Ruang V
ektor
…
… Latih
anLatih
an
3. Diketah
ui h
impunan pasan
gan teru
rut d
ari
bilan
gan riil V
= {(a, b
)|a, b ∈
R}. T
unjukkan
bahwa V
bukan
ruang vekto
r atas R di b
awah
operasi p
enjumlah
an dan perkalian
skalar pada V
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
operasi p
enjumlah
an dan perkalian
skalar pada V
yan
g didefin
isikan seb
agai
a). (a, b) +
(c, d) =
(a, b) d
an k(a,b
) = (ka, kb
)
b). (a, b
) + (c, d
) = ((a+
c), (b+d)) d
an
k(a,b) =
(k2a, k
2b)
35
Ruang V
ektor B
agianRuang V
ektor B
agian
Misalkan
W h
impunan bagian
dari ru
ang vekto
r atas field
K.
W diseb
ut R
uang Vektor B
agian dari V
, jika W
adalah
ruang vekto
r atas field K
, dengan
operasi
penjumlah
an vekto
r dan perkalian
skalar pada V
.
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
penjumlah
an vekto
r dan perkalian
skalar pada V
.
Contoh:
V = ru
ang vekto
r dari sem
ua m
atriks (mxn
)
W = him
punan sem
ua m
atriks A(a) d
imana a =
a .
W m
erupakan
ruang vekto
r bagian
dari V
.36
Ketergan
tungan
Linier
Ketergan
tungan
Linier
Misalkan
V ru
ang vekto
r atas field K
.
�Vekto
r-vektor v
1 , v2 ,…
, vm
∈V dikatakan
Bergantung Linier, jika terd
apat
λ1 , λ 2 ,…
, λ m ∈
K yan
g tidak sem
ua n
ol,
sedem
ikian hingga
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
sedem
ikian hingga
λ1v1+ λ
2v2 + …
+ λ
m v
m = 0
�Jika
λ1 =
λ2=…
=λm=
0,maka
v1 ,
v2 ,…
,vm
dikatakan
Beb
asLinier.
37
Ketergan
tungan
Linier
Ketergan
tungan
Linier
…
… Contoh
Contoh
1. Vekto
r u= [1 1 0], v
= [1 3 -1], w
= [5 3 -2]
bergan
tung lin
ier, karena 3
u+ 2 v
–w
= 0.
2. Tunjukkan
bahwa vekto
r-vektor b
erikut b
ebas
linier.
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
linier.
u= [6 2 3 4],
v= [0 5 -3 1],
w= [0 0 7 -2] .
38
Ketergan
tungan
Linier
Ketergan
tungan
Linier
…
… Latih
anLatih
an
1. Selid
iki apakah
vektor-vekto
r udan v
beriku
t bebas lin
ier
atau bergan
tung lin
ier.
a). u= [3 4], v
= [1 -3]
b). u
= [2 -3], v
= [6 -9]
c). u= [4 3 -2], v
= [2 -6 7]
d). u
= [-4 6 -2], v
= [2 -3 1]
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
d). u
= [-4 6 -2], v
= [2 -3 1]
2. Selid
iki apakah
matriks-m
atriks beriku
t bebas lin
ier.
39
=
=
=0
0
11
C ,
10
01
B ,
11
11
A
).a
=
=
=0
4-
5-1
C ,
22
1-3
B ,
13
21
A
).b
Ketergan
tungan
Linier
Ketergan
tungan
Linier
…
… Latih
anLatih
an
3. Misalkan
V ru
ang vekto
r dari p
olin
omial b
erderajat ≤
3
atas R. (R
: him
punan bilan
gan riil) selid
iki apakah
u= t 3
-3t 2
+ 5t +
1
v= t 3
-t 2
+ 8t +
2
w= 2t 3
-4t 2
+ 9t +
5
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
w= 2t
-4t
+ 9t +
5
bebas lin
ier.
40
Kombinasi L
inier
Kombinasi L
inier
Misalkan
V seb
uah ru
ang vekto
r atas field K
dan
v1 , v
2 ,…, v
m∈
V. S
embaran
g vektor d
alam V
yang
berb
entuk λ
1v1+ λ
2v2 + …
+ λ
m vm
diseb
utKombinasi
Linierdari
vektor-vekto
r
v1 ,v2 ,…
,vm.
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
Dengan
katalain
,
Vekto
rvdikatakan
kombinasi
linierdari
vektor-vekto
r
v1 ,
v2 ,…
,vm
bila
terdapat
skalar-skalarλ1 ,
λ2 ,
…,λm
sedem
ikianhingga
v=λ1v1+λ2v2 +
…+λmvm
41
Kombinasi L
inier
Kombinasi L
inier
…
… Contoh
Contoh
1. Vekto
r e1= [1 0 0], e
2= [0 1 0], e
3= [0 0 1],
mem
bangkitkan
ruang vekto
r R3.
∀[a b
c ]∈R3,
[a b c ]
= a [1 0 0] +
b [0 1 0] +
c [0 0 1]
= ae1+ b e
2+ ce3.
∴∀
[a b c ]∈
R3meru
pakan
kombinasi lin
ier dari e
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
∴∀
[a b c ]∈
R3meru
pakan
kombinasi lin
ier dari e
i
2. Selid
iki apakah
vektor v
= [3 9 -4 4] m
erupakan
kombinasi lin
ier dari vekto
r-vektor
u= [1 -2 0 3]
v= [2 3 0 1]
w= [2 -1 2 1]
42
Kombinasi L
inier
Kombinasi L
inier
…
… Latih
anLatih
an
1. Nyatakan
vektor v
= [1 -2 5] seb
agai kombinasi lin
ier dari
vektor-vekto
r u1 =
[1 1 1], u2 = [1 2 3], u
3 = [2 -1 1]
2. Nyatakan
vektor w
= [2 -5 3] seb
agai kombinasi lin
ier dari
vektor-vekto
r e1 =
[1 -3 2], e2 = [2 -4 -1], e
3 = [1 -5 7].
3. Hitu
ng k sed
emikian
hingga vekto
r t= [1 -2 k]
meru
pakan
kombinasi lin
ier dari vekto
r-vektor
v= [3 0 -2] , w
= [2 -1 -5]
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
v= [3 0 -2] , w
= [2 -1 -5]
4. Nyatakan
matriks seb
agai kombinasi lin
ier dari
matriks-m
atriks
43
−=
11
13
P
−=
=
=
10
20
C ,
11
00
B ,
01
11
A
Dim
ensi d
an Basis
Dim
ensi d
an Basis
Dim
ensi
Dim
ensi
Suatu
ruang vekto
r V dikatakan
Berdim
ensi n
, jika dapat
ditem
ukan
sebuah him
punan n
vektor an
ggo
ta V yan
g
bebas lin
ier, sedangkan
setiap him
punan (n
+ 1) vekto
r
anggo
ta V selalu
bergan
tung lin
ier. Dengan
kata lain, d
alam
ruang vekto
r berd
imensi n
, jumlah
maksim
um vekto
r
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
ruang vekto
r berd
imensi n
, jumlah
maksim
um vekto
r
anggo
ta V yan
g bebas lin
ier adalah
n.
Basis
BasisSetiap
him
punan n
buah vekto
r yang b
ebas lin
ier dari su
atu
ruang vekto
r berd
imensi n
diseb
ut B
asis
dari ru
ang vekto
r
44
Dim
ensi d
an Basis
Dim
ensi d
an Basis
…
… Contoh
Contoh
1. Misalkan
ruang vekto
r V d
ibentuk o
leh vekto
r-vektor
p= [1 -2 3 1] d
an q
= [2 -4 5 2].
Kedua vekto
r tersebut tid
ak berkelip
atan, b
erarti keduanya
bebas lin
ier. Dengan
dem
ikian, d
imensi ru
ang vekto
r yang
dibentuk o
leh vekto
r-vektor terseb
ut ad
alah 2.
2. Vekto
r e1= [1 0 0], e
2= [0 1 0], e
3= [0 0 1], m
erupakan
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
2. Vekto
r e1= [1 0 0], e
2= [0 1 0], e
3= [0 0 1], m
erupakan
basis d
ari ruang vekto
r R3.
λ1[1 0 0] +
λ2[0 1 0]+
λ3 [0 0 1] =
[0 0 0]λ1+ λ
2+ λ
3 = 0
λ2+ λ
3 = 0
λ1= λ
2= λ
3 = 0
λ3 =
0Jelas b
ahwa e
1 , e2 , e
3bebas lin
ier, dan m
erupakan
basis R
3.
45
Dim
ensi d
an Basis
Dim
ensi d
an Basis
…
… Latih
anLatih
an
1. Selid
iki apakah
vektor -vekto
r e1= [1 0 0], e
2= [1 1 0], d
an
e3= [1 1 1], m
erupakan
basis d
ari ruang vekto
r R3.
2. Selid
iki apakah
vektor -vekto
r u= [1 1 2], v
= [1 2 5], d
an
w= [5 3 4], m
erupakan
basis d
ari ruang vekto
r R3.
3.Tentukan
dim
ensi d
an basis d
ari ruang vekto
r yang d
ibentuk
oleh
D. L
. Crisp
ina P
ardede (O
ktober 2011)
oleh
a). a= [1 1 2], b
= [1 2 5], c
= [5 3 4].
b). a
= [1 2 2], b
= [2 4 4], c
= [1 0 1].
c). a= [1 0 1], b
= [3 0 3], c
= [2 0 2].
46