+ All Categories
Home > Documents > A new algorithm for the intersection of a line with the ...

A new algorithm for the intersection of a line with the ...

Date post: 20-Oct-2021
Category:
Upload: others
View: 2 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
21
A new algorithm for the intersection of a line with the independent set polytope of a matroid Alexandre Skoda To cite this version: Alexandre Skoda. A new algorithm for the intersection of a line with the independent set polytope of a matroid. Bulletin des Sciences Math´ ematiques, Elsevier, 2009, 133 (2), pp.169- 185. <hal-00633952> HAL Id: hal-00633952 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00633952 Submitted on 19 Oct 2011 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es. brought to you by CORE View metadata, citation and similar papers at core.ac.uk provided by HAL-Paris1
Transcript
Page 1: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

A new algorithm for the intersection of a line with the

independent set polytope of a matroid

Alexandre Skoda

To cite this version:

Alexandre Skoda. A new algorithm for the intersection of a line with the independent setpolytope of a matroid. Bulletin des Sciences Mathematiques, Elsevier, 2009, 133 (2), pp.169-185. <hal-00633952>

HAL Id: hal-00633952

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00633952

Submitted on 19 Oct 2011

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

brought to you by COREView metadata, citation and similar papers at core.ac.uk

provided by HAL-Paris1

Page 2: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

� ��� ������ �� ��� ��������� �� � ���

��� ��� ���������� ��� �������� �� � �����

��������� ���

������ ����� ���� � �� ���� ���� ���� � �������� �� ����� �

������ ������ ��� ��� �� !� ������ �

��������

�� ������� � �� ���� ��� ��� ��� ������ �� ������ � �� ��� �������� �� �� � ���� �� �� � �� � � � ��� � � �� � � ���

�� �� ��� ���������� ��� ������� �� � ����� �� �� ��� � ��� ��� �� ���� ��������� ��� �������� �� � ����� ��� ��� ���������� �� ���� � �� �� ��������� �� �������� ���� ��� ���� ��� � ����� �� ��� ��� � �� ���� ������� �� ���� ����� �� ��� �������� �� ��� �������� �� ����� � � � ������ � ���� ��� � ������ �� �� ������� ������ �� ������ ��� � �!��"� # ���$ ����� �� ����� ����� ���� � ����� �����%� �� �!��" ����� ��� � ����� ���

�� ������ �������� ��� � ������� �� � ��� � ��������� ����������������

� ����������

��� � � ����� �� � ������ ������ �� � ����� ��� � � ���� ��� � � � � ������� �� ���������� �� ���� ������ ���� �� ��� � �� �� ���� �������� �� ���� ������ !" ����� ��� �� ���� ������ ��� ��#�� � � ��� �� � ������# ��������� �# � ����# �� ������ ���$���������

� ��� � �� � %&�� � ���� � ���� ��� ��� � � ���

���� ���� ��

��� ���'�� � �� � ��� �� ������� � ������ �� ����# �� ����� �� � ���

��� � �� �� ��� �� ������� �� ��� ��� � %� ��� ����� �� ������ � �� ������ ������ ��� ��#�� � �� ��

(�� � ��)�� � %&��� �� ������������ �� �� ���*���� +� � �� � � �

�� � ,� ��� �� ��#�� � � ��� �� � ������ �����)�� ,� ����"� -�� �� ����� ���� �� �� �������� �� �� ��������� ������ ����� �

���� � �.�� � � � � ���/ � � ������� �������� ��� �� ���� ���� � � ���� �� � ������ ����� � �����

0

Page 3: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

'� ��)� � ��� ������� ���)��� �1��� 2��# � ������ ������ �������������� � ���3����� ��� �� ������� �� �� ����� �1��� (�� ��*������� �� �� ������� �� �� ������� �� � ��� ��� �� ����3����� ��� ��������� ��������� 4�)���� ������ �������� �)� ������# ���� ������� ���)� �1�� � 5� 6"� 7"�� 2��� �� �� ��� �� ��.�����# ����� � 8�������� ����������� �� ��� ��������� ��� �� ������)��# ���� ��� ������� ����������� ���� ��#�������#� -� ��� ������� �� �� ��� ��� �� ������� �� �.��3����� �� � �� ����� ������ ���� �� �� ��#�� � � ����-� ����������� �� ��� ��������� �� ����� �� ����� �� �������� %� �����#� ��� ��� ������� ����� �� ������ ��� �� ��)���� ����� 9�)���������� ����#��� �� �� �� ��.��# �� ��� ������� ���� �� �� ������ ��� ������ �� ��)� �� ������� �� ��#����� �� ���������#� '� ��� ����������� ��� �������� �� ��� ��� �� �� �������� � ���� � � +� �� ��)���� � ���)�. ���������� �� �������# ���� ������ )������� ������� � � � ������ � ���� '� ����� ��� �� ������� �� �� ���� �� � �� ��� ��� � � 0� "��� ��� ��� � �� ����# �� ����� ��� �� �� �� �# : �����: � ����� ������ +� �� �� �������# �� � ���� ;� ������� �� ������� ��� � ��� ����� �� �������#� %� � �������� � �� <"� �� ���� �� ������� :����*����#: �� ��� ��� � '� �� �� �������� ��� )������� �� ��� ������ ��� ���� =� �# �������� �� �.����� �� �� ������ �� � ��������� �� �� ����������� �� ������� %� ����� �� ������ ��� )����. �� �� �� ����#� �� �������� ��������� �� ��.�����# ����� ��� �� ���)� ������ �� ������������� ��������� ��� �� ��� ��� � '� ��)�� �

������� ��� � �� ��"��� # $ �� $��%� $� �&&� ���� ��& �'� ��"��

�( ����� � �( � � ����� � ������ ���"�� ����# ��&� �( �� � �� �

� ��� ����� ) � ������" �� �� �� � >� �� $ ��� � �� � �� (�� �� ������

�����

%� ��� � ��� �� ��� �� � ����� ����� �� ������� �� �� �� ��������� ��� ��� � '� ���� ��� � ��� )����. ���� ��� �� �� ��� �� ����������)� �� ��� # �� ���� ��������� �# �� �� =�� %� �� �$��)����� �� �.�*�3� �� �� �������# �� �� ��#�� � � ��� �� ������ ��� ������� ���$������ �� �� # �� ����� '� �� ���� ��� �� �� ��=� �# �� ��� )����.���� ��� �� �������� %� ���� ��� ������ �� ������� �� �� ��.��# ����� ��� ������� �������� �)�� �� �� ��� ��� �� ������� ��� $�����#���)�������� �� ���=� ����������# ������� �� �� ���� ��������� �� �� ����+� ��� �� �� ��������� ��� �� ��������� �� �� # �� ����� ;� ����������� ��� ���������� ��� �� �)����� ����� ��� ��� �� ���� ��� ��=�� ��)�����

������� ��� � �� ��$ ��"��� $ �� �'��*�� ��������� � ������ (���

�� � ���&��+ �( � ���+ ��� � ����� � ������ ���"�� ����# �� � ���"�+���+����� �� ������� +� ) ��&� �( �� �� �����"� ���� �( � ��� ���� ������ ����� � 5 �� ) � �����"� ������" �� �� ���� �� ����� � �� � > � ���

?

Page 4: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

-��� ��� �������� ��� ������ �� �� ��� �� ������� �� � ��� ���� � ������� ��� � ����� �� � ��������� ��� � '� �� ���� ��� ������� � �� �� � ������� ��� � , �� ��)��� �������� �� ���� �� �)� �� �#�� ������ �� ���� � ��� �� ��� � (�� � � �� �� ��� ��� �

��� ���

��� �� ������ ���� �� ����� �� ��� ��������� �� ������ ��� �������� �� ������ �� ��� � �� ������ '� ����� �� ������� ��� � �� ����� �# �

���� �� ���

����

����/ � � �� ���� � ,

��

-� ������� �� � ��� �� ���� �� ���� �# @� A������ 0," �� � �������� ������� ��)�����������#� '�B� C������� 6" �� �� ���� �� ���������� �� ����� �� ������� ��� ������ � ����3��� ��� �� @� A������ 00"�B� 9� A���� D"� C��� ��� C������� E" ��� (� 8������ 0� ?" �)� �� ���� ���� �������� � ��)��� �� �� ��.��# �� '�B� C�������=��������# ��#����� ��������-� ���� �������� �� ���������� �������� ���� �.���� � ���$�� �.������ � � � ��� ��� ���� � ���� )������ �� ���������� ���� � ���� ���� ��#�� � � ��� '� ��)�� �� ������� ?� �� ��������� ������� �

0� %� � � �� ���� � ���� �

?� %� � �� �� ����� �� ���������� ��� � �# �� ������ �� )������� �� �������� �� �� ����� ��� ���� �� � �# � ������ )����. ��� �������� �� ���� �� �� ����������� �� �� )����� �� � � �� -�� �� ��)� �

��� � � ���� ���

�� ��� ����������� ���)�� �� ����� ��� ���� ��� �� ��� � �� ������ ��� ���������� �� �� ������� ���)��� ���� �� �� ��� �� ��������� � '� ��� ��������# ����� �� ������� ?� �� ������� �� � ������ ����� ����� ��� � ������ �� ������� �� �)� ������ ��� ��� ��

%� 6"� '�B� C������� �� ���� �� ������� �� � ��� �# ���������� ������ ��# ��� �� ����� 9�)��������� �� ����� �� �� �������� ��� ������� '�B� C������� ���)�� �� ��� ������ �������(�� ��� �� �� � �� �� ���� ��� ��# ��)�� � ��� �� �� ��#�� � � ����� ��� )������� ���$�����#� ��� �� �� ��� � � � �.��3��� ����� �����

;�� ������ ����� ���� �� �$��)����� �� ����3� ������ ��� �������� �� ��

$���� ��F������ 8�� '�B� C������� �� ��)�� �� 6"� ��� ��� ���)� �����# �� ��� ���������� �� �� :��� )������� ���$�����#: ������ '� ��)���� � ������ �������� �� ���� ��� �� � � �� �������� �� ��� �������� ������ G������� �# �� ��� ����� �� ����

�� ��� ��� �� �� �������� �� �������� �� ��� # �� ���� � ����*����� �# �� )������� ������ � � � ��� �� � �� ��� � ���� ��� �� �$������� �� � ������ � 0� 0 � � � �� �� �� '�B� C�������=� ������� 5"�

E

Page 5: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

�� ����� � �������� ��� H� ��� ��������� ��� ������� ��������� ��� �.*������ �� ������ '� ���=� ��� ��� ����� �� ����� � ��� )����. ����

�# �������� �� �.����� �� ����� �� �� <" ��� �� ��)� ��� �� )����.���� ��� �.��3�� �� ������ ��� � �� � ��� �� ��� ����� ���)� ��# �� ���� � ��������� �# ������ � � � ����

-� ����� 5�0 �� ������� 5�0 �� �� ������)� ������ � �� ��)� �� ��������� ����� �� �� $������# �

���� �� �������# �� � �� �� ��� ��������� �� ��

��������� ��� �� ��������� �� �� # �� ���� �� � ���)������ ����*�������� ���� ����� 8��������=� ���� ������ �� �� ��)� �� ������� 5�? ����� ������� ��� � �� �)����� ����� �� ��� 5 � ����������� �� �� ��� ���� � ��� ������� 5�5 ��)�� � ��)��� �� �������� ������ ��������� �� ��������� �� ���� ������ ��� ��� � � �� ������� ���� ����� �� �� ������������ �� ������������ ����� -� ������� �� �������� ? ��� E ��� �� �.�������� ��#�������� %� ������� 5� �� ���� �� ����� 5�0 �����=� ���� ��� ��#������� ������� �� ����������� ���������� ��� �� �������� �� ���.����� ��� �� )��# ���� ���� � ������ �� �� �$��� �� 0� ��� �� ��� ����*�������� � ���� �� ���������� �� ��������

� ������� �� � ����

4����� ������� ����� �� � ��� �� 4� (�G����� 7" ��� �� (���� � ��� �� 4���� <" ��� ��� �� ���� �� �� �������� �� ��)� ������ ����� �� �� ��������� ���� �� �� ������� ���� �� � ������ ��� �)�� � ��#�������� ���� � � ��� II� ���� � � � � ��� %&�� �� � ��������� ��������� ��� ������ ��� � ��� � � �� �� �)� � ��� � �� > ��� � �� � ���� > ����� '��� ��� ���� � , ��� � �� ������������� �� � � � ���� � ������ -�� � ��� ���� �������� ���� � � �� � ��#������ ���������� -� ��#�� � ������������� � �� ������ �# �

�� � �� � %&�/�� � �� ���� � ������

'�� � �� � ��#������ �������� �� ��#�� � �� ���� �� ������ � ��#�*������

'� �������� � ������ � ��� ����� � ��� ���� �������� � ��� �����������# �� ��� ������� � ��#������ �� ��� ������#��� ��� � ��� ��#*������ �������� ��� ��� � %&� �� � �����)� )������ '� ����� �� � ���" � �( � � ���& � �#�

���� � �� ���� �

���

����� ����� �0�

���� � � � ��� (�� � ��)�� � � %&�� ��� �� �� �� # ������ ������ �#�

�� �� �� � � � %&�� , � ���� � ���� ��� ��� � � ��� �?�

5

Page 6: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

'� �������� �� ������ ����� ����� �������3�� �# ��

���� �� �.

���

���� � � � � ��� ���

�� �E�

���� ����)��# � � �� ����� ���� �� � ������������� �������� �� �� '� �)���,� � , ��� ���� �.���� �

� , ��� ��� �� ��

� ���� � ����� -���������� ������ �� � ������ �����$����� �� �� ����� �� ������������ �� ��� ��#��������

����������� ��� ��� ��� ,'�& �# $� ��� � ������ + -

���� � ����

���� > ����"� �5�

%� 0?" �� ��)� � ������ ���� ��� � ������ ���� �� ���� )���� ��� � ��#�*����� ������� �� ���� ���# ���� �� �����������# �� ��� � ������ ������� ���� �� '�B� C�������=� ������� 6"�

�� �����$����� �� ������ �������3�� ��������� �� ��� ��)� ���������� ���� �� �������������� �����)� ��� �������� ������� '� ��)� ��� �������#�

����������� ��� .� �� � , � �� � �� � � � � � �� � � ������ �( � (��

$ �� � (��� ��� � ���� �� �� &�/���� ���� 0 � �� � ���%���� � �(

� ����� ����1�

��� ��� ����+ ���� �� ����� "��� ���� ��� �'�� � � ������ ���� �� �( �

��� � ���� � ����� > ���������� )( � � ��� ��� �'�� $� &�� ��� ���� � ���� ��& �� ��� �

���� � ������� > ������� ��& ���� � ����� > ������

����� � � �� �� �� � � � �� � � ��& ���� ������> 0�

!� ���� � # 0���1 ������ � � � � ���(��� � ����� ���� �� � �� ���%���� ��

, �� �� �� � �

����

��

�� � �

��

��

��

��

��

��

� � �

6

Page 7: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

������ ��� � �� � )���� �� � ��� ��� �� ����� ��� �������� ���� �� ����� ����)� �� ���� ����� -������� �� �)� ���� � ����� > ����� ������ > ������ -��� �# �����������# �� �� ���� �������� ��

���� ���� > ���� ���� > ���� ���� > ���� ����

� ����� > ����� > ����� > ����� � ?����� �6�

;� �� ���� ���� �� �)� �# ��������� �� ���� �

���� � ���� ���� > ���� ���� ��� ���� � ���� ���� > ���� ������!�

'� ������ ��� �6� ��� �!� �

���� � ���� ���� > ���� ���� � ���� ���� > ���� �����

%� ���� ������ �� � �� ��� �� � �� ��� ���� ����3��� �� ����� -�� ����� ����� �� ������� ��� ���� ��� �� ������� ��� ���� ��� ��� �

���� � ������� > ������� � ������� > ��������

%� ��������� ��� ��� ������ � ����)��� �� ���� ���� ��� �������� ������� ��� ����� �� �)� �

������ � ��� � ������� �<�

�� ���� > ���� � ���� > ���� > ��� ������ �� �)� �

���� > ���� � ���� > ��� ������ �7�

'� ������� ��� �<� ��� �7�� ��� � � � �

���� > ��� �������� � ���� > ���� � ���� > ��� ���������

�� ���� ��� ���� ����3� ����� ��� �� �$��)����� ���

������� > ������� � ���� > ���� � ������� > �������� �D�

(�� � � � ����� �� � � ,�� �� ������� �� � ������ ��#� ��� �<� ��� �7� �

������� > ������� � ���� > ���� � ������� > �������� �0,�

-� ���$�������� �D� ��� �0,� ��� ��� � �� ��� �� �� )����� ��� ��� � � � � ����� ������ ���� �� �� ������� ���� �� �� ��� �� �� �������� ������ (���.� ��� ��� �� �� ��� � � ��� -�� �� ��� ����� �� � ���� ��� ���� ������ -�� �� ���� ��� �������� ���� �� ��� ���� ������> 0�

����������� ��� � � ��� ����� �( &����� ���� + �� &� ������ � � ���"

�( � � ���& �-

���� � �0

���

������

����� �������� �00�

!

Page 8: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

-� ���� �� �� ������� ?�E ��������# ������� ��� �� ������� ?�?� 2���������� ��� �� ����� �� 0?"�

������� ��� � � ��� ��� �& � ���& ���� �� � ��� � ���" �� �

� ���& � -

���� � � ������� � �0

��� �0?�

������ ���� �� �������� �� �� ������ ����� ���� ���������� ��� � ���� ��� ��#������ ��� ������ �#�

����

��

, � ���� � ���� �� � ������ � ���� �� � ���

� ���� � ������.���0E�

(�� , � � � ��� �� � ��� ��� �� ������������ �� � ��� ��� �� ���*����+� ��������� �# �� � ����*������ ,� ��"� -�� �� ������ ���� �� ������ ���� ���������� �� �# +�� %� ���� ������ �� �� �� �������� �� ������� �� ��#�� � � ���� 2��� �������# �� �)� ����� � ������ � ������-��� ��� ��� � ��� � �������� � ����)��� �� �.�� �� ���� �� ������ ���� � ����� ��� � � ��� -�����

���� �����

���� >����

���� �����

���� > ������ �����

���� > ������

�05�;� �� ���� ���� ��� �0E�� �� �)� �� � ��� ������� � ����>����� ���� ����� -�� �� �)� �

���� � ��� ����� ����� � ��� ����� ������ �06�

'� �������� �� ���������� ������ ���� ��� ��� �� � �� ��� ������������ ����� �� �������� ����� ��� � � �� ���� � �� ��#������ ������������� ��� �� ��� �� ��� ���� -� ������ ����� ������� ������������� ���� ���� � ���� �� ������ �# �

�������

��

, � ���� � ���� �� � ������� � ����� �� � ����

������� � �������.��

�0!�

(�� �05� ��� �06�� �� ������� ���� �� �$��)����� ��� � �� �� ������� � ����� �� � ��

, � ���� � ���� �� � ��

���� � ����� �� � ��

�������.� > ����� � ������.�

<

Page 9: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

-������� ���� � ����� > ����� ��� � ��� -� ����� ����� ��� � � � � �� ����� ��� ��� �� ���)�� ���� ��� ������ -�� �

��� ������� � � ���� ��

%� ���������� �� ��� �� �� ���� �# ���)��� ���� ��� �� ��#�� �� ������� %� �� ��� ��#� ���� �� �������� �� ���� ��� �� ��#�� �� ������ � � � � ������ -������� �� �)� �

������� ��� 2� ��� ���� � � ���� ��� ���� �( � ������ ���"�� ��+ ������" � ���"�� ���� � �� ���# ,�� (�� � ��� ��& �( �� (��

� �� � 0 � �� ���+ ���� ������� �& $� � ���&�# � ��&���+��" �� �

�( $ �� ��� � ��� �+ &��������"�

� ������ ���� �� ����� �� ���� �� �

��� � � � ��� %& �� � ��#������ ��������� '� ������ �� ��#��������� ���������� ��� �� �� �� ��#�� � ������ �# �

�� � �� � %&�/�� � �� ���� � ������

� )����. �� �� �� �� �.���� ���� �� ��� (�� � %&��� �� ������ �� ����

����� ������ �� �� ������������� ������ ���� �� �� �������� �� �� ������ ����� �

���� �. �� � � � %&�/ � � ��/ � � ���

'� ������ ������ � � � � ��� �� )������� �� ��� '� ��������� ��� ��� )������� � )������� �� ��� 0 � � � �� �� �� �� ���)�. ��� �� �� )������ ���0 � � � �� '� ��� ��� ����� �� ������ ����� ���� �� ������� �

���� �

������ � !� ���� 0 � � � �� �� ,��

�� ���� � ����� �� � 0

� ������ �� ������ " �� ������ � �������� ����� �� �" � � � �� �� �����)������ �� � � � " ��� �������# ���� ������ ��� �� ���� �.���� � � , ������ �� ������ �#��� � ��

�� � "� �� ,��

��� ���� � ����� �� � 0

����� � ���$�� ��������� '� ���� � �� )���� �� �� ����� �������� �� ���#����

��� � �� � )����. �� �� ��#������� '� ��# �� ������ � � � ���*���� �� ���� � ����� '� �)� �� ��������� ���� ����� ������ �

7

Page 10: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

����� ��� )( � ��& � � � ��� �3 �" # �� ��� ��& ��� ��� �3 �" �

������ 8# �����������# �� �� �� �)��

������>������ � ������>������ � ����>���� � ����>�����

4� �$�����# ��� ��� ������� ��� ������ � ������ ��� ������ ���� ����

��� ������� � �� � ������� ������� ���� ��� �����������

��� ��

'�� �� ����� � ���

�� ���� � ��=�� ���# �������� �� ��������� �� � ,�'� ���� �� ��� �� �� �������� � �� ��� 4� " � �� � " � �� � ,��'�=�� ��������� ��� �)��# �������� �������� � ��� �� ��� " � �������� ��� ������� �"� � � H����� -� ��� H� �� )������� �� �� ��� �"� ��� ����� ���� �� ��� � � ���� ��� � � � � ��� �� �� ��#������ ��� �� �� �������� �� ��.�����# ������ �� ��� ��� H� � � � ����� ��� �� ��� ���������� ��� �� �������� ���� �� �"� �������� � �� ��"��� %� ! � �� ���� !� �� ����� �� ���� �.���� � � 4� " ��� ��� �� > ! �� ���� ������� -�� �� ��#! �� � ������ ����������� ��� ���� '� ������ �� �� ��� �� �������� %� ! ���# � �� �!� #� �� �� ��� �� ���� �.���� � � 4� " ��� ��� ! � �� � # �� ����� ��#� �� �� ������ ��� ! ������� �� �� ���$�� ������� �� �� ��#� ����������� #� -��� ���� �# �� ���� ��� '� ������ ���� !���

�� �!� #���

��� �� �)� �� ������ �� )����. �� ���������� ��� ��� ����%� �� )����. �� �� ��� � ���� �� �� ��� �"�� ��=�� ��)� �� ��������������� � �� � ���� ��� ���� �� �� )���� �� �� �������� �� 2��� �������#��� �)��

����������� ��� )( �� �� �� � ��� �( �"�# � �� -

� �� �$ � �/ �� �� �( �"� ������ � �� � $�

�� ��3 �" (�� ��� � � �%%�"�� � � ��# �� � �%%�"�� ����� � &����

������ �� �� �� ��� � ���� �� �"�� � �� ��� � �#� %� $ � �� ����� � �%%�"�� �� > $ �� � �� ������ ���� �������� $ ����� �� � �������-�� ���� $���

����� �� �� ��� �� �"� �� ������������� ��� �� ����������� �� ��� �� ��)� � �� ��*����� (�� $ � �� ��� �� �������� �� ���$�� �������'� �� �� > $ ��� �������� $� '� ���� '� �� � ������ �� �� %������ �� �� �� �� �� ��������� �� ��# ��������� �� ��� ��� �� ����)�� � '�� ����� $���

�� �� ��� �� �"� ��� �������� �� �� ��������� �� $� �� ���������������� �� ���� ���� $ � �� '� �� ��*���� ����� ���'�� � �'���0 � ��'����� '� �� � ������ �� � ��� $ � �� � �� �� ����� �� �� ��*���� ���� '��-������� � �� ��*�����

D

Page 11: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

����������� ��� )( � ��� �' �� �� �� � ��� �( � "��� �"�# � ������ ���� ��� � �� �� ��� ��& ���� �� � ����� �( � ���� ��� ��

������ ��� �� �������� �� ��� � ������ �� �� ������� E�0� -������� ���)� �� � �%%�"�� ����� � &���� �� � �

���� ���� ���

���� �� � 0�

�� �����# �)� ��� � � � �

���� � ���� �

����

������� �

�� ��

��

��

� &��� � &���

��� � , �� � �� �%%�"�� ��� �������� �� ������� �������� �� � �����

��� �� ��� �� ��� �� )����. �� �� � ���� �� �"�� '�=�� ��)� ����������� �������

����������� ��� )( �� �� � ��� �( �"�# $� ��� ,�& (�� ��� �� � �# � ,�� �

�� �� ��& $� ,�� � (������ �( ��� ���� �( � ���# ����������& ��

������#

��� � �� ��� � $�� ��-

�� ������

���

� ����

��& ��� � �� � ������� � � � �����

������ '� �������� �� ������������ �� ������� ��� �� �"� ������������ �� ��# ������ � � �� 2��� �������#� ��� ��� ������ � � �� ���������� �� ������� ��� ���������� �� �� �� '� ������ ' �� ��� �� ������� ������� ��� ��� � )����� �� �� (�� ��� ������ �� �� ������� ����� ����� ��� � ������� �� ���������� �� �� ��� '� ������ '� ��� ������� ������� ��� ���������� �� �� ������� � � � ��� ��� �� )������� ���"�� (�� ��� �.�� ������ �� � �� ��� �������� �� �� '� �� '� ��������� ��� � ������ �� ��� ���� �� �� ���� � �.�� � �� ����� � � ������������� �� �� )������� �� '� ���� ������ �� � ��)�� �������� �� ��� ���� ������ �� �� ������ ����� �� ��������� ���� �.��� )������� �� ��� �

��� ��� ��

� � �� > ����� ��� ��� ������ ��������� � ?� �� ����������

��� �� �.������ �� ���� �.���� �� ��� ��

� ��� ��� ��

� � ��>����������-�� �� �)� �

�� � ��

� ���

����� � ���� � �

� ���

��� ? � � � ��4���� ��� ���� � �$��������� �� ������ �

�� �

����

���

� ����� �0<�

0,

Page 12: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

'� ������ ��� '� �� �� �� ����� ��� �� ��.�����# ������ �� �� �������� �� � '� ������ �# �� �� ��� �� ���� �� �� �� '�� '� ������������� �0<� �� ������� �

�� ������

���

� ���� �07�

����� �� � � �(� )�� � �� �)� �� �� �� ��

� �� � > �)� (�� %� � � ���� )�� �

��� �� ) �� � ������� �� �)� �� �� �� ��

� �� � > �)��

� ������ ����� �� �� ����� �� ���� �� �

��� C��)������� � � � ���� ������ �� ���)�. ��� ��������� �#������ � � � � ������ ����� �� �� ��� �� )������� �� �� ��#�� � ��� ��� " �� � �������� ������� �1��� 4� ��� " � �0� ?� � � � � �� ��� �� �������� �� # �� ���� � ����$������ ���� � 0� ��������� �# �� )������ �� � %&�� ��� � � " � ��� ����

�� � )����. �� ������ ��� ��� ������� � �.������ �����*%� ������� � 0� �� # �� ���� ������ ���� �� � ����� �� �� ��#�� �� -�������� �������� � �� � �����*%� ������� � 0� �� )����. ���� ���� �������# ���)� �� # �� ����� ����� �������� �� ��#�� � � �� C��)������� � � � ���� ����� ��� ��� �� ��*���� �� # �� ���� ��������� �# ���� � � � ����������� � � � ��������� ���0 � � � � ��� �� �� �� ��� �$������ ����� � 0 �� ��� -� �������������� �� ���*���� +� ��� �� ��#�� � � �� � ���� ������ ��� �

� ���� � �

� ��

�� ��)�� �# �

��

� ��� ���� ��������

0

�����0D�

������� � � ���� ��� �

������ �� ������������ �� +� ��� �� # �� �������

-��� �� �� ����. 0 � � � ��� ��� ��

� C��)���� � � � � ���������� � � � � ��� ������(�� �0D� �� ������� � �� ��)�� �# �

���� � �.� ���� ��������

����

��� "�

������ �� ����*����. �0� ?� � � � � � � 0� � > 0 � � � � � > 0� ��� �������� # �� ���� ��� -�� �� �)� ��� � ��� �������� ����� "

��� ��

� ��-� ����� �� �� ��� ������� �� �� ������� ��� �������� �� ���� �� �����.���� � )����. �������# ���)� �� ������� # �� �����

00

Page 13: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

+�

����

����

��

��

��� � !� � ����

�� !��� � 0 �� �� �$������ �� � �������� # �� �������� �� �)� �� ���)� �� ��������� ����� � �. � !� � � ����� ������������� ���� � ���� ��� ��� � � �� ��� �� ��������� ��� ��� ���*��� �� � � � ����� �$��� �� �� �������� !� �� �� �$������ �� ��# �� ����� -�� �� ��������� )����. ������ ���� �� �� ���� ������ ���.��� ������ %� ��� �� ����� ��� �����=� �����# ������� !"� %��. � !� � �� 0� �� �������� )����. �� ��� �������# ���)� �� # �� �����4� �� ������� �����

'� ��)� ����� � ��� ����� ������ ���� �� �� ������� ����������

��� �� � � � ���

�� *��� �����

�� *� � 0� C� ��� �� �$���������� �

���� !��� � 0 �� �� # �� ���� � ��������� �# ���� � � � ����� (���

���� �������� �� � ��.���

� !� � �

�� � �� ���� � �����

%� ������� � 0� �� �� ��� ?� �������� �� �� ��� E���� �� C������� ��� �� ���� �� �� ��� ���� � � � � J��� � � � ���������� (��� �� > 0� �� ��� �� ������ �$������ �� ��� ��� ������ � 0 ��� 0 � � � >0 ��� � �� �� @������� � �� >0 ��� ��� ���� � �.� ���� �������� �����

C���� �� �� ���� ��� � �� ��

� �����

� A� �� ��� 0�

��� �� ���� �� # �� ���� � ������ ���� �� � ����� �� �� ��#�� ��

'� ��� ����� �� ������� ��� �� )������� ������ ������ �� �� ������� ���� ��� ���� �

���� �� ��� � � ���

��� ��� '� ��� ������� �� �� ��.��# ��

��� �������� ��� ��

�� �� ��#�� � C��)���� � � � ����������� � � � ����������� �)� ����������� �� ������ �� �# ����� ��� �� �

� C��)���

�� � � � ���

����� �

� �� �� ��� � �� � ��� ��

� �� ����� '� ������ �# ��

� �� �$������

�� �� # �� ���� ��������� �# ��

�� � � � ���

������

���� � � � ���

�� � ��� ��

�)�

� ���� ����� ��� �$������ ����� � ��

���� � 0� -������� ��# ������

0?

Page 14: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

�������� ���� �.��� ���� ������ )�� 0 � � � � � �� � ��� ������

� � )��� > �0� )���� ��� � �� �

��

� � ���?,�

-� ��������� ��

������� � 0 ��������� )��

)� ���������� 0

��������� ���������?0�

B���� �� ������� ��� �?,� ��� �?0� �� ��� �� ��� ��

� �� ��� �� � ������ �� �

�=� �� ��� �� �� ��� �� ��=� ��� ���� ��� ������ ���� ����.��3�� �� �� � ��� �� ��������� �# �� �����# ������� �� ��� � ��� ��� ��� � �� ������� ��� �� �� �>� �� %� + �� �� ����� �� ������������ �� �������� ��� �� ����� ������� ��� ����� �>� �+�� (�� � ��� �������� �� ������� ��� �� �� �+� �� � �� � ��� � ��� ��

%� �� ��.� �������� �� ��)� ���� ��� � � ����� ������������ ����� ���������� �� � ��#����� ��� ��������

��� ���� � �� �������� �� �� �������

��� , � ��

������ �� �� ���#������ �� �� )������� ������ � � � ��� ��� ���

H� ������ �� ������� ������������� ��� ������ , ��� ����� � ��� , �� � 0 ���� ��� 0 � � � � ��� �

� ������ H������ C��)���

����

�� � � � ���

�� �� ������ �� C��)������� � � � ���� �# �� ������� ������������� H�� -���� �� � ������ �� C��)������� � � � ����� '� �)� �� ��������� ��������#�������

����������� ��� � � �������

����

�� � � � ���

�� �( ��& ���+ �( � ��� � $�� ��

� ���

�� *��� $� ��

�� *� � 0 0 ���� � � �������� ��� � � � ����1 ��&# (��

0 � � � -

*� 0� �

��� �������+# �( � � 0� ��# �� *�

����

%� ���� ������ �� ����� �� C��)���

�� � � � ���

�� ��� �� � �������� ���

����� �������# �� C��)���� � � � �����

������ -� ��� ���)�. ����������� � ���

�� *��� ���

�� *�

���

� ��)��� �������� *� � �*

� > ����� *

� , �� ��� �$��)����� �� *� ����

'� ������ ����� ������ �� ��� �� )������� �� �� ��#�� � �� ������������� �� �������

������� ��� ! � "���� � �� �( � ��"��� # �� � &��� � � ���� ���

�( � ��� +�������� "����� �& + � �� �( ��� ���� ������� � � � ����

0E

Page 15: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

�( � ���+ ��� �� ��& �� ���� &��� � � ��� �' �� ����� ��� � - ���.������ ���� � �������� � �� -

- � 0 �0

������

0

��

������ '� �)� ������� � 0 �%� ������� � 0� �� ������� ��� ��� '���� �� ������� ��� ���������� ��� �"� �� ������� E�0� '� �)� �������� 1�� ������� E�E� ��� ��� ������ �� �� �� ��� � �� �� ������ ���� �� �. ������ �� � �� �� �� ��������� ��� �

�� ������

���

� ���� �??�

���� �� �� �� ��� �� ���� �� � ������� �� '� ��� �� �� �� �� �"�� ��

�� ��� �� �� )������� �� =� ��� ��

� �� � )����. �� � ���� -� )����. ����

��� ��� ������� �- ��� �� �. ������ �� �

���� �

����

.��� �?E�

���� .� � , �� 0� 8# �??� ��� �?E� ��� ������� ����� � 0� �� �)��

������� �

����

�������

.������

��� 0�

� �-� �?5�

�� - ����

��� �?5� � �����

�- � 0�

�� ��

��

.� ��� �

� �

����

�������

.��- � 0�

� �- � 0� > 0�

'� ��� ������� ��� ���� ���$�����# �

�- � 0�

�����.� ��� � � 0

� 0 �� �- � 0� �

��

���

�� ��� ����

�� � ������� �� �� �"� �� �� ��� �0 ����� �� �)� ��� � � ���

�� .��� �� ��3� �� ���� ������� ������� �� ������ � � �� �)� �����# �

- � 0 �0

������

0

��

-�� ������ ���� ��� ����#� ����� �� ������� �� �������� ��

�� ����� ��

����� ��� �� ����� �� �� ���� ��������� �#��� � � � ��� ��� �� ����� ��� 00���������#� �� �� �.���� � ��� ��� �

� C��)���� � � � � J�� � � � � ���� ������ ���)� �

�����

������ *�

��� �������

������ *�

� � 0� *�

� , ��� *�

��� ��� �� ������ �� �������� ;� �� ���� ���� �� ��� �������� �� ��������� ������ �

05

Page 16: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

����� ��� )( ��

�����

���� �� *�

���# �� -

��

�� 0 > *

��� �������� 0" � 0 > *�

��� �- � 0��

��� �������+# �( *�

��� ���# �� / �� �

� � ����

������ ��� � � � ���

�� *��� �����

�� *� � 0 ��� ��� ���� � 0 ����

� ��

�����

������ *�

��� �������

������ *�

� � 0� '� ��� �)� �

����

� �

��������

*�

������ > *�

���������� �

��������

*�

� > *�

����������

�� ����� � 0 ��� 0 � � � � -�� � ���� �����

������ *�

� > *�

��� � 0��

����

� � ��

��� � 0 > *�

��� �������� 0"�

;� �� ���� ��� ���� � ���� � 0� %� ������� �

��

�� 0 > *

��� �������� 0"� �?6�

�� �� ����#� �)� �� �� �� )���� �� � ��������� �� ��� ��� � �� ����������� �� �� �������� � � �

������������ �

��� �

�� -�� �� ����#�

�)� � ��

� %� �� ���� �)� *�

��� ���

� �� ������ ��

� 0 > �

��� ���

��

� � ��� �

���

��� ����������� �������

%� �� ����#� �� *�

��� ���

� ��� 5�0 ����� � �# �� ������� ��$������� ��� � ����������� %� ��� ������� �� ��� �� �� �F����)��# ���� �� ��� �� ����� ������������ ����� ��� �� �������� � 8�������� ��������������� ���� �� ��� ���������� �� �������� �

� � �� ���� �� ������� ��� ���

2��� �������#� ����� *�

��� ���

��� �� ���� ��� ��� �� �������# �� ������ �� �� ��#�� � ��� ���������# % ���=�� ������ �� ����������� ��� ���������� �� �� ����� �

��� �� *

��� ����

��� ���������# 0 � 0 � % ��� ���������� �� ����� ��� � �� ��� ��� �

� � � �

����

*���

���� *� , ��� 0 � � � �����

�� *� � 0���� % ������ �� ���������# ��� � ������� �� �� ��� �

C��)���

�� � � � ���

�� �

�����

*��� �

����

*� � 0� *� 0� �

��

06

Page 17: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

� ���������� )���� ��� % �� ������ �# �

% �K�����

���� *��� �

���� *� � 0� *�

�����

K�������

�� *��� ���

�� *� � 0� *� ,��

���� )����� ��� �� �� � �0�*���������� � ���� -�� % �� �$��� �� �� ��*��� �� �� )���� �� H��C��)���� ��� � � � ����� �� �� )���� �� C��)������� � � � �������� H� �� �� ������� ������������� ��� ������ , ��� ����� � �

% �K�����H��C��)������� � � � ������

K�����C��)������� � � � ������ �����

�� � ��)�� ��� �� �� �������� ��� �� �������� ���� ��� ���# ��� ������*������ �.������� ��� ����� -� ���� ���������# �� �� �)��� 0 ��� ��� �

� �

����

*����

����

*� � 0 ��� *� 0� �

��� 0 � � �

��� ���������# %� %� ��� ����� ��=�� ��# +� ���� ��� ����� ��� ���������# �� �� ����� ������� � � � ����� -� ������ ���������# �� �� �)���, ��� ��� �

� �����

*��������

*� � 0� *� , ��� �� ��� ��� *� �0� �

��� ���������# 0 � 0� %���� + ������ �� ����� �� ���������� �� �� �������� -�� �� ����*�������� � ��� �� �������� �� �,� 0�� � '� ����� �� �)��� 1 �# � ����� ����#1 � �1�� 1�� � � � � 1� � ���� 1� � , �� 0� %� 1� � 0 ��� � )����� �� �� ����� ���������# �� 1 �� �

� ��1�� � %�0����

-� ����� )������� 1� ����������� � �� 1�� ������ ���� �� �� �*� ��#*�� � �� �� ������� ��� �� �$��� �� 0 �� ��� ���� ��� ����� ��� ���������# �� �� ���� �*�

����

��� 0 � � � � ��� �� �$��� �� , ���������'� �� ��� �� ����� )�������� 1� ��� ���� ������� 9�� �� ���������� �. ����� )���� �� ��������� �� ��� ��� �� �� 1� � 0 � ��� �� +� ������� ����� ��� �� ����� �� �� �������� ����� �� �� �*� ��#�� �� �� ������� �� �� ����� / ��� ���������# % ���=�� ���� ����� / � �

���� ��������

�� ������� �� , ��� ���������# 0 � 0 � %� ��� 2 �1� ������ �� ��������������� ������ �� �)��� 1 ���� �� �� �)� ����� + ��������)� ��#�� ����'� �)� �

2 �1� �/

�� ������ �� �)��� 1� 1� � 0 ��� � ��� � ��� 1� � , ��� �� + � � ������� �� -� �. ����� )���� �� ����� �������� ����� + ��� � �� ��� �

��2 � ��

�/%�0��� �����

�/' ��%

�0��� � /����

�' ��%

�0����

0!

Page 18: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

' �� �� �� ����� �� �)���� ��� ��� ���� �� ���� �.����# � ���� ��*

�������� '� ��� �� �� ��������� 8�������� ���� ��� �� �� ���# �� �� ����� �. ����� )����� @�F����������� �� ������� �������#

���� '

���

����� ��� > ��� ��� ��� ��� �� �� �� ������� ��� � � % ��� � � 0 � 0 � % ����������� ������ �

��2 � /����

�' ��%

�0��� � /+%�%> 0���� � +%/�

-� ������� ���� ��� ����� + ��� � �� �)����� ��� ��2 � 0� �� ��������� �� �)����� ����� + �� ��� � �� �� ������� )������ �

+ �0

%/�

��� �� �������� ��� �.� �� � � 0 � ��

� ��� �� �)� % � �0 � ��

���� ������������� �� ��� 5�0� / �

��� �� �0 � �

��� �� � ������������� ���������

�� �)� �0 � ��

�� �0 � ���� � �

� -� �)����� ����� �� ��� � �� ���������� �#�

+ � �

�0� ��

����� 5 ��

������� ��� � �� ��"��� ���& �� �'��*� ��� �( ������� (��� ��

� � ���& ���+ ��� $��� ��& �� �����"� �( �� � ���� �( � ��� ���� ��

�� ����� � 5 �� ) � �����"� ������" �� �� ���� �� ����� � �� � > � ���

'�� �� ��� �����# ��������� �� ��� �����3��� +� ��� �� �� � )��# � ����� ������� ��� ������ �� �� �������# �� �� ������� ���)�. ���� 4� �� �#� � �� ������� �� ���� ��#����� �� ��� �����

��� ���� � � ����� ��� � ���

'� �)� ���� ���� �� �������# �������� �� ������� �� �� ������� �� ������� �� � ���� ��� � �#��� ��� ��� �� ��$����� �� � ���������� ��� �� ������ �� � ���� ��� � �#��� �)��� � ���� )����.� %� ��� ���� ������������ ������� ��$����� ���� �� � ���������� ��� �� ���� �� ������� ������������ �� �� �#���� 8�� �� �� ��)���� ���������� �� ���� �� ��$���� ������#�� �� ���������� ��� �� ������ �� ��������� �� �� ������� ����� -� ����#�� ���� ��������� ����� ��)�� ������ ���� � ����������)� ���� �� ����������� �� ��� � �� �� ������� �� �� ���� �� � ������� ��� � %� ���������� �� ����� �. ������# �� �$������� �� �� ������ ���� ����� � 0 �� ����F����� ������ ���� � � � � J��� � � � ��������� �� �� ��#�� � � ��� )����������� � � � ��������� ����� A������� ���������� �� �� ��� �� ��)���� ��� ����.� '� ��� ���� �� ��� ��� � �� )����. �� �� �)� �� ������������ ���� �� �� �.��3�� � �� �

�� �! " ���� ���� ���� ��������

�� �!�

0<

Page 19: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

'� �)� �����)�� ��� ���� �$������� ���# � ������# $���� �� ��� ��*���)��� � ��������� ��������� ������ �� ������� ��� �� ��� �������� ���� ����� �� ����� ��� �� )�����# �� ��� ����� �� �)� �� �������� ��)��� �� ��� ��)����� � �� ���� ������������� �� �� �$������� �� ����� ���� ��� ����� ��� �� ����� ��� �� 0?"�

��� � ������� ���

'� �)� ��� ��� �������� ����� ��� ��� ������� �� �� ���� �� ���� �� ������� -� ������� �������� �� ������� ���� �� �� ��#�������� � ����� �� ���������� �� �� ��� '� �)� ������� �� ����� ������������ ��� �� ��3� �� �� ���� ��� ������ ������ �� �� ���� ������������������ ��� �� �������� '� �)� ���� ��������� �� ���� )����� ����F����� �# �� �������� �� �� ����� ��� �� ��� ������# ��� ������#

�� � ��� ����� �� �$��� �� ����� �������� '� ����� �� ��� �� ��� ��

������� �� � ��� �# ��������)� ������������ �� ���� ���� ��������� ������� ?�0� -������� �� ��3�� �� �� ��������)� ���� ���� �� ���� �#�� ������� �)� �� ��L����� �� �� � ��� �� ��� � ����� '� �)���� �)� ��$������ �� ����� ��� ��F����� ��������� (�� ��� ��$������ ���)� ����� ��� ?,,, ����� ��� � ��� �. ����� ����� �� ����� )��#���������� �� � � 0 ��� �� ������

� � %� �� ��������� ������ �� ��)� �� �)�����)����� �������� ��� ���� ��F����� ��$������� ��� �� ������� �� ��3� �� ������ ���� � �� ����� �� �����������

�������� ������# �� � ��� ��� ����� � � � ���� � � ���

��� <5 76 E 5M 0?!6 0,,M D5M� 0, ����������# 67 005 5E E7M 6,70 0,,M E7M

�� 0? !? 6D D!M 0,<E 0,,M DEM

��� <6 7< E 5M 076? 0,,M D,M� 0,, ����������# 67 005 5E E7M 6550 0,,M EEM

�� 0? 6D 67 D<M 0,E? 0,,M 7DM

��� <, 70 E 5M 06D0 0,,M D?M� 0,,, ����������# 6< 00E 55 EDM 6EDD 0,,M E5M

�� 0? !0 6D D<M 006D 0,,M 7?M

-� ����� �� ���������� � ��� ������� )��# �� ��� �� ����#� ������������ ��� ����� %� �)������ �� ����� �� ���������� ��� ��� �� �� ���*���# ��� � �� �������� �� ����� �)� ���� �� ����� �� ���������� ��$�������� ����������# ������# ��� �� %� �)����� �� �������� E?M �� �� ������� �� ��� �� �� ������������ �� �� �������� (�� ��� ������# ��� ���� �������� ���# 5M �� �� ����� �� �� ��� �� �)����� ������� ��� ��������# ��� � �� �������� ��� ��� D6M �� �� ������ -������� �� ����*��� ������� ��� �� ����� �� ������� ���� ��$���� ��� ���������� �� ��

07

Page 20: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

������� ��� � �� ������# ��� � ;� �� ���� ���� �� ���� ������#��$���� ��# ���������� ��� � ��� ������# ��� � 9�)��������� �� �� �*������ ��� ����� ���# ���� ����� ����� ��� ������� �������� �� ����������� ���� ��� ��� ������# ��� �� '�� ��� �� ������� ��� �$��� �� 0 ��

(����� 0�

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

0 50 100 150 200 250 300

ni

n

"meth1r1.txt" using 2:4x**2

����� �� �� ������� �����# ������ �� ���)�� %� �� ��� �� �� ����� 0� ����� �� ����� �� ���������� �� $���� ����� ��� � ��� ������� ? ���� ���� ������� %� �� ���� �� ���� ��� ��� �� �� ������# ��� �� 2��� �������������� ��� �� ����� �� 0?"�

� ��������

'� �)� ���� ���)���� �� �� ����# �� �� ������������ �� � ���*���� ����� ���� ������ ��� ��#�� � �� � ������ �# ������ �� �� -��������*������ �������#� ��������� �# �N��J�� A������ ��� ���.����� �������� ������ ������� �� � ������� �� � ������ �������� %� ��� � ��� �� �)� �� ���� � ��� ���������� ��� )��# �� �� ������� ��� ��� ������ '� ��)�� ��� ������� ��$����� �� ���������# �� ��� 5 � ����������� '��)� ���������� �� ���������� �� �� ����� �

���� �� :�����: ��������� ��

��� ��������� �� �� �������� '� ����� ���� �� ��)� ��� ��� ������� �� ��#����� ��� ���� �� �� �� ��������� �# ��� �������� ������ �� �� � ������ ��.��#� -� ��#�������# ��� �)������ �� ��� ������� �� ����������#��� �� �� ��������� ��������� �� �� ���������� ��#�� ��� -�� ��� ���� � �� � ��)� �� �� ��.��# �� ��� ������� �� �� ��� ���������)� ��*������ ����� �� � ���������� �� ��� ��#�� ��� (�� ��������� ������������� � ������� �� ������� �� ��� ����#� �� ����� �� ������� �� ����#��� ������� ��� �� ������ ��#�� �� -� ��� ������ �� ��� � ���� � ��� �� # ����� �������� �� 1���� ! O��)�����#� % � �������� �� #��)���� 1�������� �� (���� � ��� )������� ����������� ��� �������

0D

Page 21: A new algorithm for the intersection of a line with the ...

!��������

0" (� 8������� 4� ������� ��� �� ������� �� �� � ������ ���� ��#*�� �� ����� ���� ������� .� ���� 0?�?,0P?,5� 0DD?�

?" (� 8������� 9������ ������������� 4� �� ���� ���"����"�0,6�?PE��070P?,,� ?,,!�

E" �� C��� ��� '�B� C�������� � ������ ������� ��� �� ������� ������� �� � �������� )�(��� ��� ���������" .� ���� 5D�?,DP?0?�0DD5�

5" '�B� C�������� -������ ������ �� ������ ��#����� 5�������( ����� ����� � ���+# ������ 6� E!�0!0P077� 0D75�

6" '�B� C�������� ; ���� ������ ��� ������������ �� � �������� 5�!�4� E?�E��65DP6!0� 0D76�

!" �� ������� 2������� ��� �� �����# �������� 4� �� ���� ���3

"����"� 0�0?<P0E!� 0D<0�

<" �� (���� � ��� �� 4����� 4������# ��#����� ������� ��� �� ��*���������� �� � ���� ��� � ��#������� 6��% �&� �& �� � �������� �(

6��� ��& 7�� �8� 9: �� &�+ 0 � � ����� �&1� ?,,7�

7" 4� (�G������ ���&���� (��� ���� ��& �� ��*� ���� )���� 67 �� !�3���� �( &����� � � �� ���� ����)���� ?,,6�

D" B�9� A����� �������� ��� ��� �� ��#������� ��� �������� (*����� 5� !�"��� �� ?!�57P7!� 0DD7�

0," @� A������� C�������)��# ��� ����*���G���� � ������ ������ )�(��� ������������" .� ���� 0!�7<P7D� 0D7E�

00" @� A������� C� ����� �� ������� �� � ��� � �)!4 5������ ��

���� ��"� ?,�5��!EDP!65� 0DD0�

0?" �� 4����� ����� &8�� "��� �# �� ������� � (��� ���� ����3�&������� -

����� � � ��� ����� � ��"��� ������ 1@ ������ O��)�����N� 1����� ��2���� C����� 1���� !� ?,,<�

?,


Recommended