+ All Categories
Home > Documents > A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

Date post: 03-Jan-2017
Category:
Upload: doankiet
View: 213 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
15
Transcript
Page 1: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

� � ���������� ���� ���������� ����� �!�#" ���$� % �&�$��'(�)�*�$,+-(.0/ ��� � 123� - ��546�7+�8 � / � �9������:���$�<;=�>�

? �=46�<�>��� - � �@��&� A BC����� �$,+��

DFEHG E$IKJFLNMPO QRTS#UFSVXW5Y!Z![N\^]`_a\cbd\PW5ePf^g�h�\iY<jk\iemlonpW5qTrHjts5Y5l�u!Swv$x<y{z<|

DFEH} E7~&�!�c�PL��k�!���S�YFW![�]�j���f�W![�U2\iei����f�\cb*W5YF����W!jk\iei��W![�b�l��iY7f���lon�W5qTrHj�s5Y�l*u�S�v$x<y5y5y

�(���������¡ �¢�£t�¥¤5¦¨§���©^ ª¤��¡«5¬P£t¬�­�®k¬¯ ±°�²����¥�¯¦´³5­��¥�µ¬k �¶�·��¸�d��¬¹®k·i¤d¬�¦oº¼»¨½{¾¿�¼ÀÁ¦Â��°Ã²�£t¬c°�¬�­i�µ¬P¤`ÄÅ·�£°�·���¶i�¸­Æ¢���Ç�¬�¬c�¥�¥��²�����®ÉÈi­Æ¤*²�È�£tÈiÊ�·��¥��Ëk¬P¤pÄ�·�£k�Ì·cÄÍ�tÇ�¬É¬cÎÏ�ÆÈ����¥·i­Æ°¼¢�·c¶�¬c£Ð­Æ�¸­�¢T��Ç�£t¬c¬k �¤d�¸��¬�­�°���·i­�È��Ŧ����£kÊd�Æ�¥¬�­i�¯¦d®kÈ��¥·�£t��®kÈ��¥��Ñ*²�¬P£µÄŬc®k�ÂÈi­�¤ ­�·i­� �¬PÎ����¥���¸Ê�£t�¸����®kÇ�¬m����®kÈ��¥��Ña£�¬cÈ�®k�µ�¸­�¢�§{·cÒ�°kÓÉÔ�Ç�¬Õ°�²�È�®¯¬��È�£t®ÐÇÆ�¸­�¢�È���¢�·�£t�¥��Ç���°Õ¤d¬P¶�¬c�¥·i²�¬c¤0��·����Õ²�£t·P¶�¬a®k·i­�¶�¬c£t¢�¬m­�®¯¬�£tÈ��µ¬�Èi­�¤Ö·�£#£t¬c¤{��®k¬a®k·i�Õ²d�Æ��Èc ����·i­�È��®k·�°µ�#È�£t¬ ¬m�Õ²dÇÆÈ�°��¥Ë¯¬P¤5Ó&Ô´Ç�¬�È���¢�·�£t�¥��Ç���°#²�£t¬P°µ¬m­���¬c¤0È�£t¬�¬c©i�µ¬m­Æ°��¥·i­Æ°#��·��tÇ�¬�®k��È�°�°T·cÄ�¸�Õ²����¥®k���H²�°�¬���¤d·c �������¬´����¬c£�È��µ�¥¶�¬�¦Ï�d²�Ò��¸­�¤�°�²�È�®¯¬k ���È�£t®ÐÇ���­�¢´°µ®kÇ�¬m��¬c°kÓ5�Öı�����dÈi²d²�£t·c©i����È���¬�°���·�£µ È�¢�¬i¦�ı�����7�����¥�µ�¡ �¢�£t�¥¤#°µ®kÇ�¬m��¬¨�¥°¨È��¥°�·Õ¤�¬P°µ®k£t�¸Ê�¬P¤ÕÒ2Ç��¥®kÇT�¥°���°�¬c¤#�µ·ÕÈ�®k®k¬c�¥¬c£tÈ���¬���Ç�¬�®k·i­�¶�¬c£t¢�¬m­�®¯¬·cÄHÈ#×ÂÈi�Æ°�°� �Ø�¬c�¥¤d¬c�d£t¬c�¥È�©iÈ��µ�¥·i­���¬c��ÇÆ·i¤5ÓHÔ´ÇƬÙ�����¥�µ�¡ �¢�£t�¥¤#È���¢�·�£t�¥��Ç�����°Â°�ÇÆ·PÒ2­T��·Õ°���¢i­��¡³!®kÈi­����¥Ñ�¸�Õ²�£t·c¶�¬Â®k·i­�¶�¬c£t¢�¬m­�®¯¬¼·i­TÇ��¥¢iÇTÈ�°t²d¬c®k�H£tÈ�����·É¢�£t��¤d°kÓÚiÛ¿ÜdÝdÞ2ßÂà¨á!Üdâ�ÞHÛ

ã�ä¯å�æ�ç�ètékê�ékë�ìií�ëdékî�æ�ëdï�ë�ðiñkñkò�ékîóékç#ô�ò¸ð�õ�ékï÷ö�õùøÏõ�úô{é¯å�î�ð�ëdí�ä9ûiékødí�äkò�ékî�ðiô!ékåtæ�ê�é9í�ë æ ûÏí�îµäkðiüdî�î�ü�ô{ékåýúî�ð�ëdí�äPþ�ø�õ�ô{é¯å�î�ð�ëdí�äTÿ{ð���å�ékì�í¸çTé � ãÆüdätø ä¯ðiëdïdí�êµí¸ð�ëdîÉæ^ò¸ò�ð��ê�ødé¨üdî�é2ð��$î�ô{æ^äkétú�ç�æ^å�ätødí�ëdì�î�ð�ò¸ü�ê�í�ðiëÕæ�ò�ìið�å�í�ê�ø�ç#î��2í�êµødðiüdêæ�ïdû�ékå�îµékò�õ#æ��5ékäkêµí¸ë�ìÕê�ødé�{ïdékò�í�ê�õÕð��$êµødéÂäPæ^ò�äküdòÅæ�êµí¸ð�ë�2ødékëê�ødépÿ{ð��,í�îÕîµê�éPæ^ïdõ=æ�ëdïÖüdëdîµékô{æ^å�æ�êµékï&í¸ëÖêµødé�ç�æ^å�ätødí�ëdìïdí�å�ékä¯ê�í�ðië ��� ü�ç#ékåµðiüdî�æ�ò�ìið�å�í�ê�ødçTî2ø{æcûiéÁö{éké¯ëÃïdé¯ûiékò�ðiô!ékï�±ðiå¨î�ð�ò¸û�í�ëdìÕêµødé� üdò�ékå�� � æcû�í¸é¯å�ú�ã�ê�ð��iékî��$æ�ëdï��7æ^å�æ^ö{ð�ò¸í�ñké¯ï� æcû�í�ékå�ú�ã�êµð��ié¯î���� � ã���é���ü{æ�êµí�ðiëdî�� é � ì �� é��±î � ��!#" ��±ð�å æê�ødé¯å�ç�æ^ò�ò¸õ�æ�ë�ï äcæ�ò�ðiåµí¸äcæ�ò�ò�õÃô!ékå$�Nékäkê#ì�æ�î � &%�ê�ékëdîµí�ðiëdîÕð��î�ô{æ^äké�ç�æ^å�ätødí�ëdìÖæ�ò�ìið�å�í�ê�ødçTîÕø{æcûié�æ�ò�îµð ö!ékékëóç�æ^ïdé�ê�ðø{æ�ë�ïdò�é�ö!ðiêµø=é���üdí�ò�í�ödå�í�üdç æ^ëdï=ëdð�ë�ú�é���üdí�ò¸í�ödåµí�üdç�é'�5ékäkêµî�Åé � ì � � é'�±î �)(*!)��+ � � , ë�æ�ï�ïdí�ê�í�ðië���ê�ø�é-� � ãpé���ü{æ�êµí¸ð�ëdî2äPæ^ëö{é�î�ð�ò�ûiékïoçÕü�ä�ø�çTðiå�é¿é'.#äkí�ékë�ê�ò�õ�ê�ø{æ^ëÉêµødé � æcû�í�ékå�ú�ã�ê�ð��iékîé���ü{æ�êµí�ðiëdî��/�2ø�í¸ätøÖç�æ��iékî�ê�ø�é0� � ã�é���ü{æ^ê�í�ðië�î#ûié¯å�õ æ^ê�úê�åtæ�äkêµí¸û�é1�±ð�åHüdîµéÂí�ëÉï�ékî�í�ìiëaæ�ëdïÕð�ôdê�í�çTí¸ñcæ�ê�í�ð�ëoç#ékêµødð�ïdî �3254ã�ô!æ�äké ç�æ^å�ätødí�ëdì ç#ékêµødð�ïdî#äPæ^ë=ö!éÃödåµð���ékë=ïdð��2ë>æ^ò�úìið�å�í�ê�ødçTí�äPæ�ò�ò�õ�í�ë�ê�ð ê$�´ð ìiåµðiüdôdî���î�ê�écæ�ïdõ�ú�î�ê�æ^ê�é�é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëî�ð�ò¸û�ékå�îÖæ�ëdï�ôdîµéküdïdð^úªêµí�ç#éÖí�ê�ékåtæ�ê�í�û�é=î�ð�ò¸û�ékå�î � ã�êµéPæ�ïdõ�úî�êtæ�ê�é&é���ü{æ^ê�í�ðië�îµðiò�ûié¯å�î���æ^î0êµødé>ë!æ�ç#éÖí�ç#ô�ò¸í�ékî���î�ðiò�û�éê�ødé�î�êµéPæ�ïdõ�ú�î�êtæ�ê�é7�±ð�å�ç ð��#ê�ø�é8 Füdò�ékå�æ�ë�ï9� � ã)é���ü{æcúê�í�ðië�î � &%�ôdò�í¸ä¯í¸ê;:�<>=6< 25? < 2A@ æ^ëdï#í�çTôdò�í¸ä¯í¸ê;B�< 2'2 < 2 BHîµê�éPæ^ïdõ�úªîµê�æ�êµéî�ô{æ^äkétú�ç�æ^å�ätødí�ëdì#îµätødékç#é¯îoø{æcûié�ö!ékékë0ü�î�ékïC�2í�ê�ø äkð�ëdî�í�ï�úékå�æ^ödò�éÕî�üdä¯äkékî�î � �Fî�é¯üdïdð�ú�ê�í�çTéoí�ê�ékåtæ�ê�í�û�éÕî�ô{æ^äkétú�ç�æ�åµätødí�ëdìD5E�F;GIH6JIK�L�M;FONQP�R�STP�F5F;G5U�VXW�K�F5G�JIH6P�STMYEXSTGIZ�G�F5L6[I\�STP�R^])G�H�K�_�`TJ�STH�Pa GIL6P�M$\bU�E�F;GIH'c�L6P�d-e&L�JfchgiW�P�L�j1STM;JkgiSTl�STJ�STH�PbU�m�F5J�F5L6GIM$\OnbF;M$\�P�H�` cH�R�Woe&G�H�_�Kbpqsr F5P�STH6G)mXF5J�F5L�G�M$\ r M5STF;P�[�STJI[;U r F5P�STH�GQtuF5jvZ�F5GQE�wfE�E px�y{z'|'}h~ �'�{���� 2A�'�'�b� |��f�����k�&�$}h~ �5�5�k����� �h~ �f���h�Qy5���k�$}hy ��� ���f~ �$�b�5�6�� � �h}hy ��� ���f~ �$� < �����'�� y � y{z'|'}h~ �'�{�v~ ���;�h� �$}f�h� � ~ � �h�6�o� � ~ �h� �-� � � �f� �� ��� �$}v�Q~ �h� � 25@ < � � ��� x�y � � � �Q���1� � �*�)� y5�;�$} � �&� � � � �;�/� }hy;| � � ��|;���}h�$�k� ~ � � ��� ���hy&�$�'�$} � ~ � � � � ��}h~ �'�'� � � ��� �$}Q�h��� � y'z'|'}h~ �{�'� � � � ~ �&� � ���$}f�$~ ���y'} � y;�5�$} � �&� � � � �Q�#�6}hz�y � � �A� �k� �Qy{�f���$} }h~ �'�{� ��� }h�v}h� � �$}h�;� � � |O�f���� y'z{|'}h~ �'�'�ky5� � �$} �

î�ätødékçTékîHêµø{æ�êHîµðiò�ûié2êµødé2üdëdîµê�éPæ^ïdõ^�±ð�å�ç�ð���êµødéY üdò�ékå´æ�ë�ï� � ã`é���ü{æ�êµí�ðiëdî' �< 2s¡ < 25� ø{æcû�é�æ�ò�îµð�ö{é¯ékë=ékçTôdò�ð�õiékï üdî�í�ëdìå�ékòÅæ�%Ææ^ê�í�ðiëTî�ätødékçTékî2ê�ø!æ�ê2í�ê�ékåtæ�êµéÉæ�ê�éPæ�ätø�îµô{æ�êµíÅæ�ò!î�ê�é¯ô�í�ëôdî�é¯üdïdð�ú�ê�í�çTéÂê�ðÕåµéPæ�ätø�æ�î�êµéPæ�ï�õiú�î�êtæ�êµéoî�ð�ò¸ü�ê�í�ðië �¢�òÅæ�åµìié�ëÏü�çÕö{ékå¨ð��´êµødéÕôdåµðiödò�ékçTîÂð���í¸ë�êµékå�ékîµêoäPæ^ëÃí�ë�ú

äkò�üdïdéaî�ü�ödî�ð�ëdí�äÃæ�ëdï!þ�ðiå�î�é¯ô{æ�åtæ�ê�é¯ïÖÿ{ð���åµékìií�ðië�î��v�2ødí�ätøå�é���üdí�åµékî�ê�ø{æ^êÂê�ø�éoî�ô{æ^äké�ç�æ�åµätødí�ëdìÙæ^ò�ìiðiåµí�ê�ødç�ö!é�í¸çTôdò�étúç#ékë�êµékï£�2í�ê�ødí�ë=êµødé ödå�ð�æ�ïdékåaäkð�ë�ê�é�%�êað��Ùæ�äkð�ïdé äPæ^ô{æcúödò�é�ð��Hî�ð�ò¸û�í�ëdìÕêµødé � æcû�í�ékåýúýã�êµð���ékîÂé���ü{æ^ê�í�ðië�î � ¤�¥Y¦X§ ¢ �� ¤ í¸îµäkðiü�î ¥ ôb�2í�ëdï0æ ¦ ìið�å�í�ê�ødç¨�Nðiå § ðiçTôdò�é�%Tÿ{ð��9¢ � æ�ò�úõ�î�í�î{��í�îÉæTäké¯ò¸ò�ú�äkékë�ê�é¯å�ékï7�{ëdí�êµétúªû�ðiò�üdçTé��5î�êµå�üdä¯ê�üdåµékïÖìiå�í�ï��çÕüdò�ê�í�ú�ödò�ðÏä'��äkð�ïdé��2ødí�ä�øÕîµðiò�ûié¯î´êµødéÂé���ü{æ^ê�í�ðië�î´ì�ð�ûiékåµëdí�ëdìí�ëÏû�í�î�ä¯í¸ïÖæ�ëdïÖû�í�î�äkð�üdî�ÿ{ð���ð��Éæ�äPæ^ò�ðiå�í�äPæ^ò�ò¸õ�ô!ékåA�±ékäkêTìÏæ�îðiå�ð��Âæ�ë�æ�åµödí�ê�åtæ�å�õ¹ç#í�%�ê�üdåµéÉð��Íêµødékå�çaæ�ò�ò�õ#ô!ékå$�Nékäkê�ìÏæ�îµékîüdëdïdé¯å�ìið�í�ëdìoëdð�ë�úªé6�Ïü�í¸ò�í�ödåµí¸ü�ç�ätødékçTí¸äcæ�òdåµéPæ�äkêµí�ðiëdî � ¤o¥u¦ ú§ ¢ � æ�ò�ò�ð��2î�ê�ødé ÿ{ð���ïdð�ç�æ�í�ë�êµðÃö!é#ï�ékäkðiçTô{ð�î�ékï�í�ëÏêµðå�ékì�í�ðiëdîTí¸ë©�2ødí�ä�ø ê�ødé�çTðiîµêÕî�üdí�ê�æ^ödò�éÃæ�ò�ì�ðiå�í�êµødçª� ékò�ò�í¸ôÆúê�í�äÕðiåÁç�æ�åµätødí�ëdì#�¨äPæ^ë�ö{éTüdê�í�ò�í�ñkékï �¬« ødé#í�ë�û�í�î�äkí�ï¹ÿ{ü�%�ékîæ�åµé¼ä¯ðiç#ô�üdê�ékïTüdî�í�ëdì�ê�ø�é®­ ¥ ã §1¦ î�ätødékçTé�  ? �2í¸êµø#ékí�êµødékåê�ødé#æ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é � í¸é¯ç�æ�ë�ë�îµðiò�ûié¯åoð�� � ð�é�  2 ðiå�ê�ødéÕò�ð��ïdí�î�îµí¸ô!æ�ê�í�ð�ë�ÿ{ü�%�îµôdò�í�ê�ê�í�ëdì î�ätødé¯ç#éað��O Fï��2æ�å�ï�î �  '  « ødéû�í¸îµäkðiü�î�ÿ{ü�%�ékî#äcæ�ëÖö{é¹ékûiæ�ò�ü{æ^ê�ékï�ékí�ê�ødékå¬�2í�ê�ø0ð�å�2í�ê�ø�úðiüdêTäkå�ð�î�îaïdékåµí�ûiæ�ê�í�û�é�ä¯ðië�ê�åµí¸ö�üdê�í�ðië�î �¯¤o¥u¦�§ ¢ � îµðiò�ûiékîékò�ò�í¸ô�ê�í�äoÿ!ð��2îÉö�õ ç�æ�åµätødí�ëdì#êµødé#üdë�î�ê�écæ�ïdõ��±ð�å�ç6ð��Âì�ð�û�úékå�ë�í¸ë�ì�é���ü{æ�êµí�ðiëdîoí�ë ê�í�ç#é �° õ�ô!ékå�ö!ðiò�í�ä�ÿ{ð��2î�� é � ì � ê�ødé Füdò�ékå<é���ü{æ�êµí¸ð�ëdîFí�ë¼îµüdô!ékå�îµðiëdí�ä�ÿ{ð��o�<æ�ëdïoô!æ�å�æ^ö{ð�ò�í¸ä<ÿ{ð��2î�Åé � ì � êµødéÖô{æ�åtæ�ö!ðiò�í�ñkékï � æcû�í�ékå�ú�ã�ê�ð��iékî é���ü{æ^ê�í�ðiëdî'�Ãæ^å�éî�ð�ò¸û�ékïÕö�õÉîµô{æ�ä¯é¼çaæ�åµä�ø�í¸ë�ìo�2ødí�ò�é2í�ê�ékåtæ�ê�í�ëdìÁê�ødé¨üdëdî�êµéPæ�ï�õé���ü{æ�êµí�ðiëdîÕí�ë0ô�î�éküdï�ð�ú�ê�í�ç#éTê�ð0æ î�êµéPæ�ï�õ0î�êtæ�êµé�î�ð�ò¸ü�ê�í�ðië �« ødé�ôdîµéküdïdð^úªêµí¸çTé�í�ê�ékåtæ�êµí¸û�é0æ�ôdô�å�ðÏæ^ätø±�2æ�îaätødðiîµékë�ö!étúäPæ�ü�î�éoí�êÂæ�ò�ò�ð��2î�ê�ødéoêµí�ç#éÂçaæ�åµä�ø�í¸ë�ìÉîµðiò�üdê�í�ð�ë�æ�ò�ì�ðiå�í�êµødç#îæ�ëdïaäkð�ë�ûiékåµìiékëdä¯é#æ�äkäké¯ò¸é¯å�æ�êµí�ðië�êµékätødëdí���üdékî�ïdékû�ékò�ðiô!ékï�ê�ðî�ð�ò¸û�éaê�ødé�é¯ò¸ò�í�ôdêµí¸ä² Füdò�ékåTé���ü{æ�êµí¸ð�ë æ^ëd � ãÖé���ü{æ^ê�í�ðiëdî

´/µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 2: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

ê�ð�ö{é�ü�î�ékï&ê�ð�å�ékïdü�äkéÃêµødé äkðiçTôdüdê�æ^ê�í�ðië!æ�ò�äkðiîµê�ð��oê�ødéî�ô{æ^äkéÕç�æ^å�ätødí�ëdìTî�ätødékçTé �« ødéÕé�%�ôdò�í�äkí�ê-� � ã�æ�ò�ìið�å�í�ê�ø�çïdékîµäkå�í�ö!ékï=í�ë=æ�ôdåµékû�í�ðiüdîÕô{æ^ô{é¯å��T ;:Í�2ødí�ò�é�é6%Ïêµå�ékçTékò�õ�é'�Åú�{äkí�ékë�ê��±ð�åÃí�ë�û�í¸îµäkí�ï�æ�ëdï�çTðÏï�ékå�æ^ê�é � ékõ�ëdðiò�ïdî ë�üdçÕö!ékåÿ{ð��2î����Íæ^îv�±ðiü�ëdïaê�ðÕö!éoê�ð�ðÕäkð�ç#ôdüdêtæ�êµí¸ð�ë{æ�ò�ò�õ�é�%�ô{ékë�î�í�ûié�2ødékë î�ð�ò¸û�í�ëdìTødí�ìiø � ékõ�ëdðiò�ïdî¨ëÏü�çÕö{ékåXÿ{ð��2î�ïdüdé�ê�ðTê�ødéòÅæ�å�ì�é2ë�üdçÕö{é¯åHð��Fî�ô{æ^äkéÂçaæ�å�ätødí�ëdì�îµê�ékôdî¨å�é���üdí�åµékï#ö�õÕî�êtæcúödí�ò�í¸ê�õ�äkðië�î�ê�åtæ�í�ë�ê�î �Ϋ ødéÃä¯ðÏï�éÃîµê�å�ü�äkê�üdåµé0ð�� ¤�¥Y¦X§ ¢ ��Íæ^îÕïdékîµí¸ì�ëdékï=êµð0æ�ò�ò�ð���ê�ø�é�ékò�ò�í¸ô�ê�í�ä�æ�ëdïÖî�ô!æ�äké�çaæ�åµä�øÆúí�ëdì#îµä�ø�ékç#ékîÁê�ðaî�ø{æ^å�éÕë�üdçTékå�í�äPæ^ò7æ�ò�ì�ðiå�í�êµødç#î2ïdé¯ûiékò�ðiô!ékïê�ð�î�ð�ò¸û�é¼æ^ëdï{þ�ð�åÂæ�äkä¯ékò�ékå�æ^ê�éoêµødé�äkðië�ûié¯å�ìié¯ëdäkéoð��7ê�ø�é¼ì�ð�û�úékå�ë�í¸ë�ì0é���ü{æ^ê�í�ðiëdîTê�ð�îµê�éPæ^ïdõ=î�êtæ�êµé �9« ø�é�äkð�ïdé�ø{æ^î#í�ë�úäkðiåµô{ð�å�æ^ê�ékï£�2í�êµødí�ë�í¸ê^�Nðiüdå�ê�í�ç#éÕçaæ�åµä�ø�í¸ë�ì�î�ätødékçTékî�Ï�æçÕüdò�ê�í�ú�î�ê�æ^ìié � üdë�ìiétú$Ð�üdê�êtæ î�ätødékçTé��´æ¹ïdíÅæ�ì�ðië{æ^ò¸í�ñké¯ï0æ�ô�úôdå�ð�%�í�ç�æ^ê�éu��æ�äkêµðiå�í�ñPæ^ê�í�ðië¹î�ätødékçTé��7æpödò�ðÏä'�Ãæ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é�ªæ�ä¯ê�ðiåµí�ñPæ�êµí¸ð�ëoî�ätødé¯ç#é��iæ^ëdïÕæÂï�í�æ^ìið�ë{æ�ò�ò�õ2ïdðiçTí�ë{æ�ë�ê$æ�ò�êµékå�úë{æ�êµí�ëdì�ïdí�å�é¯äkê�í�ðië�í�çTôdò�í¸ä¯í¸ê¨î�ätødékçTé��2í�ê�ø0æÑ�ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ�êµí�ðiëékå�åµðiåoä¯ðiå�åµékäkêµí¸ð�ë�î�üdöÆúªí�ê�é¯å�æ�êµí�ðië � Hæ�ätø ð��2ê�ødékîµéÕî�ätødékçTékîäPæ�ë ö!éÕüdî�ékï�æ�î�êµødéÕî�çTðÏð�ê�ødí�ëdì#æ^ò�ìiðiåµí�ê�ødç í�ë*æÒ�±üdò�òFæ�ô�úôdå�ð�%�í�ç�æ^ê�é<î�ê�ð�å�æ^ìié1�I³�¢¼ã��k�Nüdò�ò�çÕüdò�ê�í�úªì�å�í�ïu�I³&­ÍÓO��î�ätødékçTéæ�ëdï�êµødékå�é¯öÏõ�æ�äkäké¯ò¸é¯å�æ�êµé2ê�ødé¿äkðië�ûié¯å�ìié¯ëdäké2ê�ð2îµê�éPæ^ïdõ�î�êtæ�ê�é �

Ô ÞÖÕ/×$Ý�ÛÂâ�ÛØÚÙ²Û2àoÜ<Üdâ�Þ¿ÛoÝ« ødéTüdëdîµê�éPæ^ïdõ�ê�ødåµékétú�ïdí�ç#ékë�î�í�ðië{æ^ò&�±ð�å�ç6ð��2ê�ødé²³{æcû�åµéæcûiékåtæ�ì�ékï � æcû�í�ékå�ú�ã�êµð��ié¯îÃæ�ëdï�îµô{é¯äkí�ékî�ê�åtæ�ëdîµô{ð�å�ê é���ü{æcúê�í�ðië�î7äcæ�ë�ö{é1�2åµí¸êµê�ékëÕí�ë�ëdðië�ðiå�êµødðiì�ðië{æ^ò�äküdå�û�í�ò�í�ëdéPæ�åX�±ð�å�ç

æ�î

Þ^ßià �Iáãâäáå��$æ à ��çCâCçvå��$è à �Aé9âêé�å��5ëÍìîíï� � �

�2ødékåµé´êµødéHî�ü�ödî�äkåµí�ôdê�îXð)��ñQ�mæ^ëdïOò¨ïdékëdð�ê�éHô{æ^å�êµí�æ^òiïdí3�5ékå�é¯ë�úê�íÅæ�êµí�ðiëÍ�2í�ê�ø å�é¯î�ô!ékäkêÕê�ðaêµødéÕëdðië�ðiå�êµødðiì�ðië{æ^òFäküdå�û�í�ò�í�ëdéPæ�åäkð�ðiåµïdí�ë{æ�êµékîÃæ�ë�ï>êµødéÃîµüdödîµäkå�í�ôdê²óaïdékëdð�ê�ékî ô{æ^å�ê�íÅæ^ò¼ï�í�� ú�±ékåµékë�ê�íÅæ�êµí¸ð�ëC�2í�ê�ø�å�é¯î�ô!ékäkê#êµðÃêµí�ç#é �²« ødéTäkðië�êµå�æcûiæ�åµíÅæ�ë�êäkðiçTô{ð�ëdékë�ê�î�ð��ÂêµødéaäküdåµûÏí�ò�í�ëdéPæ^åoëdðië�ðiå�êµødðiì�ðië{æ^ò´ä¯ðÏð�å�ïdí�úë{æ�êµé�î�õ�î�êµékç÷æ�åµé

ð-ìãð)�IôXõ{ö�õ{÷��vø ñ-ì£ñQ��ô�õ'ö�õ'÷��1ø&ò^ì£òQ�IôXõ{ö�õ{÷�� �Iù��

æ�ëdï

ú ìüûûûûý �þð)õ{ñQõ;ò#�ý �IôXõ{ö�õ{÷�� ûûûû

�Iÿ��

�2ødékåµéOð��X�kñ��k�5æ^ëdï²ò�� ���êì9%k�!õb�dðiå¨ñ��Âæ^å�é�ê�ødéÁäkðiçTô{ð^úëdékë�ê�î2ð��$ê�ødé�äké¯ò¸òQ��æ�äkéoæ�åµéPæÁëdðiåµç�æ�ò�ûiékäkêµðiå��b�2ødí�ò¸é��ð � ���ð � �æ�ëdï�ð � æ�åµéHê�ødé2ä¯ðiç#ô!ðië�ékë�ê�î$ð��{ê�ø�é´äké¯ò¸ò��ªæ^äké�üdëdí�ê$ëdð�å�çaæ�ò �« ødé Þ � áO� çu�1é��7æ^ëdï£íÖûiékä¯ê�ðiåµî#æ�åµé#ïdé'�!ëdékïÖüdî�í�ëdì

³{æcû�åµé æcû�ékå�æ^ìiékïÁûiæ�å�íÅæ^ödò�ékîi� í�ëdïdí�äPæ�êµékïÉæ^î��Q�$æ�ë�ï � ékõ�ëdðiò�ïdî

æcûiékåtæ�ì�ékïaûiæ�å�íÅæ^ödò�ékîY� í�ëdïdí�äPæ�êµékï�æ�î �k�2æ^î

Þ ì �ú

�������������������

� ������� ����������������� �� �� �!"� #

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%'íïì

������������������

() ����() � ���****+-,.+/,0+ ,1+2,3

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%'�54#�

á ì76 8 ð 6ú

�������������������

� � �:9���� � � ��� 9��� 9 à �ð�; <��� 9 à �ð�= <�>� 9 à �ð�? <� @ 9� � 9� 9��" 9� # 9

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%'� + �

ç ì 6 8 ñ 6ú

�������������������

� ���:A���� ��������A�/� A à �ñB; <��� A à �ñB= <��� A à �ñB? <� @ A� �CA� :A��" A� # A

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%'�ED��

é ìF6 8 ò 6ú

�������������������

� ���HG���� �������BG�/� G à �òI; <�J� G à �ò = <��� G à �ò ? <� @ G� �CG� KG�J" G� # G

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%'� " �

�2ødékåµé � í�î�ê�ødé�çTí>%�êµüdå�é2ïdé¯ëdî�í�ê�õkø ���Fí¸î�ê�ø�é¼çaæ�îµî&�±å�æ^äkê�í�ð�ëæ�ëdï () �dí�î$ê�ø�éHî�ô!ékäkí�ékîFôdåµðÏï�üdäkê�í�ð�ëoå�æ^ê�éHð��ÆêµødéML ßEN ätødé¯ç#í�äPæ�òî�ô!ékäkí�ékî�ø�OQP:RÕí�îoê�ø�é#ê�ð�ê�æ^ò´ë�üdçÕö!ékåoð��ÍätødékçTí�äPæ�ò�î�ô!ékäkí�ékî�ø<�í�îÂêµødé�î�ê�æ^ê�í�ä�ôdå�ékîµî�üdåµé�ø � � � æ�ëdï � æ�åµéÉêµødé § æ�å�êµékî�íÅæ^ëS1µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 3: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

ûiékò�ð�äkí�ê�õÂä¯ðiç#ô!ðië�ékë�ê�î�ø�æ^ëdï � æ�ëdï @ æ^å�éHêµødéHêµðiê�æ^òiékë�ékå�ì�õæ�ëdïTê�ð�ê�æ�ò5é¯ëÏêµø{æ�ò�ô�õ#åµékî�ô!ékäkêµí�ûiékò�õ � « ødé�ûiæ�åµíÅæ�ödò�ékî �#æ^ëdï æ�åµé´êµødé´êµüdå�ö�üdò�ékë�ê���í�ëdékê�í�ä�ékëdékåµìiõÉæ^ëdïÉæXê�üdåµödüdò�ékë�êFò¸é¯ëdìiêµøî�äPæ^ò�é2é���ü{æ�êµí¸ð�ëÕûiæ�åµí�æ^ödò�éo�Åé¯í¸êµødékå ) ð�å T � �X« ødé2ê�ü�å�ödüdò�ékë�äkéätødékç#í�îµê�å�õÁí¸ë�êµékå�æ^äkê�í�ðië�ûiæ�åµíÅæ�ödò�ékî " æ^ëdï # æ�åµé2ê�ødé2ékë�ékå�ì�õûiæ�åµí�æ^ëdäkéVUW�X X5W�X X �2æ�ë�ï êµødéaî�üdçð���ê�ødé¹î�ô!ékäkí�ékîaûiæ�åµí�æ^ëdäkékîY � ����5Z

2U� X X� � X X� �Í« ø�é#äkð�ëÏêµå�æcûiæ^å�íÅæ�ë�ê�ûiékò�ð�äkí�ê�í�ékîÕæ�åµé#ïdé��{ëdékïæ�î

9 ì �ð ; � à �ð = � à �ð ? �A±ì �ñ ; � à �ñ = � à �ñ ? � � ( �G ìF�ò[; � à �òI= � à �òI? �« ødé2û�í�î�ä¯ðiüdîFÿ!ü�%oûié¯äkê�ð�å�î1á å ��ç å ��æ�ëdï¬é å æ^å�é1�2å�í�êµê�ékëæ�î

á å ì

�����������������������

�]\_^ �C`ba �Hc� � à U� X X`bdKe � X X�gf �ð�; d����h\_^ �C` a � �i� ^��� P:R à U� X X`bdEj ��� � X X� ��� f �ð�; d�ð ; kH;�; à �ð = kH;�= à �ð ? kH;�? â �ð ; d � U�CX X5� X Xa�ð = kH;�= à �ð = kH=I= à �ð ? kH=[? â �ð ; d � U��X XE� X Xa�ð�; k ;�? à �ð�= k =[? à �ð�? k ?H?oâl�ð�; d � U�mX X5� X Xa�ð�; W å à �ð�= � å à �ð�? " å�ð�;onp,. ; à �ð�=onp,. = à �ð�?Bnp,. ?�ð ; n2,0 ; à �ð = n2,0 = à �ð ? nq,0 ?�ð ; n ,1 ; à �ð = n ,1 = à �ð ? n ,1 ?�ð�;rns,3 ; à �ð�=�nt,3 = à �ð�?�nt,3 ?

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%'�Eu��

çvå±ì

�����������������������

� \ ^ � ` a � c��� à U� X X`:dve � X X� f �ñ ; d���� \ ^ � ` a � ��� ^� � P:R à U� X X` dEj ��� � X X����� f �ñ ; d�ñ ; kH;�; à �ñ = kw;�= à �ñ ? kH;�? â �ñ ; d � U�!X X5� X Xa�ñx= k ;�= à �ñx= k =[= à �ñB? k =I?oâ �ñB; d � U�yX X�� X Xa�ñB; k ;�? à �ñx= k =I? à �ñB? k ?H?1â �ñB; d � U�mX XE� X Xa�ñ ; W å à �ñ = ��å à �ñ ? " å�ñ ; np,. ; à �ñ = np,. = à �ñ ? np,. ?�ñx;�nq,0 ; à �ñx=�nq,0 = à �ñB?Bnq,0 ?�ñx;�n ,1 ; à �ñx=�n ,1 = à �ñx?�n ,1 ?�ñB;�nt,3 ; à �ñx=�nt,3 = à �ñB?Bnt,3 ?

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%'� � * �

é å ì

�����������������������

� \ ^ � `:a �[c��� à U� X X`:dve � X X� f �ò ; d���� \ ^ � `:a ����� ^� � P:R à U� X X` dEj ��� � X X� ��� f �ò ; d�ò ; kH;�; à �ò = kH;�= à �ò ? kH;�? â �ò ; d � U� X X � X Xa�ò[= k ;�= à �ò[= k =[= à �ò[? k =[?âz�òI; d � U��X XE� X Xa�ò[; k ;�? à �ò[= k =[? à �ò[? k ?H?�âz�ò[; d � U� X X � X Xa�ò ; W å à �ò = ��å à �ò ? " å�ò ; np,. ; à �ò = np,. = à �ò ? np,. ?�ò ; nq,0 ; à �ò = nq,0 = à �ò ? nq,0 ?�ò ; n ,1 ; à �ò = n ,1 = à �ò ? n ,1 ?�ò ; nt,3 ; à �ò = ns,3 = à �ò ? nt,3 ?

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%'� ��� �

« ødéÂä¯ðiç#ô!ðië�ékë�ê�î�ð��7êµødé�î�ô!ékäkí�ékî¨ç#ðiò�ékä¯üdòÅæ�åFïdí3��ü�î�í�ðiëTûiétúò�ðÏä¯í¸ê�õÕð��7êµødé{L ßEN î�ô!ékäkí�éoí�ë#êµødé�| ßEN ïdí�å�é¯äkê�í�ðiëX� ^ � `:a � c���{�dæ^å�éé�%�ôdå�é¯î�î�é¯ï=üdî�í�ëdì æͳ<í¸ä'��íÅæ�ë�çTðÏï�ékò´æ�ë�ï�ê�ødékí�å�ê�üdåµödüdò�ékë�êäkðiü�ëÏêµékå�ô!æ�å�êµî�� U� X X` dKe � X X� �Fæ�å�éÕä¯ò¸ð�î�ékï�ü�î�í�ëdìÃæTìiåtæ�ïdí�ékë�êoï�í�� ú�±üdîµí¸ð�ë#çTðÏï�ékò$æ�î�]\}^ �!` a � c� � à U� X X`bdKe � X X��f ì â�~��+-� à � ß+-� ß�� ý ���

ý ô a � � ù��

�2ødékåµé � æ^ëdï � ß æ^å�éÕêµødéÕç#ð�ò¸é¯äküdòÅæ�å�æ�ëdï ê�üdåµödüdò�ékë�êoû�í�î�úäkðiîµí�ê�õÃæ�ëdï�+-�Éæ^ëdï�+�� ß æ�åµéÕê�ødé�òÅæ�çTí¸ë!æ�åÂæ�ë�ï�ê�üdåµödüdò�ékë�êã�ätødç#í�ïdê¨ë�üdçÕö{é¯å�î �¬« ødé § æ^å�ê�é¯î�íÅæ�ë�äkð�ç#ô!ðiëdé¯ëÏêµî�ð��2ê�ødéû�í¸îµäkðiü�î2ékëdékåµìiõTÿ{ü�%aæ�å�éW å ì � kH;�; à � kH;�= à � kH;�? â � ; à np,. ;� å ì � k ;�= à � k =I= à � k =[?â �I= à np,. = � � ÿ��" å ì � k ;�? à � k =[? à � k ?H?�â �I? à np,. ?�2ødékåµé�� . í�î$ê�ø�é´êµüdå�ödü�ò¸é¯ëÏê&�Få�æ^ëdïdêµòÏë�üdçÕö!ékåÖ�±ðiå<ê�ødéHï�í��5ü�úî�í�ðiëÁð��{êµüdå�ödü�ò¸é¯ëÏê&��í�ëdékêµí¸ä¿ékëdékåµìiõ ��« ødé § æ�åµê�ékîµíÅæ�ëoû�í�î�äkð�üdîî�êµå�ékîµî�ékîÉæ^å�é�ïdé'�!ëdékïÃæ^îkH;�; ì ��� ù ý �ý ô â ù

ÿ ~ ý �ý ô à ý �ý ö à

ý �ý ÷ ���kH=[= ì � � ù ý �ý ö â ù

ÿ ~ ý �ý ô à ý �ý ö à

ý �ý ÷ ���kH?H? ì � � ù ý �ý ÷ â ù

ÿ ~ ý �ý ô à ý �ý ö à

ý �ý ÷ ��� � � 4#�k ;�= ì � ~ ý �ý ö à ý �ý ô �kH;�? ì � ~ ý �ý ÷ à ý �

ý ô �kw=[? ì � ~ ý �ý ÷ à ý �ý ö �

æ�ëdïaêµødé�ê�ðiêtæ�ò5ødécæ�ê2ÿ!ü�%�ékîÂæ�åµé¼ì�í�ûiékë�æ�î�[;Oì âs~�� à � ß��� ß�� ý �ý ô â � ~��+-� à � ß+�� ßB� � ���� �5Z

2� ��� � ;� = ì â ~ � à � ß��� ß�� ý �

ý ö â � ~ �+-� à � ß+-� ßB� � �i�� �5Z2������� = � ��+ �

Ê µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 4: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

�I?Yì¯â�~!� à � ß��� ß�� ý �ý ÷ â � ~��+�� à � ß+-� ßB� � ���� �5Z

2� ��� � ?

�2ødékåµéQ�Tí�î�ê�ødé¨ìÏæ�î�ç#í�%�ê�ü�å�é�ç#ðiò�ékä¯üdòÅæ�åHêµødékå�çaæ�òdä¯ðiëdïdü�ätúê�í�û�í�ê�õ�æ�ë�ï ��� ß í�î�ê�ødé�ê�ü�å�ödüdò�ékë�êu�Få�æ^ëdïdê�ò¿ëÏü�çÕö{ékå �1« ødéê�üdåµödüdò�ékëdä¯é=ç#ð�ïdékò�í�ëdì=é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ë�ïdí3�5üdî�í�ðiëóê�ékåµç#î�n�,� ; �n�,� = ��æ�ëdïtn�,� ? �o�2ødé¯å�é��&í¸îaékí�êµødékå��k� T � ) � " �Xðiå # �æ�åµé¼çTð�ïdékò�ékï�æ^în�,� ; ì ~ ���� 0 � à � ß��� ß � � � ;n�,� = ì ~ ���� 0 � à � ß��� ß � � �C= � � D��n�,� ? ì ~ ���� 0 � à � ß��� ß � � � ?�-���[�����}���C B�{¡£¢�¤����}¥« ødé � ékõ�ëdðiò�ïdî<î�êµå�ékîµî´êµékå�ç¨� � U� � X X5� a X X �<ç#ð�ïdékò�í�î7ï�ékô{é¯ë�úïdékë�êoð�ë�ê�ødéÕê�õ�ô!éÕð��Âê�ü�å�ödüdò�ékë�äké#çTðÏï�ékòFî�ékò�ékäkêµékï ��§ üdå�úå�ékë�êµò¸õb��ð�ëdò�õ¼ê$��ðÂé6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëÉçTðÏï�ékò�î7æ�åµéÍæcûiæ^í�ò�æ^ödò�éFí¸ë ¤o¥u¦ ú

§ ¢ �^�1° ð���ékûié¯å���ê�ø�é�ê$�´ðÖé���ü{æ^ê�í�ðië&ç#ð�ïdékò�í�ç#ô�ò¸é¯ç#ékë�úê�æ^ê�í�ðië0æ^ò¸ò�ð��2î¨ÿ{é�%�í�ödí�ò�í�ê�õÍ�2ødékë�ç#ð�ïdékò�í�ëdì#êµødé � ékõ�ëdðiò�ïdîî�êµå�ékîµî�ékî �O, �´ð�ëdéÉð��Hê�ødé�ékïdïdõaû�í�î�äkð�î�í�ê�õaö{æ�îµékï ê$�´ðTé���ü{æcúê�í�ðiëTê�üdåµödüdò�ékëdä¯é¼çTð�ïdékò�î´í�î�î�ékò�ékä¯ê�ékï��!êµødé�¦´ð�üdî�îµí¸ë�ékî5�aæ�ô�úôdå�ð�%�í�ç�æ^ê�í�ðiëTí�î¼çaæ�ïdé �2ødékå�éÕêµødé � ékõ�ëdð�ò¸ï�î¼îµê�åµékî�îµékîÙæ^å�éç#ð�ïdékò�ékïaæ�îâ � U� � X X�� a X X ì � ß � ~ ý � �ý ô a à ý � a

ý ô�� � â ùÿý � .ý ô .�§ � a � â ù

ÿ � � § � a� ��" �, �*æ�ë é�%�ôdò�í�äkí�ê=æ�ò�ìiékö�å�æ�í�ä � ékõ�ëdðiò�ïdîÖîµê�å�é¯î�î=ê$��ð�é���ü{æcúê�í�ðië ê�ü�å�ödüdò�ékë�äké#çTðÏï�ékòHí�î�î�ékò�ékäkêµékï��¿ê�ødékë�ê�ødé � ékõ�ëdðiò�ïdîî�êµå�ékîµî�ékîÉæ^å�é�ç#ð�ïdé¯ò¸é¯ï�æ�îâ � U� � X X5� a X X ì¯â ùÿ � � § � a à ù ��¨ß ~ +C� a â �ÿ + .�. § � a �

à ù � ¨H¨ß \ � B) ��+ � . G . a à + a . G . � � fâoù � ¨H¨ß � � =) ~!+ � . + . a â �ÿ + .�0 + .�0 § � a �©� � ��( �

�2ødékåµé +C� a ì �ù ~ ý � �ý ô a à ý � aý ô � � � � u��Gh� a ì �ù ~ ý � �ý ô a â ý � aý ô � � ��ù * �

æ�ëdï ) ì THª � ��« ødé�ïdé'�{ë�í¸êµí�ðiëdî�±ðiå � ¨ß � � ¨H¨ß ��� B �5æ�ë�ï�� =äPæ�ëaö!é��±ðiüdë�ï�í�묢Âödí�ïaékêÂæ�ò �  '=« ødéaê$��ðÃé6�Ïü!æ�ê�í�ð�ë0ê�ü�å�ödüdò�ékë�äkéaç#ð�ïdékò�î�í¸ë ¤�¥Y¦X§ ¢ �äPæ�ë ö!éÉäPæ^ê�ékì�ðiåµí¸ñ¯ékï*æ^î �^â T ö{æ�îµékï�ç#ð�ïdé¯ò¸î���«=í�ò�äkð�%�¬ î   ¡�1â ) ö{æ^î�ékïTç#ð�ïdékò�îHæ�ë�ï�­aékë�ê�ékå�¬ î{ ;B �vâ ) ç#ð�ïdé¯ò¸î �k« ødé�Qâ T ö{æ�îµékïoç#ð�ïdé¯ò¸î5äcæ�ë�ö{é�î�ð�ò�ûiékïu�2í�ê�ø�ékí�ê�ø�ékå$êµødéM¦�ðiü�î�î�í�úëdékî;�=ç#ð�ïdékò�ð�å�æ�ë&é�%�ôdò�í�äkí�ê�æ^ò¸ì�éködåtæ�í�ä � é¯õÏë�ðiò�ïdîaî�êµå�ékîµîç#ð�ïdékò �  '=v­A  @« ø�ém«=í�ò�äkð�% ��â ) ö{æ^î�ékïaçTðÏï�ékò�î´æ�åµé¼æcûiæ�í�ò�úæ�ödò�é¨í¸ëÕêµødå�é¯éo�Nðiå�çTî�ø�æ�ødí�ìiø � ékõ�ëdð�ò�ïdîHë�üdçÕö!ékå´çTð�ïdékò$�T  ¡æoò�ð�� � é¯õÏë�ðiò�ïdî�ëÏü�çÕö{ékå¿ç#ð�ïdékò$�T  ¡ æ�ëdïaæ�ë#é6%Ïô�ò¸í�äkí�ê2æ�ò�ìiéÐúödå�æ^í�ä � ékõ�ëdð�ò¸ï�î¼îµê�åµékî�îÕçTðÏï�ékò �   @ê« ø�é��â ) çTð�ïdékò�îÂð��

­aékë�ê�é¯å{ ;BÍæ^å�é´æcûiæ^í�ò�æ^ödò�é5í�ë¼ê$��ðv�±ð�å�ç#î�økêµødéHö{æ^î�ékò�í�ëdéFç#ð�ïdékòæ�ëdï¹ê�ødéÕã�ødéPæ^åÉã�êµå�ékîµî « å�æ�ë�î�ô!ðiå�ê�Nãdã « �2çTð�ïdékò � ¢�äkð�å�úå�ékä¯ê�í�ðiëÖê�ð�écæ�ätø=ç#ð�ïdé¯ò �±ð�åÕäkðiçTôdå�é¯î�î�í�ödí�ò�í�ê�õÃé���ékä¯ê�îaø{æ�îæ�ò�î�ð�ö!ékékëTí¸çTôdò�ékç#é¯ëÏêµékïoüdîµí�ëdìoê�ø�éÂäkð�ç#ôdåµékî�îµí¸ö�ò¸é�ïdí�î�îµí�ô{æcúê�í�ðië�ç#ð�ïdé¯òÏð���ã�æ�å5�iæ^åFékê´æ�ò �   � �±ð�å7êµødé �vâ T ö{æ^î�ékïÕçTð�ïdékò�îæ�ëdïTê�ødé�äkð�ç#ôdåµékî�îµí�ödí�ò¸í�ê�õ�ç#ð�ïdékò!î�ü�ìiìié¯î�ê�é¯ï�ö�õq«=í�ò¸ä¯ð�% �T  ¡�2ødí�ätø�í�ëdä¯ðiå�ô!ðiåtæ�êµékî¼ãdæ^å5�iæ^å�¬ î2ç#ð�ïdékò5æ�î1��ékò�ò7æ^îm®!ékç�æ^ë�¬ îòÅæ�ìiì�í�ëdì�±ü�ëdäkê�í�ð�ë�� : ? �±ð�åÉæ�ò�òFð��2ê�ødé¯�Òâ ) ö{æ^î�ékï�çTð�ïdékò�î�Åí�ëdäkò�üdï�í¸ë�ì�­aé¯ëÏêµékå�¬ î'� �°±�B²o��³²��5�-�����I�����}���C B�{¡£¢�¤����}¥« ødéaëdécæ�å�2æ�ò�ò´ö!ékø{æcû�í�ðiå�ð���ê�ødé �¬â T ê$��ðÃé6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëç#ð�ïdékò�îoí�î�äkðië�êµå�ðiò�ò�ékï�ê�ødåµðiüdì�ø0ê�ø�é�í�ë�ê�åµð�ïdüdäkêµí¸ð�ë0ð��Âê�ødé

ò�ð�� � ékõ�ëdð�ò�ïdîÕë�üdçÕö{é¯åÉçTðÏï�í��!äPæ�êµí¸ð�ëdîoð��®¢¨ödí�ï � : 2 « ødéëdéPæ^åY�2æ�ò�òFö!ékø{æcû�í�ðiåÂð��Íêµødé �â ) ê$�´ðTé���ü{æ�êµí¸ð�ëÃçTð�ïdékò�îí�îoê�åµéPæ�êµékïÖí¸ë�ékí�ê�ødé¯åÙæaø�í¸ì�ø � ékõ�ëdð�ò�ïdîÉë�üdçÕö!ékåoçaæ�ëdë�ékåö�õ�í�ë�ê�é¯ìiå�æ^ê�í�ëdìÕêµødéoødí�ìiø � ékõ�ëdð�ò¸ï�î2ëÏü�çÕö{ékå�±ðiåµç,ð��Hê�ødéé���ü{æ�êµí�ðiëdîoêµð�ê�ø�é�Íæ^ò¸ò �2í¸êµødðiü�ê æ^ë�õÃîµô{ékä¯í�æ^ò/�2æ�ò�òFê�åµéPæ�êýúç#ékë�ê¨ðiå�ö�õ�í�ëÏêµékìiåtæ�êµí¸ë�ì�êµødéÕò�ð�� � ékõ�ëdð�ò�ïdî��±ðiåµç÷ð���ê�ødé«=í�ò�äkð�%´��â ) ê$��ðÕé���ü{æ^ê�í�ðiëTç#ð�ïdékòh  ¡ êµðÉêµødéO�2æ�ò�ò �, �Öí¸ë�êµékìiåtæ�ê�í�ð�ëKê�ð ê�ødé �Íæ^ò¸ò í�î=ëdð�ê£�±écæ�î�í�ödò�é �±ðiå>æ

ìií�ûié¯ëoôdå�ð�ödò�ékç0�cêµødé/�2æ�ò�ò�ç�æ^ê�ätødí�ëdìv�±ü�ëdäkê�í�ð�ëÙæ^ôdôdå�ð�æ�ätøoð��«=í�ò�äkð�%�  ¡ äcæ�ëaö{éÁüdî�ékï � « ødí�î2æ�ôdôdåµðÏæ^ä�øaçTðÏï�ékò�î´êµødéu�Íæ^ò¸òî�ødécæ�åHîµê�å�é¯î�î2æ�ëdïoø�éPæ�êHêµå�æ^ëdî$�±é¯å7ö�õoé¯ëb�±ðiåµäkí�ëdìoæ¨äkðiçTôdå�ékîµî�úí�ödò�é#òÅæ���ð��oêµødé²�Íæ^ò¸ò1�2ø�í¸ätøÖí�ëdäkò�üdïdé¯î#æ�ïdïdí�êµí¸ð�ë{æ�ò�ê�é¯å�ç#îê�ø{æ^êÉçTð�ïdékò�î�ê�åµéPæ�ç�2í�îµé#ôdåµékî�îµüdå�é ìiåtæ�ïdí�ékë�ê�î � « í¸ò�äkð�%b:� î�ødð���ékï�êµø{æ�ê�í�ëdäkò�üdî�í�ð�ëÃð��Âê�ødéTôdå�ékîµî�üdåµéaìiå�æ^ïdí�ékë�êoê�é¯å�ç#îí�ëÃêµødé�Íæ^ò�òHç�æ^ê�ätødí�ëdì^�±üdë�äkê�í�ðië�ï�å�æ�çaæ�êµí¸äcæ�ò�ò�õ#í�ç#ôdåµð�ûiékïôdå�é¯ïdí�äkê�í�ðië�îÉð��Âî�ødéPæ^åÉîµê�åµékî�î �C« ødé��2æ�ò�òHçaæ�êµä�ø�í¸ë�ì��Nüdëdätúê�í�ðiëTø{æ�î2ö!ékékë¹î�üdäkä¯ékî�îA�±üdò�ò�õ�ü�î�ékï�ð�ëaìiå�í�ïdî1�2ø�ékå�éoêµødéOö�µ�Iìt¶ kH· ªB� ø kH· í�î2ê�ø�éO�Íæ^ò�ò{îµødéPæ�å¨î�êµå�ékîµî{�¨ûiæ�åµí¸é¯ï#ö!ékê$�´é¯ékë* �T+ æ�ëdï ��+ * � * æ^ëdïÕôdåµðÏï�üdäkékï¬�Íæ^ò¸ò�î;�Ïí�ë^�±åµí�äkê�í�ðiëÕæ�ë�ïÉødécæ�êê�åtæ�ëdîA�±ékåoôdåµékïdí�äkêµí¸ð�ëdî�ê�ø{æ^ê æ^ìiåµékékïC��ékò�ò �2í�ê�ø�å�é¯î�üdò�ê�îÁðiö�úê�æ^í¸ë�ékïÖðiëÖìiåµí¸ï�îÕê�ø{æ^ê�´ékåµé�í�ë�ê�ékì�å�æ�êµékï=êµð�ê�ødé²�2æ�ò�òv�±ðiåö�µ£¸ ��¹ * �Q« ødí�î<í¸î$æXûiékåµõ�üdî�é'�Nüdò�ä�ø!æ�å�æ^äkê�é¯å�í�î�êµí¸äv�2ødí�ätø�î�í�ì�úëdí3�{äPæ^ëÏêµò�õ#å�é¯ïdüdäkékîÁÿ{ð���îµðiò�üdê�í�ð�ë�îµékëdîµí¸êµí�ûÏí�ê�õaê�ðTê�ødé�ìiåµí�ïæ�ëdïÖì�å�éPæ^ê�ò�õ�å�ékï�üdäkékîaê�ø�é�å�é���üdí�åµékï>æ�çTðiüdë�êoð�� æ¹ôdå�í�ð�å�í��ëdð��2ò�ékïdìiéÂæ^ö{ð�üdê�ê�ødé�å�æ^ëdìié¨ð��iöyµC�2ødékëTìiékë�ékå�æ^ê�í�ëdì�ê�ødéäkðiçTôdüdêtæ�ê�í�ð�ë{æ�òdì�å�í�ï �º��H�B¥H¥[���H�]²��C¤��m»C���[¼p¢�¤�½!�C²�¼´¾} {¡£¢�¤����}¥¤�¥Y¦�§ ¢ � �Íæ^î/�2åµí�ê�ê�é¯ë�êµðÕç#ð�ïdékò�ê�ødéu��ðiå5��í�ëdì�ìÏæ^î´ékí�úê�ødé¯åÙæ^îÙæaîµí�ëdìiò�éÕäkð�ç#ô!ðiëdékë�êoäcæ�ò�ðiåµí¸äcæ�ò�ò�õ�ô{é¯å$�±ékä¯êÕìÏæ�î�ðiå

æ�îÃæ^ë�æ^å�ödí�êµå�æ�åµõ>çTí�%Ïêµüdå�é ð��Õê�ø�ékå�çaæ�ò�ò�õ ô!ékåA�±ékäkê�ì�æ�î�é¯î �³dð�åÃæÖîµí¸ë�ìiò�é�äkðiçTô{ð�ëdékë�ê�äPæ^ò�ðiå�í�äPæ^ò�ò¸õÖô!ékå$�Nékäkê�ìÏæ^î��Áê�ødéî�ð�ò¸ü�ê�í�ðiëoû�ékäkêµðiåHð���äkð�ëdî�é¯å�ûié¯ï#ûiæ�åµíÅæ�ödò�ékî<í¸ë &� � �¿4#�<í�î7ä¯ðië�úê�åtæ�äkêµékï>êµð0äkð�ë�ê�æ�í�ëÖðië�ò¸õÖæ�îµí¸ë�ìiò�éaäkðië�ê�í�ë�üdí�ê�õ0é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ë� �h�2í�ê�ø () ì * �6�Hêµødå�ékéaçTðiç#é¯ëÏêµüdç÷é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëdî �/� � ��� �æ�ëdï ��� �Fê�ødéTékëdékåµìiõ�é���ü{æ^ê�í�ðië � � æ^ëdï�ê�ø�é#ê�ü�å�ödüdò�ékë�äkéé���ü{æ�êµí�ðiëdî&�Nðiå � �Õæ�ëdï � ��« ø�éÂôdåµékî�îµüdå�é���î�êtæ�ê�í�ä2ékë�êµø{æ�ò�ô�õ#�ê�ð�ê�æ�ò�ékë�êµø{æ�ò�ô�õ#��æ^ëdïoê�ð�ê�æ^òÏé¯ëdékå�ì�õu�±ð�å7æ2îµí�ëdìiò�é�äkðiçTô{ð�ëdékë�êäPæ�ò�ð�å�í�äPæ�ò�ò�õ�ô{ékåA�±ékäkê�ì�æ�î2æ�å�é<ì ��À � ��ù � ��¬ì ~lÁ ÀÁ â � � � ��ù�ù��@ ìÂ� à �ù´Ã �   à �   à �  HÄ à � ��ù�ÿ��Åoµ�¶u´{·

¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 5: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

� ìÆ@ â < � ��ùB4#��2ødékåµé À í¸î5êµødé�ìÏæ�î5ä¯ðiëdîµê�æ�ë�êFæ�ëdï Á í¸î5êµødéHåtæ�ê�í�ð2ð��Æîµô{é¯äkí3�{äødéPæ^ê�î �« ødé2ô�å�ékîµî�üdåµé���î�ô!ékäkí�ékîHé¯ëÏêµø{æ�ò�ô�õb�Pîµê�æ^ê�í�ä´é¯ëÏêµø{æ�ò�ô�õb��ê�ð�ê�æ�òékë�ê�ø{æ^ò�ôÏõaæ�ëdï¹ê�ðiêtæ�ò5ékë�ékå�ì�õ²�±ðiåÂæ^ë�æ�å�ö�í¸êµå�æ^å�õaç#í�%�ê�üdåµéÂð��ê�ødé¯å�ç�æ^ò�ò¸õ�ô!ékå$�±é¯äkêÂì�æ�î�é¯î¼æ�åµé�ç#ð�ïdékò�ékïaæ�î<�ì �BÇ]È � � ���� �5Z

2

���É � ��ù + �

����ì �CÊ� à�Ë ,ÌÌoÍ�Î-Ï eEÐ � ��ù�D����ì � ���� �5Z

2��� ��� ��ù " �

�2ødékåµé Ç È í�îÉêµødéaüdëdí�ûiékåµî�æ^ò2ìÏæ�î�äkð�ëdî�êtæ�ë�ê��ÑÉÒ� æ^ëdï À ��Iì Ç]È�ª É � �Fæ�åµé´êµødé�ç#ðiò�ékä¯üdòÅæ�åk��ékí�ìiø�ê7æ^ëdïoìÏæ^î$äkð�ëdî�êtæ�ë�êð��Éêµødé�L ßEN îµô{ékä¯í¸é¯î��oåµékî�ô!ékäkêµí�ûiékò�õb�oæ�ëdïÓ�CÊ� í¸îaêµødéÃåµé'�±ékåýúékëdäké¹ékë�ê�ø{æ^ò¸ô�õ0æ^ê#æ å�é'�±é¯å�ékëdä¯éÃêµékç#ô!ékå�æ^ê�üdåµé�� � Ê �Hð��{L ßENätødékç#í�äPæ^òFî�ô!ékäkí�ékî �²« ø�éÕî�ô!ékäkí3�{ä#ø�éPæ�êoæ�êÁäkðiëdîµê�æ^ëÏêÁôdå�ékîýúî�üdåµé���ékë�êµø{æ�ò�ô�õ#��æ^ëdï-Ó�í�ödödîÖ�±å�é¯é´ékë�ékå�ì�õu�±ðiå<éPæ�ätøoätødé¯ç#í�äPæ�òî�ô!ékäkí�ékîÕæ�åµéÉçTðÏï�ékò�ékïÍ�2í�ê�øÃæTô!ðiò�õ�ëdðiçTíÅæ�ò!ð��2î�ê�æ^ê�í�ä�ê�ékç úô{é¯å�æ�êµüdå�é � ³�ðiåFé�%dæ�çTôdò�é���ê�ø�é Î-Ï e ô!ðiò�õ�ëdðiçTíÅæ�òií�îHçTð�ïdékò�ékïæ�î2ékí�êµødékå5:':Î Ï eÀ � ìÔ>� à£Õ � � à Î � �   à n�� � : àÖ� � � B ��ù ( �

ðiåÂæ^î5:'BÎ Ï eÀ � ì Ô ��   à Õ �� à Î � à n �C�Oà{� �C�   à{× �C� : à±Ø �C� B ��ù�u��« ødéoäkð�é'.#ä¯í¸é¯ëÏêµî�Ôm�'õ Õ �{õ Î �5õHn��'õ � �5õ × �;õ{æ�ë�ï Ø �´æ^å�éoåµéPæ�ï�±å�ð�ç êµødékå�çTð�ïdõ�ë{æ�çTí¸ä¹äküdå�û�éC�{ê¹ï{æ�êtæÖö{æ�îµéC�{ò�ékî¹äkðiç úôdí�ò�ékïC�±ð�åoéPæ^ä�øÖô!ðiò�õ�ëdðiçTíÅæ�òX�±å�ð�ç6ê�ødéaï{æ^ê�æ¹í¸ëê­aä[¦�å�í�ïdéékêÂæ�ò � :':�<�:'B¡£¢r�Ù�B ����}²o�>���w²o�C¥[Ú�¢��HÛ{¡£¢�¤����Ù¥« ødé¹ç#ðiò�ékä¯üdòÅæ�å�ûÏí�îµäkðiîµí¸ê�õb� � �2ð��Éæ îµí¸ë�ìiò�étú�äkðiçTô{ð�ëdékë�êìÏæ^î2í¸î�ç#ð�ïdé¯ò¸é¯ï#üdîµí¸ë�ì#ã�üdê�ø�ékå�òÅæ�ë�ï�¬ îv�±ðiåµçÕüdòÅæo�2ø�ékå�é

� ì � Ê�Ü �� Ê�Ý�Þß � Ê à +�Cà + ��ÿ * ��2ødékåµé � Ê � � Ê �Fæ�ë�ï�+>æ^å�é#ä¯ðiëdîµê�æ�ë�êµîÉêµø{æ�êÉæ^å�éÕîµô{ékä¯í��!ékï�±ðiå2êµødéoì�æ�îÂð��Hí¸ë�êµékå�ékîµê �1« ø�éoç#ð�ò¸é¯äküdòÅæ�å�û�í¸îµäkðiîµí�ê�õ#� � � �dð��éPæ�ätø äkðiçTô{ð�ëdékë�ê�ð��ÍæTçÕüdò�êµí¸ä¯ðiçÕô!ðiëdékë�ê2ì�æ�î�í�î¼çTð�ïdékò�ékïüdî�í�ëdì#ãÆüdê�ødé¯å�òÅæ�ëdï/¬ îv�Nðiå�çÕü�ò�æ

� � ì � ÊHà � Ü �� Êwà � Ý�Þß � Êwà � à +C��äà +C� ��ÿ � �

�2ødékåµé � ÊHà �'� � Êwà �{�dæ^ëdï�+C�´æ�åµé�äkðiëdîµê�æ^ëÏêµîÂêµø{æ�ê2æ�åµé¼îµô{é¯äkí3�{äê�ð�ê�ødé¨ätødékç#í�äPæ^ò{îµô{é¯äkí�ékî2ð��Fí¸ë�êµékå�ékîµêÂæ�ëdïaæ�åµé¼æcûiæ�í�òÅæ�ö�ò¸é2æ�îô{æ�åµêoð��2ê�ø�éÕê�ødékåµç#ð�ïdõ�ë{æ^ç#í�äkîÂï!æ�ê�æpö{æ�îµéÕî�üdôdô�ò¸í�ékïC�2í�êµø

¤o¥u¦�§ ¢ �^� «=í�ò��ié�¬ îX�±ðiåµçÕüdòÅæ�:�=¿í¸î�ê�ø�ékë�æ^ôdôdò�í�ékï#êµðoç#ð�ïdékòê�ødé�çTí>%�êµüdå�é¨ç#ðiò�ékä¯üdòÅæ�åHû�í�î�äkð�î�í�ê�õ�æ^î

� ì ������ �5Z2 á � � �Y � ���a Z 2 á a �C� a

��ÿ�ù��

�2ødékåµé � � a ì � � àVâ�ã eã dyämåß â�æ dæ e[ä�åç �  ¶ ( â � à æ eæ dBä�åß ��ÿ�ÿ��

æ�ëdï á �7í�î2êµødé�L ßEN ätødékç#í�äPæ^ò{îµô{é¯äkí�ékî�ç#ðiò�év�±åtæ�äkêµí�ðië �« ødé�ç#ð�ò�ékäküdòÅæ�å2êµødékåµç�æ�ò<äkðië�ïdüdäkêµí¸û�í�ê�õb�!�X�5ð��´æÕîµí�ëdìiò�étúäkðiçTô{ð�ëdékë�êÂì�æ�î�í�î�ç#ð�ïdékò�ékïaüdîµí¸ë�ì�êµødé��Fåtæ�ëdïdêµòHë�üdçÕö!ékåî�üdätø�êµø{æ�ê �ì Î Ï ���� ��ÿB4#�« ødé÷çTðiò�ékäkü�ò�æ^å�ê�ø�ékå�çaæ�ò&äkðiëdï�üdäkê�í�û�í�ê�õwð�� æ�çÕüdò�ê�í�úäkðiçTô{ð�ëdékë�ê ì�æ�î�í�î�ç#ð�ïdékò�ékï ü�î�í�ëdì9ékí�ê�ødé¯å üdî�í�ëdì &��î � ��ÿ�ù��Tÿ�ÿ��TÿB4b�Âð�åÉö�õ�üdîµí�ëdì*ãÆüdê�ødé¯å�òÅæ�ëdï/¬ î^�Nðiå�çÕü�ò�æ��±ðiåê�ødé¹ä�ø�ékç#í�äPæ^ò2î�ô!ékäkí�ékîaç#ð�ò¸é¯äküdòÅæ�å�ê�ødé¯å�ç�æ^ò2äkðië�ïdüdäkêµí¸û�í�ê�õ� � î�üdätøaê�ø{æ^ê ���iìt� Êwà � Ü �è Êwà � Ý Þß è ÊHà � à£é ��Cà�é � ��ÿ + �

�2ødékåµé{� Êwà � ��è ÊHà � �{æ�ë�ï é � æ�å�é�äkð�ëdî�êtæ�ë�ê�î¨ê�ø{æ^êÂæ�åµé¼îµô{é¯äkí3�{äê�ð�ê�ødé¨ätødékç#í�äPæ^ò{îµô{é¯äkí�ékî2ð��Fí¸ë�êµékå�ékîµêÂæ�ëdïaæ�åµé¼æcûiæ�í�òÅæ�ö�ò¸é2æ�îô{æ�åµêoð��2ê�ø�éÕê�ødékåµç#ð�ïdõ�ë{æ^ç#í�äkîÂï!æ�ê�æpö{æ�îµéÕî�üdôdô�ò¸í�ékïC�2í�êµø¤o¥u¦�§ ¢ �^� «0æ�îµî�í�ò èté��2æ�¬ î��±ðiåµçÕüdòÅæ�: 4 í�î�ê�ødé¯ë æ^ôdôdò�í�ékï�ê�ðç#ð�ïdékò!ê�ø�éoç#í�%�ê�üdåµéÂçTðiò�ékäküdòÅæ^åHû�í¸îµäkðiîµí�ê�õ�ì �-���� �5Z

2 á � � �Y � �i�a Z 2 á a�ê � a��ÿ�D��

�2ødékåµé ê � a ì � � àëâíì eì dBä�åß â�æ dæ eîä�åç �  ¶ ( â � à æ eæ d�ä>åß ��ÿ " �ï�»C��¼h¾Ù B²o��ðC¢����H B�q�/���[¼7¡£¢�¤����« ødé�ätødékçTí¸äcæ�ò$îµðiüdåµäkéÕê�é¯å�ç0� () � �!å�é¯ôdå�ékîµékë�ê�î�ê�ødé�ç#écæ�ëð��Fê�ødé�ëdékê2åtæ�êµé¼ð��$ôdå�ð�ïdü�äkê�í�ðiëað��7ê�ø�éQL ßEN î�ô!ékäkí�ékî¨í¸ëTéPæ�ätø

ätødékç#í�äPæ^ò�å�éPæ^äkê�í�ð�ë ��« ø�í¸î5îµðiüdåµäké�ê�ékåµç�äPæ�ëoö!éHçTðÏï�ékò�ékïÂékí�úê�ødé¯å/�2í�ê�ø�ðiå �2í¸êµødðiü�êHê�üdåµödüdò�ékëdä¯éPþ�ätødékçTí�î�ê�åµõÕí�ëÏêµékå�æ^äkê�í�ð�ëé'�5ékäkê�î � « ødé0ätødékçTí�äPæ�òoîµðiüdåµäkéÖê�ékåµç0�u�2í�ê�ø�ðiüdê�êµüdå�ö�ü�úò�ékëdäkéPþ^ätødékç#í�îµê�å�õ í�ë�ê�ékåtæ�äkêµí¸ð�ëÃé���ékä¯ê�î��¿í�î¼çTð�ïdékò�ékï�í�ë ê�ødéç�æ^ëdëdékå�ð���� : � î�üdätø�êµø{æ�ê() � ìñÉ � � ��ò�a Z 2 â�ó!X Xa � â óCXa � äÖô�õ�ö d

� �i�÷ø Z 2 ù ø�ú XdKû â õ�ü d� ���÷ý Z 2 ù ý�ú X XdvþBÿ��ÿ ( � &� � �Iÿ ( �<í�îHê�ø�é2ôdå�ð�ïdüdä¯ê�í�ðiëÕåtæ�ê�é2ð���êµødé2í�ê�ø�î�ô!ékäkí�ékîÂæ^îHïdétúê�ékåµç#í�ëdékïTö�õÕê�ødé�òÅæ��Öð��7çaæ�îµî´æ�äkêµí�ðië��2ø�ékå�é Î ø æ�ë�ï Î ýæ�åµéÉêµødéÕô{æ�åµê�í�äkí�ô{æ^ê�í�ëdì#îµô{é¯äkí�ékîÉä¯ðiëdäké¯ëÏêµå�æ^ê�í�ðiëdî�� ó Xa ø æ�ë�ï

·1µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 6: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

ó X Xa ý êµødékí�åÂîµê�ð�í¸ätødí�ð�ç#ékêµå�í�äoäkð�é'.#äkí�ékë�êµî��$æ^ëdï õ�ö d æ^ëdï õ�ü dê�ødé�åµéPæ�äkêµí�ðië�åtæ�ê�é�äkð�é'.#ä¯í¸é¯ëÏêµîÂð��7ê�ø�éu�±ðiå;�Íæ^å�ïaæ�ëdïaö{æ^ä{��ú�Íæ^å�ï�å�éPæ^äkê�í�ðië�î �ê, ë æ^ïdïdí�ê�í�ð�ë��Fê�ødéaäkð�ëdî�êµå�æ^í¸ë�êÕí�ç#ô!ðiîµékïö�õ�ç�æ�îµîÉä¯ðiëdîµékå�ûiæ^ê�í�ðiëÖé�%�í�î�êµîÕî�üdätøÖê�ø{æ^ê Y j ����5Z

2() �-ì * �

« ødé¬�±ðiå;�Íæ^å�ï=æ�ë�ï0ö{æ^ä{�b�2æ�åµï åµéPæ�ä¯ê�í�ðiëÖå�æ^ê�é�ä¯ðÏé�.#äkí�ékë�ê�îæ�åµé�äPæ�ò�äküdòÅæ^ê�ékï&ö{æ�îµékï�ðië&ê�ø�éC¢Âå�åµødékëdí�üdî¹ò�æ��÷æ^ëdï&ê�ødéé���üdí�ò�í¸ö�å�í�üdç�å�æ^ê�éoäkð�é'.#ä¯í¸é¯ëÏê����2ødí�ätø�æ�åµé¼ï�é'�{ëdékï æ�îõ�ö d ì�� a ��� d W ô�< ~ â���� aÇ È � � ��ÿ�u��

õ�ü d ì õ ö dõ�� d �¿4 * �« ødé�äkðiëdîµê�æ^ëÏêµîoí�ë�ê�ø�é-¢¨å�å�ø�ékëdí�üdîoòÅæ��O��� a õ� a õ5æ^ëdï���� a ��±ðiå�æoø�õ�ïdå�ð�ìiékëÆúýæ^í¸å¿å�éPæ^äkê�í�ðiëTî�õ�î�êµékçKæ�ëdïaæ�äkðiçTôdò�ékê�é¨ïdétúî�äkåµí�ôdê�í�ðiëÕð���êµødé2ç#é¯ê�ødð�ïoüdîµékï#êµð�ðiödêtæ�í�ëÉêµødé2é���üdí�ò�í�ödå�í�üdçå�æ^ê�é�äkð�é'.#äkí�ékë�ê�äPæ�ë ö{é �±ð�üdëdï�í�ë��¨å�ü�ç#ç#ð�ëdï#æ�ë�ï ° üdîýúî�æ^í¸ë�í>: @ ðiå § æ�åµô{é¯ëÏêµékå � B ?« ødé�ätødékçTí�äPæ�òdîµðiüdåµäké�ê�ékåµç,çTð�ïdékò��2ødí�ätø#í�ëdä¯ò¸ü�ïdékî�ê�ødéé'�5ékäkê�îÖð��pêµüdå�ö�üdò�ékëdäkéPþ^ätødékç#í�îµê�å�õ�í�ë�ê�ékåtæ�äkêµí�ðië�üdî�é¯î æ^î�ú

î�üdçTékï�ôdå�ð�ö{æ�ö�í¸ò�í�ê�õ�ïdékëdîµí¸ê�õ��±ü�ëdäkê�í�ð�ëdî/�����u³i�!êµð2äkðiçTôdüdêµéê�ødéTç#éPæ^ëÃîµô{é¯äkí�ékî#ôdåµð�ïdüdäkêµí¸ð�ë0åtæ�ê�é �Í, ë0êµødí�îÉæ�ô�ôdå�ð�æ�ätø��ê�ødé�òÅæ��=ð�� çaæ�îµîÍæ^äkê�í�ðiëTí�î1�2å�í�ê�êµékë�æ�î() � ìñÉ � � ��ò�a Z 2 â�ó!X Xa � â óCXa � ä � õ ö d

� ���÷ø Z 2 ù ú XdKûø â õ�ü d � ���÷ý Z 2 ù ú X XdKþý $'�¿4 � �

« ødéoçTéPæ�ëaå�écæ�äkêµí¸ð�ë�å�æ^ê�éoä¯ðÏé�.#äkí�ékë�ê�î�� õ ö d æ�ëdï õ ü d �{æ^å�éäkðiçTôdüdêµékïÉü�î�í�ëdìoæ¨ê�å�ü�ëdäPæ�êµékï « æcõ�ò�ðiå<î�ékåµí¸é¯î´é�%�ô{æ^ëdî�í�ð�ëÉð��ê�ødé2åtæ�êµé2äkð�é'.#äkí�ékë�ê´é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëdî �2í�ê�ø�å�ékîµô{é¯äkê2ê�ðoêµødé2ç#écæ�ëæ�ëdï�ÿ{ü�äkê�ü{æ^ê�í�ëdì�îµê�æ�êµí�ä�êµékç#ô!ékåtæ�ê�ü�å�é��1�2ø�ékå�é�êµødéaî�êtæ�ê�í�äê�ékçTô{é¯å�æ�êµüdå�é¨ÿ{ü�äkê�ü{æ^ê�í�ðië � X X í�î´ð�ödê�æ^í¸ë�ékï�±åµðiç�êµødéÂîµðiò�ü�úê�í�ðiëað�� êµødéoékë�ékå�ì�õ�ûiæ^å�íÅæ�ë�äké��±UW�X XEW�X X �dê�åtæ�ëdîµô{ð�å�ê�é���ü{æ^ê�í�ðië �« ødéaødí�ìiødé¯åÕðiå�ï�ékå#çTðiç#é¯ëÏêµîoð�� � X X í¸ë�êµå�ð�ïdüdäké¯ï ö�õ�ê�ødé« æcõÏò�ð�åÂî�é¯å�í�ékî�é�%�ô{æ�ëdîµí�ðië0æ�åµéÕäkðiçTôdüdêµékïÍ�Nå�ðiçùékí�ê�ødé¯åÙæ^ëæ�îµî�üdçTékï0Óoæ^üdî�îµí�æ^ë�ðiå��£���u³Öæ�î�ïdékîµäkå�í�ö!ékï0í�ë0ÓÁæ��5ëdékõékê#æ�ò � B 2 <�B': « ødéaç#éPæ^ëC�±ð�å5�2æ�å�ïÖæ�ëdï�ö{æ�ä'�b�2æ�å�ïÖîµô{ékä¯í¸é¯îôdå�ð�ïdü�äkê�í�ðiëTê�ékåµç#î � ���i�ø Z 2 ù ú XdKûø æ�ëdï � �-���ý Z 2 ù ú X XdKþý æ^å�é¨äkðiç úôdüdêµékï7�±å�ð�ç(æ¹çÕüdò�ê�í�ûiæ^å�íÅæ�êµé�� ���Y³¯�2ø�ékå�é�êµødé#îµüdç�ð��ê�ødéÁî�ô!ékäkí�ékîoûiæ^å�íÅæ�ëdä¯é Y ���i��5Z

2U� X X� � X X� ê�å�æ^ëdî�ô!ðiåµê�é���ü{æ�êµí¸ð�ëaí¸îî�ð�ò¸û�ékïoæ�ëdï�êµødéHûiæ�åµíÅæ�ëdäkéFí�î$ü�î�ékïoí�ë�ê�ø�éHç�æ^ëdëdékå!ïdékîµäkå�í�ö!ékï

í�ë Ó�í�å�í�çaækètí�B� ´æ^ëdïÍÓoæ��5ëdékõTékêÂæ�ò � B':ð�ÚC²�Û[¾}²����±¾}¥H ��H�BÛ[¾��B²�Û[¾}¢��« ødé�ì�ð�ûiékåµëdí�ëdì0é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëdî��O &� � � � �6�¼æ^å�é�ïdí�î�ä¯å�ékêµí¸ñ¯ékï�2í�ê�øÕæ�äkékò�ò!äkékë�ê�ékåµékï�� �{ëdí�ê�é2û�ðiò�üdç#éFåµékôdå�é¯î�ékë�ê�æ^ê�í�ðië � « ødéäkðië�û�ékäkê�í�ð�ë�ê�ékåµç#îÃæ^å�é�ê�åµéPæ�êµékï�í�ë�æ�î�é¯äkðiëdïóðiåµïdékå�æ�ätú

äküdåtæ�ê�é�ç�æ^ëdëdékå¬�2í¸êµø�ê�ødé�ô�å�í�ç#í�ê�í�û�é�ûiæ^å�íÅæ�ö�ò¸é é�%�ê�åtæ�ô!ð�úòÅæ�ê�í�ð�ë{þ�í�ë�ê�ékåµô{ð�òÅæ�ê�í�ð�ë�î�ätødékçTéÍ�I­ ¥ ã §1¦ �Áð��2ûiæ�ë ¦ ékékå �   ?�¨í¸îµäkðië�êµí¸ë�üdí�êµí¸é¯î$î�ü�ä�øÕæ�î<î�ødð�ä'��îHæ�å�é�äPæ^ôdê�üdåµékïÕö�õ�ékç#ôdò�ð�õ�úí�ëdì�ÿ{ü�%�ò�í�ç#í�ê�ékåµîFðiå�öÏõ�ûiæ�åµíÅæ�ë�ê�îHð�ë#êµødéY­ ¥ ã §1¦ î�ätødékçTé�2ødí�ätø#ékçTôdò�ð�õoïdí3��é¯å�ékë�ê�íÅæ^ödò�éÂò�í�ç#í�ê�ékåµî � B'B�<�B�= « ødé¨ë�üdç#ékåµí�úäPæ�ò!ÿ!ü�%�æ^ê2ê�ødé�äkékò�ò<í¸ë�êµékå$�ªæ^äké�ç�æcõ�ö{é�äkð�ëdî�êµå�üdä¯ê�ékï üdî�í�ëdìæ�ÿ!ü�%�úªïdí3�5ékå�é¯ëdäkétú�î�ôdò�í�êÂîµätødékç#éu�2ødé¯å�éoêµødé¨ÿ{ü�%Õäkð�ëdî�êµå�üdätúê�í�ðiëTí�î2ïdé'�{ëdé¯ïÃæ�î

á��Yì �ù´Ã á�� à á�� Ä â �ù ûûû�� ûûû Ã Þ �0â Þ � Ä �¿4#ù��

�2ødékåµé! Tå�ékô�å�ékîµékë�ê�î#êµødéÕäkékò�òHí�ë�ê�é¯å$�ªæ^äké��#"�æ�ëdï À åµékôdåµétúî�ékë�ê¨ê�ødéoò�é'�NêÂæ�ëdïaå�í�ì�øÏê2îµê�æ^ê�ékî���æ^ëdï ûûû

�� ûûû í�î2ïdü�éoê�ð � ðÏéy¬ îæ�ôdô�å�ð�%�í�ç�æ�êµé � í�ékç�æ^ëdëoî�ð�ò�ûiékå �   2 ¢>ò�ð��Öïdí�î�îµí¸ô!æ�ê�í�ð�ë�ÿ{ü�%î�ôdò�í�ê�êµí�ëdìÃîµätødékç#éaö{æ^î�ékïÖð�ë êµødéaç#ékêµødð�ï0ð��® Fï��2æ�åµïdî{ ' ê�ø{æ^êÉæ�ï�ïdå�ékîµî�ékîTî�ð�ç#é�ð��Âê�ø�éÕékë�ê�å�ð�ô�õ�ûÏí�ð�ò�æ^ê�í�ðië¹ôdå�ð�ô{ékåýúê�í�ékîað�� � ðÏéy¬ îTî�ätødékçTéÃí�îaæ�ò�î�ð�í�ç#ô�ò¸é¯ç#ékë�ê�é¯ï �¯« ødéÃò�ð��ïdí�î�îµí¸ô!æ�ê�í�ð�ëÕÿ{ü�%Tî�ôdò�í�ê¿ÿ{ü�%#ä¯ðiëdîµê�å�ü�äkê�í�ðië¹í¸î2ï�é'�{ëdékï æ�îá � ì%$ åß & � � Î µ á

P� â � � Î(' á P�*) à á Ï & n µ� < � à n '� < � )�¿4#ÿ���2ødékåµéäá P í�îTê�ødé äkðië�û�ékäkê�í�ð�ë=äkðië�êµå�í�ödüdêµí¸ð�ëÖê�ð0êµødé¹ÿ{ü�%æ�ëdïCá Ï í�î¼êµødéÕôdåµékî�îµüdå�éTäkðië�ê�åµí�ödüdê�í�ð�ëÃêµð�êµødé�ÿ{ü�% �^« ødéô{æ�åtæ�çTékê�ékåµî Î�+ æ�ëdïÓn + �Åîµéké � é�� � ù�ù��#æ^å�é �±üdëdä¯ê�í�ðiëdîð��´êµødéÕò�é'�±êoæ�ë�ïÃåµí¸ì�ø�êÂäkð�ëÏêµå�æcûiæ^å�íÅæ�ë�êY­¹æ�ätø�ë�üdçÕö{é¯å¼æ�ë�ï$ åß ì �,$ � à $ � � ª ùv�2í�ê�ø-$Xê�ødé&�Nå�ðiñ¯ékëÉîµô{é¯ékïÉð��dî�ðiü�ëdï �X, ëö{ð�ê�ø ÿ{ü�%�äkðië�î�ê�åµüdäkêµí¸ð�ë0çTékê�ødð�ïdî��5ê�ø�é�­ ¥ ã §1¦ î�ätødékçTéí�î´üdîµékï#êµðÉåµékäkð�ëdî�êµå�üdäkê¨ûiæ�ò�üdékî�ð��$êµødé�ôdå�í�çTí¸êµí�ûié�ûiæ�å�íÅæ^ödò�ékîæ�ê�ê�ødéaò�é'�±êÕæ�ë�ï0å�í�ì�øÏê�î�êtæ�êµékî �7« ødéaôdå�í�çTí¸êµí�ûié�ûiæ�å�íÅæ^ödò�ékîüdî�é¯ï æ^å�éTê�ødéaî�ô!ékäkí�ékîTç�æ^î�îu�±åtæ�äkêµí�ðiëÒ���'�Hêµødé#ï�ékëdî�í�ê�õ � �ê�ødé § æ^å�ê�é¯î�íÅæ�ë=û�ékò�ð�äkí�ê�õ�äkðiçTô{ð�ëdékë�ê�î � � � �Íæ^ëdï � �¿ê�ødéî�êtæ�ê�í�äoô�å�ékîµî�üdåµé <X�{æ�ë�ï�êµødéoêµüdå�ödü�ò¸é¯ëdäké�ûiæ�å�íÅæ^ödò�ékî��Ö�� 5� " �æ�ëdï # �« ødéÖû�í�î�äkð�üdî ÿ{ü�%�ékî0æ^å�é�ïdí�î�äkåµékê�í�ñkékï3üdî�í�ëdì�æê�!ëdí�ê�étúûið�ò¸ü�ç#éaå�ékô�å�ékîµékë�ê�æ�êµí�ðië�ð��Õæ0ä¯ékë�ê�å�æ^òoïdí3�5ékå�ékë�äké0ð�ô{ékåtæcú

ê�ð�å5B 4 �2ødí�ä�øóäPæ�ëóö{éÖäkð�ëb�{ì�üdå�ékï3ê�ð&ékûiæ�ò�ü{æ^ê�é0êµødéÖäkékò�òí�ëÏêµékå$��æ�äké�ìiåtæ�ïdí�ékë�êµî2üdî�í�ëdì�ékí�ê�ødé¯åÂæ�ë�æ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é2ì�å�æ^ïdí�úékë�ê�äkðiëdîµê�åµüdäkê�í�ð�ëC�2ødékå�éÕêµødé�äkå�ð�î�î�ú�ïdékåµí�ûiæ�ê�í�û�éÕê�ékåµç#î¼æ^å�éëdékì�ò¸é¯äkê�ékï�ðiåÉæÒ�±ü�ò¸ò¿ìiå�æ^ïdí�ékë�ê�äkðiëdîµê�åµüdäkê�í�ð�ë0í�ë0�2ø�í¸ätø0æ^ò¸òäkðiçTô{ð�ëdékë�ê�î�ð��Hêµødé�ïdékå�í�ûiæ^ê�í�ûiéoæ�åµé�í¸ë�äkò�üdïdékï � B 4.M�¿�5¾5ÚCÛ[¾}  ðC¢��5�CÛ[¾}¢���º��w¢� B�B¤����H�B¥« ødé � æcû�í�ékå�ú�ã�ê�ð��iékî<é���ü{æ�êµí�ðiëdî��* º� � � � ����æ^å�éHø�õ�ô{é¯å�ö!ðiò�í�äí�ë¼êµí�ç#éHæ�ëdïÁékò�ò¸í�ôdêµí�ä7í�ëoîµô{æ�ä¯éÍæ^ëdï��cê�ødé¯å�é'�±ð�å�é���äPæ^ëoö{é�í�ë�ê�étú

ìiåtæ�ê�é¯ïoí�ëoê�í�ç#éFêµðÂôdåµð�ûÏí�ïdé�æ2î�êµéPæ�ï�õoî�êtæ�ê�é¿î�ðiò�üdêµí�ðiëoêµø{æ�ê<í¸îékò�ò�í¸ô�ê�í�äÉí�ë î�ô{æ^äké �¬¤o¥u¦�§ ¢ � ø{æ�îoîµékûié¯å�æ�ò�ê�í�çTéoí�ëÏêµékìiåtæcúê�í�ðië�ô�å�ð�äkékïdü�å�ékîÒ�±å�ð�ç �2ødí�ätø0êµð�ätødð�ðiî�é��Hïdékô!ékëdï�í¸ë�ìÃð�ëê�ødéÕê�õ�ô!éÕð��2ôdå�ð�ödò�ékç÷ö!ékí�ëdì�îµðiò�ûié¯ï � ¢�ê�ékçTô{ð�å�æ^ò¸ò�õaî�é¯ätúðiëdï�ðiåµïdékå#æ�ä¯äküdå�æ^ê�é�ò�ð���îµê�ð�å�æ�ì�é��Hé6%Ïô�ò¸í�äkí�ê��HçÕüdò�ê�í�ú�î�êtæ�ìié� üdë�ìiétú$Ð�üdê�êtæ�î�ätødékçTé�B @ äPæ^ë#ö!éÂüdîµékï#êµðoí�ë�ê�ékì�å�æ�êµéÂékí�êµødékåê�ðaæÕî�êµéPæ�ï�õ�î�êtæ�ê�é�î�ð�ò�üdê�í�ðiëað�åÂí�ëÃæÕêµí�ç#éoæ�äkä¯üdå�æ^ê�éÕç�æ^ë�úëdékå � ¢Âò�ê�ékåµë{æ�êµékò�õ#��ï�üdé�ê�ð�ê�ødé�î�êµí3�pë!æ�ê�ü�å�é�ð��$êµødé�ìið�ûié¯å�ë�úí�ëdì#é���ü{æ^ê�í�ðië�î¼æ�ë�ï�ê�ødé�é�%�ô!ékëdî�éÕí�ë�ûið�ò�ûiékï�í�ëaäkð�ç#ôdüdêµí�ëdìê�ødé¹ä�ø�ékç#í�äPæ^ò2î�ðiü�å�äké ê�ékåµç#î��´í�çTôdò�í¸ä¯í¸êÁê�í�ç#éaí�ë�ê�ékì�å�æ�êµí�ðiëî�ätødékçTékî äPæ�ëóö{é�î�ékò�ékäkêµékï�ê�ð&í�ëÏêµékìiåtæ�êµé0ê�ø�é0é���ü{æ^ê�í�ðiëdîê�ð�îµê�éPæ^ïdõ=î�êtæ�êµé � ¢Âë¯ Füdò�ékå#í�çTôdò�í¸ä¯í¸êÁê�í�ç#éaí�ë�ê�ékì�å�æ�êµí�ðiëî�ätødékçTé�í¸î1�2åµí�ê�ê�é¯ë�í�ëaïdékò�êtæu�±ð�å�ç,æ^î�Ï/10ú�2 ó à § æ á�3 à § è ç43 à § ë é!3¬â²í�3�576 Þ ì â�8:9Ú�¿4�4#��2ødékåµé á�3 ì<;>=; 3 â ;>=@?; 3 �Yç43 ì<;>A; 3 â ;>A�?; 3 � é!3 ì;>B; 3 â ;>B ?; 3 �&í�3±ì ;>C; 3 � 2¬Þ ì Þ±ý µ 2 â Þ{ý �$æ^ëdï À ý í¸îê�ødé�î�êµéPæ�ï�õoî�êtæ�ê�é�å�é¯î�í�ïdü{æ^òÆæ^ê$êµí¸çTé�D ��« ødé�ïdí�å�é¯äkêFî�ðiò�üdêµí�ðiëð�� &� � �¿4�4#�¿å�é¯î�üdò�ê�î¨í�ë�æÁò�æ^å�ì�éÂö{æ^ëdïdékï´OFE]OKîµõ�î�ê�é¯ç,ð��é���ü{æ�êµí�ðiëdîo�f�2ødékåµé O3í¸î¿ê�ødé2ë�üdçÕö!ékåFð��5é���ü{æ�êµí�ðiëdî'�&�2ødí�ätøçÕüdî�ê�ö!é¼í�ë�ûié¯å�ê�é¯ïÃæ�ê�éPæ�ätø�êµí�ç#é2î�êµékô �ã�ð�ò�ûÏí�ëdì£ &� � �¿4�4b�¬�±ðiå¹ékûiékë�æ ç#ékïdí�üdçwîµí�ñkékï�êµødå�é¯étúïdí�ç#ékë�î�í�ðië{æ^òÕôdå�ð�ödò�ékç í�î0í�ç#ô�å�æ�ä¯ê�í�äPæ�òÕï�üdé=ê�ðóî�êµðiå�æ^ìié

Ë µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 7: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

å�é���üdí�åµékç#ékë�êµî � ° ð��´ékû�ékå��¬ &� � �¿4�4#�¹ç�æcõ&ö!éC�ªæ^äkê�ð�å�ékïê�ð�åµékïdüdä¯é êµødé�îµê�ð�å�æ�ì�é � « ødåµéké æ^ôdôdå�ð�æ�ätødékî&ê�ð3ê�ødéæ�ôdô�å�ð�%�í�ç�æ�êµé²�ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ�êµí�ðië�ð��� &� � �54�4b��æ�åµé0äkü�å�å�é¯ëÏêµò�õí�ç#ôdò�ékçTékë�ê�ékï&í�ë ¤�¥Y¦X§ ¢ �-�u« ø�é æ^ôdôdåµðÏæ�ätøÎ�2í�ê�øóê�ødéò�éPæ�îµê^�ªæ�äkêµðiåµí¸ñcæ�ê�í�ð�ë�ékå�åµðiå�æ^ëdï0ø�í¸ì�ødékîµêÕî�ê�ð�å�æ^ìiéaå�é���üdí�åµétúç#ékë�êµî¼í�îoæTôdòÅæ�ë{æ^åOÓoæ�üdîµî�ú�ã�ékí�ïdékò¿å�ékòÅæ�%dæ^ê�í�ðiëÍ�2ø�í¸ätø�üdîµékîæ��¨íÅæ�ìið�ë{æ�ò�ò�õG�¨ð�ç#í�ë{æ�ë�êX¢Âò�ê�ékåµë{æ�êµí�ëdì-�¨í�å�ékäkêµí�ðië , ç#ô�ò¸í�äkí�ê�,���1¢�� , �$B � î�ätødékçTéÕê�ð²��æ�äkêµðiåoêµødé#äkåµðiîµîÕî�ê�åµéPæ�ç6ôdòÅæ^ëdé �« ødé^�±ð�å5�2æ�å�ï î5��ékékô�í�ë�LXð��Âæaëdðië�ò¸í�ëdécæ�å�ôdòÅæ�ë{æ^åOÓoæ�üdîµî�úã�ékí�ïdékò<å�ékòÅæ�%Ææ^ê�í�ðiëTð�� &� � �54y4#�¿ç�æcõ�ö{é �2å�í�ê�êµékë

/H0ú�2 ó à�I æ à�I è à�I ë â í�3�5 2¬Þ � à a à . à� è 2¬Þ � à a ' 2 à . àKJ è 2¬Þ � à a µ 2 à . à� ë 2¬Þ � à a à . ' 2 àKJ ë 2¬Þ � à a à . µ 2 ìâ�8 ý � Þ ý µ 2�'  [à a à . õ Þ ý µ 2�

' 2 à a à . õ Þ ý� à a à . õ Þ ý� µ 2 à a à . õ Þ ý� µk Ià a à . ��¿4 + �æ�ëdïaêµødé�ö{æ�ä'�b�Íæ^å�ïaî5��ékékô æ�î/ 0ú�2 ó à�I æ à�I è à�I ë â í�3�5 2¬Þ � à a à . à

� è 2¬Þ � à a ' 2 à . àKJ è 2¬Þ � à a µ 2 à . à� ë 2¬Þ � à a à . ' 2 àKJ ë 2¬Þ � à a à . µ 2 ìâ�8 ý � Þ ý�'  [à a à . õ Þ ý� ' 2 à a à . õ Þ ý� à a à . õ Þ ý µ 2� µ 2 à a à . õ Þ ý µ 2� µk Ià a à . ��¿4oD��

�2ødékåµé � � � I � �Âæ�ëdï J � æ^å�é�ödò�ð�ä'� OLE�O ç�æ�êµå�í�äkékîæ�îµî�ð�äkíÅæ�êµékï£�2í�ê�ø=åµékôdòÅæ�ä¯í¸ë�ì�ê�ødé § � ð�� º� � �54y4#��2í�êµø æ�{å�îµê2ðiåµïdékåÂï�í��5ékåµékëdäkéoí�ëTê�ødé��ÍìãðÑ�TñQ�dæ�ë�ï�òÕïdí�å�é¯äkê�í�ðië�î � Hæ�ätøaî5��ékékô¹í¸îv��æ�äkêµðiå�é¯ï�í�ëaê�ø�é®ñQõ;òÕôdòÅæ�ëdé�æ�î

/ M àON � � è àKJ è �P5 2¬Þ ¨� à a à . ì â�8 ý/ M àQN � � ë à1J ë �R5 2¬Þ � à a à . ì M 2¬Þ ¨� à a à . �¿4 " �

Þ ý µ 2� à a à . ì Þ ý� à a à . àS2¬Þ � à a à .�2ødékåµé

M ì 0ú�2 ó àOI æ àON � I è àSI ë �Xâ8í 3 �¿4 ( �æ�ëdï N í�îÂæ�ô{æ^å�æ�çTékê�é¯å2ê�ø{æ^êÂïdékêµékå�çTí�ëdékî2ê�ø�éoðiåµïdékåÂð��´æ�ätúäküdåtæ�äkõ=ð��Éê�ø�é�ê�í�ç#éaïdékåµí�ûiæ�ê�í�û�éÃæ�ëdï�æ�ò�îµð0äPæ^ë>ö!éÃü�î�ékïê�ð äkðië�êµå�ðiò2êµødéaî�êtæ�ödí�ò�í�ê�õ�ð��Âê�ø�é�îµätødékç#é � ¢Kûiæ^ò¸ü�éÕð��®ùí�îoî�üdì�ìiékîµê�ékïÖí�ë � é�� ��+�� æ�ëdï � é'� �&+ ù�æ^ëdï�í�îoüdî�é¯ï ø�ékå�éæ�î��´ékò�ò ��� ðiêµéÉêµø{æ�ê�êµødéÉï�í�æ^ìið�ë{æ�ò5êµékå�ç M äkð�ëÏêtæ�í�ëdî¨ê�ødéïdíÅæ�ì�ðië{æ^òHäkðië�êµå�í�ödüdêµí¸ð�ëdîoð�� § æ á 3 � § è ç 3 � § ë ç 3 æ�î^�´é¯ò¸òæ�î í 3 æ^ëdï í¸î¨î�ø{æ^å�ékï ö�õaö{ð�ê�ø �ªæ�äkêµðiåµî ��« ødí�î¼åµékòÅæ�%dæ�êµí�ðiëî�ätødékçTéHäkð�üdò�ïÉæ�ò�î�ð¨ö{év�2å�í�êµê�ékëÕæ�îFæ2äkð�ëÏû�ékë�ê�í�ðië!æ�òiê$��ð1��æ�ätúê�ð�åHî�ätødékçTé 2$¡ �2ødé¯å�é�ê�ødé I è æ�ëdï I ë ê�ékåµç#î´æ^å�éÂåµékç#ð�û�ékï�±å�ð�ç M æ�ëdï¹äkðiçÕödí�ëdé¯ïÍ�2í�ê�ø�êµødékí�å � æ�ë�ï J äkðië�êµå�í�ödü�úê�í�ðië�î �X° ð���ékûiékå��iêµødí�î ��ðiüdò�ïÕí�ëdäkåµéPæ�îµé1�ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ�êµí�ðië�ékå�åµðiå�2í�ê�ødð�üdê´åµékïdüdä¯í¸ë�ì#äkð�î�ê2ðiå2îµê�ð�å�æ�ì�éÉæ�ô�ôdå�ékä¯í�æ^ödò�õ �¢ê�ødåµékéê�ªæ^äkê�ð�å*æ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é �ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ�êµí�ðië�ç#é¯ê�ødð�ïê�ø{æ^ê2ø{æ�î2ò�ð���ékå�î�ê�ð�å�æ^ìiéoåµé���üdí�å�ékçTékë�ê�î2ç�æcõ�ö!éY�2åµí�ê�ê�é¯ë

/ M à � � æ à�I æ à1J æ �P5 2¬Þ ¨� à a à . ì â�8 ý/ M à � � è àQI è à�J è �P5 2¬Þ ¨H¨� à a à . ì M 2¬Þ ¨� à a à ./ M àO� ë àQI ë àKJ ë 5 2¬Þ � à a à . ì M 2¬Þ ¨H¨� à a à . �¿4ou��

Þ ý µ 2� à a à . ì Þ ý� à a à . àS2¬Þ � à a à .�2ødékåµéM ì 0ú�2 ó âêí�3 � + * �¦´ð�ê�ø �ªæ�ä¯ê�ðiåµí�ñkékï�îµä�ø�ékç#ékîoæ^ö{ð�û�éÉåµékî�üdò�ê�í�ëÃæÕêµå�í�ïdíÅæ�ì�ðië{æ^òî�õ�î�êµékç�ð��dödò�ð�ä'��O�EMO�çaæ�ê�åµí�äkékîk�2ødí�ätø�çÕüdî�ê5ö!éHí�ë�ûiékåµê�ékï

í�ëÕékí�ê�ødékå2êµødéÂê$��ð���ñ)õ;ò#�¿ðiå¿ê�ødé�ê�ø�å�éké��ð)õ'ñQõ5òb�Fïdí�å�é¯äkê�í�ðië�î �� ð�ê�é�ê�ø{æ^êY &� � � + * �2ä¯ðië�ê�æ^í¸ë�î¼ð�ëdò�õ#êµødéÉîµðiüdåµäkéÕê�é¯å�çUT�æcúäkðiö�í�æ^ë �« ødé¹î�ätødékçTékî#ïdé¯î�äkåµí¸ö!ékï�æ�ö!ð�ûié�æ�åµéaî�ê�ð�å�æ^ìiéÃæ^ëdïÖðiô�úékå�æ^ê�í�ðië í�ë�ê�ékëdîµí�ûié � ¢ êµødí�å�ï î�ätødékçTéÉä¯ðiç#çTðiëdò�õÕå�é'�Nékå�åµékïê�ðÕæ�îÂæ�ïdíÅæ^ìiðië!æ�ò�í�ñkékï#æ�ô�ôdå�ð�%�í�ç�æ^ê�év�ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ�êµí�ðië0�R�1¢u³i�

î�ätødékçTé�= ? î�í�ìiëdí3�{äcæ�ë�ê�ò�õ�å�é¯ïdüdäkékîaêµødéaî�ê�ð�å�æ^ìiéÃæ^ëdï0ë�üdç úö{é¯åoð��´ð�ô{é¯å�æ�êµí�ðiëdîoö�õ�ï�í�æ^ìið�ë{æ�ò�í�ñkí�ëdì�ê�ødéVT�æ�äkð�ödíÅæ�ëdîoæ�ë�ïå�ékï�üdäkí�ëdì�ê�ødé©O1E�O�ö�ò¸ð�ä'�Âêµå�í�ïdíÅæ�ì�ðië{æ^ò�î5ê�ð¼æXî�õ�î�êµékç�ð��!Oî�äPæ^òÅæ�åÂêµå�í�ïdíÅæ�ì�ðië{æ^ò�î �&« ødé-�¢Y³�î�ätødé¯ç#é�ç�æcõÕö!éO�2å�í�êµê�ékëæ�î / 0 â úW2 ó�í�3�5 2¬Þ ¨� à a à . ì¯â úW2 óX8 ýY æ / 0 à©ú�2 ó § æ �E� æ à P â � æ à å��P5 Y ' 2æ 2¬Þ ¨î¨� à a à . ì 2¬Þ ¨� à a à .Y è / 0 à©ú�2 ó § è �E� è à Pvâ�� è à å��R5 Y ' 2è 2¬Þ ¨H¨H¨� à a à . ì 2¬Þ ¨H¨� à a à .Y ë / 0 à£ú�2 ó § ë �E� ë à P â�� ë à å �P5 Y ' 2ë 2¬Þ � à a à . ì 2¬Þ ¨H¨î¨� à a à .

Þ ý µ 2� à a à . ì Þ ý� à a à . àS2¬Þ � à a à . � +�� ��2ødékåµé Y �Ãæ^ëdï Y ' 2� æ�åµéÉçaæ�ê�åµí�äkékîÂð��´ê�ø�éÉò�é'�±êoæ^ëdï�å�í�ì�øÏêékí�ìiékë�û�ékäkê�ð�å�î����!� à P æ�å�é¿ê�ødéHí�ë�û�í�î�äkí�ï�ékí�ìiékë�ûiæ^ò¸ü�ékî���æ�ë�ï{�!� à åæ�åµé æ�ï�í�æ^ìið�ë{æ�ò�í�ñkékï^�±ð�å�ç�ð��Hê�ødé�û�í�î�äkð�üdî2ékí�ìiékë�ûiæ^ò¸ü�ékî �

Z�[�Ü7ák×H\ ÜFÝdá�]�×$ß Ù Û2à�Ü<ÜÆâµÞHÛoÝ« ødé � æcû�í¸é¯åÉã�ê�ð��iékî�é���ü{æ^ê�í�ðiëX�i &� � � � �6�5äPæ�ë�ö!éÕç�æ^ïdéô{æ�åtæ�ö!ðiò�í�äÂí�ë#îµô{æ�ä¯éO�2ødí�ò�é¼åµékç�æ^í�ëdí�ëdìoø�õ�ô{ékåµö{ð�ò�í¸ä�í�ë#êµí�ç#éö�õ�ïdå�ð�ôdôdí�ëdì�æ�ò�òHï�í��5üdîµí¸û�éÉêµékå�çTîoí�ëÃêµødéÕî�êµå�éPæ^ç�2í�î�éÍ��ð#�

ÿ{ü�%oû�ékäkêµðiå´æ^ëdïÉö�õoé¯ç#ôdò�ð�õ�í�ëdì ¤ í�ìiëdékåµðië�¬ î 2 ê�å�écæ�ê�çTékë�ê$ð��ê�ødéÕîµê�åµéPæ�ç�2í�î�éÕô�å�ékîµî�üdåµé#ìiåtæ�ïdí�ékë�êoêµékå�çTî �« ø�í¸îÁå�ékîµüdò�ê�îí�ë�æ�ëaé���ü{æ^ê�í�ðiëTð��Hê�ø�éo�Nðiå�çÞ ß à á æ à � ) å â � �_^á�`_aæ à �Iç â ç å � è à �AéÚâêé å � ë ì¯í

� + ù���2ødékåµé

bá `_a ìF6 8 ð 6ú

��������������������

*���*�ð ; <�ð�= <�ð�? <******

$&%%%%%%%%%%%%%%%%%%%'� + ÿ��

c µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 8: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

« ødé£� ) å â � �_^á ` aæ êµékå�ç�ê�ø!æ�êÃæ^ôdô{écæ�å�î¹í¸ë &� � � + ù��Tí¸îæ=ä¯ðiå�åµékäkêµí¸ð�ë�ê�ð�êµødé=îµê�å�écæ�ç�2í�î�é`ÿ{ü�%�ï�í��5ékåµékëdäké�� �á æ �ê�ø{æ^ê=ô{æ^å�æ�ö!ðiò�í�ñkékîÖêµødé�î�êµå�éPæ^ç�2í¸îµé�ôdå�é¯î�î�ü�å�é�ì�å�æ^ïdí�ékë�ê �« ødí�îÉä¯ðiå�åµékäkêµí¸ð�ë0êµékå�çäkðië�êtæ�í�ëdî ¤ í¸ì�ëdékåµðië�¬ î�î�ê�åµéPæ�ç�2í�îµéôdå�é¯î�î�ü�å�étú�ìiåtæ�ïdí�ékë�êoäkð�é'.#ä¯í¸é¯ëÏê�� ) å����2ø�í¸ätø�í�î¨äkðiëdîµê�åtæ�í�ëdékïî�üdätø ê�ø{æ^êÂêµødéÉø�õ�ô!ékå�ö!ðiò�í�ätú�ô{æ�åtæ�ö!ðiò�í�ä¼ë!æ�ê�ü�å�é�ð��´êµødéÉì�ð�û�úékå�ë�í¸ë�ì�é���ü{æ�êµí�ðiëdî=í�îÖôdåµékî�ékåµûiékï �2í�ê�øKåµékî�ô!ékäkê�êµð�ê�ødéî�êµå�éPæ^ç�2í¸îµé�ïdí�å�é¯äkê�í�ðië �ï« ødé äkðië�î�ê�åtæ�í�ë�êaé���ü{æ�êµí¸ð�ë>êµø{æ�ê¤ í�ìië�ékå�ð�ë�ð�ödê�æ^í�ëdékï�Nå�ðiçKæ�ëTékí�ìiékë�ûiæ^ò¸ü�é¼æ�ë!æ�ò�õ�î�í�î2í�î) åuì=çTí¸ë ô � õ � Á@d  æ

� à � Á â � � d  æÿ � + 4#�

d  æ ì 9  Ã ð  ; à ð  = à ð  ? Ä Á < ª � � +�+ ��2ødékåµé Á í¸î2êµødé��±å�ð�ñkékë�åtæ�êµí¸ð�ð��Fî�ô!ékäkí3�{äoø�éPæ�êµî¼æ�ë�ï �pí¸îÂæî�æ*�±ékê�õ¬�ªæ�ä¯ê�ðiå^�Åüdîµü{æ�ò�ò�õ ì * � u + ��í¸ë�äkò�üdïdékï�êµð�æ^äkäkðiü�ëÏê�±ðiåëdðië�ò¸í�ëdécæ�å�í�êµí¸é¯î$ê�ø!æ�êHæ�åµé´ëdð�êFäkðiëdîµí�ïdékå�é¯ïÕí¸ëÁê�ødé�ékí�ìiékë�ûiæ^ò¸ü�éæ�ë{æ^ò�õÏîµí�î �32 &� � � + ù�� í¸îv�2å�í�êµê�ékëTí¸ëaæ�äkð�å�å�é¯äkê�í�ðië¬�±ð�å�ç�í�ë#æoçaæ�ëdë�ékåî�í�ç#í�òÅæ�åFêµð�­aðiåµå�í�î�ð�ëpæ^ëdï�Ð�ð�å�ê�é ��25� ­að�å�å�í�îµðië�æ�ëdï²Ð�ðiåµê�é�±ðiü�ëdï�ê�ø!æ�ê�ê�ødé�í�ç#ôdò�ékçTékë�ê�æ^ê�í�ð�ë#ð�� ¤ í�ìië�ékå�ð�ë�¬ îÂî�êµå�éPæ^çÕú�2í�î�é�ôdå�ékîµî�üdåµé2ìiåtæ�ïdí�ékë�ê7æ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�í�ð�ëÂí�ëoæ2äkékò�òdä¯ékë�ê�ékåµékï�{ëdí�ê�é�û�ðiò�üdçTéÃäkð�ë�ê�é�%�ê å�é���üdí�å�é¯ï�î�ô!ékäkíÅæ^òÕê�å�écæ�ê�çTékë�ê�ê�ðæcûið�í¸ï�ê�ødé¹í¸ë�êµå�ð�ïdüdäkêµí�ðië=ð��Áæ^å�êµí��!äkíÅæ�ò2ôdåµékî�îµüdå�é�ì�å�æ�ï�í¸é¯ëÏêê�ékåµç#î&�2ødí�ätøÕí�ëÉêµüdå�ëÕäPæ^üdî�é2é¯å�å�ð�å�î�ê�ø{æ^ê´æ�åµé2î�êµå�ðië�ìiò�õoìiåµí�ïïdékô!ékëdïdé¯ëÏê � ¢Âî�í�ë0­aðiåµå�í�î�ð�ë*æ^ëdïÍÐ�ðiåµê�é�� 25� ) å í�î�ékûiæ^ò¸üÆúæ�êµékïÉæ�ê<ê�ødé¿äkékò�ò�äkékë�ê�ékåFö�õ¼æcû�ékå�æ^ìií�ëdì2êµødéHäkékò�ò��ªæ^äkéHç#é¯ê�å�í�äkîæ�ëdï äkékò�òX�ªæ^äkéÉô�å�í�ç#í�ê�í�û�é¼ûiæ^å�íÅæ�ö�ò¸é¯îÂðiö�ê�æ�í�ëdé¯ïÍ�±åµðiçKékí�êµødékåæu�!å�î�ê¨ðiå2îµékäkðië�ï�ðiåµïdékå1�Nüdò�ò¸õ�üdôb�2í�ëdïaå�ékä¯ðiëdîµê�å�ü�äkê�í�ðië �ð�ÚC²� B�q¡£²o�H B»�¾5�@e]ðC¢��5�CÛ[¾}¢���º��H¢� B�B¤����w�B¥³�ðiò�ò�ð��2í�ëdì � é��2îµðiç#éTékê#æ�ò � � 2$¡ &� � � + ù��Áí�îÕî�ðiò�û�ékï0ö�õäkðië�î�ê�åµüdäkêµí¸ë�ì¼êµødé�ÿ{ü�%�ékîHæ^ëdïoî�ð�üdå�ä¯é2ê�ékåµç#îX�±ðiåFæ2äkð�ëdî�êtæ�ë�ê

ð*ô�ò�æ^ëdé0� ê�ødåµékétú�ïdí�ç#ékë�î�í�ðië{æ^òh�oð�åÕò¸í�ëdéC� ê$�´ð^úªïdí�çTékëdî�í�ð�ë{æ�òæ�ëdï�æ�%Ïí�îµõÏçTç#ékêµå�í�ä��Fð��Häkékò�ò�î¼æ�ë�ï�êµødékëÃæ^ôdôdò�õ�í�ëdìÉêµødéu�±ð�å�ú�Íæ^å�ïTî5��ékékôaî�êµékôað��$ê�ø�éÂôdòÅæ�ë!æ�å1Óoæ�üdîµî�ú�ã�ékí�ïdékò5åµékòÅæ�%dæ�êµí�ðiëî�ätødékçTé�ôdåµékî�ékë�êµékï�í�ëã º� � �54 + � � &� � �54 + � í¸îÕçTð�ïdí3�{ékïî�ò�í�ìiø�ê�ò�õ �±ðiå2êµødé�î�ô{æ^äkéoçaæ�å�ätødí�ëdì�ôdåµðÏä¯ékïdüdåµéoê�ðÕö!ékäkð�ç#é

/ 0ú�2 ó à�I `�æ à�I è à�I ë â í 3 5 2¬Þ � à a à . à

� è 2¬Þ � à a ' 2 à . àKJ è 2¬Þ � à a µ 2 à . à� ë 2¬Þ � à a à . ' 2 àKJ ë 2¬Þ � à a à . µ 2 ìâ�8 ý � Þ ý µ 2�'  Ià a à . õ Þ ý µ 2�

' 2 à a à . õ Þ ý� à a à . � � + D���2ødékåµé I ` �æ�í¸î¨ê�ødé�T�æ�äkð�ödíÅæ�ë�ð��7ê�ø�éoô{æ�åtæ�ö!ðiò�í�ñkékïaî�êµå�éPæ^çÕú�2í�î�é¨ÿ{ü�%k��á æ à � ) å�â � � ^á `@aæ � &%�êµékëdïdí�ëdì�êµødé�æ^ôdôdå�ð�æ�ätøÖð�� � é��2î�ð�ç#é#é¯êÙæ^ò � êµðÃí�ë�úäkò�üdïdéoîµðiüdåµäkéoêµékå�çTî��dêµødéoäkåµðiîµî�ú�î�ê�åµéPæ�çùôdòÅæ�ëdé�í�îv�ªæ^äkê�ð�å�ékïüdî�í�ëdì#æÁê$��ð^�ªæ�äkêµðiå�î�ätødékçTé

/ M à � � è à�I è àKJ è �P5 2¬Þ ¨� à a à . ì â�8 ý/fM à � � ë àQI ë àKJ ë �R5 2¬Þ � à a à . ì M 2¬Þ ¨� à a à . � +�" �

Þ ý µ 2� à a à . ì Þ ý� à a à . àS2¬Þ � à a à .

æ�ëdïM ì 0ú�2 ó àQI `

�æ âêí�3 � +�( �

° ð���ékûié¯å��dæ�ë#æ^ôdôdåµðÏæ�ätøÕêµø{æ�ê�ø{æ�î¿ò¸é¯î�î �ªæ�äkêµðiåµí¸ñcæ�ê�í�ð�ëÕékå�åµðiåí�îoê�ð �ªæ�ä¯ê�ðiå^ &� � � + D��Áí�ë�ê�ødéTäkå�ð�î�îÕîµê�å�écæ�ç�ôdòÅæ^ëdéÕüdî�í�ëdì���1¢G� ,/ M àON � � è àKJ è �P5 2¬Þ ¨� à a à . ì â�8 ý

/ M àQN � � ë à1J ë �R5 2¬Þ � à a à . ì M 2¬Þ ¨� à a à . � + u��Þ ý µ 2� à a à . ì Þ ý� à a à . àS2¬Þ � à a à .

æ�ëdïM ì 0ú�2 ó àOI `

�æ àQN � I è àOI ë �Xâêí 3 ��D * �« ødé!���¢G� , �ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ^ê�í�ðië�í�îÉæ^ë�é�%�ô{ékë�î�í�ûié�æ�ò�ì�ðiå�í�êµødç0�ékî�ô!ékäkíÅæ^ò¸ò�õï�2ø�ékë,êµødé&ëÏü�çÕö{ékå�ð��Ãé6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëdîÖí¸îÖòÅæ�åµìié �« ødékåµé'�±ðiåµé��´æpç#ð�ïdí3�{ékï ôdòÅæ�ë{æ^åOÓoæ�üdîµî�ú�ã�ékí�ïdékò2åµékòÅæ�%dæ�êµí�ðië�2ødí�ätøÕüdî�ékî�ê�ø�éÂïdíÅæ�ì�ðië{æ^ò�í¸ñ¯ékïÙæ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é �ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ�êµí�ðiëî�ätødékçTéÕí�îoôdå�ð�ô{ð�î�ékï�ê�ø{æ^êoø{æ^îoò�ð��´ékå�îµê�ðiåtæ�ì�é�æ�ë�ïÃð�ô{ékåýúæ�êµí¸ð�ë�å�é���üdí�åµékç#ékë�êµî^�±ðiå�üdî�é¹ðië0çTð�ïdékå�æ^ê�éaæ�î�ô!ékäkêÕåtæ�êµí¸ðìiåµí¸ï�î � « ødí�î�îµä�ø�ékç#é7�2í¸ò�òoä¯ðië�ûiékåµìié�ô{ð�ðiåµò�õ£�2ødékëóê�ødéî�êµå�éPæ^ç�2í¸îµéÉì�å�í�ï�æ�î�ô!ékäkêÁå�æ�êµí�ð�ö!ékäkð�ç#ékî�òÅæ�åµìié�ø<ødð���ékûié¯å��ö�õÕäkðiçÕödí�ëdí�ëdì�êµødé��1¢Y³ ��æ�äkêµðiå�í�ñPæ^ê�í�ðië�2í�êµø��2æ�ò�ò{çaæ�êµä�øÆúí�ëdì^�±üdëdä¯ê�í�ðiëdî��!ê�ødé^�Íæ^ò�ò5ëdðiåµç�æ�ò5ì�å�í�ï�îµô{æ�äkí�ëdìÍ�Næ�ëdï¹ê�ø�üdîæ�îµô{ékä¯ê�åtæ�êµí¸ðb��äPæ�ë ö{é�åµékòÅæ�%�ékï>æ^ëdï>æ^äkäkékôdêtæ�ödò�é�ä¯ðië�ûiékåýúìiékë�äké#ö!ékø{æcû�í�ðiå�å�é¯äkð�ûiékåµékï � ¢�ôdòÅæ�ë!æ�å�å�ékòÅæ�%Ææ^ê�í�ðië ö{æ^î�ékïðiëg�1¢u³ ç�æcõ�ö{é �2å�í�ê�êµékë�æ�î\ 0 à©ú�2 ó â I ` �æ â í�3 ä f 2¬Þ ¨� à a à . ì¯â ú�2 óX8 ýY è / 0 à©ú�2 ó § è �E� è à P â�� è à å �R5 Y ' 2è 2¬Þ ¨H¨� à a à . ì 2¬Þ ¨� à a à .Y ë / 0 à£ú�2 ó § ë �E� ë à P â�� ë à å �P5 Y ' 2ë 2¬Þ � à a à . ì 2¬Þ ¨H¨� à a à .��D � �Þ ý µ 2� à a à . ì Þ ý� à a à . àS2¬Þ � à a à .

Fí�ê�ødé¯å7ð���êµødé�å�ékòÅæ�%dæ^ê�í�ðiëoô�å�ð�äkékïdü�å�ékî�ìií�ûié¯ëÙæ^ö{ð�û�éHí�î7êµødékëüdî�é¯ï=ê�ð�îµðiò�ûiéaéPæ^ä�øãð*ôdòÅæ^ëdéað��oäkékò�ò�îÕö{é¯ìií�ëdëdí�ëdì0æ^êÕê�ødéí�ë�ÿ{ð���ôdòÅæ^ëdé�æ^ëdï0î;�´éké¯ôdí�ëdì0í�ë0ô!ðiîµí�ê�í�ûiéÒð*êµødå�ð�üdìiø�ê�ødéäkðiçTôdüdêtæ�ê�í�ð�ë{æ�òFïdð�ç�æ�í�ë � Hæ�ätø�ð�ôdòÅæ�ëdéÕð��Âäkékò�ò�îÉí�îoí�êµékå�úæ�êµékï=í�ë=ôdîµéküdïdð^úªêµí¸çTéaüdë�ê�í�ò�äkðië�ûié¯å�ìié¯ëdäké�í�î#åµéPæ�ätødékïÎ�±æ�±ðiü�å´ð�å�ïdékå2åµékïdüdä¯ê�í�ðiëaí�ë#êµødé�î�üdç�ð��7êµødé�"   ëdðiåµç�ð��Fê�ødéäkðië�êµí¸ë�üdí�ê�õb��ç#ð�ç#ékë�ê�ü�çÍ�iæ�ëdïaékë�ékå�ì�õ�å�ékîµí�ïdü{æ�ò�î¨í¸î2ì�ékëdékåýúæ�ò�ò�õ�î�üb.#äkí�ékë�ê'� �&« ødé¨î�ðiò�üdêµí�ðië�í¸îFêµødékë#ô�å�ðPèté¯äkê�ékïTí�ëÏêµð�ê�ødéëdé�%�ê2ôdòÅæ�ë�é¼ð��7äké¯ò¸ò�îÂæ^îÂæ�ëaí�ëdí�ê�íÅæ�ò!äkðië�ïdí�ê�í�ðië �X« ødí�î2ôdåµðÏä¯étúïdüdåµé´í�î$åµékô!éPæ�êµékïO�Nðiå$écæ�ätøÉô�ò�æ^ëdéHð��Æä¯ékò�ò¸î<üdë�ê�í�ò�ê�ødé¿ðiüdêýÿ{ð��ôdòÅæ�ëdé�í�î�å�éPæ^ä�ø�ékï �

hÃÞHÛ Õ/×$ÝbØv×$ÛÂák×jiÖá5ák×lk5×$Ý�Ü$ÜdâµÞHÛ¤�¥Y¦�§ ¢ � ø{æ�î¨ê�ødåµékéÉêµékätødëdí���üdékî��±ð�å¼æ�ä¯äkékò�ékå�æ^ê�í�ëdìTê�ødéäkðië�û�ékå�ì�ékëdäkéÕð�� º�Ïî � � � �¨æ�ëdï7� + ù�� �1« ø�éu�{å�îµê�ê�ékätødëdí���üdéí�î2ò¸ð�äPæ^ò$êµí¸çTéÂîµê�ékôdô�í¸ë�ì)�dêµødéoîµékäkðië�ï�ê�ékätødë�í>��üdé�í�î2äkðÏæ^å�îµétú

ê�ð^úI�{ë�é¼ì�å�í�ï#îµé���üdékëdä¯í¸ë�ì)�{æ^ëdïaê�ødé�êµødí�å�ï#êµékätødëdí���üdéoí�î�ê�ødé³dü�ò¸òQ¢Âô�ôdå�ð�%�í�ç�æ^ê�éÂã�êµðiå�æ^ìié�I³�¢�ã���çÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ï�î�ätødékçTéÂð��¦´åtæ�ëdï�ê � =;:

moµ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 9: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

« ødéC³�¢¼ã ìiåµí¸ï ê�å�æ^ëdî$�Nékåaðiô!ékå�æ^ê�ðiåµî¬�±ðiåTê�ødé î�ð�ò¸ü�ê�í�ðië��å�ékîµí�ïdü{æ�ò$�Hæ^ëdï0äkð�æ�åµî�éaìiåµí¸ï�ä¯ðiå�åµékäkêµí¸ð�ëdî�æ^å�éTê�ødð�î�é#í�ë�ê�åµð�úïdüdäké¯ï�öÏõnT�æ�ç#é¯î�ðië � =;B « ødé�çÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ïTî�ê�åtæ�êµékìiõ�äcæ�ë ö{éékí�ê�ødé¯å#æ ¤ � � � * �oð�å{«9� � � * �AB ¡ ê�õ�ô{éaäkõ�äkò�é �7« ødéTäkðiåµå�ékätúê�í�ðië�îpæ*�±ê�é¯å�éPæ�ätø�ôdåµðiò�ðië�ìÏæ�êµí�ðië=æ�åµé�î�ç#ð�ð�ê�ødékï&üdîµí¸ë�ì æî�äPæ^òÅæ�å$ä¯ðÏé�.#äkí�ékë�ê$í�ç#ôdò�í�äkí�êdåµékî�í�ïdü{æ^ò�î�ç#ð�ð�ê�ødí�ëdì�ê�ð¨å�ékçTð�ûiéødí�ìiø²�Nå�é���üdékë�äkõÃé¯å�å�ð�å�îoí�ë�ê�åµð�ïdüdäkékï�ö�õaê�ø�éÉôdåµðiò�ðië�ìÏæ�êµí�ðiëðiô!ékå�æ^ê�ð�å �&« ðÉô�å�ð�û�í�ïdé¼æ�îµüb.#äkí�ékë�ê�ò�õÕî�çTð�ðiê�øÕí�ëdí�êµí�æ^ò{ä¯ðië�úïdí�ê�í�ðiëã�±ðiåaê�ø�é��{ëdé ìiå�í�ï��¨ê�ø�é ³düdò�òO­aüdò�êµí¥ú�ìiåµí�ï9�I³&­ÍÓO�ç#ékêµødð�ï�äPæ�ë�ö{éaí�ë�ûið��iékï � « ødé#ü�î�éað��Y³&­ÍÓÌí¸îÁî�í�ç#í�òÅæ�åê�ð�äkðÏæ^å�î�éÐúªêµð�ú��{ëdé ìiå�í�ï=îµé���üdékëdä¯í¸ë�ì8�2í�êµø=ê�ødé é�%�äkékô�ê�í�ðiëê�ø{æ^êoçÕüdò�ê�í�ú�ìiåµí¸ïaäkõ�äkò�ékîÕæ�åµéÕô{é¯å$�±ð�å�ç#é¯ï�ðië éPæ�ätø0ò�ékû�ékòHð��ê�ødé�äkð�æ�åµî�étú�ê�ð^úI�{ë�éoìiåµí¸ïaîµé���üdékëdäké �« ødé¨çÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ï�î�ätødé¯ç#é2æ�ò�î�ðoø!æ�îHîµékûiékåtæ�ò��±éPæ^ê�üdåµékî´êµø{æ�êæ�åµé2ëdðiêFäkð�ç#ç#ð�ëdò�õ2ékç#ô�ò¸ð�õ�ékï �k« ø�é2ìið�ûié¯å�ëdí�ëdì�é���ü{æ^ê�í�ðiëdîæ�åµé¼æ�ò�òdîµðiò�ûié¯ï#í�ë#æ��±üdò�ò�õoäkð�üdôdò�ékïÒ�ªæ�îµødí�ðiëÕðië#æ^ò�òdìiåµí¸ïÕò�ékû�ú

ékò�î � ¢Âïdïdí�êµí¸ð�ë{æ�ò�ò�õb�ií�ê1�2æ�îv�±ð�üdëdïaüdî�é��±üdòk�Nðiå2ødí�ìiø�ékåY­�æ^ätøë�üdçÕö{é¯å$ÿ!ð��2î´êµðoäkðië�î�ê�åµüdäkê�ê�ødé¨û�í¸îµäkðiü�îHÿ{ü�%Ïé¯îÍæ^î �´é¯ò¸ò5æ�îê�ødéÕîµðiüdåµäké#êµékå�çTî�ðië�æ�ò�òFäkðÏæ^å�î�éTìiåµí¸ï�î �^« ødéÕê�ü�å�ödüdò�ékë�äkéç#ð�ïdékò�é���ü{æ�êµí¸ð�ëdî2æ�å�é¨î�ð�ò¸û�ékï#ð�ë#æ�ò�ò!ìiå�í�ïÕò�ékû�ékò�î�ø�ødð���ékûié¯å��î�ð�ç#é�î�ô!ékäkíÅæ�ò2êµå�éPæ^ê�ç#é¯ëÏê®�±ðiå^�Íæ^ò�òHö{ð�üdëdï{æ^å�õ äkðië�ïdí�ê�í�ðiëdîæ�åµé�ékç#ô�ò¸ð�õ�ékï �ê« ødé �Íæ^ò¸ò2ö!ðiü�ëdï{æ�åµõ0äkð�ëdïdí�ê�í�ð�ë ð�ëÖê�ødéïdí�î�îµí¸ô!æ�ê�í�ð�ëÃé���ü{æ^ê�í�ðië í�î�ékí�ê�ødékå�å�é¯î�ê�åµí�äkê�ékï �±å�ð�ç÷êµødé^�{ëdéìiåµí¸ïTðiå�äkðiçTôdüdêµékïÕðiëTê�ødé�äkð�æ�å�îµé�ìiå�í�ïTöÏõÕé¯ûiæ�ò�ü{æ�êµí�ëdì�ê�ødé�Íæ^ò�ò{çaæ�ê�ätødí�ëdì®�±üdëdäkêµí�ðiëaðiëaê�ø�é¼ä¯ðÏæ�åµî�éoì�å�í�ï �, çTôdò�ékç#ékë�êtæ�ê�í�ð�ëÃð�� êµødé0³�¢¼ã æ�ëdïê³i­ Ó÷çTékê�ø�ðÏï�îÕí¸î

í�ïdékë�ê�í�äPæ^ò��±ð�å$ê�ø�é´ø�õ�ô{é¯å�ö!ðiò�í�ätúªé¯ò¸ò�í�ôdêµí¸ä�æ�ëdïoêµødé�øÏõ�ô!ékå�ö!ðiò�í�ätúô{æ�åtæ�ö!ðiò�í�äO�Nðiå�çTîÂð��Âê�ødéÕé���ü{æ^ê�í�ðië�îO�2í�ê�ø ðiëdéTé�%�äkékôdêµí¸ð�ë �«=ødékëÕîµðiò�û�í�ëdì�ê�ødé¨øÏõ�ô!ékå�ö!ðiò�í�ätú�ékò�ò�í¸ô�ê�í�äv�±ðiåµç�ð��$ê�ødé¨é���ü{æcúê�í�ðiëX�dê�ø�éÉì�å�í�ï�í�îÂäkð�æ�åµî�ékëdé¯ï�í¸ë æ�ò�ò$ïdí�åµékäkê�í�ð�ëdîÂüdë�í��Nðiå�çTò�õ �° ð���ékûié¯å��k�2ødé¯ëÃîµðiò�û�í¸ë�ìÕê�ødé�ø�õÏô!ékåµö{ð�ò¸í�ätú�ô{æ^å�æ�ö!ðiò�í�äu�±ð�å�çð��Éêµødé é���ü{æ�êµí¸ð�ëdî��¨ê�ø�éÃì�å�í�ï>í�îTäkðÏæ^å�î�é¯ëdékï�í�ë=ê�ø�é�äkå�ð�î�îÿ{ð��&ôdòÅæ�ëdé�ðië�ò¸õ � ³dð�å2ê$�´ð^úªïdí�çTékëdî�í�ð�ë{æ�ò{æ^ëdï�æ�%�í�î�õ�ç#çÕé¯ê�úå�í�äaôdå�ð�ödò�ékç#î�ê�ø�í¸îÕåµékî�ü�ò¸êµî#í�ë0ì�å�í�ïÖäkðÏæ^å�îµékëdí�ëdì�í�ë0êµødé0ñïdí�å�ékä¯ê�í�ðië�ð�ëdò�õ øX�2ødí�ò�é^�±ðiå�êµødå�ékéÐúªïdí�çTékëdî�í�ð�ë{æ�òHô�å�ðiö�ò¸é¯ç#î��ê�ødí�î<å�ékîµüdò�ê�îHí�ë�äkðÏæ^å�îµékëdí�ëdì�í�ëoê�ødé1ñ�æ�ëdï ò¼ï�í¸åµékäkêµí¸ð�ëdîFðiëdò�õ �

o8×XÝ�à�k�Ü�ݳ�ðiüdå é�%dæ�çTôdò�é�ôdå�ð�ödò�ékç#î æ�å�éÖôdåµékî�é¯ëÏêµékï�êµð>ïdé¯ç#ðiëÆú

î�êµå�æ�êµéÉêµødéoäPæ^ô{æ�ö�í¸ò�í�ê�í�ékî2ð��Hê�ødé�çÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ï��^î�ô{æ^äkéÉçaæ�åµä�øÆúí�ëdì)��å�é¯ò�æ�%dæ�ê�í�ð�ë>æ�ò�ìið�å�í�ê�ø�ç �£« ø�é²�{å�îµêaê�ékîµê�äcæ�î�é í�î#í�ë�úû�í¸îµäkí�ï��¨äPæ�ò�ðiåµí�äPæ�ò�ò�õÖô{ékåA�±ékäkê��­�æ�ätø ù�ÿ!ð��÷ð�ûié¯åpæ�ê$��ð�úïdí�ç#ékë�î�í�ðië{æ^òFödüdç#ô�í�ëÖæaätø{æ�ëdë�ékò$ø´êµødé#îµékäkð�ëdï=í�îoäPæ^ò¸ð�å�úí�äPæ�ò�ò�õÖô{ékåA�±ékäkê��oêµüdå�ödü�ò¸é¯ëÏê���û�í¸îµäkðiü�î��O­�æ^ä�ø D`ÿ{ð��ùð�ûiékåæaÿ5æ�ê�ôdòÅæ�ê�é�øHê�ø�é�êµødí�å�ï�í¸î�äPæ^ò¸ð�å�í�äPæ^ò¸ò�õ ô{é¯å$�±ékä¯ê���òÅæ�ç#í�ë{æ^å��­�æ�ätøÿXÿ{ð��0ð�û�ékå´æ¨ê�ødåµékéÂï�í¸çTékëdîµí¸ð�ë{æ�ò�äkðiçTôdå�é¯î�î�í�ð�ëÉäkð�å�úëdékå�ø¼æ^ëdï=ê�ø�é²�±ðiü�å�ê�øÖí�î�æ ê$��ð�ú�ïdí�ç#é¯ëdî�í�ðië!æ�òHîµüdô{é¯å�î�ð�ëdí�äê�üdåµödüdò�ékë�ê2ïdí3�5üdî�í�ðiëTÿ�æ^ç#é �³<í�ìiüdåµé � îµødð��2î�ê�ødé�ê$�´ð^úªï�í¸çTékëdîµí¸ð�ë{æ�ò5ä¯ðiç#ô�üdê�æ^ê�í�ðië{æ^òìiåµí¸ï �±ðiå#æ�­�æ^ä�ø£ù¹î�í�çÕüdòÅæ�êµí�ðië ð��¼í�ë�û�í�î�äkí�ï�ÿ!ð���ð�ûiékå#æödüdçTôÉí�ë#æ�ätø{æ^ëdëdékò �&« ødé¨ìiå�í�ïÕäkð�ëdî�í�îµê�î�ð���DB4Áäkékò�ò�îHí�ëÕê�ødéî�êµå�éPæ^ç�2í¸îµé��ð#��ïdí�å�é¯äkê�í�ðië æ�ëdïÍÿ�ù�ä¯ékò�ò¸î2í�ëaê�ø�éoäkå�ð�î�îXÿ{ð���Iñb��ïdí�å�é¯äkê�í�ðië � « ødéoì�å�í�ï�æ�îµô{ékä¯êÂå�æ^ê�í�ðÕäPæ^ë�ö!éoîµékékë�êµðÕö{éëdéPæ^å�ò�õoðië�é �±ð�å7æ^ò¸ò�äké¯ò¸ò�îHæ�ë�ïoê�ødé2ì�å�í�ïoí�îFðiåµê�ødð�ìiðië!æ�ò�ê�ð¨ê�ødéò�ð��´ékåÕö!ðiü�ëdï{æ�åµõ � ³<í¸ì�üdå�éÍù ôdåµékî�é¯ëÏêµî�ïdékë�î�í�ê�õ0äkð�ë�ê�ðiü�å�î�±å�ð�ç æ=îµô{æ�äkéÖçaæ�å�ätødé¯ï�î�ðiò�üdêµí�ðië�ðiö�ê�æ�í�ëdé¯ï�üdîµí¸ë�ì=ò�í¸ë�éÓoæ�ü�î�î�ú�ã�ékí�ïdé¯ò´åµékòÅæ�%dæ�êµí¸ð�ë �²« ødéTî�ê�åµéPæ�ç�2í�îµéÕÿ{ü�%�ékî^��ékå�é

äkðië�î�ê�åµüdäkêµékïÖüdî�í�ëdìaî�é¯äkðiëdï�ðiåµïdékå��Ö�±üdò�ò�õaüdôb�2í�ëdïÃé6%Ïêµå�æ^ô�úðiòÅæ�êµí�ðië�æ�ëdï�ê�ødéTäkå�ð�î�î�ú�î�êµå�éPæ^ç�ÿ!ü�%�ékî�´é¯å�éaäkðië�î�ê�åµüdäkêµékïüdî�í�ëd쯭 ¥ ã §1¦ �2í¸êµøqp¨ì � ª ÿÖæ�ëdï�êµødé0îµç#ð�ðiêµø=ò�í�çÕúí�ê�ékåFð�� ¤ ékë��iæ�ê�æ���å�í�î�ødë!æ�ë � B�=O¢ ìiå�í�ïoîµüdö�ú�î�êµékôdôdí�ëdìu�NéPæ�êµüdå�éæcûiæ�í�òÅæ�ödò�é�í�ë ¤o¥u¦�§ ¢ � �Íæ^î�ékç#ôdò�ð�õ�ékï�ê�ðaäkð�ë�ê�å�ð�òFðiî�ä¯í¸ò�úòÅæ�ê�í�ð�ëdîÉë�éPæ�åÕêµødéaî�ødð�ä'� � ã�ô!æ�äké�çaæ�åµä�ø�í¸ë�ì�åµékî�ü�ò¸êµî#í�ë æòÅæ�ä'�=ð��Õïdð��2ëdîµê�åµéPæ�ç�í�ëb�±ð�å�ç�æ^ê�í�ðië�ïdüdåµí¸ë�ì êµødé�î�êµå�éPæ^çÕú�2í�î�é2ÿ!ü�%Õäkðië�î�ê�åµüdäkêµí¸ð�ë�ç�æ���í¸ë�ìÂí�ê´í�çTô{ð�î�î�í�ödò�é2êµðÉékçTôdò�ð�õÿ{ü�%�ò�í�ç#í�êµékå�î2í�ë�êµødésr�äkòÅæ^î�î�í�äPæ^ò�t#î�é¯ëdî�é �Ò° ð���ékûiékå�� ¤o¥u¦ ú§ ¢ � äPæ^ëÖö{é�çaæ�ïdéÕêµðjr�îµüdö�ú�î�ê�é¯ô�t0ð�ë êµødéaìiåµí¸ï � ã�üdö�úî�êµékôdôdí�ëdì í�îÙæaô�å�ð�äkékïdü�å�é�êµø{æ�ê�ò�í¸ë�éPæ�åµò¸õ¹î�üdö�ú�ïdí�û�í�ïdékî�ê�ødéí�ëdôdüdê�î�êµå�éPæ^ç�2í¸îµéÂäké¯ò¸ò�î���ê�ødékåµékö�õ#åµékïdüdäkí�ëdìÕêµødé�ìiåtæ�ïdí�ékë�ê�îí�ë=ê�ødé¹î�ê�åµéPæ�ç�2í�îµé�ïdí�å�ékä¯ê�í�ðië�æ�ëdïÖí�ëdäkåµéPæ�îµí�ëdì=æ�äkäkü�å�æ�ä¯õ�2ødí�ò�é�æ�ò�îµðÃåµékïdüdäkí�ëdì�ðiîµäkí�ò¸òÅæ^ê�í�ðiëdî � ³<í�ìiüdåµéÑÿ¹î�ø�ð��2îÕê�ødéê�õ�ôdí�äPæ�ò!äkðië�û�ékå�ì�ékëdäkéoö!ékø{æcû�í�ðiå¿ð��7îµékûié¯å�æ�ò5ä¯ðiç#ô�üdê�æ^ê�í�ðië{æ^òôdòÅæ�ëdé¯îO�±åµðiç6ê�ø�é#î�ð�ò�üdê�í�ðië � Hæ�ätø0ô�ò�æ^ëdé��2æ�îÁí¸ë�í¸êµíÅæ�ò�í�ñkékï�2í�ê�øoêµødé2î�ð�ò¸ü�ê�í�ðië��±åµðiç�ê�ø�é2ôdå�ékû�í�ðiü�î7ô�ò�æ^ëdé´æ^ëdïÉêµødé § ³ ¦�Íæ^îFå�æ�çTô{é¯ïu�±å�ð�ç�æ�ë�í�ëdí�ê�íÅæ�ò�ûiæ^ò¸ü�é´ð�� � *y* ê�ðoæ��{ë{æ�ò�ûiæ^ò¸ü�éð�� � *y*�* ð�ûiékå + í�ê�ékåtæ�ê�í�ð�ëdî � ¢Âò�òHôdòÅæ^ëdékîoäkð�ë�ûiékåµìiékï�4�ð�å�úïdékåµî´í�ë�ê�ødé�"   ëdðiåµç�í�ë ��+ í�ê�é¯å�æ�êµí�ðiëdîFðiå¿ò¸é¯î�î � ­püdò�ê�í�úªì�å�í�ï�Íæ^î2ëdðiêv�NðiüdëdïTê�ð#æ^ôdôdå�é¯äkíÅæ�ödò�õ#í�çTôdå�ð�û�é2ê�ødéÉæ^ò�å�éPæ^ïdõ#é�%�úäkékò�ò�ékë�ê´ä¯ðië�ûiékåµìiékë�äké�å�æ�êµéÂð��$ê�ødí�îHôdåµðiödò�ékç �k« ødé¨ôdå�ð�ödò�ékç�Íæ^î$æ�ò�î�ð¨å�üdëÁüdî�í�ëdì2êµødéu�1¢u³Tö{æ�îµékï-Óoæ^üdî�îýúýã�é¯í¸ï�ékò�î�ätødékçTéüdî�í�ëdì æ § ³ ¦ å�æ�çTô{é¯ï��±å�ð�ç � ê�ð � * ð�û�ékå + í¸êµékå�æ^ê�í�ðië�î �« ødés�1¢Y³ î�ätødékçTéÃåµé���üdí�å�ékï9ù * í�ê�ékåtæ�êµí¸ð�ëdîaðië�æcûiékåtæ�ì�éê�ðTå�ékïdü�äkéÕê�ødéV"   �±ðiü�å¼ð�å�ïdé¯å�î�ð��´çaæ�ì�ëdí�ê�üdïdé �1° ð���ékûié¯å��ê�ødé��¢Y³¹î�ätødékçTé2ø{æ�ï#æ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é¯ò¸õ�êµødé2î�æ^ç#é�äkðiîµê´ô!ékåôdòÅæ�ëdé�ïdü�é¼êµðÕí�ê�î2ò�ð��´é¯å´äkð�î�ê¨ô{ékå2í�êµékå�æ^ê�í�ðië �³<í�ìiüdåµé�4=ô�å�ékîµékë�ê�î0êµødé8­¹æ�ätø�äkðië�êµðiüdåµî��±å�ð�ç æ î�ü�úô{é¯å�î�ð�ëdí�ä��2äPæ^ò�ðiå�í�äPæ^ò�ò¸õ ô!ékå$�±é¯äkê0� Á ì �y¹ 4#�ÁäPæ�ò�äküdòÅæ^ê�í�ðië�ð��ê�üdåµödüdò�ékë�êÁÿ{ð���ð�ûiékåÕæ * �T+ çTékê�é¯åÉò�ðië�ì#ÿ5æ�ê�ôdòÅæ�ê�é �Í« ødéüdëdí�ê �±å�ékéTî�êµå�éPæ^ç � ékõ�ëdðiò�ïdîoë�üdçÕö!ékåoí�îù ¹ DB4nE � * @ æ�ë�ïê�ødé^�2æ�ò�ò5ê�ékçTô{é¯å�æ�êµüdå�é�å�æ^ê�í�ð � · ª �wv ì * ¹ D +��v« ødéÁö{æ�îµétúò�í¸ë�é{� â ) êµüdå�ödü�ò¸é¯ëdäkéoçTðÏï�ékò)�2æ�î2îµðiò�ûié¯ï#ê�ðÕêµødéu�Íæ^ò�ò{ð�ëæ¨äkðiçTôdüdê�æ^ê�í�ðië!æ�òiì�å�í�ïoð��Öù *�* ä¯ékò�ò¸î¿í¸ë�ê�ø�é ðoïdí�å�é¯äkê�í�ðiëÕæ�ë�ï��+ ÿ�äkékò�ò�î$í�ëoê�ø�é�ñ¨ïdí�å�é¯äkê�í�ðië ��« ødé¿î�ê�åµéPæ�ç�2í�îµéFÿ{ü�%�ékî&��ékå�éäkðië�î�ê�åµüdäkêµékïÖüdî�í�ëdìaî�é¯äkðiëdï�ðiåµïdékå��Ö�±üdò�ò�õaüdôb�2í�ëdïÃé6%Ïêµå�æ^ô�úðiòÅæ�êµí�ðië�æ�ëdï�ê�ødéTäkå�ð�î�î�ú�î�êµå�éPæ^ç�ÿ!ü�%�ékî�´é¯å�éaäkðië�î�ê�åµüdäkêµékïüdî�í�ëdì^­ ¥ ã §1¦ �2í�ê�øxpì � ª ÿoæ�ëdïÕêµødéÂîµç#ð�ðiêµøÉò�í�ç#í�êµékå$ð��¤ ékë��iæ^ê�æ��Ïåµí�î�ødë{æ^ë � B�= « ødéö�µ ð��´êµødéu�{åµî�ê�äkékò�òFäkékë�ê�é¯åoð��ê�ødé1�2æ�ò�òb�2æ�îFò�ékî�îHêµø{æ�ë * �T+ �±ð�å7êµødé2ékë�ê�í�åµé2ôdòÅæ�ê�é � ³<í�ìiüdåµé +ôdå�ð�û�í�ïdékî2êµødéoäkð�ç#ôdü�ê�ékïaðiü�ê�ÿ{ð��&ûiékò�ð�äkí�ê�õ�æ^ëdïaékïdïdõaû�í�î�úäkðiîµí�ê�õoôdå�ð��{ò�é´ï�ékç#ð�ëdî�êµå�æ�êµí�ëdì2ê�ø{æ^êFê�ødé2ö!ðiüdë�ï{æ�åµõoòÅæcõiékå<í¸î�´é¯ò¸ò<å�ékîµðiò�ûié¯ï � ³$í�ì�üdå�é�D�ôdåµékî�ékë�êµî¼îµékûié¯å�æ�òFê�õ�ôdí�äPæ^ò�r�ô!ðiîµê�úê�åtæ�ëdîµí¸êµí�ðië�t�ä¯ðië�ûiékåµìiékë�äkéaødí�î�ê�ð�å�í�ékîÕæ�êÉæpò¸ð�äPæ^ê�í�ðiëC�2ø�ékå�éê�ødé¨ìiåµí¸ïaæ�îµô{ékä¯ê2å�æ�êµí�ð-�2æ�î4yuÿ *�* ��« ø�éÂò�í�ëdéYÓoæ^üdî�îýúýãÆékí�ïdékòå�ékòÅæ�%Ææ^ê�í�ðië&î�ô!æ�äké�ç�æ�åµätødí�ëdì0îµä�ø�ékç#éC�2æ�î�ü�î�ékï �2í¸êµø�æ«9� � � * �Fäkõ�äkò�éu³i­ Ó¯�2í¸êµø ÿ�ì�å�í�ï#ò�ékû�ékò�î �X« ødé�"   ë�ðiå�ç�ð��ê�ødé2åµékî�í�ïdü!æ�ò!í¸î¿å�ékïdü�äkékï � ù¨ðiåµïdékåµî´ð���çaæ�ìië�í¸êµüdïdé�ðië�éPæ�ätøî�êµå�éPæ^ç�2í¸îµéÂîµê�ékô�í�ë²ÿ�ùÁçÕüdò�ê�í�úªì�å�í�ï�äkõ�äkò�ékî � ¢Âò�ê�ødð�üdìiøTëdðiêî�ødð��2ëX��í¸ê�í�î´í�çTô{ð�å�ê�æ^ë�ê7êµðÉë�ðiê�é�êµø{æ�ê�ê�ødé�åµékî�í�ïdü{æ^ò$ð��$ê�ødé�0æ^ëdï ) é���ü{æ^ê�í�ðiëdî�ö!ðiê�øÖäkð�ë�ûiékåµìiékï=æ�ê�ê�ø�é�î�æ^ç#éÕå�æ^ê�éæ�ëdïÖêµð�ê�ødéaî�æ^ç#éaò�ékûié¯òÂæ�î#îµødð��2ëÖødékåµé �¯« ødéaôdå�ð�ödò�ékç�Íæ^î�å�üdë��2í�ê�ødð�üdêÂçÕüdò�êµí¥ú�ìiåµí�ï�æ�ë�ï0�2æ�î��±ð�üdëdï�êµð�åµé���üdí�å�éç#ð�å�éÂêµø{æ�ë � ÿ * äkõ�äkò�ékîÂêµðÕäkðië�ûié¯å�ìiéÁê�ð�ê�ødéoîtæ�çTéÂò�ékûié¯ò7æ�îî�ødð��2ëaí�ë�!ìiüdåµé{D �« ødé&ê�ø�í¸åµï,äcæ�î�é�í�î�ê�ødé&î�üdô!ékåµî�ðië�í¸äóòÅæ�ç#í�ë{æ^åÃêµødå�é¯étú

È µ�¶u´{·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 10: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

ïdí�ç#ékë�î�í�ðië{æ^ò!ÿ{ð���ð�ûié¯åÂê�ø�éÉîµõÏçTç#ékêµå�í�ä�äkðiåµëdékå�äkð�ç#ôdåµékî�úî�í�ðië�ÿ!ð�� ð��iÐ�ðiå;�iékì�í�æ^ëdïq«�ékîµê � ='= « ødé¨üdëdí�ê �Nå�éké¨î�ê�åµéPæ�ç� ékõ�ëdð�ò�ïdîoë�üdçÕö!ékåu�±ð�åoê�ødí�î�ôdå�ð�ödò�ékç6í�î�ÿ ¹ * " E � * 4 æ�ë�ïê�ødé��2æ�ò�ò�ê�ékçTô{ékåtæ�êµüdå�é å�æ^ê�í�ð0í�î � · ª �wv ì �y¹ *�* � « ødéäkðiçTôdüdêtæ�ê�í�ð�ë{æ�ò�ìiåµí¸ïX�´îµødð��2ëÖí�ëã³<í�ìiü�å�é " ��ø{æ^îhDB4�ä¯ékò�ò¸îí�ë�ê�ødéÒðÃïdí�å�ékä¯ê�í�ðiëÖæ�ëdï � ù ( äké¯ò¸ò�î�í�ë�ö{ð�ê�ø0êµødé ñ�æ^ëdï òïdí�å�ékä¯ê�í�ðiëdî¬�±ð�å#æ�êµðiê�æ^ò � � * 4 ( � +�" Daäkékò�ò�î �Ϋ ødé¹ìiå�í�ï£�2æ�îäkðië�î�ê�åµüdäkêµékïÖî�üdätø�ê�ø!æ�êoêµødéÕî�êµå�éPæ^ç�2í¸îµéÕìiåµí¸ï�æ�îµô{é¯äkêÉåtæcúê�í�ðC�2æ�î�ÿ *y* æ�êTê�ødé�í�ë�ÿ!ð���ôdòÅæ�ëdé æ�ëdïÖìiåµé��Kê�ð � * � *y*�*æ�ê�ê�ø�éÉð�üdê�ÿ{ð��óôdòÅæ�ëdé�î�ðaêµø{æ�ê�ê�ø�éÉîµékëdî�í�êµí¸û�í�ê�õ�ð��´ê�ødé#æ^ò�úìið�å�í�ê�ødç ê�ðTìiåµí¸ï æ�î�ô!ékäkêÁå�æ�êµí�ðÕäkðiüdò�ï ö{éÁé�%dæ�ç#í�ëdé¯ï �1« ødéî�êµå�éPæ^ç�2í¸îµéFÿ{ü�%�ékî&��ékå�é�äkð�ëdî�êµå�üdäkêµékïÕüdîµí¸ë�ìÂî�é¯äkðiëdïÕð�å�ïdé¯å���±üdò�ò�õ�üdôb�2í¸ë�ïÉé�%�êµå�æ�ô!ðiòÅæ^ê�í�ðiëÉæ^ëdï�ê�ødé2äkåµðiîµî�ú�î�ê�åµéPæ�ç ÿ{ü�%�ékî�´é¯å�é�äkðië�î�ê�åµüdäkêµékïÃü�î�í�ëdì­ ¥ ã §1¦ �2í�ê�ønp�ì � ª ÿ�æ�ëdïTê�ødéî�çTðÏð�ê�ø�ò�í�ç#í�ê�ékå5ð�� ¤ ékë��iæ�ê�æ���å�í�î�ødë!æ�ë � B�=O¢ÖôdòÅæ^ë{æ�å&Óoæ�üdîµî�úã�ékí�ïdékò¨å�ékòÅæ�%Ææ^ê�í�ðiëê�2ødí�ätøÖüdî�é¯ï�æs���1¢�� , äkå�ð�î�îýúªîµê�å�écæ�ç�ªæ�ä¯ê�ðiåµí�ñPæ�êµí¸ð�ë �2æ�îÕüdîµékïÖê�ð�ïdåµí�ûié�æ ¤ � � � * ��äkõ�äkò�éͳi­ Ó�2í�ê�øÍÿÕì�å�í�ïaò¸é¯ûiékò�î � ³<í�ìiüdåµé ( ôdå�é¯î�ékë�ê�îÁïdékëdîµí¸ê�õaäkð�ë�ê�ðiü�å�îð��Fê�ødé�äkð�å�ëdékå¨í�ëÏêµékå�æ^äkê�í�ð�ë#å�é¯ìií�ðiëaê�ø!æ�êv�Íæ^î2äkðiçTôdüdê�é¯ï#í�ò�úò�üdî�êµå�æ�êµí�ëdì�ê�ø�é#î�é¯ò��Âîµí�ç#í�òÅæ�åÂë!æ�ê�ü�å�é#ð��Âê�ødé ÿ{ð�� � ³<í�ìiüdåµéuÕôdåµékî�é¯ëÏêµîoê�ø�éÉäkð�ë�ûiékåµìiékëdä¯éÕødí�î�ê�ð�å�õ²�2ødékåµéÉêµødé�ìiå�í�ïÃæ^î�úô{é¯äkê2å�æ^ê�í�ðO�2æ�îHð�ëÕê�ødé¨ðiå�ï�ékå2ð�� " *�*�* �k« ødé § ³ ¦ ë�üdçÕö!ékå�Íæ^îoå�æ^ç#ô!ékï �±å�ð�ç � *y* ê�ð � *�*�* ð�ëÃéPæ^ätø0ôdòÅæ�ë�éÉð�û�ékå-ù +äkõ�äkò�ékî �Ò« ødéÕç#ékêµødð�ïÃï�í¸ï é�%�ødí�ödí�ê�î�ð�ç#éoïdé¯ô{ékë�ïdékëdäkéað�ëìiåµí¸ï#æ^î�ô!ékäkê2åtæ�ê�í�ð ��, ëdí�êµí�æ^ò�ò¸õb���2ødékåµéÂê�ø�éÂìiåµí�ï�æ�îµô{é¯äkê´åtæ�êµí¸ð�Íæ^î-ÿ *y* �Fêµødé#îµðiò�üdê�í�ð�ë�å�é���üdí�å�é¯ï0ðië�ê�ødéTðiåµïdékå�ð��Yÿ * úi4 *çÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ïaäkõ�äkò�ékî�ô{é¯åoôdòÅæ�ëdé ��° ð��´ékû�ékå��<ê�ø�éÕëÏü�çÕö{ékå�ð��äkõ�äkò�ékî�ô{ékåÕô�ò�æ^ëdéÕìiåtæ�ïdü!æ�ò�ò�õ�äkò�í�çÕö{ékï üdë�ê�í�òHí�êoîµê�æ^ödí�ò¸í�ñké¯ïæ�ê + * äkõ�äkò�ékîÕô!ékå�ôdòÅæ�ëdé � ¢¨îÉîµødð��2ë0í�ë��{ì�üdå�é´uaê�ø�é!"  ëdðiåµç ð��Éê�ø�é�å�ékîµí�ïdü{æ�òu�2æ�îTå�ékïdü�äkékï�ö�õ7�±ðiüdåÕð�å�ïdé¯å�îaí�ëæ�ôdô�å�ð�%�í�ç�æ�êµékò�õ + * çÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ï�äkõ�äkò�ékî � «=ødékëÕêµødéÂì�å�í�ïÙæ^î�úô{é¯äkê�å�æ�êµí�ðÉé�%�äké¯ékïdékï�4 *�* ��êµødé �{ëdéoì�å�í�ïaî�ätødékçTéY�2í�êµødðiüdêçÕüdò�ê�í�ú�ìiå�í�ïÕåµé���üdí�å�ékï ç#ð�å�éoêµø{æ�ë²�!ûié�ê�í�ç#ékîÂæ^îÂçaæ�ë�õ#äkõ�úäkò�ékîÂêµðÙæ^ätødí�ékûié�ê�ø�éoî�æ^ç#éÂò�ékû�ékò5ð��Häkð�ë�ûiékåµìiékëdä¯é �« ødé �{ë{æ^ò�é�%dæ�ç#ô�ò¸é¹í¸îaæ�ê$�´ð^úªïdí�çTékëdî�í�ð�ë{æ�ò�ê�üdåµödüdò�ékë�êïdí3��ü�î�í�ðiëÖÿ5æ�ç#é �2ødí�ä�ø©�Íæ^î�äcæ�ò�äküdòÅæ�êµékï=ö�õ=îµðiò�û�í¸ë�ì�ê�ødé

ÿ{ð��Kð�ûié¯å�æ�ë í¸ë �{ëdí�ê�ékò�õ�ê�ødí�ë=îµôdò�í¸êµê�ékåaôdòÅæ^ê�é�êµø{æ�êTî�ékô{æmúå�æ^ê�ékî�ô�üdå�é ø�õÏï�å�ðiì�ékë ÿ{ð��2í�ëdì æ^ê ÿ ( *�* ç�þ�îµékäê�h�2í�ê�ø>æôdå�é¯î�î�ü�å�éað�� � æ^ê�çTðiî�ô�ødékå�é#æ^ëdï0æaêµékç#ô!ékå�æ^ê�üdåµé#ð�� � *�*y*ÐO����±å�ð�ç æ�ç#í�%�ê�üdåµéÃð��:z   æ^ëdï O   ÿ{ð��2í�ëdì=æ�ê � ù *y*ç�þ^î�ékä��h�2í�ê�ø=æ¹ôdå�ékîµî�üdåµéÃð�� � æ�êµç#ðiîµôdødékåµé�æ�ëdïÖæ ê�ékç úô{é¯å�æ�êµüdå�é¹ð�� � *y*�* Ю�Õæ^ëdïÖê�ødé¯ë îµðiò�û�í�ëdìÃêµødé²�Íæ��ié�æ�ë�ïî�ødécæ�åÂòÅæcõ�ékå2ê�ø{æ^êv�±ðiåµç �2ø�ékëaê�ødéu�Nüdékò7æ^ëdïað�%�í¸ï�í¸ñ¯ékå2ç#í�% �« ødéaÿ{ð��ü�Íæ^îÕî�ô{æ^äkéÃçaæ�åµä�ø�ékïC�±åµðiçê�ødé¹ôdòÅæ�ê�éaò�éPæ^ïdí�ëdìékïdì�é�ê�ð�ê�ødé�ô�ò�æ^ê�éaê�åtæ�í�ò�í�ëdì�ékïdì�é�î�ð�ò¸û�í�ëdì ê�ødéC­aékë�êµékå�¬ îö{æ�îµékò�í�ëdé#ê$��ð�ú�é���ü{æ�êµí�ðië ê�üdåµödüdò�ékëdäkéaçTðÏï�ékòHé���ü{æ^ê�í�ðiëdî�ê�ðê�ødé�æ�ïdíÅæ�ö!æ�ê�í�äu�2æ�ò�ò �/« ø�é�ÿ{ð�� �2æ�îÂêµødékë�îµô{æ�ä¯éÉçaæ�å�ätødé¯ïïdð��2ëdîµê�å�écæ�ç �Nå�ðiç ê�ø�éÉôdòÅæ^ê�é�ê�å�æ^í�ò¸í�ëdìÕé¯ïdìié^�2ødékåµéÉí�ê�ïdétúûiékò�ð�ôdî#æ�îÕæ��Íæ��iéaæ�ëdïÖê�ø�ékë=æ�î#æ î�ø�éPæ�åÕòÅæcõié¯å � ³<í�ìiüdåµé� * î�ødð��2î2êµødé�ê�ødåµékéoödò�ð�ä'�ÕäkðiçTôdüdêtæ�ê�í�ð�ë{æ�òdì�å�í�ï#êµø{æ�ê1�2æ�îüdî�é¯ï � ¦�ò�ðÏä'��î�ðiëdé�æ�ëdï ê$�´ðTäkðië�î�í�î�êµékïÃð���DB4Täkékò�ò�î�í¸ë¹ê�ødéð#ïdí�å�ékä¯ê�í�ðiëÃæ^ëdïÍñTïdí�å�ékäkêµí�ðiëÃæ^ëdï�ödò�ð�ä'��êµødå�é¯éÉäkð�ë�ê�æ�í�ëdé¯ïu�DÁäkékò�ò�î2í�ë#ê�ø�éuðÉïdí�å�é¯äkê�í�ðië�æ^ëdï � ù ( äkékò�ò�î2í�ë#êµødé-ñ�ïdí�å�é¯ätúê�í�ðië � ¦´ò�ð�ä'��î¼ð�ëdé#æ�ë�ï�ê$�´ð²��ékå�éÕåµüdë�ëdðiëÆúªåµéPæ�äkêµí�ëdìÃæ�ë�ïödò�ð�ä{��êµødå�é¯éÍ�Íæ^îÉåµüdëÖå�éPæ^äkê�í�ëdìC�2í�êµø æ " î�ô!ékäkí�ékî�� " åµétúæ�äkêµí�ðië�çTðÏï�ékò � B ? ³<í�ìiü�å�ékî ��� æ^ëdï � ùÕôdåµékî�ékë�ê-­¹æ�ätøÃæ�ë�ï�Íæ^ê�ékå¿äkðië�ê�ð�üdå�î¿î�ødð��2í�ëdì�ê�ø�é2ö{ð�üdëdï{æ^å�õÕæ�ëdï�î�ødécæ�å�ò�æcõ�ékå�î

æ�î^�´é¯ò¸ò2æ�îÕêµødéÕÿ5æ�ç#éÕò�ð�äPæ^ê�í�ðië ��« ødéÒ�±üdékòÂæ^ëdï0ð�%�í�ïdí�ñkékåäPæ�ë¹ö{é�î�éké¯ë�ê�ð#ø!æcûiéoçTí>%�ékïaí�ëaê�ødé�î�ø�éPæ�å�òÅæcõiékå�æ�ëdï¹ê�ødéÿ�æ�çTéÍæ^üdê�ð^úªí�ì�ëdí�ê�ékï#æÁî�ødð�å�ê�ïdí�î�êtæ�ëdäké¨ïdð��2ëdîµê�å�écæ�ç�ð��$ê�ødéôdòÅæ�êµé¼êµå�æ^í¸ò�í�ëdì�ékïdì�é � « ødéÁäkðiçTôdüdê�æ^ê�í�ðië�2æ�î2çaæ�ïdé¨üdî�í�ëdìê�ødé��¢Y³aò�í�ëdé1Óoæ�ü�î�î�ú�ã�ékí�ïdé¯òdî�ätødékçTé1�2í�ê�øÕæ ¤ � � � * �&³i­ Óäkõ�äkò�é-�2í�êµø0ÿÕì�å�í�ïaò¸é¯ûiékò�î � ¦�ò¸ð�ä'��î�ðiëdéÉæ^ëdï�ê$��ð#åµé���üdí�å�ékïö{é¯ê$�´éké¯ë " * æ^ëdï � *�* çÕüdò�ê�í�ú�ìiåµí¸ïTäkõ�äkò�ékî�ô{ékåÁî�ê�åµéPæ�ç�2í�îµéî�êµékô�øFödò�ð�ä'�Ãêµødå�ékéTå�é���üdí�åµékï�ðië�êµødéÕðiåµïdékåoð�� � *�* çÕüdò�ê�í�úìiåµí¸ïÕä¯õÏä¯ò¸é¯î2ô{ékå�î�êµå�éPæ^ç�2í�î�éÂîµê�ékôaêµðoå�ékï�üdäké�ê�ødé�"   ëdðiåµçð��$êµødé�å�ékîµí¸ï�ü{æ�òÖ�±ðiüdå¿ðiå�ï�ékå�î¨ð��$ç�æ^ìiëdí�êµüdïdé �X« õ�ôdí�äPæ^ò{ä¯ðië�úûiékåµìiékë�äkéÕødí�î�êµðiå�í�ékî�æ�åµéÉîµødð��2ë²�±ð�å2éPæ�ätø ð��Hê�ødé�ödò�ð�ä'�Ïî¨í�ë�{ìiü�å�ékî � ÿ�� � 4)��æ�ëdï ��+��

hÃÞHÛÂá{kµàÂßÂâµÛ1Ø|o8×l}ïÜFÝ�~1Ý« ødé�çÕü�ò¸êµí�úªì�å�í�ï���ÿ{ü�%iú�ïdí3�5ékå�ékë�äké0îµôdò�í¸ê����{ëdí�ê�éÐúªû�ðiò�üdç#éäkð�ïdé�� ¤o¥u¦�§ ¢ � �2ê�ø!æ�ê#îµðiò�ûié¯î�êµødé ékò�ò¸í�ôdêµí�äÃæ�ëdï ô{æ�åtæ�ö�úðiò�í�ñkékï �±ð�å�çTî�ð��÷êµødé�é���ü{æ�êµí¸ð�ëdîìið�ûié¯å�ëdí�ëdì êµødå�é¯étú

ïdí�ç#ékë�î�í�ðië{æ^ò$�2ê�üdåµödüdò�ékë�ê���äcæ�ò�ðiåµí¸äcæ�ò�ò�õ ô!ékåA�±ékäkê0æ^ëdï>ë�ðië�úé���üdí�ò�í¸ö�å�í�üdç�ätødékçTí�äPæ�ò�ò�õ�å�éPæ^äkê�í�ëdì ÿ!ð��2î��2æ�î#ï�ékî�äkåµí�ö{ékï �ã�ô{æ^äkéÉçaæ�åµä�ø�í¸ë�ì#æ�ò�ìið�å�í�ê�ødçTî´ü�ê�í�ò�í¸ñ¯í¸ë�ì#çÕüdò�ê�í�ú�ìiåµí¸ïÕêµð�æ�ätúäkékò�ékåtæ�ê�é�äkð�ëÏû�ékå�ì�ékëdäké��ékåµéÉïdé¯ç#ðië�î�ê�åtæ�êµékï �1, ë�æ�ï�ïdí�ê�í�ðië��æ�Óoæ^üdî�îýúýãÆékí�ïdékòFôdòÅæ�ë{æ^åÂåµékòÅæ�%dæ�êµí¸ð�ëaî�ätødékçTéÉö{æ^î�ékï¹ðië�ïdí�úæ�ì�ðië{æ^ò¸í�ñké¯ï0æ�ôdôdåµð�%�í¸çaæ�êµéO�ªæ^äkê�ð�å�í�ñPæ^ê�í�ðië7�Íæ^îÉí�ë�ê�åµðÏï�üdäkékïæ�ëdï�ï�ékç#ð�ëdî�êµå�æ�êµékï �¬« ødí�îÉæ�ò�ì�ðiå�í�êµødç �Íæ^îoî�ø�ð��2ë�ê�ð�åµétúïdüdäké�äkð�î�ê¼æ^ëdï�îµê�ðiåtæ�ì�éoå�ékòÅæ^ê�í�ûié�ê�ðTê�ødéÁïdíÅæ�ìið�ë{æ�ò�ò�õÕïdð�çÕúí�ë{æ�ë�êÂæ�ò�êµékå�ë{æ^ê�í�ëdìÕïdí�åµékäkê�í�ð�ë�í�ç#ôdò�í�äkí�êHî�ätødé¯ç#é��R�G�¢G� , � �« ødéÕäkð�ëÏû�ékå�ì�ékëdäkéÕåtæ�êµéÕð��2ê�ødé �±üdò�ò�úýæ^ôdôdåµð�%Ïí�çaæ�ê�é¨î�êµðiå�æ^ìié�I³�¢¼ã��#çÕü�ò¸êµí�úªì�å�í�ï0îµä�ø�ékç#éÃæ^ôdôdò�í�ékï=êµð0ê�ø�éÃô{æ^å�æ^ö{ð�ò¸í�ñké¯ï� æcû�í�ékå�ú�ã�êµð��ié¯î é6�Ïü!æ�ê�í�ð�ëdî7�±ðiåÖäPæ^ò¸ð�å�í�äPæ^ò¸ò�õóô{ékåA�±ékäkê�æ�ë�ïëdðiëÆúªé���üdí�ò�í�ödå�í�üdçóätødékç#í�äPæ^ò�ò¸õÁå�éPæ^äkê�í�ëdìÁÿ{ð��2îv�Íæ^î´ïdé¯ç#ðiëÆúî�êµå�æ�êµékï�æ^ëdï �±ðiüdë�ïÕê�ð�ô{é¯å$�±ð�å�çÎ�´é¯ò¸ò!ðië�ødí�ìiøÕæ�îµô{é¯äkê´åtæ�êµí¸ðìiåµí¸ï�î �

iÖá�~2ÛÂÞW�Qk5×$ßØ/×�}ü×$Û¿Ü Ý« ødéÕçÕü�ò¸êµí�úªì�å�í�ïÕå�ékòÅæ�%Ææ^ê�í�ðië¹î�ätødékçTéÉïdé¯ûiékò�ðiô�ç#ékë�êo�2æ�îètðií�ë�ê�ò�õaî�ü�ôdô{ð�å�êµékï0ö�õ�êµødé¢Âí�å-³�ðiåµäké � ékîµéPæ�åµätø ¦ æ�ö!ðiåtæcúê�ð�å�õ0æ�ê�«�å�í�ìiø�ê�ú5�Fæ�êµê�ékåµî�ðiëC¢¨í�å�³�ðiåµäké]¦2æ�îµépæ^ëdï � ¢�ãb¢

¦ æ^ëdìiò�ékõ � ékîµéPæ�åµä�ø § ékë�ê�ékå � ã�ô!ékäkíÅæ�ò¨ê�ø{æ^ë���î#ìið�êµðQ�¨å �TÏæ^ä{� �O� Fï��2æ�å�ï�îÉð�� � ðiå�êµø § æ^å�ðiò�í�ë{æTã�ê�æ^ê�é ¥ ëdí�ûiékåµî�í�ê�õ�¨å �²�O�k§ ø{æ�åµò�ékîÙã �Íæ^ëdî�ð�ëÃð�� � ¢¼ãb¢ ¦ æ^ëdìiò�ékõ � ékî�écæ�å�ätø§ ékë�ê�ékå��dæ�ëdïx�¨å �i� í¸ätø{æ^å�ï ¦ � Óoæ*��ë�ékõÉð�� ¢¨ë{æ�ò�õ�ê�í�äPæ^ò{ã�ékåýúû�í¸ä¯ékîHæ�ëdï­�æ�êµékå�íÅæ^ò¸î�� , ëdä � �±ð�å7êµødékí�åFäkðië�êµå�í�ödüdêµí¸ð�ëdîFê�ð�ê�ø�í¸î�´ð�å5� �

oê×@��×<Ý�×$Û¨ák×�Ý��� STR�P�F;GIH�PbU��vp �XpTU�m�L���STM$\bU���p � p�L�P�donbL�P�P�F;\�ST`T`�U���p �XpTU_���QL�`TM5_�c`TL�[�STH�P�H�� r _�K�F;GIJ�H�P�STM � STJ�M5H6_�J���`TH��-�Xl�F;G#g&F;`T[IL{�¬STP�R�J���ST[�\ r \�L�G�Kr _�Z�JIH6P�STM{�#F;L�d�STP�R NQd�R�F5J;U � EXwhE�Es���'c���������U���������p� giL'l�STJ5Ukm p n&pTU a L�G�P�F5[�[;U)t^p�L�P�d¬m�L�M���STM$\bU���p � pTU��snk\�F-�QL�` cM5_�`TL�[�STH�P²H�� r _�K�F;GIJ�H�P�STM � STJ�M5H�_�J���`TH��kJ��XJISTP�R²[�\�F-]�L�GIL6Z�H�`TSf�;F5d  L'l�STF5Gfc r [�H���F;J�N@¡�_�L6[ISTH�P�J;U �V¢w£X¤*¥>¦�§©¨�ª�«�¬�­G®w¯ ¦�°±­�²$U � H�`�p@��³�U   H�p��U�K�Kbp´�����;c,µ�µ¶³�U{tuL�G�M$\�������·�p¸ e&STF5`Td�L�U�n&p ]�p�L�P�d�tYM;m�L�F6U�g/p r pTU���E�PuEXM5M5_�G�L�[�F�U r [IL�Z�`TF6U�N@¹�cK�`TSTM5ST[�]�L�GIL6Z�H�`TSf�;F5d   L'l�STF;Ghc r [�H���F;J r H6`Tl�F5G���H6GkV�STR�\ r K�F5F5d4��`THX�kJ;U �E�whEXE��º·'c�������·�U������º·�p» �#L��kG�F5P�M;F�U r p �XpTUknbL�P�P�F5\�ST`T`�U{��p �Xp)L�P�dn�Q\�L�_�J�JIF6U)gvp r pTU¼��EXP��K��kSTP�dCE�`TR�H6GIST[�\�j|�>H6G-[�\�F]�L�G�L�Z�H6`TSf�5F5d   L'l�STF;Ghc r [�H���F;JoN@¡�_�L'c[ISTH6P�J5U � EXwhE�E½��·'c����º�X��U�������·�p

´ Ì µ�¶u´'·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 11: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

¾º¿ H6GI[�F�U���p �*p�L�P�d1tuM5mXL�F�U�gvp r pTU���N_¹�K�`TSTM5ST[��XK��kSTP�d�E�`TR�H�G�ST[�\�j�>H�G [I\�F1]�L6GIL�Z�H�`TSf�5F;d   L'l�STF;Ghc r [�H���F;J�N@¡�_�L�[�STH�P�J;U �oEXwhE�EO���'c©À�����·�U��������pÁ ¿ H6GI[�F�U���p ��pkL�P�d¬tuM5m�L6F�U�gvp r pTU��   _�j1F5G�STM5L�` r STjv_�`TL�[�STH�POH����`TH��Â�Xl�F;GbL�V�W�K�F;GIJ�H�P�STM�EXSTGIM;GIL¶�>[��XJISTP�R&L�P N_¹�K�`TSTM5ST[>�XK��kSTP�dv]   rr H�`Tl�F;G5U �&E�wfE�E½���'c�����µ���U����º����pà e&F5G�Z�JIM$\bU$m p E p'L�P�d E�R6L�G,�QL�`�U'm p ¿ pTUÄ� r H�`T_�[�STH�P�J�H���[�\�F)]�L6GIL�Z�cH�`TSf�5F;d   L'l�STF5Gfc r [IH��6F5J�N@¡�_�L�[�STH�P�J���J�STP�R��XJI\�F;G�Å J��XK��kSTP�d r M$\�F5j1F6U �E�whEXE��ºÀ'c©À�����µ�U������ºÀ�pÆ e&STF5`Td�L�U1n&p ]�pTUYVX_�P�[�F5G;UG�Qp evpvL�P�dS�Q\�L��kP�F;G5UG�*p m pTUx��N�ÇvcM5STF;P�[�]�L�G�L�Z�H�`TSf�;F5d   L{l�STF5Gfc r [IHº��F5J r H�`T_�[�STH�P�J�H���nk\�GIF;F�g&STj1F5P�J�STH�P�L�`�U�Q\�F5j1STM;L�`T`TW m�F;L�M5[�STP�R���`TH��kJ;U �/EXwhE�E½���'c©À�Àº��·�U���������pȺ¿ L6j1L�[I\bUvV pTUÂ�s]�L�G�L�Z�H�`TSf�;F$d   L'l�STF5Gfc r [IH��6F5JoEX`TR�H�G�ST[I\�jÉ�>H6G�Q\�F5j1STM;L�`T`TW m�F;L�M5[�STP�R���`TH��kJ;U �/EXwhE�E½���'c©À��º��·�U���������p�©Ê e&F5G�Z�JIM$\bU�m p E p{L�P�d&EXR�L�GR�)L�`�U'm p ¿ pTU�� r H�`T_�[�STH�PkH���[I\�FQ]�L�G�L�Z�H'c`TSf�5F;d   L'l�STF;Ghc r [�H���F;J#N@¡�_�L�[ISTH6P�JÄ��H6Gknk\�GIF;F$chg&STj1F5P�J�STH�P�L6`�m�F;L�` cIe&L�J��`TH��kJ��XJISTP�R4�XJI\�F;G�Å J{�XK��kSTP�d r M$\�F5j1F�U �&EXwhE�E½�>�$c©À�µ�³º��U������>��p��� V�_�R�_�F;J5U'N�p�L�P�d � F5G�L�P�[5U���p �QpTU��   H�P�F�¡�_�ST`TSTZ�GfST_�j ]�L�GIL6Z�H�`TSf�;F5d  L'l�STF5Gfc r [�H���F;J*�QH�d�F4�kST[I\^L�Pwhj1K�`TSTM;ST[���STP�ST[�F � H�`T_�j1F1tuF5[�\�H�dbU �E�whEXE��Ë�$c©À�³���À�U������Ë��p�©� n#L6P�P�F5\�ST`T`�Uu��p �XpTU1whF;l{L6`T[IJ;Uu��p � p L�P�d½�#L��kG�F5P�M;F�U r p �QpTU��EXP��K��kSTP�dO]�L�G�L�Z�H�`TSf�5F;d   L'l�STF5Gfc r [IH��6F5J��QH�d�F���H�G&m�F5L6`)e&L�J���`THX�kJ;U �E�whEXE��º�'c©À�������U������º��p�©¸ n#L6P�P�F5\�ST`T`�U��*p �XpTU�whF5l'L�`T[�J;U���p � pTU a _�F5`TH��&U�]�p NXpTU�])G�L�Z�\�_bU�gvp ¿ pL�P�dg�bL��kGIF;P�M5F6U r p �QpTUG��EXP��XK��kSTP�dÍ]�L�GIL6Z�H�`TSf�;F5d   L'l�STF;Ghc r [�H���F5J�QH�d�F:�>H�GV�Q\�F5j1STM;L�`T`TW²m�F;L�M5[�STP�Rx��`TH��kJ;U ��ÌË£X¦�ª�¬�«�¯�£�ͽÎ�Ï�¨�ª�¤�£XÐ¥>Ï�Ñ�²�°±Ò�²�«�¬�­-Ó�¨,«�§�Î˪,«�¬>²ÔÍ�¨�ª$U � H�`�p@³�U   H�p{µ�UkK�Kbp{��³��'c��XÕ¶·�U�E�K�G�ST`������À�p�©» r STP�\�L�U   pTUkgiL6JI\bU r p t-p�L6P�dV�#F;F�UQm p E pTU��R�'chgê]   r EXP�L�`TW�cJISTJQH�� r M;GIL�j#Ö�F5[��QH�j/Z�_�J�[�STH�P�×   Hº���5` F�L�P�dvN@¹�\�L�_�J�[b])`T_�j1F{��`THX�kJ;U �E�whEXE��ºÀ'c©À�À���³�U������ºÀ�p�©¾ n#L6P�P�F5\�ST`T`�UP�*p �XpTU{whF;l'L�`T[IJ;U���p � p5L�P�d#�bL��kGIF;P�M5F�U r p �QpTU���E^nk\�G�F5F$cg&STj1F5P�J�STH�P�L�`���K��kSTP�d ]   r �QH�d�FØ�>H�G��Q\�F5j1STM;L�`T`TWkm�F;L�M5[�STP�R r M5G�L�jvcÖIF;[{��`TH��@Ù�F5`Td�J;U � E�whEXEg��µ;c,µ��º����U>������µ�p�©Á ¿ H6GI[�F�U*�*p ��pTU���EXF5G�H�d�W�P�L�j1STM1g&F5J�STR�P²H��/El¹�STJ�W�j1j1F;[IG�STM1V�W6cK�F;GIJ�H�P�STM���STP�d nb_�P�P�F;`   H����;`TF5J´��J�STP�R��bF5L�J�[fc r ¡�_�L�G�F$JP×�]�L�GhL�Z�H'`TSf�5F$d  L'l�STF5Gfc r [�H���F;J�]QGIH�M5F;d�_�GIF6U ��E�wfE�E½��µ;c©À�����µ*U����º��µ�p� à N)l'L�P�J;U%��p m pTU1� L�GId�`TL��&U¯E p a pÚ��G5p�L�P�d g&L'l�STJ;U r p �kpTU�   r �x�{×�gimXN � ��gCN@¹�K�`TSTM;ST[k]�L�G�L�Z�H6`TSf�5F5d   L'l�STF;Ghc r [�H���F5J{�QH�d�F�U �g&F��>F;P�JIF m�F5J�F5L6GIM$\êNQJI[�L�Z�`TSTJ�\�j1F5P�[H��x�QL�P�L�d�L�U-g&m�N � GIF;K�H�G�[³�·�·���×���µ�U��'L�P�_�L�G�W�U>������µ�p�©Æ   F��kJ�H�j1F6U)m p � pTU{�OL�`T[�F5G�J5UQm p �ÍpQL�P�dnk\�H�j1L�J;Uw�*p �)pTUu��EXPN�Ç1M5STF;P�[bwh[�F5G�L�[�STH�P r [IG�L�[�F5R�W{��H6G���K��kSTP�d�×'m�F;`TL�¹�L�[ISTH6P r H�`T_�[�STH�P�J�[�H[I\�Fknk\�STP�c©�bL'W�F5G   L{l�STF5Gfc r [IHº��F5J�N_¡�_�L�[�STH�P�J5U �XE�whEXEn���;c���������U��������*p�©È tYH6GIG�STJIH6PbUW�*p V p�L�P�d ¿ H�GI[�F�U���p ��pTU4��whj1K�`TF5j1F;P�[�L'[ISTH'PH�� � S cR�P�F5G�H�P�Å J r [�G�F5L�jÛ�kSTJIFv]QGIF;JIJ�_�GIFue&G�L�d�STF5P�[&E�K�K�G�HX¹�STj1L�[�STH�PuSTP�[�\�F]   r N_¡�_�L�[�STH�P�J5U �XE�whEXE���µ;c©À>������U�������µ�p��Ê l{L6PG�bF;F5G;U a pTUW�sn#H��QL�G�d�J�[�\�Fu�X`T[ISTj1L�[�Fu�QH�P�J�F5G�l'L�[�STl�F�g&S Ü#F;GhcF5P�M;F r M$\�F5j1F � p�E r F;M5H�P�dÛ��G�d�F5G r F�¡�_�F5`�[�H/e&_�d�_�P�H'l´Å J�tuF5[�\�H�dbU �ÌË£X¦�ª�¬�«�¯_£�ÍÝ¢w£X¤*¥>¦�§©«�§�°Þ£�¬�«¶¯ËßWÏ�Ñ�²�°±Ò�²$U � H�`�p>��µ�U�K�Kbp´��À>�$c�����·�U���������p��� m�H�F�U�]�p �QpTUØ��g&STJ�M5G�F5[�F�tuH�d�F;`TJ@�>H�Gk[�\�F   _�j1F;GISTM;L�`�E�P�L�`TW�J�STJ)H��nkSTj1F$chg&F5K�F5P�d�F5P6[)tu_�`T[�STd�STj1F5P�J�STH{P�L'`�e&L6JkgiW�P�L�j1STM;J5U �4Ì�£�¦�ª�¬�«�¯w£�Í¢w£�¤#¥>¦�§©«�§�°Þ£�¬�«�¯�ßWÏ�Ñ�²�°±Ò�²$U � H�`�p>·���U�K�Kbp�³�Õ��'c©³���·�U������º·�p��� N)d>�QL�G�d�J5U*�*p m pTU���E%�bH��Qchg&S Ü#_�J�STH�Px��`T_>¹6c r K�`TST[I[�STP�R r M$\�F5j1F�>H�G   L{l�STF5Gfc r [IHº��F5J��QL�`TM5_�`TL�[�STH�P�J;U �u¢{£�¤#¥>¦�§©¨�ª�²*«�¬�­#®@¯ ¦�°�­�²$U � H�`�p�µ�·�U  H�p>·�U�K�Kbp�·���Õ;c©·�Õ¶��U��'_�P�F���������p��¸ ��\�ST[�F�U*��p E pTU ¿ H�G�[�F�U���p ��pTU&L�P�dÍe&L�Ü#P�F;W�Ukm p �Qp��'G;pTU��P��`T_>¹�cg&S Ü#F5G�F5P�M;F r K�`TST[±]�L�GIL6Z�H�`TSf�;F5d   L{l�STF5Gfc r [IHº��F5JêE�`TR6H�GIST[�\�jà�>H6G  H�P�F�¡�_�ST`TSTZ�G�ST_�jj�Q\�F5j1STM5L6`T`TWm�F5L6M5[�STP�R-��`TH��kJ;U �²E�whEXEj���'c©À�Õ���³�U��������p��» tYF;P�[�F5G;U��kp m pTU���whj1K�G�H'l�F5dn{�QH'chN@¡�_�L�[�STH�Pá��c©âCnb_�GIZ�_�`TF;P�M5FtuH�d�F;`>�>H6GkE�F5G�H�d�W�P�L�j1STM@��`TH��kJ;U �   E r E�nktoc���Àº������Õ�U>������µ�p��¾ E�Z�STdbU1m pTUutuH�GIG�STJ�H�PbU���p V pTUYeºL�[IJR��S�U�n&p a pTU�L�P�d r K�F��5STL6`TF�U�Xp evpTU���])G�F5d�STM;[ISTH6PiH¶�Ä�QH�j1K�`TF�¹&E�F;GIH�d�W�P�L�j1STM���`TH��kJ_�kST[�\/N@¹�K�`TSTM5ST[m�F;W�P�H�`Td�J r [IG�F5J�JktuH�d�F;`TJ5U � EXwhE�E½��·'c©À�Õ¶·�Õ�U�������·�p��Á e&L�[�J,��S�UOn&p a pYL6P�d r K�F��;STL�`TF�U-�Xp evpTUg���XP±N@¹�K�`TSTM5ST[�EX`TR�F$cZ�GIL6STM r [IG�F5J�J)tuH�d�F5`TJ��>H�G{�QH�j1K�`TF�¹ nb_�GIZ�_�`TF;P�[���`THX�kJ;U �   E r Ekc,�QmÖc�������ºµ�Õ�p

� à E�Z�STdbU�m pTU�mX_�j1JIF;W�U��Xp �QpTU�L�P�dOe&L�[�JR��S�U�n&p a pTUw��]QG�F5d�STM5[�STH�P1H��  H�P�F�¡�_�ST`TSTZ�G�ST_�j nb_�G�Z�_�`TF5P�[#��`TH��kJu�kST[�\N_¹�K�`TSTM5ST[&EX`TR�F5Z�G�L�STMvn#_�GfcZ�_�`TF5P�M;FktYH�d�F5`TJ;U �uãlä,ãlãOÌË£�¦�ª�¬�«�¯ U � H�`�p>����U   H�p´����U   H'l�p´������Õ�p��Æ ��ST`TM5H�¹�U{gvp �XpTU�Î>¦�ª�å�¦�¯f¨�¬�ÒR¨�æ£�­�¨�¯ °Ô¬�çlÍX£Xª�¢�®�è#é�ê�¬�­�ë�­¶°Ô§�°Þ£�¬�ég��@�ïwhP�d�_�J�[IG�STF5J;U{wfP�M�pTU���������p��È r L�G,�'L�G;U r pTU/NQGI`TF;Z�L�M$\�F5G;Uºe�pTU/V�_�J�J�L�STP�S�U/t^p �/p L6P�d ¿ G�F5STJ�J5UV p � pTUG��nk\�FOEXP�L�`TW�JISTJ�L�P�d²tYH�d�F5`TSTP�RH¶�/g&ST`TL�[IL6[ISTH�P�L6`kn#F;GIj1J�STP�QH�j1K�G�F5J�JISTZ�`TFknb_�G�Z�_�`TF5P�M5F6U �&w,�QE r N¬m�F5K�H�G�[_����c7�¶��U>��������p¸�Ê�ì F;j1L�PbU_� pTUu��g&ST`TL�[IL6[ISTH�P�L6`�g&STJIJ�STK�L�[�STH�P�í1nk\�F�QH6P�M5F5K�[vL�P�dE�K�K�`TSTM;L�[ISTH6P/STP1tuH�d�F5`TSTP�Ru�QH�j1K�G�F5J�J�STZ�`TF)tuSf¹�STP�R��bL{W6F5G�J5U �ußWÏ�Ñ�²�°±Ò�²£�Í#®@¯ ¦�°±­¶²$U � H�`�p�µ�U   H�p�µ�U���F5Zbp´������À�p¸�� E�Z�STdbU5m pTUË��NQl'L�`T_�L�[�STH�P�H¶�*n{�QH'chN_¡�_�L�[�STH�P&nb_�GIZ�_�`TF;P�M5FbtuH�d�F;`TJ�>H�GQ]QGIF;d�STM5[�STP�Rkn#G�L�P�J�ST[ISTH6P�L�`���`TH��kJ;U �uä�¬>§©¨�ª�¬�«�§�°Þ£�¬�«�¯�Ì�£�¦�ª�¬�«�¯�ëW¬�ç�°îЬ�¨,¨�ª�°Ô¬�çÝï�Ò�°±¨�¬�ÒR¨$U � H�`�p>�>��U   H�p�·�U�K�Kbp����>�$c©��³�À�U>��������p¸�� ��ST`TM5H�¹�U�gvp �XpTU��P�OL�`T`btuL�[IM$\�STP�R�U�EÍm�L�[�STH�P�L�`�EX`T[IF;GIP�L6[ISTl�FXnbH�OL�`T`´��_�P�M5[�STH�P�J5U �&EXwhE�E½���'c©À�·>�º��U���������p¸�¸ tYM a GISTd�F6U a p ��pTUkV�F;STj1F5`�U r pTUQN)\�`TF;GIJ;Uw�*p evp�L�P�d�e&H�G�d�H�PbU r pTU��nk\�F5G�j1H�d�W�P�L�jvSTM�]QG�H�K�F;GI[�STF5Jk[�H�·�ÀºÀ�À ¿ ��H�G�µ���À r _�Z�J�[IL�P�M;F5JkwhP�cl�H�`Tl�STP�R&[I\�F#��STG�JI[#���/NQ`TF5j1F;P�[�J5U �   E r E r ]�c©��À�ÀË��U�����·���p¸�» tYM a GISTd�F6U a p ��pTU)e&H6GId�H�PbU r p#L�P�d m�F5P�H�U#t^p E pTU���nk\�F5G�j1H�d�W�cP�L�j1STMOg&L�[�L(�>H�G���S ��[hW²m�F��>F5G�F5P�M;FuN)`TF;j1F5P�[IJ;U �   E r E nk]�cÞ��µ�����U��������p¸�¾ ��ST`f��F6U*�Xp m pTU���E � STJ�M5H�J�ST[hW�N@¡�_�L�[ISTH6PV�>H6GYe&L�J�tuSf¹�[�_�GIF;J5U �¢�Ï�¨�¤u°�Ò,«¶¯Äß{ϺÑX²�°�Ò�²$U � H�`�p�����U   H�p�³�U�K�Kbp�Õ��X�;c,Õ�����U�E�K�G�ST`�����Õ¶À�p¸�Á a F5G�j1L�PbU�V p E pTU�EXP�d�F5G�JIH6PbUÄ��p gvpØ��G5pTUbL�P�dOg&G�_�j1j1H�P�dbU���p ]�pTU� r _�K�F;GIJ�H�P�STM>��`TH��-�Xl�F;GbLkm�F5L6G,�QL�G�d*��L6M5STP�R r [IF;K���ST[�\ nbG�L�P�JIl6F5G�JIF  H�P�G�F5L6M5[�STP�R V�W�d�GIH6R�F5PuwhP�Ö�F5M5[�STH�PbU �uãlä,ãlã�Ì�£�¦�ª�¬�«�¯ U � H�`�p�µ���U   H�p�Xµ�U�K�Kbp��X��À��;c��X������U'giF;M�p´��������p¸ à giG�_�j1j1H�P�dbU���p ]�p�L�P�duVX_�JIJ�L�STP�S�U�t^p �vpTUw�   _�j1F;GISTM;L�` r STjv_�`TL'c[ISTH6P-H��&L r _�K�F5G�JIH6P�STM m�F;L�M5[�STP�RutYSf¹�STP�R��bL{W6F5G;U �OE�whEXE����;c��Xµ���Õ*U�������*p¸�Æ giG�_�j1j1H�P�dbU_��p ]�pTUimXH�R�F;GIJ;Ukm p �XpkL�P�d�VX_�JIJ�L�STP�S�U�t^p �vpTU���E  _�j1F;GISTM;L�`5tuH�d�F5`��>H�G r _�K�F;GIJ�H�P�STM�mXF5L�M;[ISTP�RQtuSf¹�STP�R@�bL'W�F5G�J5U �4¢{£�¤ÛÐ¥>¦�§Þ¨�ª�æ(¨�§�Ï�£�­�²�°Ô¬-ãW¥�¥>¯ °±¨R­-æ(«�§�Ï�¨�¤4«�§�°±Ò�²G«�¬�­�ëW¬�ç�°î¬�¨,¨�ª�°Ô¬�ç�U � H�`�p·�³�U�K�Kbp����'c©·�À�U����º����p¸�È ��ST`T`TSTL�j1J;U��kp E pTU�¢{£�¤�å�¦�²�§�°©£�¬�Î�Ï�¨�£�ª�Ñ'U r F5M;H�P�d&N)dbpTU'nk\�F a F5P�cÖIL�j1STP�׺�Q_�j1j1S P�R�Jb]Q_�Z�`TSTJI\�STP�R��QH�j1K�L6P�W6U{whP�M6pTU�tuF5P�`TH ]�L6G,��U��QL�`TS c�>H�G�P�STL�U>���º��Õ�p»�Ê �QL�GIK�F5P�[IF;G5UXt-p V pTU��EÎe&F5P�F;GIL6`TSf�5F5dx�Q\�F;j1STJI[�G�W � F;GIJ�STH�PÍH��r ]�EXm ¿ U �   E r Ekc,�Qmkc©³>���º·�U����º����p»�� e&L�Ü#P�F;W�U�m p �Qp��'G;pTUÄ�¬\�ST[IF6UØ��p E pTU eºSTGISTj1L�Ö�S�U r p r p�L�P�dOg&GI_�jvcj1H�P�dbUX��p ]�pTUÄ��tuH�d�F;`TSTP�Rknb_�GIZ�_�`TF;P�[�×��Q\�F5j1STJ�[hG�WkwhP�[IF;GIL�M;[ISTH6P�J>��J�STP�RE�J�JI_�j1F;d1])g#�tuF5[�\�H�d�J5U � EXwhE�Eð��µ;c©��·�����U>������µ�p»�� e&STGISTj1L�Ö�S�U r p r pu��E r STj1K�`TFum�F5M;STK�FÝ�>H6GotuH�d�F;`TSTP�R-mXF5L�M;[ISTH6Pm�L�[�F5JvSTPx��`THX�kJ4�kST[�\�nb_�G�Z�_�`TF5P�[��QH6j/Z�_�J�[ISTH6PbU �YEXwhE�EK�>�$c��X����µ*U������µ*p»�¸ e&L�Ü#P�F;W�U�m p �Qp��'G;pTUÄ�¬\�ST[IF6UØ��p E pTU eºSTGISTj1L�Ö�S�U r p r p�L�P�dOg&GI_�jvcj1H�P�dbU���p ]�pTU>��tuH�d�F;`TSTP�R)nbF5j1K�F5G�L�[�_�GIF�L�P�d r K�F5M;STF5J>��`T_�M;[I_�L6[ISTH�P�J�whPnb_�GIZ�_�`TF;P�[;U$m�F5L6M5[�STP�R_��`TH��&U �Ý¢w£�¤#¥>¦�§±°î¬�ç#ï>Ñ�²�§©¨�¤Û²{°Ô¬�ë{¬�綰Ԭ�¨R¨�ª�°î¬�ç'U� H�`�p>Õ�U   H�p>µ�U�K�Kbp´���X�;c�������U����º��³�p»�» l{L6PiEX`TZ�L�d�L�U{e�p g/pTU;l{L6P*�bF;F5G;U a p{L6P�dimXH�Z�F;GI[�J;UP� p �ÍpTU��'G;pTUË��E�QH�j1K�L�G�L�[�STl�F r [�_�d�W1H����QH�j1K�_�[IL6[ISTH�P�L'`�tuF5[�\�H�d�J�STP-�QH�J�j1STM/e&L6Jg&W�P�L�j1STM;J5U ��ã¼²�§�ªP£�¬Ä£�¤ÛÑ�«�¬�­Gã¼²�§�ªP£R¥>Ï�Ñ�²�°�Ò�²$U � H�`�p���À���UbK�KbpÄ��·'c©��³�U������µ*p»�¾ � F5P>�'L�[�L���GISTJ�\�P�L6PbU � pTU�����P¬[I\�F�E�M;M5_�G�L�M5WOH¶�¼�bSTj1ST[�F5G�J L�P�d�QH�P�l�F5G�R�F5P�M;Fk[IH r [�F5L�d�W r [IL6[IF r H�`T_�[ISTH6P�J5U �XE�whEXE�����cÞÀº����À�U���������p»�Á �Q\�L���G�L'l'L�GI[�\�W'U r p m pTU r �5F;j1L�U ¿ c��/pTU�eºH�`Td�Z�F;GIR�U{� p �XpTU/L�P�de&H�G�J,��S�U���p ��pTU��sE�K�K�`TSTM5L6[ISTH�PXH���L   F��V�Q`TL�J�JbH���V�STR6\ E�M;M5_�G�L�M5Wkn � gr M$\�F5j1F;J#[�H [�\�F   L'l�STF5Gfc r [�H���F;J�N@¡�_�L6[ISTH�P�J;U ��EXwhE�En��Õ{cÞÀË��·�Õ�U�������Õ*p» à �'L�j1F5J�H�PbU5E pTU r M$\�j1STd�[;U��ÍpTU�L6P�d/nb_�GR��F5`�U�NXpTUÄ�   _�j1F;GISTM;L�` r H'c`T_�[ISTH6P�J)H��Q[I\�F&NQ_�`TF5GkN@¡�_�L�[�STH�P�JQZ�W4��STP�ST[IF � H�`T_�j1F&tuF5[�\�H�d�J_�kST[�\m�_�P�R�FAc ¿ _�[�[�LinkSTj1F r [�F5K�K�STP�R r M$\�F5j1F;J5U �&EXwhE�E½�>�$c��Xµ�Õ¶��U������>��p»�Æ r �)L�P�J�H�PbU�m p��Xp#L�P�d n#_�GR��F;`�U�N�pTU���tu_�`T[�STJI[�L�R�F r M$\�F5j1F#�kST[�\tu_�`T[ISTR�G�STdÛ�>H6G�NQ_�`TF5GkL�P�d   L'l�STF5Gfc r [IH��6F5J�N@¡�_�L6[ISTH�P�J�í_�QH�j1K�H�P�F5P�[IJL�P�d1E�P�L6`TW�J�STJ5U �   E r E�nbF5M$\�P�STM;L�`�]�L�K�F5G@��·��>��U>��������p»�È �#H6j/Z�L�G�dbUP�Xp ¿ pTU a L�G�d�STP�L�U���pTU{L6P�d � F5P>�'L�[�L�K�L�[�\�W6UINXpTU���tu_�`T[IS cd�STj1F5P�J�STH�P�L�`���H6GIjv_�`TL�[�STH�P/H¶��� r �Qt�chE�Pñ��K��kSTP�d���`T_>¹1g&S Ü#F;GIF;P�M5FN)STR6F5P�l�F5M;[IH�G r K�`TST[vtuF5[�\�H�dñ�>H�Gv[�\�F�QH6j1K�GIF;JIJ�STZ�`TF   L'l�STF;Ghc r [�H���F5JN_¡�_�L�[�STH�P�J;U �iEXwhE�Eð���'c�������Õ*U>��������p´6´/µ�¶u´'·

¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 12: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

¾�Ê ])_�`T`TSTL�juU�n&p V p)L6P�dÂ�Q\�L�_�J�J�F5F�Ubgvp r pTU*��E g&STL�R6H�P�L�`���H�G�j£H��L�Puwhj1K�`TSTM5ST[kEXK�K�GIH�¹�STj1L�[�F���L�M;[IH�G�Sf�5L6[ISTH�P1EX`TR�H�G�ST[I\�juU �ÝÌ�£�¦�ª�¬�«¶¯W£�Í¢w£�¤#¥>¦�§©«�§�°Þ£�¬�«�¯�ßWÏ�Ñ�²�°±Ò�²$U � H�`�p>����U�Kbp>��³���U>�����>��p¾�� tYL6MX�QH�G�j1L�M���U5m p ��p�L6P�d/]Q_�`T`TSTL�juU'n&pTUÄ��E�J�JIF;JIJ�j1F5P�[�H���L   F��  _�j1F;GISTM;L�`&])G�H�M;F5d�_�G�F���H�G���`T_�STd giW�P�L�j1STM;J5U �²E�wfE�E|�����'c,µ���µ���U��������p¾��º¿ `TH6K��>F5G;U�evp V pTU*VX_�P�R�U��Xp t^pTU � L�Pud�F5G{��S Ö�P�R�L�L�G�[;U�m p �kpTU�L�P�d�XP�_���F5G;UË�*p n&pTUw��E�giSTL6R�H�P�L�`TSf�;F$d1giSTL6R�H�P�L�`�g&H�j1STP�L�P�[QE�`T[�F5G�P�L�[ISTP�Rg&STGIF;M5[�STH�Puwhj1K�`TSTM5ST[Ûò�g*�6E�g&w,ó r M$\�F;j1F E�P�d r _�Z�ST[�F5G�L�[�STH�PG�QH�G�G�F5M$c[ISTH6PbU � E�whEXE��º�'c,µ���µ�³�U������º��p¾�¸ a GIL�P�d�[;p�E pTU�æñ¦�¯ §�°Ôбô�¨�õX¨�¯_ãl­�«�¥Ë§±°îõX¨�ïÄ£X¯ ¦�§�°Þ£�¬>²4§,£4ö�£�¦�¬�­�«�ª�Ñ�Ð÷ «�¯ ¦�¨�ßWªP£�å�¯ ¨�¤u²$U � H�`�p��Ë��U   H�p�������U�K�Kbp������'c©����À�U{EXK�GIST`@�����º��p¾�» �'L�j1F5J�H�PbU�E p�L�P�d a L���F5G;U�n&p ��pTU*��tu_�`T[�STR�G�STd r H�`T_�[�STH�PuH��i[�\�FN)_�`TF;G/N@¡�_�L�[ISTH6P�J���H�G1E�STG�M5G�L��>[4�QH�P�Ù�R�_�G�L�[�STH�P�J$U �OEXwhE�EK��³'c©À�À�����U������³�p¾�¾ �OF5J�[5U���p NXp#L6P�d ¿ H�G,�6F5R�S�U�m p V pTU�� r _�K�F;GIJ�H�P�STM&whP�[IF;GIL6M5[�STH�P1STP[I\�F��QH6GIP�F;G)H��bwhP�[IF;GIJ�F5M;[ISTP�R{�OF;d�R�F5J�L�[)VXSTR�\1m�F;W�P�H6`Td�J   _�j/Z�F5G�J5U �ã�äRã�ãOÌ�£�¦�ª�¬�«�¯ U � H6`�p���À�U   H�p�Õ�U�tuL{W�������µ�p

øg¾�e@ù*ú ï>¢�¼´Ú��CÛî²yÛ[¾}¢��C²o�{e��[¾Ù¤gûK¢���²�����¼hÚ�¾5�¯²] B»C²o��ü�C���Rù

øg¾�e@ùGý ïm¢�¼´Ú��CÛH�B¤ ¤����C¥[¾}Ûb½Ó B¢���Ûî¢����H¥ðûK¢r��¡£²y �»|ýþ�¢�ÿ(ù

700 710 720 730 740 750CYCLE

-4

-3

-2

-1

0

Rel

L2

øg¾�e@ù�� �©½!Ú�¾} B²o�± B¢���������e����C B��ûi¢��£¥[ÚC²� B��¼p²o�H B»C�B¤����¼´Úlù

0 0.1 0.2 0.3 0.4X-Meters

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Y-M

eter

s

Leading Edge Shock

Boundary

Layer

øg¾�e@ù�� ¡£²� B»£ B¢���ÛH¢����H¥(ûK¢r�´¡£²� B»���Û[���[�����}����Ûñþ�²�ÛÚ��}²�ÛH�ñþ�¢�ÿ(ù´HS1µ�¶u´'·

¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 13: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

200 400 600 800 1000u - meters/second

0 50 100 150Mut/Mul

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

Y-M

eter

s

øg¾�e@ù� ��CÛ�þ�¢�ÿlÚ��H¢����}�:ûi¢��±¡�²y �» �´Û[���[�����}����ÛÝþ�²�Û�üÚ��}²�ÛH�ñþ�¢�ÿ(ù

5000 5050 5100 5150CYCLE

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Rel

L2

øg¾�e@ù�� ï>¢r��������e����C B�]»�¾}¥HÛH¢r�w½nûi¢���¡£²y �»��pÛ[���[�����}����Ûþ�²�Û[Ú��}²yÛî��ù

�øg¾�e@ù�� ï>¢�¼hÚ��CÛH²yÛw¾Ù¢r�C²��´er�I¾}¤(ûi¢��Ñ¥[��Ú����H¥H¢���¾} �¥H½!¼´¼p�BÛ�ü�[¾} ± B¢��[�C���Ýþ�¢�ÿ(ù

�øg¾�e@ù�� �����C¥[¾}Û:½p B¢r��ÛH¢����H¥Ûûi¢���¥w��ÚJ���H¥H¢���¾} �¥H½!¼´¼p�BÛw�I¾}  B¢��[�C���Ýþ�¢�ÿ(ù´ Ê µ�¶u´'·

¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 14: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

CYCLE

Rel

L2

1950 2000 2050

-7

-6

-5

-4

-3

øg¾�e@ù�� �©½!Ú�¾} B²��m B¢���������e����C B�gûK¢��´¥[��Ú����H¥H¢���¾} �¥H½!¼:ü¼p�BÛw�I¾} { B¢��[�C���Gþ�¢�ÿ(ù

X-meters

Y-m

eter

s

0 0.25 0.5 0.75 1

-0.1

0

0.1

Block 2, 64 x 64 cells

Block 1, 64 x 64 cells Block 3 , 96 x 128 cells

øg¾�e@ù�ú�� ï>¢r¼´Ú��CÛH²�Û[¾}¢��C²���e��[¾}¤(ûK¢r�ÑÛ[���[�����}����Û�¤�¾��g�C¥[¾}¢��þ�²o¼p��ù

35 7 91113 131517 19 212325 2729 3133353739

35 7 91113 1517 1921 2325 27 293121

2323

25

25

27

27

29

29

31

31

3335 37

39

41 2.00039 1.90037 1.80035 1.70033 1.60031 1.50029 1.40027 1.30025 1.20023 1.10021 1.00019 0.90017 0.80015 0.70013 0.60011 0.5009 0.4007 0.3005 0.2003 0.1001 0.000

Mach No.

H23,800 ->m/secO2,N21200 ->m/sec

øg¾�e@ù!ú�ú ¡£²� B»  B¢r��ÛH¢����H¥sûK¢��Û[���[�����}����Û�¤�¾��g�C¥[¾}¢��þ�²o¼p��ù

3

3

5

5

7

7

9

9

11

11

13

13

15

1517

1919

21 2123

23

23 0.22021 0.20019 0.18017 0.16015 0.14013 0.12011 0.1009 0.0807 0.0605 0.0403 0.0201 0.000

Water (H2 O)Mass Fraction

H23,800 ->m/secO2,N21200 ->m/sec

Plate

T.E.

øg¾�e@ùVú�ý ³²�ÛH���  B¢r��ÛH¢����H¥½ûi¢���Û[���[�����}����Û�¤�¾��g�C¥[¾}¢��þ�²o¼p��ù´bÅoµ�¶u´'·

¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì

Page 15: A Pseudo-Temporal Multi-Grid Relaxation Scheme for Solving the ...

CYCLE

Rel

L2

2700 2800 2900-7

-6

-5

-4

-3

øg¾�e@ù*ú�� ï>¢���������e����C B�ñûi¢����m�Ù¢� �� ú�¢´ûMÛ[���[�����}����Û�¤�¾îûRüûv�C¥[¾}¢��áþ�²�¼p��ù

CYCLE

Rel

L2

3700 3800 3900

-7

-6

-5

-4

øg¾�e@ù*ú�� ï>¢���������e����C B�ñûi¢����m�Ù¢� ��ðýq¢´ûMÛ[���[�����}����Û�¤�¾îûRüûv�C¥[¾}¢��áþ�²�¼p��ù

CYCLE

Rel

L2

12200 12300 12400 12500

-6

-5

-4

-3

øg¾�e@ù*ú�� ï>¢���������e����C B�ñûi¢����m�Ù¢� �� �q¢´ûMÛ[���[�����}����Û�¤�¾îûRüûv�C¥[¾}¢��áþ�²�¼p��ù

´'·1µ�¶u´'·¸º¹k»6¼�½T¾�¿�ÀuÁhÀ�Â$Ã�½TÃ�Ä�Ã�» µ�¶ ¸ »6¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾� ¿�À�Å^¸&Â$Ã�¼ µ À�¿�Ä�Ã�½T¾�ÂvÆb¿�Ç�»6¼OÈ�È;É�Ê6Ê�Ë�Ì


Recommended