A4 - Rational Expressions VJ

8/11/2019 A4 - Rational Expressions VJ

http://slidepdf.com/reader/full/a4-rational-expressions-vj 1/77

Rational Expressions

Mathematics 17Institute of Mathematics

Lecture 4

Math 17 (Inst. of Mathematics) Rational Expressions Lec 4 1 / 16

http://find/

http://goback/



Outline

1 Simplifying Rational Expressions

2 Multiplication of Rational Expressions

3 Division of Rational Expressions

4 Addition/Subtraction of Rational Expressions

5 Complex Fractions


http://goforward/

http://find/

http://goback/




DenitionA rational expression is a quotient of two polynomials.A rational expression is well-dened if its denominator is not equal to zero.


http://find/





Example:

9x 2 z 3

x 2 + y ; x2 + y = 0


http://find/





Example:

9x 2 z 3

x 2 + y ; x2 + y = 0

11a 2 c + b2

5 + c ; c = − 5


http://find/



Simpliying Rational Expressions

Recall: If a, b, c ∈R , b, c = 0 , then acbc

= ab

.


http://find/





= ab

.

Lowest Terms

A rational expression is in lowest terms if the numerator and denominatorhave no common factor other than 1 and -1.


http://find/

http://goback/





= ab

.

Lowest Terms

A rational expression is in lowest terms if the numerator and denominatorhave no common factor other than 1 and -1.

How to reduce a rational expression to lowest terms:

Factor both numerator and denominator.Cancel the common factors.


http://find/





Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5


http://find/

http://goback/



Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5 = 2y3

3x 4


http://find/

http://goback/



Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5 = 2y3

3x 4

2

(x 2 − 16)(x 2 − 4x + 16)x 3 + 64


http://find/



Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5 = 2y3

3x 4

2

(x 2 − 16)(x 2 − 4x + 16)x 3 + 64

= (x − 4)(x + 4)


http://find/

http://goback/





Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5 = 2y3

3x 4

2

(x 2 − 16)(x 2 − 4x + 16)x 3 + 64

= (x − 4)(x + 4)( x 2 − 4x + 16)

(x + 4)


http://find/

http://goback/



Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5 = 2y3

3x 4

2

(x 2 − 16)(x 2 − 4x + 16)x 3 + 64

= (x − 4)(x + 4)( x 2 − 4x + 16)

(x + 4)( x 2 − 4x + 16)


http://find/



Examples:1

16x 3 y 8

24x 7 y 5 = 1624

· x3

x 7 · y8

y5 = 2y3

3x 4

2

(x 2 − 16)(x 2 − 4x + 16)x 3 + 64

= (x − 4)(x + 4)( x 2 − 4x + 16)

(x + 4)( x 2 − 4x + 16)= x − 4


http://find/



Multiplication of Rational Expressions

Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0


l l f l

http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3


M l i li i f R i l E i

http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4


M l i li i f R i l E i

http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 ·


M lti li ti f R ti l E i

http://find/

http://goback/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 · (5)(3)


M lti li ti f R ti l E i

http://goforward/

http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 · (5)(3)

5 ·



http://find/

http://goback/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 · (5)(3)

5 · (7)(4)



http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 · (5)(3)

5 · (7)(4) · x



http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 · (5)(3)

5 · (7)(4) · x ·

1y 2



http://find/




Recall:ab

· cd

= acbd

; b, d = 0

Example: 7x 4

5y 4 · 15y2

28x 3 = 7 · 15

5 · 28 ·

x4

x 3 · y2

y4

= 7 · (5)(3)

5 · (7)(4) · x ·

1y 2

= 3x4y2


http://find/



Example:

x 2 − x − 122x − 2

· 5x − 5x 2 − 9


http://find/



Example:

x 2 − x − 122x − 2

· 5x − 5x 2 − 9

= (x − 4)(x + 3)


http://find/



Example:

x 2 − x − 122x − 2

· 5x − 5x 2 − 9

= (x − 4)(x + 3)

2(x − 1) ·


http://goforward/

http://find/

http://goback/



Example:

x 2 − x − 122x − 2

· 5x − 5x 2 − 9

= (x − 4)(x + 3)

2(x − 1) ·

5(x − 1)


http://find/



Example:

x 2 − x − 122x − 2

· 5x − 5x 2 − 9

= (x − 4)(x + 3)

2(x − 1) ·

5(x − 1)(x − 3)(x + 3)


http://find/



Example:

x 2 − x − 122x − 2

· 5x − 5x 2 − 9

= (x − 4)(x + 3)

2(x − 1) ·

5(x − 1)(x − 3)(x + 3)

= 5(x − 4)

2(x − 3)


Division of Rational Expressions

http://find/



p

Recall: ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0



http://find/



p

Recall: ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4



http://find/



p

Recall: ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4 =

x2 − 7x + 12x − 2

· x 2 − 49 − x 2



http://find/



p

Recall: ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4 =

x2 − 7x + 12x − 2

· x 2 − 49 − x 2

= (x − 3)(x − 4)



http://find/



Recall: ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4 =

x2 − 7x + 12x − 2

· x 2 − 49 − x 2

= (x − 3)(x − 4)

x − 2 ·



http://find/



Recall: ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4 =

x2 − 7x + 12x − 2

· x 2 − 49 − x 2

= (x − 3)(x − 4)

x − 2 ·

(x − 2)(x + 2)



http://find/



Recall:ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4 =

x2 − 7x + 12x − 2

· x 2 − 49 − x 2

= (x − 3)(x − 4)

x − 2 ·

(x − 2)(x + 2)(3 − x )(3 + x)



http://find/



Recall:ab

÷ cd

= a

b ·

dc

; b,c,d = 0

Example:

x 2 − 7x + 12x − 2

÷ 9 − x 2

x 2 − 4 =

x2 − 7x + 12x − 2

· x 2 − 49 − x 2

= (x − 3)(x − 4)

x − 2 ·

(x − 2)(x + 2)(3 − x )(3 + x)

= − (x − 4)(x + 2)(x + 3)


Least Common Denominator

http://find/



DenitionThe least common denominator (LCD) of two or more rational expressionsis the polynomial of smallest degree that is a multiple of all the givendenominators.



http://find/




Examples:

13x − 8

4x 2 and 2x + 1

x 3 :


http://find/







Examples:

13x − 8

4x 2 and 2x + 1

x 3 : LCD = 4x 3

2 x − 2x 2 − 1 and x + 2(x − 1)2 :



http://find/




Examples:

13x − 8

4x 2 and 2x + 1

x 3 : LCD = 4x 3

2 x − 2x 2 − 1 and x + 2(x − 1)2 : LCD = ( x − 1)2 (x + 1)


Addition/Subtraction of Rational Expressions

http://find/



Example 1:

3x − 84x 2 +

2x + 1x 3


http://find/






Example 1:

3x − 84x 2 +

2x + 1x 3 =

(3x − 8)x4x 3



http://find/



Example 1:

3x − 84x 2 +

2x + 1x 3 =

(3x − 8)x +4x 3



http://find/



Example 1:

3x − 84x 2 +

2x + 1x 3 =

(3x − 8)x + 4(2 x + 1)4x 3



http://find/



Example 1:

3x − 84x 2 +

2x + 1x 3 =

(3x − 8)x + 4(2 x + 1)4x 3

= 3x 2 − 8x + 8 x + 4

4x 3



http://find/



Example 1:

3x − 84x 2 +

2x + 1x 3 =

(3x − 8)x + 4(2 x + 1)4x 3

= 3x 2 − 8x + 8 x + 4

4x 3

= 3x 2 + 4

4x3


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2 =

(x − 1)2 (x + 1)


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2 =

[(x − 1)(x − 2)](x − 1)2 (x + 1)


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2 =

[(x − 1)(x − 2)] −(x − 1)2 (x + 1)


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2 =

[(x − 1)(x − 2)] − [(x + 1)( x + 2)](x − 1)2 (x + 1)


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2 =

[(x − 1)(x − 2)] − [(x + 1)( x + 2)](x − 1)2 (x + 1)

= [x 2 − 3x + 2] − [x 2 + 3 x + 2]

(x − 1)2 (x + 1)


http://find/



Example 2:

x − 2x 2 − 1

− x + 2(x − 1)2 =

[(x − 1)(x − 2)] − [(x + 1)( x + 2)](x − 1)2 (x + 1)

= [x 2 − 3x + 2] − [x 2 + 3 x + 2]

(x − 1)2 (x + 1)

= − 6x

(x − 1)2 (x + 1)


Complex Fractions

http://find/



Complex fractions are fractions which contain one or more fractions in thenumerator or in the denominator or in both.


Complex Fractions

http://find/



Complex fractions are fractions which contain one or more fractions in thenumerator or in the denominator or in both.

a − ab

c − cb

xy

− yx

xy

+ 2 + yx


Simplifying Complex Fractions

http://find/



Example 1:

a − ab

c − cb



http://find/



Example 1:

a − ab

c − cb

=

ab − ab



http://find/



Example 1:

a − ab

c − cb

=

ab − ab

cb − cb



http://find/



Example 1:

a − ab

c − cb

=

ab − ab

cb − cb

= ab − a

b ·

bcb − c



http://find/



Example 1:

a − abc −

cb

=

ab − ab

cb − cb

= ab − a

b ·

bcb − c

= ab − a

cb − c



http://find/



Example 1:

a − abc −

cb

=

ab − ab

cb − cb

= ab − a

b ·

bcb − c

= ab − a

cb − c =

a(b − 1)c(b − 1)



http://find/



Example 1:

a − abc −

cb

=

ab − ab

cb − cb

= ab − a

b ·

bcb − c

= ab − a

cb − c =

a(b − 1)c(b − 1)

= a

c


http://find/



Example 2: Multiplying and dividing by the LCD


http://find/




xy

− yx

xy

+ 2 + yx


http://find/




xy

− yx

xy

+ 2 + yx

=

xy

− yx

xy

xy

+ 2 + yx

xy


http://find/




xy

− yx

xy

+ 2 + yx

=

xy

− yx

xy

xy

+ 2 + yx

xy=

x2 − y2

x 2 + 2 xy + y2


l l l d d d b h

http://find/




xy

− yx

xy

+ 2 + yx

=

xy

− yx

xy

xy

+ 2 + yx

xy=

x2 − y2

x 2 + 2 xy + y2

= (x + y)(x − y)

(x + y)2


E l 2 M l i l i d di idi b h LCD

http://find/




xy

− yx

xy

+ 2 + yx

=

xy

− yx

xy

xy

+ 2 + yx

xy=

x2 − y2

x 2 + 2 xy + y2

= (x + y)(x − y)

(x + y)2 = x − yx + y


Exercises:

http://find/



Reduce the following rational expressions to lowest terms.

1a 2 − b2

a 3 − b32

x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3

x 6 + y6

Perform the following operations and simplify.

1 x

x 2 − 1 − 3x + 1 ÷

2x 2 − x − 3x 3 − 1

2 x

x + y +

yx − y

·x 2 − xyx 4 − y4 ÷

xx 2 + 2 xy + y2

3m + 2 s

m 2 − 5ms + 6 s 2 +

m + 2 s

m 2 − 3ms + 2 s 2 −

m − 4s

m 2 − 4ms + 3 s 2


http://find/



Exercises:

Simplify the following:

1

3 p + q

+ 1

p − 2q

1 + p − q p − 2q

2

2 + 2c

2 − 22 +

4c − 4


http://find/

Date post:	03-Jun-2018
Category:	Documents
Upload:	khayzel-melano
View:	225 times
Download:	0 times

A4 - Rational Expressions VJ

Documents