ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 1
บทท่ี 3 อนุพนัธ์ของฟังกช์นั 3.1 บทนิยามของอนุพันธ ์
บทนิยามที่ 3.1 ให้ f เป็นฟังก์ชัน และ y =f(x)
จะเรียก 0 0
( )lim limx x
f x x f xx
y x
เมื่อลมิิตมีค่าว่า อนพุันธ์ ของ f เทยีบกับ x
และจะกล่าวว่า f มีอนุพันธ์ที่ x เขียนแทนดว้ยสัญลักษณ์ / ( )f x หรือ ( )d
f xdx
หรือ ( )x
D f x หรอื /y
หรือ dy
dx นั่นคือ /
0
( )( ) lim
x
f x x f xf x
x
เมื่อลมิิตมีค่า
ถ้าให้ x h จะได้ /
0
( )( ) lim
x
f x h f xf x
h
เมื่อลิมิตมีค่า
ถ้า 0
( )limx
f x x f x
x
มีค่า จะเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ทางซ้ายของ f ที ่x
และ ถ้า 0
( )limx
f x x f x
x
มีค่า จะเรียกลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ทางขวาของ f ที ่x
ใช้สัญลักษณ์ / ( )f x และ / ( )f x แทนอนุพนัธ์ของทางซ้ายและอนุพันธ์ทางขวาตามล าดับ
/ ( )f x จะหาค่าได้ก็ต่อเมื่อ / ( )f x = / ( )f x
และได้ / ( )f x = / ( )f x = / ( )f x
อนุพันธ์ของ f ที่ x = a เขียนแทนด้วย / ( )f a โดยที่ /( )
( ) limx a
f x f af a
x a
เมื่อลิมิตมีคา่
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 2
ความชันของเส้นโค้ง (ความหมายของอนุพันธ์ในเชิงเรขาคณิต)
ก าหนด y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a,b]
ให้ P(x,y) และ Q(x+ x, y+ y) เป็นจุดสองจุดบนเส้นโค้ง ดังภาพ 3.1
Y
Q(x+ x, y+ y)
P(x,y)
0 x x+ x X
รูป 3.1
เมื่อเคลื่อน Q ไปตามเส้นโค้งให้เข้าใกล้ P จะได้ว่าเส้นตรง PQ จะเคลื่อนเข้าสู่ต าแหน่งของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P นั่นเอง
นั่นคือ เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ความชันของเส้นตรง PQจะเข้าใกล้ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P นั่นเอง
เนื่องจากความชันของเส้นตรง PQ= ( ) ( )y f x x f x
x x
ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด P คือ
0 0
( )lim limx x
f x x f xx
y x
เมื่อลิมิตมีค่า
บางครั้งเรียกความชันของเส้นสัมผัสเส้นโคง้ ณ จุด P ว่าความชันของเส้นโค้ง ณ จุด P
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 3
ความเร็ว
ถ้าให้ s เป็นระยะทางที่วัตถุอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น ณ เวลา t ใดๆ จะได้ s เป็นฟังก์ชันของ t คือ s=f(t)
ณ เวลา t+ t วัตถุอยู่ห่างจากจุดตั้งต้น s+ s โดยที่
s+ s = f(t+ t)
จะได้ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนทีไ่ด้ในช่วงเวลา t เป็น
s = f(t+ t) - f(t)
ความเร็วเฉลี่ยของการเคลื่อนที่จากเวลา t ถึง t+ t คือ
( ) ( )s f t t f t
t t
ดังนั้นความเร็วชั่วขณะ ณ เวลา t ใดๆ คือ
0 0
( ) ( )lim lim
t t
s f t t f t
t t
เมื่อลิมิตมีค่า
นั่นคือ 0
( ) ( )( ) lim
t
ds f t t f tV t
dt t
เมื่อลิมิตมีค่า
สรุป การหาความเร็วและความชันของเส้นโค้งก็คือการหาอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของสมการการเคลื่อนที ่
หรือสมการเสน้โค้งนั่นเอง
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 4
ตัวอย่างที่ 1 ก าหนด f(x) จงพิจารณาว่า f มีอนุพันธ์ที่ x = c หรือไม่ ถา้มีจงหา / ( )f c
1.1 2
4 , 1( )
2 2 , 1
x xf x
x x
, c =1
1.2 2
1 , 1( )
( 1) , 1
x xf x
x x
, c = -1 , -2
1.3 1( )
1f x
x
, c =2
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 5
ตัวอย่างที่ 2 จงหาอนุพันธ(์โดยใช้บทนิยาม)ของ f(x) =x2 + x -1
ตัวอย่างที่ 3 จงหาอนุพันธ(์โดยใช้บทนิยาม)ของ f(x) = x
ตัวอย่างที่ 4 จงหาอนุพันธ(์โดยใช้บทนิยาม)ของ 1( )
3f x
x
ตัวอย่างที่ 5 จงหาความชัน(โดยใช้บทนิยาม)ของเส้นโค้ง y = x3 ณ จุด (2,8)
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 6
ตัวอย่างที่ 6 วัตถุชนิดหนึ่งเคลื่อนที่เป็นระยะทาง s เมตร ในเวลา t วินาที ซึ่ง s = t2-3t+8 จงหา
(โดยใช้บทนิยาม)
6.1 ความเร็วเฉลี่ยจาก เวลา t=3 วินาที ถึง t=5 วินาที
6.2 ความเร็วของวัตถุ ณ เวลา t ใดๆ
6.3 ความเร็วของวัตถุ ณ เวลา t=5 วินาที
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 7
2.2 สูตรของอนุพันธ ์
ก าหนด u =f(x) และ v =g(x) c] และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ และ n เป็นจ านวนจริง
ถ้า u และ v มีอนุพันธ์ที่ x แล้วจะได้สูตรของอนุพันธ์ต่อไปนี้
1) dc
dx=0
2) dx
dx=1
3) d du
cu cdx dx
4) d du dv
u vdx dx dx
5) d dv du
u v u vdx dx dx
6) 2
, 0
du dvv u
d u dx dx vdx v v
7) 1
n
ndv dvnv
dx dx
***จงพิสูจน์สูตรของอนุพันธ์
2.3 กฎลูกโซ ่(Chain Rule)
ก าหนด y=f(u) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ u และ u =g(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x จะได้ว่า
dy dy du
dx du dx
ในกรณีที่มีฟังก์ชันหลายฟังก์ชันซึ่งสามารถหาฟังก์ชันประกอบได้ เช่น y=f(u) , u=g(v) และ v=h(x)
จะได้ dy dy du dv
dx du dv dx
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 8
แบบฝึกหัดที่ 2.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้
1) 12 5 21( ) 3 8 5
3f x x x x
2) 2 3
1 3 2( )f x
x x x
3) 3 1( ) 4 6f x x x
x
4) 2
4
1( ) 5 3 4f x x x x x
x
5) 4( ) 3f x x x
6) 3 2( )
3 2
xf x
x
7) 2
4
1( )
1
xf x
x
8) 5 21 4 7 9y x x x
9) 3
1
xy
x
10) 2 6 3y x x
11) 10
3 2 1y t t
12) ถ้า y= u3 และ u = x2-3x+1 แล้ว จงหา dy
dx
13) ถ้า y= x2-2x และ 22 1x t จงหา dy
dt เมื่อ 2t
14) ก าหนดให้ 4x y จงหา dy
dx
15) ก าหนดให้ 21x y y จงหา dy
dx
16) จงหาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง 2 4x y y ที่จุดตัดบนแกน y
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 9
ที่มา : ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท์. 2555. แคลคูลัส 1 ส าหรับวิศวกร. พิมพ์ครั้งที่ 1. ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์.
2.3 ฟังก์ชนัที่หาอนพุันธ์ได ้
อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f จะนิยามที่จุด ซึ่งลิมิตจากนิยาม0
( ) ( )limx
f x x f x
x
หาค่าได้ถ้าจุดนั้นคือ
x0 เรากล่าวว่า f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที ่ x0 หรือ f มีอนุพันธ์ที่ x0 หรืออาจกล่าวอีกอย่างหนึ่งได้ว่าโดเมนของ f/ ประกอบด้วย จุดที่ f หาอนุพันธ์ได้ และกล่าวว่า f หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด (a,b) ถ้า f หาอนุพันธ์ไดท้ี่แต่ละจุดใน (a,b) และกล่าวว่า f
เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ถ้า f หาอนุพันธ์ได้บนช่วง ,
แต่ถ้า f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดต่างๆ ได้ จะกล่าวว่า อนุพันธ์ของ f ไม่มีที่จุดนั้น ซึ่งเราอาจแบ่งกลุ่มของจดุที่ท าให้ไม่สามารถหาอนุพันธ์ของ f ได้ 3 กลุ่มดังนี ้ 1. จุดที่ท าให้กราฟหักจนเกิดมุมหรือเป็นเหลี่ยม 2. จุดที่เส้นสัมผัสกราฟตั้งฉากกับแกน x 3. จุดที่กราฟของ f ไม่ต่อเนื่องหรือเป็นจุดขาดตอน
Y
y = f(x)
0 x0 X
Y Y
y = f(x) y = f(x)
0 x0 X 0 x0 X รูป 2.2
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 10
2.4 ความสัมพันธ์ระหว่างการมีอนุพันธ์กับความต่อเนื่อง
ทฤษฎีบทที่ 3.15 ถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x0 แล้ว f จะมีความต่อเนื่องที่จุด x0 ด้วย
พิสูจน์
หมายเหตุ จากทฤษฎีจะได้ว่า ถ้า f ไม่ความต่อเนื่องที่จุด x0 แล้ว f จะหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x0 แต่ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่จุด x0 อาจจะหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x0
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 11
ตัวอย่างที่ 7 ฟังก์ชัน ( )f x x ต่อเนื่องส าหรับ x
7.1 จงแสดงว่า ( )f x x หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่จุด x = 0
7.2 จงหา / ( )f x
วิธีท า
Y
0 X
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 12
ตัวอย่างที่ 8 จงแสดงว่า 1
3( )f x x ไมม่ีอนุพันธ์ที่ x = 0
วิธีท า
Y
0 X
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 13
2.5 การหาอนุพันธ์ที่ปลายชว่ง
ถ้า f นิยามบนช่วงปิด [a,b] แล้วอนุพันธ์ / ( )f x จะไม่นิยามที่จุดปลาย a และ b เพราะว่า
/
0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
x
ซึ่งเป็นลิมิตสองด้าน แต่ที่จุดปลายนั้นจะมีลิมิตเกิดขึ้นเพียงด้านเดียว
ดังนั้น จึงต้องนิยามอนุพันธ์จากทางซ้ายและทางขวาแทนด้วย /f และ /f ตามล าดับ โดยมีความหมายดังนี้
/
0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
x
และ /
0
( ) ( )( ) lim
x
f x x f xf x
x
ณ จุดที่ / ( )f x หาค่าได้ เรียกว่าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้จากทางซ้าย
ณ จุดที่ / ( )f x หาค่าได้ เรียกว่าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้จากทางขวา
ทางเรขาคณิต / ( )f x คือลิมิตของความชันของเส้นสัมผัสกราฟเมื่อเข้าใกล้ x จากทางขวา และ / ( )f x
คือลิมิตของความชันของเส้นสัมผัสกราฟเมือ่เข้าใกล้ x จากทางซ้าย ดังรูป 3.3
Y
ความชัน = / ( )f b
ความชัน = / ( )f a
a b X
รูป 2.3
ดังนั้นจะกล่าวว่า f หาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b] ถ้าเง่ือนไขต่อไปน้ีเป็นจริง
1. f หาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด [a,b]
2. f หาอนุพันธ์ได้จากทางขวาที่ a
3. f หาอนุพันธ์ได้จากทางซ้าย b
และเงื่อนไขดังกล่าวนี้ยังสามารถใช้ไดกับช่วงอื่นๆ เช่น [a, ) , (- , a] , [a,b) และ (a,b]
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 14
2.6 กราฟของอนุพันธ ์
1) Y Y
450
X X
2) Y Y
0 X 0 X
3) Y Y
0 X 0 X
4) Y Y
0 X 0 X
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 15
5) Y Y
0 X 0 X
6) Y Y
0 X 0 X
7) Y Y
0 X 0 X
8) Y Y
0 X 0 X
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 16
9) Y Y
0 X 0 X
10) Y Y
0 X 0 X
11) Y Y
0 X 0 X
12) Y Y
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 17
2.7 อนุพันธ์อนัดับสงู
ถ้า y=f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่ x จะได้อนุพันธ์คือ
/
0
( ) ( )( ) lim
h
dy f x h f xf x
dx h
เมื่อลิมิตมีค่า เราเรียก / ( )f x ว่า อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของ f(x)
ถ้า / ( )f x มีอนุพันธ์ที่ x จะเรียกอนุพันธ์ของ / ( )f x ว่า อนุพันธ์อันดับที่สองของ f(x)
และเขียนแทนด้วย 2
/ /
2( )
d yf x
dx หรือ / /y
2 / /
/ /
2 0
( ) ( )( ) lim
h
d y f x h f xf x
dx h
เมื่อลิมิตมีค่า โดยทั่วไป
n
n
d y
dx ก็คืออนุพันธ์ของ
1
1
n
n
d y
dx
โดย ( 1) ( 1)
( )
0
( ) ( )( ) lim
n n n
n
n h
d y f x h f xf x
dx h
เมื่อลิมิตมีค่า และ n เป็นจ านวนเต็มบวก
นั่นคือ ถ้า y=f(x)
อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง /
0
( ) ( )( ) lim
h
dy f x h f xf x
dx h
เมื่อลิมิตมีค่า
อนุพันธ์อันดับที่สอง 2
/ / /
2( )
d y df x f x
dx dx
อนุพันธ์อันดับที่สาม 3
/ / / / /
3( )
d y df x f x
dx dx
. . .
อนุพันธ์อันดับที่ n ( ) ( 1)( )n
n n
n
d y df x f x
dx dx
ความเร่ง (Acceleration)
ความเรง่ (a) ของวัตถุขณะเวลา t ใด คืออตัราการเปลียนแปลงของความเร็ว (v) เทียบกับเวลา t ใดๆ
ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามสมการการเคลื่อนที่ คือ S = f(t) เมื่อ S คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา t จะได้
dva
dt และ dS
vdt
ดังนั้น 2
2
d dS d Sa
dt dt dt
ถ้าความเร่งเปน็จ านวนบวก แสดงว่าเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น ความเร็วจะเพิ่มขึ้น และถ้าความเร่งเป็นจ านวนลบ แสดงว่าเมื่อเวลาเพิ่มขึ้น ความเรว็จะลดลง
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 18
ตัวอย่างที่ 9 จงหาอนุพันธ์อันดับที่สอง ของฟังก์ชันต่อไปนี้
9.1 3 2( ) 7 8f x x x 9.2 33( ) 2 5f x y
ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่า /y และ / /y เมื่อก าหนดคา่ตัวแปรให้ในแต่ละข้อ
10.1 8 2y x เมื่อ x =1 10.2 3
2y x เมื่อ x =0
ตัวอย่างที่ 11 ปล่อยวัตถจุากที่สูงลงสู่พื้นดิน วัตถุเคลื่อนที่ได้ระยะทาง S = 16t2 เมตร ในเวลา t วินาที
จงหา 11.1 ระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้หลังจากปล่อยวัตถุไป 5 วินาที
11.2 ความเร็วขณะเวลา t = 3 วินาที
11.3 ความเร่งขณะเวลา t ใดๆ
11.4 ความเร่งขณะเวลา t = 10 วินาที
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 19
2.8 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย(ฟังก์ชันแฝง) (Implicit Differentiation)
โดยทั่วไป ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ จะสามารถหาสับเซตของ r ที่เป็นฟังก์ชันได้เสมอ เช่น
2 2 9x y เป็นความสัมพันธ์จะได้ว่า 29y x และ 29y x เป็นสับเซตที่เป็นฟังก์ชัน
ดังนั้นสมการ ( , ) 0f x y อาจก าหนดเป็นฟังก์ชันได้มากกว่า 1 ฟังก์ชัน เรียกฟังก์ชันที่ก าหนดโดย ( , ) 0f x y ว่า อิมพิลสิตฟังก์ชัน (Implicit Function)
การหาอนุพันธ์ของอิมพลิสิตฟังก์ชัน ท าได้โดยหาอนุพันธ์ของทุกๆพจน์ ทั้งสองข้างของสมการ แล้ว
จึงแก้สมการหา dy
dx โดยในการหาอนุพันธ์ให้ถือว่า y= f(x)
ตัวอย่างที่ 12 จงหา dy
dx เมื่อก าหนดฟังก์ชันต่อไปน้ี
12. 1) 2 24 9 36x y
12.2) 2 16 0xy x
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 20
ตัวอย่างที่ 13 ก าหนดให้ 5 4 3 23 3 4 0x x y y จงหา dy
dx ที่จุด (-1,1)
ตัวอย่างที่ 14 จงหาความชันของเส้นสัมผัสกราฟ 4 33 4 5 1y y x x ที่จุด (1,-2)
ตัวอย่างที่ 15 จงหาสมการเส้นตั้งฉากกับกราฟ 3 2 5y x ที่จุด (1,2)
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 21
แบบฝึกหัดที่ 2.2
1. จงหา 2
2
d y
dx ของฟังก์ชัน
1) 3 3 1x y 2) 2) 22 3xy y
3) 2 23 12x y
4) 3 33 1x xy y
2. จงหาอนุพันธ์ตามที่ระบุในแต่ละข้อ
1) 4 23 2 5; my x x x y
2) 2) (4)1( ) ; ( )f x f x
x
3) 2 / /2 3 ;y x y
4) / /( ) ; ( )1
xf x f x
x
5) ( )1( ) ; ( )nf x f x
x
6) ( )
2
1( ) ; ( )nf x f x
x
7) ( )1( ) ; ( )
3 2
nf x f xx
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 22
3. จงหา dy
dx เมื่อก าหนดฟังก์ชันต่อไปนี้
1) 2 28 20x y 2) 1 11
x y
3) 2 2
1 11
x y 4) 8x y
5) 5x y y 6) 3 2 32 1x x y y
7) 2 33 3x y xy x 8) 6 3 4x xy y
9) 2 233 2 20x xy y 10) 4 2
2 29 4 3 1y x x
4. จงหาสมการของเส้นสัมผสัและตั้งฉากของกราฟ 2 23 5x xy y ที่จุด (1,1)
5. ที่จุดใดที่เสน้สัมผัสต่อเส้นโค้ง 2 32y x ตั้งฉากต่อเส้นตรง 4x- 3y +1=0
6.จงหาค่าของ a และ b ส าหรับเส้นโค้ง 2 2x y ay b ถ้าจุด (1,1) อยู่บนกราฟ และสัมผัสที่จุด (1,1) มี
สมการ 4x+3y =7
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 23
2.9 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิต ิ
ในการหาสูตรของอนุพันธ์ของ sin x และ cos x จะเกี่ยวข้องกับลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่อยู่ใน
รูปของ 0
sinlimx
x
xและ
0
1 coslimx
x
x
การหาค่าของลิมิตดังกล่าว อาจหาได้จากการพิจารณากราฟ y =sin x และ y = cos x ดังรูป 2.4
y = sin x
y = cos x
รูป 2.4
จะเห็นว่าฟังก์ชัน y = sin x และ y =cos x ต่อเนื่องที่ x =0 และมี 0
limsin 0x
x
และ
0limcos 1x
x
เมื่อพิจารณา sin xy
x จะพบว่าฟังก์ชันไม่นิยามที่ x = 0
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 24
แต่เมื่อพิจารณาแสดงค่า y ส าหรับ x ใกล้ๆ 0 และกราฟของ y ตามล าดับ ดังรูป 2.5
x -0.02 -0.005 -0.002 0.002 0.005 0.02 sin x
x 0.999933 0.999996 0.999999 0.999999 0.999996 0.999933
รูป 2.5
จะพบว่า เมื่อ 0x แล้ว sin1
x
x นั่นคือ
0
sinlim 1x
x
x
เช่นเดียวกัน ส าหรัปฟังก์ชัน 1 cos xy
x
ซึ่งไม่นิยามที ่x = 0 เช่นเดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาตารางแสดงค่า
y ส าหรับ x ใกล้ๆ 0 และกราฟของ y ตามล าดับดังรูป 2.6
x -0.5 -0.1 -0.01 0.001 0.01 0.5 1 cos x
x
-0.24483 -0.04996 -0.00500 0.00500 0.04996 0.24483
รูป 2.6
จะพบว่า เมื่อ 0x แล้ว 1 cos0
x
x
นั่นคือ
0
1 coslim 0x
x
x
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 25
สูตรอนุพันธ์ของ sin x
ส าหรับสูตรอนุพันธ์ของ sin x ใช้สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติมดังนี้
sin sin cos cos sinA B A B A B
จากนิยามจะได้ sind
xdx
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
ดังนั้นจะได้ sin cosd
x xdx
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 26
สูตรอนพุันธ์ของ cos x
ส าหรับสูตรอนุพันธ์ของ cos x ใช้สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติมดังน้ี
cos cos cos sin sinA B A B A B
จากนิยามจะได้ cosd
xdx
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
ดังนั้นจะได้ cos sind
x xdx
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 27
สูตรอนุพันธ์ของ tan x
โดยใช้ความสัมพันธ์ sintan
cos
xx
x และใช้สูตรอนุพันธ์ผลหารจะได้
tand
xdx
= sin
cos
d x
dx x
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
ดังนั้น tand
xdx
= 2sec x
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 28
สูตรอนุพันธ์ของ cot x
โดยใช้ความสัมพันธ์ coscot
sin
xx
x และใช้สูตรอนุพันธ์ผลหารจะได้
cotd
xdx
= cos
sin
d x
dx x
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
ดังนั้น cotd
xdx
= 2cosec x
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 29
สูตรอนุพันธ์ของ sec x
โดยใช้ความสัมพันธ์ 1sec
cosx
x และใช้สูตรอนุพันธ์ผลหารจะได้
secd
xdx
= 1
cos
d
dx x
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
ดังนั้น secd
xdx
= sec tanx x
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 30
สูตรอนุพันธ์ของ cosec x
โดยใช้ความสัมพันธ์ 1cosec
sinx
x และใช้สูตรอนุพันธ์ผลหารจะได้
cosecd
xdx
= 1
sin
d
dx x
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
= ………………………………………………..…………………………………………
ดังนั้น cosecd
xdx
= cosec cotx x
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 31
สรุปสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชนัตรีโกณมิตไิด้ดังนี้
1. sin cosd
x xdx
2. cos sind
x xdx
3. 2tan secd
x xdx
4. 2cot cosecd
x xdx
5. sec sec tand
x x xdx
6. cosec cosec cotd
x x xdx
ตัวอย่างที่ 16 ก าหนด 4( ) sinf x x x จงหา / ( )f x
ตัวอย่างที่ 17 ก าหนด sin
1 cos
xy
x
จงหา dy
dx
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 32
ตัวอย่างที่ 18 ก าหนด ( ) sec tanf x x x จงหา / ( )f x
ตัวอย่างที่ 19 ก าหนด ( ) secy x x จงหา / / ( )4
y
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 33
แบบฝึกหัดที่ 2.3
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
1. cos
1 cot
ecxy
x
2. 20cosy x
3. 3sin 5y x x
4. 2cos 3 2y x x
5. 3tan 1y x
6. cot5y x
7. 3 sec2y x x
8. sin 1 cosy x
9. 2 sin 2 cos2 2siny x x x x
10. 2cosy x
11. tan 3y x
จงหา dy
dxของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้
12. 2 25 siny y x
13. tan2
x y
14. sin( )y x y
15. cos sin( )x y x y
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 34
2.10 อนุพันธ์ของฟังก์ชนัเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม มีนิยามดังน้ี
นิยาม 2.10.1 ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันในรูป
, log , 0, 1a
f x y R R y x a a
ซึ่งเป็นฟังก์ชันอินเวอร์สกับฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล
นิยาม 2.10.2 ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล คือ ฟังก์ชันในรูป
, , 0, 1xg x y R R y a a a
ซึ่งเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม มีความสัมพันธ์กันดังนี้
loga
y x ก็ต่อเมื่อ yx a เมื่อ x >0 และ 0, 1a a
และกราฟของ f และ g มีสมมาตรรอบเส้นตรง y=x ดังรูป 2.7 (กรณ ี 0a )
รูป 2.7
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 35
สมบัติของฟังก์ชันลอการิทมึ
1. log 1 0a 2. log 1
aa
3. log log loga a aMN M N 4. log log log
a a a
MM N
n
5. log logp
a aM p M 6. 1
log logp aaM M
p
7. loglog
log
b
a
b
MM
a 8. 1
loglog
a
M
Ma
9. log x
aa x 10. loga x
a x
จ านวน e และลอการิทึมธรรมชาต ิ
ลอการิทึมทีส่ าคัญที่สุด ได้แก ่ลอการิทึมสามัญ (Commmon logarithms) ซึ่งมีฐาน 10 และลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms) ซึ่งมีฐานเป็นจ านวนตรรกยะค่าหน่ึงแทนด้วย e โดยที่
2.71828...e
จ านวน e นี้ถกูค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ ชื่อ เลโอนาร์ด ออยเลอร์ (Leonard Euler) ซึ่งได้แสดงให้เห็นว่า y =e คือ เส้นก ากับตามแนวนอน (Horizontal asymptote) ของกราฟของ
สมการ 11
x
yx
ดังรูป 2.8
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 36
รูป 2.8
ซึ่งจะเขียนจ านวน e ในรูปลิมิต ได้เป็น 1lim 1
x
xe
x
หรือเขียนอีกในรูปแบบหนึ่งได้เป็น 1
0lim 1 x
xe x
การค านวณค่า e โดย 1lim 1
x
xe
x
แสดงได้ดังตารางดังนี้
x 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 1
xx
2 101 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001
1x
xx
2.000000 2.593742 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.718280
ลอการิทึมสามญั นิยมเขียนในรูป log x แทน 10log x
ลอการิทึมธรรมชาติ นิยมเขียนในรูป ln x (อ่านว่า ell en ของ x ) แทน logex
กราฟของ y = ln x มีลักษณะดังรูป 2.9
x 0.25 0.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y -1.39 -0.69 0 0.69 1.10 1.39 1.61 1.79 1.95 2.0/8 2.20
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 37
รูป 2.9
ค่าของ ln x ส าหรับ x บางค่าและสมบัตบิางประการที่ส าคัญดังนี ้
1. ln1 0 2. ln 1e
3. 1ln 1
e 4. ln xe x
5. ln xe x 6. ln ln lnab a b
7. ln ln lna
a bb 8. ln lnca c a
อนุพันธ์ของฟงัก์ชันลอการิทึม
ก าหนดให้ ( ) loga
y f x x
จากนิยามของอนุพันธ์ 0
( ) ( )limx
dy f x x f x
dx x
จะได้ loga
dyx
dx = ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………
ดังนั้น loga
dyx
dx = 1
logae
x
และถ้าให้ ( ) log lna
y f x x x
จะได้ loga
dyx
dx = = ………………………………………
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 38
หรือ ………………………………………………………………………
ถ้า v เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของ x แล้ว และอาศัยกฎลูกโซ่จะได้สูตรทัว่ไปส าหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมได้ดังนี ้
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
แบบฝึกหัดที่ 2.4
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1. 2log 4 3a
y x
2. 2
3log
1
xy
x
3. 23 logy x
4. 3
ln 2 1y x
5. 3ln 2 1y x
6. 3 2ln 2 3 1y x x
7. 2 2 21 ln 1y x x
8. ln sin 4y x
loga
dyu
dx = 1
loga
due
u dx
lndy
udx
= 1 du
u dx
ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................
แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 39
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
9. 2
2
1ln
1
xy
x
10. sin ln cos lny x x x
11. ln ln3y x
12. ln sec tany
13. sin ln cosy x
จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
14. 2ln(4 ) 2y x x x
15. 1 sinln
1 sin
xy
x
16. 1 ln 1 1y x x