บทที่ 3 เซต (Set)elearning.psru.ac.th/courses/266/บทที่3.pdf ·...

39

บทที่ 3

เซต

(Set)

เซต (Set) เปนวชิาแขนงหนึ่งของวิชาคณติศาสตรที่นักวชิาการทั่ว ๆ ไปจะรูจักวิชานี้ใน

ลักษณะที่เปนการศกึษาการรวมกลุมของสิ่งของ (Collections) โดยพิจารณาการรวมกลุมของ

สิ่งของ เชน จุด เสน สมการ และจํานวนจรงิ เปนตน วชิานี้เกดิข้ึนและถูกพัฒนาทั้งในประเทศ

และตางประเทศเกดิความกาวหนาจนเกดิเปนแขนงวชิาหนึ่งที่มีความสําคัญในวชิาคณติศาสตร

สาขาตาง ๆ เชนพีชคณิตนามธรรม (Abstract Algebra ) การวิเคราะหจํานวนจริง (Real

Analysis) การวิเคราะหจํานวนเชิงซอน (Complex Analysis ) ทอพอโลยี (Topology ) และ

เกอืบจะทุกสาขาคณติศาสตรลวนแตใชสัญลักษณของเซตทัง้สิ้น

3.1 เซต (Set)

ในทางคณิตศาสตรจะถือวาเซต (Sets) เปนคําอนิยาม (Undefined Term) เปนคําที่ใช

แทนลักษณะนามที่เราใชเรียกกลุมของสิ่งตาง ๆ เชน กลุมของคน สัตว และกลุมของสิ่งของ

เปนตน จากคําอธิบายเกี่ยวกับเซตที่ผานมาไมไดถือวาเปนการใหคําจํากัดความหรือเปนบท

นยิามของคําวา “เซต” เพราะวาไมไดอธบิายไวโดยแจมชัด คําทีใ่ชประกอบคําอธบิายก็ใชคําวา

กลุม สิ่งของ และสมาชิกซ่ึงคําเหลานี้เปนคําที่เรารูความหมายดแีลวถาจะอธิบายคําเหลานี้อีก

เราก็ตองหาคําอ่ืน ๆ มาใชในการอธบิายจงึเกดิเปนปญหาการใชคําอธิบายที่ตองวกกลับมาใช

คําแรกอีกจงึตกลงกันวาจะใชคําวาเซตเปนอนิยามนั่นคือไมตองใหคําจํากัดความของคํานี้ ใน

ภาษาไทยมีคําหลาย ๆ คําที่มีความหมายอยางเดียวกับคําวาเซตไดแก กลุม ฝูง หมู โขลง ชุด

คณะ กอง กรม ครอบครัว สํารับ และตระกูลเหลานี้ เปนตน สวนในภาษาอังกฤษมีคําหลาย ๆ

คําที่ใชในความหมายอยางเดียวกับคําวาเซตไดแก Class, Group, Collection, Family, และ

Totality เปนตน

40

ตัวอยาง 3.1.1 ใหพิจารณาขอความตอไปนี้ ขอความใดใชคําวาเซตไดถูกตองตามความหมาย

เพราะเหตุใด

(1) เซตของสระในภาษาอังกฤษ

(2) เซตของพยัญชนะในคําวา “ดอกไม”

(3) เซตของดาราที่สวย 5 อันดับแรกของประเทศไทย

(4) เซตของจังหวัดในภาคเหนอื

วธิทํีา จากการพิจารณาจะไดวา

(1) ใชคําวาเซตไดถูกตองเพราะวาสามารถระบุไดวาสมาชิกของเซตคอื a, e, i, o, u

(2) ใชคําวาเซตไดถูกตองเพราะวาสามารถระบุไดวาสมาชิกของเซตคือ ด , อ , ก ,

และ ม

(3) ใชคําวาเซตไดไมถูกตองเพราะวาไมสามารถระบุไดวาสมาชิกของเซตคือใครเพราะ

คําวา “สวย” อาจไมมีเกณฑตัดสนิที่แนชัด

(4) ใชคําวาเซตไดถูกตองเพราะวาสามารถระบุไดวาสมาชิกของเซตคือจังหวัดตาง ๆ

ในภาคเหนอื

สัญลักษณและวธิเีขียนเซต

โดยทั่วไปการเขียนเซตหรอืการเรยีกช่ือของเซตจะใชอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพใหญ

และอักษรในภาษาอังกฤษตัวพิมพเล็ก และตัวเลขแทนสมาชิกของเซตนอกจากนี้ยังใช

ภาษาอังกฤษตัวเขียนใหญแทนช่ือเซตที่มีสมาชิกเปนเซต เม่ือกลาวถึงเซตจะตองกลาวถึง

สมาชิกในเซตซ่ึงอาจจะมีหรอืไมมีก็ได

โดยทั่วไปจะให , , ,A B C แทนเซตที่กําลังศกึษาและ , , ,a b c แทนสมาชิกของเซต

ที่กําลังศึกษาแตบางครั้งเราก็ใชอักษรภาษาอังกฤษตัวเล็กแทนเซตเหมือนกันเชน เซตของคู

อันดับซ่ึงจะกลาวตอไปในบทที่ 4

41

อนยิาม 3.1.2 เซต (Set)

อนยิาม 3.1.3 สมาชิก (Element or Member)

สัญลักษณ ใชอักษร , , ,A B C แทน เซต

ใชอักษร , , ,a b c แทน สมาชิก

ใชอักษร 풜, ℬ, 풞, แทน เซตที่มีสมาชิกเปนเซต

a A หมายถงึ a เปนสมาชิกของ A

a A หมายถงึ a ไมเปนสมาชิกของ A

แทน เซตของจํานวนเชิงซอน

แทน เซตของจํานวนจรงิ

แทน เซตของจํานวนตรรกยะ

แทน เซตของจํานวนอตรรกยะ

แทน เซตของจํานวนเต็ม

แทน เซตของจํานวนนับ

ฯลฯ

ในการเขียนเซตนั้นจะเขียนได 2 วิธีคือแบบแจกแจงสมาชิก และแบบมีเงื่อนไข ใน

การศกึษาการเขียนเซตเราสามารถศกึษาไดดังนี้

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular Form)

การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกวธินีี้เปนวธิกีารเขียนเซตโดยเขียนสมาชิกแตละตัวของเซตลง

ในวงเล็บปกกา “ ” และจะไมใชเครื่องหมายวงเล็บแบบอ่ืนแทนถามีการใชเครื่องหมาย

วงเล็บอ่ืนถอืวาไมเปนเซตเพราะการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกจะทําไดแบบเดยีวนอกจากนี้

ยังตองใชเครื่องหมายจุลภาค “ ,” เขียนค่ันระหวางสมาชิกแตละตัวของเซตนั้นซ่ึงยังแบงยอย

เปน 3 วธิดีังนี้

42

1.1 สมาชิกมจํีานวนนอยใหเขียนสมาชิกลงไปทุกตัวเชน

A คอืเซตของวันในหนึ่งสัปดาหเขียนไดดังนี้

{A จันทร, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร, เสาร, อาทติย}

1.2 ถาสมาชิกมจํีานวนไมมากนักใหเขียนสมาชิกสามตัวแรกแลวตอดวยจุดสามจุด

แลวเขียนสมาชิกตัวสุดทายเชน

B แทนเซตของอักษรภาษาอังกฤษเขียนไดดังนี้

, , , ,B a b c z

1.3 ถาสมาชิกมจํีานวนมากไมสิ้นสุดใหเขียนสมาชิกสามตัวแรกแลวเติมจุดสามจุด

เชน

เปนเซตของจํานวนนับ

1, 2,3,

ตัวอยาง 3.1.4 จงเขียนเซตใหอยูในแบบแจกแจงสมาชิกเม่ือ A แทนเซตของเดอืนในหนึ่งป

วิธีทํา {A มกราคม, กุมภาพันธ, มีนาคม, เมษายน, พฤษภาคม, มิถุนายน, กรกฎาคม,

สงิหาคม, กันยายน, ตุลาคม, พฤศจกิายน, ธันวาคม}

2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Builder Form)

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกหรือเรียกอีกอยางหนึ่งวาวิธีเขียนเซตแบบ

นามธรรม (Abstract Set) วธินีี้เปนการเขียนโดยบอกเงื่อนไขหรือกําหนดสมบัติของสมาชิกใน

เซตนั้นเขียนในรูปสัญลักษณไดเปน | ( )x A p x เม่ือ ( )p x แทนเงื่อนไขหรือสมบัติของ

สมาชิก x ตัวใด ๆ ที่อยูในเซต A ซ่ึง ( )p x ตองเขียนเปนประพจน ซ่ึง “ | ” เปนสัญลักษณที่

ใชแทนคําวา “โดยที่” เพื่อค่ันระหวางตัวแปรกับเงื่อนไข

43

ตัวอยาง 3.1.5 จงเขียนเซตใหอยูในแบบบอกเงื่อนไขเม่ือ A แทนเซตของวันในหนึ่งสัปดาห

วธิทํีา |A x x เปนวันในหนึ่งสัปดาห}

สัจพจน 3.1.6 สัจพจนการมอียู (Existential Axiom) มีเซตอยางนอย 1 เซต

จากสัจพจน 3.1.6 จะไดวาเม่ือมีเซตแลวสิ่งที่เกิดข้ึนตามมาคือความสัมพันธระหวาง

เซตซ่ึงมีไดหลายลักษณะอยางไรก็ดีความสัมพันธแรกที่ศึกษาคือการเทากันของเซตโดยมี

สัจพจนอธบิายไวดังนี้

สัจพจน 3.1.7 สัจพจนของการขยาย (Axiom of Extensionality) กําหนดให A และ B

เปนเซต A B ( A is equal to B ) ก็ตอเม่ือสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B และ

สมาชิกทุกตัวของ B เปนสมาชิกของ A

ขอสังเกต จากสจัพจน 3.1.7 เราจะไดวา

1. [( ) ( )]A B x x A x B x B x A

2. [( ) ( )]A B x x A x B x B x A

ตัวอยาง 3.1.8 กําหนดให 1, 2,3A , 1,1,2,3B และ 3, 2,1C

วธิทํีา จะไดวา A B เพราะวาทุกสมาชิกของ A เปนสมาชิกของ B และทุกสมาชิกของ B

เปนสมาชิกของ A และ B C เพราะวาทุกสมาชิกของ B เปนสมาชิกของ C และทุก

สมาชิกของ C เปนสมาชิกของ B

44

ตัวอยาง 3.1.9 กําหนดให 2,3,5A , 5, 2,3,5B และ 2| 8 15 0C x x x

วธิทํีา พิจารณา

2 8 15x x 0

3 5x x 0

x 3,5

C 3,5

เพราะวาทุกสมาชิกของ A เปนสมาชิกของ B และทุกสมาชิกของ B เปนสมาชิกของ ดังนั้น

A B และจะไดวา A C เพราะวามี 2 A แต 2 C และ B C เพราะมี 2 B แต

2 C

ขอสังเกต จากตัวอยาง 3.1.9 จะไดวาเซตที่มีสมาชิกซํ้า ๆ กันหลายตัวจะเหมือนกับเซตที่มี

สมาชิกนัน้ตัวเดยีวและแมลําดับสมาชิกในเซตตางกันเซตก็ยังเทากัน

ทฤษฎบีท 3.1.10 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) A A (สมบัตสิะทอน)

(2) ถา A B แลว B A (สมบัตสิมมาตร)

(3) ถา A B และ B C แลว A C (สมบัตถิายทอด)

พิสูจน (1) เนื่องจาก x A x A เปนจรงิสําหรับ x ทุกตัว นั่นคอื A A

(2) เนื่องจาก A B แสดงวา x A x B (เปนจรงิสําหรับ x ทุกตัว) และจะได

วา x B x A (เปนจรงิสําหรับ x ทุกตัว) ดังนัน้ B A

(3) เนื่องจาก A B และ B C ดังนั้น x A x B และ x B x C

(เปนจรงิสําหรับ x ทุกตัว) จะไดวา x A x C เพราะฉะนัน้ A C

บทนยิาม 3.1.11 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะกลาววา A เปนเซตยอย (Subset)

ของ B เขียนแทนดวย A B หรอื B A ถาสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกของ B

45

ขอสังเกต จากบทนยิาม 3.1.11 จะไดวา

1. [ ]A B x x A x B

แผนภาพท่ี 3.1 แผนภาพแสดง A B

แตถามีบางสมาชิกของ B ไมเปนสมาชิกของ A จะกลาววา A เปนเซตยอยแท (Proper

Subset) ของ B เขียนแทนดวย A B

2. [ ]A B x x A x B

3. จากบทนยิาม 1.7.2 บทนยิามของเอกภพสัมพัทธจะไดวาเซตใด ๆ เปนเซต

ยอยของของเอกภพสัมพัทธ

ตัวอยาง 3.1.12 กําหนดให 1, 2,3A , 2,1, 4,3B และ | 0 5C x x จงหา

ความสัมพันธระหวางเซต

วธิทํีา จากโจทยจะไดวา

(1) A B เนื่องจากมี 4 B แต 4 A

(2) B C และ C B

(3) A C เนื่องจากมี 4 C แต 4 A

46

บทนยิาม 3.1.13 เซตที่ไมมีสมาชิกเรยีกวาเซตวาง (Empty Set or Null Set) เขียนแทนดวย

สัญลักษณ หรอื

ตัวอยาง 3.1.14 จงแสดงวาเซตตอไปนี้เปนเซตวาง

(1) { |A x x เปนช่ือทะเลทรายในประเทศไทย}

(2) | 2B x x x

พิสูจน (1) เนื่องจาก { |A x x เปนช่ือทะเลทรายในประเทศไทย} เนื่องจากประเทศไทยไมมี

ทะเลทราย ดังนัน้ A เปนเซตวาง

(2) จาก | 2B x x x เนื่องจากไมมีจํานวนเต็มบวกที่นํามาบวกกับ 2 แลว

ไดตัวมันเอง จะไดวาเซต B จงึไมมีสมาชิก ดังนัน้ B เปนเซตวาง

ตัวอยาง 3.1.15 จงพิจารณาเซตตอไปนี้เปนเซตวางหรอืไม พรอมทัง้ใหเหตุผล

(1) | 3 1A x x x x

(2) 22 | 25B x x เม่ือ 2 2 |m m

วธิทํีา (1) | 3 1A x x x x เนื่องจากไมมีจํานวนนับใดที่เปนสามเทาของตัวมัน

เองบวกกับตัวเองแลวได 1 จะไดวา A จงึไมมีสมาชิกใดเลย ดังนัน้ A หรอื A

(2) 22 | 25B x x พิจารณา

2x 25

2 25x 0

5 5x x 0

x 5,5

นั่นคอื x 5,5 ซ่ึงทัง้สองคาไมเปนจํานวนคู ดังนัน้ B หรอื B

47

ทฤษฎบีท 3.1.16 มีเซตวางอยูเซตหนึ่งและมีเซตวางอยูเซตเดียวเทานัน้

พิสูจน จะแสดงวามีเซตวางอยูเซตหนึ่ง จากสัจพจนที่ 3.1.6 จะไดมีเซต A สําหรับเซต A

และ ( )p x คือ x x จะไดวามี A ซ่ึง A x A x x เนื่องจาก ( )p x เปนเท็จ ดังนั้น

เซต A ไมมีสมาชิก แสดงวา A ตอไปจะแสดงวามีเซตวางอยูเซตเดียวเทานั้น ให *

เปนเซตวาง เพราะวา *x และ x เปนเท็จ ฉะนัน้ *x x x เปนจรงิ

ซ่ึงจะไดวา * สรุปไดวาเซตวางมีเพียงเซตเดยีวเทานัน้

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 3.1.16 เซตวางที่ไดกลาวถึงแลวนี้ก็มีความสัมพันธในลักษณะของ

การเปนเซตยอยกับเซตอ่ืน ๆ ซ่ึงจะแสดงไวเปนสมบัติหนึ่งในเรื่องเซตยอยที่มีสมบัติหลาย

ประการดังนี้

ทฤษฎบีท 3.1.17 เซตวางเปนเซตยอยของทกุ ๆ เซต

พิสูจน ให A เปนเซตใด ๆ จะไดวาประโยค

x x A เปนจรงิ

ดังนัน้ A สรุปวาเซตวางเปนเซตยอยของทกุ ๆ เซต

ทฤษฎบีท 3.1.18 เซตใด ๆ เปนเซตยอยของตัวมันเอง

พิสูจน ให A เปนเซตใด ๆ จะไดวาประโยค

x A x A เปนจรงิ

ดังนัน้ A A สรุปวาเซตใด ๆ เปนเซตยอยของตัวมันเอง

48

ทฤษฎีบท 3.1.19 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B ก็ตอเม่ือ A B และ

B A

พิสูจน สมมตใิห A B จะแสดงวา A B และ B A

กรณีท่ี 1 A

เนื่องจาก A และ A B ดังนั้น B โดยทฤษฎีบท 3.1.17 จะไดวา A B

และB A


เพราะวา A และ A B ดังนัน้ B จากสัจพจนที ่3.1.7เราจะไดวา

A B [( ) ( )]x x A x B x B x A

[( )] ( )x x A x B x x B x A

A B B A

ดังนัน้ A B และ B A

สมมตใิห A B และB A จะแสดงวา A B

กรณีท่ี 1 A หรอื B

ถา A จะไดวา B เพราะวา B A ดังนัน้ A B ถา B เราจะไดวา

A เพราะวา A B ดงันัน้ A B

กรณีท่ี 2 A และ B

เนื่องจาก

A B B A [( )] ( )x x A x B x x B x A

[( ) ( )]x x A x B x B x A

A B

จากทัง้ 2 กรณจีะสรุปไดวา A B

49

ทฤษฎบีท 3.1.20 ถา A มีสมาชิก n ตัวแลว A จะมีเซตยอยทัง้หมด 2n เซต

พิสูจน ให A มีสมาชิก n ตัว จะไดวา

เซตยอยของ A ทีไ่มมีสมาชิก มี 0n

เซต

เซตยอยของ A ที่มีสมาชิก 1 ตัวมี 1n

เซต

เซตยอยของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัวมี 2n

เซต

เซตยอย ของ Aที่มีสมาชิก 3 ตัวมี 3n

เซต

เซตยอยของ A ที่มีสมาชิก n ตัวมี nn

เซต

ดังนัน้เซตยอยทัง้หมดของ A มี 20 1 2

nn n n nn

เซต

สัจพจน 3.1.21 สัจพจนของการกําหนดเฉพาะ (Axiom of Specification) กําหนดให A เปน

เซตใด ๆ และสําหรับทุก ๆ เงื่อนไข ( )p x จะมีเซต S ซ่ึงมีสมบัตวิา a S ก็ตอเม่ือ a A และ

( )p a เปนจรงิ

ขอสังเกต จากสัจพจน 3.1.21 เราจะไดวา

{ | ( )S a A p a เปนจรงิ} หรอื

| ( )S x A p x

50

ทฤษฎบีท 3.1.22 ปฏทิรรศนของรัสเซลล (Russell’s Paradox) ไมมีเซต A ที่มีสมบัติวา

ทุกเซตเปนสมาชิกของ A

พิสูจน เปนการเพียงพอที่จะแสดงวามีเซต B ซ่ึง B A สําหรับเซต A ใด ๆ โดยสัจพจน

3.1.21 จะมีเซต |B x A x x เราจะแสดงวา B A จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยงสมมติให

B A จะไดวา B A B B B B เปนจรงิแต

B A B B B B B A B B B A B B

จากการนยิามเซต B เราจะไดวา B B B A B B จะไดวา

B B B B

B B B B B B

แสดงวา

B A B B B B B B

แต

B A B B B B

B A B B B B B B

เพราะฉะนัน้ B A B B B A B B B B B B นั่นคอื

B A B B B B B B B B

แต B B B B เปนเท็จ จึงทําให B A B B B B เปนเท็จ แต B B B B

เปนจรงิ นั่นคอื B A เปนเท็จ จากที่กลาวมาสามารถสรุปไดวา B A

สัจพจน 3.1.23 สัจพจนของการจับคู (Axiom of Pairing) กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ

จะมีเซต C ซ่ึง A และ B เปนสมาชิกของ C

ขอสังเกต เซต C ในสัจพจน 3.1.23 อาจจะมีสมาชิกมากกวา A และ B ก็ได

51

ทฤษฎบีท 3.1.24 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะมีเซต P ซ่ึง ,P A B

พิสูจน จากสัจพจน 3.1.23 เราจะไดวามีเซต C ซ่ึง ,A B C โดยสัจพจน 3.1.21 จะมีเซต P ซ่ึง

|P x C x A x B

เห็นไดชัดวา ,P A B

แบบฝกหัด 3.1

1. ถา 1 2 3 nA A A A แลว 1 nA A

2. ถา 1 2 3 1nA A A A A แลว i jA A สําหรับทุก ,i j n

3.2 ยูเนยีนและอนิเตอรเซกชัน (Union and Intersection)

การดําเนนิการของเซต (Operation with Set) เปนการสรางเซตข้ึนมาใหมจากการนํา

เซตที่กําหนดใหมาดําเนนิการตามตองการซ่ึงจะมีการดําเนนิการหลายแบบเชน ยูเนยีนของเซต

และอินเตอรเซกชันของเซตเราสามารถศกึษาไดดังนี้

ขอตกลง เรยีกเซตที่มีสมาชิกทกุตัวเปนเซตวาวงศของเซต (Family of Set)

สัจพจน 3.2.1 สัจพจนของการยูเนยีน (Axiom of Union) สําหรับทุก ๆ ซ่ึงเปนวงศของ

เซต (Family of Set) จะมีเซต T ซ่ึงถา x A สําหรับบาง แลว x T

ทฤษฎบีท 3.2.2 กําหนดให เปนวงศของเซตจะมีเซต S เพียงเซตเดยีวเทานัน้ซ่ึง x S ก็

ตอเม่ือ x สําหรับบาง

พิสูจน สมมติให x S จะตองแสดงวา x สําหรับบาง จากสัจพจน 3.2.1

เราจะไดวามีเซต T ซ่ึง x สําหรับบาง จะไดวา x T โดยสัจพจน 3.1.23 จะมี

เซต S ซ่ึง | ,S x T x ดังนัน้เรามี x S เม่ือ x สําหรับบาง

52

สมมตใิห x สําหรับบาง จะตองแสดงวา x S จากสัจพจน 3.2.1 เราจะไดวา

มีเซต T ซ่ึง x สําหรับบาง จะไดวา x T โดยสัจพจน 3.1.23 จะมีเซต S ซ่ึง

| ,S x T x เรามี x สําหรับบาง ดังนัน้ x S โดย สั จ พ จ น

3.1.7 จะไดวามี S เพียงเซตเดยีวเทา

บทนิยาม 3.2.3 จะเรียก S ในทฤษฎีบท 3.2.2 วายูเนียน (Union) ของวงศ เขียนแทน

ยูเนยีนของวงศ ดวย X

ทฤษฎบีท 3.2.4 กําหนดให เปนวงศของเซตจะได

(1) ถา แลว X

(2) ถา A แลว X A

พิสูจน (1) เราจะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง สมมตใิห X

ดังนั้นจะมี x X

จากบท

นยิาม 3.2.3 เราจะไดวามี x สําหรับบาง แต เกดิขอขัดแยง ดั ง นั้ น

สามารถสรุปไดวา X

(2) เนื่องจาก

X | ,x x

| ,x x A

A

ดังนัน้ X A

53

ขอตกลง 1. ถา ,A B เราจะเรยีก X วา A ยูเนยีน (Union) B และจะเขียน

X แทนดวย A B ดังนัน้ |A B x x A x B


2. ถา 1 2 3, , , , nA A A A เราจะเรียก X วายูเนียนจํากัด (Finite Union)

และจะเขียน X แทนดวย

1

n

ii

A ดังนัน้

1

n

ii

A | , 1,2,3, ,ix x A i n

1 2 3 nA A A A

3. ถาสําหรับแตละ และ เปนเซตไมจํากัดจะเรียก A วายูเนียนใด ๆ

(Arbitrary Union) และจะเขียน X แทนดวย A

ดังนัน้

A | ,x x A

54

ตัวอยาง 3.2.5 กําหนดให 1, 2,3A , 4, 2,3B และ 5,6C

วธิทํีา เนื่องจาก 1, 2,3A , 4, 2,3B และ 5,6C จะไดวา

A 1,2,3,4B

A 1,2,3,5,6C

ตัวอยาง 3.2.6 กําหนดให 1,1iA i

สําหรับแตละ i จงแสดงวา 1

0,1ii

A

พิสูจน เริ่มตนจะแสดงวา 1

0,1ii

A

ให

1

ii

x A

ix A สําหรับบาง i

1,1xi

1 1xi

10 1xi

0,1x

ดังนัน้ 1

0,1ii

A

จะแสดงวา 1

0,1 ii

A

ตอไปจะแสดงวา 1

0,1ii

A

ให

0,1x 0 1x

เนื่องจาก 0 x ดังนั้นจะมี i ซึ่ง 1ix

นั่นคือ 1xi

และจาก 1x ดังนั้นจะได 1 1xi

นั่นคอื 1,1xi

ดังนัน้ 1

0,1ii

A

สามารถสรุปไดวา 1

0,1ii

A

55


(1) A A และ A A (สมบัติเอกลักษณ (Identity Laws))

(2) A A A (สมบัตินจิพล (Idempotent Laws))

(3) A B B A (สมบัติการสลับที่ (Commutative Laws))

(4) A B C A B C (สมบัติการเปลี่ยนกลุม (Associative Laws))

พิสูจน (1) เนื่องจาก x เปนเท็จ ดังนัน้ถา

x A x A x

x A

นั่นคือ x A x A สามารถสรุปไดวา A A ตอไปจะแสดงวา A A

ให

x A x A x

x A

จะไดวา A A สามารถสรุปไดวา A A ในการแสดงวา A A สามารถทําได

ในทํานองเดยีวกัน


x A A x A x A

x A

จะไดวา A A A


x A B x A x B

x B x A

x B A

จะไดวา A B B A

56


x A B C x A B x C

x A x B x C

x A x B x C

x A x B C

x A B C

จะไดวา A B C A B C

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 3.2.7 ขอ (4) เราจะไดวา A B C A B C ดังนั้นเรา

จงึสามารถเขียนเซต A B C แทนเซต , A B C A B C ได

ทฤษฎบีท 3.2.8 กําหนดให , i iA B เปนเซตใด ๆ สําหรับทุก i ถา i iA B สําหรับทุก

i แลว 1 1

n n

i ii i

A B

พิสูจน จะพิสูจนโดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร กําหนดให ( )P n แทนขอความถา i iA B

สําหรับทุก i แลว 1 1

n n

i ii i

A B

กรณีที่ 1n จะเห็นไดชัดวาทฤษฎีบทเปนจริง ให

( )P k เปนจริงนั่นคือถา i iA B สําหรับทุก i แลว 1 1

k k

i ii i

A B


1 1k kA B และ 1 1

k k

i ii i

A B

ผลที่ตามมาคอื 1 1

1 1

k k

i ii i

A B

นั่นคอื 1P k เปนจริง

เพราะฉะนัน้ ทฤษฎีบทนี้เปนจรงิสําหรับทุก n

57

ทฤษฎบีท 3.2.9 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ แลวจะมีเซต I เพียงเซตเดยีวเทานัน้ซ่ึง

x I ก็ตอเม่ือ x A และ x B

พิสูจน สมมตใิห x I จะตองแสดงวา x A และ x B จากสัจพจน 3.1.23 เราจะได

วามีเซต I ซ่ึง x A และ x B หรอื

|I x x A x B

ดังนัน้เรามี x I ซ่ึง x A และ x B

สมมตใิห x A และ x B จะตองแสดงวา x I จากสัจพจน 3.1.23 เราจะไดวามี

เซต I ซ่ึง x A และ x B หรอื

|I x x A x B

ดังนัน้เรามี x A และ x B จะไดวา x I โดยสัจพจน 3.1.7 จะไดวามีเซต I เพียงเซตเดียว

เทานัน้

บทนยิาม 3.2.10 จะเรยีก I ในทฤษฎีบท 3.2.9 วา อินเตอรเซกชัน (Intersection) ของ A

กับ B

หมายเหต ุจากบทนยิาม 3.2.10 อินเตอรเซกชันของ A กับ B เขียนแทนดวย A B คอืเซต

ที่ประกอบดวยสมาชิกที่อยูทัง้ใน A และ B นั่นคอื

1. |A B x x A x B 2. x A B x A x B

3. x A B x A x B

58

แผนภาพ 3.3 แผนภาพแสดง A B

ตัวอยาง 3.2.11 กําหนดให 1, 2,3A , 4, 2,3B และ 5,6C

วธิทํีา เนื่องจาก 1, 2,3A , 4, 2,3B และ 5,6C จะไดวา

A 2,3B

A C

ขอตกลง 1. ถา A B จะเรยีกวา A และ B วาเซตไมมสีวนรวม (Disjoint Sets)

2. จะเรยีก 1

n

ii

A วาอินเตอรเซกชันจํากัด (Finite Intersection) ดังนัน้

1

n

ii

A | , 1, 2,3, ,ix x A i n

1 2 3 nA A A A

3. จะเรยีก A วาอินเตอรเซกชันใด ๆ (Arbitrary Intersection) ดังนัน้

A | ,x x A

59

ตัวอยาง 3.2.12 ให 10,iA i

สําหรบัแตละ i จงแสดงวา ii

A

พิสูจน จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง สมมตใิห 1

n

ii

A

ดังนัน้จะมี

ii

x A

ix A สําหรับทุก i

10,xi

สําหรับทุก i

จะไดวา 10 xi

ดังนั้นจะมี n ซึ่ง 1nx

นั่นคือ 1xn

จะไดวา 10,xn

จึงเกิดขอ

ขัดแยง ดังนัน้ 1

n

ii

A

จงึเปนเท็จ นั่นคอื 1

n

ii

A

ขอสังเกต จากตัวอยาง 3.2.6 และ 3.2.12 จะพบวามีความเกี่ยวของกับจํานวนนับและจํานวน

จรงิบวกหรอืที่เรยีกวาสมบัตขิองอารคีมีเดยีน


(1) A และ A

(2) A A A (สมบัตินจิพล (Idempotent Laws))

(3) A B B A (สมบัติการสลับที่ (Commutative Laws))

(4) A B C A B C (สมบัติการเปลี่ยนกลุม (Associative Laws))

พิสูจน (1) จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A ตอไปจะแสดงวา A เนื่องจาก

x เปนเท็จ ดังนั้น x A x เปนจริง จะไดวา A จากที่กลาวมา

สามารถสรุปไดวา A


x A A x A x A

x A

ดังนัน้ A A A

60


x A B x A x B

x B x A

ดังนัน้ A B B A


x A B C x A B x C

x A x B x C

x A x B x C

x A x B C

x A B C

ดังนัน้ A B C A B C

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 3.2.13 ขอ (4) เราจะไดวา A B C A B C ดังนั้นเรา

จงึสามารถเขียนเซต A B C แทนเซต , A B C A B C ได

ทฤษฎบีท 3.2.14 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) A A B และ B A B

(2) A B A และ A B B

(3) A B ก็ตอเม่ือ A B B

(4) A B ก็ตอเม่ือ A B A

พิสูจน (1) เราจะแสดงวา A A B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A A B

61


เนื่องจากสําหรบัทุก ๆ

x A x A

x A x B

x A B

จากทัง้ 2 กรณจีะไดวา A A B ตอไปจะแสดงวา B A B

กรณีท่ี 1 B

จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได B A B

กรณีท่ี 2 B


x B x B

x A x B

x A B

จากทัง้ 2 กรณจีะไดวา B A B

(2) จะแสดงวา A B A

กรณีท่ี 1 A B

จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B A



x A B x A x B

x A

จากทัง้ 2 กรณจีะไดวา A B A ตอไปจะแสดงวา A B B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B B

62



x A B x A x B

x B

จากทัง้ 2 กรณจีะไดวา A B B

(3) สมมตใิห A B จะแสดงวา A B B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B B และจากขอ 1 เ ราจะไดวา B A B

ดังนัน้ A B B



x A B x A x B

x B x B

x B

นั่นคือ A B B และจากขอ 1 เราจะไดวา B A B จากทั้ง 2 กรณีสามารถสรุปไดวา

A B B สมมตใิห A B B จะแสดงวา A B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B



x A x A x B

x A B

x B

จากทัง้ 2 กรณสีามารถสรุปไดวา A B

63

(4) สมมตใิห A B จะแสดงวา A B A


จ า ก ท ฤ ษ ฎี บ ท 3.1.17 จ ะ ไ ด A A B จ า ก ข อ 2 เ ร า จ ะ ไ ด ว า A B A

ดังนั้น A B A



x A x A x A

x A x B

x A B

นั่นคือ A A B และจากขอ 2 เราจะไดวา A B A จากทั้ง 2 กรณีสามารถสรุปไดวา

A B A สมมตใิห A B A จะแสดงวา A B





x A x A B

x A x B

x B

ดังนัน้ A B

บทแทรก 3.2.15 กําหนดเซต A เปนเซตสําหรับทกุ จะไดวา

(1) A A

(2) A A

พิสูจน ในทํานองเดยีวกนักับทฤษฎีบท 3.2.14

64

ทฤษฎบีท 3.2.16 สมบัติการแจกแจง (Distributive Laws) กําหนดให ,A B และ C เปน

เซตใด ๆ จะไดวา

(1) A B C A B A C

(2) A B C A B A C

พิสูจน (1) จะแสดงวา A B C A B A C

กรณีท่ี 1 A และ B C

จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได

A B C

A B A C

และจาก

A B A C B C

B C

A B C

กรณีท่ี 2 A หรอื B C

เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

x A B C x A x B C

x A x B x C

x A x B x A x C

x A B x A C

x A B A C

จากทัง้ 2 กรณสีามารถสรุปไดวา A B C A B A C

65

(2) จะแสดงวา A B C A B A C

กรณีท่ี 1 A หรอื B C

จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได

A B C

A B A C

และจาก

A B A C

A B C

กรณีท่ี 2 A และ B C


x A B C x A x B C

x A x B x C

x A x B x A x C

x A B x A C

x A B A C

ดังนัน้ A A B A B A C

บทแทรก 3.2.17 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) B A B A

(2) B A B A

พิสูจน ในทํานองเดยีวกนักับทฤษฎีบท 3.2.16

66

แบฝกหัด 3.2

1. กําหนดให n และ | ,nA x x kn k จงหา

1.1) 3 5A A

1.2) 4 8A A

1.3) 6 7A A

1.4) 10 30A A

1.5) nn

A

1.6) nn

A

2. กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา A B A B ก็ตอเม่ือ A B

3. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา A B A C

4. ถา A B และ B C แลวจงพิสูจนวา A C


6. ถา ,A B B C และ C A แลวจงพิสูจนวา A B C

7. ถา 1 2 2 3, ,...A A A A และ 1n nA A แลวจงพิสูจนวา 1 nA A

8. ถา 1 2 2 3 1, , , n nA A A A A A และ 1nA A แลวจงพิสูจนวา 1 2 ... nA A A

9. ถา A B และ B แลวจงพิสูจนวา A

10.ถา A แลวจงพิสูจนสําหรับเซต B ใดๆ A B

11. ถา A B แลวจงพิสูจน A B


13. ถา A B และ B C แลวสามารถสรุปวา A C หรอืไมเพราะเหตุใด

14. ถา A B และ B C แลวสามารถสรุปไดวา A C หรอืไมเพราะเหตุใด

15. จงพิสูจนวา A B B B

16. กําหนดให n และ 1 1,nA n n

จงหา 1

nn

A

67

17. ถา A A B แลวจงพิสูจนวา

17.1) A B A

17.2) A B

18. ถา 1 1 2 2, ,..., n nA B A B A B แลวจงพิสูจนวา

18.1) 1 1

n n

i ii i

A B

18.2) 1 1

n n

i ii i

A B

19. ถา A B A แลวจงพิสูจนวา

19.1) A B A

19.2) B A

20. ถา 1 1 2 2, ,..., n nA B A B A B แลวจงพิสูจนวา 1 1

n n

i ii i

A B

21. ถา A B แลวจงพิสูจน

21.1) C A C B

21.2) C A C B

22. ถา A B แลวจงพิสูจนวา

22.1) A B A

22.2) A B A

23. ถา A B แลวจงพิสูจนวา

23.1) C A C B

23.2) C A C B

24. กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวา

24.1) A B A B

24.2) A A B A

24.3) A A B A

25. กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวา A B ก็ตอเม่ือ A B

68

26. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวา

26.1) A B C A B C ก็ตอเม่ือ C A

26.2) A B C A B C ก็ตอเม่ือ A C

26.3) A B C ก็ตอเม่ือ A B และ A C

27. ถา A B หรอื A C แลวจงพิสูจนวา A B C

28. ถา A B แลวสามารถสรุปไดวา A หรอื B หรอืไมเพราะเหตุใด

29. ถา A B C แลวสามารถสรุปไดวา A B หรอื A C หรอืไมเพราะเหตุใด

30. กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จะไดวา

30.1) ถา แลว A A

30.2) A A A

30.3) A A A

3.3 สวนเตมิเต็มและผลตาง (Complement and Difference)

การดําเนนิการของเซต (Operation with Set) เปนการสรางเซตข้ึนมาใหมจากการนํา

เซตที่กําหนดใหมาดําเนนิการตามตองการซ่ึงนอกจากยูเนยีนของเซต และอินเตอรเซกชันของ

เซต แลวยังมีสวนเตมิเต็มของเซต และผลตางของเซต ซ่ึงสามารถศกึษาไดดังตอไปนี้

บทนยิาม 3.3.1กําหนดให A เปนเซตใด ๆ สวนเตมิเต็มของเซต A (Complement of A )

เขียนแทนดวย A กําหนดโดย | }A x U x A

69

แผนภาพท่ี 3.4 แผนภาพแสดง cA

หมายเหตุ ตําราบางเลมอาจใชสัญลักษณแทนสวนเติมเต็มของเซต A ดวย , ,cA A A และ

( )C A

ตัวอยาง 3.3.2 กําหนดให U {แอปเปล, องุน, เงาะ, มังคุด, ทุเรยีน} และ

A {เงาะ}

B

จงหา A และ B

วธิทํีา จากบทนยิาม 3.3.2 จะได A {แอปเปล, องุน, มังคุด, ทุเรยีน}

B U

ตัวอยาง 3.3.3 กําหนดให 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9U และ 2, 4,5A จงหา A

วธิทํีา จากบทนยิาม 3.3.2 จะได 1, 3, 6, 7, 8, 9A

ตัวอยาง 3.3.4 กําหนดให U และ 1, 2 , [0,5)A B จงหา ,A B และ U

วธิทํีา ( ,1] [2, )A

,0 [5, )B

U

70


(1) U และ U

(2) A A (สมบัติอาวัตนาการ (Involution Laws))

(3) A A U และ A A

(4) A B A B

และ A B A B (สมบัติเดอมอรแกน (De Morgan’s Laws))

(5) ถา A B ก็ตอเม่ือ B A

พิสูจน (1) จากบทนยิามของ U เราจะไดวา U ตอไปเราจะแสดงวา U เพราะวา

x เปนเท็จ ดงันัน้

x x U เปนจรงิ

x U x

x

ดังนัน้ U สามารถสรุปไดวา U และจาก

x U x เปนจรงิ

แต

x U x U

นั่นคอื U

(2) เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

x A x A

x A

x A

x A

x A

ดังนัน้ A A

71

(3) A A |x U x A x A

U

เนื่องจาก x A x A เปนจรงิเสมอ

A A |x U x A x A

เนื่องจาก x A x A เปนเท็จเสมอ

(4) เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

x A B x A B

x A B

x A x B

x A x B

x A x B

x A x B

x A B

ดังนัน้ A B A B และเนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

x A B x A B

x A B

x A x B

x A x B

x A x B

x A x B

x A B

ดังนัน้ A B A B

72

(5) สมมติให BA จะแสดงวา B A เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

x A x B

x B x A

x B x A

ดังนัน้ B A

สมมตใิห B A จะแสดงวา BA เนื่องจากสําหรบัทุก ๆ

x B x A

x B x A

x A x B

ดังนัน้ BA

บทแทรก 3.3.6 นัยท่ัวไปของกฎเดอมอรแกน (Generalization of De Morgan’s Laws)

กําหนดให A เปนเซตสําหรบัทุก

(1) A A

(2) A A

พิสูจน พิสูจนในทํานองเดยีวกนักับทฤษฎีบท 3.3.5 (ขอ 4)

ทฤษฎบีท 3.3.7 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวาประพจนตอไปนี้สมมูลกัน

(1) A B

(2) B A

(3) A B B

(4) A B A

พิสูจน (1) (2) สมมตใิห A B จะแสดงวา B A เปนจรงิจากทฤษฎีบท 3.3.5 (ขอ5)

73

(2) (3) สมมติให B A จะแสดงวา A B B เห็นไดชัดวา B A B

ตอไปจะแสดงวา A B B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A B B



x A B x A x B

x B x B

x B

ดังนัน้ A B B สามารถสรุปไดวา A B B

(3) (4) สมมติให A B B จะแสดงวา A B A เห็นไดชัดวา A B A

ตอไปจะแสดงวา A A B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะได A A B



x A x A x A

x A x A x B

x A x A B

x A x B

x A B

ดังนัน้ A A B จากทัง้ 2 กรณสีามารถสรุปไดวา A B A

(4) (1) สมมตใิห A B A จะแสดงวา A B



74



x A x A B

x A x B

x B


ทฤษฎบีท 3.3.8 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวาประพจนตอไปนี้สมมูลกัน

(1) A B

(2) A B

(3) B A

พิสูจน (2) (3) จากทฤษฎีบท 3.3.5 (ขอ 5) เราจะไดวา

A B B A

B A

(2) (1) สมมติให A B จะแสดงวา A B จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง

กําหนดให A B ดังนัน้จะมี x A B เนื่องจาก

x A B x A x B

เกดิขอขัดแยงกับ A B ดังนัน้ A B

(1) (2) สมมตใิห A B จะแสดงวา A B





x A x B (เพราะ A B )

x B


75

ทฤษฎบีท 3.3.9 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวาขอความตอไปนี้สมมูลกัน

(1) A B U

(2) A B

(3) B A

พิสูจน (2) (3) จากทฤษฎีบท 3.3.5 ขอ (5) เราจะไดวา

A B B A

B A

(1) (2) เราจะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง สมมตใิห A B เนื่องจาก

A B x x A x B

x x A x B

เพราะฉะนัน้

A B x x A x B

x x A x B

x x A x B

x x A x B

x x A B

x x A B

x x U

x x U

เกดิขอขัดแยงดังนัน้ A B A B U

76


(1) A B ก็ตอเม่ือ A B

(2) A B ก็ตอเม่ือ A B U

พิสูจน (1) สมมติให A B จะแสดงวา A B จะพิสูจนโดยหาขอขัดแยง

กําหนดให A B ดังนัน้จะมี x A B แต A B ดังนัน้ A B A จะไดวา

x A B B x A B B

x A

x เกดิขอขัดแยง


สมมติให A B จะแสดงวา A B จาก A B โดยทฤษฎีบท

3.3.8 จะได A B นั่นคอื A B

(2) สมมตใิห A B จะแสดงวา A B U เนื่องจาก A B จะไดวา

A B B A A B A B

A A B A B

U B A B

U A B

สมมติให A B U จะแสดงวา A B จาก A B U โดยทฤษฎีบท

3.3.9 จะได A B นั่นคอื A B

77

ทฤษฎบีท 3.3.11 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B U และ A B

ก็ตอเม่ือ A B

พิสูจน สมมติให A B U และ A B จะแสดงวา A B เนื่องจาก

A B U โดยทฤษฎีบท 3.3.9 จะได B A และจาก A B โดยทฤษฎีบท 3.3.8

จะได A B นั่นคอื A B

สมมติให A B จะแสดงวา A B U และ A B เนื่องจาก A B

จะไดวา A B และ B A โดยทฤษฎีบท 3.3.8 และทฤษฎีบท 3.3.9 จะได A B U

และ A B

บทนยิาม 3.3.12 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลตาง (Difference) ของ A กับ B

เขียนแทนดวย A B หรอื \A B คอืเซตที่ประกอบดวยสมาชิกที่อยูใน A แตไมอยูใน B นั่น

คอื |A B x x A x B

A BU


ขอสังเกต จากบทนยิาม 3.3.12 จะไดวา

1. x A B x A x B

2. x A B x A x B

78

ตัวอยาง 3.3.13 กําหนดให A และ B เปนเซตในแตละขอตอไปนี้ จงหา A B และ B A

วธิทํีา (1) กําหนดให 3,7A และ 4,6,7B จะไดวา

3A B

4,6B A

(2) กําหนดให 6,7,8,9A และ 5,7,9B จะไดวา

6,8A B

5B A

ทฤษฎบีท 3.3.14 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B A B

พิสูจน เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

x A B x A x B

x A x B

x A B

ดังนัน้ A B A B

ทฤษฎบีท 3.3.15 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) A A

(2) A A

(3) A

พิสูจน (1) A A A A

(2) A A

A U

A

(3) A A

79


(1) A B C A B A C

(2) A B C A B A C

(3) A U B A B

พิสูจน (1) A B C A B C

A B C

A B A C

A B A C

(2) A B C A B C

A B C

A A B C

A B A C

A B A C

(3) A U B A U B

A B

A B

หมายเหตุ จากทฤษฎีบท 3.3.16 ขอ (1) และขอ (2) จะเรียกวาสมบัติเดอมอรแกนสําหรับ

ผลตาง (De Morgan’s Laws for Difference)

บทแทรก 3.3.17 นัยท่ัวไปของกฎเดอมอรแกนสําหรับผลตาง (Generalization of De

Morgan’s Laws for Difference) กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา

(1) B A B A

(2) B A B A

พิสูจน พิสูจนในทํานองเดยีวกันกับทฤษฎีบท 3.3.16

80

ตัวอยาง 3.3.18 จงหา 1

10,i i

เม่ือ เปนเซตของจํานวนจรงิ

วธิทํีา จากทฤษฎีบท 3.3.17 ขางตนจะไดวา

1

10,i i

1

10,i i


1. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงพิสูจนวา

1.1) A B A A

1.2) A B A B A

1.3) A B B A B

1.4) A A B A B

1.5) A B A C A B C

2. จงพิสูจนวา A B C D A C B C C D C

3. ถา A B แลวจงพิสูจนวา A B A

4. ถา A B และ C เปนเซตใด ๆ แลวจงพิสูจนวา A B C

5. ถา A B แลว A B

6. ถา A B แลว B A B

7. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ สามารถสรุปไดวา

A B C A B A C

หรอืไมเพราะเหตุใด

8. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ สามารถสรุปไดวา A B C A B C

หรอืไมเพราะเหตุใด

81

9. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ ถา A B C และ A C B แลว

A C

10. กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ แลว A B ก็ตอเม่ือ A B C C

3.4 เซตกําลัง (Power Set)

เม่ือพิจารณาเซตของทมีฟุตบอลที่ผานเขารอบรองชนะเลศิฟุตบอลโลกป 2014 จะเห็น

ไดวาเซตดังกลาวมีสมาชิกทุกตัวเปนเซตทัง้สิ้นเซตในลักษณะนี้จะเรียกวาเซตของเซต (Set of

Sets or Family of Sets) จากสัจพจน 3.1.23 จะพบวาสามารถสรางเซตที่เปนเซตยอยของ A

ที่กําหนดใหได เม่ือผนวกกับแนวคิดเรื่องเซตของเซตจึงทําใหมีการกลาวถึงเซตของเซตยอย

ทัง้หลายของ A โดยยอมรับถงึการไดมาของเซต ๆ นี้ในสัจพจนตอไป

สัจพจน 3.4.1 สัจพจนของเซตกําลัง (Axiom of Power Sets) กําหนดให A เปนเซตใด ๆ

จะมีเซต P ทีมี่สมบัตวิา X P X A

ทฤษฎบีท 3.4.2 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ สําหรับเซต P ที่มีสมบัติวา X P X A

มีเพียงเซตเดยีวเทานัน้

พิสูจน ให P และ *P มีสมบัตวิา

X P X A และ *X P X A

ดังนัน้ *X P X P แสดงวา *P P สรุปไดวามีเซต P ที่มีสมบัตขิางตนเพียงเซตเดยีว

เทานัน้

บทนยิาม 3.4.3 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ เซตกําลัง (Power Set) ของ A เขียนแทนดวย

( )P A คอืเซตของเซตยอยทัง้หมดของ A

82

ขอสังเกต 1. ถา A เปนเซตใด ๆ ที่มีสมาชิก n ตัว แลวจํานวนเซตยอยของ A เทากับ 2n

เซต การเขียนเซตยอยของ A จะตองเขียนเซตซ่ึงประกอบดวย

1.1 เซตวาง

1.2 เซตที่ประกอบดวยสมาชิก 1 ตัว

1.3 เซตที่ประกอบดวยสมาชิก 2 ตัว

1.4 เซตที่ประกอบดวยสมาชิก n ตัว

2. จากบทนยิาม 3.4.3 เราจะได

2.1 ( ) |P A X X A

2.2 ( )X P A X A

ตัวอยาง 3.4.4 จงหาจํานวนเซตยอยทัง้หมดของเซต A เม่ือ 1,3, 1,2A

วธิทํีา จาก 1,3, 1,2A จํานวนสมาชิกของ A มี 3 ตัว จํานวนเซตยอยทั้งหมดของเซต

A เทากับ 32 8 เซตยอยคอื

1 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 1, 1, 2 , 3, 1, 2 , ,A

ดังนัน้ ( ) 1 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 1, 1, 2 , 3, 1,2 , ,P A A


(1) A P A และ P A

(2) P

พิสูจน (1) เนื่องจาก A A และ A จงึสรุปไดวา A P A และ P A

(2) สําหรับ x ใด ๆ เนื่องจาก x x แต x x ดังนัน้

x P x

นั่นคอื x x P สรุปไดวา P

83

ทฤษฎบีท 3.4.6 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B ก็ตอเม่ือ ( ) ( )P A P B

พิสูจน สมมตใิห A B จะแสดงวา ( ) ( )P A P B เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

( )X P A X A

X B

( )X P B

ดังนัน้ ( ) ( )P A P B

สมมตใิห ( ) ( )P A P B จะแสดงวา A B


จากทฤษฎีบท 3.1.17 จะไดวา A B



x A x A

( )x P A

( )x P B

x B

x B


ทฤษฎบีท 3.4.7 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา ( ) ( ) ( )P A B P A P B

พิสูจน เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

( )X P A B X A B

X A X B

( ) ( )X P A X P B

( ) ( )X P A P B

ดังนัน้ ( ) ( ) ( )P A B P A P B

84

บทแทรก 3.4.8 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จะไดวา ( )P A P A

พิสูจน ทํานองเดยีวกันกับทฤษฎีบท 3.4.7

ทฤษฎบีท 3.4.9 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา ( ) ( ) ( )P A P B P A B

พิสูจน เนื่องจากสําหรับทุก ๆ

( ) ( )X P A P B ( ) ( )X P A X P B

X A X B

X A B

( )X P A B

ดังนัน้ ( ) ( ) ( )P A P B P A B

ขอสังเกต บทกลบัของทฤษฎีบท 3.4.9 อาจจะไมจรงิดงัตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง 3.4.10 กําหนดให 1A และ 2B จงหา ( ) ( )P A P B และ ( )P A B

วิธีทํา เนื่องจาก ( ) ,P A A และ ( ) ,P B B ดังนั้น ( ) ( ) , ,P A P B A B

และ 1, 2A B จะได ( ) , , ,P A B A B A B ดังนัน้

( ) ( ) ( )P A P B P A B

แต ( ) ( ) ( )P A B P A P B จะไดวา ( ) ( ) ( )P A P B P A B

บทแทรก 3.4.11 กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จะไดวา ( )P A P A

พิสูจน ทํานองเดยีวกันกับทฤษฎีบท 3.4.9

85

ทฤษฎบีท 3.4.12 กําหนดให A และB เปนเซตใด ๆ จะไดวา

( ) ( ) ( )P A B P A P B

พิสูจน เนื่องจากสําหรับทกุ ๆ

( )X P A B X A B

X A B

X A X B

( )X P A X B

( )X P A X B

( ) ( )X P A X P B

( ) ( )X P A P B

( ) ( )X P A P B X

( ) ( )X P A P B

ดังนัน้ ( ) ( ) ( )P A B P A P B


1. ถา A B แลว ( ) ( )P B P A

2. กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา ( )X P A

X

3. กําหนดให A เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา ( )X P A

X A

4. จงแสดงวา ,P P

5. จงหา P P P

86

3.5 ผลตางสมมาตร (Symmetric Difference)

ผลตางสมมาตรเปนการดําเนนิการของเซตอีกรูปแบบหนึ่งซ่ึงการดําเนินการดังกลาว

เกดิจากยูเนยีนและอินเตอรเซกชันมาสรางการดําเนนิการใหมดังตอไปนี้

บทนิยาม 3.5.1 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลตางสมมาตร (Symmetric

Difference) ของเซต A กับ B เขียนแทนดวยสัญลักษณ A B ซ่ึงกําหนดดังนี้

( )A B A B B A

A BU

แผนภาพท่ี 3.5 แผนภาพแสดงผลตางสมมาตรของ A B

ตัวอยาง 3.5.2 กําหนดให 0,1, 2, ,9 , 0, 2,3, 4,6U A และ 1, 2, 4,5,6,7B

จงหา A B

วิธีทํา เนื่องจาก 0,3A B และ 1,5,7B A ดังนัน้ 0,1,3,5,7A B

ทฤษฎบีท 3.5.3 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B B A

พิสูจน เพราะวา

A B ( )A B B A

( )B A A B

B A #

87

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 3.5.3 จะไดวาการดําเนนิการผลตางสมมาตรมีสมบัตสิลับที ่


(1) A A

(2) A A

พิสูจน (1) เพราะวา

A ( )A A

A

A

ดังนัน้ A A


A A ( )A A A A

จะไดวา A A


(1) A B A B A B

(2) A B C A B C A B C

พิสูจน (1) เนื่องจาก

A B ( )A B B A

( )A B B A

( )A B B A

( )A B B A

88

( ) ( )A B B A B A

( ) ( )A B B B A A B A

A B B A

A B A B

(2) ไดจากขอ 1

ทฤษฎบีท 3.5.6 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A B A B A B

พิสูจน เนื่องจาก

A B ( )A B B A

( )A B B A

( ) ( )A B B A B A

A B B B A A B A

A B U U B A

A B B A

A B B A

A B A B

จะไดวา A B A B A B

ทฤษฎีบท 3.5.7 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใด ๆ แลว A B C A B C

พิสูจน เนื่องจาก

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 3.5.7 จะไดวาการดําเนนิการผลตางสมมาตรมีสมบัตเิปลี่ยนกลุม

89

ทฤษฎบีท 3.5.8 กําหนดให ,A B และ C เปนเซตใดๆ ถา B A C A แลว B C

พิสูจน เนื่องจาก B A C A จะไดวา

B B

B A A

B A A

C A A

C A A

C

C

ดังนัน้ B C

ขอสังเกต จากทฤษฎีบท 3.5.8 จะไดวาการดําเนินการผลตางสมมาตรมีสมบัติตัดออก

ทางขวา

ทฤษฎีบท 3.5.9 กําหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ จะไดวา A และ B เปนเซตที่ไมมี

สมาชิกรวมกันก็ตอเม่ือ A B A B

พิสูจน สมมติให A และ B เปนเซตที่ไมมีสมาชิกรวมกันจะแสดงวา A B A B


A B A B A B

A B

A B

สมมติให A B A B จะแสดงวา A และ B เปนเซตที่ไมมีสมาชิกรวมกัน โดย

การพิสูจนหาขอขัดแยง กําหนดผลลัพธตรงขามนั่นคอื A และ B เปนเซตที่มีสมาชิกรวมกัน

นั่นคือ A B ดังนั้นจะมี x A B โดยนิยามอินเตอรเซกชันจะไดวา x A และ

x B และกลาวไดวา x A B แต A B A B

90

ฉะนัน้ x A B แตเรามี x A B และ x A B ก็จะไดวา x A B จงึเกดิการขัดแยง

จะไดวา A และ B เปนเซตที่ไมมีสมาชิก


1. ให 0,3 , [2,7)A B และ U จงหา

1.1) A B

1.2) A B

2. ให U เปนเอกภพสัมพัทธและ ,A B และ C เปนเซตใด ๆ จงแสดงวา

2.1) A B ก็ตอเม่ือ A B

2.2) ถา A B C B แลว A C

2.3) A B A B

2.4) A B C A B A C

2.5) ถา A B B แลว A B

2.6) A B A B A B

2.7) A B A B A B

2.8) A C B C A B C

3.6 บทสรุป

ในการศกึษาเซตซ่ึงเปนอนิยามสามารถศึกษาสมบัติตาง ๆ ไดอยางมากมายและเปน

พื้นฐานในการศึกษาความสัมพันธและฟงกชันซ่ึงจะศึกษาในบทที่ 4 และบทที่ 5 ตอไป ใน

การศกึษาเซตที่ผานมาไดกลาวถึง การดําเนนิการของเซตเชน ยูเนยีน อินเตอรเซกชัน สวนเตมิ

เต็ม และผลตางและผลตางสมมาตร ซ่ึงเปนโครงสรางทางคณิตศาสตรที่สมบูรณกลาวคือ

เริ่มตนดวยการศกึษา อนยิาม บทนยิาม สัจพจน และทฤษฎีบทตาง ๆ

91

เอกสารอางองิ

นวลอนงค อิทธิจีระจรัส. ทฤษฎีเซตเบื้องตน. ภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัยเชียงใหม.

มานะ เอกจรยิวงศ. ทฤษฎีเซต. ศูนยตําราและเอกสารทางวิชาการ สถาบันราชภัฏเทพสตรี

ลพบุรี, (2542).

มานัส บุญยัง. ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตรสัญลักษณ. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัย รามคําแหง.

ราชบัณฑติยสถาน. ศัพทคณิตศาสตร. (พิมพครัง้ที่ 9). กรุงเทพ ฯ: สหมิตรพริ้นติ้ง, (2553).

วรางคณา รองมะรุด. สมศักดิ์ บุญมาเลิส. พีชคณิต. กรุงเทพ: คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัยรามคําแหง, (2535).

สมสวาท สุดสาคร. ตรรกศาสตรและทฤษฎีเซต. กรุงเทพ ฯ: คณะวิทยาศาสตร

มหาวทิยาลัยรามคําแหง, (2529).

สุเทพ ทองอยู. ทฤษฎเีซต. กรุงเทพ ฯ: มหาวทิยาลัยศรนีครนิทรวโิรฒ ประสานมิตร, (2524).

Enderton, Herbert B. Elements of Set Theory. New York: Academic Press, (1977).

Katalin Karolyi. Introductory Set. M.Sc. program in mathematics.

Lipschutz, Seymour. Set Theory. New York: Schaum Publishing Company, (1964).

Thomas Jech. Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded.

Date post:	29-Jun-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

บทที่ 3 เซต (Set)elearning.psru.ac.th/courses/266/บทที่3.pdf ·...

Documents