2 เมทริกซเบื้องตน
เมทริกซ เปนพื้นฐานทางคณิตศาสตรที่เขามามีบทบาทอยางมากในการปรับปรุงพันธุ
สัตว เนื่องจากสามารถใชในการอธิบายอิทธิพลของปจจัยตางๆที่มีตอลักษณะการผลิตในรูปตัว
แบบเชิงเสน การที่เมทริกซสามารถเชื่อมโยงกับระบบสมการเชิงเสนได ทําใหการคนหาคําตอบ
ของสมการหรือการประมาณคาของอิทธิพลตางๆ รวมถึงคาการผสมพันธุหรือคาทางพันธุกรรม
อื่นๆทําไดอยางมีประสิทธิภาพขึ้น
เนื่องจากเมทริกซที่นํามาประยุกตในงานปรับปรุงพันธุสัตวนั้น เกี่ยวของทั้งในสวนของ
พีชคณิตเชิงเสน (linear algebra) และสวนของทฤษฎีการประมาณคาทางสถิติดวยโมเดลเชิง
เสน (linear model estimation) จึงมีความจําเปนที่ตองทําความเขาใจเนื้อหาของเมทริกซ
พอสมควรกอนที่จะเขาสูบทที่เกี่ยวของกับการประเมินพันธุที่แทจริงตอไป
เนื้อหาสังเขป นิยามทั่วไปของเมทริกซ : : การจัดการคํานวณและการหาคาของเมทริกซสวนกลับ : : การแบงสวนเมทริกซ : : rank และ trace ของเมทริกซ : :
eigenvalue และ eigenvector : : เมทริกซ idempotent : : quadratic form ของเมทริกซ : : positive definite : : generalized inverse : :
differentiation และ expectation ของเมทริกซ : : ระบบสมการเชิงเสน : : การประมาณได
12
I. นิยามทั่วไป (General Definition)
Matrix (เมทริกซ) คือ อะเรย (array) ของตัวเลข หรือการจัดตัวเลขใหอยูในรูปแบบ
ตารางที่มีขนาด nm× เมื่อ m เปนจํานวนแถวและ n เปนจํานวนคอลัมน ถา nm ≠
เรียกวา rectangular matrix ถา nm = เรียกวา square matrix (เมทริกซจัตุรัส)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
121110987654321
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
987654321
3x4 rectangular matrix 3x3 square matrix
คาตัวเลขแตละตัวในเมทริกซเรียกวา element ซึ่งในการเรียกชื่อแตละ element จะ
เรียกตามตําแหนงของแถวและคอลัมนที่ปรากฏ เชน 12a หมายถึง element ที่
ตําแหนงแถวที่ 1 คอลัมนที่ 2 เปนตน
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
34333231
24232221
14131211
121110987654321
aaaaaaaaaaaa
A
Vector (เวคเตอร) คือ อะเรยของตัวเลขที่มีขนาดเพียง 1 คอลัมนเรียกวา column
vector ซึ่งมีขนาด 1×m เมื่อ m เปนจํานวนแถว หรืออะเรยของตัวเลขที่มีขนาดเพียง
1 แถวเรียกวา row vector ซึ่งมีขนาด n×1 เมื่อ n เปนจํานวนคอลัมน เวคเตอรที่
ประกอบดวยคาศูนยทุกตัวเรียกวา null vector หรือ zero vector นิยมเขียนแทนดวย
~0 , เวคเตอรที่ประกอบดวยคา 1 ทุกตัวเรียกวา unit vector นิยมเขียนแทนดวย
~1 ,
เวคเตอรที่ประกอบดวยคา 1 หรือ –1 เทานั้นเรียกวา sign vector และเวคเตอรที่
ประกอบดวยคา 0 หรือ 1 เทานั้นเรียกวา zero-one vector
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
1-11-
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
110
zero vector unit vector sign vector zero-one vector
Diagonal matrix (เมทริกซทะแยง) หมายถึงเมทริกซจัตุรัสที่มีคาของตัวเลขใดๆ ในแนว
ทะแยง สวนนอกแนวทะแยง (off-diagonal) จะมีคาเปน 0, ถาคาตัวเลขในแนวทะแยง
เปนคาเดียวกันทั้งหมดแตไมใช 0 หรือ 1 เรียกวา scalar matrix
Rectangular matrix Square matrix
Column vector Row vector Null or zero vector Unit vector Sign vector
Diagonal matrix Scalar matrix
13
ในกรณีที่คาตัวเลขในแนวทะแยงเปน 1 ทั้งหมดเรียกวา identity matrix, หากคาตัวเลข
ในแนวทะแยงเปนเพียง 1 หรือ –1 เรียกวา sign matrix
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
300020001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
300030003
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
100010001
diagonal matrix scalar matrix identity matrix sign matrix
Symmetric matrix (เมทริกซสมมาตร) หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ AA ′= เมื่อ A
เปนมตริกซจัตุรัสและ A′ เปน transpose matrix (อาน transpose matrix ในหัวขอ
ถัดไป) กลาวคือ A จะสมมาตรเมื่อ element jiij aa = โดยเมทริกซจัตุรัสที่มีคาตัวเลข
เหนือแนวทะแยง (above diagonal) เปนศูนยเรียกวา lower triangular matrix สวนเมท
ริกซจัตุรัสที่มีคาตัวเลขใตแนวทะแยง (below diagonal) เปนศูนยเรียกวา upper
triangular matrix
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
653542321
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
653042001
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
600540321
symmetric matrix lower triangular matrix upper triangular matrix
II. การจัดการคํานวณของเมทริกซ (Matrix Operations)
การบวก (addition) และการลบ (substraction) เมทริกซ สามารถทําไดก็ตอเมื่อเมทริกซ
เหลานั้นมีขนาดเทากัน ในขณะที่การคูณ (matrix multiplication) จะทําไดก็ตอเมื่อ
จํานวนคอลัมนของเมทริกซตัวตั้งมีคาเทากับจํานวนแถวของเมทริกซตัวคูณ
กําหนดให
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
542321
,8765
,4321
ZYX
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=+121086
)84()73()62()51(
YX
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−
=−4444
)84()73()62()51(
YX
Symmetric matrix Triangular matrix
Identity matrix Sign matrix
Matrix addition Matrix substraction Matrix multiplication
Example 2.1
14
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=50432219
)8)(4()6)(3()7)(4()5)(3()8)(2()6)(1()7)(2()5)(1(
XY
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++++
=29221113104
)5)(4()3)(3()4)(4()2)(3()2)(4()1)(3()5)(2()3)(1()4)(2()2)(1()2)(2()1)(1(
XZ
คุณสมบัติ
i) XYYX +=+ ii) YX XY ≠ iii) ZY)(X Z)(YX ++=++ iv) (XY)Z X(YZ)= v) XZXY Z)X(Y +=+ vi) YZXZ Y)Z(X +=+ vii) X0 X =+ viii) 00XX0 == ix) XIX XI ==
การ transpose เมทริกซหมายถึงการเปลี่ยนสลับตําแหนงของแตละ elements จาก
แถวที่ i และคอลัมนที่ j เปนแถวที่ j และคอลัมนที่ i
กําหนดให ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
654321
X , ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′
642531
X
คุณสมบัติ
i) Xc)(cX ′=′ เมื่อ c เปนคาคงที่
ii) YX)Y(X ′+′=′+ iii) X)X( =′′ iv) XY)(XY ′′=′ และ YX)(XY =′ ถาทั้ง X และ Y เปน symmetric matrix
Scalar product, inner product หรือ dot product หมายถึงการคูณเวคเตอรเขา
ดวยกันในลักษณะที่นําเวคเตอรตัวตั้งมา transpose แลวคูณดวยเวคเตอรเวคเตอรตัว
คูณ ซึ่งผลที่ไดจะเปนคาตัวเลขมิติเดียว ( scalar value)
Outer product หมายถึงการคูณเวคอเตอรเขาดวยกันในลักษณะที่ทําการ transpose
ที่เวคเตอรตัวคูณ ซึ่งผลที่ไดจะเปนเมทริกซ
Vector product หรือ cross product หมายถึงการคูณเวคเตอรเขาดวยกัน ในลักษณะ
ที่นําคาตัวเลขที่ตําแหนงเดียวกันภายในแตละเวคเตอรมาคูณกัน (element by
element) ผลที่ไดจะยังคงเปนเวคเตอร
Matrix transpose
Scalar product Inner product Dot product
Outer product
Vector product Cross product
15
กําหนดให ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
521
a และ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
232
b , ดังนั้น
Inner product
[ ] 18)2)(5()3)(2()2)(1(232
521 =++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=′=• baba
Outer product
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=′
101510464232
232521
ba
Vector product
กําหนดให ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
521
a และ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
232
b , ดังนั้น ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
×××
=1062
253221
ba o
Direct product หรือ Kronecker product หมายถึงการคูณเมทริกซในลักษณะที่นําแต
ละ element ของเมทริกซตัวตั้งคูณเขากับทั้งเมทริกซของตัวคูณ
จาก
,aaaa
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
gggg
G
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⊗
GGGG
GA2221
1211
aaaa
หรือ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⊗
AAAA
AG2221
1211
gggg
กําหนดให
,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
142410201
A และ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2052010
G ,
ดังนั้น
Direct product Kronecker product
Example 2.2
Example 2.3
16
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⊗
2058020401020108040402080202050080402010002010002054020002010
GA
การคูณ scalar กับเมทริกซใดๆ จะมีคาเทากับนํา scalar หรือคาคงที่นั้นกับทุก
element ของเมทริกซนั้นๆ
กําหนดให ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4132
A , ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
12396
3A
การคูณ diagonal matrix กับเมทริกซใดๆเขาทางดานหนา (premultiply) จะมีผล
เทากับการนําแตละ element ในแนวทะแยงของ diagonal matrix เขากับแตละแถวของ
เมทริกซนั้น หากคูณเขาทางดานหลัง (postmultiply) จะมีผลเทากับนําแตละ element
ของแนวทะแยงของ diagonal matrix เขากับแตละคอลัมนของเมทริกซนั้นๆ
กําหนดให
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
400030002
,4002
,822
1013FDA
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
31882026
8221013
2052010
DA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
32644036
400030002
8221013
AF
III. การหาเมทริกซสวนกลับหรือเมทริกซผกผัน (Matrix Inversion)
เนื่องจากในสวนของการจัดการเมทริกซนั้น ไมมีการคํานวณในเรื่องของการหาร
(division) จึงตองใชวิธีการคํานวนโดยการคูณกับเมทริกซที่เปนสวนกลับ ดังนั้นการ
คํานวณ BA÷ จึงมีความหมายเทากับ B
A 1× ซึ่งมีคาเทากับ 1−×BA
เมทริกซสวนกลับของ X แสดงดวยสัญลักษณ 1−X หมายถึงเมทริกซสมมาตรใดๆที่
มีคุณสมบัติ IXXXX == −− 11 และเมทริกซใดๆที่สามารถคํานวณเมทริกซสวน
กลับได จะเรียกเมทริกซนั้นวา invertable matrix หรือ non-singular matrix ในทางตรง
ขามหากไมสามารถคํานวณสวนกลับได จะเรียกเมทริกซนั้นวา non-invertable matrix
หรือ singular matrix
Multiplication with diagonal matrix
Singular/non-singular matrix
Multiplication with scalar
Example 2.4
17
การหาเมทริกซสวนกลับของเมทริกซทะแยงสามารถทําไดโดยคํานวณคาสวนกลับของ
คาที่อยูในแนวทะแยงนั้น
กําหนดให ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
600030001
D , ดังนั้น ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
6/10003/10001
1D
โดยทั่วไปแลว inverse ของเมทริกซสามารถคํานวณไดจาก
)int(Adjo AA
A •=− 11
เมื่อ: A = คา determinant ของเมทริกซ A ซึ่งตองไมเทากับ 0
)int(Adjo A = transpose ของเมทริกซ )(Cofactor A
)(Cofactor A = element product ของเมทริกซ )(Minor A กับ ji)( +−1
เมื่อ i และ j เปนคาตําแหนงของ element นั้นๆ
)(Minor A = คา determinant ของ submatrix จากการตัดแถวที่ i และ
คอลัมนที่ j
3.1 การหา inverse ของเมทริกซขนาด 2x2
i) คํานวณคา determinant ของเมทริกซ โดยนําผลคูณตัวเลขในแนวทะแยง
(diagonal) ลบดวยผลคูณตัวเลขนอกแนวทะแยง (off-diagonal)
กําหนดให ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
A , ดังนั้น 2)3)(2()4)(1( −=−=−321321
diagonaloffdiagonal
A
ii) คํานวณ adjoint ของเมทริกซ A โดยการเปลี่ยนสลับ (swap) ตําแหนงของคาใน
แนวทะแยง และเปลี่ยนสัญลักษณ (sign) ของคาที่อยูนอกแนวทะแยง
กําหนดให ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
A , ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
1324
)int(Adjo A
iii) คํานวณคา inverse ของเมทริกซ จากสูตร )int(Adjo AA
A •=− 11
ดังนั้น ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−
=−
212312
1324
211
//A
Inverse of diagonal matrix
Determinant of 2x2 matrix
Adjoint of 2x2 matrix
Example 2.5
18
3.2 การหา inverse ของเมทริกซขนาดใหญกวา 2x2
กําหนดให ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
003432211
A
i) คํานวณ adjoint(A) จากการคํานวณคา minor(A) และ cofactor(A) ตามลําดับ
i.i) คํานวณ minor(A) โดยคํานวณแตละ element เปนคา determinant ของ
sub-matirx j,i −−A เมื่อ i และ j เปนแถวและคอลัมนที่ตัดออก
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
332313
322212
311111
)(
,,,
,,,
,,,
AAAAAAAAA
AMinor
ดังนั้น
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=1023609120
3211
4221
4321
0311
0321
0021
0332
0342
0043
)(Minor A
i.ii) คํานวณ cofactor(A) โดยคํานวณคา element product ของ sign matrix กับ
คา minor(A)
จาก
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−+−+−+
=matrixSingn , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
=1023609120
)(Minor A
Note: สังเกตวาเครื่องหมายในแนวทะแยงจะเปนบวกเสมอ
ดังนั้น
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
1023609120
)(Cofactor A
i.iii) คํานวณ adjoint(A) โดยคํานวณ transpose ของ Cofactor(A)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
1390612200
)int(Adjo A
Minor of matrix
Cofactor of matrix
Adjoint of matrix
Example 2.6
19
ii) คํานวณคา determinant ของเมทริกซ โดยคํานวณคา scalar product ของ
แถวหรือคอลัมนใดๆ ของเมทริกซ Aกับ )(Cofactor A
สมมุติเลือกคํานวณจากคอลัมนที่ 1 ของ A กับคอลัมนที่ 1 ของ
)(Cofactor A ดังนั้น
6)2)(3()0)(2()0)(1(200
321
−=−++=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−•
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=A
iii) คํานวณ inverse ของเมทริกซ จากสูตร )int(Adjo AA
A •=− 11
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−=−
6/12/12/30123/100
1390612200
611A
คุณสมบัติ:
i) X)(X =−− 11 ii) 111 −−− = XY(XY) iii) )(X)X( ′=′ −− 11 iv) AA =′ v) BAAB .= ถาทั้ง A และ B เปนเมทริกซสมมาตร
IV. การแบงสวนเมทริกซ (Partitioned Matrix)
การจัดการเมทริกซ โดยการจัดแบงออกเปนเมทริกซยอยๆ เรียกวาการแบงสวน
(partition หรือ subdivide) เมทริกซ และเรียกเมทริกซยอยๆ นั้นวา sub-matrix ทั้งนี้
โดยมากเพื่อสะดวกในการจัดการอื่นๆของเมทริกซ
กําหนดให
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
2012111013100101
A
Determinant from cofactor matrix
Example 2.7
20
และกําหนดใหตองการแบงเมทริกซออกเปน 6 สวนใหอยูในรูปของ
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
2012111013100101
A
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
232221
131211
AAAAAA
A
ซึ่งจะไดวา
,10
,31
,1001
131211 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= AAA
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=21
,01
,1210
232221 AAA
การจัดการทางดานการคํานวณของ partioned matrix ใชวิธีการเชนเดียวกับการ
จัดการเมทริกซทั่วไป โดยถือเสมือนวาแตละ sub-matrix นั้นเปนคา element ของเมท
ริกซ
กําหนดให
,111013100101
2221
1211⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
XXXX
X และ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2221
1211
320010011112
YYYY
Y
ดังนั้น
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=+411003111213
22222121
12121111
YXYXYXYX
YX
หากกําหนดให
,143012
2221
1211⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
XXXX
X และ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
21
11
134201
YY
Y
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=151444
21221121
21121111
YXYXYXYX
XY
Operation of partitioned matrix
21
หากกําหนดการแบงสวนใหมเปน
,143012
2221
1211⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
XXXX
X และ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
2221
1211
134201
YYYY
Y
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=151444
2222122121221121
2212121121121111
YXYXYXYXYXYXYXYX
XY
ซึ่งยังคงไดคําตอบเชนเดิม
การหาเมทริกซสวนกลับของเมทริกซที่มีการแบงสวน (Inverse of partitioned matrix)
สามารถทําไดจากสูตรอยางงาย โดยกําหนดใหเมทริกซ M มีการแบงสวนดังนี้
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
DCBA
M
ซึ่งคาสวนกลับของเมทริกซ M สามารถคํานวณไดจาก
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
WZYX
M 1
เมื่อ:
symmetricisifor MZBWAY
ZBDDW
CXDZ
C)BD(AX
′=
−=
−=
−=
−
−−
−
−−
1
11
1
11
กําหนดให
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
8004104032002214323212125
M
ดังนั้น
11 −−−= C)BD(AX
1
413221
8/10004/10002/1
432121
3225
−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Inverse of partitioned matrix
Example 2.8
22
1
4/25338/13
3225
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
4/13118/27
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
=282.0084.0084.0272.0
CXDZ 1−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
282.0084.0084.0272.0
413221
8/10004/10002/1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=151.0008.0253.0073.0324.0052.0
ZY ′= 11 −− −= ZBDDW
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
8/10004/10002/1
413221
151.0008.0253.0073.0324.0052.0
8/10004/10002/1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=048.0117.0155.0117.0097.0217.0155.0217.0202.0
ดังนั้น
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−−−
=−
048.0117.0155.0151.0008.0117.0097.0217.0253.0073.0155.0217.0202.0324.0052.0151.0253.0324.0282.0084.0008.0073.0052.0084.0272.0
1M
V. เมทริกซออโธโกนอล (Orthogonal Matrix)
Orthogonal matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ IAAAA =′=′ ซึ่งจะเห็นไดวา
A จะตองเปนเมทริกซ จัตุรัส เนื่องจาก AAAA ′=′ และจะเห็นวา 1AA −=′
เนื่องจาก IAA =′ ดังนั้นการหาคา inverse ของ orthogonal matrix จึงทําไดสะดวก
โดยเพียงแตทําการ transpose เมทริกซ
หากกําหนดใหเวคเตอร x และเวคเตอร y มีขนาดเทากัน เวคเตอรทั้งสองจะจัดวามี
ลักษณะ orthogonal ตอกันเมื่อ 0=′=′ xyyx
กําหนดให ,
21
21
21
21
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=A
Orthogonal matrix Orthogonal vectors
Example 2.9
23
ดังนั้น
IAA =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=′
1001
21
21
21
21
21
21
21
21
เนื่องจาก A′ มีคุณสมบัติเทากับ 1−A แสดงวา A เปน orthogonal matrix
กําหนดให ,
2236
,
4221
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= yx
ดังนั้น
[ ] 08466
2236
4221 =−−+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=′yx
เนื่องจาก 0=′yx ดังนั้น x และ y มีลักษณะ orthogonal ตอกัน
Norm ของเวคเตอร x หมายถึงคา scalar ที่อยูในรูป
2/1
2)( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′= ∑
n
iixNorm xxx
กําหนดให [ ] ,4221 ′=′x ดังนั้น
5254221)( 2222 ==+++=′= xxxNorm
Normal vector หมายถึงเวคเตอร x ที่มีคุณสมบัติ 1=′xx ซึ่งพบวาเวคเตอรใดๆ
สามารถเปลี่ยนใหอยูในรูป normal vector หรือ ไดโดยนําเวคเตอรนั้นหารดวยคา norm
ของเวคเตอรนั้นๆ ดังนั้น
xx
xx
xz′
==)(Norm
จาก ,
4221
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=x ดังนั้น
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
5/45/25/25/1
4221
51
)(xxz
Norm
เวคเตอร z ถูกเรียกวาเปน normalized form ของเวคเตอร x โดย z จะมี
คุณสมบัติของการเปน normal vector กลาวคือ 1=′zz
Norm
Normal vector
Normalized form of vector
24
หากกําหนดใหเวคเตอร x และเวคเตอร y มีขนาดเทากัน เวคเตอรทั้งสองจะจัดวามี
ลักษณะ orthonormal ตอกันเมื่อมีคุณสมบัติ orthogonal และ normal ดังนั้นเวคเตอร
x และ y จะมีคุณสมบัติ orthonormal เมื่อ 0=′=′ xyyx และ 1=′=′ yyxx
VI. Rank และ Trace ของเมทริกซ
Rank ของเมตริซ หมายถึงจํานวนของคอลัมนหรือแถวที่อิสระตอกัน (linearly
independent) ดังนั้นเมทริกซ A จะมีลักษณะ full rank เมื่อทุกคอลัมนหรือแถวอิสระ
ตอกัน ในทางตรงกันขามหากมีคอลัมนหรือแถวใดเกิดขึ้นจากความสัมพันธอัน
เนื่องจากคอลัมนหรือแถวอื่นๆ (linearly dependent) เมทริกซนั้นจะมีลักษณะ not of
full rank
กําหนดให
,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
343422321
A และ ,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
437033123
B
โดยนิยาม หากแบงเมทริกซออกเปนเวคเตอรของคอลัมนหรือแถวยอยๆ เรียก
n21 xxx ,...,, แลวสามารถหาคาคงที่ naaa ,...,, 21 ที่เปนสัมประสิทธิ์ตัวคูณของแต
ละเวคเตอรที่ทําใหไดผลรวมของเวคเตอรมีคาเปนเวคเตอรศูนย หรือกลาวไดวาหาก
สามารถหา naaa ,...,, 21 ที่ทําใหสมการ 0xxx n21 =+++ naaa ...21 เปนจริงได
แลว แสดงวาเมทริกซนั้นมีคุณสมบัติ linearly dependent สังเกตวาเมทริกซ A จะมี
ลักษณะ linearly independent และ full rank ในขณะที่เมทริกซ B จะมีลักษณะ not
of full rank เนื่องจากในเมทริกซ B นั้น คอลัมนที่ 1 เกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่
2 กับ 3 แสดงไดจาก
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
000
401
)1(332
)1(733
)1(
การคํานวณคา rank จะคิดจากจํานวนคอลัมนหรือแถวของเมทริกซลบดวย
จํานวนคอลัมนที่ไมอิสระ ดังนั้น ,)(Rank 303 =−=A ในขณะที่
213 =−=)(Rank B
Orthonormal vectors
Full rank Not of full rank
Linearly dependent Linearly independent
25
Rank ของเมทริกซยังมีความหมายถึงขนาด (size) ที่ใหญที่สุดของ non-singular
submatrix ที่เปนไปไดของ A
คุณสมบัติ
i) ≤≤ )(rank X0 จํานวนคอลัมนหรือแถวของเมทริกซ
ii) )(rank)(rank)(Rank YXYX +≤+ iii) )(rank)(rank)(rank)(Rank XXXXXX ′==′=′ iv) หากกําหนดให X มีขนาด nn× , n)(Rank =X ไดก็ตอเมื่อ X มีลักษณะ
non-singular
v) ถา X เปน diagonal matrix, )(Rank X จะมีคาเทากับจํานวน diagonal
element ที่ไมเทากับ 0
Trace ของเมทริกซหมายถึงคาผลรวมของทุกคาที่อยูในแนวทะแยงของเมทริกซนั้น
กําหนดให ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
123011102
A ,
ดังนั้น ∑ =−++== 2112 )(a)(tr iiA
คุณสมบัติ
i) )(tr)(tr)(tr BABA ±=± ii) )(tr)(tr AA =′ iii) )(trc)c(tr AA ⋅= เมื่อ c เปนคาคงที่
iv) )(tr)(tr BAAB = และ )(tr)(tr)(tr CABBCAABC ==
v) ∑=′=′ 2ija)(tr)(tr AAAA
VII. Eigenvalue และ Eigenvector
คา eigenvalue เปนคาที่ชวยบอกคุณลักษณะทั่วไปของเมทริกซ บางครั้งจึงนิยม
เรียกวาคา characteristic root โดยคํานวณจาก
xAx λ=
เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆ ที่สนใจ, λ เปนคา eigenvalue และ x เปน
eigenvector และเมื่อจัดสมการดังกลาวใหอยูในรูปงายขึ้น จะไดวา 0xAx =− λ
หรือ 0xIA =− )( λ หากกําหนดให x เปนเวคเตอรของคาใดๆ ที่ไมเทากับ 0 แลวจะ
เห็นวาคาการแกสมการหาคา eigenvalue จะทําไดก็ตอเมื่อ 0=− IA λ
Trace of matrix
Characteristic root Eigenvalue Eigenvector
26
กําหนดให
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=4211
A
7.1 คา eigenvalue สามารถหาไดโดย
i) คํานวณ IA λ−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−
λλ
λλ
λλ
4211
00
4211
1001
4211
IA
ii) คํานวณคา determinant ของ IA λ−
652141 2 +−=−−−−=− λλλλλ ))(())((IA
iii) เทียบคาใหเทากับศูนย แลวแกสมการหาคา λ
032
0652
=−−=+−
))(( λλλλ
ดังนั้น 32 21 == λλ ,
7.2 คา eigenvector สามารถหาไดโดยอาศัยสมการ xAx λ=
i) แทนคา λ ที่คํานวณได ตัวใดๆ ลงในสมการ สมมุติเลือก 2λ ดังนั้นรูปแบบ
หนึ่งของ eigenvector คํานวณไดจาก
xAx 3= ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2
1
2
1 34211
xx
xx
ii) ซึ่งเขียนในรูปสมการเชิงเสนไดเปน
221
121
3423
xxxxxx
=+−=+
iii) เมื่อแกสมการแลวพบวา 212 xx = ซึ่งแสดงใหเห็นวา eigenvector มีได
หลายรูปแบบ หากกําหนดให 51 =x แลวจะไดวา 102 =x ดังนั้นรูปแบบ
หนึ่งของ eigenvector ที่สัมพันธกับ eigenvalue 2λ ไดแก
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
105
x
Example 2.10
Example 2.11
27
คุณสมบัติ
i) )(tri A=∑λ คาผลรวมของ eigenvalue คือคา trace ของเมทริกซ
ii) A=∏ iλ คาผลคูณของ eigenvalue คือคา determinant ของ เมท
ริกซ
iii) ถาคา eigenvalues ทุกตัวมีคาเทากับศูนยแสดงวา A เปน non-singular
matrix
iv) คา eigenvalue ของ diagonal, lower triangular และ upper triangular ไดแก
คาที่อยูในแนวทะแยง
v) )(Rank A คํานวณไดจากจํานวน eigenvalue ที่มีคาไมเทากับ 0
vi) ถาทุกคาของ 0>iλ แสดงวาเมทริกซนั้นมีคุณสมบัติ positive definite, และถา
ทุกคาของ 0≥iλ แสดงวาเมทริกซนั้นมีคุณสมบัติ non-negative definite หรือ
positive semi-definite หากมีบางคาของ 0<iλ แสดงวามีคุณสมบัติ negative
definite
VIII. Idempotent Matrix
เมทริกซ idempotent หมายถึงเมทริกซสมมารตรใดๆ ที่มีคุณสมบัติ AA =2
หากกําหนดให XX)XX(H ′′= −1 , สังเกตวา H เปนเมทริกซ idempotent
พิสูจนโดย
H
XX)XX(
XX)XX(XX)XX(HHI
=
′′=
′′′′=
−
−−
1
1143421
คุณสมบัติ
i) คา eigenvalue ของเมทริกซ idempotent มีคาเปน 0 หรือ 1 เสมอ
ii) ถา A เปนเมทริกซ idempotent จะไดวา )(rank)(tr AA =
iii) ถา A เปนเมทริกซ idempotent จะไดวา AIAI −=− 2)( และจะเปน
เมทริกซ idempotent ดวย
เมทริกซที่มีคุณสมบัติ 0A =2 ถูกเรียกวาเมทริกซ nilpotent สวนเมทริกซที่มี
คุณสมบัติ IA =2 ถูกเรียกวาเมทริกซ unipotent
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−
6/53/16/13/13/13/16/13/16/5
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−− 5211042
521 ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− I0XI
idempotent matrix nilpotent matrix unipotent matrix
Idempotent matrix Nilpotent matrix Unipotent matrix
Eigenvalue and trace Eigenvalue and determinant
28
IX. Quadratic Form ของเมทริกซและเมทริกซ Postive Definite
Quadratic form ของเวคเตอร y จะหมายถึงคา scalar ที่ถูกคํานวณจากรูป Qyy′ เมื่อ
Q เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆที่กําหนด เชน ถาให IQ = , ดังนั้น
∑=′=′=′i
iy 2yyIyyQyy เปนตน
เมทริกซ A จะมีคุณสมบัติ positive definite เมื่อ quadratic form ของ A มีคา
มากกวาศูนย ( 0Ayy >′ ) และ A จะมีคุณสมบัติ non-negative definite หรือ semi-
positive definite เมื่อ quadratic form ของ A มีคามากกวาหรือเทากับศูนย
( 0Ayy ≥′ )
คุณสมบัติ
i) เมทริกซ positive definite จะมีลักษณะสมมาตร (symmetric)
ii) เมทริกซ positive definite จะมีคาในแนวทะแยง (main diagonal) เปนบวก
iii) ถา A เปน positive definite และมีขนาด 2x2 จะไดวา 2iijiij aaa >×
หากกําหนดให ZZDMP ′+= และทั้ง M และ ZZD ′ มีคุณสมบัติ positive
definite พบวาการหาเมทริกซสวนกลับของ P สามารถคํานวณไดจาก
111111
11
−−−−−−
−−
′+′−=
′+=
MZ)DZMZZ(MM
)ZZD(MP
X. Generalized Inverse
Generialized inverse หรือ g-inverse แทนดวยสัญลักษณ −A ซึ่งหมายถึงเมทริกซ
สมมาตรใดๆที่มีคุณสมบัติ AAAA =− ซึ่งนิยมใชในกรณีที่ A มีลักษณะ not of full
rank ซึ่งทําใหการหาเมทริกซสวนกลับแบบปกติ ( 1−A ) ไมสามารถทําได หาก
กําหนดให A เปนเมทริกซจัตุรัสใดๆ พบวา −A สามารถมีไดหลายคา (non-unique)
ในขณะที่ 1−A จะมีไดเพียงคาเดียว โดยทั่วไปแลว −A สามารถคํานวณไดหลายวิธี
วิธีหนึ่งที่นิยมมีขั้นตอนดังนี้
10.1 Generalized Inverse of Non-symmetric Matrix
i) คํานวณคา )(Arank แลวแบงเมทริกซออกเปน 4 สวน โดยให submatrix
11A มีลักษณะ full-rank ขนาด rr× เมื่อ r เปนจํานวน rank ของเมทริกซ
และแทนที่ 222112 A,A,A ดวยคา 0
Quadratic form
Positive definite Non-negative definite Semi-positive definite
Generalized inverse G-inverse
29
กําหนดให
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−=
704522133421
A
เนื่องจาก )(Arank มีคาเทากับ 2 ดังนั้น 11A ที่ตองการคือขนาด 2x2
ทําการแบงสวนเมทริกซใหมีรูปแบบดังนี้
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
000000130021
11
2221
1211
000A
AAAA
A
ii) คํานวณ )( 111 ′−A
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
=′−
7/17/27/37/1
1231
71
1321
71)( 1
11A
iii) จากนั้นแทนที่ลงใน 11A แลวทําการ transpose whole matrix อีกครั้ง ดังนั้น
g-inverse จะมีคาเปน
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=−
0000007/17/3007/27/1
A
10.2 Generalized Inverse of Symmetric Matrix
i) คํานวณคา )(Arank แลวแบงเมทริกซออกเปน 4 สวน โดยให submatrix
11A มีลักษณะ full-rank ขนาด rr× เมื่อ r เปนจํานวน rank ของเมทริกซ
และแทนที่ 222112 A,A,A ดวยคา 0
กําหนดให
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2286832622
A
เนื่องจาก )(Arank มีคาเทากับ 2 ดังนั้น 11A ที่ตองการคือขนาด 2x2
ทําการแบงสวนเมทริกซใหมีรูปแบบดังนี้
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
000032022
11
2221
1211
000A
AAAA
A
ii) คํานวณ 111−A
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
1112/3
2223
211
11A
iii) จากนั้นแทนที่ลงใน 11A ซึ่งจะไดวา g-inverse จะมีคาเปน
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=−
000011012/3
A
Example 2.12
Example 2.13
30
คุณสมบัติ
i) IAAAA ≠≠ −− ii) AA− และ −AA มีลักษณะ idempotent
iii) )(rank)(rank)(rank −− == AAAAA และ )(rank)(rank −≤ AA
iv) 1−− = AA ไดในกรณีเดียวเทานั้นคือ A เปน non-singular matrix (full rank
matrix)
v) G-inverse จะมีคุณสมบัติ reflexive เมื่อ −−− = AAAA บางครั้งแทนดวย
สัญลักษณ *A
vi) G-inverse ที่สรางจากรูปแบบที่แสดงดานลาง จะมีคุณสมบัติ reflexive
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
000W
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
00W0
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
00W0
A และ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
0000W0000
A
เมื่อ W เปน non-singular matrix ที่มีขนาด rr× เมื่อ r เปนจํานวน
rank ของเมทริกซ A
vii) ถาให XXA ′= และ G เปน generalized inverse ของ A จะไดวา
a) GG ≠′ (ยกเวน G เปน symmetric matrix) แต G ′ ยังคงเปน g-
inverse ของ A กลาวคือ AAGAAGA ==′
b) XXXGX ′=′′ และ XXXXG =′
c) XXG ′ มีลักษณะสมมาตร
Moore-Penrose generalized inverse หรือ pseudo-inverse หรือ p-inverse นิยม
เขียนดวยสัญลักษณ +A หมายถึง generalize inverse ที่มีคุณสมบัติครบ 4 ขอ
ดานลาง
i) AAAA =− ii) −−− = AAAA iii) AAAA −− =′)( iv) −− =′ AAAA )(
จากคุณสมบัติ 4 ชอดังกลาว อาจกลาวไดวา generalized inverse แบงไดเปน 4
ประเภท ไดแก เมทริกซสวนกลับที่มีคุณสมบัติดังตาราง
G-Inverse คุณสมบัติ
Generalized inverse i)
Generalized inverse Reflexive i), ii)
Nomalized generalized inverse i), ii), iii)
Penrose generalized inverse i), ii), iii), iv)
Reflexive property
Moore-Penrose inverse Pseudo-inverse P-inverse
31
XI. Differentiation ของเมทริกซ
กําหนดให a เปนเวคเตอร และ A เปนเมทริกซจัตุรัสของคาจํานวนจริงใดๆ และ
กําหนดให x เปนเวคเตอรของตัวแปรเชิงสุม (random vector) การคํานวณคาอนุพันธ
ตามตัวแปร x (derivative with respect to x ) ที่สําคัญมีดังนี้
i) axax
=′∂∂ )( และ aax
x′=′
∂∂ )(
ii) xxxx
2=′∂∂ )(
iii) xAAAxxx
)( ′+=′∂∂ และ AxAxx
x2=′
∂∂ ในกรณีที่ A เปนเมทริกซ
สมมาตร
กําหนดให
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
543211202
A , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
xxx
x ,
ดังนั้น
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++−++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡×⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡×⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=′+=′
∂∂
321
321
321
3
2
1
3
2
1
10252254
1025221514
522410312
543211202
)(
xxxxxxxxx
xxx
xxx
xAAAxxx
XII. คาคาดคะเนของเมทริกซ (Matrix Expectation)
กําหนดให a , b เปนเวคเตอร และ A , B เปนเมทริกซจัตุรัสของคาจํานวนจริงใดๆ
และกําหนดให x , y เปนเวคเตอรของตัวแปรเชิงสุม (random vector) คาคาดคะเน
(expectation) คํานวณไดดังนี้
i) )(E)(E xaxa ′=′
ii) )(E)(E xAAx =
iii) { } )(E)(E)(Vartr)(E xAxxAAxx ′+=′
iv) )(E)(E)(E)(Var ′−′= xxxxx
v) axaxa )(Var)(Var ′=′
Derivative of random vector
Expectation and variance of vector and matrix
Example 2.14
32
vi) AxAAx ′= )(Var)(Var
vii) )(),( xxx VarCov =
viii) )(E)(E)(E),(Cov ′−′= yxyxyx
ix) bxaxbxa )(Var),(Cov ′=′′
x) byxaybxa ),(Cov),(Cov ′=′′
xi) B'yx,AByAx )(Cov),(Cov =
xii) B'xABxAx )(Var),(Cov =
xiii) B'yx,AByAx )(Cov),(Cov =
xiv) )()(),( CzBy,CzAx,CzByAx CovCovCov +=+
CzyBCzxA ′+′= ),(),( CovCov
กําหนดให
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4132
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5312
B , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
21
a , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
xx
x , และ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
2010
2
1
μμ
μx )(E , และ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
2114
2
2
212
211
xxx
xxx)(Varσσ
σσVx
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
==
9080
2010
4132
AμxAAx )(E)(E
{ }
[ ]
2620260020
2010
4132
20102114
4132
=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
′+=
′+=′
)(tr
)(tr)(E)(E)(Vartr)(E
AμμAVxAxxAAxx
[ ]
2621
2114
21
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
′=
′=′
Vaaaxaxa )(Var)(Var
Example 2.15
33
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
==
69257330
5132
2114
4132
AVB'B'xABxAx )(Var),(Cov
XIII. ระบบสมการเชิงเสน (Linear System of Equation)
ระบบสมการเชิงเสน (Linear system of equation) ไดแกสมการที่อยูในรูป
yAx =
เมื่อ y เปนเวคเตอรขนาด 1mx , A เปนเมทริกซขนาด mxm และ x เปนเวคเตอร
ของตัวแปรสุมขนาด 1mx
ระบบสมการจะมีความแนบนัย (consistent) เมื่อความสัมพันธเชิงเสน (linear
relationship) ของแตละแถวในสวน LHS (left hand side) สอดคลองกับคาของ RHS
(right hand side)
กําหนดใหระบบสมการ yAx = เปนดังนี้
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡247
6321
2
1
xx
ซึ่งมีความหมายเชนเดียวกับ
)(2163
)(72
21
21
iixxixx
−−=+−−=+
จะเห็นไดถาความสัมพันธของสมการ (i) เปนจริงแลว สมการที่ (ii) จะเปนไปไมได
เนื่องจากเมื่อคูณ 3 ใหกับ LHS แลว คาของ RHS ควรจะถูกคูณดวย 3 เชนกัน ดังนั้น
จึงกลาววาระบบสมการนี้ in-consistent
ระบบสมการที่มี consistency จะสามารถหาคาคําตอบ (solutions) ของ x ไดเสมอ
และสังเกตวาหาก A เปน non-singular matrix คําตอบของสมการจะมีเพียงคําตอบ
เดียว โดยหาไดจาก
yAx 1−= ในกรณีที่ X เปน singular matrix คําตอบของสมการจะมีไดหลายคําตอบ
(เนื่องจาก generalized inverse มีไดหลายแบบ) โดยหาไดจาก yAx −=
Linear system of equation
Consistency
34
ระบบสมการจะมีความสอดคลอง (compatible) เมื่อสามารถหาเวคเตอร k ที่ทําให
0=′yk เมื่อ k เปนเวคเตอร non-zero ใดๆที่มีคุณสมบัติ 0Ak ′=′
ระบบสมการจะมีลักษณะ consistent ไดก็ตอเมื่อระบบสมการนั้นมีลักษณะ
compatible เทานั้น
กําหนดใหระบบสมการ yAx = ซึ่งมีลักษณะ consistent เปนดังนี้
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡217
6321
2
1
xx
ตัวอยางหนึ่งของ k ′ ไดแก [ ]13− ซึ่งจะไดวา
[ ] 0217
13 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=′yk
และ
[ ] [ ] '0Ak ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=′ 00
6321
13
จะเห็นวาระบบสมการที่ consistent จะมีคุณสมบัติ compatible
XIV. การประมาณได (Estimability)
ในระบบสมการเชิงเสนที่มีลักษณะเปน not of full rank นั้นจะมีคําตอบ (solutions)
ของ β ไดไมจํากัด (not unique) เนื่องจากคําตอบถูกคํานวณขึ้นจาก generalied
inverse ดวยเหตุนี้จึงไมสามารถสนใจที่คาของ β แตละตัวโดยลําพังแตจะสนใจที่
linear combination ของ β อยางไรก็ตามไมใชทุก combination ของคาประมาณ
พารามิเตอร ( β̂ ) ที่ทําให linear combination ของ β เปนจริง จึงจําเปนตองมีการ
ตรวจสอบการประมาณได (estimability) โดยฟงกชันเชิงเสนของคาพารามิเตอรจะถูก
เรียกวาเปนฟงกชันที่ประมาณได (estimable function) เมื่อฟงกชันของพารามิเตอรนั้น
มีคาเทากับคาคาดคะเนของฟงกชันเชิงเสนของคาสังเกต ดังนั้นเมื่อกําหนดให β เปน
เวคเตอรของคาพารามิเตอร, y เปนเวคเตอรของคาสังเกต, k และ l เปนเวคเตอร
ของคาคงที่ใดๆ แลว βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ
)(E ylβk' ′=
สังเกตวาหากกําหนดให Xβy =)(E แลว จะไดวา Xβlyl ′=′ )(E , ดังนั้น βk ′ จะ
เปนฟงกชันที่ประมาณคาไดเมื่อ
Xβlβk' ′=
Compatability
Estimable function
35
เมื่อ k มีขนาด 1×p เมื่อ p เปนจํานวนพารามิเตอร (column of X ) และ l มี
ขนาด 1×n เมื่อ n เปนจํานวนขอมูล (row of X )
สมการขางตนบอกใหทราบวา βk' จะ estimable ก็ตอเมื่อ
i) สามารถหาเวคเตอร l ที่ทําให kXl ′=′
ii) k ′ เปนคอลัมนใดๆของ X ′
iii) สามารถหาเวคเตอร l ที่ทําให 0=′lk เมื่อ l เปนเวคเตอรใดๆที่มีคุณสมบัติ
0Xl =
การตรวจสอบวา βk ′ เปน estimable function หรือไมนั้นมีหลายวิธี ซึ่ง Henderson
(1984) ไดเสนอไว 4 วิธี ไดแก
14.1 Method I
เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชอาศัยคุณสมบัติของ )( yl ′E ที่แสดง
รายละเอียดไวขางตน โดย βk ′ จะเปน estimable function เมื่อสามารถหา
เวคเตอร l ที่ทําให kXl ′=′ เมื่อ l ขนาดเทากับ 1)( ×XRow
กําหนดให
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
631211421211
X
โดยแตละคอลัมนสัมพันธกับคาพารามิเตอร 1β , 2β , 3β จงตรวจสอบ
estimability ของ 32 2ββ +
1) หาคา k ′
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=+=′
3
2
1
32 2102βββ
βββk , ดังนั้น [ ]210=′k
2) หาเวคเตอร l ที่ทําให kXl ′=′ ได ซึ่งรูปแบบหนึ่งไดแก
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
0011
l
Finding vector l
Show that kXl ′=′
36
จะเห็นวา
[ ] [ ] kXl ′==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=′ 210
631211421211
0011
ดังนั้น 32 2ββ + เปนฟงกชันที่ประมาณได
สังเกตวาการหาเวคเตอร l ′ ทําไดไมงายนัก อยางไรก็ตามวิธีการสังเกตทาง
หนึ่งไดแก พยายามทํา row operation ภายในเมทริกซ X ที่ใหไดผลลัพธเปน
คา k ′ จากตัวอยางนี้จะเห็นวาการจัดการ (-1)* 1r +(1)* 2r +(0)* 3r +(0)* 4r
เมื่อ ir เปน row ที่ i จะไดผลลัพธเทากับ [ ]210 ซึ่งเปนคา k ′ และจะ
ไดวา l คือคาสัมประสิทธิ์ที่คูณกับ row เหลานั้น
[ ][ ][ ][ ] {
[ ][ ][ ][ ]
44 344 21kl ′==∑
−−−
=
−
××××
====
]210[000000421211
0011
631211421211
4321
rowsrrrr
ดังนั้น
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
0011
l
14.2 Method II
เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชการแบงสวนเมทริกซ และคุณสมบัติ
linearly independent โดยทําการแบงเมทริกซ X เปนสองสวน
[ ]21 XX เมื่อ wXX 12 = กลาวคือ 2X เปน linear combination
ระหวางคอลัมนของ 1X จากนั้น βk ′ จะเปนจริงเมื่อสามารถหาเวคเตอร w
ที่ทําให [ ]wkkk 11 ′′=′ เมื่อ 1k เปนคาคงที่ของ linear combination ของ
พารามิเตอรเฉพาะสวน 1X และ เมื่อ w ขนาดเทากับ 1)( ×2XCol
1) จากตัวอยางเดิม หากแบงสวนให 1X เปนคอลัมนที่ 1 และ 2 สวน 2X เปน
คอลัมนที่ 3 โดยสังเกตวา 2X เกิดจากการนําคอลัมนที่ 1 คูณดวย 0 บวก
ดวยคอลัมนที่ 2 คูณดวย 2 ทําใหไดวา
Finding vector w
37
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
631211421211
21 XXX
ดังนั้น
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
31112111
1X , ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
6242
2X
2) หาเวคเตอร w ที่ทําให wXX 12 = ซึ่งสังเกตวา
wXX 12 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=20
31112111
6242
ดังนั้น
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
20
w
3) หากตองการตรวจสอบ estimability ของ 32 2ββ + กลาวคือตองการทดสอบ
[ ]210=′k หรือ [ ] [ ]wkkk 21 ′′==′ 210 จากขอ 1) เมื่อ
[ ]10=′1k ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ 2=′wk1
จาก 2) ไดวา ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
20
w ดังนั้น
[ ] 220
10 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=′wk1
ดังนั้น 32 2ββ + เปนฟงกชันที่ประมาณได
14.3 Method III
เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชคุณสมบัติ compatability โดยพยายาม
หาเมทริกซ C ที่ทําให 0XC = จากนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ
0Ck =′ เมื่อ C มีขนาดเทากับ qp× เมื่อ p เปนจํานวนพารามิเตอรและ q
เปนจํานวน )()( XX RankCol −
1) จากตัวอยางเดิม p มีคาเทากับ 3 และ q มีคาเทากับ
)()( XX RankCol − = 3 - 2 = 1 ดังนั้น C ควรมีขนาด 3x1
Show that [ ]wkkk 11 ′′=′
Finding matrix C
38
2) สังเกตวาเราสามารถหา C ที่ทําให
0XC =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
0000
120
631211421211
3) ดังนั้นหากตองการตรวจสอบ estimability ของ 32 2ββ + กลาวคือตองการ
ทดสอบ [ ]210=′k ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ
0Ck =′
จาก 1) และ 2) จะไดวา ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
120
C , ดังนั้น
[ ] 0120
210 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=′Ck
ดังนั้น 32 2ββ + เปนฟงกชันที่ประมาณได
สังเกตวาการหาเมทริกซ C ทําไดไมงายนัก อยางไรก็ตามวิธีการสังเกตทางหนึ่ง
ในกรณีที่ตองการ C ที่มีขนาดเพียง 1 คอลัมน ไดแก พยายามทํา column
operation ภายในเมทริกซ X ที่ใหไดผลลัพธเปนเวคเตอร 0 จากตัวอยางนี้จะ
เห็นวาการจัดการ (0)* 1c +(2)* 2c +(-1)* 3c เมื่อ ic เปน column ที่ i จะได
ผลลัพธเทากับเวคเตอร 0 ซึ่งจะไดวา C คือคาสัมประสิทธิ์ที่คูณกับ column
เหลานั้น
{ { {
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+×
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0000
)1(
6242
3
)2(
3121
2
)0(
1111
1
321 c
Col
c
Col
c
Col
ดังนั้น รูปแบบหนึ่งของ C ไดแก
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
120
3
2
1
ccc
C
Show that 0Ck =′
39
14.4 Method IV
เปนการตรวจสอบการประมาณไดโดยใชคุณสมบัติ g-inverse โดยเริ่มจากการ
คํานวณคา g-inverse ของ XX ′ จากนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ
kXXX)X(k ′=′′′ −
จากตัวอยางเดิม หากตองการตรวจสอบ estimability ของ 32 2ββ + หรือ
ตองการทดสอบ [ ]210=′k จะไดวา
[ ]
[ ]
[ ]
k
XXX)X(k
′=
=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=′′′
−
−
210
603014301571474
000011411701171115
210
603014301571474
603014301571474
210
////
ดังนั้น 32 2ββ + เปนฟงกชันที่ประมาณได
14.5 การประมาณไดแบบอื่นๆและการประมาณไดในโมเดลเชิงเสน
การตรวจสอบการประมาณไดวิธีอื่นๆ อาจศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมไดใน Myers
and Milton (1991) และ Searle (1984) ซึ่งในบางกรณีการตรวจสอบ
estimability สามารถทําไดไมยาก เชน
Estimable function ที่เกิดจาก linear contrast ของ parameter ของอิทธิพลตางๆ
ภายในปจจัยเดียวกันจะเปนฟงกชันที่ประมาณได
จากตัวอยางเดิม หากตองการตรวจสอบ estimability ของ 21 ββ − หรือ
ตองการทดสอบ [ ]011 −=′k ซึ่งหากกําหนดให parameter function อยูใน
รูป 2211 ββ aa − จะไดวาฟงกชันนี้จะถูกเรียกวาเปน linear contrast เมื่อ
∑ = 0ia ซึ่งจากตัวอยางนี้จะเห็นไดวา 01121 =−=+ aa ดังนั้น 21 ββ − เปนฟงกชันที่ประมาณได
Finding matrix XXX)X( ′′ −
Show that kXXX)X(k ′=′′′ −
Finding linear contrast of parameters
40
Estimable function ที่เกิดจาก row ใดๆ ของ Xβ จะเปนฟงกชันที่ประมาณได
เสมอ
จาก
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
631211421211
βββ
Xβ
ดังนั้น ,2 321 βββ ++ ,42 321 βββ ++ และ 321 63 βββ ++ เปน
ฟงกชันที่ประมาณได
การประมาณไดในโมเดลเชิงเสนนิยมใช method III และ IV ดังนี้
กําหนดใหโมเดลมีรูปแบบเปน
ijiijy ετμ ++=
เมื่อ ijy เปนคาสังเกต, μ เปนคา overall mean, iτ เปนอิทธิพล
เนื่องจากทรีทเมนต และ ijε เปนความคลาดเคลื่อน
หากกําหนดใหทรีทเมนตที่ 1, 2 และ 3 มีจํานวนซ้ําเปน 6, 6, และ 4
ตามลําดับแลว จะไดวา
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
3
2
1
40040606006646616
τττμ
XβX
จงตรวจสอบการเปน estimable function ของ 1) 21 ττ − , 2) 21 ττ + , 3)
3212 τττ −−
1) หากเลือกใชวิธีที่ 3 (method III) ในการตรวจสอบ พบวาตองหา C ที่ทําให
0XCX =′ เมื่อ C มีขนาด qp× เมื่อ p เปนจํานวนพารามิเตอรและ q เปน
จํานวน )()( XXXX ′−′ RankCol และเนื่องจากระบบมี parameter ที่ตองการ
ประมาณเทากับ 4 และ rank เทากับ 3 ดังนั้น C จึงมีขนาด 13×
2) สังเกตวาคาตัวเลขในคอลัมนที่ 1 ของเมทริกซเกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่
2,3,4 ดังนั้นรูปแบบหนึ่งของการจัดการใหทุกคอลัมนรวมกันแลวได 0 ไดแก
(1)* 1c +(-1)* 2c +(-1)* 3c +(-1)* 4c ดังนั้นC จึงมีรูปเปน
Example 2.16
41
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
1111
C
ทดสอบวา 0XCX =′
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
0000
1111
40040606006646616
XCX
3) ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ 0Ck =′
1) [ ]0110 −=′k
[ ] 0
1111
0110 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=′Ck
ดังนั้น 21 ττ − เปน estimable function
2) [ ]0110=′k
[ ] 02
1111
0110 ≠−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=′Ck
ดังนั้น 21 ττ + เปน non-estimable function
3) [ ]1120 −−=′k
[ ] 0
1111
1120 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−=′Ck
ดังนั้น 3212 τττ −− เปน estimable function
กําหนดใหโมเดลมีรูปแบบเปน
ijjiijy εβαμ +++= เมื่อ
Example 2.17
42
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
3
2
1
2
1
5003250301230042243126062220665346612
βββααμ
XβX
จงตรวจสอบการเปน estimable function ของ 1) 21 αα − , 2)
)(31
3211 βββαμ ++++
1) เนื่องจากระบบมี parameter ที่ตองการประมาณเทากับ 6 และ rank เทากับ 4
ดังนั้น C จึงมีขนาด 26×
2) สังเกตวาคาตัวเลขในคอลัมนที่ 1 ของเมทริกซเกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่ 2
และ 3 หรือเกิดจากการรวมกันของคอลัมนที่ 4, 5 และ 6 ดังนั้นรูปแบบหนึ่งของ
การจัดการใหทุกคอลัมนรวมกันแลวได 0 ไดแก (1)* 1c +(-1)* 2c +(-1)* 3c และ
(1)* 1c +(-1)* 4c +(-1)* 5c +(-1)* 6c ดังนั้นC จึงมีรูปเปน
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
=
101010010111
C
ทดสอบวา 0XCX =′
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=′
000000000000
101010010111
5003250301230042243126062220665346612
XCX
3) ดังนั้น βk ′ จะเปน estimable function เมื่อ 0Ck =′
1) [ ]000110 −=′k
[ ] [ ]00
101010010111
000110 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
−=′Ck
ดังนั้น 21 αα − เปน estimable function
43
2) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=′
31
31
31011k
[ ]00
101010010111
31
31
31011 =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=′Ck
ดังนั้น )(31
3211 βββαμ ++++ เปน estimable function
XV. สรุป
ในบทนี้ไดกลาวถึงนิยามทั่วไปที่สําคัญของเมทริกซ ลักษณะเมทริกซบางชนิดที่มี
ชื่อเรียกเฉพาะ เชน diagonal matrix หมายถึงเมทริกซที่มีเฉพาะคาในแนวทะแยง
สวนนอกแนวทะแยงจะเปนศูนย, triangular matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคาใน
แนวทะแยงและคานอกแนวทะแยงดานใดดานหนึ่ง หากเปนดานบนแนวทะแยง
เรียกวา upper triangular ถาเปนดานลางเรียกวา lower triangular, symmetric
matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ AA ′= เปนตน นอกจากนี้ยังกลาวถึง
คุณสมบัติที่สําคัญของเมทริกซบางอยาง เชน orthogonal matrix หมายถึง เมท
ริกซที่มีคุณสมบัติ IAA =′ หรือ A′ มีคุณสมบัติเปน inverse ของ A ,
idempotent matrix หมายถึงเมทริกซที่มีคุณสมบัติ AAA = เปนตน
สวนกลับของเมทริกซ (inverse of matrix) มี 2 แบบใหญ ไดแก 1) แบบปกติ
(ordinary inverse) และ 2) generalized inverse โดยทั่วไปจะใชสัญลักษณ
ตางกัน แบบแรกใช 1−A ซึ่งตรวจสอบโดยใชคุณสมบัติ IAA =−1 สวนแบบที่
สองใช −A ซึ่งตรวจสอบคุณสมบัติการเปน g-inverse ไดโดยใช AAAA =−
การหา inverse ของเมทริกซเกี่ยวของกับคุณสมบัติ Rank ซึ่งเปนจํานวนคอลัมนที่
อิสระภายในเมทริกซนั้นๆ ในกรณีของ symmetric matrix หาก rank ของเมท
ริกซมีคาเทากับจํานวนคอลัมนของเมทริกซนั้น จะเรียกวา full rank หรือ non-
singular matrix ซึ่งจะสามารถหา ordinary inverse ไดและจะมีเพียงรูปแบบ
เดียว ในกรณีที่เมทริกซมีลักษณะ not of full rank หรือ singular matrix จะไม
สามารถหา inverse ดวยวิธีปกติได จึงตองใช generalized inverse ซึ่งจะมีได
หลากหลายรูปแบบ
คา eigenvalue เปนคาที่สามารถใชอธิบายคุณสมบัติบางอยางของเมทริกซได
บางครั้งจึงเรียกวาคา characteristic roots เชน จํานวนของ eigenvalue ที่มีคาไม
เทากับศูนยจะมีคาเทากับ rank ของเมทริกซ, ผลรวมของคา eigenvalue มีคา
44
เทากับคา trace ของเมทริกซ และผลคูณของคา eigenvalue มีคาเทากับคา
determinant ของเมทริกซเปนตน สวนคา eigenvector หมายถึงเวคเตอรที่มี
ความสัมพันธกับคา eigenvalue ที่ทําใหเกิดคุณสมบัติ λxAx = เมื่อ λ
หมายถึง eigenvalue และ x หมายถึง eigenvector นอกจากนี้คา eigenvalue
ที่เปนบวกหรือลบยังแสดงถึงคุณสมบัติ positive definite, positive semi-definite
หรือ negative definite ไดอีกดวย
ในบทนี้ยังไดกลาวถึงการหาอนุพันธ (derivatives) และคาคาดคะเน
(expectation) ของเวคเตอรและเมทริกซเปนพื้นฐานสําคัญในการพิสูจนทฤษฎี
ทาง linear model ตอไป
ระบบสมการเชิงเสนคือระบบสมการที่สามารถเขียนใหอยูในรูปของ yAx = ได
ในการประเมินคาพารามิเตอร หรือประมาณคาอิทธิพลตางๆทางปรับปรุงพันธุ
สัตวตองอาศัยระบบสมการเชิงเสนเปนสวนใหญ สมการจะสามารถหาคําตอบ
(solutions) ของเวคเตอร x ของระบบสมการนี้ไดเมื่อสามารถหาคา 1−A หรือ −A ได ระบบที่สามารถหาคําตอบไดเรียกวาระบบมีคุณสมบัติ consistency และ
ระบบสมการจะมีลักษณะ consistent ไดก็ตอเมื่อระบบสมการนั้นมีลักษณะ
compatible ดวยเชนกัน และเนื่องจากการหาคําตอบของระบบสมการสามารถทํา
ไดโดยการใช generalized inverse ( −A ) ดังนั้นการตรวจสอบวา parameter
function นั้นเปน estimable function ทําไดหรือไมนั้นจึงเปนส่ิงที่ตองทําความ
เขาใจ
บรรณานุกรม
Carroll, J.D., P.E. Green, and A. Chaturvedi. 1997. Mathematical Tools for Applied Multivariate Analysis.
Academic Press, Boston.
Christensen, R. 1996. Plane Answers to Complex Questions : The Theory of Linear Models. Second
Edition. Springer-Verlag Inc., New York.
Raymond, H.M., and J.S. Milton. 1991. A First Course in the Theory of Linear Statistical Models. PWS-
KENT Publishing Company, Boston.
Schaeffer, L.R. 1994. Course Note in Linear model. Guelph University, Guelph.
Searle, S.R. 1971. Linear Models. John Wiley and Sons, Inc., New York.
Searle, S.R. 1982. Matrix Algebra Useful for Statistics. John Wiley and Sons, Toronto.
.
45
คําถามทายบท II (1)
1. จากเมทริกซที่กําหนดให
,4132⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=X ,321102⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=Y ,201111
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=Z ,
3801⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=W ,
1001⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=T ,
312
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=a
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
021
b
ใช SAS/IML ชวยในการตอบคําถามตอไปนี้
1. คํานวณผลที่ไดจากการจัดการเมทริกซดังตอไปนี้ หากมีขอใดจัดการไมไดใหบอกเหตุผลวาทําไม
1.1) YX + , WX + , TX −
1.2) XY , YX , XT , TX
1.3) X3 2. จงแสดงใหเห็นวา
2.1) TYWYT)Y(W +=+ 2.2) XY)(XY ′′=′
3. คํานวณคาเมทริกซสวนกลับตอไปนี้ (เฉพาะ 3.1 ใหแสดงวิธีดวยมือ)
3.1) จงแสดงใหเห็นวา 11 )X()(X −− ′=′ 3.2) 11 )X(XX)X( −− ′=′ มีคาเทากันหรือไม
4. คํานวณ scalar product และ cross product ของเวคเตอร a และ b และคํานวณ Kroneckor prodcut
ของ YX ⊗
2. จากเมทริกซที่กําหนดให
,1001⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=A ,
3/13/13/13/13/13/13/13/13/1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=B ,
1001⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=C ,
1002⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=D ,
2/12/12/12/1⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=E
,0101⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=F ,
110101110101
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=G
1. คํานวณ rank และ trace ของเมทริกซ A ถึง F
2. เมทริกซใดบางที่มีคุณสมบัติตอไปนี้
a) diagonal
b) symmetric
c) non-singular
d) square
e) orthogonal
f) full-rank
46
47
คําถามทายบท II (2)
1. กําหนดให
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡′
= −2221
12111
MMMMM,
DCCA
M
จงพิสูจนวา 1111122 CD)CCD(ACDDM −−−−− ′−′+=
2. กําหนดให
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
=
6721105105
53425184
A
i) แสดงใหเห็นวา A เปน singular matrix
ii) คํานวณ generalized inverse ของ A
iii) แสดงใหเห็นวาคําตอบในขอ ii) ถูกตอง และแสดงใหเห็นวา generalized inverse มีคุณสมบัติ reflexive
3. กําหนดให XX)XX(P 1 ′′= − , และ
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1210775421
X , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
yyy
y , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
100010001
IA , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
000
)( yE , ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010001
)( yVar
i) จงคํานวณ P พรอมทั้งแสดงใหเห็นวา P เปน idempotent matrix
ii) แสดงใหเห็นวา eigen value ของ P เปนไดเพียงคา 0 หรือ 1
iii) แสดงใหเห็นวา )trace()rank( PP =
iv) แสดงใหเห็นวา P มีคุณสมบัติ positive definite
v) กําหนดให Ayy ′=z จงคํานวณ y∂∂z จากนั้นกําหนดใหคา derivative เทากับ 0 แลวแกสมการหาคา y
vi) จากขอ v) คํานวณคา )(zE
48
4. จากระบบสมการเชิงเสน yAx = เมื่อกําหนดให
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
631212843211
A , ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
5302010
y , และ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
βββ
x
i) จงแสดงใหเห็นวาระบบสมการเชิงเสนนี้มีคุณสมบัติ consistency และ compatability
ii) ตรวจสอบ estimability ของ
a) 3β b) 23 ββ − c) 123 βββ ++